NELINEÁRNÍ SYSTÉMY. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, Liberec 1, CZ. Teorie automatického řízení II. Katedra řídicí techniky

Transkript

1 Nliárí ytémy TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova Librc CZ Faklta mchatroiky a mzioborových ižýrkých tdií Tori atomatického řízí II. NELINEÁRNÍ YTÉMY tdijí matriály Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc. Katdra řídicí tchiky Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

2 Nliárí ytémy Obah Úvod. Popi liárích ytémů. Nliárí dirciálí rovic.... Charaktritiky typických liárích člů.... Aalýza v ázové roviě 6. Kotrkc ázové trajktori Liarizac a tabilita v malém.... Trajktori v ázové roviě Rléové obvody a čaově optimálí řízí Aalýza rléových obvodů v ázové roviě Čaově optimálí rléové obvody otwarová podpora v MATLAB tabilita liárích ytémů. Základí diic tability volého ytém.... Přímá Ljapovova mtoda.... Popovovo kritérim tability... 5 Litratra 8 Přdkládaý tt pokrývá problmatik liárích ytémů tak jak probírá v základím krz Tori atomatického řízí II. Pokytj j omzý přhld základů liárích ytémů a rglac a vým rozahm odpovídá poz rozah přdášk. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

3 Nliárí ytémy ÚVOD iž v rámci ašho krz při idtiikačích měří jm tkali ktčotí ž přvážá většia laboratorích úloh plňj v clém rozah příé podmíky kladé a liárí ytémy. Tato ktčot byla již zjištěa při měří tatických charaktritik ktré jo zpravidla liárí poz v rčitém rozah akčí vličiy. tjý závěr j možo čiit při praktických měřích v provozch a a tchologických zařízích. možo kotatovat ž všchy tchicky provozovaé ytémy v růzých tchologiích jo v vé podtatě ytémy liárí. Proto j třba do základího krz vložit i čát ktrá zabývá základy aalýzy a ytézy liárích ytémů. Nliárí ytémy mají odlišé vlatoti ž ytémy liárí což projvj přdvším v tom ž a Výtp ytém záadím způobm liší pro měící amplitd bdícího igál a proto platí pricip prpoic b Rovovážé tavy itjí také mimo počátk ořadic c Počátčí podmíky mají vliv a doaží rovovážých tavů atoomích ytémů d Vzikají tabilí amobzé kmity atoocilac v ytém ktré mají jio rkvcí ž j bdící rkvc Dochází k kokovým změám amplitdy výtp při měící rkvci bdícího igál Zatím byl v růzých přdmětch hlavím átrojm při výkyt liarit liarizac v okolí pracovích bodů. Cílm této kapitoly j zámit tdty základy aalýza liárích ytémů a kázat základí přítp ávrh rléových obvodů včtě čaově optimálího řízí v ázové roviě. POPI NELINEÁRNÍCH YTÉMŮ Popi liárí dyamických ytémů koctrovaými paramtry jdím vtpm a jdím výtpm j možo rozdělit do dvo kpi. V prví kpiě jo liárí ytémy popáy bď liárí dirciálí rovicí řád "" bo otavo "" liárích dirciálích rovic prvího řád. Drho kpi tvoří modly liárích ytémů ktré jo ložy z liárí a liárí čáti. Nliárí čát j charaktrizováa tatickými charaktritikami liárích člů.. NELINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Uvažjm liárí ytém jdím vtpm a jdím výtpm. Nliárí dirciálí rovic pak moho míti tvar a y ''' y' y'' y' y'' y b my'' c y' c y c y F coωt Matmatický popi liárího ytém pomocí otavy liárích rovic prvího řád zíkám z dirciálích rovic volbo tavových proměých. Omzím a volb Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

4 Nliárí ytémy ázových tavových proměých ktré dávají tavovým proměým yzikálí výzam: vzdálot y rychlot y zrychlí y atd. Vrchol tavového vktor pak opij v ázovém protor ázovo trajktorii. Pro vdé rovic a a b dotam a otav tří liárích rovic prvího řád v ázovém protor y y y & & & b Nliárí otav dvo liárích rovic v ázové roviě. y y' & & c / m c / m c / m F / mcoωt t t. CHARAKTERITIKY TYPICKÝCH NELINEÁRNÍCH ČLENŮ VTUP NEL. CH. t F Obr.. Nliárí ytém liárím a liárím člm V tchické prai tkávám liárími ytémy ktré j možo rozdělit a čát ktrá j liárí a čát ktrá j liárí. Tak apř. jo růzá tchologická zařízí provozováa v pracovích bodch v ktrých j možo dyamik ytém aproimovat liárím modlm apř. obrazovým přom. Nliárí čát zařízí j možo aproimovat liárími charaktritikami. Např. liárí charaktritiky akčích člů vtilů atd. Dyamické vlatoti těchto ytémů j pak možo modlovat liárím a liárím blokm podobě jak j tom a obr... Do liárích bloků chématicky zakrljm liárí taticko charaktritik. Na základě praktických zkšotí jo zavdy typické liarity a jjich charaktritiky mzi ktré počítám: aycí citlivot ché a vikózí tří vůl v přvodch hytrz rléové charaktritiky a obcé liarity. Nliarita typ aycí: Njčatější typm liarity akčí vličiy j aycí protož í možo doáhot libovolě vliké akčí vličiy a to jak z tchických tak i yzikálích důvodů. V oblati kolm počátk j liárí pro větší hodoty projví aycí. Zpravidla aproimj přímkovými úky viz obr.. Výtp z liárího čl citlivot j a pro a a / a pro b < < a b pro b a b a b Obr.. Liárí aproimac aycí Obr..b chmatická začka aycí Nliarita typ citlivot: Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

5 Nliárí ytémy V mchaických ytémch projvjí dokoaloti v provdí vůlí v mchaických člch či v paivích odporch citlivotí viz obr... Výtp z liárího čl "citlivot" j a tg α b tg β pro a pro b < < a pro b b α β a Obr.. Ncitlivot Nliarita typ tří: Účik tří kombiaci chého a vikoího tří vyjádřím aproimovao liárí charaktritiko dl obr..4 kd aproimj třcí íly bo momty.výtp z této liarity j rov a α a tgα b tg β pro pro < β b Obr..4 Nl. charaktritika tří Nliarita typ hytrz-vůl v přvodch: Můž být způobá apř. vůlmi v ozbí bo rvopohoů žlzými jádry hytrzí žlza atd. Na obr..5 j jjí charaktritika H j šířka páma hytrz šipkami j azačo ktré větv j to važovat jtliž vtpí vličia rot bo klá. Výtp z tohoto čl zatím bdm matmaticky zapiovat protož j přhldý a vclk komplikovaý. Bd popá v čáti otwarová podpora v MATLAB. Zvláští kpi liárích charaktritik tvoří rléové charaktritiky ktré popíšm. Idálí dvopolohové rlé: ho charaktritika j a obr..6. Výtp z rlé j diová α H Obr..5 Nl. char. hytrz a 4 a b pro pro < -li a pak platí 5 ig b a b Obr..6 Nl. char. idálího dvopolohového rlé Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

6 Nliárí ytémy Třípolohové rlé: Charaktritika třípolohového rlé j a obr..7. Pámo citlivoti j v itrval -b a. Výtp j rov 6 a b pro a pro b < < a pro b Dvopolohové rlé hytrzí. Charaktritika dvopolohového rlé hytrzí j a obr..8. Šipky ozačjí měr růt bo kláí vtpí vličiy. Výtp j rov -b a - b Obr..7 Třípolohové rlé a a & > & < 7 a a pro a pro b a b pro < a pro < b Obcá liarita jjí charaktritika j a obr..9. jí výtp j obcě liárí kc b - b Obr..8 Dvopolohové rlé hytrzí a 8 Φ Do této kpiy řadí lktroické prvky diody dotavky tyritory liárí kodátory cívky atd. Obcé průběhy charaktritik mají také mohé ímač yzikálích vliči. Obr..9 Obcá liarita Mzi liarity jo dál zařazováy kc aboltí hodota áobí a dělí igálů. jich chématické začky jo a obr..abc. / Obr.. a Aboltí hodota b Náobí c Dělí Z tchického hldika dělím liarity a přirozé ktré ozačjm jako parazití a tdy chtěé a liarity úmylě zaváděé. Tyto možňjí kotrkci jdodchých rglátorů dvopolohové rglátory atd. bo jo požíváy k zlpší tpě tability. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

7 Nliárí ytémy. ANALÝZA VE FÁZOVÉ ROVINĚ Přtož aalýza v ázové roviě j bzprotřdě požitlá j pro otavy.řád itjí dva důvody pro jjí výklad: dá o výklad v základím krz Tori atomatického řízí II takž polchači tkávají problmatiko liárích ytémů poprvé a právě ázorý výklad v ázové roviě jim adí pochopí této problmatiky. Řada liárích tchických problémů j ktčě popáa liárí rovicí. řád a j tdy možo j aalyzovat v ázové roviě. tavový popi liárích ytémů v ázovém protor a v ázové roviě byl zavd v kap... Na obr.. jo čaové průběhy odzv a ázové trajktori ytém přtlmého kmitajícího tlmého a kmitajícího tlmého. yt y t y t t t y t a Přtlmý ytém yt t y' t y t t t y t b Ntlmý kmitavý ytém yt t y' t y t t t y t c Tlmý ytém Obr.. Čaový průběh odzv a jjich ázové trajktori Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

8 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc Fázové trajktori j možo rčit a Graicko-počtími mtodami - jo hitoricky přkoaé b Aalytickým řším - j možé j pro jjdodšší případy c imlačími protřdky a výpočty - očaý tav Z praktického hldika jo jvýzamější imlačí otwar. Clá výka přdmětů AŘ j bdováa a otwarové podpoř MATLAB a IMULINK. otwarová podpora v MATLAB j zkrácě vda v kap..5. Aalytická řší jo kázáa a jdodchých příkladch. Pro ázorější výklad a rychljší pochopí požívá též graicko-počtí tchika.. KONTRUKCE FÁZOVÉ TRAEKTORIE Uvažjm liárí otav drhého řád ktrá j popáa rovicmi & &. Provdm-li azačé dělí d d dt d dt d. dotam rovici tčy ázové trajktori ktrá itj pro každý bod ázové trajktori vyjma iglárích bodů. ak již bylo řčo aalytické řší této rovic j možé poz pro jjdodšší případy. Proto j jjí řší hitoricky pojé graicko-počtí mtodo azývao mtodo izoklí. to mtoda ic přkoaá al j vhodá jako pomůcka pro výklad a pochopí probíraé problmatiky. Mtoda izoklí pciálě pro liárí dirciálí rovici. řád tvar ' ' ' y y F y Φ. a ázovo rovi j možo pát. ' Φ F y y & & Rovic ázové trajktori pak má tvar F d d Φ. 4

9 Nliárí ytémy kd j měric tčy v daém bodě trajktori. tliž položím kot. pak rovot F Φ. 5 dij křivk izoklí pro ktro platí ž tča k ázové trajktorii j kotatí a j rova právě. Obcě v tavovém protor tato rovic má tvar. 6 Na áldjícím příkladě bd dmotrováa mtoda izoklí. Příklad. Uvažjm liárí ytém dl obr... t wt t t yt -5 t 5 - Obr.. Rglačí obvod třípolohovým rlé Úkol: Pro zadaé paramtry třípolohového rlé akrlt moži izoklí a ázových trajktorií pro w Řší: Z daého obrazového přo rčím dirciálí rovici a tavový popi v ázové roviě y'' y' y'' 5 y' 5. & & 5 5 Výtp j diová pro > 5 > 5 < 75 Φ pro pro < 5 < 5 5 Tča k ázové trajktorii j diováa rovicí d 5 5. d > Přímky 75 a 5 a ktrých dochází k změě polarity akčí vličiy - k přptí jo ozačováy jako přpíací přímky viz obr... Fázová rovia j rozděla přpíacími přímkami do tří polorovi viz obr... Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

10 Nliárí ytémy Polorovia I. a j diováo pro < 75 přpíací přímka 75. Pro tto oblat j rovic tčy rova bo 5 z čhož vyplývá ž izoklíy jo přímky rovoběžé oo. Polorovia II. j diováo a itrval Pro tto oblat pak rovic tčy j rova 5 5. Z této rovoti vyplývá ž v této oblati Polorovia II jo trajktori přímky jjichž měric j 5. Polorovia III. - pro > 5 přpíací přímka 5. Pro tto oblat j rovic tčy rova 5 5 bo 5 5 Možia izoklí 7 j a obr... Pro ázorot j provd výpočt měrového pol a izoklíách 7 a j vd v tab... Výpočt měric dalších izoklí i každý můž jdodš ověřit. Přpíací přímky Obr.. Možia izoklí i a tč ázových trajktorií Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

11 Nliárí ytémy tg Ω Tab.. α a b c α α Obr..4 Kotrkc ázových trajktorií z izokli b b c Fázová trajktori vytvoří dl obr..4. Na tomto obrázk jo tři izoklíy. Každá izoklía dij rčité měrové pol viz obr..4. Trajktorii aproimjm malými přímkovými úky mzi jdotlivými izoklíami. Potpj z počátčího tav ktrý jak přdpokládám lží a izoklíě. měric přímkového úk trajktori z izoklíy vytvoří tak ž do tohoto bod zakrlím měrici izoklíy a přímky a b. měric přímky ktrá aproimj trajktorii pak půlí tto úhl ktré měric a b vzájmě vytvoří. Přímková čát trajktori jjíž měric j diovaá tímto úhlm kočí a izoklíě v bodě. Z bod a izoklí dotam obdobým způobm. Do bod zakrlím měric izoklíy a přímky b c. Aproimovaá trajktori přímko v bodě půlí úhl ktrý vytvořily měric b c. Trajktori kočí a izoklíě v bodě. Tto potp opakj pokd trojím clo trajktorii. Koc příklad. LINEARIZACE A TABILITA V MALÉM Uvažjm atoomí liárí čaově ivariatí ytém & t & & & Nliárí ytém diovaý rovicí. má dva typy tálých tavů: a rovovážý tav ktrý j diovaý v ázovém protor izolovaými iglárími body klidové tavy b možio iglárích bodů vytvářjící zavřé trajktori mzí cykly. V rovovážém tav jo čaové změy všch tavových vliči rovy l a proto i iglárí body v ázovém protor mí plňovat podmík i i i... i Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

12 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc i & p i i i i i.... i i i i kd j p počt řší. Podmíka. můž mít liárích ytémů víc řší což zamá ž ji vyhovjí v ázovém protor iglárí body p. ak izolovaé iglárí body rovovážé tavy tak i mzí cykly moho být tabilí bo tabilí podl toho zda zatpjící bod v tavovém protor pro t k tomto bod blíží bo od ěho bd vzdalovat. tabilit v malém okolí iglárích bodů můžm vyštřovat liarizací liárího ytém v iglárích bodch. Pro každý iglárí bod pak zíkám áhradí liárí ytém a áldě pak kotroljm jho tabilit. Liarizaci provdm rozvojm v Taylorov řad v okolí iglárích bodů kd i pro p i.. z ktré vybrm poz jjí liárí čáti. Protož pro iglárí body platí má pak Taylorův rozvoj tvar dt d dt d dt d. otav. j možo zapat maticově A &. 4 kd X j acobiho matic.

13 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc Náhradí liárí ytém v daém iglárím bodě má matici ytém A a jho tabilit pak vyštřjm mtodami požívaých v liárích ytémch. Z aalýzy otav v tavovém protor j zámo ž charaktritická rovic j rova [ ] [ ] dt dt a a a I A I. 5 kd j řád otavy. Uvažjm liárí ytém ktrý j popá rovicmi & & Nalzět: iglárí body Náhradí liárí ytémy v těchto bodch Rozhodět o tabilitě v okolí iglárích bodů Řší: iglárí body vyhovjí rovoti b a Podmík. 4 plňjí dva iglárí body iglárí body jo zobrazy v ázové roviě a obr... Náhradí liárí ytémy V olad. 4 má acobiho rovic tvar Obr... iglárí body X a Pro iglárí bod dotam Příklad..

14 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc [ ] dt dt E X Charaktritická rovic má kořy iglárí bod j tabilí a jho áhradí liárí ytém má rovici. A & b Pro iglárí bod dotam [ ] dt dt E iglárí bod j tabilí a jho áhradí liárí ytém j. & & & A. TRAEKTORIE VE FÁZOVÉ ROVINĚ V ázové roviě j obcě možo zapat liarizovaý ytém v tvar d c & & d c d c A A & & & kd c d. Charaktriticko rovici rčím podl. 5 Koc příklad

15 Nliárí ytémy dt[ E A ] dt d c c d. Im Ohiko a vlatí číla kořy charaktritické rovic jo rovy Ohiko t. t. třd d ± d 4c d ± d / c. zl tab. dlo R Fázová trajktori kolm iglárího bod závií a kořch charaktritické rovic liarizovaého ytém tdy a koicitch c a d. Za přdpoklad ž kořy charaktritické rovic a jo rálé růzé můžm odzv zl t. t a t vyjádřit v tvar Obr... Póly v -roviě t y t C p t C p t. t y' t C p t C p t. kd C C jo kotaty ktré jo obcě závilé a počátčích podmíkách. Rovic ázové trajktori pak má tvar d d C p t C p t.. 4 C p t C p t Paramtry liárího liarizovaého ytém a jim odpovídající kořy včtě typ iglárího bod jo vdy v tab.. poloha pólů v -roviě j a obr... d 4c c d Kořy Typ iglárího bod < < d ± d / c < Uzl tabilí / < < > d ± d / c > / > > > <> d ± d / c > / < Uzl tabilí dlo < < ± iω ± i c třd < < < Ohiko tabilí α ± iω α d / < ω d / c < < > α ± iω α d / > ω d / c Ohiko tabilí Tab.. Kořy a typy iglárích bodů liárího liarizovaého ytém. řád Průběhy ázových trajktorií bdo odvozy v áldjícím. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

16 Nliárí ytémy tabilí zl < < > Přdpokládjm ž počátčí podmíky v vztah. 4 volí právě tak ž platí d C d pak ázová trajktori j rova přímc d C d pak ázová trajktori j rova přímc. Pro takto zvolé kotaty jo ázové trajktori přímky záporými měricmi. Fázový portrét tabilího zl j a obr... Pro t čly větší aboltí hodoto jdo rychlji k l a platí d lim t d C lim t C p t p t C p t C p t.. 5 Můžm čiit závěr ž všchy trajktori ktré jo v dotatčé vzdáloti od iglárího bod a od přímky jo rovoběžé trajktorií a pro t tagciálě přimykají blíží k ázové trajktorii účik domiatí - větší čaové kotaty viz obr... Všchy trajktori aymptoticky blíží k počátk ořadic iglárím bod. Obr... tabilí zl < Obr... tabilí zl tabilí zl < Za této podmíky áobý koř jo tavové proměé rovy t y t C p t Ct p t t y' t C p t C p t Ct p t Rovic ázové trajktori pak má tvar Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

17 Nliárí ytémy d d C p t C p t Ct p t.. 6 C p t C p t C t p t Pro takové počátčí podmíky ž C j rovic trajktori rova d a vlatí d trajktori pro takto diovaé počátčí podmíky j přímka měricí viz obr... Pro t a libovolo počátčí podmík j rovic ázové trajktori rova d lim t d což zamá ž pro t každá trajktori tagciálě blíží k přímc a v dotatčé vzdáloti od počátk iglárího bod j toto přímko rovoběžá viz obr... Ntabilí zl > > > Fázový portrét tabilího zl j a obr...4. Obahj dvě přímky a ktré mají kladé měric. Pro t jo trajktori rovoběžé přímko. Obr...4 Ntabilí zl Obr...5 dlo dlo < > Pro tabilí liárí ytém ktrý má jd koř tabilí a jd tabilí j rovic ázové trajktori dáa výrazm. 4 a. 5. Fázový portrét pro růzé počátčí podmíky j a obr...5. Obahj dvě přímkové trajktori a. Pro limití případ t doazím do.-4 dotam d lim t d. 7 Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

18 Nliárí ytémy Zamá to ž trajktori jdřív pohybjí rovoběžě přímko záporá měric a později pro t jo rovoběžé přímko. třd ± iω ± i c Dirciálí rovic trajktori pro ryz imagiárí kořy má tvar d d c d cd.. 8 jí itgrací dotam rovici trajktori v tvar K c. 9 kd K j itgračí kotata ktrá j diováa počátčími podmíkami. Fázový portrét trajktori třd j otava lip viz obr...6. Obr...6 třd v ázové roviě Obr...7 tabilí ohiko c tabilí ohiko ± iω α d / < ω d / α Pro kořy komplě držé j možo tavové proměé vyjádřit v tvar t y t C p t C p t C p α t co ωt ϕ. kd C a b C a ib ϕ arctg b / a Podobě platí pro t y' t C p α t co ωt ϕ ]. kd C j kotata a ϕ j ázové zpožděí. Fázový portrét tabilího ohika j a obr...7. Výldá trajktori j pirála jjíž polárí ořadic ρ priodo π/ω zmšj. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

19 Nliárí ytémy Ntabilí ohiko ω α ω c α ± i d / > d / Fázová trajktori tabilího ohika j a obr...8. to rozvíjjící pirála v kladém myl otáčí. Na áldjícím příkladě bd kázáa aplikac ázových portrétů při aalýz liárího ytém. Obr...8 Ntabilí ohiko. Příklad.. Uvažjm liárí atoomí ytém ktrý j popá dirciálí rovicí y '' y' 4y y. Úkol: Nalzět iglárí body a rozhodět o tabilitě v okolí iglárích bodů a pokt rozhodot o globálí tabilitě. Řší: Fázové rovic jo y & a iglárí body rčím z rovic y' & Byly alzy tři iglárí body o ořadicích viz obr...9a ± 5 5 Liarizac v okolí iglárích bodů 5 acobiho matic j rova 5 5 X. a Pro iglárí bod j charaktritická rovic liarizovaého ytém rova Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

20 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc [ ] dt dt E X a póly jo rovy iglárí bod j tabilí a podl kořů charaktritické rovic j jho ázovým portrétm dlo. tjým způobm provdm aalýz v dalších iglárích bodch. b 5 [ ] dt dt E a póly jo rovy iglárí bod 5 j tabilí a jho trajktorii tvoří tabilí zl. c 5 [ ] dt dt E Póly jo rovy iglárí bod 5 j tabilí a jho trajktorii tvoří tabilí zl. Fázové trajktori. Aby bylo možo rozhodot o globálí tabilitě j třba zakrli ázové trajktori v clé ázové roviě viz obr...9b. Z obrázk j zřjmé liárí ytém obahj dva tabilí iglárí body 5 5 k ktrým aymptoticky blíží všchy trajktori pro libovolé počátčí podmíky. Nliárí ytém j tdy aymptoticky tabilí.

21 Nliárí ytémy Obr...9b iglárí body a jjich trajktori Příklad.. Uvažjm liárí dyamický ytém jhož tavové rovic jo & & Úkol: Nalzět iglárí body a rozhodět o jjich tabilitě. iglárí body iglárí body mí plňovat rovic. Těmto podmíkám vyhovj iolovaý iglárí bod a možia iglárích bodů plňjící rovici což j rovic lipy viz obr...9. Trajktori lipy j trajktori mzího cykl. Ntabilí oblat tabilita iglárích bodů Provdm liarizaci v iglárích bodch. acobiho matic j rova X tabilí oblat Ntabilí oblat Obr...9 iglárí body Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

22 Nliárí ytémy Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc a po provdých drivacích obdržím [ ] [ ] [ ] [ ]. 6 6 a Pro iolovaý iglárí bod j acobiho matic rova [ ] dt dt E Póly jo rovy -i 4 --i. Izolovaý iglárí bod j tabilí ohiko. b Pro moži iglárích bodů ktrá j diováa rovotí platí 6 6. Dtrmiat j rov [ ] [ ] [ ] [ ] dt dt E Doadím-li za dotam [ ] [ ] dt E a vlatí číla liarizovaého ytém pro moži iglárích bodů plňjící podmík jo. Protož pro > jo vlatí číla kladá tvoří možia bodů tabilí mzí cykl v tvar lipy polooami / viz obr...9. Nliárí ytém j tabilí v oblati > tabilí v oblati..4 RELÉOVÉ OBVODY A ČAOVĚ OPTIMÁLÍ ŘÍZENÍ Rléové obvody jo rglačí obvody bo rvomchaimy ktré mají jako rglačí orgá zabdová liárí prvk typ rlé. Přdotí rglačích prvků typ rlé jo jdodchot malá hmotot i rozměrot a polhlivot. Bývají zpravidla výrazě lvější ž pojité rglátory a jo vlmi čato požíváy při řší jdodchých rglačích Koc příklad

23 Nliárí ytémy problémů. Rglačí pochody jo al příliš přízivé objvjí kloy k tabilitě a k vzik mzích cyklů - atoocilací..4. Aalýza rléových obvodů v ázové roviě V této čáti základího krz zámím aalýzo rléových obvodů v ázové roviě. Potp bd kázá a jdotlivých příkladch. wt t t K yt Idálí dvopolohové rlé Příklad.4. Obr..4. Rglačí obvod dvopolohovým rlé Uvažjm liárí rglačí obvod dl obr..4.. Liárí čát j popáa dirciálí rovicí y '' K tavový popi v ázové roviě y & y' & K d dt K d K d d dt Itgrací lvé a pravé tray dotam K..4- [ ] t K [ t ] Výldkm j rovic.4 ktrá přdtavj ázové trajktori jako moži parabol viz obr..4.a přičmž počátčími podmíkami j diováa kokrétí trajktori. Zamékm akčí vličiy j diová měr trajktori pro kladé zvětšj a aopak. Pro w j akčí vličia v ázové roviě diováa áldjícím Přpíací způobm přímka pro < tdy pro pro > tdy pro > <. Záko řízí v ázové roviě můžm pro liárí čl pát v tvar Obr..4.a Fázové trajktori pro - ig..4 Obr..4.b Fázové trajktori rglačího obvod idálím dvopolohovým rlé Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

24 Nliárí ytémy Z ázových trajktorií a obr..4.b j vidět ž v rglačím obvodě idálím dvopolohovým rlé má-li rglovaá otava tlmí dochází k vzik vycého tabilího cykl. w t r t K yt Obr..4.a Obvod rychlotí zpěto vazbo t w t t K yt r Cykl obahj i výchozípočátčí tav. Pochopitlě taková rglac j akcptovatlá a hldají způoby jak tto jv odtrait. Eitj ěkolik možotí. d z možých způobů odtraěí mzího cykl j zavdí rychlotí zpěté vazby tachomtrická zpětá vazba dl obr..4.a bo zavdím drivac rglačí odchylky do liárího čl a obr..4.b. Akčí vliči rychlotí zpěto vazbo můžm diovat áldjícím způobm: pro w v záviloti a rglačí odchylc bo ázových proměých dotam pro r& < tdy pro r pro r & > tdy pro r > <. Záko řízí liárího čl pak j možo vyjádřit rovotí Obr..4.b Obvod drivací rglačí odchylky r ig r ig &.4 K přpíáí dochází a přímc r r zřjmé má-li přpíací přímka záporo měrici dochází k tabilizaci obvod viz. obr..4.4 protož přptí poová vlvo od přímky tdy přptí proběh přdtihm. Kladá měric přpíací přímky tto obvod dtabilizj. K koci rglačího pochod atává ytémů přpíací přímko tzv. klozavý ržim při ktrém trajktori blíží k počátk podél přpíací přímky. Při tomto pohyb rlé tál přpíá vyoko rkvcí viz. obr Přpíací přímka Obr..4.4 Fázové trajktori obvod rychlotí zpěto vazbo a zavdím d/dt Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

25 Nliárí ytémy K klozavém ržim dochází a přpíací přímc od bod T do počátk ořadic viz obr Bod T j tčým bodm přpíací přímky a ázové trajktori. Ntálé přpíáí j způobo tím ž obě trajktori pro záporo a klado akčí vliči zov protíají přpíací přímk a též traě rovovážého bod. tabilizačí účik tachomtrické vazby a zavdí drivac rglačí odchylky do liárího čl j tjý. Tčý bod T přpíáí Přpíací přímka Koc příklad Obr..4.5 Klozavý ržim ako další příklad vdm aalýz v ázové roviě rglačího obvod dvopolohovým rlé hytrzí. Příklad.4. Dvopolohové rlé hytrzí w Uvažjm rglačí obvod z Př..4. al tím ž liárí prvk j dvopolohové rlé hytrzí viz. obr Dvopolohové rlé hytrzí rpktj růt bo kláí rglačí odchylky. proto té při popi akčí vličiy v ázové roviě važovat dvě základí možoti: růt rglačí odchylky & > kláí rglačí odchylky & <. Pro & > platí d dy & > w y < dt dt H H H a pro < < > H H H b pro > > <. Z vztahů a b ply ž ázová polorovia j pro & > rozděla vzhldm k akčí vličiě přpíací polopřímko H / a dvě čáti viz obr H H / - Obr..4.6 Dvopolohové rlé hytrézí p H / -H/ - H/ p H / Obr..4.7 Přpíací přímky dvopolohového rlé hytrzí Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

26 Nliárí ytémy Pro & < platí d dy H & < w y < > a pro < dt dt H H H b pro > > <. H < H > Fázová polorovia pro & < j podl těchto vztahů j vzhldm k akčí vličiě rozděla přpíací polopřímko p H / a dvě čáti viz obr Z vztahů vypočtých v a můžm záko řízí liárího čl vyjádřit kcí ig[ ig H / ] Trajktori rglačího pochod pro počátčí podmíky jo a obr zřjmé ž rglačí pochod dvopolohovým rlé hytrzí j tabilí pro otav. řád bz tlmí. Hytrz má zřjmý dtabilizjící účik. třba provét tabilizaci zavdím drivac rglačí odchylky bo rychlotí zpěté vazby. Přpíací přímky p p pak mí plňovat rovic viz. obr..4.9 H H p : > r p : < r.4 5 Záko řízí liárího čl j pak možo zapat do tvar p p - Klozavý ržim H H Cykl - p Obr..4.8 Ntabilí trajktori rglačího pochod Obr..4.9 Trajktori rglačího pochod dvopolohovým rlé hytrzí a rychlotí tabilizací p H ig ig r..4 6 Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

27 Nliárí ytémy Trajktori rglačích pochodů dvopolohovým rlé hytrzí a rychlotí tabilizací jo zobrazy včtě přpíacích polopřímk jo a obr Z obr..4.9 lz vidět tabilizačí účik rychlotí zpěté vazby. Obvod j tabilizová al vzikají ocilac - cykly ktré jo způoby přpíáím. Čát trajktori cykl tvoří trajktori ktro j ozačováa jako klozavý ržim tdy přpíáí akčí vličiy vliko rkvcí. Koc příklad.4. Čaově optimálí rléové obvody Úlohy v ichž požadj miimalizac doby přchod řízého objkt z počátčího tav do kocového tav azývají t-optimálí úlohy. Prví řší úlohy tohoto typ přdložil.brolli v roc 696. Řší bylo avržo pomocí variačího počt. Řší úlohy t-optimálího řízí liárích tacioárích ytémů a tdy i rléových obvodů j možo provádět variačím počtm mtodo dyamického programováí bo Potrjagiovým pricipm miima maima viz. [567]. Aplikac těchto mtod však přahj rámc základího krz a výklad otřdím a dmotraci čaově t-optimálího řízí a zvolém příkladě. Příklad.4. Uvažjm liárí rglačí obvod z Př..4. jhož ázové trajktori jo a obr..4.a. Zjdodšě lz říci aby bylo doažo čaově optimálího řízí tj. aby bylo doažo miimálí doby přchod j třba miimalizovat počt přptí. Miimálí počt přptí v ázové roviě j rovo jdom přptí. do přptí zajitím thdy jtliž bd přpíaí ralizováo a přpíacích křivkách ktrými jo trajktori kočící v počátk ořadic. Tto podmík plňjí rovic křivk a pro < bo b pro > p bo. Pro akčí vliči platí podmíkové rovic a b opt opt pro pro < > Záko řízí pak můž mít tvar. opt ig[ ig ].4 5a bo v jdodšším tvar opt ig..4 5b Optimálí přpíací křivka Obr..4.a Fázové trajktori pro t-optimálí čaové řízí Koc příklad Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

28 Nliárí ytémy.5 OFTWAROVÁ PODPORA V MATLABU otřdím a otwarovo podpor MATLAB v vazbě a liárí bloky ktré jo k dipoici v m IMULINK. Aplikac bdo kázáy a jdodchých příkladch. Zakrlt čaový výtp průběh z rlé aycí třípolohového rlé Příklad.5. hytrz a tří j-li vtpí igál kc it. Fkčí bloky a paramtry liarit jo a obr..5.. Čaové průběhy vtpů a výtpů jo a obr..5.abcd. Obr..5. Bloky liarit ot ot Obr..5.a Výtp z rlé Obr..5.c Výtp z třípolohového rlé Obr..5.b Výtp z liarity aycí Obr..5.b Výtp z blok rlé ot Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

29 Nliárí ytémy Obr..5. Výtp z blok tří Příklad.5. Nakrlt imlačí chéma rglačího obvod třípolohovým rlé a průběh trajktori v ázové roviě včtě čaového průběh rglačích pochodů otavy přom F/ a kok žádaé hodoty. Řší: imlačí chéma j a obr..5. trajktori v ázové roviě a obr..5.a. Obr..5. imlačí chéma idálím rlé Průběh rglačích pochodů v ča včtě drivac výtpího igál a akčí vličiy j a obr..5.b. y y Obr..5.a Fázové trajktori Obr..5.b Rglačí pochody v ča Koc příklad Z průběh ázové trajktori j vidět ž obvod j tabilí. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

30 Nliárí ytémy Příklad.5. Nakrlt imlačí chéma rglačího obvod třípolohovým rlé a průběh trajktori v ázové roviě včtě čaového průběh rglačích pochodů otavy přom F/5. Uvažjm kok žádaé hodoty a pámo citlivoti j v itrval <- >. Řší: imlačí chéma j a obr..5. trajktori v ázové roviě a obr..5.a. t Obr..5. imlačí chéma rglačího obvod třípolohovým rlé Průběh ázové trajktori a rglačích pochodů v ča včtě drivac výtpího igál a akčí vličiy j a obr..5.ab. Z obrázků j zřjmá tabilizac obvod. Zajímavý j také průběh akčí vličiy t. Výldky jo v olad aším očkáváím. y y Obr..5.a Fázové trajktori Obr..5.b Rglačí pochody v ča Koc příklad V této kapitol byly tdti zámi lmtárími možotmi a bloky IMULINK pro imlaci liárích ytémů liárími prvky třba pozorit ž tyto bloky možňjí diovat i vícrozměrové výtpy. ložitější aplikac jitě vyžadjí hlbší tdim maálů viz // a dalších toolboů. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

31 Nliárí ytémy. TABILITA NELINEÁRNÍCH YTÉMŮ tabilita liárích ytémů záadím způobm liší od tability liárích ytémů. tabilita liárích ytémů j diováa jako chopot ytém vrátit do rovovážého tav jtliž přta půobit příčia ktrá vychýlí z rovovážého tav způobila. vlatotí poz ytém a závií a počátčích podmíkách. Rovovážý tav j poz jd a to v počátk ořadic. Z přdcházjících kapitol j již zámo ž liárí ytém můž mít ěkolik rovovážých tavů a i mzí cykly. zřjmé ž diic tability liárích ytémů vyhovj požadavkům liárích ytémů a j proto to ji ově zormlovat. Základí prác a přítpy k tabilitě liárích ytémů zormloval rký matmatik A. M. Ljapov.. ZÁKLADNÍ DEFINICE TABILITY VOLNÉHO YTÉMU Z vlikého počt diic tability v tavovém protor bdo vdy poz jdůlžitější. Uvažjm atoomí čaově ivariatí ytém v tvar & t pro t píšm t. kd j počátčí vktor. Do počátk ořadic j možo traormovat vyštřovaé rovovážé tavy. Diic. tabilita v myl Ljapovova-tabilita v malém: Rovovážý tav atoomího ytém. j tabilí v myl Ljapova jtliž pro každé rálé čílo ε. > itj rálé čílo δ δ ε > ž při δ ε j plěa podmíka t ε pro t >. Eklidova orma j diováa délko vktor tav t vzdálotí od počátk ε δ t Obr.. Oblat tability t i t.. i Tato diic říká ž rovovážý tav j tabilí jtliž po malém vychýlí z tohoto tav zůta trajktori ytém v ε-okolí rovovážého tav viz obr... iými lovy jtliž zvolím ε-okolí pro ktré itj δ-okolí z ktrého vybr počátčí tav a trajktori ytém zůta pro t > v ε-okolí pak ytém j Ljapovky tabilí. Tato diic požadj aby pro t bylo doažo rovovážého tav al poz aby trvávala dotatčě blízko. Protož oblat počátčích podmík δ-okolí mí být malá ozačjm tto tabilit jako lokálí bo tabilit v malém. Diic. Aymptotická tabilita: Rovovážý tav atoomího ytém. j aymptoticky tabilí j-li tabilí v myl diic a jtliž všchy trajktori ktré jo dotatčě blízké rovovážém tav kovrgjí do bod pro t. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

32 Nliárí ytémy Myšlk tability v Ljapovově myl vyvětlím a jdodchém příkladě. Přdpokládám ž liárí ytém j popá rovicí. a ž počátčí vychýlí z rovovážého tav j. Vyjádřím-li v libovolém okamžik t vzdálot bod trajktori t od počátk ořadic tavového protor pak tato j rova výraz r t t t t t pro t >.. ktčot ž vzdálot rt rotocím čam zvětšj bo zmšj pokytj iormac o tom zda trajktori vzdalj bo přibližj k rovovážém tav. Aby trajktori přibližovala k rovovážém tav j třba aby drivac kc rt byla klající bo alpoň rotocí. Mí tdy býti plěa podmíka d dt r t pro t >.. 4 Doazím. do. 4 dotam d dt r t t d / dt t d t / dt t d / dt Doazím za d / dt do. 4 dotam i i d dt r t t.. 5 Nrovot. 5 j v ašm případě pciálí podmíko tability a jjí zvláštot počívá v požadavk aby vzdálot od počátk zmšovala bo alpoň zvětšovala. jí aplikaci kážm a áldjícím příkladě. Příklad. Rozhodět o tabilitě dyamického ytém jhož tavové rovic jo: Řší: & & a a b c 5 5. d dt 5 5 [ a b a c ] r t 6 [ b c ] < pro libovolý vktor. 6 Protož kc rt j klající kc r& t < orma > čitatl j v dých mociách pak pro t j lim a j možo čiit závěr ž liárí ytém j t Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

33 Nliárí ytémy aymptoticky tabilí. Dál j z tohoto příklad vidět ž orma v jmovatli pokytj iormaci o tabilitě protož j vždy kladá. > Koc příklad Na vdém pciálím příkladě byla kc rt diováa jako Eklidovká orma tavového vktor. Takto zvolo kcí můž býti ověřováa tabilita v počátk j těch liárích ytémů jjichž tavová trajktori blíží k rovovážém bod mootóě pro t >. zámo viz kap.. ž tabilí zl bo ohiko jo aymptoticky tabilí al jjich zatpjící bod ázové trajktori blíží k rovovážém tav mootóě al po liptické pirál potpě přibližj a vzdalj. tdy zřjmé ž azačý potp pricipiálě plňj aš požadavky al j třba volit ějako jio vhodější kci V ž j Eklidova orma r - vzdálot od počátk. pojito kc V V... j třba volit bo hldat takovo aby jjí drivac podl ča pro tabilí rovovážý bod byly kc mootóě klající pro všchy počátčí vktory. Takovo kci pak azývám Ljapovov kci a tato mtoda j azýváa přímo Ljapovova mtoda.. PŘÍMÁ LAPUNOVOVA METODA Přímá Ljapovova mtoda možňj rozhodot o tabilitě ytém v malém i v vlikém v případě ž bd alza vhodá Ljapovova kc V V... ktrá plňj přdpaé podmíky. Podl vlatotí této kc a jjí drivac podl ča pak pozjm tabilit rovovážého tav kolm počátk. Drivac podl ča j rova d dv V d V d V d V.. dt dt dt dt dt Doadím-li do této rovoti za d i /dt z. pak dotam dv dt V V V.. Formlac Ljapovových vět o tabilitě v jjdodšším tvar jo vda v áldjících torémch. Torém. tabilita v malém: Uvažjm dyamický ytém &. tliž lz ajít kalárí kci V takovo ž pro každé rálé čílo ε > a pro všcha z oblati < ε plňj podmíky a V > b V c Má pojité parciálí drivac dv d dt pak ytém j tabilí kolm počátk. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

34 Nliárí ytémy Torém. Aymptotická tabilita: o-li plěy podmíky Torém a podmíka dv d ahradí podmíko < dv/dt j gativě diití kalárí kc pak dt ytém j aymptoticky tabilí v počátk. Torém. Aymptotická tabilita v diovaé oblati. o-li plěy podmíky Torém v ějaké zavřé oblati Ω pak j ytém aymptoticky tabilí v oblati Ω. Torém 4: Aymptotická tabilita v vlkém - globálí: o-li plěy podmíky Torém a platí-li jště podmíka V jtliž pak j ytém aymptoticky tabilí v počátk v vlkém. Příklad. Uvažjm liárí ytém ktrý j popá rovicmi & &. Úkol: rčt oblat v ktré j liárí ytém tabilí v počátk. Řší: Zvolím za Ljapovov kci kalárí kci v tvar V a a a a > možo přvědčit ž tato kc plňj podmíky a b c Torém. Koicity a a jo zatím rčy. dv dt Drivací podl ča dotam [ ] a [ ] a & a& a [ a a a a ] Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

35 Nliárí ytémy tliž zvolím koicit a a pak čly očim v hraaté závorc vykrátí. Drivac Ljapovovy podl ča j rova dv [ a a ] NETABILNÍ dt a V oblati ktrá j diováa rovotí > což j lipa polooo a ořadici a polooo / a ořadici j ytém vzhldm k počátk ořadic Obr.. Oblat tability aymptoticky tabilí gativě diití kc viz obr.. b V oblati ktrá j diováa rovotí < j aopak ytém tabilí. c Mzí tabilí cykl j diová rovotí Koc příklad / TABILNÍ MEZNÍ CYKL. POPOVOVO KRITERIUM TABILITY V roc 959 bylo pblikováo V. M. Popovm ové kritérim tability liárích ytémů. Nliárí ytém byl rozděl a liárí a liárí čát viz obr... Popovovo w t t Φ t F yt Obr.. trktra liárího obvod kritrim j výhodé pro prai protož vyžívá jdodš modiikovaých rkvčích charaktritik liárí čáti obvod. Kritérim bylo rozpracováo dalšími atory pro obvody pojitými i pojitými čaově proměými liaritami a i pro obvody větším počtm liarit. V ašm výklad omzím a liárí atoomí obvody jdo čaově ivariatí liarito ktrá j diováa jjí taticko charaktritiko a liárí čátí ktrá j aproimováa obrazovým přom F. a Vlatoti liarity Φ tatická charaktritika liarity Φ plňj tyto podmíky: Φ pro. Φ K. Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

36 Nliárí ytémy kd K a K j měric přímky pod ktro lží tatická charaktritika liarity. Podmíkami. j diováa clá třída liarit ktré lží v prvím a třtím kvadrát tatické charaktritiky viz obr..4 a jo ohraičy oami a přímko procházjící počátkm měricí K. Φ Obr..4 Přípté gmty K b Popovovo kritrim tability třba zdůrazit ž pomocí Popovova kritéria j vyštřováa tabilita liárího atoomího ytém pro obco liarit tříd liarit ktré jo diováy podmíkami.. Toto j vlká výhoda protož v provozch tchická zařízí pomal táro a í čato možo liárí charaktritiky přě rčit. Přímka K ktrá pol oo tvoří gmt v ktrém mí lžt třída liarit rčj maimálí přípté zílí akčí vličiy pro daé. Má-li přo F póly a imagiárí o j to podmík. pravit do tvar Φ < K Torém 5. Popovovo kritrim tability: Nliárí ytém dl obr. jhož liárí čát F má všchy póly v lvé čáti Gaovy roviy a liarita vyhovj podmíc. j aymptoticky tabilí v vlkém itj-li rálé čílo q při ěmž j pro všchy ω plěa rovot R [ iω q F iω ] >.. K Podmíka. j podmíko potačjící ikoliv to. Aalytické řší rovoti j téměř možé a mrické řší j také vlmi obtížé. možo však kázat graicko itrprtaci tohoto kritria ktré pak zíkává podob rkvčích kritrií. c Graická ormlac Popovova kritria v komplí roviě Rozpíšm-li rovot. dotam R [ iω q F iω ] R{ iω q [ R{ F iω } Im{ F iω }] } R[ R{ F iω } iω q R{ F iω } i Im{ F iω } ω q Im{ F iω }] R{ F iω } ω q Im{ F iω } X qy kd X X ω R{ F iω } a. 4 { F iω } Y Y ω ω Im.. 5 Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

37 Nliárí ytémy Nrovot. pak j v tvar X qy >.. 6 K Rovic X qy Y X. 7 K q qk j rovicí přímky tzv. Popovovy přímky v ořadicích X Y ktrá prochází bodm /K a rálé o a má klo /q. Nrovot. 6 říká ž pro každé ω mí Xω Yω lžt vpravo od této přímky. Vlatí rozhodováí o tabilitě počívá v akrlí tzv. modiikovaé rkvčí charaktritiky F iω X ω iy ω.. 8 Rálá čát modiikovaé rkvčí charaktritiky Xω j tjá jako Fiω a imagiárí čát Yω j rova imagiárí čáti rkvčí charaktritiky Fiω tím ž j áoba rkvcí ω viz obr..5. K F ω Y X Obvod j tabilí můžm-li vét bodm takovo přímk aby modiikovaá rkvčí charakt- K ritika F iω lžla pro všchy hodoty ω vpravo. Tím j plěa rovot. 6. Obr..5 Popovova přímka a F * ω Příklad. Uvažjm liárí obvod dl obr.. liarito dl obr..4. Liárí čát má obrazový přo F v tvar F. Určt pro jaké K j tto liárí obvod tabilí jtliž obcá liárí kc Φ lží v I. a v III. kvadrát. Řší: Rálá a imagiárí čát rkvčí charaktritiky j rova X ω R{ F iω } Im{ iω } ω ω ω ω ω F. ω [ ω ω ω ] Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

38 Nliárí ytémy Fkc Yω j rova ω Y ω ω Im{ F iω }. [ ω ω ω ] Pro zvolé hodoty ω jo vypočítaé hodoty kcí Xω Im{Fiω} a Yω vdy v tab... Výpočt byl provd pomocí program zpr6.m jhož výpi j očátí výklad. Modiikovaá rkvčí charaktritika liárí čáti j a obr..5. w X Im{F} Y Tab Obr..5 Modiikovaá rkvčí charaktritika zpr6.m clar all clo all %Ft[][8 6 ] Ft[][ ] wp[ ] [REPIMP]yqitFwP or k:lgthimp YPkwPk*IMP::k XPkREP::k d w.:.: [REIM]yqitFw or k:lgthim Ykwk*IM::k XkRE::k d plotxyxpyp'd' Z obr..5 vyplývá ž j možo bodm -4 a rálé o véti přímk tak ž modiikovaá rkvčí charaktritika lží pro všcha ω vpravo od této přímky. měric přímky plňj rovici 4 K / 4. K Koc příklad Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc

39 Nliárí ytémy LITERATURA [] Balda M.-Haš B. a kolktiv : Základy tchické kybrtiky. NTL/ALFA Praha 986 [] Haš B. Balátě. Švarc I. Zikš F.: Tori atomatického řízí I. I.čát. kripta Librc 98 [] Kotk Z. Kbík. Razim M.: Nliárí dyamické ytémy. NTL/ALFA Praha 97 [4] Kbík. Kotk Z. trjc V. Štcha.: Tori atomatického řízí I. Nliárí a liárí ytémy. NTL Praha 98 [5] Razím M. Štcha.: Nliárí ytémy. kriptačvut Praha 997 [6] IidoriA.: Noliar Cotrol ytm..vyd. prigr Vrlag Brli 995 [7] Ho M. A. borg D. E.: Noliar Proc Cotrol. Prtic-Hall Ic 997 [8] Modrlák O.: Thory o Cotrol I. Cotio ytm. kripta Librc 994. [9] GllyN.agR..: Fzzy Logic Toolbo. For U with MATLAB.Th Math Work Ic.995 [] GracA. Lab.A. Littl.N. ThompoC.M..: Cotrol ytm Toolbo. For U with MATLAB. Ur' Gid. Th Math Work Ic.995 [] Vyoký P.: Fzzy řízí. kripta ČVUT Praha 997 [] Paio K. M. Yrkovich.: Fzzy Cotrol. Addio Wly Logma Ic. Mlo Park Calioria 998 [] Kbík. Kotk Z. Hršák. Wachtj. Chalpa V.: Optimálí ytémy atomatického řízí. NTL Praha 97 Doc. Ig. Ovald Modrlák Cc