1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1

Transkript

1 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Opakování SŠ matmatiky Pomocí intrvalů zapišt nrovnosti: a), b) + >, c), d) > a),, b), 5), + ), c),, d), + ) Zjdnodušt výraz: a) 5 a a a ), b) a 5 6 b b 5 ) a b a a) a, a >, b) a, a >, b > Určt df obory funkcí: a) f)= +, b) f)=, c) f)=log + +, d) f)= ) a) Df) =,6, b) Df) =,),+ ), c) Df) =, ),+ ), d) Df) =,) {, } V R řšt iracionáí rovnici + + = a provďt zkoušku obor pravdivosti P = {} 5 Určt hodnoty paramtru p R, pro ktré má kvadratická rovnic + p ) + p + 6p = oba kořny kladné p, 6), 8/7) 6 V R řšt ponnciáí nrovnici 9 P =, 7 V R řšt logaritmickou rovnici log 5) log ) = log P = 8 Pomocí funkc sin vyjádřt sin sin = sin sin užijt vzorc: sinα + β), sin a cos ) { + sin π 9 V R řšt goniomtrickou rovnici sin = P = 6 + kπ, 5π } 6 + kπ; k Z V R řšt goniomtrickou rovnici sin + sin = P = { k + )π, } k + )π ; k Z DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Funkc, lmntární funkc Určt dfiniční obor označný D, vnt obor hodnot H, a základní vlastnosti sudá S, lichá L, ohraničná O, případně prostá P) funkcí: f : y =, D = R {, }, j S, nní O, příp dál nní P a H =, /, + ) g : y = + +, D = R { }, nní S, ani L, ani O, příp dál j P a H = R {} h: y = D = R, j L, j O, příp dál j P a H =, ) + K funkcím f) určt funkc invrzní f ), obory Df ) a Hf ) a načrtnět grafy funkcí f) a f ): f) =,, f : y = + +, Df ) =, + ), Hf ) =, + ) 5 f) =, f : y =, Df ) = R {}, Hf ) = R {} 6 f) =, f : y = )/, Df ) = R, Hf ) = R + 7 f) = +, 8 f) = + 5 arccotg ), 9 f) = sin π ) +, 6 f) = arccos f : y = +, Df ) =, + ), Hf ) = R f : y = + cotg, Df ) =, 5π + ), Hf ) = R 5 f : y = π 6 + arcsin, Df ) =,, Hf ) = π, π f : y = + cos, Df ) =, π, Hf ) =,

2 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Polynom, racionáí lomná funkc Pomocí vytýkání a Hornrova algoritmu určt rozklad násldujících polynomů na součin ráých kořnových činitlů, určt znaménka polynomů a načrtnět jjich přibližné grafy: P ) = 5 +, P ) = ) + ) + ), zn: ) + ) + P ) = 5 + 6, P ) = ) + ) = ) + + ) + ), zn: ) + P ) = , P ) = + ) + ), zn: ) ) + P ) = P ) = ) + ) + ) ), zn: + ) ) + ) ) Násldující nryz lomné racionáí funkc přvďt na součt polynomu a zbytk v tvaru ryz lomné racionáí funkc: 5 + +, , Určt znaménka násldujících lomných racionáích funkcí a načrtnět jjich přibližné grafy: , ) + + ) ) + ) , ) + ) ) ) ) + DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Limita, spojitost, drivac funkc Určt limity násldujících funkcí: lim + lim 5 6 ), polynomy zapišt v součinových tvarch a zkraťt + + 6, zlomk rozšiřt výrazy a + + lim, lim sin sin tg + ) + zlomk rozšiřt mocninou a obdržít limitu z podílu polynomů ), užijt vztahy sin = sin )/ = / sin )/ a tg = tg )/ 5 lim užijt vztahy = /, + = + a substituci α = 6 Pomocí jdnostranných limit dokažt, ž nistuj limita lim 9 jdnostranné limity jsou, + 7 Určt bod nspojitosti funkc f) = + +, načrtnět jjí graf a určt jjí skok + b n =, skok s = Určt drivac násldujících funkcí a upravt j na co njjdnodušší tvar: 8 a) y =, b) y = +, c) y = sin a) y = + ), b) y = 6 + ), c) y = sin + sin 9 a) y = sin tg, b) y = sinh, c) y = logtg ) a) y = cotg cos ), b) y = cosh, c) y = sin a) y = sin sin, b) y = π arcsin π a) y = sin cos sin ), b) y = π π

3 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) Výpočt a aplikac drivací, trémy funkcí Určt drivac násldujících složných funkcí a upravt j na co njjdnodušší tvar: y = tg cos sin, y = y = sin cos + cos, přd drivací upravt: y = cos + cos = cos ) + cos ) y = y = arctg, Log dr určt y, j-li: a) y = /, b) y = arcsin a) y = / ) arcsin, b) y = arcsin y = sin ) + tg 5 L Hospitalovým prav vypočtět: a) lim, b) lim π/ tg ), c) lim cotg )/ a), b), c) 6 Určt lok tr fcí: a) f) = + 6 +, b) f) = ) a) min =, b) min = 5, ma = 7 Určt intrv konvity a konkavity fc y = Gaussova křivka) konkáv na I = /, /), konv na R I 8 Určt asym bz směr a asym s směr fcí: a) y = /, b) y = + a) =, y =, b) =, y = + 9 Vyštřt průběh funkcí a načrtnět grafy: a) y = +, b) y = +, c) y =, d) y = mj a) f min / ma = ) =, b) f min = ) =, f ma = ) =, c) f min = ) =, d) f min = ) = Určt globáí trémy funkcí: a) y = +,, a) f min = ) = 5, f ma = ) = 5, b) f, b) y = sin + cos,, π min = π ) =, f ma { π 6, 5π 6 }) = DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) 5 Difrnciál, Taylor vzorc Nurčitý intgrál 5 Porovnjt difrnci y a difrnciál dy funkc y = + při přchodu od hodnoty = k hodnotě = y = 87, dy = 8 5 Pomocí difrnciálu určt přibližnou hodnotu výrazu V = sin 5 5 Opakovanými měřními byl zjištěn průměr kruhu d = 67±) cm Určt absolutní a rlativní chybu, ktrá vznikn při výpočtu plochy S takto zadaného kruhu S = 57, δs = 89 5 Napišt rozvoj polynomu P ) = do Taylorovy řady v okolí bodu =, tj zapišt polynom P ) pomocí mocnin dvojčlnu + P ) = + ) 5 + ) + + ) + + ) 55 Napišt Taylorův polynom stupně pro funkci y = ) ) v okolí bodu = = Napišt první tři člny Maclaurinova rozvoj funkc y = sinh sinh = +! + 5 5! Pomocí algbraických úprav a základních intgračních vzorců vypočtět násldující intgrály: 57 a) + ), b), a) ) , b) ) 58 a) 6, b) cos a) ) ) + 7 ) ) 7, b) sin + 59 sin 5 sin užijt součtový vzorc cosα + β) = sin α + β sin α β sin 8 sin sin užijt vzorc sin cos ) sin = sin + 8

4 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) 6 Intgrační mtody pr parts a substituční Užitím substituční mtody vypočtět intgrály: arccotg 6 +, sin 6 + sin, ) arctg,, + Užitím mtody pr parts vypočtět intgrály: ) cos, 67 cos, 68 ), 69 arcsin, 6 a cos b sin cos + 7 5) + + 7) sin + + arccotg + sin arctg arcsin ) + sin cos 8 C + ) ) ) arcsin + +C a a b sin b + a cos b) + b DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) 7 Určitý intgrál Intgrac rac lomné funkc Užitím substituční mtody vypočtět určité intgrály: / 7, 7 + Užitím mtody pr parts vypočtět intgrály: π/ sin,, log Vypočtět intgrály racionáí lomné funkc: , 78 +, 79 +, ) + ) / +, 7 5 arctg ) π 8 9 log ) + arctg arctg + + ) arctg + + +

5 DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) 8 Intgrac goniom a iracionáích funkcí Vypočtět intgrály goniomtrických funkcí: sin 8 + cos, 8 sin cos 5, sin cos 6, 5 sin, + cos ) Vypočtět intgrály iracionáích funkcí: 86 +, , +, a ), cos cos + cos + sin sin5 + sin7 5 7 tg + tg5 5 tg tg tg + 6 tg + ) a C binomický intgrál) + ) a DOMÁCÍ ÚLOHY z MATEMATIKY VT) 9 Aplikac určit intgrálu Nvlastní intgrál 9 Vypočtět obsah plochy ohraničné lipsou o poloosách a, b πab 9 9 Vypočtět obsah plochy ohraničné křivkami y = a y = 9 Vypočtět obsah plochy mzi osou a obloukm cykloidy = at sin t), y = a cos t), t, π πa 9 Vypočtět délku astroidy dané paramtrickými rovnicmi = a cos t, y = a sin t, t, π 6a 95 Vypočtět objm tělsa, ktré vznikn rotací oblasti ohraničné křivkami y = π a y = kolm osy 96 Vypočtět povrch kužl vytvořného rotací úsčky y =,,, kolm osy y π 5 Vypočtět nvlastní intgrály: 97 98, + Užitím srovnávacího kritéria rozhodnět o konvrgnci nvlastních intgrálů: ), konvrguj + divrguj π