5 Železobetonové sloupy a stěny 5.1 Úvod Z hlediska navrhování tlačenýh prvků (např. sloup, stěna, pilota, oblouk) rozlišujeme prvky masivní a štíhlé. U štíhlýh tlačenýh prvků a konstrukí je nutno respektovat rovnováhu na přetvořeném prvku, popř. přetvořené konstruki (např. rámová konstruke). Tam, kde je to významné, je nutné při vyšetřování zahrnout i účinek ohebnosti připojenýh prvků a základů (interake základová půda konstruke). Přetvoření by mělo být vyšetřováno při uvažování příslušnýh účinků trhlin, nelineárníh vlastností materiálů a dotvarování. Při vyšetřování štíhlýh prvků a konstrukí je důležité jejih definování a vymezení. V dalším se budeme zabývat pouze tlačenými štíhlými pruty, které mohou být samostatné nebo součástí rámové konstruke. Pro další výklad je třeba vymezit následujíí základní pojmy. Ztužujíí a ztužené prvky a systémy. Konstrukční prvky a subsystémy, které se předpokládají při vyšetřování a návrhu za přispívajíí k elkové vodorovné stabilitě konstruke, jsou ztužujíí (braing), ostatní jsou ztužené (braed). Příklady těhto prvků a konstrukí jsou uvedeny na obr. 5.1. Obr. 5.1 Příklady ztužujííh a ztuženýh prvků a konstrukí Osamělé prvky jsou samostatné izolované prvky (např. samostatný sloup kloubově uložený nebo vetknutý viz obr. 5.) nebo části konstruke (např. sloup vyjmutý z rámové konstruke, zatížený na koníh příslušnými silami a ohybovými momenty viz obr. 5.3), které pro účely návrhu lze uvažovat jako osamělé izolované prvky. Účinky prvního řádu vyšetřujeme na nedeformované konstruki, avšak při uvažování geometrikýh imperfekí. Tyto imperfeke jsou interpretovány jako odhylky ve tvaru sklonění střednie nebo výstředností (viz kap. 3.1). Účinky druhého řádu jsou přídavné účinky zatížení vyvolané deformaí konstruke. 105
a) l 0 = l b) l 0 = l ) l 0 = 0,7l d) l 0 =l e) l 0 = l f) l / < l 0 < l g) l 0 > l Obr. 5. Osamělé izolované prvky a jejih účinné délky Obr. 5.3 Osamělé prvky jako součást rámové konstruke U štíhlýh tlačenýh osamělýh prutů dohází k podélným deformaím (obr. 5.4), proto při dimenzování těhto prutů je třeba přihlédnout ke zvětšení ohybového momentu, vyvozeného tímto přetvořením. Uvažujeme-li štíhlý, kloubově uložený nehmotný prut délky l 0, na který působí břemeno F Ed s počáteční výstředností (výstředností prvního řádu) e 0 = e f + e i (5.1) kde e f je výstřednost síly F Ed ; e i výstřednost vyjadřujíí imperfeki, bude ohybový moment uprostřed jeho délky M Ed = F Ed (e 0 + f) (5.) 106
kde f je největší deformae prutu vyvozená účinkem síly F Ed, označovaná též jako výstřednost druhého řádu. V dalším budeme označovat ohybový moment vyvozený výstředností e 0, jako ohybový moment prvního řádu, tj. M 0Ed = F Ed e 0 (5.3) a ohybový moment vyvozený výstředností f, jako ohybový moment druhého řádu, tj. M Ed = F Ed f (5.4) Obr. 5.4 Podélný ohyb štíhlého tlačeného prutu 5. Návrh sloupů Vývojový diagram na obr. 5.5 znázorňuje postup návrhu ztuženýh masivníh tlačenýh prvků, u kterýh se při výpočtu výstřednosti e a při návrhu předpokládá, že nepřispívají k elkové vodorovné stabilitě konstruke, a že jejih přetvoření lze zanedbat. Předpokládá se, že rozměry sloupu byly stanoveny při předběžném návrhu. U štíhlýh sloupů je nutné přihlížet k jejih přetvoření a při stanovení účinků. řádu použít vývojový diagram znázorněný na obr. 5.6a, případně obr. 5.6b. U neztuženýh tlačenýh prvků je třeba použít individuální postup. 5.3 Výpočet konstruke Při výpočtu se musí analyzovat jak geometrie, tak hování konstruke. Zvolená idealizae musí být vhodná pro uvažovaný výpočtový model. Geometrie se obvykle idealizuje při uvažování konstruke vytvořené z lineárníh prvků. Obvyklé idealizae hování používané při analýzáh: lineárně pružné hování; lineárně pružné hování s omezenou redistribuí; plastiké hování; nelineární hování. 107
Start Rozměry sloupu předběžný návrh nebo iterae Účinky návrhového zatížení N Ed, M top, M bot Stanovení účinné délky l 0 při použití buď: 1) Obr. 5.8 ) Tab. 5.1 3) Vztahu 5.5 Stanovení štíhlosti při použití buď: l 0 i 3,46l 0 h 4,0l 0 d ( i poloměr setrvačnosti průřezu ) ( u obdél. sloupů, h rozměr ve směru vybočení ) ( d průměr kruhového sloupu ) 15,4C lim n Stanovení lim : C 1,7 r m N n A f Ed d Stanovení účinku 1. řádu bez vlivu imperfekí M max M, M r m M M 1 M top 1 min M top, M bot bot křivost je kladná pokud M 1 a M vyvozují tah na stejné straně sloupu, jinak je záporná r m = 0,7 pokud r m není známa lim ano ne 75 ano ne Štíhlý sloup individuální řešení Štíhlý sloup vývojový diagram na obr. 5.6 M Masivní sloup M Ed M 0 Ed max M top, M bot e N l 0 b ei max ; ; 0 mm 400 30 i Ed Návrh výztuže sloupu Posouzení konstr. ustanovení (min. výztuž, vzdálenost prutů, atd.) Obr. 5.5 Vývojový diagram pro návrh ztuženýh tlačenýh prvků 108
Štíhlý tlačený prvek nu n Stanovení: K r 1 n u nbal N Ed n 1...poměrná návrhová síla A f d N Ed návrhová hodnota normálové síly As,est f yd n u = 1+n bal = 0,4 A fd A s,est odhadnutá průměrná ploha veškeré výztuže průřezová ploha betonu A Stanovení momentů 1. řádu s vlivem imperfekí M M M max M top M bot ei N Ed min M top M bot ei N Ed 0,6 M 0,4M 1; 0, M ei N Ed 0, 01, 0e max 4 M, M 1... momenty v koníh sloupu ( M top, M bot ), přičemž M M 1 l 0 b ei max ; ; 0 mm 400 30 M 01, M 0 mají stejné znaménko, poku vyvozují tah na stejné straně sloupu Výpočet:,t M 0Eqp M 0Ed 0 konečný součinitel dotvarování ohybový moment 1. řádu pro kvazistálé zatížení (MSP) ohybový moment prvního řádu od návrhové kombinae zatížení (MSP) f k 0,35 00 150 štíhlost K 1 ef 1, t 0 0Eqp ef MM 0Ed K rk f yd Výpočet e 0,1 l0 0,45dEs d účinná výška průřezu E s modul pružnosti oeli ~ 00 GPa M M N Ede Ed max M 0 ; M 0e M ; ; M 01 0, 5 M Návrh výztuže pro N Ed, M Ed stanovení A s,req diagramy, výpočet A s, req As,est ne ano Posouzení konstrukčníh ustanovení Obr. 5.6a Vývojový diagram pro návrh štíhlýh tlačenýh prvků (metoda jmenovité křivosti) 109
Štíhlý tlačený prvek Stanovení momentů 1. řádu s vlivem imperfekí viz. obr. 5.6a Odhadneme elkový stupeň vyztužení A s,est A Stanovíme momenty setrvačnosti 1 I 3 bh 1 I s A z 1 (obdélníkový průřez) (souměrné vyztužení) E d Em ; E 1, s 00 GPa Stanovíme jmenovitou tuhost a) při EI K E I K E I 0,01 K s 1 k1k K 1 f N Ed k k 1 k 0, 0 A f d 170 b) při 0,0 K 0 0,3 K s 1 0,5 vyčíslení ef viz. obr. 5.6a M 0E M 0e 1 N B 1 N Ed EI N B l 8 0 d s s s ef ef M Ed max M 0; M 0E ; M 01 0, 5 M 0E M 0e Návrh výztuže N Ed, M Ed Obr. 5.6b Vývojový diagram pro návrh štíhlýh tlačenýh prvků (metoda jmenovitýh tuhostí) 110 Při lineárně pružné analýze lze uvažovat průřezy neporušené trhlinami a předpokládat, že vztah mezi napětím a přetvořením je lineární s průměrnou hodnotou dlouhodobého modulu pružnosti. Při rámovém působení konstruke mají být pro návrh sloupů použity momenty stanovené při uvažování jejího pružného působení, tedy bez uvažování redistribue. U štíhlýh sloupů mohou být
momenty stanoveny při použití nelineární analýzy druhého řádu, popř. metodou založenou na jmenovité tuhosti, nebo metodou založenou na jmenovité křivosti, jak je uvedeno ve vývojovém diagramu, znázorněném na obr. 5.6. Doporučuje se používat metodu jmenovité křivosti. 5.4 Návrhové momenty Návrhové momenty štíhlýh sloupů jsou znázorněny na obr. 5.7 a jsou definovány následovně: M Ed = min (M 0 ; M 0e + M ; M 01 + 0,5 M ) kde M 01 = min (M top, M bot ) + e i N Ed M 0 = max (M top, M bot ) + e i N Ed M top, M bot momenty ve hlavě a patě sloupu e i = max (l 0 /400, h/30, 0 mm) l 0 je účinná délka sloupu h je rozměr sloupu ve směru působíího momentu M 0e = 0,6 M 0 + 0,4 M 01 0,4 M 0 M 01 a M 0 jsou kladné, pokud vyvozují tah na stejné straně sloupu, kde M 0 M 01 M = N Ed e kde N Ed je návrhová hodnota normálové síly e deformae vyvozená účinky druhého řádu Při výpočtu momentů. řádu se doporučuje užívat metodu jmenovité křivosti (obr. 5.6a), neboť metoda jmenovitýh tuhostí při malýh výstřednosteh 1. řádu dává výsledky na méně bezpečné straně. Výpočet výstřednosti e není jednoduhý a vyžaduje někdy iterai. Masivní sloupy navrhujeme pouze na momenty 1. řádu, tedy na návrhový moment M Ed = M 0e. Obr. 5.7 Návrhové momenty 111
5.5 Účinná délka Příklady různýh tvarů vybočení a odpovídajííh účinnýh délek pro osamělé prvky jsou znázorněny na obr. 5.3. U tlačenýh prvků pravidelnýh rámů lze účinnou délku podle ČSN EN 199-1-1 stanovit následovně. Pro ztužené prvky (prvky, u nihž nedohází k vodorovným posunům jejih konů, viz obr. 5.f a obr. 5.8a, b, ), ze vztahu: k 1 k l 0 0,5 l 1 1 (5.5) 0,45 k1 0,45 k Obr. 5.8 Příklady různýh způsobů vybočení a odpovídajííh účinnýh sloupů u jednoduhého vetknutého rámu Pro neztužené prvky (prvky, u nihž dohází k vodorovným posunům, viz obr. 5.g a obr. 5.8d, e, f), ze vztahu: k 1 k k1 k l 0 l max 110 ; 1 1 ;10 mm (5.6) k1 k 1 k1 1 k kde k 1, k jsou poměrné ohebnosti omezujíí pootočení v koníh 1 a ; k = ( / M) (E I / l) 11
E I pootočení upnutýh prvků vyvozené ohybovým momentem M (viz též obr. 5.f, obr. 5.g, obr. 5.8, obr. 5.8f); ohybová tuhost tlačeného prvku; l světlá vzdálenost tlačeného prvku mezi konovými upnutími. Příklady stanovení ohebnosti k v jednoduhýh případeh jsou uvedeny na obr. 5.9. V případeh uvedenýh na obr. 5.9, kdy sloup nebude dokonale vetnutý, hodnoty k nebudou rovny nule. a) b) ) Obr. 5.9 Příklady stanovení ohebnosti Pokud je ve styčnííh pootočení, je třeba provést výpočet rámové konstruke. Za předpokladu pravidelnýh rámovýh konstrukí, kde tuhosti připojenýh sloupů se neliší víe než o 15 % větší tuhosti, lze zjednodušené stanovit hodnotu poměrné tuhosti k ze vztahu k EI / l b EI / l b 0,1 (5.7) kde I, I b jsou l, l b momenty setrvačnosti sloupu a trámu; délky sloupu a trámu. Na základě stanovenýh hodnot k 1 a k lze stanovit z tab. 5.1 součinitel, pomoí kterého pro ztužené sloupy stanovíme účinnou délku ze vztahu l 0 = l (5.8) 113
Tab. 5.1 Hodnoty součinitele pro ztužené sloupy k 1 k 0,10 0,0 0,30 0,40 0,50 0,70 1,00,00 5,00 9,00 kloub 0,10 0,59 0,6 0,64 0,66 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,76 0,77 0,0 0,6 0,65 0,68 0,69 0,71 0,73 0,74 0,77 0,79 0,80 0,81 0,30 0,64 0,68 0,70 0,7 0,73 0,75 0,77 0,80 0,8 0,83 0,84 0,40 0,66 0,69 0,7 0,74 0,75 0,77 0,79 0,8 0,84 0,85 0,86 0,50 0,67 0,71 0,73 0,75 0,76 0,78 0,80 0,83 0,86 0,86 0,87 0,70 0,69 0,73 0,75 0,77 0,78 0,80 0,8 0,85 0,88 0,89 0,90 1,00 0,71 0,74 0,77 0,79 0,80 0,8 0,84 0,88 0,90 0,81 0,9,00 0,73 0,77 0,80 0,8 0,83 0,85 0,88 0,91 0,93 0,94 0,95 5,00 0,75 0,79 0,8 0,84 0,86 0,88 0,90 0,93 0,96 0,97 0,98 9,00 0,76 0,80 0,83 0,85 0,86 0,89 0,91 0,94 0,97 0,98 0,99 kloub 0,77 0,81 0,84 0,86 0,87 0,90 0,9 0,95 0,98 0,99 1,00 U tlačenýh prvků pravidelnýh ztuženýh rámů (např. rám se ztužujíími stěnami) lze konzervativně určit účinnou délku ze vztahu l 0 = l (5.8a) kde je součinitel uvedený v tab. 5.1a; l světlá výška tlačeného prvku mezi konovými upnutími. Tab. 5.1a Hodnoty součinitele pro stanovení účinné délky l 0 sloupů ztuženýh rámů Uložení ve vrholu Uložení v patě 1 3 1 0,75 0,80 0,90 0,80 0,85 0,95 3 0,90 0,95 1,00 1 Sloup je ve styčníku monolitiky spojen s průvlaky po obou stranáh sloupu, jejihž výška je rovna nejméně rozměru sloupu v uvažované rovině. Pokud je sloup spojen se základem, má být navržen na tento moment. Sloup je ve styčníku monolitiky spojen s průvlaky po obou stranáh sloupu, jejihž výška je menší než rozměr sloupu v uvažované rovině, ne však menší než je polovina tohoto rozměru. 3 Sloup je ve styčníku spojen s prvky poskytujíími pouze malý odpor proti pootočení. 114
5.6 Štíhlosti U osamělýh prvků lze zanedbat účinek druhého řádu, pokud štíhlost je menší než hodnota lim, daná vztahem lim 0 A BC (5.9) n kde A = 1/(1 + 0, ef ) (neznáme-li ef, lze uvažovat A = 0,7); B (1 ) (neznáme-li, lze uvažovat B = 1,1); C = 1,7 r m (neznáme-li r m, lze uvažovat C = 0,7); ef účinný součinitel dotvarování; viz vztah M 0Eqp ef (5.9a),t0 M 0Ed (, t0) M 0Eqp M 0Ed konečný součinitel dotvarování; ohybový moment prvního řádu, vyvozený kvazi-permanentním zatížením (mezní stav použitelnosti); návrhový ohybový moment prvního řádu, vyvozený uvažovanou kombinaí zatížení (mezní stav únosnosti); = A s f yd / (A f d ) mehaniký stupeň vyztužení; A s A n = N Ed / (A f d ) r m = M 01 / M 0 průřezová ploha elkové podélné výztuže; průřezová ploha betonového průřezu; poměrná normálová síla; poměr momentů; M 01, M 0 konové ohybové momenty prvního řádu, M 01 M 0. Pokud M 01 a M 0 vyvozují tah na stejné straně, je r m kladné (C 1,7), jinak je r m záporné (C 1,7), (viz obr. 5.10). 115
Obr. 5.10 Stanovení hodnoty C Ze součinitelů A, B, C má největší vliv na hodnotu lim součinitel C. Proto při počátečním stanovení lim lze uvažovat doporučené hodnoty pro součinitele A a B a zaměřit se na součinitel C, kde znaménko momentů má podstatný vliv na jeho velikost (obr. 5.10). 5.7 Výpočet meze porušení Při určování únosnosti železobetonovýh průřezů se vyhází ze stejnýh předpokladů, jaké jsou uvedeny u ohybu (až na hodnoty mezníh přetvoření): Zahování rovinnosti průřezů přetvoření vláken průřezu je přímo úměrné jejih vzdálenosti od neutrální osy. Dokonalá soudržnost poměrné přetvoření soudržné betonářské výztuže v tahu i v tlaku je rovno poměrnému přetvoření v přilehlém betonu. Pevnost betonu v tahu se zanedbává. Napětí v tlačeném betonu se určí ze zjednodušeného návrhového praovního diagramu (paraboliko-rektangulárního, bilineárního, event. rovnoměrně rozděleného napětí na části tlačené oblasti). Napětí v betonářské, popř. předpínaí výztuži, se určí z návrhovýh praovníh diagramů. Meze únosnosti je dosaženo při dosažení mezního poměrného přetvoření alespoň v jednom z materiálů, tj. buď v betonu anebo ve výztuži. V mezníh staveh únosnosti je omezeno poměrné přetvoření: betonu v tlaku hodnotami u nebo u3, v závislosti na tvaru použitého praovního diagramu betonu; betonářské výztuže hodnotami ud u bilineárního praovního diagramu se stoupajíí větví, v případě vodorovné větve lze předpokládat ud =. 116
Při uvažování zjednodušenýh praovníh diagramů betonu je třeba si uvědomit, že u železobetonovýh průřezů při dostředně působíí mezní tlakové síle v betonu je nutno uvažovat mezní poměrné přetvoření betonu hodnotami nebo 3 (viz tab..1 v kap. ). Možné oblasti poměrnýh přetvoření průřezu na mezi únosnosti jsou uvedeny na obr. 5.1. Obr. 5.1 Možná rozdělení poměrnýh přetvoření v mezním stavu únosnosti Při obvyklém používání předpokladu rovnoměrného rozdělení napětí betonu v tlačené oblasti v mezním stavu únosnosti se uvažuje rovnoměrné rozdělení tlakového napětí f d na účinné výše tlačené oblasti x kde pro f k 50 MPa = 1,0; = 0,8 pro 50 f k 90 MPa = 1,0 (f k 50) / 00; = 0,8 (f k 50) / 00 Při stanovení meze porušení průřezu je důležité si uvědomit, kdy výztuž v průřezu lze plně započítat (napětí ve výztuži se rovná mezi kluzu v dalším budeme uvažovat praovní diagram výztuže s vodorovnou větví), a kdy ne. Je zřejmé, že započitatelnost výztuže závisí na jejím přetvoření v průřezu, které lze stanovit na základě předpokladu zahování rovinnosti průřezu před a po přetvoření (přetvoření je přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy), jak bylo též uvedeno v kap. 4. Uvažujme průřez vyznačený na obr. 5.13. Vnitřní síly působíí na mezi únosnosti v průřezu jsou za předpokladu rovnoměrně rozděleného tlakového napětí v betonu naznačeny na obr. 5.13. Napětí ve výztuži závisí na její vzdálenosti od neutrální osy. 117
Z obr. 5.13a a obr. 5.13b je zřejmé, že lze počítat s napětím rovným mezi kluzu, pokud v tahové výztuži u3 x bal,1 d d (5.10) v tlakové výztuži x d u3 yd d u3 bal, je-li x h (5.11) u3 yd kde yd fyd / Es Obr. 5.13 Stanovení započitatelnosti výztuže neutrální osa prohází průřezem Z obr. 5.13a je možno stanovit rozhraní mezi tlakovým porušením a tahovým porušením (rozhraní mezi tahovým a tlakovým porušením x bal,1 = bal,1 d; tahové porušení x bal,1 d; tlakové porušení x bal,1 d). V případě dostředného tlaku se jedná o zvláštní (teoretiký) případ porušení při rovnoměrném rozdělení přetvoření v tlačeném betonu; v tomto případě je nutné si uvědomit, že napětí ve výztuži nesmí být větší, než odpovídá rovnoměrnému přetvoření betonu v okamžiku dosažení maximálního tlakového napětí dosažení vrholu praovního diagramu. Proto v některýh případeh při tomto způsobu porušení nelze počítat s dosažením meze kluzu v tlačené výztuži. Hodnoty mezní únosnosti průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem lze vyjádřit pomoí interakčního diagramu M Rd, N Rd (viz obr. 5.14). 118
Abyhom vyjádřili okolnost, že při plném využití betonového průřezu (případ porušení při rovnoměrném poměrném přetvoření betonu) se může projevit vliv nehomogenity průřezu, je nutné uvažovat minimální výstřednost tlakové normálové síly hodnotou e 0 = h / 30, nejméně však 0 mm, (5.1) kde h je výška průřezu ve směru namáhání ohybovým momentem, popř. možného vybočení tlačeného prutu. Norma požaduje uvažovat minimální výstřednost e 0 v případě symetriky vyztuženého průřezu, ale správně by výstřednost e 0 měla být uplatněna i v případě nesymetriky vyztuženého průřezu, a to v případeh plného využití betonového průřezu. Uvažování výstřednosti e 0 je grafiky znázorněno na obr. 5.14 čárkovanými čarami, vyházejíími z počátku souřadného systému. Ze zavedenýh předpokladů pro výpočet meze porušení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem vyplývá, že za mez porušení se považuje případ, kdy alespoň v jednom z materiálů (v betonu nebo ve výztuži) je dosaženo mezního přetvoření. Při grafikém znázornění je mez porušení popsána čarou, popř. plohou porušení. V případě víesložkového namáhání lze podmínku spolehlivosti definovat tak, aby bod F, popisujíí víesložkový silový účinek zatížení, se nalézal uvnitř plohy, popř. tělesa omezeného čarou, popř. plohou u popisujíí návrhovou funki porušení průřezu. Jakým způsobem se tato podmínka matematiky prokáže, je lhostejné. Postup bude vysvětlen na příkladu železobetonového průřezu namáhaného normálovou silou N Ed a ohybovým momentem M Ed. Účinek zatížení je znázorněn bodem F 1, interakční diagram meze porušení čarou u (viz obr. 5.15). V obrázku předpokládáme, že normálové síly i ohybové momenty mají kladná znaménka. Změníme-li směr namáhání průřezu, interakční diagram meze porušení se změní. Tyto diagramy pro různé směry namáhání lze znázornit na ploše porušení (viz obr. 5.15). V obrázku je naznačen interakční diagram ležíí v rovině svírajíí v půdoryse úhel s osou y a jsou zde vyznačeny možnosti průkazu spolehlivosti 1 až 3, uvedené v předhozím. Dále je v obr. 5.16 vyznačen řez plohy porušení s rovinou ležíí v konstantní vzdálenosti N Ed od roviny os y, z; tohoto řezu většinou využíváme při průkazu spolehlivosti, pokud je průřez namáhán ohybovým momentem majíím složky M Edy a M Edz. 119
Tlak N 0; tah N 0. e 0 = h / 30 > 0 mm F s1 = A s1 f yd F s = A s f yd F s = (A s A s1 )f yd 0 N Rd0 = (b h f d + A s s ) M Rd0 = (A s z A s1 z 1 ) s s = E s f yd 1' N' Rd1 = ( b d' f d + F s1 ) M' Rd1 = b d' f d 0,5 (h d') F s1 z 1 d' bal, d 1 s1 = f yd ' N' Rd,bal = ( bal,1 b d' f d F s ) M' Rd,bal = bal,1 b d' f d 0,5 (h bal,1 d') F s1 z 1 F s z bal,1 d' bal, d ' s1 = s = f yd 1 N Rd1 = ( b d f d + F s ) M Rd1 = b d f d 0,5(h d) + F s z d bal, d s = f yd N Rd,bal = ( bal,1 b d f d + F s ) M Rd,bal = bal,1 b d f d 0,5(h bal,1 d) + F s1 z 1 + F s z bal,1 d bal, d s1 = s = f yd 3' N' Rd = 0 M' Rd = mez únosnosti při namáhání ohybem výztuž tlačená A s1, tažená A s 4' N' Rdt,bal = F s M' Rdt,bal = F s z 3 N Rd = 0 M Rd = mez únosnosti při namáhání ohybem výztuž tažená A s1, tlačená A s viz kap. 4 4 N Rdt,bal = F s1 M' Rdt,bal = F s1 z 1 5 N Rdt0 = F s1 + F s M Rdt0 = F s1 z 1 F s z Obr. 5.14 Interakční diagram meze porušení obdélníkového průřezu podle obr. 5.13 (hodnoty normálovýh sil jsou uvedeny se znaménkem) 10
Obr. 5.15 Interakční ploha porušení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem 5.8 Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou působíí v ose průřezu Pro vyšetření spolehlivosti průřezu mimostředně namáhaného průřezu lze předpokládat (obr. 5.16): Do meze porušení zůstává normálová síla N Ed konstantní, tedy N RdA = N Ed. V tomto případě stanovíme k této hodnotě odpovídajíí ohybový moment na mezi porušení M RdA (bod A na čáře u) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru M Ed M RdA, popř. e Ed e RdA (5.13) Do meze porušení zůstává konstantní ohybový moment, tedy M RdB = M Ed. V tomto případě stanovíme k této hodnotě odpovídajíí normálovou sílu na mezi porušení N RdB (bod B na čáře u ) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru N Ed N RdB (5.14) 11
Obr. 5.16 Grafiké znázornění podmínek spolehlivosti Z obr. 5.16 je však zřejmé úskalí tohoto druhého způsobu, neboť pro bod F, pro který platí M Ed M RdB, můžeme na čáře u stanovit dva příslušné body B a B a podmínku spolehlivosti musíme psát ve tvaru N RdB N Ed N RdB (5.15) Proto se tento způsob posouzení spolehlivosti nepovažuje za vhodný. Do meze porušení se normálová síla i ohybový moment zvětšují ve stejném poměru, tj. zůstává konstantní výstřednost, tedy e RdC = e Ed ; této výstřednosti odpovídá na čáře u bod C a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru N Ed N RdC, popř. M Ed M RdC (5.16) Do meze porušení lze teoretiky předpokládat jakýkoliv vývoj momentu a normálové síly vedouí např. do bodu D na čáře u. Při početním ověřování spolehlivosti mimostředně namáhaného průřezu obvykle uvažujeme zjednodušený interakční diagram, znázorněný na obr. 5.17. Při posouzení průřezu pak obvykle předpokládáme, že normálová síla na mezi únosnosti N Rd = N Ed ; využíváme tedy postupu znázorněného na obr. 5.16 bodem A na čáře u a podmínku spolehlivosti píšeme M Ed M RdA (5.17) V oblasti tzv. převládajíího tlaku, tj. mezi body 0 1 a 1 interakčního diagramu, nelze odhadem zjistit využití obou výztuží, proto interakční diagram zde nahrazujeme přímkami a pak zjišťujeme průsečík přímky N Rd = N Ed = konst. s náhradní přímkou interakčního diagramu. 1
V oblasti tzv. převládajíího tahu, tj. mezi body až 6 interakčního diagramu, je vždy využita tahová výztuž ( st = f yd ), a proto můžeme napsat dvě výminky rovnováhy pro N Rd a M Rd. Předpokládáme-li N Rd = N Ed můžeme z této rovnie stanovit polohu neutrální osy a pak dopočíst hodnotu M Rd. Detailněji je postup posouzení obdélníkového průřezu uveden v Příloze 4. Obr. 5.17 Zjednodušení interakčního diagramu pro posouzení průřezu 5.9 Návrh výztuže v průřezu namáhaného normálovou silou působíí v ose průřezu Při návrhu ekonomiké výztuže mimostředně namáhaného průřezu daného tvaru budeme navrhovat výztuž pouze tam, kde v ní napětí dosahuje návrhové pevnosti, tj. výztuž je plně využita. Z obr. 5.18 je zřejmé, že pokud bude bod daný účinky návrhového zatížení (M Ed, N Ed ) ležet vně vyšrafované plohy, je třeba navrhnout výztuž. Pokud je N Ed tlakovou silou (N Ed 0), pak platí: N Ed N,bal, jedná se o případ tlakového porušení, tj. bude rozhodovat převládajíí tlak; N Ed N,bal, jedná se o případ tahového porušení, bude rozhodovat převládajíí tah ve výztuži. Pokud je N Ed tahovou silou (N Ed 0), jedná se vždy o tahové porušení. V obr. 5.18 jsou přímkami a až a 5 vyznačeny oblasti, ve kterýh je v závislosti na namáhání průřezu různě využit tlačený beton: v oblasti I bude výška tlačené oblasti x = x bal,1 ; je třeba navrhnout výztuž A s1 a A s ; v oblasti II bude výška tlačené oblasti x bal,1 < x < h; je třeba navrhnout pouze výztuž A s ; v oblasti III bude výška tlačené oblasti x < x bal,1 ; je třeba navrhnout výztuž A s1 ; 13
v oblasti IV bude tlačen elý betonový průřez; je třeba navrhnout výztuž A s1 a A s ; v oblasti V beton nepůsobí; je třeba navrhnout výztuž A s1 a A s. Poznámka: Přímky a a a 4 jsou dány úhlem artan (1/z ), obdobně přímky a 3 a a 5 jsou dány úhlem artan (1/z 1 ), (viz obr. 5.18). Při návrhu budeme uvažovat návrhovou hodnotu normálové síly N Ed se znaménkem kladným, pokud je tahem, a se znaménkem záporným, pokud je tlakem, M Ed je vždy uvažován jako kladný moment. Obr. 5.18 Optimální výztuž obdélníkového průřezu mimostředně namáhaného Postup návrhu ekonomiké výztuže obdélníkového průřezu namáhaného normálovou silou působíí v ose symetrie betonového průřezu je znázorněn na obr. 5.19. Při návrhu je třeba nejprve rozhodnout, zda převládá tlak nebo tah; rozhodnutí provedeme, porovnáme-li hodnotu normálové síly N Ed s hodnotou b bal,1 d f d. Pro následný výpočet polohy neutrální osy x je třeba stanovit ohybový moment při převládajíím tlaku M Ed, při převládajíím tahu M Ed1 (viz obr. 5.0). Dále pak vypočteme hodnoty F a M a navrhneme výztuž podle vztahů uvedenýh v dolní části obr. 5.19. V případě, že u některého povrhu nevyhází výztuž, je třeba navrhnout minimální výztuž podle konstrukčníh zásad. 14
Obr. 5.19 Návrh hospodárné výztuže obdélníkového mimostředně namáhaného průřezu 15
Obr. 5.0 Mimostředně namáhaný průřez momenty vztažené k těžištím výztuží Při návrhu souměrné výztuže As1 As tlačeného sloupu nebudou obvykle obě dvě výztuže využity. Můžeme vyjít ze vztahů výše uvedenýh (přičemž tlakovou normálovou sílu uvažujeme se znaménkem minus) N = N Ed N ; M = M Ed M a pro požadované plohy výztuží můžeme napsat vztahy A s1,req ΔN M 1 (5.18a) z s A s,req N M 1 (5.18b) z s Při označení podle obr. 5.1 můžeme psát: a) pro elkovou plohu výztuže A sn požadovanou k přenesení normálové síly N Ed AsN N NEd b x f s st s st d (5.19a) A A A a A A sn s1 s s1 s b) pro elkovou plohu výztuže A sm požadovanou k přenesení ohybového momentu M Ed AsM M M Ed b x f d 05, h x s st s st (5.19b) A A A a A A sm s1 s s1 s 16
Obr. 5.1 Průběh přetvoření a napětí mimostředně tlačeného průřezu Řešení provedeme iteraí (nejlépe např. v Exelu apod.) při stanovení polohy neutrální osy x z podmínky A sn A (5.0) sm V praxi se pro návrh symetriké výztuže tlačenýh sloupů používají nomogramy. Při použití těhto grafů se postupuje následovně: stanovíme poměrný moment poměrnou normálovou sílu M (5.1a) bh Ed fd N Ed (5.1b) bh f d A z grafů odečteme mehaniký stupeň vyztužení si fyd (5.1) bh f d pomoí hodnoty stanovíme A 0,5 bh f d s1d Asd (5.1d) fyd Příklad nomogramů pro návrh symetriké výztuže obdélníkového průřezu je uveden na obr. 5., další nomogramy jsou uvedeny v Příloze 3. V nomogrameh se M Ed a N Ed uvažují kladnými hodnotami. 17
Obr. 5. Příklady nomogramů pro návrh průřezů souměrně vyztuženýh Postup posouzení průřezů je uveden v Příloze 4. 5.10 Průřezy namáhané normálovou silou působíí mimo osy souměrnosti průřezu Při posouzení lze využít křivku řezu interakčního diagramu vedeného v úrovni N Rd = N Ed (viz obr. 5.15). Je zřejmé, že pokud působiště síly bude ležet poblíže hlavní osy souměrnosti (bude ležet ve vyšrafovanýh ploháh, viz obr. 5.3), pak je možné průřez navrhnout i posoudit při zanedbání výstřednosti v druhém směru. Oddělené posouzení v hlavníh osáh souměrnosti se připouští, pokud jsou splněny podmínky e y z / h eq e / b eq 0, nebo e / b z eq 0, ey / h (5.) eq kde b eq,h eq jsou náhradní rozměry průřezu b a h i 1 eq z pro ekvivalentní obdélníkový průřez i 1 eq y i y, i z poloměr setrvačnosti průřezu vzhledem k ose y, z ; 18
e z = M Edy /N Ed ; výstřednost ve směru osy z; e y = M Edz /N Ed ; výstřednost ve směru osy y; M Edy je návrhová hodnota ohybového momentu působíího kolem osy y, zahrnujíí moment druhého řádu; M Edz návrhová hodnota ohybového momentu působíího kolem osy z, zahrnujíí moment druhého řádu; návrhová hodnota normálové síly v příslušné kombinai zatížení. N Ed Poznámka: U štíhlýh prvků musí být ještě splněny podmínky poměrů štíhlostí. y / z a z / y, kde = l 0 / i jsou štíhlosti s ohledem na příslušné osy y, z. Obr. 5.3 Definie výstředností e y a e z V případě, že podmínka (5.) není splněna, lze využít křivku řezu interakční plohy porušení vedené v úrovni N Rd = N Ed (viz obr. 5.15). Podmínku spolehlivosti pak lze psát ve tvaru a a M Edy M Edz M Rdy MRdz 1, 0 (5.3) kde M Edy, M Edz je návrhová hodnota ohybového momentu, vyvozeného zatížením, točíího kolem osy y, resp. z; M Rdy, M Rdz návrhová hodnota ohybového momentu na mezi únosnosti, točíího kolem osy y, z; 19
a je součinitel, jehož hodnota závisí na tvaru průřezu a poměru N Ed / N Rd ; pro kruhové a eliptiké průřezy: a = pro pravoúhelníkové průřezy: N Ed /N Rd0 0,1 0,7 1,0 a 1,0 1,5,0 N Ed N Rd0 A A s pro mezilehlé hodnoty N Ed /N Rd0 lze interpolovat; návrhová hodnota normálové síly vyvozené zatížením; návrhová hodnota normálové síly na mezi únosnosti daná vztahem N Rd0 = A f d + A s f yd ploha betonového průřezu; průřezová ploha podélné výztuže. Pokud podmínka (5.) není splněna, je možné též stanovit tzv. fiktivní výstřednost, na kterou navrhneme plohu symetriké výztuže (Moran, Benko, Monizer). Fiktivní výstřednost je funkí výstředností e z = M Edy /N Ed (ve směru osy z), e y = M Edz /N Ed (ve směru osy y) a poměrné normálové síly NEd bh f d Fiktivní výstřednost ve směru osy z nebo ve směru osy y bude pro e h z e b y h (5.4), e e e z z y b pro e h z e b y b (5.5), e e e y y z h kde pro 0, 33 0, 6 (5.6) pro 0,33 1,131 0,609 (5.7) 5.11 Ovinuté sloupy Ovinutím sloupu kruhového průřezu hustými třmínky nebo šroubovií s malým stoupáním zabráníme příčnému přetvoření betonu. Při zatížení sloupu vzniká pak trojrozměrný stav napjatosti, při kterém se zvýší pevnost betonu ovinutého jádra. Příznivý účinek ovinutí se zvětšuje, pokud napětí ve výztuži nepřesáhne mez kluzu, ož ve výpočteh na mezi únosnosti se zohledňuje tím, že ve výztuži ovinutí uvažujeme návrhovou hodnotu pevnosti této výztuže. 130
Příznivý vliv ovinutí se může výrazně uplatnit pouze v případě, kdy k mezi porušení průřezu výrazně přispívá beton, tj. v případeh tlakového porušení při velmi malé výstřednosti (a e Ed h/ 8). Vlivem ovinutí se též výrazně zvýší mezní poměrné přetvoření betonu, ož je významné zejména v oblasteh, kde se může uplatnit seismiita. Ovinutí tedy příznivě ovlivní praovní diagram betonu (tlakové napětí uvažováno kladnou hodnotou), (viz obr. 5.4). Ovinutím dohází ke zvýšení jak pevnosti betonu v tlaku, tak jeho přetvoření, a to v závislosti na tom, jaké boční tlakové napětí je shopno toto ovinutí vyvinout. Přibližně lze podle ĆSN EN 199-1-1 [11] uvažovat: f k, = f k (1,000 + 5,0 / f k ) při 0,05 f k (5.8) f k, = f k (1,15 +,5 / f k ) při 0,05 f k (5.9), = (f k, / f k ) (5.30) u, = u + 0, / f k (5.31) Obr. 5.4 Praovní diagram ovinutého betonu Návrhovou mez porušení v tlaku při teoretikém plném využití materiálů ovinutého průřezu lze stanovit ze vztahu N Rd0 = A 0 f d, + A s f yd (5.3) kde A 0 je ploha betonu ovinutého jádra; f d, zvýšená návrhová pevnost betonu v tlaku vlivem ovinutí f d, = f k, / ; A s průřezová ploha podélné výztuže; f k, zvětšená harakteristiká pevnost betonu v tlaku podle (5.8), popř. (5.9) při uvažování = A s,sth f ywd / (s D) (5.33) kde A s,sth je f ywd s D průřezová ploha třmínku, šroubovie; návrhová pevnost výztuže šroubovie; vzdálenost třmínků, stoupání šroubovie; průměr střednie třmínku, šroubovie. 131
5.1 Uspořádání výztuže 5.1.1 Všeobeně V tlačenýh prvíh, např. sloupeh a stěnáh (u stěn větší rozměr průřezu překračuje čtyřnásobek tloušťky stěny), je hlavní podélná výztuž. Tato výztuž musí splňovat podmínku požadovaného minimálního vyztužení, abyhom mohli prvky považovat za železobetonové. Hodnota přípustného maximálního vyztužení se stanovuje s přihlédnutím k možnosti dobrého vybetonování průřezu. V oblasti styků podélnýh prutů přesahem se dovoluje dvojnásobná hodnota přípustného maximálního vyztužení, musí být však umožněno dobré zhutnění betonu v tlačeném prvku. Hodnoty požadovaného minimálního a přípustného maximálního vyztužení jsou udány následovně A si,prov A si,req A si,min (5.34) kde i = 1, Tam, kde výztuž není statiky nutná, navrhujeme u prvků mimostředně namáhanýh A si,prov A si,min (5.35) přičemž pro plohu obou výztuží A s = A s1 + A s musí platit A s,min A s A s,max (5.36) kde podle normy ČSN EN 199-1-1 [11] pro tlačenou výztuž platí A si,min je větší z hodnot A si,min 0,05 N Ed / f yd ; A si,min 0,001 A ; (5.37a) A s,min = A si,min ; A s,max = 0,04 A ; (5.37b) (5.37) A je elková ploha průřezu (b h) pro taženou výztuž platí A si,min je větší z hodnot A si,min 0,6 f tm b t d / f yk ; A si,min 0,0013 b t d; (5.38) kde A s,prov je ploha provedené (provided) výztuže; b t šířka tažené oblasti; d účinná výška průřezu; h výška průřezu. 13
5.1. Sloupy U sloupů musíme, kromě podélné výztuže, navrhnout příčnou výztuž, která má zabránit vybočení tlačenýh výztužnýh prutů. Je nutno mít na paměti, že při dlouhodobě zatíženém tlačeném prvku se beton dotvaruje, a tím se zvětšuje namáhání tlačenýh výztužnýh prutů; proto při nedostatečné příčné výztuži sloupů dohází někdy k vybočení tlačenýh výztužnýh prutů až po delší době. Podélná výztuž Norma požaduje, aby v pravoúhelníkovém nebo kruhovém sloupu byly minimálně 4 výztužné pruty, u kruhového sloupu se však doporučuje navrhovat minimálně 6 prutů. Nejmenší průměr výztužného prutu ve sloupu požadovaný normou je 1 mm u sloupů s rozměrem 00 mm a větším, v ostatníh případeh 10 mm. Nejmenší světlá vzdálenost mezi podélnými pruty má zajistit dobrou soudržnost těhto vložek s betonem a možnost dobrého zhutnění betonu v prvku; podle normy tato vzdálenost nesmí být menší než větší z hodnot: 1,násobek průměru podélné vložky (zvětšený o 5 mm v případě vložky o průměru větším než 3 mm), největší průměr zrna kameniva zvětšený o 5 mm, 0 mm. Maximální osová vzdálenost podélnýh prutů nemá být větší než 400 mm. Příčná výztuž třmínky Minimální průměr požadovaný normou je 6 mm (při použití svařovanýh sítí se připouští průměr 5 mm). Vzdálenosti třmínků s s nesmí přesáhnou menší hodnotu z: 15 podélné výztuže; b menší rozměr sloupu; 300 mm. Vzdálenost třmínků se zmenší na 0,6násobek (viz obr. 5.5): nad a pod deskou na déle rovné většímu rozměru sloupu; v oblasti styků podélnýh prutů přesahem, pokud stykované pruty mají průměr větší než 14 mm, přitom v oblasti styku je třeba umístit alespoň 3 třmínky. Vložky umístěné v rohu průřezu musí být drženy příčnou výztuží (třmínky), která zabraňuje jejih vybočení. Příčná výztuž může zabránit vybočení tlačenýh vložek, ležííh do maximální vzdálenosti 150 mm od vložek zajištěnýh proti vybočení. Třmínek je tedy shopen zabránit vybočení podélné vložky umístěné v rohu třmínku a sousední vložky, která se nahází v maximální vzdálenosti 150 mm; tlačené vložky nalézajíí se ve větší vzdálenosti musí být zajištěny proti vybočení např. sponami (viz obr. 5.6), kde jsou též naznačeny doporučené úpravy třmínků. V obrázku značí: l b základní kotevní délku (l b lze uvažovat rovnou l b,rqd ), l 0 přesahovou délku, které jsou stanoveny pro průměr třmínku (viz kap. 4.4.4). V obr. 5.6e, f je též naznačena možnost použití sítí pro třmínkovou výztuž. 133
Obr. 5.5 Zhuštění třmínků ve sloupeh 134 Obr. 5.6 Doporučená úprava třmínků
5.1.3 Stěny U stěn je nutné, kromě svislé (podélné) výztuže, navrhnout výztuž vodorovnou a příčnou, které mají zabránit vybočení svislýh tlačenýh prutů. Pokud se nepoužijí svařované sítě, umísťuje se vodorovná výztuž blíže k povrhu stěny (viz obr. 5.7a). Pokud má stěna svislou výztuž větší než 0,0 A, nebo pokud je svislá výztuž blíže povrhu stěny, musí se vodorovná výztuž sepnout příčnou výztuží, která pomáhá podélné výztuži, aby svislá výztuž nevybočila. Pokud jsou stěny převážně namáhány kolmo na jejih středniovou rovinu, platí pro výztužné pruty stejné zásady jako u desek. Svislá výztuž Nejmenší průměr výztužného prutu ve stěně má být 8 mm. Maximální vzdálenosti podélnýh prutů nesmí být větší než je menší z hodnot trojnásobek tloušťky stěny; 400 mm. Vodorovná výztuž Tato výztuž u každého povrhu stěny má mít plohu rovnou nejméně 5 % plohy podélné výztuže, nejméně však 0,1 % plohy betonu. Maximální vzdálenosti prutů vodorovné výztuže jsou 400 mm. Vodorovnou výztuž je nutno navrhnout spojitě i u volnýh okrajů stěny. Příčná výztuž Tato výztuž se navrhuje ve formě spon, a to pouze tehdy, pokud veškerá podélná výztuž má plohu větší nebo rovnou % plohy betonu. Pro vzdálenosti příčné výztuže stěn platí stejné zásady jako u sloupů. Pokud je podélná výztuž umístěna blíže povrhu stěny, kromě případu použití svařovanýh sítí a svislýh prutů 16 mm s krytím větším než, je třeba vždy navrhnout příčnou výztuž ve tvaru 4 spon na m plohy stěny. 135
Obr. 5.7 Příklad uspořádání výztuže stěny 5.13 Příklady 5.13.1 Návrh výztuže štíhlého tlačeného sloupu 136 Stanovte návrhový moment štíhlého tlačeného čtverového sloupu o rozměreh 0,3 m 0,3 m, konstrukční výška podlaží je 6,65 m (obr. 5.8). Stropní konstruki tvoří bezhlavové deskové stropy tloušťky 0,5 m, vodorovná stabilita objektu je zajištěna ztužujíími stěnami. Návrhové zatížení vyvodí ve sloupu normálovou sílu N Ed = 1500 kn (tlak) a ohybové momenty v hlavě a patě sloupu M top = 80 knm, M bot = 40 knm. Tloušťka betonové kryí vrstvy výztuže byla stanovena hodnotou = 30 mm při uvažování = mm (podélná výztuž) a sw = 8 mm (třmínky). Uvažujte třídu betonu C30/37 a oel B500B.
Obr. 5.8 Tlačený sloup součást ztužené rámové konstruke Průřezové a materiálové harakteristiky Průřezové rozměry Stanovení základníh veličin uvažované krytí výztuže třmínků 30 mm d 1 = d = a = + sw 0,5= 30 + 8 + 0,5 = 49 mm 0,05 m d = h d 1 0,5 = 0,3 0 0,05 = 0,5 m z 1 = 0,5 h d 1 = 0,15 0,05 = 0,10 m z = 0,5 h d = 0,15 0,05 = 0,10 m Materiály fk 30 Beton C30/37: fd 0 MPa; = 1,0; = 1,0; = 0,8 1, 5 Výztuž B500B: f yd S C fyk 500 fyd 435 435 MPa; yd,175 1,15 E 00 3,5 u3 bal,1 u3 yd 3, 5,175 s u3 3,5 0,617 ; bal, =,641 35,175 u3 yd 137
Stanovení štíhlosti Účinná délka sloupu (viz kap. 5.5) Sloup lze pokládat za ztužený (nepřispívá k vodorovné stabilitě systému, kterou zajišťují ztužujíí stěny). Při použití tab. 5.1a sloup je ve styčníku v obou směreh monolitiky spojen s deskou, jejíž tloušťka 0,5 m je menší než rozměr sloupu v uvažované rovině 0,30 m, ne však menší než je polovina tohoto rozměru 0,15m toto odpovídá typu uložení v hlavě i patě sloupu: lze tedy uvažovat = 0,85. Účinná délka sloupu je l 0 = l = 0,85 6,65 = 5,65 m Stanovení momentů 1. řádu a) Momenty 1. řádu bez vlivu imperfeke M min M ; M min 80;40 40 knm 1 top bot M max M ; M min 80;40 80 knm top bot Momenty mají rozdílná znaménka, nevyvozují tah na stejné straně sloupu Moment v hlavě sloupu M = 80 knm Moment v patě sloupu M 1 = 40 knm b) Momenty 1. řádu s vlivem imperfekí Výstřednost e i (vyjadřujíí účinek imperfeke) l0 b 5650 300 ei max ; ; 0max ; ; 0max 14;10; 00 mm 400 30 400 30 Momenty 1. řádu M min M ; M e N min 80;40 0, 01500 70 knm 01 top bot i Ed M max M ; M e N max 80;40 0, 01500 110 knm 0 top bot i Ed Momenty mají rozdílná znaménka, nevyvozují tah na stejné straně sloupu Moment v hlavě sloupu M 0 = 110 knm Moment v patě sloupu M 01 = 70 knm 138
Obr. 5.9 Průběh momentů Štíhlost sloupu Štíhlostní poměr sloupu l 346, 565, 0 65, h/ 1 030, Stanovení mezní štíhlosti a posouzení Křivost: uvažujeme momenty prvního řádu bez vlivu imperfeke M 80 knm; M 40 knm 1 1 r m, M 80 m ED n, Af d 03, 0 lim M 40 05 C 17, r 17, 05,, N 1500, 0 833 15, 4C 15, 4, 37, 1 75 n 0833, 65, 37, 1 sloup považujeme za štíhlý lim Poznámka: Pokud známe hodnotu ef, můžeme stanovit hodnotu lim přesněji (např. při výpočtu momentu druhého řádu metodou založenou na jmenovité křivosti, musíme ef stejně počítat). Hodnotu lim pak stanovíme z obeného vztahu (5.9) v kap. 5. 139
Pro stanovení součinitele ef musíme znát hodnotu M 0e M 0e max 0, 6M 0, 4 M 1;0, 4M ei Ned max 0, 680 0, 440;0, 480 0, 01500 max 3;3 30 6 knm a ohybový moment 1. řádu pro kvazistálé zatížení (MSP), uvažujeme M 4 knm. 0Eqp Uvažujeme vnitřní prostředí RH 50 %, zatížení tlačeného prvku po 30 dneh a třídu ementu N, vypočteme hodnotu A 03, u 403, h 0, 015m a z nomogramů pro dotvarování (viz obr.. v kap. ) stanovíme (,t 0) =,5. Účinný součinitel dotvarování ef M 5, 4 M 6 (,t0) 0Eqp 0Ed 087, Uvažujeme podle předhozího C =,, n = 0,833, při neznámém vyztužení volíme B = 1,1. Dále stanovíme hodnotu A (při uvažování ef = 0,87). Hodnotu lim vyčíslíme při použití vztahu (5.9), uvedeného v kap. 5, následovně: 1 1 A 0,85 10, 10,087 lim ef 0ABC 00,851,1, 45,1 n 0,833 65, 45, 1 sloup považujeme stále za štíhlý lim Výpočet momentu. řádu Metoda založená na jmenovité křivosti (viz obr. 5.6a) = 65, 75 Stanovení momentů 1. řádu s vlivem imperfekí: ei l0 b 5650 300 max ; ; 0max ; ; 0max 14;10; 00 mm 400 30 400 30 M min M ; M e N min 80;40 0, 01500 70 knm 01 top bot i Ed M max M ; M e N max 80;40 0, 01500 110 knm 0 top bot i Ed 140
; M max 0, 6M 0, 4 M ;0, 4M e N max 0, 680 0, 440;0, 480 0, 01500 0e 1 i ed max 3 3 30 6 knm Výpočet K R Odhadneme stupeň vyztužení A est / A = 0,05 N 1, 500 083310 Ed n,, Af d 03, 0 Aest f yd 0, 05 435 n u 1 1 1 1, 543 Af 0 n 04, bal d n n 1543, 0833, 0 61 u K r, nu n bal 1543, 04, Výpočet K eff = 0,87 stanoveno při výpočtu lim f 30 65,,,, 00 150 00 150 k 0 35 0 35 0 065 K 1 10, 0650, 85 1, 055 ef K r K f yd l 0 0, 611, 0554355, 65 e 01, 00404m, 0, 45 de 0, 450, 500000 Ed S M N e 15000, 0404 61 knm Návrhový moment, 13 knm M max M ; M M ; M 0, 5M max 110;6 61;70 0, 561 Ed 0 0e 01 max 110;13;100 5 141
Obr. 5.30 Stanovení návrhového momentu Návrh výztuže Ed n, Af d 03, 0 1 N 1, 500 Ed d 0 833 M 0, 13 0, 8 bh f 03, 030, 0 d / h 005, / 030, 0166, 015, s využitím nomogramu 3.6 v Příloze P3 obdržíme 069, b h f 069, 03, 03, 0 d A s,req, fyd 435 Kontrola předpokládaného stupně vyztužení 0 00855 m A s,req / A = 0,00855/0,3 = 0,03 0,05 je větší než dříve odhadnutý stupeň vyztužení. Vzhledem k tomu, že dříve odhadnutý stupeň vyztužení A est / A = 0,05 je menší než navržený s přihlédnutím k vypočteným návrhovým veličinám (M Ed ; N Ed ), musíme upřesnit moment druhého řádu. Použitý postup je stejný jako v předhozím, avšak za odhadnutý stupeň vyztužení budeme uvažovat 0,03. 14
Upřesnění momentu. řádu N 1, 500 0 833 1 0 Ed n,, Af d 03, 0 A est f yd 0, 03 435 n u 1 1 1 1, 696 A f 0 n 04, bal d n n 1, 696 0, 833 0 666 u K r, nu n bal 1, 696 0, 4 ef 087, f 30 65,,,, 00 150 00 150 φ k 035 035 0065 K 1 10, 0650, 85 1, 055 Ed ef K r K φ f yd l 0 0, 6661, 0554355, 65 e 0, 1 0, 0434 m 0, 45 de 0, 450, 500000 s M N e 15000, 0434 65 knm, 17 knm M max M ; M M ; M 0, 5M max 110;6 65;70 0, 565 Ed 0 0e 01 max 110;17;10 5 Ed n, Af d 03, 0 1 N 1, 500 Ed d 0 833 M 0, 17 0, 35 bh f 03, 030, 0 d / h 0, 05 / 0, 30 0, 166 0, 15 071, d A s,req, fyd 435 s,req b h f 07103,, 03, 0 A / A, /,,, 0 00938 m 0 00938 0 3 0 0036 0 003 143
Návrh vyztužení průřezu Navrhneme 8 Obr. 5.31 Vyztužení průřezu A s = 0,003041m A s,req = 0,00938 m 0,1 N 0,11, 500 A s,min A f Ed 0,000435 m 0,00 0,00 0,3 0,00018 m yd 435 Posouzení průřezu Obr. 5.3 Vyztužení průřezu, označení Navrženo 8 A s = 0,003041 m Výztuž u jednoho povrhu 3 A s1 = A s = 0,001140 m N Ed = 1500 kn; M Ed = 17 knm Stanovení základníh veličin uvažované krytí výztuže 30 mm d 1 = d = a = + st 0,5= 30 + 8 + 0,5 = 49 mm 0,05 m d = h d 1 = 0,30 0,05 = 0,5 m z 1 = 0,5 h d 1 = 0,15 0,05 = 0,10 m z = 0,5 h d = 0,15 0,05 = 0,10 m 144
Kontrola vyztužení (též obr. 5.1 v Příloze 5) 0,1 NEd 0,11, 500 A s,min 0, 000435 m 0, 00 A 0, 00 0, 3 0, 00018 m fyd 435 A s,max 0,04 A = 0,04 0,3 = 0,003600 m A s = 0,003041 m A s,min = 0,000435 m vyhovuje A s = 0,003041 m < A s,max = 0,003600 m vyhovuje Při posouzení je třeba uvažovat minimální výstřednost: e 0 = max {h / 30; 0 mm} = max {300 / 30 = 10 mm; 0 mm}; e 0 = 0 mm N Ed = 1500 kn; M Ed = 1500 0,0 = 30 knm Posouzení provedeme při uvažování náhrady interakčního diagramu lomenou čárou, a to mezi body 0 1. Bod 0 interakčního diagramu N Rd0 = b h f d + A s s = 0,3 0,3 1 0 10 3 +0,003041 400 10 3 = 3016,4 kn s = 3 E s = 0,00 00000 = 400 MPa M Rd0 = 0 knm Bod 1 interakčního diagramu uvažujeme 3 A s = 0,001140 m N Rd1 = b d f d + A s f yd = 0,3 0,8 0,5 1 0 10 3 + 0,001140 435.10 3 = 1695,9 kn M Rd1 = b d f d 0,5 (h d) + A s f yd z = 0,3 0,8 0,5 1 0 10 3 0,5 (0,3 0,8 0,5) + 0,001140 435 10 3 0,10 = 109,6 knm Bod interakčního diagramu uvažujeme A s1 = A s = 0,001140 m N Rd,bal = b bal,1 d f d + A s f yd A s1 f yd = 0,3 0,8 0,617 0,5 1 0 10 3 + + 0,001140 435 10 3 0,001140 435 10 3 = 740,4 kn M Rd1 = b bal,1 d f d 0,5 (h bal,1 d) + A s f yd z + A s1 f yd z 1 = = 0,3 0,8 0,617 0,5 1 0 10 3 0,5 (0,3 0,8 0,617 0,5) + + 0,001140 435 10 3 0,10 = 164,6 knm Uplatní se úsek mezi body 1 a N Ed = 1500 kn M M M M N N Rd,bal Rd1 Rd Rd1 Rd1 Ed NRd1 NRd,bal 145
M Rd 164,6 109,6 109,6 1695,9 150011,0 knm 1695,9 740,4 M Rd = 11,0 knm M Ed = 17 knm Průřez mírně nevyhovuje, při náhradě přímky křivkou průřez by vyhověl. Metoda založená na jmenovité tuhosti Výpočet zvětšeného momentu provedeme při použití vývojového diagramu znázorněného na obr. 5.6b. Předpokládáme-li podle předhozího elkový stupeň vyztužení = A s / A = 0,03 a odhadneme výztuž u jednoho povrhu A s1 = 0,001 m Obr. 5.33 Uvažovaný průřez I A z 0, 0010, 1 0, 00004 m 4 s s1 1 I b h / 1 0, 30, 3 / 1 0, 000675 m E E 3 3 4 m d S E 33000 1, 1, 00000 MPa 7500 MPa Stanovení účinného součinitele dotvarování φ ef viz metoda založená na jmenovité křivosti φ ef = 0,87. 146
Uvažujeme-li elkový stupeň vyztužení = A s / A = 0,03 0,01, bude K 1 s fk 30 K 1 15, 0 0 N 15, 65, K 030, 170 03 0 170 Ed A f d, 1 K,, 1ef 10, 87 KK 1, 50, 30 0 10 0 K 0, Jmenovitá štíhlost EI K E d I K s E s I s 0, 75000, 000675 1000000, 00004 8, 513 MNm Vzpěrné břemeno stanovené na základě jmenovité tuhosti EI 8, 513 N, 63 B l 0 565, 1, 4 8 Celkový návrhový moment 1, 34 M M 1 6 1 163 knm Ed N / N, /, 0e B Ed 1 63 15 1 Uvažujeme-li = 1,0, obdržíme 1 1 M M 6 144 knm Ed N / N, /, / 0e 1 Ed B 1 15 63 Při použití metody založené na jmenovité tuhosti obdržíme větší hodnotu návrhového momentu, než při použití metody založené na jmenovité křivosti. 5.13. Interakční diagram masivní sloup Vykreslete interakční diagram průřezu masivního sloupu. Rozměry průřezu a výztuž jsou patrny z obr.5.34. Krytí podélné výztuže sloupu bylo stanoveno hodnotou = 35 mm, při uvažování 5 mm (podélná výztuž). Třída betonu C0/5, oel B505B. Při výpočtu uvažujte rovnoměrné rozdělení napětí v betonu a neomezené přetvoření tahové výztuže. 147
Obr. 5.34 Průřez sloupu Materiálové harakteristiky f Beton C0/5: k 0 fd 13,3 MPa; = 1,0; = 1,0; = 0,8 1, 5 Výztuž B500B: f yd u3 bal,1 u3 yd 3,5,175 S C fyk 500 fyd 435 435 MPa; yd,175 1,15 E 00 3,5 0,617 ; bal, = u3 Stanovení bodů interakčního diagramu (viz obr. 5.14) Stanovení základníh veličin uvažované krytí podélné výztuže = 35 mm d 1 = d = + 0,5 = 35 + 0,5 5 = 48 mm = 0,048 m d = h d 1 = 0,5 = 0,40 0,048 = 0,35 m d = h d = 0,5 = 0,40 0,048 = 0,35 m z 1 = 0,5 h d 1 = 0,0 0,048 = 0,15 m z = 0,5 h d = 0,0 0,048 = 0,15 m pro f k 50 MPa je = 1,0; = 0,8 Plohy výztuží a odpovídajíí síly: 5 A s = 98,0 10-6 m 5 A s1 = 98,0 10-6 m A s = 1964,0 10-6 m F s1 = A s1 f yd = 98 10-6 435 10 3 = 47,17 kn F s = A s f yd = 98 10-6 435 10 3 = 47,17 kn 148 s u3 yd 3,5,641 3,5,175
F s = (A s A s1 ) f yd = (98 10-6 98 10-6 ) 435 10 3 = 0 bod 0 N Rd0 = b h f d A s s A s1 s = 0,4 0,4 1 0 10 3 98 10-6 400 10 3 98 10-6 400 10 3 = 3985,4 kn s = e 3 E s = 0,00 00000 = 400 MPa M Rd0 = A s s z A s1 s z 1 = 98 10-6 400 10 3 0,15 98 10-6 400 10 3 0,15 = 0 knm bod 1 N Rd1 = (b d f d + F s ) = (0,4 0,8 0,35 1 0 10 3 + 47,17) = 680,0 kn M Rd1 = b d f d 0,5 (h d) + F s z = 0,4 0,8 0,35 1 0 10 3 0,5 (0,4 0,8 0,35) + 47,17 0,15 = 198,3 knm bod N Rd,bal = ( bal,1 b d f d + F s ) = (0,8 0,617 0,4 0,35 1 0 10 3 + 0) = = 1389,5 kn M rd,bal = bal,1 b d f d 0,5 (h bal,1 d) + F s1 z 1 + F s z = = 0,8 0,617 0,4 0,35 1 0 10 3 0,5 (0,4 0,8 0,617 0,35) + 47,17 0,15 + + 47,17 0,15 = 87,1 knm bal,1 d bal, d ; 0,617 0,35 = 0,17 m >,641 0,048 = 0,17 m s1 = s = f yd bod 3 N Rd3 = 0 M Rd3 = F s1 (d 0,5x) = 47,17 (0,35 0,5 0,8 0,0667) = 138,9 knm Fs1 x = b f d 47,17 0,80, 4 10 10 3 = 0,0667 bez započítání tlakové výztuže bod 4 N Rdt,bal = F s1 = 47,17 kn M Rdt,bal = F s1 z 1 = 47,17 0,15 = 64,9 knm bod 5 N Rdt,0 = F s1 + F s = 47,17 + 47,17 = 854,3 kn M Rdt,0 = F s1 z 1 F s z = 47,17 0,15 47,17 0,15 = 0 knm 149
bod 1` bod ` bod 3` bod 4` N Rd1` = (b d` f d + F s1 ) = (0,4 0,8 0,35 1 0 10 3 + 47,17) = 680,0 kn M Rd1` = b d` f d 0,5 (h d`) F s1 z 1 = = 0,4 0,8 0,35 1 0 10 3 0,5 (0,4 0,8 0,35) 47,17 0,15 = 198,3 knm N Rd,bal` = ( bal, b d`.f d F s ) = (0,8 0,617 0,4 0,35 1 0 10 3 + 0) = = 1389,5 kn M Rd,bal` = bal, b d` f d 0,5 (h bal,1 d) F s1 z 1 F s z = = 0,8 0,617 0,4 0,35 1 0 10 3 0,5 (0,4 0,8 0,617 0,35) 47,17 0,15 7,17 0,15 = 87,1 knm bal, d bal, d, 0,17 > 0,17 s1 = s = f yd N Rd3` = 0 M Rd3` = F s (d` 0,5 x) = 47,17 (0,35 0,5 0,8 0,0667) = 138,9 knm Fs x = b f d 47,17 0,80, 4 10 10 N Rdt,bal` = F s = 47,17 kn M Rdt,bal` = F s z = 47,17 0,15 = 64,9 knm Kontrola vyztužení pro tlačenou výztuž A A 0,05 N 0,053754 Rd 6 si,min 4310 m 3 fyd 434,810 si,min 3 = 0,0667 bez započítání tlakové výztuže 6 0,001A 0,0010,16 16010 m A A s,min s,max 6 6 A ; A s,min 4310 86410 m si,min 0,04 A = 0,04 0,16 = 6400 10-6 m pro taženou výztuž ftm bt d 3 si,min fyk 3 50010 A 0, 6 0, 6,9 10 0, 40,35 110 6 m 150
A si,min 0,0013 b d = 0,0013 0,4 0,35= 183 10-6 m pro výztuž v průřezu A s1 = A s ; A s = 98 10-6 m 43 10-6 m > A si,min = 1 10-6 m vyhovuje A s,min = 864 10-6 m A s = 98 10-6 = 1964 10-6 m < A s,max = 6400 10-6 m vyhovuje Minimální výstřednost e 0 = h / 30 > 0 mm e 0 = 0,4 / 30 = 0,0133 < 0mm, proto e 0 = 0 mm Interakční diagram je znázorněn na obr. 5.35. Poznámka: Pokud byhom uvažovali stanovení návrhového momentu únosnosti za ohybu s tlakovou výztuží, byl by interakční diagram v této oblasti vyrovnanější. Obr. 5.35 Interakční diagram 5.13.3 Návrh výztuže obdélníkový průřez Navrhněte výztuž sloupu obdélníkového průřezu o rozměreh b = 0,3 m a h = 0,6 m (obr. 5.36). Návrhové hodnoty účinků zatížení jsou N Ed = 1530 kn (tlaková síla) a M Ed = 565 knm (včetně momentu druhého řádu). Tloušťka betonové kryí vrstvy podélné výztuže byla stanovena hod- 151
notou = 35 mm při uvažování = 0 mm (podélná výztuž). Uvažujte beton třídy C40/50 s výztuží B500B. Při návrhu předpokládejte rovnoměrné rozdělení napětí betonu v tlačené oblasti průřezu a neomezené přetvoření oeli. Obr. 5.36 Průřez sloupu Materiálové harakteristiky Beton C 40/50: f f 40 6,7 k d MPa; = 1,0; = 1,0; = 0,8 C 1, 5 Výztuž B500B: f yd fyk 500 fyd 435 435 MPa; yd,175 1,15 E 00 S S 3,5 u3 bal,1 u3 yd 3, 5,175 u3 0, 617; bal, = u3 yd 3,5,63 3, 5,175 Návrh výztuže viz obr. 5.19 a 5.0 Stanovení základníh veličin uvažované krytí podélné výztuže = 35 mm d 1 = d = + 0,5 = 35 + 0,5 0 = 45 mm = 0,045 m d = h d 1 = 0,60 0,045 = 0,555 m z 1 = 0,5 h d 1 = 0,30 0,045 = 0,55 m z = 0,5 h d = 0,30 0,045 = 0,55 m N Ed = 1530 kn; M Ed = 565 knm; e Ed = M Ed / N Ed = 565 / 1530 = 0,369 m Výpočet F,bal, x F,bal = b bal, d f d = 0,8 0,3 0,617 0,555 1 6,7 10 3 = 194,3 kn N Ed = 1530 kn < N,bal = 194,3 kn převládá tah (velká výstřednost) M Ed1 = M Ed N Ed z 1 = 565 ( 1530) 0,55 = 955,15 knm 15