Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pravděpodobnosti Vlastnosti pravděpodobnosti náhodného jevu Podmíněná pravděpodobnost a nezávislost jevů Celková a Bayesova pravděpodobnost Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 1/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 2/17 Děj pokus jev Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Teorie pravděpodobnosti se zabývá zákonitostmi náhody(hromadnými stochastickými ději) hromadný stochastický děj děj, jenž nemusí mít vždy stejný výsledek, i když probíhá v komplexu stejných podmínek náhodný pokus děj, jenž probíhá v komplexu stejných podmínek náhodný jev pojmenování hromadného stochastického děje zkoumaného z kvantitativního pohledu(šance s jakou může děj nastat) Pravděpodobnost míra možnosti [likelihood],žedanýnáhodnýjevnastane axiomatická definice pravděpodobnosti empirické zavedení(návod jak počítat) Klasickádefinicepravděpodobnosti Statistickádefinicepravděpodobnosti Geometrickádefinicepravděpodobnosti deterministický děj děj se známým, předem očekávaným výsledkem Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 3/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 4/17
Pravděpodobnostní prostor Ω pravděpodobnostníprostor množinavšechmožnýchvýsledkůnáhodnéhopokusu(konečná, nekonečná i nespočetná) ω elementární jevy prvkypravděpodobnostníhoprostoru(ω Ω) A (složený)jev podmnožinypravděpodobnostníhoprostoru (A,B, Ω,ω A,B,...) Základní vztahy a operace mezi jevy I Množinové pojetí Nechť ΩjepravděpodobnostníprostoraA,B,...,respektive A 1,A 2,...,A n jsou jevynatomtoprostoru,azápis ω Aznamená,žejev Anastalpak: A B jev Ajepodjevemjevu B nastal-lijev Anastaneijev B,nenastal-lijev Bnenastaneani jev A(A B = {ω Ω : ω A ω B}) A = B jev Ajetotožný(ekvivalentní)sjevem B A B B A A B sjednoceníjevů AaB nastanealespoňjedenzjevů Anebo B (A B = {ω Ω : ω A ω B}) A B průnikjevů AaB nastanouobajevy AaBsoučasně (A B = {ω Ω : ω A ω B}) Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 5/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 6/17 Základní vztahy a operace mezi jevy II Množinové pojetí B A rozdíljevů AaB nastanejev Bazároveňnenastanejev A (B A = {ω Ω : ω B ω / A}) A opačnýjevkjevu A nastanouvšechnyelementárníjevyneobsaženévjevu A (A = Ω A = {ω Ω : ω / A ω A }) A B = AaBjsoujevyneslučitelné(vzájemněsevylučující) jevy AaBnemohounastatsoučasně A j A k = platípro j,k =1,...,n, i jpakjevy A 1,...,A n nazývámejevy párově neslučitelné Ai = B jsou-lijevy A 1,...,A n párověneslučitelnéazároveňplatí,že n A i = B,pak A 1,...,A n tvořírozkladjevu B Ω jev jistý(jev s pravděpodobností 1) jevnemožný(jevspravděpodobností0 Pozor:,alene ) Axiomatická definice pravděpodobnosti Definice pravděpodobnosti Uvažujme neprázdný pravděpodobnostní prostor Ω a σ-algebru jeho podmnožin A. PakPjemíradefinovanána (Ω,A)taková,že ip( ) =0,P(Ω) =1; ii A A P(A) 0;1 ; iii {A n } n=1 A n A, A i A j =,pro i j P( A i ) = P(A n ). Definice σ-algebry Neprázdný systém A podmnožin Ω se nazývá σ-algebrou právě tehdy když: i A; ii A A A A; iii A 1,A 2, A A i A. Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 7/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 8/17
Klasická definice pravděpodobnosti Statistická definice pravděpodobnosti Nechť má náhodný pokus konečný počet elementárních jevů n. Každý z těchto jevůjestejněmožný.skládá-lisejev Azmelementárníchjevů,pak pravděpodobnost jevu A definujeme: P(A) = m n. Bezpředpokladukonečnostipravděpodobnostníhoprostoruapředpokladu stejné možnosti nastání elementárních jevů definice neplatí! Pravděpodobnostníprostordefinovanývýšesenazývá:Klasický pravděpodobnostní prostor. Klasickýpravděpodobnostíprostorlzezískatsprávnouvolbouelementárních jevů. Výpočetpravděpodobnostijezaložennamatematickémmodelu. Nechť je opakovaně prováděna série náhodných pokusů, při nichž je zaznamenáváno nastání jevu A. Označme počet pokusů n a počet nastání jevu A n A.Kolísají-lirelativníčetnosti n A /nkolemurčitéhodnoty P(A),lzetuto hodnotu označit za pravděpodobnost, s jakou nastává jev A. Je-li n dostatečně velké lze relativní četnost označit přímo za pravděpodobnost, sjakounastávájev A.Tedy P(A) = n A n. Čímrozsáhlejšíjezkoumání/pokus,tímvěrohodnějšíurčenípravděpodobnosti proběhlo Určenípravděpodobnostijezaloženonazkušenostiaopodstatněnocentrální limitní větou. Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 9/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 10/17 Geometrická definice pravděpodobnosti Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost náhodného jevu Vlastnosti pravděpodobnosti náhodného jevu Nechť existuje míra µ, kterou lze určit pravděpodobnost i jinak, než z pohledu relativních četností, či počtu příznivých možností. Obvykle lze pravděpodobnostní prostor Ωijev Avyjádřitpomocígeometrickýchútvarůatypak změřit µ(ω) a µ(a), pak pravděpodobnost jevu A definujeme: P(A) = µ(a) µ(ω). Obvyklezavhodnoumírupovažujemetzv.Lebesquevůvintegrál. Vnašempřípaděsibohatěvystačímesdélkouúseček,čiplochou elementárních útvarů. Výpočetpravděpodobnostijeopětzaložennamatematickémmodelu. Nechť ΩjepravděpodobnostníprostoraA,B,...,respektive A 1,A 2,...,A n jsou jevy na tomto prostoru, pak: 0 P(A) 1, A Ω; P( ) =0; P(Ω) =1; Je-li A BpakP(A) P(B); P(A)+P(A ) =1; P(A ) =1 P(A); Jsou-li A,Bneslučitelné,pakP(A B) =P(A)+P(B); Jsou-li A,Bjakékoliv,pakP(A B) =P(A)+P(B) P(A B); Je-li A B,pakP(B A) =P(B) P(A); Jsou-li A,Bjakékoliv,pakP(B A) =P(B) P(A B); Pro A 1,A 2,...,A n platíp(a 1 A 2 A n ) =1 P(A 1 A 2 A n). Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 11/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 12/17
Podmíněná pravděpodobnost Uvažujme dva jevy A, B takové, že P(B) > 0. Podmíněná pravděpodobnost nastáníjevu A,jenžnastávázapodmínky,ženastaljev Bsedefinuje: P(A B) = P(A B). P(B) Násobení pravděpodobností Uvažujmejevy A 1,A 2,...,A n,takové,žep(a 1 A 2 A n 1 ) >0.Pak lze vypočítat pravděpodobnost, se kterou nastanou všechny současně jako: P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 2 A 1 ) P(A n A 1 A 2 A n 1 ). Jednásevlastněorestrikcipravděpodobnostijakomíryna pravděpodobnostnípodprostor B Zřejměplatí: P(A Ω) = P(A Ω) =P(A). P(Ω) NechťP(A) >0aP(B) >0,potom: P(A B) =P(A B)P(B) =P(B A)P(A). Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 13/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 14/17 Nezávislost jevů Celková pravděpodobnost Pravděpodobnost náhodného jevu Celková a Bayesova pravděpodobnost NechťP(A) >0aP(B) >0anechťplatí: P(A B) =P(A)azároveň P(B A) =P(B),pakjsoujevy AaBnasobězřejměnezávislé. Jevy A, Bjsounezávislé P(A B) =P(A)P(B). Jsou-lijevy AaBnezávislépotomiAaB, A a Bi A a B jsoujevy nezávislé. Jsou-lijevy A1,A 2,... vždypodvounezávislé,tj.p(a i A j ) =P(A i )P(A j ) pro i j,potomsetytojevynazývajípárověnezávislé. Jevy A1,A 2,...,A njsouvzájemně(totálně)nezávislé,pokudprolibovolnou k-tici,kde k =2,3,...,n,platí: Uvažujmekonečnýrozklad B 1,B 2,...,B n pravděpodobnostníhoprostoru Ω takový,žep(b i ) >0pro i =1,...,n.Nechťjev Ajeovlivněnjevy B 1,B 2,...,B n aznáme-lijednotlivépravděpodobnostip(b i )ap(a B i ),paklzevypočítatp(a) jako: n P(A) = P(A B i )P(B i ). P(A B i ),P(B i ),pro i =1,...,nseoznačujíjakoapriornípravděpodobnosti P(A 1 A 2 A k ) =P(A 1)P(A 2)...P(A k ). Jsou-lijevy A1,A 2,... párověnezávislé,paktoještěneznamená,žejsou totálně nezávislé. Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 15/17 Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 16/17
Pravděpodobnost náhodného jevu Celková a Bayesova pravděpodobnost Bayesův vzorec Nechťplatívšejakoucelkovépravděpodobnosti,paklzevypočítatP(B i A)pro i =1,...,n(pravděpodobnost,žejev Anastaljakonásledekjevu B i )jako: P(B i A) = P(A B i)p(b i ). n P(A B i )P(B i ) P(A B i ),P(B i ),pro i =1,...,nseoznačujíjakoapriornípravděpodobnosti, P(B i A)pro i =1,...,nsenazývajíaposteriornípravděpodobnosti. Statistika bybirom Základyteorieprsti Náhodnýjev 17/17