OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15. Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,...

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,... 1. Pojem topologického prostoru Historie: Maurice Fréchet (1906) definoval metrické prostory; Felix Hausdorff (1914) definoval Hausdorffovy topologické prostory; Kazimierz Kuratowski (1922) definoval obecnější topologické prostory. 1.1. Metrické a topologické prostory. Znalosti o metrických prostorech. Otevřené podmnožiny metrického prostoru (X, ρ). Tvrzení 1.1 (vlastnosti G ρ ). Nechť (X, ρ) je metrický prostor. Pak pro množinu G = G ρ všech otevřených množin platí (G1), X G; (G2) ( G, H G) G H G; (G3) ( H G) H G. Navíc U ρ (x, r) G ρ pro všechna x X a r > 0. Definice 1.2. (X, G) je topologický prostor, pokud X je množina a G P(X) splňuje (G1), (G2) a (G3). Prvky G jsou otevřené množiny. Pojem metrizovatelný topologický prostor. Příklady: metrické prostory, diskrétní (největší) a indiskrétní (nejmenší) topologie na množině X a jejich metrizovatelnost. 1.2. Generování topologie pomocí báze. Pojem báze topologie. Nutné podmínky. Pro metrický prostor (X, ρ) je {U ρ (x, r) : x X, r > 0} báze G ρ. Tvrzení 1.3 (generování topologie pomocí báze). Je-li B P(X) a (B1) B = X a (B2) pro všechna U, V B platí U V = {B B : B U V }, pak G = G B = {G X : G = {B B : B G}} je jediná topologie s bází B. Podmínky (B1) a (B2) jsou i nutné podmínky pro to, aby B byla bází nějaké topologie. Existuje báze s minimální mohutností. Pojmy váha topologického prostoru, topologický prostor se (nejvýše) spočetnou vahou, resp. splňující 2. axiom spočetnosti. Příklad. V metrickém prostoru (X, ρ) je {U(x, r) : x X, r > 0} báze topologie G ρ (např. X R n ). Cvičení. Existuje minimální báze každé topologie? Příklad. Sorgenfreyova přímka a další příklady generování známých topologií na cvičení. Definice husté podmnožiny topologického prostoru a jeho separability. 1

2 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Tvrzení 1.4 (separabilita a spočetná báze). (a) Topologický prostor, který má (nějakou) spočetnou bázi, je separabilní. (b) Metrizovatelný prostor (X, G) je separabilní, právě když má spočetnou bázi. Cvičení. V topologickém prostoru ekvivalence obecně neplatí (Sorgenfreyova přímka nemá spočetnou bázi a je separabilní). Tvrzení 1.5 (subbáze). Nechť S P(X) splňuje Pak (B1) S = X. B S = {S 1 S n : n N, S 1,..., S n S} je báze topologie G S. Takovému systému S říkáme subbáze. Speciálně S generuje jedinou topologii G S výše uvedeným způsobem. Příklad. Pro f R M = {g : M R}, x M a ε > 0 definujme S(f, x, ε) = {g R M : g(x) f(x) < ε}. Pak S = {S(f, x, ε) : f R M, x S, ε > 0} je subbáze topologie, které říkáme topologie bodové konvergence (na M). Tato topologie je metrizovatelná, právě když je M spočetná (později na přednášce). Konec 1. přednášky. 1.3. Okolí a báze okolí bodu. Definice pojmů: (a) Množina G(x) otevřených okolí bodu x v topologickém prostoru (X, G) tvoří bázi U(x). (b) Okolí bodu x (značení U(x)). (c) Báze okolí daného bodu neboli báze topologie v daném bodě. Poznámky: 1. G(x) je báze U(x). 2. Je-li B báze G, je B(x) = {B B : x B} báze G v x. Tvrzení 1.6 (vlastnosti U(x), x X). Je-li (X, G) topologický prostor, pak pro systémy U(x), x X, okolí bodů platí (U1) U(x) a x U pro x X a U U(x). (U2) Je-li U U(x) a U V, je V U(c). (U3) Je-li U, V U(x), je U V U(x). (U4) Je-li U U(x), existuje G U(x) takové, že U Ga ( y G)( W U(y))W G. Navíc platí rovnost G = G U := {G X : ( x G)( U U(x))U G. Pokud systémy U(x) P(x), x X, splňují (U1)-(U4), je G U topologie na X a U(x) je systém všech okolí x (pro každé x X) v této topologii. Poznámka. Podmínka (U4) říká, že každé okolí bodu x obsahuje otevřené okolí v G U. Definice: Charakter prostoru v bodě a charakter prostoru; 1. axiom spočetnosti, tj. spočetný charakter. Příklady a poznámka.

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 3 Metrizovatelný (neseparabilní) prostor má spočetný charakter (a nemá spočetnou bázi). Sorgenfreyova přímka má spočetný charakter, ale nemá spočetnou bázi. Prostor se spočetnou vahou má spočetný charakter. Poznámka. Příklady topologie s nespočetným charakterem - viz cvičení. 1.4. Vnitřek, uzávěr, uzavřené množiny. Definice vnitřního bodu množiny, vnitřku množiny, značení A 0 (Int A, Int G A ap.). Poznámka - pozorování. Vnitřek A (X, G) je největší otevřená podmnožina A. Operace vnitřku je zobrazení A X A 0. Tvrzení 1.7 (topologie a operace vnitřku). Nechť (X, G) je topologický prostor. Pak zobrazení Int : A X A 0 X splňuje následující podmínky. (I1) X 0 = X; (I2) A 0 A pro A X; (I3) (A B) 0 = A 0 B 0 pro A, B X; (I4) (A 0 ) 0 = A 0 pro A X. Navíc topologie G je určena operátorem Int jednoznačně předpisem G = G Int := {G X : G = Int (G)}. Pokud operátor I : P(X) P(X) splňuje podmínky (I1)-(I4) (pro I namísto Int ), je G I topologie a I = Int GI. Poznámka. Z vlastností (I1)-(I3) neplyne (I4). Příklad na cvičení. Definice: Pojmy x patří do uzávěru A, uzávěr A, značení A. Poznámka. Náležení x do uzávěru stačí testovat prvky libovolné báze okolí x. Tvrzení 1.8 (dualita vnitřku a uzávěru). V topologickém prostoru (X, G) platí X \ A = (X \ A) 0 a X \ A 0 = X \ A pro všechna A X. Tvrzení 1.9 (topologie a uzávěr). Nechť (X, G) je topologický prostor. Pak pro všechna A, B X platí: (CL1) =, (CL2) A A, (CL3) A B = A B, (CL4) A = A. Topologie je operací uzávěru jednoznačně určena (G = G CL := {G X : (X \ G) = X \ G}). Pokud operace C : P(X) P(X) splňuje podmínky (CL1)-(CL4), je C operátor uzávěru jediné topologie G C, přičemž C je operátorem uzávěru v této topologii. Jde o důsledek vlastností vnitřku a duality. Vlastnosti (CL1)-(CL3) neimplikují (CL4) (cvičení). Definice. Pojem uzavřené množiny, značení F = F(X, G). Tvrzení 1.10 (charakterizace uzavřené množiny a uzávěru). Pro topologický prostor (X, G) a A X platí (a) A je uzavřená, právě když X \ A je otevřená. (b) Uzávěr A je nejmenší uzavřená množina, která obsahuje A.

4 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Konec 2. přednášky. Jako důsledek předchozího dostáváme Tvrzení 1.11 (uzavřené množiny). Nechť (X, G) je topologický prostor. Pro systém F uzavřených množin platí (F1), X F, (F2) Pro E, F F je E F F, (F3) Pro E F je E F. Splňuje-li systém F podmnožin X tyto podmínky, definuje jednoznačně určenou topologii G = {X \ F : F F} se systémem všech uzavřených množin F. Pro A (X, G) definujeme pojmy hromadný bod množiny A a derivované množiny A ; pojem izolovaného bodu množiny A, pojem hranice množiny A - značené např. A. Množina A je hustá, pokud A = X, A je řídká, pokud (A) 0 =. Cvičení. A = A A = A A, A\A je množina izolovaných bodů A, A je řídká, právě když X \ A je hustá. 1.5. Konvergence v topologických prostorech. Limita posloupnosti v topologickém prostoru. Bod uzávěru A nemusí být limitou posloupnosti prvků A. Příklad příklad 0 {1 χ K R M : K M konečná} pro nespočetnou M. Podrobněji na cvičení. Pro bod x uzávěru množiny A existují x U A U, pro každé ("libovolně malé") U U(x) či U G(x). Pojmy usměrněná množina (I, ), netu, resp. zobecněné posloupnosti, jeho (resp. její) limity. Tvrzení 1.12 (jednoznačnost zobecněné limity a Hausdorffova vlastnost). Každý net v topologickém prostoru (X, G) má nejvýš jednu limitu, právě když ( x, y X, x y)( U, V G) x U, y V, U V =. Takovým prostorům říkáme Hausdorffovy či také T 2 -prostory. Poznámka - cvičení. V Hausdorffových prostorech je každá konečná množina uzavřená. K tomu stačí ( (x, y) X 2, x y)( U G) x U, y / U. Takovým prostorům se říká T 1 -prostory. Tvrzení 1.13 (uzávěr a zobecněné posloupnosti). V topologickém prostoru platí, že x A, právě když existuje net v A, jehož limita je x. Cvičení. x A, právě když existuje net (x i ) (I, ) v A, x i x pro i I a x je jeho limitou. 1.6. Pojem spojitého zobrazení. Definice. Nechť (X, G), (Y, H) jsou topologické prostory a f : X Y je zobrazení. (a) f je spojité, pokud f 1 (H) G pro každou H H. (b) f je spojité v x X, jestliže f 1 (W ) U (X,G) (x) pro každé W U (Y,H) (f(x)). Poznámka. (1) f : (X, G) (Y, H) je spojité, právě když vzory prvků nějaké subbáze topologie Y jsou otevřené.

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 5 (2) f : (x, G) (Y, H) je spojité v x X, právě když vzory prvků nějaké báze okolí f(x) v (Y, H) jsou otevřené. (3) Definice jsou konzistentní s těmi, které známe pro metrické prostory. Konec 3. přednášky. Cvičení. (1) Nechť f : (X, G X ) (Y, G Y ) a g : (Y, G Y ) (Z, G Z ) jsou spojitá, pak g f je spojité. (2) Nechť f, f n : (X, G) R, f n jsou spojitá a f n f, pak f je spojité. Tvrzení 1.14 (charakterizace spojitosti - "Heine"). (a) Zobrazení f : (X, G X ) (Y, G Y ) je spojité, právě když je spojité v každém bodě x X. (b) Zobrazení f : (X, G X ) (Y, G Y ) je spojité, právě když lim (I, ) f(x i ) = f(x) pro každou zobecněnou posloupnost (x i ) I, ) X, pro kterou lim (I, ) x i = x. Tvrzení 1.15 (charakterizace spojitosti). Nechť f : (X, G) (Y, H). Pak f je spojité, právě když f(a) f(a) pro všechna A X. Cvičení. Spojitost f je také ekvivalentní tomu, že f 1 (B) f 1 (B) pro všechna B Y nebo rovněž tomu, že f 1 (B 0 ) (f 1 (B)) 0 pro všechna B Y. Tvrzení 1.16. Jsou-li f, g : X Y spojitá, je {x X : f(x) = g(x)} uzavřená, pokud Y je Hausdorffův. Pojem homeomorfismu a topologické vlastnosti. 1.7. Operace s topologiemi a s topologickými prostory. Pojmy hrubší (slabší) topologie a jemnější (silnější) topologie. Na množině X je indiskrétní topologie nejhrubší (nejslabší) topologií a diskrétní topologie je nejjemnější (nejsilnější). Pro topologie G a, a A, na X existuje inf A G a = a A G a, což je nejjemnější topologie na X, která je hrubší než každá G a. Také existuje sup A G a, což je nejhrubší topologie na X, která je jemnější než každá G a (ta je generována subbází a A G a). A. Topologická suma. Popis otevřených množin na a A (X a, G a ) s X a po dvou disjunktními; charakterizace jako nejjemnější (tj. nejsilnější) topologie, aby vnoření jednotlivých X a do a A X a byla spojitá; spojitá zobrazení na sumě; nezachovávání metrizovatelnosti, nezachovávání spočetné váhy, zachovávání spočetného charakteru, zachovávání hausdorffovskosti, nezachovávání separability. Pro spočetné sumy? B. Podprostory. Charakterizace otevřených a uzavřených množin na Y (X, G), zachovávání metrizovatelnosti, spočetné váhy, spočetného charakteru a hausdorffovskosti; nezachovávání separability (pojem dědičné separability). Je to nejhrubší (tj. nejslabší) topologie na Y, aby identita id : Y (X, G) byla spojitá. f : Z Y je spojité, právě když f(= id f) : Z X je spojité. C. Součin topologických prostorů.

6 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Definice (součinové) topologie na kartézském součinu X = Π a A X a systému topologických prostorů (X a, G a ) pomocí subbáze z množin tvaru ΠG a, kde G a = X a pro a a 0 a G a0 G a0. Poznámka. Jde o množiny tvaru p 1 a (G a ), G a G a a a A, kde p a : X X a je projekce p a ((x a ) a A ) = x a. Prostor R M, resp. X M, s topologií bodové konvergence jako speciální případ. Tvrzení 1.17. (a) Součinová topologie na Π a A (X a, G a ) je nejhrubší taková, aby všechny projekce p a byly spojité. (b) Zobrazení f : Y a A X a je spojité, právě když p a f(= f a ) je spojité pro každé a A. (c) Net (x i ) (I, ) v a A X a konverguje k x, právě když p a (x i ) p a (x) pro všechna a A ("jde o konvergenci po složkách"). Konec 4. přednášky. Důsledek 1.18. Jsou-li f, g : (X, G) R spojité funkce, pak f + g a f g jsou spojité. Je-li navíc g(x) 0 pro všechna x X, je i f/g spojitá. Věta 1.19 ((úplná) metrizovatelnost spočetného součinu). Jsou-li X n metrizovatelné (úplně metrizovatelné) pro všechna n N, pak Π n N X n je metrizovatelný (úplně metrizovatelný). Příklady: R N, Hilbertova krychle [0, 1] N, {0, 1} N a Cantorovo diskontinuum, N N a podprostor iracionálních čísel v R; Tichonovova krychle [0, 1] M pro M libovolnou. Cvičení. Zachovávání vlastností? Jen hausdorffovskost z výše uvažovaných. Pro spočetné součiny (cvičení)? D. Kvocient topologického prostoru (faktorprostor). Definice topologie na obrazu topologického prostoru při surjekci q : X Q. Tabulka zachovávání vlastností separability, spočetného charakteru, spočetné báze, metrizovatelnosti při přechodu k sumě, k podprostoru, k součinu, ev. ke kvocientu. Postupně doplňujte pro další vlastnosti (regularita, úplná regularita,...). 2. Oddělování spojitými funkcemi a vnoření do krychlí, resp. rozšiřování spojitých funkcí 2.1. Tichonovovy prostory a jejich vnoření do Tichonovovy či Hilbertovy krychle. Lemma 2.1 (o vnoření či o diagonálním součinu zobrazení). Nechť X, Y a jsou topologické prostory, f a : X Y a (a A). Definujeme f : X Π a A Y a předpisem f(x) = (f a (x)) a A. Pak platí: (a) Nechť {f a : a A} odděluje body (tj. ( x, y X, x y)( a A)f a (x) f a (y)). Pak je f prosté. (b) Jsou-li f a, a A, spojitá, je f spojité. (c) Nechť {f a : a A} odděluje body a uzavřené množiny (tj. ( x / F )( a A)f a (x) / f a (F )).Pak je f uzavřené zobrazení prostoru X na prostor f(x). Speciálně, pokud jsou splněny podmínky na {f a : a A} z (a), (b) i (c), je f homeomorfismus X na f(x), tj. jde o topologické vnoření X do Π a A Y a.

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 7 Poznámka. Pojem oddělování bodů spojitou reálnou funkcí. Souvislost s hausdorffovskostí. Definice. Pojem úplně regulárního prostoru (oddělování uzavřené množiny a bodu x / F v X spojitou funkcí do [0, 1] (f C(X, [0, 1]), f(x) = 0, f F 1). Pojem Tichonovova prostoru - třída T 3,5 -prostorů. Ekvivalentně, pro x, F jako v definici existuje spojitá f : X M (f C(X, M)) do nějakého metrického prostoru (ekvivalentně do R) taková, že f(x) / f(f ). (Srovnejte s (c).) Věta 2.2 (o vnoření do Tichonovovy krychle). Každý Hausdorffův úplně regulární prostor lze homeomorfně zobrazit ("topologicky vnořit") do Tichonovovy krychle, tj. do [0, 1] S pro nějakou množinu S. Pozorování. V úplně regulárním prostoru tvoří uzavřená okolí x bázi všech okolí x. Ekvivalentně: Uzavřenou množinu F a bod x / F lze oddělit otevřenými množinami. Konec 5. přednášky. Definice. Pojem regulárního prostoru. Třída T 3. Poznámky. Úplná regularita implikuje regularitu. Ekvivalence reuglarity s vepisováním uzavřených okolí do otevřené množiny. Věta 2.3 (o zachovávání regularity). (a) Podprostor regulárních, resp. úplně regulárních, prostorů je regulární, resp. úplně regulární. (b) Součin regulárních, resp. úplně regulárních, prostorů je regulární, resp. úplně regulární. Tvrzení 2.4 (oddělování v metrizovatelných prostorech). Metrizovatelné prostory X jsou Tichonovovy. Navíc mají vlastnost (UN): pro E, F X libovolné disjunktní uzavřené podmnožiny X existuje spojitá funkce f : X [0, 1] taková, že f = 0 na E a f = 1 na F. Důsledek 2.5. [charakterizace Tichonovových prostorů] Topologický prostor lze vnořit do Tichonovovy krychle, právě když je Tichonovův (tj. T 3,5 ). Věta 2.6 (o metrizovatelnosti separabilního prostoru a o vnoření do Hilbertovy krychle). Následující tvrzení o topologickém prostoru X jsou ekvivalentní: (a) X je separabilní a metrizovatelný; (b) X je Hausdorffův, má vlastnost (UN) a má spočetnou bázi. (c) X lze homeomorfně zobrazit ("vnořit") na podprostor Hilbertovy krychle. Konec 6. přednášky 2.2. Rozšiřování spojitých funkcí a normální prostory. Poznámka. Kdy lze rozšířit každou spojitou funkci f 0 : X 0 X R definovanou na X 0 na spojitou funkci f : X R? Rozmyslete si, že na metrizovatelném prostoru (dědičně normálním prostoru) to vyžaduje uzavřenost X 0. Najděte naopak normální prostor a hustou vlastní podmnožinu, ze které lze každou spojitou rálnou funkci rozšířit na celý prostor. Pozorování. Pokud lze každou spojitou funkci f 0 : X 0 X R definovanou na uzavřené X 0 X rozšířit na spojitou funkci f : X R, splňuje X vlastnost "(UN)".

8 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Pojem normálního prostoru. Hausdorffovy normální prostory nazýváme T 4 -prostory. Poznámky. (a) Metrizovatelné prostory jsou T 4 -prostory díky tvrzení o oddělování v metrizovatelných prostorech. (b) Vlastnost (UN) implikuje normalitu prostoru. (c) Suma normálních prostorů je normální. Podprostor Hausdorffova normálního prostoru nemusí být normální. Součin dvou Hausdorffových normálních prostorů nemusí být normální. (d) Normalita X je ekvivalentní podmínce ( E F(X), U G(X), E U)( G G) E G G U. Lemma 2.7 (Urysohnovo lemma - "(N)=(UN)"). Je-li topologický prostor normální, má vlastnost: (UN) Pro všechny dvojice uzavavřených disjunktních množin E, F X existuje spojitá funkce f : X [0, 1] taková, že f(x) = 0 pro všechna x E a f(x) = 1 pro všechna x F. Poznámky. (a) Pro disjunktní uzavřené E, F v normálním X a a < b v R existuje f : X [a, b] spojitá taková, že f(x) = a na E a f(x) = b na F. (b) Každou f 0 : F X {a, b} spojitou na uzavřené podmnožině F normálního prostoru lze spojitě rozšířit na funkci f : X [a, b]. Důsledek 2.8 (normalita a regularita). Je-li X Hausdorffův normální prostor, je úplně regulární. Třída T 4 je zúžením třídy T 3,5. Lemma 2.9 (stejnoměrná limita spojitých funkcí). Stejnoměrná limita spojitých funkcí f n : X R na topologickém prostoru X je spojitá. Věta 2.10 (Tietze-Urysohn; rozšiřování spojitých funkcí). Je-li X normální a F uzavřená v X, pak lze každou spojitou funkci f 0 : F R rozšířit na spojitou funkci f : X R. Konec 7. přednášky Poznámka (důsledek). V normálním prostoru X lze každou spojitou funkci f 0 : F [a, b] (pro spojitou f 0, uzavřenou F v X a a < b v R) rozšířit na spojitou funkci f : X [a, b]. 3. Kompaktní prostory 3.1. Pojmy kompaktních a Lindelöfových prostorů. Pokrývací definice kompaktnosti, spočetné kompaktnosti a Lindelöfovy vlastnosti. Poznámka 3.1. (a) Kompaktní prostor je Lindelöfův. (b) Prostor se spočetnou bází je Lindelöfův. (c) Lindelöfův prostor je kompaktní, právě když je spočetně kompaktní. Vlastnost konečných průniků (centrované systémy).

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 9 Tvrzení 3.2 (duální charakterizace kompaktnosti). Nechť X je topologický prostor. Pak X je (spočetně) kompaktní, právě když každý (spočetný) centrovaný systém uzavřených podmnožin X má neprázdný průnik. Tvrzení 3.3 (kompaktnost a Lindelöfova vlastnost pro metrizovatelné prostory). Nachť X je metrizovatelný prostor metrikou ρ. (a) Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (i) X je Lindelöfův; (ii) {U ρ (x, 1 n ) : x X} mají spočetné podpokrytí pro každé n N; (iii) X je separabilní. (b) a následující výroky jsou též ekvivalentní: (i) X je kompaktní; (ii) X je spočetně kompaktní; (iii) každá posloupnost v X má konvergentní podposloupnost. Tvrzení 3.4. (a) Spojitý obraz kompaktního (resp. Lindelöfova) prostoru je kompaktní (resp. Lindelöfův). (b) Uzavřený podprostor kompaktního (resp. Lindelöfova) prostoru je kompaktní (resp. Lindelöfův). Konec 8. přednášky Tvrzení 3.5. Nechť X je spočetně kompaktní. (a) Pak každá spojitá reálná funkce na X nabývá svého maxima i minima. (b) Pak každá posloupnost spojitých reálných funkcí na X, která konverguje bodově ke spojité funkci, konverguje stejnoměrně. Příklad. Jednoprvková kompaktifikace A(D) nespočetné diskrétní množiny D. Podprostor Hausdorffova kompaktního prostoru nemusí být Lindelöfův. Lemma 3.6. V Hausdorffově topologickém prostoru X lze oddělovat body a kompaktní množiny otevřenými množinami, tj. pro x X, K X kompaktní, x / K existují otevřené disjunktní G, H X takové, že x G a K H. Speciálně, kompaktní Hausdorffův prostor je regulární. Poznámka. Opakovanou aplikací výsledku na oddělování x E a F lze podobně docílit oddělování dvojic disjunktních kompaktních množin E a F, speciálně dokázat přímo, že kompaktní Hausdorffův prostor je normální. Věta 3.7 (topologické vlastnosti kompaktních a Lindelöfových prostorů). (a) Kompaktní podpodprostor K Hausdorffova prostoru X je uzavřenou podmnožinou X. (b) Lindelöfův (Hausdorffův) regulární prostor je normální. Spec. kompaktní Hausdorffův prostor je normální. Podmínku (b) ve Větě 2.6 lze nahradit formálně slabším předpokladem, že prostor je T 3 a má spočetnou bázi: Důsledek 3.8 (podmínka pro normalitu a metrizovatelnost separabilního prostoru). (1) Hausdorffův regulární prostor se spočetnou bází je normální. (2) Separabilní prostor je metrizovatelný, právě když je Hausdorffův, regulární a má spočetnou bázi.

10 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 3.2. Spojité funkce na kompaktních prostorech a Stone-Weierstrassova věta. Tvrzení 3.9 (funkce na spočetně kompaktních prostorech). (W) Nechť f : X R je spojitá funkce na neprázdném spočetně komaktním prostoru X. Pak f nabývá extrémy na X. (D) Jsou-li f n, f : X R spojité na spočetně kompaktním prostoru X, (f n (x)) n=1 jsou nerostoucí posloupnosti pro x X a posloupnost funkcí (f n ) n=1 konverguje bodově k f, pak posloupnost (f n ) n=1 konverguje stejnoměrně k f na X. Pro K Hausdorffův kompaktní prostor značíme C(K) Banachův prostor spojitých reálných funkcí na K s normou f = max{ f (x) : x K}. Je to komutativní Banachova algebra s jednotkou. Příslušná metrika definuje topologii stejnoměrné konvergence. Budeme uvažovat i prostor C(K, C) komplexních spojitých funkcí definovaný podobně. A C(K) je tedy algebra s jednotkou nad R (resp. C), pokud A obsahuje všechny konstantní (reálné, resp. komplexní) funkce a f + g i fg, jsou-li f, g A. Normovaný lineární podprostor B C(K) je svaz, pokud obsahuje sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) a inf(f, g)(x) = min(f(x), g(x)) pro f, g A. Lemma 3.10 (Weierstrassova věta o aproximaci pro odmocninu). Funkce : x x, x [0, 1], je stejnoměrnou limitou reálných polynomů (restringovaných na [0, 1]). Lemma 3.11 (algebry s jednotkou v C(K) a uspořádání). Nechť K je Hausdorffův kompaktní prostor a A C(K) je algebra s jednotkou (nad R). Pak pro f, g A je f, sup{f, g}, inf{f, g} v A. Tedy A je svaz, neboť A je též algebra (speciálně lineární prostor) s jednotkou. Věta 3.12 (Stone-Weierstrass; o aproximaci). Nechť K je neprázdný Hausdorffův kompaktní prostor. (a) Je-li A C(K) reálná algebra s jednotkou, která odděluje body, tj. pro x, y K, x y existuje f A taková, že f(x) f(y), pak A = C(K). (b) Je-li S C(K) reálný vektorový prostor takový, že sup(f, g) S a inf(f, g) S (svaz), který odděluje body a obsahuje jednotku, pak S = C(K). Konec 9. přednášky Věta 3.13 (Weierstrassovy věty a komplexní Stone-Weierstrassova věta). (a) Množina restrikcí reálných polynomů n proměnných je hustá v C(K) pro K R n kompaktní neprázdnou. (b) Množina reálných trigonometrických polynomů (ekvivalentně: reálných lineárních kombinací funkcí cos nx a sin nx pro n = 0, 1,... ) na [0, 2π] je hustá v podprostoru 2π-periodických funkcí z C([0, 2π]). (Tedy jde o úplný systém v L 2 (0, 2π).) (c) Je-li A C(K, C) podalgebra prostoru komplexních spojitých funkcí na kompaktním prostoru K, která je uzavřená na operaci konjunkce (f A implikuje f A), obsahuje konstanty a odděluje body, pak je hustá v C(K, C). Poznámka. Speciálně komplexní trigonometriké polynomy (lineární kombinace funkcí e inx, n Z), tvoří hustou podmnožinu prostoru 2π-periodických spojitých komplexních funkcí na [0, 2π].

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 11 Poznámka. Speciálně komplexní funkce p(z, z), kde p je polynom dvou komplexních proměnných s komplexními koeficienty, tvoří hustou podmnožinu prostoru spojitých komplexních funkcí na K C kompaktní neprázdné. 3.3. Součin kompaktních prostorů. Poznámka. Pro Lindelöfovy prostory máme příklad, že X je Lindelöfův, ale X X ne (S S, kde S je Sorgenfreyova přímka). Věta 3.14 (Tichonov). Jsou-li X a, a A, kompaktní, pak je i X = Π a A X a kompaktní. K důkazu užijeme (a) a (b) z následujícího lemmatu o centrovaných systémech: Lemma 3.15 (o maximálních centrovaných systémech). (a) Je-li C 0 P(X) centrovaný, existuje Ĉ0 maximální centrovaný (tj. je-li {C} Ĉ centrovaný, je C Ĉ) takový, že C 0 Ĉ0. (b) Je-li C P(X) maximální centrovaný, C C a C D, pak D C. Jsou-li C, D C, je C D C. (c) Jsou-li C 1, C 2,..., C n C, C P(X) maximální centrovaný a C 1 C 2 C n C, pak existuje i {1, 2,..., n} takové, že C i C. Poznámka. Větu lze vyvodit z lemmatu, které si předvedeme na cvičení: Lemma 3.16 (Alexander). Nechť S je nějaká subbáze topologického prostoru X. Pak X je kompaktní, právě když každé otevřené pokrytí P S prostoru X má konečné podpokrytí, tj. ekvivalentně ("duálně") každý centrovaný systém uzavřených množin má neprázdný průnik. K tomuto lemmatu užijeme i vlastnost (c) z lemmatu o centrovaných systémech. Důsledek 3.17 (charakterizace T 3,5 a separabilních metrizovatelných prostorů). (a) X je Tichonovův, právě když jej lze homeomorfně zobrazit do kompaktního Hausdorffova prostoru. (b) X je separabilní a metrizovatelný, právě když jej lze homeomorfně zobrazit do metrizovatelného kompaktního prostoru. 3.4. Pojem kompaktifikace topologického prostoru. Definice kompaktifikace K prostoru jako Hausdorffova nadprostoru X s X = K Příklad. Pro D diskrétní je A(D) kompaktifikace, pokud je D nekonečná. Dálší příklady na cvičení. Pozorování: (1) Každý prostor, který má kompaktifikaci, je Tichonovův. Konec 10. přednášky. (2) Má-li X kompaktifikaci K takovou, že K \ X je jednoprvková ("1-prvková kompaktifikace"), má každé x X kompaktní okolí v X. Definice. Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktní okolí. Tvrzení 3.18 (o jednoprvkové kompaktifikaci). Hausdorffův prostor X je lokálně kompaktní, právě když má kompaktifikaci K takovou, že K \ X je jednoprvková. Speciálně každý Hausdorffův lokálně kompaktní prostor je úplně regulární.

12 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Pznámka. Jednoprvková kompaktifikace lokálně kompaktního Hausdorffova prostoru je jednoznačně určena (až na homeomorfismus) a značíme ji A(X). Příklad. Neprázdné otevřené podmnožiny R n jsou lokálně kompaktní a nejsou kompaktní, tedy mají jednoprvkovou kompaktifikaci (příklady: otevřený interval, otevřený kruh, celá rovina ap.). Příklad. Kompaktifikace R prostoru R a kompaktifikace [0, 1] prostoru (0, 1). Pojem kompaktifikace (K, h) prostoru X. Věta 3.19 (kompaktifikace Tichonovových prostorů). (a) Je-li X separabilní a metrizovatelný, pak má metrizovatelnou kompaktifikaci. (b) Topologický prostor X má kompaktifikaci, právě když je Tichonovův. Je-li X Tichonovův (tj. Hausdorffův a úplně regulární), pak existuje homeomorfismus h(x) = (f(x)) f C(X,[0,1]) prostoru X na h(x) [0, 1] [0,1]. Kompaktifikace h(x) se nazývá β-obal (Čech-Stoneova kompaktifikace) a značíme ji β(x). Přesněji (h(x), h) je Čech-Stoneova kompaktifikace X. Budeme o ní často mluvit jako o nadprostoru βx (ztotožňujeme prvky x X a h(x) [0, 1] C(X,[0,1]). Tvrzení 3.20. Je-li X kompaktní Hausdorffův prostor, je X = βx. Věta 3.21 (o rozšiřování spojitých zobrazení a β-obalu). (a) Je-li X Tichonovův prostor a Y kompaktní Hausdorffův prostor, pak lze každé spojité zobrazení f 0 : X Y rozšířit jednoznačně na spojité f : βx Y. (b) Pokud je K kompaktifikace prostoru X a každé spojité f : X [0, 1] lze rozšířit na spojité f : K [0, 1], je "K = βx", tj. existuje homeomorfismus h prostoru K na βx, který je roven h na X. Konec 11. přednášky. 4. Úplnost 4.1. Úplně metrizovatelné prostory. Topologický pojem "úplně metrizovatelný prostor". Příklady úplné metrizace (0, + ) a neexistence úplné metrizace Q. l (M) je úplný metrický (Banachův prostor) pro všechny množiny M. Věta 4.1 (o zúplnění). Každý metrický prostor X je izometrický hustému podprostoru nějakého úplného metrického prostoru (Y, σ). Poznámka. Stejně jako u kompaktifikace můžeme zařídit, že X je hustá podmnožina Y. Poznámka o možnosti konstrukce zúplnění jako prostoru tříd vhodné ekvivalence cauchyovských posloupností na X. Věta 4.2 (úplně metrizovatelné prostory "jsou G δ "). Nechť (X, ρ) je úplný a je hustý v Hausdorffově regulárním prostoru Y. Pak X je G δ v Y. Lemma 4.3 (o grafu spojitého zobrazení). Graf spojitého zobrazení topologického prostoru X do Hausdorffova prostoru Y je uzavřený. Věta 4.4 (Aleksandrov). Nechť X je G δ množina v úplně metrizovatelném prostoru Y. Pak X je úplně metrizovatelný podprostor Y.

OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 13 Důsledek 4.5 (charakterizace úplné metrizovatelnosti). Topologický prostor je úplně metrizovatelný, právě když je G δ v nějakém (ekvivalentně v každém) úplném metrickém prostoru. 4.2. Čechovsky úplné prostory. Definice. Tichonovův prostor je čechovsky úplný, je-li G δ v βx. Lemma 4.6 (o zbytku). Nechť K 1 a K 2 jsou Hausdorffovy kompaktifikace X a f : K 1 K 2 je spojité rozšíření identity id : X K 1 X K 2. Pak (f(k 1 ) = K 2 a) f(k 1 \ X) = K 2 \ X. Věta 4.7 (o G δ v kompaktifikacích). Nechť X je Tichonovův prostor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní: (a) X je G δ v každé Hausdorffově kompaktifikaci. (b) X je G δ v βx (tj. X je čechovsky úplný). (c) X je G δ v nějaké Hausdorffově kompaktifikaci. Důkaz. Implikace (a) (b) (c) jsou zřejmé (díky předpokladu T 3,5 existuje βx). Dokážeme (c) (b) a (b) (a). (c) (b): K buď nějaká kompaktifikace X, pro kterou je X typu G δ v K. Z vlastností βx existuje spojité rozšíření f : βx K identity id X : X X K. Z lemmatu plyne, že f(βx \ X) = K \ X. Z (c) je K \ X spočetným sjednocením uzavřených množin, tj. F σ (doplňků k otevřeným, jejichž průnik je X - de Morganovo pravidlo). Množina f 1 (K \ X) = βx \ X je díky spojitosti f také F σ. Konečně její doplněk G δ opět díky de Morganovu pravidlu. (b) (a): Z (b) je βx \ X rovno n N F n pro nějaké uzavřené množiny F n v βx opět pomocí de Morganova pravidla. Nechť K je libovolná kompaktifikace X a f : βx K je spojité rozšíření identity jako výše. Množiny F n jsou kompaktní, tedy jejich obrazy f(f n ) jsou kompaktní, a tedy jsou uzavřené v K. Z lemmatu plyne, že K \ X = f(βx \ X) = n N f(f n). Tedy K \ X je F σ v K a díky de Morganovu pravidlu je X typu G δ v K. Věta 4.8 (Čech). Metrizovatelný prostor je úplně metrizovatelný, právě když je čechovsky úplný. Věta 4.9. Každý (Hausdorffův) lokálně kompaktní prostor je čechovsky úplný. Věta 4.10 ("Baireova"). Konec 12. přednášky. Každý čechovsky úplný prostor je Baireův. Součástí zkoušky bude otázka na látku předvedenou na cvičení nebo jiné cvičení k odpřednesené látce. Seznam některých možných otázek (témat): 1. Ukažte, že l (N) a βn jsou lineárně izometrické Banachovy prostory. 2. Příklad Hausdorffova prostoru, který není regulární. 3. Příklad úplně regulárního Hausdorffova prostoru, který není normální. 4. Dědičnost a zachovávání na součin dvou prostorů pro separabilitu a pro spočetnost váhy. 5. Příklad spočetného topologického prostoru X a jeho bodu x, který leží v uzávěru X \ {x}, ale není limitou posloupnosti prvků X \ {x}. 6. Příklad normálního prostoru X, pro který X X není normální.

14 OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 7. Příklad kompaktního prostoru, který obsahuje otevřenou podmnožinu, která není normálním podprostorem. 8. Příklady prostorů s nespočetným charakterem. Zachovávání spočetného charakteru na operace a souvislost se spočetnou vahou. 9. Vlastnosti topologie bodové konvergence prostoru reálných funkcí na množině M (separabilita pro M R, pro jaká M má spočetnou bázi, spočetný charakter). 10. Příklad dokazující, že z vlastností, které charakterizují operaci uzávěru CL v topologickém prostoru nelze vynechat CL CL = CL. 11. Jak vypadají spojité reálné funkce na jednoprvkové kompaktifikaci diskrétního prostoru? 12. Zachovávání Lindelöfovy vlastnosti pro podprostory a na součin. 13. Sorgenfreyovy přímka a její vlastnosti. 14. Kompaktnost prostoru "dvou šipek". Nekompaktnost [0, 1] se Sorgenfreyovou topologií. 15. "Křížková topologie"a její vlastnosti. 16. "Neimytzkého polorovina"a její vlastnosti. 17. Vlastnosti lokálně kompaktních prostorů. 18. Nutná podmínka pro podmnožinu metrického prostoru, ze které lze rozšířit každou spojitou reálnou funkci spojitě na celý prostor. Příklad neuzavřené podmnožiny kompaktního prostoru, ze které lze rozšířit každou spojitou funkci spojitě na celý prostor. 19. Ekvivalence (spočetné) kompaktnosti a existence hromadných bodů netů (posloupností). 20. Příklad kompaktního prostoru, který není sekvenciálně kompaktní. Obojetnost uzávěrů podmnožin N v βn. 21. Spočetný Hausdorffův kompaktní prostor je metrizovatelný. Charakterizace metrizovatelnosti pro kompaktní Hausdorffovy prostory. 22. Ukažte, že topologický prostor [0, ω 1 ] je kompaktní.