Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Bakalářská práce České Budějovce 007 Tomáš Bürger
Jhočeská unverzta v Českých Budějovcích Pedagogcká fakulta Katedra fyzky Generování náhodných čísel a rozehrávání náhodných velčn Bakalářská práce Vedoucí práce: Mgr. Petr Bartoš, Ph.D Autor: Tomáš Bürger
Prohlašuj, že svoj bakalářskou prác jsem vypracoval samostatně pouze s použtím pramenů a lteratury uvedených v seznamu ctované lteratury. Prohlašuj, že v souladu s 47b zákona č. /998 Sb. v platném znění souhlasím se zveřejněním své bakalářské práce, a to v nezkrácené podobě fakultou elektronckou cestou ve veřejně přístupné část databáze STAG provozované Jhočeskou unverztou v Českých Budějovcích na jejích nternetových stránkách. Datum:
Touto formou děkuj mému konzultantov p. Mgr. Petru Bartošov Ph.D, za cenné rady a přpomínky př zpracování této bakalářské práce.
OBSAH. Úvod 6. Základní pojmy z teore pravděpodobnost a matematcké statstky... 7. Zavedení náhodných velčn... 7. Charakterstka náhodných velčn. 9.3 Přehled nejdůležtějších statstckých rozdělení....3. Vybrané dskrétní náhodné velčny...3. Vybrané spojté náhodné velčny...3.3 Vybrané lmtní věty.. 4 3. Počítačové modelování. 6 3. Počítačové modelování ve čtyřech krocích... 6 3. Technka počítačového modelování. 7 4. Modelování Monte Carlo. 9 4. Základní technky metody Monte Carlo... 0 4.. Generování náhodných čísel.. 0 4.. Transformace náhodných velčn... 4 4..3 Metoda Monte Carlo a matematcká statstka.. 9 4. Řešení numerckých problémů pomocí metody Monte Carlo.. 30 4.. Výpočet určtých ntegrálů. 30 4.. Řešení Laplaceovy rovnce 35 4..3 Další problémy... 38 4.3 Použt metody Monte Carlo ve fyzce. 4 4.3. Transportní problém...4 4.3. Metoda nulové srážky 50 5. Rozehrávání velčn.. 5 5. Rozehrávání rychlostí s maxwellovským rozdělením rychlostí... 5 5. Rozehrávání rychlostí s nemaxwellovským rozdělením rychlostí 56 6. Závěr. 60 7. Lteratura...6
. Úvod Jako téma mé bakalářské práce jsem s vybral generování náhodných čísel a rozehrávání náhodných velčn. Toto téma jsem s zvoll, protože mě zaujal jeho název a pozděj po získání blžších nformacích od pana Mgr. Petra Bartoše Ph.D se m toto téma jevlo velm zajímavé. V první kaptole se zabývám základním pojmy z teore pravděpodobnost matematky, ve kterých využj poznámek z předmětu statstcké vyhodnocování expermentálních dat a poznámek z aplkované matematky. Ve druhé kaptole popsuj počítačové modelování, které obsahuje základní čtyř kroky potřebné k řešení určtého fyzkálního problému. A obsahuje také do několka skupn rozdělené technky počítačového modelování. Třetí část mé práce zaujímá metoda Monte Carlo. V této část se seznamuj s metodou Monte Carlo. Poukazuj na základní technky této metody. Dále se v této kaptole zmňuj o řešení problémů pomocí Metody Monte Carlo. Na závěr této část se zabývám použtím metody Monte Carlo ve fyzce. V poslední část mé práce rozehrávám velčny s maxwellovským a nemaxwellovským rozdělením rychlost. V této kaptole jsem čerpal ze zbytku mé bakalářské práce. Pro rozehrávání velčn jsem použl program MATLAB, se kterým jsem se naučl pracovat a ovládat základní funkce, které m postačí pro rozehrávání těchto velčn. 6
Než začneme generovat náhodná čísla a rozehrávat náhodné velčny vysvětleme některé důležté pojmy. Jsou to pojmy, počítačové modelování, statcké rozdělení, metoda Monte Carlo atd. Nejprve se seznámíme se základním pojmy z teore pravděpodobnost a matematcké statstky, neboť na nch je Metoda Monte Carlo založena.. Základním pojmy z teore pravděpodobnost a matematcké statstky V této kaptole shrneme základním pojmy z teore pravděpodobnost a matematcké statstky. Začneme tedy u zavedení náhodných velčn.. Zavedení náhodných velčn V prax se (mmo jné) setkáváme s velčnam, u nchž nedovedeme určt jejch hodnotu v konkrétním případě. Takovým velčnám říkáme náhodné velčny. Tyto náhodné velčny dělíme na spojté a dskrétní. Dskrétní náhodné velčny mohou nabývat spočetně (konečně nebo nekonečně) mnoha hodnot (jsou to čísla z konečného ntervalu). Pro každou náhodnou velčnu se zavádí tzv. zákon rozdělení náhodné velčny. Exstuj dvě varanty formulace tohoto zákona: a) Dstrbuční funkce Přřazuje každému reálnému číslu pravděpodobnost, že náhodná velkost nabude hodnot menší než toto číslo. Máme-l náhodnou velčnu ξ a její dstrbuční funkc označíme F(x) potom: F(x)= P{ξ<x} () Dstrbuční funkce nabývá hodnot z ntervalu <0,> a jestlže x <x, potom P{x ξ<x }=F(x )- F(x ) () b) Hustota pravděpodobnost Dstrbuční funkce má ntegrální význam a shrnuje výslednou pravděpodobnost za určtý nterval. Pokud chceme pracovat s konkrétním pravděpodobnostm musíme zavést odpovídající dferencální velčny, například p(x) 7
( x) nebol F( x) p( y)dy df p ( x) = (3) dx x = (4) Nyní s tyto údaje upřesníme pro dskrétní a spojté náhodné velčny. Dskrétní náhodné velčny: Zákon rozdělení náhodných velčn popsuje množnu hodnot x odpovídajících pravděpodobnost p, kde p =P{ξ=x } a kde dskrétní náhodná velčna je dána funkcí x x... xn ξ = (5) p p... p Hodnoty x,, x n, druhy defnčního oboru pro pravděpodobnost p,, p n platí Spojté náhodné velčny: p > 0, =,, n n = p = (6) Spojtá náhodná velčna ξ nabývá hodnot x z nějakého otevřeného, nebo uzavřeného ntervalu. Př použtí dstrbuční funkce F(x), kde bude náhodná velčna spojtá, dostaneme tvar úplné charakterstky spojté náhodné velčny ξ : x a, b, p(x) (7) Nebo můžeme použít tzv. hustotu pravděpodobnost náhodné velčny ξ v bodě x. Hustota pravděpodobnost p(x) má tyto vlastnost: a) p(x) 0, pro všechna x a, b ; b) p ( y) dy = ; c) P{x ξ x }= p ( y) dy S spojtým náhodným velčnam lze provádět běžné matematcké operace. Například spojté náhodné velčny mohou být argumenty běžné matematcké funkce f(x) a výsledkem je nová náhodná velčna η= f(ξ) (náhodná funkce). Nebo můžeme pracovat s vícerozměrným náhodným velčnam, kde pro pops pravděpodobnost použjeme slouženou dstrbuční funkc, která má například ve dvou rozměrech tvar x x 8
( x y) = P{ x < ξ, η y} F, <. (8). Charakterstka náhodných velčn Danou náhodnou velčnu zcela popsují vztahy (5) č (7). Někdy však vystačíme jen se základním vlastnostm náhodné velčny, protože použtá data jsou zatížena například šumem. Tento šum vytváří pozorovaný náhodný proces a proto je zbytečné tento šum popsovat. Z tohoto důvodu byl navržen systém momentů náhodných velčn. Každý moment je číslo, které v sobě obsahuje část nformace o náhodné velčně. Úplná nformace by musela být popsána pomocí nekonečné soustavy momentů. My se omezíme na pops pomocí konečného počtu momentů. Protože momenty tvoří herarchckou posloupnost (od významnějších k méně významným), dostane odříznutím vyšších členů náhodné velčny pops nejpodstatnějších rysů. V matematce se používá vetší počet posloupností momentů, my s tu uvedeme ty nejužívanější. a) Charakterstka polohy První moment každé náhodné velčny ξ je její střední hodnota s ohledem na rozdělení pravděpodobností a značí se Eξ. Nazýváme jí očekávaná hodnota a vztahy pro dskrétní a spojtou náhodou velčnou jsou = Eξ x p (9) E ξ = x p( x) dx. (0) Je-l c číselná konstanta a symboly ξ a η náhodné velčny, potom bude platt Ec = c E(ξ + c) = Eξ + C E( c ξ ) = c Eξ E(ξ + η) = Eξ + Eη. Když velčny ξ a η jsou nezávslé, potom platí E( ξ η) = Eξ Eη. b) Charakterstky varablty 9
Další moment se nazývá rozptyl, varace nebo dsperze a značí se D ξ. Udává rozptyl možných hodnot náhodné velčny ξ kolem její střední hodnoty Dξ ξ E ξ a je dán vztahem = E( Eξ ). () Defnční vztah (0) je nepraktcký pro výpočet, proto se častěj používá Dξ ( ξ ξ = E ) ( E ). () Je-l c konstanta a ξ a η náhodné velčny, potom pro rozptyl platí a pro nezávslé náhodné velčny ξ a η platí Dc = 0 D(ξ + c D( c ξ ) = c Dξ. D ( ξ + η) = Dξ + Dη D ( ξ η) = Dξ + Dη. Odmocnna z rozptylu je směrodatná odchylka pro níž platí σξ = Dξ. Exstuje-l c) Charakterstka vyšších řádů Eξ a má konečnou hodnotu, defnujeme centrální moment k- tého řádu k = E( ξ ξ ), k= 0,,, Pro k= dostaneme ξ µ E µ = D Momenty vyšších řádů vlvem mocnny v defnčním vztahu buď prudce klesají, nebo rostou (v závslost na vztahu prvního momentu prvního řádu k hodnotě ). Tato vlastnost je nepraktcká pro praktcké využtí, proto je zvykem momenty normalzovat: - Normováním momentu 3.řádu defnujeme škmost µ 3 α 3 =. (3) 3 σ U symetrckého rozdělení je tato charakterstka nulová. Je-l kladná je zeškmena doleva, záporná doprava. - Momentem 4. řádu defnujeme špčatost µ 4 α 4 =. (4) 4 σ Hodnoty 3 nabývá pro Gaussovské rozdělení, je-l α 4 > 3, potom je studované rozdělení špčatější než rozdělení normální, pro α 4 < 3 je rozdělení plošší. V konkrétních případech použjeme pro momenty vyšších řádu vztahy 0
3 µ = Eξ 3 Eξ Eξ + ( E ) (5) 3 ξ µ = E. (6) 4 3 4 4 Eξ 4 Eξ Eξ + 6 Eξ ( Eξ ) + 3 ( ξ ).3 Přehled nejdůležtějších statstckých rozdělení Jak jž bylo uvedeno můžeme statstcké rozdělení rozdělt na dskrétní a spojtá..3. Vybrané dskrétní náhodné velčny a) Rovnoměrné rozdělení Náhodná velčna s rovnoměrným rozdělením nabývá m hodnot,, m se stejným pravděpodobnostm První dva momenty této velčny jsou p = P{ ξ = x} = (7) m Eξ = m + Dξ = m b) Bnomcké rozdělení Tímto rozdělením se řídí četnost nějakého jevu v n nezávslých pokusech, když v každém pokusu má výskyt jevu pravděpodobnost p, kde n je přrozené číslo a p (0,). p x 0... n ξ = (8) p0 p... p n n = p x x n x { ξ = x} = p ( p) Základní charakterstky bnomckého rozdělení jsou E ξ = np Dξ = np α 3 = np ( p) p ( p)
6 α = np p( p) ( p) 4 + 3 c) Possnovo rozdělení Studujeme četnost nějakého jevu v mnoha pokusech, přčemž výskyt tohoto jevu v jednotlvých pokusech je velm málo pravděpodobný. Jedným parametrem Possnova rozdělení je n p =λ. Pravděpodobnost lze vyjádřt funkčním předpsem p x = P { ξ = x} = e Základní charakterstky Possnova rozdělení jsou E ξ = λ D ξ = λ α 3 = α = λ λ 4 + 3 λ x λ. x! Possnova náhodná velčna s parametrem λ = λ + λ je součet dvou nezávslých Possnových náhodných velčn s parametry λ a λ..3. Vybrané spojté náhodné velčny s dskrétním. Se spojtým náhodným velčnam se ve fyzce setkáváme častěj, než a) Rovnoměrné rozdělení Spojtá náhodná velčna ξ z ntervalu a, b má rovnoměrné rozdělení tehdy, má-l v tomto ntervalu konstantní hustotu pravděpodobnost, pro kterou platí p( x) = x a, b (9) a b Základní charakterstky rovnoměrného rozdělen jsou a + b Eξ =
Dξ = ( b a) α = 0 3 α = 9 4 5. Toto rozdělení je velm důležté př řešení problémů metodou Monte Carlo, neboť náhodné velčny popsující studovaný jev se obvykle získávají vhodnou transformací rovnoměrně náhodné velčny ntervalu 0,.Tuto velčnu budeme označovat jako γ. b) Gaussovo rozdělení (normální) Gaussovo rozdělení je nejdůležtější z rozdělení spojté náhodné velčny a má velký význam ve statstcké matematce. Používá se tam, kde na pops daného jevu působí dočasně více nepatrných a nezávslých jevů. Gauossovo rozdělení je spojtou náhodnou velčnou s parametry σ a µ, přčemž hustota pravděpodobnost je ve tvaru a dstrbuční funkce ( ) ( x µ ) p x exp (, ) = πσ P ( x) = σ x ( t µ ) σ πσ Základní charakterstky Gaussovo rozdělen jsou E ξ = µ D ξ = σ α = 0 3 e α 4 = 3. dt. x (0) Gaussova náhodná velčna se označuje písmenem N. U gaussovského rozdělení se často používá pravdlo 3 sgma, které říká Př jednom pokusu je praktcky nemožné získat hodnotu ζ lšící se od střední hodnoty o více než 3σ. Pro Gaussovo náhodnou velčnu ζ plyne { µ 3 σ < ς < µ + 3σ } = 0, 9973 P. 3
c) Maxwellovo rozdělení předpsem Používá se například v knetcké teor plynů a hustota pravděpodobnost je dána p ( ) = x x exp 3 a π a Základní charakterstky Maxwellova rozdělen jsou E ξ = x 3a ( ) x,. () D ξ = 3a s parametrem a<0..3.3 Vybrané lmtní věty Z velkého množství vět matematckých s uvedeme jen ty, na nchž je založeno statstcké vyhodnocování expermentálních dat a modelování reálných procesů metodou Monte Carlo. a) Zákon velkých čísel Budou-l, ξ ξ n nezávslé náhodné velčny se stejným rozdělením, tj. se ξ,..., stejným středním hodnotam µ, pak jejch artmetcký průměr n ξ = ξ. () n = Konverguje podle pravděpodobnost k µ. To znamená, že pro každé ε platí n lm P ξ µ ε =. n n = S využtím vlastností rozptylu náhodné velčny ξ můžeme určt rozptyl artmetckého průměru ξ Dξ +... + Dξ n σ Dξ = =. (3) n n Směrodatná odchylka Dξ pak bude úměrná druhé mocnně z počtu pozorovaných n. 4
b) Centrální lmtní věta počtu pravděpodobnost Budou-l, ξ ξ n nezávslé náhodné velčny se stejným rozdělením, které ξ,..., má střední hodnotu rozptylu µ a rozptyl σ, pak jejch součet má pro velká n přblžně Gaussovo rozdělení s parametry N ( nµ, nσ ). 5
3. Počítačové modelování Počítačové modelování nám představuje základní směr počítačové fyzky. V lteratuře se můžeme s počítačovým modelováním setkat také pod názvem jako je počítačové smulace nebo počítačové expermenty. Řešení určtého fyzkálního problému za použtí počítačového modelovaní lze rozdělt do čtyř kroků. 3. Počítačové modelování ve čtyřech krocích Počítačové modelování jsem s rozděll do čtyřech kroků a jm jsou: Formulace problému, vytvoření modelu, řešení modelu a srovnání výsledků modelování s expermentálním údaj. a) Formulace problému Nejprve analyzujeme studovaný problém, zvážíme význam jednotlvých fyzkálních jevů a uvědomíme s vzájemné souvslost. b) Vytvoření modelu Podle studovaného jevu navrhneme model. Model je aproxmací studovaného jevu, proto:. Model je praktcky vždy jednoduší než studovaný jev Model je praktcky vždy jednoduší než studovaný jev tehdy, když všechny vlastnost studovaného jevu neznáme, a nebo by jsem jnak nebyl schopn úlohu vyřešt. Poté dochází k velkému zjednodušování př tvorbě modelu.. Př formulac modelu nemáme jstotu o jeho správnost Př vytváření studovaného jevu se snažíme co nejvíce zjednodušovat. Proto zahrnujeme jen základní rysy, ostatní vypouštíme. Nevýhoda tohoto zjednodušení je ta, že my nevíme přesně jaké rysy jsou podstatné a jaké nepodstatné, proto musíme výsledky srovnávat s expermentálním daty. 3. Výsledky počítačového modelování vypovídají pouze o modelu, nkolv o studovaném jevy Výsledek který získáme vypovídá pouze o modelu. Můžou nám nastat problémy a to v případě, jestlže jsem model přílš zjednodušl a nebo špatně zformuloval, což poznáme ve výsledcích. Přílšné zjednodušení a spatné zformulování se nám bude 6
promítat ve výsledcích př hodně přesném modelování, protože výsledek modelování je dán přesností dat na vstupu. c) Řešení modelu Podle technky modelování s zvolíme numercké metody. Nejčastěj se jedná o řešení soustavy obyčejných nebo parcálních dferencálních rovnc. d) Srovnání výsledků modelování s expermentálním údaj Pro zlepšení přesnost počítačového modelování se do počítačového expermentu zabuduje zpětná vazba. Zpětná vazba znamená, že výsledek modelování se porovnává s výsledky přímého měření. Zpětnou vazbou také zjstíme, jestl jsme se nedopustl chyb př řešení modelu. Správný test modelu je založen na nezávslých datech, která jsem př navrhování modelu znal a která nám posléze vyjdou jako výsledek modelování. Pokud nám toto nevyjde musíme model opravt a projít znovu kroky b, c a d. Nejdůležtější práce je v přechodu mez kroky a a b, což je správné naformulování modelu. 3. Technky počítačového modelování Technky počítačového modelování můžeme rozdělt do několka skupn:. Častcové technky. Spojté modelování 3. Hybrdní modelování. Částcové technky (mkroskopcké) Částcová technka nám poskytuje přesnější výsledky na úkor velké spotřeby strojového času. Základem této technky je detalně studovat chování částc (atomů, ontů, elektronů, ), ze kterých se studovaný jev skládá. Př testování chování modelu použjeme statcké vyhodnocení dat, protože nejsme schopn poskytnout například nformac o poloze a rychlost všech atomů ve studovaném souboru, čímž ztrácíme část nformací z modelování. Podle toho, jak chování část studovaného jevu popsujeme rozeznáváme metody: 7
a) Metoda Monte Carlo Chování jednotlvých částc popsujeme stochastcky pomocí zákonů počtu pravděpodobnost. b) Metoda molekulární dynamky Jedná se o determnstckou metodu, kde numercky řešíme pohybové rovnce popsující studovaný soubor částc (řešení obyčejných dferencálních rovnc). c) Hybrdní technky Kombnace dvou předchozích tak, aby výpočet byl co nejefektvnější.. Spojté modelování (makroskopcké) Spojté modelování je pops studovaného jevu na makroskopcké úrovn, kde platí zákony o zachování- energe, hybnost, náboje, apod. Tyto zákony jsou popsovány parcálním dferencálním rovncem. Spojté modelování přnáší jen hrubé, ale zato rychlé výsledky. 3. Hybrdní modelování Používáme kombnace obou dvou předchozích technk (částcové a spojté) s cílem zachovat rychlost výpočtu spojtého přístupu a přesnost zvýšt částcovou technkou. 8
4. Metoda Monte Carlo Metoda Monte Carlo označuje souhrn postupů dovolujících pomocí mnohonásobných náhodných pokusů získat řešení v oblast vědy. Mez tvůrce této metody patří J. von Neumann, S.A. Ulam, N. Metropols, H. Kahn a E. Fermn. V roce 949 poprvé užl pojem Monte Carlo Metropols a Ulman ve své publkac []. Nejstarší známou aplkací metody Monte Carlo je úloha o Buffonově jehle [] (obr.), která slouží k určení hodnoty čísla π. Tato úloha se datuje k roku 777. Obrázek Formulace problému s Buffonovou jehlou (obr.): Na vodorovnou desku nakresleme rovnoběžky vzdálené od sebe ve vzdálenost d. Jehlu o délce l d náhodně hodíme na desku. Výsledek pokusu je úspěšný tehdy, protne-l jehla jednu z čar, jnak je pokus neúspěšný. Pokus N-krát opakujeme a určujeme N M, kde M nám udává počet úspěšných pokusů. Nalezením poměru M N expermentálně určíme konstantu π. Výsledek této metody je však př konečném počtu hodnot zatížen chybou: př deset pokusech jsme schopn například odhadnout hodnotu π jako 3, př 000 pokusech jako 3,, př 00 000 pokusech jako 3,4 atd. a) Analýza problému a vytvoření modelu Protože se jedná o stochastckou metodu modelovaní, musíme popsat zkoumaný jev pomocí náhodné velčny. Vytvoření modelu potom znamená zjednodušeně popsat zkoumaný jev náhodnou velčnou s daným oborem hodnot a rozdělení pravděpodobnost a určt která charakterstka náhodné velčny obsahuje hledanou odpověď. b) Generování náhodné velčny 9
Vytvoření náhodné velčny na počítač se obvykle provádí ve dvou krocích. Nejprve nagenerujeme na počítač náhodnou velčnu s pevně daným rozdělením pravděpodobností. Potom velčnu transformujeme v bloku c). c) Transformace náhodné velčny velčnu. Podle požadavku modelu přetransformujeme velčnu v hledanou náhodou d) Opakování kroků b a c a statstcké vyhodnocení výsledků Předchozím kroky dostaneme pouze jednu realzac hledané náhodné velčny (stochastckou metodou). Proto se tyto kroky mnohokrát opakují. Poté, co dostane potřebný počet konkrétných realzací naší náhodné velčny ξ ξ N, podrobíme tento statstcky soubor analýze a dostane hledanou odpověď. Chyba metody Monte Carlo klesá odmocnnou z počtu pokusů tj.: ϑ = (4) N Jak už jsme s uvedl, metoda Monte Carlo se skládá z kroku a) (tvůrčí část) a kroku b), c) a d) (rutnní část). 4. Základní technky metody Monte Carlo Základní schéma řešení metody Monte Carlo se skládá ze čtyř kroků. První krok je z pravdla nejobtížnější, tj. vytvoření vhodného modelu. Zbylé tř nám představují rutnní postupy, př kterých však mohou nastat problémy. Statstcké vyhodnocení výsledku (čtvrtý krok) bychom měl být schopn vyřešt na základě poznatků z počtu pravděpodobnost a matematcké statstky (vz. ). Modely jsou naformulovány přblžně tak, že pokud hledáme jedno číselný výsledek, nalezneme jej jako první nebo druhý moment nám zvolené náhodné velčny ξ, Eξ nebo Dξ. Tyto momenty umíme podle zákona velkých čísel () přblžně odhadnout. Nyní s probereme jak budeme realzovat druhý a třetí krok základního schématu. 4... Generování náhodných čísel Výpočetní schéma metody Monte Carlo předpokládá modelování náhodného procesu pomocí operace s náhodným čísly. Pro metodu Monte Carlo byly navrženy a použty tyto způsoby: 0
- Fyzkální generátory - Tabulky náhodných čísel - Vypočítaná náhodná čísla Na začátku byla známa jedná technka, a to použtí samostatného zařízení produkující náhodné velčny, poté přenesení takto vytvořených čísel do počítače. Mez takováto zařízení patří ruleta, odkud je také název Monte Carlo. Od začátku šedesátých let se používaly fyzkální procesy náhodné svou podstatou. Jednalo se o radoaktvní rozpad nebo tzv. výstřelkový šum v elektronkách. Mez jejch nevýhody patří jejch pomalost. Další metoda je používání tabulky náhodných čísel. Vytváří se tak, že fyzkální generátory udělají zásobu náhodných čísel, která jsou uložena na vnějším medum (tabulky na papíře, magnetcká páska, CD ), ze které posléze čerpají. U této metody se s zlepšující se technkou začala projevovat její pomalost, proto přšla náhrada za fyzkální generátory a to v podobě tzv. vypočítaných náhodných čísel. Toto řešení se používá dodnes, avšak sám pojem obsahuje protmluvu náhodnost nelze žádným determnstckým postupem vypočítat, o čemž John von Neumann (95) řekl: Každý, kdo se zabývá artmetckým metodam vytváření náhodných čísel, se nepochybně dopouští hříchu. Ve skutečnost jsou to čísla pseudonáhodná (posloupnost čísel méně č více podobající se náhodným číslům). Od skutečných čísel se odlšují ve dvou rysech: - Po uplynutí perody p se posloupnost začíná opakovat. - V jedné perodě se čísla vyskytují relatvně náhodně, tato náhodnost není dokonalá. Cílem teore generátorů je vybrat algortmus jejch generování tak, aby oba rysy co nejméně rušly a peroda p byla co nejdelší. Nejprve je vybrán generátor na základě teore, poté dlouhodobě testován (zda jsou v něm náhodně generována jednotlvé číslce, pak dvojce atd ). K testování se používá x test. Postupně byla vytvořena celá řada algortmů s dobrým statstckým vlastnostm. Některé algortmy vedou na rekurentní vzorec prvního řádu ξ = b (mod M). (5) + aξ + Častěj se však používají rekurentní vzorce vyšších řádů, které nové pseudonáhodné číslo ξ + určují na základě operací s k+ předchozím čísly ξ, ξ - až ξ -k. Peroda generátoru závsí na jeho řádu k podle vztahu p ~ M k
Většna generátorů pseudonáhodných čísel vytváří jednotlvé hodnoty náhodné velčny γ v rozmezí (0,). Ve skutečnost exstují dvě třídy vypočítaných náhodných čísel: a) čísla pseudonáhodná b) čísla kvaznáhodná Obě skupny generátorů se snaží vytvořt náhodná čísla γ rovnoměrně rozdělená na ntervalu (0,), ale výrazně se lší ve stupn náhodnost vytvořené posloupnost. a) Čísla pseudonáhodná Pseudonáhodná čísla jsou mnohem běžnější než čísla kvaznáhodná. Generátory pseudonáhodných čísel jsou založeny na jednom ze tří prncpů: - von Neumanovy generátory - lneární kongruenční generátory - generátory s posuvným regstry - von Neumanovy generátory Tyto generátory se používaly jen v samých počítačích od roku 946. Jsou založeny na manpulac s jednotlvým číslcem. Protože jejch perody jsou přílš krátké a náhodnost nedostatečná, mají už jen hstorckou cenu. - Lneární kongruenční generátory Jsou to nejpoužvatelnější generátory založené na vztahu pro nalezení nového pseudonáhodného čísla ξ + na základě jž známých čísel ξ až ξ -k ξ a0 ξ + a ξ +... + ak k + b (mod M) (6) + = ξ kde k 0, a k, b a M jsou to konstanty, jejchž vhodnou volbou určujeme konkrétní generátor. Vytvořená pseudonáhodná čísla leží v ntervalu 0 až M- (díky operac modulo ). Na nterval 0 až se převede vydělením hodnotou M, poté takto vznklé číslo γ leží v ntervalu 0,). Pro nastartování takového generátoru musíme použít tzv. násadu, což jsou hodnoty čísel ξ, ξ - až ξ -k. Všechna čísla násady musí být menší než hodnota M. Násadu musíme měnt, jnak dostaneme vždy stejnou pseudonáhodnou posloupnost čísel, což se využívá jen př ladění. Další nechtěný jev je, že začátek negenerované posloupnost pseudonáhodných čísel není dost náhodný, proto se používá zahřívání generátoru, kdy se několk prvních desítek negenerovaných čísel nepoužje. Konkretzací konstant můžeme vytvořt tř zjednodušené typy generátorů: - Multplkatvní generátory (od roku 95- Lehmer)
Jsou založeny na rekurentním vztahu prvního řádu s nulovou hodnotou konstanty b ξ = a ξ (mod M). (7) + 0 Tyto generátory jsou dostatečně rychlé, ale jejch kvaltu musíme zvažovat. Pokud použjeme nevhodnou volbu konstant, kvalta generátoru prudce klesá. Příklad multplkatvního generátoru: 5 ξ+ = 7 ξ (mod 3 -) ξ+ = 63036006 ξ (mod 3 -) Tyto dva generátory používala v 70. a 80. letech frma IBM ( IBM 360, IBM 370) - Adtvní generátory Adtvní generátory jsou založeny na vztahu Jednoduchý příklad tohoto typu je + = ξ k + ξ k ξ (mod M). (8) + = ξ + ξ ξ (mod 337). Operace modulo se provádí jednoduchým testem, zda vznklé číslo je menší než M a pokud ne, tak se M odečte, proto je tento generátor velm rychlý a dost kvaltní. Nevýhodou je velm krátká peroda (9,8 0 9 ). Proto se používá pro ladění, ale jeho vylepšená varanta se používá už profesonálně. - Smíšené generátory Smíšené generátory jsou založeny na lneárním rekurentním vztahu Příkladem je generátor ξ = a b (mod M). (9) + ξ + ξ = 69069 ξ (mod 3 ). + + Generátory s posuvným regstry Jsou svou podstatou předurčeny pro přímou hardwarovou realzac. Exstují jednoúčelové počítače obsahující ntegrovaný obvod, přímo generující pseudonáhodná čísla a takový obvod je konstruován podle algortmu pro generátor s posuvným regstrem b + = c0 b + c b +... + ck b k (mod ). (30) Tento vztah je podobný vztahu pro lneární kongruenční generátor. Základní rozdíl je ve významu konstant: k, c k nabývají hodnot 0 nebo (nejméně dvě hodnoty musí být nenulové) a generátor pracuje místo s celým čísly pouze s bty b. Př praktckém použtí 3
se pro zvýšení kvalty generátoru volí konstanta k. Často se pracuje s lneárním generátory, kde pouze dvě hodnoty c jsou nenulové, například + = b 470 + b 9688 b (mod ), kde vstupní posloupnost btů musí mít délku 9689. Peroda takového generátoru může dosahovat hodnoty až 9689 -. V lteratuře [3] můžeme nalézt několk dalších typů generátorů s posuvným regstry. Jsou snahy kvaltu generátorů pseudonáhodných čísel zvýšt, a to jak jejch,perodu tak náhodnost. Proto se dělá kombnace více generátorů. Jednou z možných cest je jedním generátorem naplnt množnu pseudonáhodných čísel a druhým generátorem z této množny losovat konkrétní číslo. První generátor nahradí stávající číslo novým a postup se opakuje. Takto se zvýší náhodnost generované posloupnost, ale zpomaluje se výpočet. b) Kvaznáhodná čísla Posloupnost těchto čísel se vůbec nepodobá náhodným číslům. Základní prncp generátorů kvaznáhodných čísel je založen na požadavku, co nejrovnoměrněj pokrýt nterval (0,). Skutečná čísla pokrývají úsečku (0,) rovnoměrně, ale s náhodným fluktuacem, které u kvaznáhodných čísel nebudou. Generátory kvaznáhodných čísel jsou založeny na lbovolném prvočísle. Například na základě prvočísla s ukažme několk prvních hodnot /, /4, 3/4, /8, 3/8, 5/8, 7/8, /6,. Kvaznáhodné číslo nelze použít tam, kde požadujeme náhodnost a nezávslost dvou po sobě jdoucích náhodných čísel (souřadnce náhodného bodu), neboť kvaznáhodná čísla jsou v tomto ohledu přísně determnována. Jak jž víme chyba metody Monte Carlo je / N (4). Tento vztah je platný př použtí skutečně náhodných pseudonáhodných čísel. Př použtí kvaznáhodných čísel se tento vztah zrychluje na téměř /N. 4.. Transformace náhodných velčn Dalším krokem výpočetního schématu metody Monte Carlo je transformace náhodné velčny γ s rovnoměrným rozdělením na ntervalu (0,), kterou nám poskytuje generátor náhodných čísel. Exstuje velké množství algortmů, které s můžeme rozdělt na dvě skupny: a) algortmy specalzované pro konkrétní náhodné velčny ξ ( velký počet) 4
b) algortmy obecné, jmž lze vyřešt množství problémů Máme k dspozc spojtou náhodnou velčnu γ, rovnoměrně rozdělenou v ntervalu (0,). Parametry jejího rozdělení jsou E γ = D γ =. a) Algortmy specalzované pro konkrétní náhodné velčny ξ ( velký počet) Př konkrétní realzac na počítač získáme m- místná dskrétní čísla γ, která budou mít momenty m ( ) Eγ = m ( ) Dγ =. Př prác s dostatečně místnou artmetkou můžeme rozdíly mez γ a γ zanedbat a výstup generátoru považovat buď za dskrétní, nebo za spojtou náhodnou velčnu. b) Algortmy obecné, jmž lze vyřešt množství problémů Z obecných algortmů pro transformac (rozehrávání) náhodných velčn s uvedeme následující čtyř:. Rozehrávání dskrétní náhodné velčny V tomto případě budeme mít dskrétní náhodnou velčnu ξ zadanou následující tabulkou x ξ = p V počítač s vytvoříme vektor o k složkách, poté nagenerujeme jednu hodnotu γ a určíme do kterého ntervalu patří ( obr. ). x p...... x p k k Obrázek : Rozložení pravděpodobností p na ntervalu <0,> Zjednodušeně budeme vyšetřovat podmínku 5
j p í = γ <. První nterval j, pro který bude tato podmínka splněna, určí příslušnou hodnotu ξ = x. Tento algortmus lze použít pro transformac lbovolné náhodné velčny. V případě, že počet možných hodnot velčny ξ, k, je přílš velký (trvalo by to dlouho), se používá rychlejší postup, například metoda půlení ntervalu.. Rozehrávání spojté náhodné velčny - metoda nverzní funkce Pro spojté náhodné velčny máme více algortmů, nejednodušší z nch je metoda nverzní funkce. Použjeme obvyklé značení pro hledanou spojtou náhodnou velčnu ξ, kde <a, b> je obor hodnot a p(x) je hustota pravděpodobnost. Pro nalezení spojté náhodné velčny ξ na základě velčny γ musíme vyřešt rovnc ξ ( x) = γ p dx a. (3) Výsledkem bude transformační vztah typu ξ = g(γ ). Muže se stát, že analytcké řešení této rovnce nebude exstovat. V takovém případě je nverzní funkce nepoužtelná a my zkusíme další metody. 3. Rozehrávání spojté náhodné velčny- metoda výběru (von Neumanova) Chceme-l tuto metodu použít, stačí nám jen předpoklad, že hustota pravděpodobnost p(x) velčny ξ je omezená na ntervalu <a, b>. j Obrázek 3: Metoda výběru pro generování náhodné velčny ξ Postup metody je následující (obr. 3): - Zvolíme konstantu M, tak aby platlo p( x) M, x a, b. 6
- Nagenerujeme dvě hodnoty náhodné velčny γ, γ a γ, a vytvoříme čísla ( b a) η = a + γ, η = Mγ. - Bude-l bod P o souřadncích ( η,η ) ležet pod křvkou y = p( x) η p( ) ξ = η η, tj. bude-l <, zvolíme. Nebude-l tato podmínka splněna nagenerujeme novou dvojc čísel a postup opakujeme. Účnnost metody závsí na hodnotě M, kterou je nutno volt co nejblíže hodnotě 4. Metoda superpozce M = sup p( x) pro a x b. Tuto metodu budeme používat převážně pro spojtou náhodnou velčnu, kde budeme hledat náhodnou velčnu ξ s dstrbuční funkcí m = = ( x) F( x) c F. Kde F ( x) jsou též dstrbuční funkce, c + +c m = a všechna c >0. Zavedeme dskrétní náhodnou velčnu η s rozdělením η = c c...... m Hledanou velčnu ξ s dstrbuční funkc F(x) najdeme tímto způsobem: - nagenerujeme dvě nezávslé hodnoty γ a γ velčny γ - rozehrajeme číslem γ hodnotu η=k - z rovnce k ( ξ ) = γ F určíme velčnu ξ Za pomocí výše uvedených algortmů můžeme rozehrávat jakoukolv náhodnou velčnu, ale pro některé problémy máme specalzované algortmy, některé z nch s uvedeme:. Modelování n- rozměrného náhodného bodu Jelkož souřadnce bodu jsou nezávslé, můžeme každou z nch modelovat zvlášť. Pokud máme modelovat z oblast složtého tvaru je vhodné použít von Neumanovu metodu: Zvolíme s jednoduchou oblast, která v sobě obsahuje zadanou oblast. Body v této větší oblast testujeme, pokud padnou do původní oblast, tak je ponecháme, jnak vyloučíme.. Rozehrání Gaussovské náhodné velčny ζ Požadujeme rozehrát náhodnou velčnu ζ s parametry c m 7
p x ( x) = exp, (, ) π Uvedeme s dva z mnoha exstujících algortmů: x. a) Postup je založen na centrální lmtní větě počtu pravděpodobnost. Hodnotu Gaussovské náhodné velčny ζ dostaneme jako součet m hodnot rovnoměrného rozdělení γ m ζ = γ. (3) = Zkonstruovaná velčna bude mít parametr m µ =, požadovanou normalzovanou velčnu ζ pomocí vztahu ζ µ ζ =. σ σ = m. Přechod na 3 Tento algortmus je relatvně rychlý a jeho přesnost je omezená. Velm vysoká přesnost je dosažena př m=. b) Požadujeme-l zcela přesnou Gausovskou velčnu, použjeme vztah cos ( ) ζ = lnγ πγ. (33.) Kde γ a γ jsou dvě hodnoty rovnoměrně rozdělené náhodné velčny γ. 3. Modelování gama rozdělení Požadujeme rozehrát náhodnou velčnu ξ n s parametry p( x) = x! ( n ) K transformac použjeme vzorec ξ ( n ) exp( x), ( 0, ) ( n) = ( γ γ... γ ) ln x, n celé. Pro generování gama n- tého řádu musíme použít n hodnot náhodné velčny γ. 4. Rozehrávání náhodného bodu v koul o poloměru R Budeme pracovat ve sférckých souřadncích ( r,θ,ϕ) získané s použtím tří hodnot náhodné velčny γ jsou r = R 3 γ n. Transformační vztahy cosθ = γ (33.) ϕ = πγ 3. 8
Pokud potřebujeme náhodný bod na povrchu koule, použjeme druhý a třetí vztah. V počítačové fyzce s jejch pomocí rozehráváme náhodný směr, ten získáme pokud náhodným bodem na povrchu koule vedeme polopřímku ze středu koule. 4..3 Metoda Monte Carlo a matematcká statstka Nejběžnější formulací úloh řešených metodou Monte Carlo je hledání jedné neznámé hodnoty a. V tomto případě vytvoříme náhodnou velčnu ξ tak, aby hledané číslo bylo prvním momentem této náhodné velčny. Očekávanou hodnotou E ξ, hledaná a odhadneme tak, že provedeme n nezávslých realzací náhodné velčny ξ ξ,..., ξ. Podle zákona velkých čísel () platí, že artmetcký průměr těchto : n realzací je ξ. Předpokládáme-l, že velčna ξ má konečný rozptyl D ξ, tak poté dostaneme pro dost velká n vztah Dξ P ξ a x = Φ( x). n Př použtí tohoto vzorce pro odhad přesnost smulace metodou Monte Carlo s nejprve stanovíme dovolené rzko q / 00 a pak z tabulky ntegrálu pravděpodobnost: x 0,675,,645,96,58 3,0 3,9 Φ( x ) 0,50 0,80 0,90 0,95 0,99 0,997 0,999 najdeme hodnotu x vyhovující vztahu Φ ( x) = q /00. Na základě pravdla tří sgma lze zvolt -q/00= 0,997, čemuž odpovídá x= 3,0. Tato hodnota určuje horní odhad chyby. V reálných případech se obvykle volí mírnější podmínka- tzv. pravděpodobná chyba -q/00= 0,5, čemuž odpovídá x= 0,67 a výsledný vztah pro chybu metody Monte Carlo bude mít tvar Dξ υ= 0,67. (34) n Tento vzorec nám pomůže porozumět emprcky nalezenému vztahu (4). Chyba výpočtu metody Monte Carlo závsí nejen na počtu pokusů, ale charakterstce studované náhodné velčně výpočtu volbou modelu s menší dsperzí D ξ. To nám dává možnost pokust se zvýšt přesnost D ξ. 9
Chybu metody Monte Carlo můžeme kontrolovat jž v průběhu smulace a jakmle dosáhneme požadovanou přesnost, je možno smulac ukončt. 4. Řešení numerckých problémů pomocí metody Monte Carlo Metoda Monte Carlo byla původně navržena pro řešení problémů z oblast jaderné fyzky. Posléze se ukázala být velm vhodná pro řešení úloh ze všech vědních dscpln. Její přrozené použtí je tam, kde studovaný problém má statstcký charakter, avšak metoda Monte Carlo se dobře uplatňuje v oblastech, kde se pro řešení úloh používají výhradně determnované algortmy (např. Buffonova jehla). Algortmy metody Monte Carlo jsou rozpracovány pro výpočet jednoduchých násobných ntegrálů, pro řešení soustav lneárních algebrackých rovnc, pro operace s matcem, atd. Můžeme říc, že ke každému algortmu z klascké numercké matematky lze najít ekvvalentní postup v rámc metody Monte Carlo (ne vždy výhodný). V této část s uvedeme některé důležté příklady, kde je použtí metody Monte Carlo prot algortmům numercké matematky vhodnější buď z hledska rychlost výpočtu, nebo z jednoduchost algortmu, případně z obou hledsek. 4.. Výpočet určtých ntegrálů Základní metody Úkolem je vypočítat ntegrál z funkce f (x) na vlastním ntervalu a, b K dspozc máme dvě metody: b = a. Výpočet střední hodnoty funkce I f ( x) dx. (35) Nejprve se pokusíme nalézt střední hodnotu ntegrované funkce f (x) na ntervalu a, b. Podaří-l se nám to, potom určíme hodnotu ntegrálu b I = f ( x) dx = ( b a) f. a K nalezení střední hodnoty f použjeme metodu Monte Carlo. Vezmeme náhodnou velčnu ξ rovnoměrné rozdělenou na ntervalu a, b a zavedeme náhodnou velčnu η = f (ξ ), jejíž matematcké očekávání Eη je rovno průměrné hodnotě funkce f (x) na 30
ntervalu a, b. Hodnotu Eη odhadneme pomocí zákona velkých čísel () a dostaneme. Geometrcká metoda n I = & ( b a) f ( ξ ). (36) n Vycházíme ze geometrckému významu ntegrálu jako plochy pod křvkou y = f (x) v rozmezích a až b (obr.4). Předpokládáme, že funkce f (x) je na celém ntervalu a, b omezená. Vezmeme dvě náhodné velčny: ξ a, b a η 0, c rovnoměrné rozdělené na příslušných ntervalech. Takto přpravíme n náhodných bodů ( η, ξ ) a pomocí podmínky η f ( ξ ) budeme určovat, kolk z nch padne pod křvku. Jejch počet označíme n. Poté vezmeme za ntegrál I odhad = n I = & c( b a). (37) n Obrázek 4.: Gonometrcká metoda pro výpočet určtého ntegrálu funkce f (x) Metody se zvýšenou účnností Bez znalost konkrétní funkce není možno rozhodnout, zda je výhodnější použít metodu střední hodnoty, nebo metodu gonometrckou. Avšak porovnání algortmů založených na metodě Monte Carlo a klasckých numerckých algortmů, vyznívá jednoznačně ve prospěch numercké matematky. Proto je nutné pro praktcké použtí 3
obě výše uvedené metody zdokonalt. Jelkož konvergence metody Monte Carlo je velm pomalá (úměrná / pokusů, ale zmenšováním rozptylu pokusů:. Nalezení hlavní část: Rozdělíme ntegrál na dvě část a to: poté: n ), budeme přesnost výpočtu zvyšovat ne zvyšováním počtu - jednu dávající hlavní vklad do výsledku D ξ (34). Uveďme s zde několk příkladů těchto - druhou jakou upřesňující korekc f ( x) = q( x) + h( x) b f ( x) dx = q( x) dx + I = h( x) dx. a b a Dokážeme-l první ntegrál z funkce q(x) spočítat analytcky, budeme muset určt numercky jen hodnotu ntegrálu z funkce h (x) b a. Pokud však v prvním ntegrálu je obsažena větší část výsledku, projeví se chyba v přblžném určení hodnoty druhého ntegrálu na výsledku jen málo. Celkový výsledek poté můžeme získat přesněj, nebo zmenšt počet pokusů n. Tento postup lze použít jak s metodou střední hodnoty funkce, tak s geometrckou metodou. Např. pro metodu střední hodnoty se vztah (36) modfkuje na n b a I = & [ f ( ξ ) q( ξ )] + q( x) dx. n = Rozptyl nové náhodné velčny, se kterou pracujeme, b a bude zmenšený [ f ( ξ ) q( )] + η = ( b a) ξ q( x) dx, b a b b Dη = ( b a) [ f ( x) q( x) ] dx I q( x) dx a a a efektvta metody střední hodnoty funkce vzroste.. Metoda váženého výběru: Př této modfkac obou základních metod nebudeme volt náhodná čísla ξ v ntervalu a, b rozdělená rovnoměrně, ale v oblast více přspívající k hodnotě ntegrálu I je budeme generovat s větší hustotou. Tento postup exstuje ve dvou modfkacích. 3
V té jednodušší rozdělíme ntegrační nterval a, b na několk dílčích ntervalů a v každém budeme generovat jný počet náhodných čísel ξ = n, n,..., nk+. Zvolíme-l n + n +... + nk + = n a použjeme-l pro ntegrac vztah I = c c f ( x) dx + f ( x) dx +... + a c b ck f ( x) dx, Dostaneme výsledek přesnější než př prác s n náhodným čísly ξ na celkovém ntervalu a, b a to tím více, čím více se nebude ntegrovaná funkce na tomto ntervalu měnt. Př obecnější a přesnější varantě metody váženého výběru budeme náhodnou velčnu ξ generovat s hustotou pravděpodobnost spojtě se měnící na celém ntervalu a, b. Hledaný ntegrál upravíme do tvaru I = b a b f ( x) f ( x) dx = p( x) dx. p( x) a Zavedeme-l novou náhodnou velčnu η = f ( ξ ) / p( ξ ), bude pro ní platt: E η = I. Jako odhad hledaného ntegrálu můžeme vzít vztah I = & n n = f ( ξ ). p( ξ ) Nyní vhodnou volbou hustoty pravděpodobnost p(x) můžeme zmenšt rozptyl a tím chybu metody. Rozptyl náhodné velčny η bude Dη b = a f x) dx I p( x) ( 3. Metoda symetrzace ntegrované funkce: Obecně platí, že rozptyl metody bude tím menší, čím se bude ntegrovaná funkce na. ntervalu a, b pomalej měnt- rozptyl konstanty je nula. Budeme se proto snažt ntegrovanou funkc upravt tak, aby se funkce na ntegračním ntervalu měnla co nejméně. Je-l funkce f (x) např. monotónně rostoucí nebo klesající, je jí vhodné symetrzovat podle vztahu q( x) = [ f ( x) + f ( a + b x) ]. 33
Integrál pak budeme moc přblžně spočítat např. metodou střední hodnoty (36) podle modfkovaného vztahu n b a I = & [ f ( ξ ) + f ( a + b ξ )], n = Který bude určtě přesnější než původní vzorec. Vícerozměrné ntegrály Odlšná stuace nastane, pokud změníme formulac problému a místo ntegrování funkce jedné proměnné (35) budeme potřebovat počítat dvou a vícerozměrné ntegrály I = b d ( x) a c( x) f ( x, y) dydx. (38) Tato stuace je ve fyzce běžná. Častěj než jednorozměrné případy řešíme případy dvourozměrné a třírozměrné, někdy vícerozměrné. Zatímco pro jednorozměrné ntegrály exstuje větší množství metod, přechod k vícerozměrným ntegrálům vždy znamená značné zkomplkování a prodloužení doby výpočtu. Budeme-l př výpočtu jednorozměrného ntegrálu brát funkční hodnoty v n uzlových bodech, př přechodu k d- rozměrnému problému vzroste počet uzlových bodů na d n. Známé metody numercké matematky jsou pro vícerozměrné ntegrály nepoužtelné, používá se metoda Monte Carlo. Obě základní metody navržené pro jednorozměrnou ntegrac lze bez problému zobecnt na více rozměrů bez ztráty účnnost. Obecná formulace problému (35) bude I = f ( P) p( P) dp, (39) G kde p (P) je zadaná hustota pravděpodobnost v oblast G, přes kterou ntegrujeme a P = ( x, y,...) je bod z oblast G. Metoda střední hodnoty funkce spočívá v tom, že vezmeme náhodné body P,..., P s hustotou p (P) a zavedeme náhodnou velčnu η = f (P), jejíž matematcká naděje je rovna I n n η = η = n f ( ). (40) = n P = 34
Analogcky můžeme zobecnt gonometrckou metodu. A to tak, že s vytvoříme novou d+ rozměrnou oblast G ( 0, c) a v ní budeme generovat náhodné body Q.Budeme vyšetřovat kolk je z těchto n bodů pod povrchem plochy z = f (P). Jejch počet je n, dostaneme n I =& cg (4) n Ve více rozměrech lze též používat postupy pro snžování rozptylu. Prot jednorozměrnému případu však přbývá další pravdlo: Dokážeme-l ntegrovat přes některou proměnou analytcky, rozptyl se sníží. 4.. Řešení Laplaceovy rovnce Další oblastí matematky je řešení parcálních dferencálních rovnc. Z těchto rovnc se ve fyzce vyskytují velm často Laplaceova a Possonova rovnce. V této část budeme demonstrovat použtí metody Monte Carlo př řešení elptckých parcálních dferencálních rovnc na řešení Laplaceovy rovnce s Drchletovou úlohou. Formulace úlohy Budeme formulovat pro případ, kdy máme stanovt rozdělení elektrostatckého potencálu ve dvou rozměrech: - vezměme s dvourozměrnou oblast G s hrancí Γ - máme za úkol nalézt rozložení potencálu U ( x, y) vyhovující uvntř oblast G Laplaceově rovnc U = 0 a nabývající na hranc oblast hodnoty U (Γ) - zavedeme čtvercovou síť s krokem h očíslovanou ndexy a j, místo spojtě rozložených bodů o souřadncích ( x, y) budeme pracovat pouze s uzly sítě o souřadncích (, j) (tzv. dskretzace prostorových souřadnc). funkcí u j. - místo se spojtým ntegrálem U ( x, y) budeme pracovat s novou dskrétní - nejprve nalezneme ekvvalenty parcálních dervací U / x, U / y, U / x, atd. a z nch sestavíme dferenční ekvvalent celé rovnce. Pro Laplaceovu rovnc dostaneme obvyklý čtyřbodový vztah [ u + u + u u ] u j = +, j, j, j+ +, j. (4) 4 35
- tento vztah musí platt současně ve všech vntřních bodech oblast G a př řešení se musí využít hodnoty dskretzované funkce u na hrancích oblast Γ, kde se pro uzlové body hrance prostě položí U ( Γ) = u( Γ). Vdíme, že formulace úlohy je shodná s přístupem numercké matematky. Rozdíl bude v řešení vznklé soustavy rovnc (4) místo numerckých algortmů (např. Gaussova elmnace) se využívají stochastcké metody Monte Carlo. Uvedenou formulac problému můžeme modfkovat podle konkrétních podmínek (čtvercovou síť nahradt obdélníkovou, atd.) Algortmus bloudění v pravoúhlé sít Jednoduchý algortmus pro řešení Laplaceovy rovnce je založený na představě náhodného bloudění ve vytvořené sít vz obr.5. Hledáme pravděpodobnost toho, že po vypuštění z bodu P dorazíme po náhodné trajektor do některého hrančního bodu, kde jž zůstaneme. S každým hrančním bodem je spojena nějaká velčna, kterou př tomto bloudění získáme. Celý pokus pak n-krát zopakujeme a startovnímu bodu P přřadíme průměrnou hodnotu z takto získaných velčn. Obrázek 5 : Síť pro řešení dvourozměrné Laplaceovy rovnce metodou Monte Carlo. Algortmus bloudění v pravoúhlé sít Př náhodném bloudění musíme procházet řadou náhodných bodů a v každém z nch máme stejnou pravděpodobnost, že budeme pokračovat v jednom ze čtyř směrů. 36
Pokud tuto podmínku vyjádříme v pravděpodobnostech, dostaneme výraz ekvvalentní vztahu (4), jenž odpovídá numerckému řešení právě Laplaceovy rovnce. Velkou výhodou popsaného algortmu je, že prot numerckému řešen Laplaceovy rovnce, kdy musí vztah (4) současně platt ve všech vntřních bodech oblast G, zde získáme řešení v jednom bodě P. Toto řešení je dobré pro naleznutí řešení Laplaceovy rovnce v jedném bodě, nebo malém počtu bodů oblast G. Potřebujeme-l nalézt řešení Laplaceovy rovnce současně ve všech vntřních bodech oblast G, mnohem efektvnější postup nám nabízí klascká numercká matematka. Nevýhodou algortmu bloudění v pravoúhlé sít je právě tato síť. Používáme je ke dvěma účelům, které jsou vůč sobě v protkladu: - Síť nám slouží k tomu, abychom v jejích uzlech určoval hledané hodnoty potencálu. Síť by měla být co nejhustší pro dosažení dostatečné přesnost. - Síť slouží též k tomu, abychom s její pomocí realzoval co nejnáhodnější průchod. Hustá síť náhodnost nezvýší, naopak prodlouží dobu výpočtu. Exstují algortmy, které obě funkce sítě od sebe oddělují a celý výpočet tím zefektvňují. Tyto algortmy (např. algortmus bloudění s náhodným krokem) jsou o mnohem složtější a jsou doporučovány jen zkušeným užvatelům. Algortmy bloudění s náhodným krokem jsou vysvětleny v lteratuře [4]. Účnnost metody Monte Carlo př řešení Laplaceovy rovnce Použtí metody Monte Carlo na řešení Laplaceovy rovnce přnáší sce jednoduchý algortmus, ale jeho efektvta není přílš vysoká. Přechod z dvourozměrné do třírozměrné úlohy znamená značné prodloužení výpočtu. Typcky mnmální rozměry sítí př praktckém použtí numerckého řešení Laplaceovy rovnce např. 4 v elektrotechnce jsou řádu 00 00 ( 0 ). Přechod na třírozměrnou síť znamená řešt řádově 6 0 algebrackých rovnc typu (4). V algortmech metody Monte Carlo stoupá výpočetní náročnost problému s dmenzí pomalej. Je-l Γ doba potřebná k přechodu z jednoho bodu náhodná trajektore do dalšího bodu a v je celkový počet kroků jedná trajektore př -tém pokusu, potom celková doba výpočtu ( v + v +... + v ). T = τ n = τ nev Počet pokusů n potřebných k dosažení zadané přesnost najdeme v zákoně velkých čísel (). Celková doba výpočtu T závsí na lneárních rozměrech oblast G kvadratcky a př přechodu do třetí dmenze se tento odhad změní jen málo. 37
Výhodou algortmů založených na metodě Monte Carlo je, že není nutné počítat současně rozdělení potencálu ve všech bodech sítě, ale jen ve vybraných bodech. Mez další výhodu patří malé nároky na paměť počítače. 4..3 Další problémy Lze konstatovat, že stochastcké algortmy lze nalézt téměř pro každou oblast numerckých výpočtů a otázkou pouze je, kdy je jejch použtí výhodné. Metoda Monte Carlo se ve fyzce používá mmo jné př nterpolac funkcí mnoha proměnných a př řešení soustav lneárních algebrackých rovnc. Př nterpolacích funkcí mnoha proměnných se výhodnost metody Monte Carlo projevuje tím více, čím více proměnných nterpolovaná funkce obsahuje. Př řešení soustav lneárních algebrackých rovnc se používá schopnost soustředt se na řešení jen omezeného problému (hledání jednoho konkrétního kořene). Běžné metody nacházejí současně všechny kořeny, kdežto metoda Monte Carlo dokáže hledat pouze jeden kořen, čímž se doba výpočtu redukuje na velčnu úměrnou m. Mez velm efektvní aplkace metody Monte Carlo patří nterpolace funkcí mnoha proměnných. Mějme funkc m proměnných, f x, x,..., x ), a mějme zadány ( m její hodnoty pouze ve vrcholech jednotkové m-rozměrné krychle. Úkolem je určt hodnotu funkce v nějakém bodě o souřadncích x,..., x ) uvntř krychle. Každou ( m souřadnc budeme nterpolovat lneárně a poté nterpolační vztahy pro jednotlvé rozměry m budou m= m= f ( x ) = ( x ) f (0) + x f f ( x, x ) = ( x ) ( x ) f (0) + x ( x ) f (,0) + ( x) x f (0,) + x x f () (,). S růstem počtu proměnných m počet členů v nterpolačním vztahu prudce narůstá (m=30 dosahuje 0 9 ). O mnoho jednoduší řešení téže úlohy je pomocí metody Monte Carlo. Vytvoříme n bodů o náhodných souřadncích ξ,..., ξ ) a z nch určíme hodnotu nterpolované funkce f f ( x,..., x ) = & n n m = ( m ( ) ( ) f ( ξ,..., ξ ). m 38
( ) Každá z velčn ξ ( j =,..., m;,..., n) může nabývat hodnot 0 nebo j = s pravděpodobnostm P { ξ j = 0} = x j { j = } x j P ξ =, Proto každý bod ( ξ,..., ξ m ) představuje některý vrchol jednotkové krychle. Hodnoty ξ j určíme pomocí náhodné velčny γ rovnoměrně rozdělené v ntervalu (0,) podle předpsu ξ j = 0 pro γ x j ξ j = pro γ x j. Dalším problémem je řešení soustav lneárních algebrackých rovnc, za určtých podmínek můžeme uplatnt metodu Monte Carlo. s neznámým Zformulujeme s úlohu: Vezměme s soustavu m lneárních algebrackých rovnc z,..., zm m j= a j z j = b =,..., m. (43) Tuto soustavu lze zapsat ve vektorově formě a to jako r r Az = b, kde A je čtvercová matce teračního tvaru dostaneme kde matce C je rovna Inverzní matce m m, z r a b r jsou vektory o m složkách. Přepsáním do r r r z = Cz + b. E A, E je jednotková matce. Řešení má tvar r r z = C b. (44) A můžeme vyjádřt řadou A = E + C + C +... Řada konverguje tehdy, jsou-l čísla matce C v absolutní hodnotě menší než. Dosadíme-l rozvoj matce A Toto řešení můžeme složt z dílčích terací do hledaného řešení, dostaneme r r r r z = b + Cb + C b +... 39
r z r z r z... () () (3) r = b r = Cz r = Cz () () r r + b = Cb + b r r + b = C b + b Metoda jednoduchých terací konverguje právě tehdy, konverguje-l řada r () r () r (3) z, z, z,... Pro -tou složku vektoru, z, dostaneme vztah z = b + cjb j + cj c j jb j + cjc j j c j j3b j3 +... (45) j j j j j j3 Řešení téhož problému pomocí metody Monte Carlo. Vztah (45) nám dává návod jak vypočíst jednu složku řešení rovnce (43). Jednotlvé členy výrazu (45) můžeme určt pomocí náhodných velčn. Naším cílem je nalézt E η = z. Budeme- l postup n-krát opakovat, dostaneme jednotlvé realzace velčny η : η : η,..., η. Velčnu η zkonstruujeme následujícím způsobem: Každý prvek matce C zapíšeme jako součn dvou prvků c = F j Kde P 0, ; pro c = 0 položíme P = 0. Analogcky upravíme prvky vektoru j pravé strany b j j j P j b = f p, p ( 0,). Volbou prvků P a p provedeme tak, aby platlo () () ( n) m p + P j j= = =,..., m. Na tyto prvky můžeme pohlížet jako na soubor pravděpodobností nezávslých událostí. Rovnc (44) s jejch pomocí přepíšeme do tvaru z Fj f j Pj p j + +... Fj... Fjr jr f jr Pj... Pjr jr p jr + = f p +...... (46) j j jr Pro = nyní rozdělíme nterval 0, na m + částí, jejchž délky budou P, P,..., P, p. m Totéž můžeme provést pro ostatní hodnoty =,..., m a získat tak m způsobů rozdělení ntervalu 0,. Pak nagenerujeme náhodné velčny nezávsle a rovnoměrně rozdělené na ntervalu (0,): γ γ,,... Nejprve vezmeme -té rozdělení ntervalu 0, γ 0, a zjstíme, kam padne velčna γ 0. Padne-l do poslední, m + část délky p, 40
položíme realzac náhodné velčny η rovnou f. Padne-l číslo γ 0 do j-té část rozdělení ( o délce P j ), vezmeme další, j -té rozdělení ntervalu 0, P j, P,..., Pj m, p j a zjstíme, do které část tohoto nového rozdělení padne číslo γ. 4.3 Použtí metody Monte Carlo ve fyzce Metoda Monte Carlo může najít své místo v matematce a jejím prostřednctvím ve fyzce. Hlavní fyzkální použtí metody Monte Carlo je ovšem př provádění počítačových expermentů. Typcké použtí metody Monte Carlo je př stochastckém částcovém modelování. Problematce stochastckého částcového modelování ve fyzce se budeme věnovat v této část. Př řešení problémů vyjádřených pomocí postupů numercké matematky, ať jž klasckých nebo jejch stochastckých ekvvalentů, jsme schopn popsat konkrétní algortmus řešení studovaného problému, tento algortmus naprogramovat a pro konkrétní data vyřešt. Př počítačových expermentech ve fyzce stojíme před podstatně složtějším úkolem- fyzkálních problémů je mmořádně velký počet a teoretcky každý z nch vyžaduje ndvduální přístup. Pokud se vrátíme k obecnému schématu řešení problémů pomocí metody Monte Carlo (sekce 3.):. Analýza problému a stochastcká formulace modelu pomocí náhodné velčnyξ. Generování náhodné velčny γ rovnoměrně rozdělené na jednotkovém ntervalu 3. Transformace náhodné velčny γ na hledanou náhodnou velčnu ξ 4. Statstcké vyhodnocení opakováním bodů a 3 vznklého souboru realzací náhodné velčny ξ ξ, ξ,..., ξ, : n těžště počítačového expermentu stochastckým modelováním je v kroku. Př analýze studovaného fyzkálního problému je třeba nalézt vhodný zjednodušený model a určt, která náhodná velčna jej nejlépe popsuje. Do tohoto kroku též patří určení toho, kde najdeme hledaný výsledek. Momenty obvykle vyhodnocujeme tehdy, když hledáme fyzkální řešení ve formě jedné hodnoty, zatímco např. úhlová nebo energetcká rozdělení částc nejčastěj převádíme na rozdělení 4
pravděpodobností náhodných velčn. Tato analýza je velm důležtá, neboť určujeme technku statstckého vyhodnocení výsledků v bodě 4. Vlastní tvůrčí čnnost leží v bodě, který je nejobtížnější. Vše ostatní jsou jž standardní postupy, které jdou naučt (sekce a 4.). 4.3. Transportní problém Nejrozšířenějším problémem částcového modelování ve fyzce je transportní problém, př kterém studujeme průchod částc hmotným prostředím. Původní formulace pochází z oblast jaderné fyzky, kde byl studován transport neutronů v atomovém reaktoru. Lze tak také řešt např. - transport elektronů v polovodčích - průchod urychlených elektronů v elektronovém mkroskopu tenkou vrstvou kovu - pohyb elektronů a ontů v plazmatu (horkém) - průchod záření látkou,. Algortmy pro všechny tyto problémy jsou společné a zaleží pouze na fyzkální nterpretac vstupních dat a výsledcích modelování. Základní schéma Pokud bychom řešl transport částc látkou jným prostředky než metodou Monte Carlo, musel bychom detalně znát celý průběh transportu a ten co nejlépe napodobt výpočetním prostředky spojtým modelováním nebo determnstckým čstčovým modelováním. Metoda Monte Carlo je z tohoto hledska mnohem blžší reálnému expermentu. Před začátkem modelování je třeba určt podstatné fyzkální procesy, ke kterým př transportu dochází, a jejch rozdělovací zákony. Př vlastní smulac postupně rozehráváme jednotlvé hodnoty těchto náhodných faktorů a započtením jejch vlvu určíme konkrétní realzac studovaného náhodného procesu. Tímto postupem můžeme modelovat hstor částc a následným zobecněním velkého počtu těchto hstorí určt makroskopcké charakterstky procesu. Uvedené metodě se říká metoda počítačového expermentu. Př počítačovém expermentu můžeme postupovat dvěma cestam. První nejprve analyzuje celý studovaný fyzkální jev a snažíme se vybudovat model co nejvěrnější, ale přtom dostatečně jednoduchý pro následující výpočet. Takovým modelům se říká přrozené a budeme se jm zabývat v této část. Alternatvnímu postupu pomocí tzv. umělých modelů se budeme věnovat v část 4.3.. 4
Data Př počítačovém modelování musíme spolu s výběrem používaných algortmů věnovat pozornost datovým strukturám (tj. kam budou data v průběhu výpočtu ukládána). Toto vyplývá ze zásad strukturovaného programování, které je uvedeno v lteratuře[7]. Datová struktura vhodná pro počítačové studum transportu částs je uvedena na obrázku 6. x y z 3 4 5 v x v y v z typ Obrázek 6.: Datové struktury pro čstčové modelování přrozené modely. Všechny údaje příslušející jedné částc jsou ukládány do jednoho sloupce datové struktury, tj. počet sloupců odpovídá celkovému počtu částc. Ve skutečnost je stuace poněkud složtější. Př částcovém modelování rozehráváme dva typy algortmů. Jedním z nch je, že př smulac budeme vypouštět částce postupně a teprve když urazí celou svoj trajektor, tak budeme sledovat pohyb další částce. Toto je tzv. jednočástcová metoda. Jí by odpovídala datová struktura na obr. 6 pouze s jedním sloupcem. Tato metoda se použje tehdy, když je rozhodující pouze nterakce částc s prostředím a vzájemnou nterakc můžeme zanedbat. Pokud ale bude vedle nterakce s prostředím přítomna vzájemná nterakce částc, musíme současně sledovat chování celého souboru částc. Pak se bude jednat o metodu mnohočástcovou. Nyní s datovou strukturu uvedenou na obr.6 prohlédneme detalně. Pro každou částc do ní budeme ukládat několk skupn údajů: 43
- Prostorové souřadnce částce Naše modely mohou být prostorově jednorozměrné nebo vícerozměrné. V našem obr.6 bude první skupna dat obsahovat -3 položky, např. kartézské souřadnce x,y,z. Tato skupna nemůže být prázdná, neboť musí obsahovat mnmálně jednu prostorovou souřadnc, která př studu průchodu částce látkou představuje jakous řídící osu (jž odpovídá hlavn cyklus v programu). - Rychlost částc Abychom mohl sledovat průběh transportu částc je potřeba mít k dspozc rychlost každé částce v r. V závslost na rozměrnost modelu se může jednat např. o složky rychlost v x, v y, v z, případně vyjádření v jné soustavě, ale také např. o absolutní hodnotu celkové rychlost v spolu se složkou v x, atd. V některých aplkacích je vhodnějš pracovat s knetckou energí částce (E x, ) - Další údaje Př řešení problému většnou výše uvedené dvě skupny stačí, pokud ale budeme mít v našem souboru více druhů částc (typcké např. pro fyzku plazmatu nebo jadernou fyzku), budou nás zajímat ještě další charakterstky částce její hmotnost, náboj, atd. Tím by ale datový soubor narůstal na neúměrnou velkost. Proto je vhodné data optmalzovat, tak že zavedeme jen jeden další ntegrální parametr typ částce a přřazením konkrétních hmotnost atd. se provede v programu jen jednou. Pracovní oblast Př částcovém modelováním musíme nejdříve určt oblast v níž budeme studovaný proces smulovat. Př modelování transportu metodou Monte Carlo budeme mít tuto oblast tvořenou třem částm vz obr.6: - zdrojem částc - vlastní pracovní oblastí v níž se transport odehrává - cílovou oblastí 44
Obrázek 7.: Znázornění pracovní oblast př modelování částc Vlastní program smulující průchod částc hmotným prostředím (jednočástcovou metodou) pak vypadá tak, že ze zdroje vstoupí do pracovní oblast jedna částce, kterou budeme detalně studovat. Nejprve určíme vzdálenost do bodu nterakce s materálem, pak určíme typ nterakce a podle něj upravíme směr a rychlost dalšího pohybu částce nebo částc ( může se stát, že původně jednočástcová metoda může přejít v metodu mnohočástcovou). Pak celý postup opakujeme a současně testujeme, zda trajektore nějakým způsobem nebyla ukončena. Zdroj částc Představuje generátor částc, které vstupují do naší pracovní oblast. Jeho charakterstku budeme přebírat ze studovaného fyzkálního jevu (např. bodový zdroj se sférckou symetrí). Z hledska datové struktury znázorněné na obr. 7 provádí zdroj naplnění příslušných sloupců dat pro částce vstupující ze zdroje počátečním hodnotam, tj. hodnota proměnné x se nastaví na nulu, zadají se případné hodnoty dalších prostorových souřadnc y a z, a zadají se počáteční rychlost nebo energe těchto částc. Pracovní oblast Pracovní oblast modelu je ta část prostoru, kde dochází k nterakcím procházejících částc s látkovým prostředím. Interakce jsou vždy v modelu přítomné, kdyby nebyly, mohl bychom řešt problém analytcky a nepotřeboval bychom používat technky počítačového modelování. Charakterstku prostředí, v němž transport probíhá, musíme převzít z vnějšku modelu, neboť to jsou základní expermentální údaje. Z lteratury nebo 45
od kolegů-expermentátorů musíme získat nformac o počtu rozptylových procesů, jejch ntenztě a přesný pops jejch vlvu na procházející částce. Tyto údaje shrneme do jedné makroskopcké velčny výsledné střední volné dráhy (nebo celkového účnného průřezu). Na jejím základě vytvoříme tzv. náhodnou volnou dráhu, po jejímž uražení se částce srazí a trajektore znázorněná obr. 7 se zalomí. Pak musíme z exstujících rozptylových procesů vybrat typ konkrétní nterakce, podle její charakterstky změnt rychlost částce v r, postup zopakovat a takto vytvořt celou trajektor. Z hledska datové struktury se př pohybu v pracovní oblast budou měnt všechny údaje charakterzující částc. Pokud dojde k tzv. štěpení trajektore, tj. pokud se př určté srážce vytvoří další částce, zavedeme do datového souboru další částc nebo částce. Cíl Trajektor můžeme skončt třem způsoby standardním vstupem do cílové oblast, ukončení trajektore záchytem a případně návratem na částce do zdrojové oblast. Ve všech případech (třech) zpracování této nformace závsí opět na studovaném jevu a na vytvořeném modelu. Obvyklé je, že pouze zapsujeme počet částc, které pronkly do cílové oblast a srovnáváme je s počtem částc, které pronkly do cílové oblast a s počtem částc původně zdrojem vypuštěných. Je ovšem možné provádět detalní analýzu částc vyletujících z pracovní oblast a zaznamenávat jejch rychlost v r, což pak využjeme např. př modelování úhlového nebo energetckého rozdělení studovaných částc. V modelu transportního jevu mluvíme o třech oblastech, které důsledně oddělujeme jak v popsu modelu tak v programu. Někdy však nelze tyto tř oblast prostorově odlšt např. př modelování procesů v nízkoteplotním plazmatu, přesto však př vytváření modelu a jeho realzac na počítač budeme tyto tř oblast oddělovat. Z tohoto hledska se jedná ne o prostorové, ale o časové oddělení částce jsou nejprve generovány, pak dochází k transportu a nakonec se výsledky zpracují. Rozptylové procesy Předpokládejme, že v látce v níž probíhá transport částc je přítomno celkem k typů rozptylových procesů. Tyto procesy jsou charakterzovány středním volným draham λ, λ,..., λ, případně účnným průřezy jednotlvých typů nterakcí S, S,..., S. k k 46
Střední volná dráha λ je průměrná vzdálenost mez srážkam -tého typu a udává se v metrech. Účnný průřez můžeme zavést dvěma způsoby, jako makroskopcký účnný průřez S =, N λ kde N = 3, 0 molekul nebo atomů v m 3 př T = 300K. Tento účnný průřez je udáván v m. Druhou možností je mkroskopcký účnný průřez S = udávaný v jednotkách m -. Pokud dostaneme expermentální hodnoty, tak rozměr účnného průřezu a jeho číselná velkost nám řekne, která defnce byla př měření použta. Z dílčích nterakcí vytvoříme celkový účnný průřez S nebo celkovou střední volnou dráhou λ. Složení dílčích nterakcí provedeme podle vztahů λ S = k S =, nebo = λ k =. λ Dílčí celkové střední volné dráhy mohou být konstantam většnou však závsejí na poloze nebo na energ částce. Totéž platí pro účnné průřezy. Základní typy rozptylových procesů jsou následující: ) Pružný rozptyl Př pružném rozptylu se př nterakc nemění celková energe nteragujících částc. Ve fyzce pevných látek je energe částce E před po srážce stejná. Směr pohybu částce se ovšem změní, a proto se změní složky energe E x, E y a z E. Naprot tomu např. ve fyzce plazmatu, př srážce lehkého elektronu s těžkým ontem se př přesném výpočtu musí určtá malá ztráta energe elektronu započítat. Směr částce po nterakc je buď zadán smulovaným expermentálním podmínkam, častěj se však předpokládá úhlově zotropní rozptyl, kde se směrové kosny rozehrávají ze vztahů (33.). ) Nepružný rozptyl Př nepružném rozptylu vždy dochází ke ztrátě energe E být konstantní (např. př exctac atomu do vyššího stavu je. Tato ztráta energe může E rovno rozdílu 47
energetckých hladn atomu), může to být ale náhodná velčna ( př onzac). Směr částc po nterakc bývá většnou zadán z expermentu, někdy ale př nedostatku expermentálních dat se opět uchylujeme ke vztahům (33.). 3) Záchyt Záchyt fyzkálně odpovídá různým mechansmům, např. pohlcení neutronu. V modelu se to ošetřuje stejně trajektore prostě v daném bodě končí a ze zdroje je vypuštěna další částce. Model lze doplnt o pops fyzkálních procesů vyvolaných záchytem částc a uvolněním energe nebo náboje, kterou nese např. po zabrždění rychlého elektronu v látce vznká elektromagnetcké záření. 4) Štěpení Štěpení znamená proces, př kterém z jedné prmární studované částce vznkají dvě nebo více sekundárních neutronů v jaderné fyzce, elektronů v plazmatu, apod. Programovací problém se štěpení spojený je takový, že pokud se často proces opakuje z původní jedné částce vznká celá lavna. Toto se velm obtížně programuje. Po uražení náhodné volné dráhy dojde určtě k nterakc, je však třeba rozhodnout, která nterakce to bude. Př tom se využjí hodnoty středních volných drah dílčích nterakcí vztahů λ. Pro pravděpodobnost výskytu -té nterakce použjeme jeden ze p p = λ λ S =. S Pokud tyto pravděpodobnost známe, použjeme standardní postup na rozehrávání dskrétní náhodné velčny ( zobrazený na obr.). Náhodná volná dráha Základním úkolem př řešení transportního problému ve fyzce je rozehrání náhodné volné dráhy. V této souvslost musíme operovat se dvěma pojmy: náhodná volná dráha ξ je vzdálenost, kterou urazí částce mez dvěma po sobě jdoucím nterakcem, a jedná se o náhodnou velčnu. Naprot tomu střední volná dráha λ je obvyklé (nenáhodné) číslo udávající průměrnou vzdálenost mez nterakcem a charakterzuje tak prostředí, v 48
němž transport probíhá. Střední volná dráha představuje první moment náhodné velčny ξ a je mez nm proto obvyklý vztah () n λ = Eξ = ξ. n Zákon velkých čísel () nám umožňuje přblžně řešt tuto mplkac pro obecnou náhodnou velčnu ξ : ξ, ξ,..., ξ = Eξ n, naprot tomu opačná mplkace, kterou potřebujeme vyřešt pro generování náhodných volných drah: není na obecné úrovn řeštelná. λ = Eξ ξ, ξ,..., ξ n Pokud využjeme fyzkální vlastnost rozptylu částc v látce, lze vztah pro generování náhodných volných drah odvodt. Musí však být splněn předpoklad, že střední volná dráha je konstantní. Za tohoto dost slného předpokladu můžeme použít pro generování jednotlvých realzac náhodných volných drah ξ jednoduchý vztah ξ = λ ln, (47) γ kde γ je rovnoměrně rozdělená náhodná velčna v ntervalu ( 0,. Pokud ale není předpoklad λ =konst. splněn, nemůžeme vztah (46) použít. Vztah pro rozehrávání náhodné volné dráhy ξ můžeme odvodt tímto postupem: Předpokládejme, že částce se pohybuje z bodu x = 0 podél osy x a po cestě se může srážet. Zavedeme parametr S celkový účnný průřez nterakce částce s prostředím. Rozdělovací funkce náhodné volné dráhy ξ, F (x), bude { x} F ( x) = P ξ. Pravděpodobnost, že částce bude mít první srážku v ntervalu x, x + x, můžeme určt dvěma způsoby. Za prvé pro dostaneme x dost malé s využtím dstrbuční funkce F( x + x) F( x). Za druhé můžeme tutéž pravděpodobnost vyjádřt pomocí účnného průřezu S [ F( x) ] S x, kde F( x) je pravděpodobnost, že částce doletí bez srážky do místa x a S x je pravděpodobnost srážky v ntervalu x, x + x. 49
Vytvoříme-l z obou těchto vztahů pro pravděpodobnost srážky rovnc a povedeme-l lmtní přechod x 0, dostaneme pro rozdělovací funkc F (x) výraz F( x) = exp x S( s) ds. 0 Odpovídající hustota pravděpodobnost rozdělení náhodných volných drah ξ bude p( x) = S( x) exp x S( s) ds. (48) 0 Náhodná volná dráha je tedy spojtou náhodnou velčnou s oborem hodnot x 0, a hustotou pravděpodobnost (48). Př znalost celkového účnného průřezu S (x) můžeme tyto údaje využít k rozehrávání konkrétních hodnot náhodných volných drah. Problém je ale ve tvaru závslost (48) jedná se o ntegrál v exponencále. Pokud bude možno tento vztah spočítat analytcky, lze přpravt explctní vzorec typu (47) a zařadt jej do programu. Jedný problém je, že to lze udělat jen př znalost konkrétních rozptylových procesů v našem modelu. Pokud ovšem nebude ntegrál (48) řeštelný analytcky, v modelování metodou Monte Carlo jej nemůžeme použít ( numercké řešení by bylo velm pomalé). V prostředí, kde celkový účnný průřez S bude konstantní, dostaneme zjednodušené výrazy pro rozdělovací funkc a hustotu pravděpodobnost ( Sx) F( x) = exp p( x) = S exp( Sx). 4.3. Metoda nulové srážky Tato metoda byla navržena v roce 97 [5] a s její pomocí můžeme v nehomogenních prostředcích používat pro rozehrávání náhodné volné dráhy jednoduchý vzorec (47) ξ = λ ln γ místo podstatně složtějšího a výrazně pomalejšího vztahu (47). Původně mělo studované prostředí k typů srážkových procesů charakterzovaných účnným průřezy S,..., S. Z nch byl vytvořený celkový účnný průřez S a celková střední volná dráha λ. Tyto velčny ale závsely na poloze částc a proto nebylo možno využít pro rozehrávání náhodné volné dráhy vztah (47). Proto v nové formulac modelu budeme pracovat s prostředím obsahujícím k+ typů srážkových procesů charakterzovaných účnným průřezy S,..., S k, S k +. Srážkový k 50
proces jsme s vymyslel, proto s můžeme navrhnout jeho závslost na poloze. Uděláme to tak, aby nový celkový účnný průřez S = S +... + S k + S k+ byl konstantní.pak upravená střední volná dráha λ bude konstantní a pro rozehrávání náhodné volné dráhy ξ můžeme používat jednoduchý vztah ξ = λ ln. γ Tomuto novému umělému procesu, který jsme do modelu zavedl, se říká nulová srážka, protože nebude měnt an energ nteragující částce, an směr jejího pohybu další část trajektore bude prodloužením předchozího úseku. Tento předpoklad plně postačí k tomu, aby kompenzoval vlv zavedeného umělého obratu, což s můžeme demonstrovat na obr.8. Obrázek 8.: Modelování transportního procesu částc pracovní oblastí: nahoře přrozený algortmus, dole smulace s užtím metody nulové srážky. V případě přrozeného procesu je trajektore tvořena náhodným volným draham ξ rozehrávaným na základě střední volné dráhy λ. V případe umělého procesu pracujeme s náhodným volným draham ξ rozehrávaným pomoc střední volné dráhy λ. Červeně znázorněny na obr.8 jsou náhodně vkládány úseky odpovídající mechansmu nulová srážky, které budou opět náhodně prodlužovat ostatní úseky. Obě trajektore na obr.8 budou statstcky stejné a z metody nulové srážky se projeví jen výrazná úspora času modelování. 5
5. Rozehrávání velčn V této sekc s uvedeme praktcké rozehrávání rychlostí s maxwellovským a nemaxellovským rozdělením rychlostí. Zde využjeme poznatky, které jsme s jž v dřívějších sekcích přpomněl. 5. Rozehrávání rychlostí s maxwellovským rozdělením rychlostí V této kaptole se budu zabývat řešením problému rozehrávání rychlostí částc deálního plynu. Z teore tekutn vyplývá, že v ustáleném stavu, kdy na částce nepůsobí žádná vnější síla, mají částce maxwellovské rozdělení rychlostí. Rozdělovací funkce má tedy v případech, kdy můžeme uvažovat tř stupně volnost každé částce tvar kde ε e f ( ε e ) =, 5 π k T B e ε e exp( k T B e ) Rozdělovací funkce vyjádřená jako funkce rychlost se dá psát ve tvaru f ( v) = A v mev ( k T kde konstantu A lze pro třírozměrný pohyb elektronů zapsat ve tvaru A = me π k BT Jednou z možností, jak nagenerovat soubor rychlostí částc, je využtí metody nverzní funkce, jak byla popsána v jedné z předchozích kaptol. Za tímto účelem byl v programovém balíku MATLAB vytvořen tento zdrojový kód, který jsme s barevně rozlšl, pro následné vysvětlení: e B 3 e ) (49) m_e=9.09534e-3; T_e=300; k_b=.38066e-3; q=.6089e-9; pocet=000000; konstanta=m_e/(k_b*t_e); vmax=5*sqrt(*k_b*t_e/m_e); v_maxwell=lnspace(0+eps, vmax, 000); f= @(v)(/sqrt(*p))*(konstanta.^.5)*(v.^).*exp(- konstanta.*(v.^)/); 5
for =::000 F() = quad(f,0,v_maxwell()); end v=nterp(f, v_maxwell, rand(,pocet), 'splne'); Theta=acos(*rand(,pocet)-); f=*p*rand(,pocet); v_x=v.*cos(f).*sn(theta); v_y=v.*sn(f).*sn(theta); v_z=v.*cos(theta); V následujících několka řádcích s projdeme vytvořený program a vysvětlíme s postupně co který řádek znamená: - konstanta=m_e/(k_b*t_e); vmax=5*sqrt(*k_b*t_e/m_e); v_maxwell=lnspace(0+eps, vmax, 000) Tato část slouží pro nadefnování konstant, ve které jsou napočítány hodnoty pomocných proměnných, které umožňují efektvnější provedení výpočtu. - f= @(v)(/sqrt(*p))*(konstanta.^.5)*(v.^).*exp(- konstanta.*(v.^)/); Zde je defnována MATLABovská funkce f, která odpovídá rozdělovací funkc rychlostí elektronů (vz obrázek 9). - for =::000 F() = quad(f,0,v_maxwell()); end Zde jsou numerckou ntegrací za využtí MATLABovské funkce quad napočítány hodnoty dstrbuční funkce F vz obrázek 0. - v=nterp(f, v_maxwell, rand(,pocet), 'splne'); Po ukončení cyklu jsou nterpolací (MATLABovská funkce nterp) a za využtí hodnot funkce rand, která generuje náhodná čísla s rovnoměrným rozdělením na ntervalu 0,, nalezeny hodnoty rychlostí, které odpovídají nagenerované hodnotě dstrbuční funkce F. Je patrné, že př využtí MATLABovské matcové syntaxe odpadá psaní komplkovaných cyklů, jako by tomu muselo být například v programovacím jazyku C č Fortran, a celý příkaz lze přehledně zadat na jedném řádku. - Theta=acos(*rand(,pocet)-); f=*p*rand(,pocet); v_x=v.*cos(f).*sn(theta); v_y=v.*sn(f).*sn(theta); 53
v_z=v.*cos(theta); Tyto poslední řádky zápse umožňují rozehrání jednotlvých složek rychlostí ve třech nezávslých směrech. Rozehrávání odpovídá generování bodů v jednotkové koul Obrázek 9: Hustota pravděpodobnost f generovaná zdrojovým kódem. Obrázek 0: Dstrbuční funkce F generovaná zdrojovým kódem. 54
Obrázek : Hstogramy rychlostí částc hstogramy byly sestrojeny ze statstckého souboru hodnot tvořeného 0.000, 00.000, mlonem a 0 mlony částc. Zdrojový kód jsem poté využl pro generování rychlostí elektronů o teplotě T = 3. 00 K s maxwellovským rozdělením rychlostí. Tato úloha odpovídá například generování parametrů částc ve zdroj. Na obr. je patrné, že př větším počtu generovaných částc jsou generovány rychlost částc z energetčtější část spektra a rozdělovací funkce vykazuje mnohem menší fluktuace. Z pohledu časové náročnost výpočtu se dá říc, že ho lze provést v závslost na počtu generovaných hodnot za řádově jednotky sekund. 55
5. Rozehrávání rychlostí s nemaxwellovským rozdělením rychlostí V této kaptole popíš možnost, jak lze nagenerovat rychlost částc s obecně defnovanou rozdělovací funkcí f. Například př studu onzovaných plynů, nebývá předpoklad maxwelloovského rozdělení rychlostí často splněn, neboť rozdělovací funkce bývá často deformována například přítomností elektrckého pole nebo neelastckáým srážkam mez částcem (exctace, onzace). Přesto může být úloha rozehrát rychlost částc důležtá pro další provedení výpočtu, jako je tomu například ve třetí část algortmu prezentovaném v [6]. V tomto případě je rozdělovací funkce defnována v jednotlvých bodech (je zadána tabulkou). Pro ukázku rozehrajme náhodnou funkc sn(x)/ na ntervalu 0, π. Předpokládejme, že j máme defnovánu ve 00 ekvdstantně rozložených uzlových bodech. Zdrojový kód pak může vypadat například takto (opět barevně rozlšíme): xmn=0; xmax=p; ymn=0; ymax=; x=lnspace(xmn, xmax, 00); ROZDELENI_v=sn(x)/; pocet=00000; xrand = (xmax - xmn)*rand(, pocet); yrand = (ymax - ymn)*rand(, pocet); pom=nterp(x, ROZDELENI_v, xrand, 'splne'); ndex = fnd( yrand < pom); X=xRand(ndex); hst(x, 00) V následujících několka řádcích s projdeme vytvořený program a vysvětlíme s postupně co který řádek znamená: - xmn=0; xmax=p; ymn=0; ymax=; Tyto čtyř řádky defnují mnmální a maxmální hodnoty, které budou generovány na ose x a y. - x=lnspace(xmn, xmax, 00); ROZDELENI_v=sn(x)/; pocet=00000; 56
xrand = (xmax - xmn)*rand(, pocet); yrand = (ymax - ymn)*rand(, pocet); První dva řádky (z těchto čtyř), v nchž nejprve generujeme uzlové body a posléze určujeme v nch tabelované hodnoty. Pokud není daná funkce dána předpsem, můžeme data mportovat například pomocí tabulky. Defnční řádek pocet=0000 určuje počet bodů, které budeme generovat v obdélníku. Matce xrand a yrand pak obsahují nagenerované souřadnce. - pom=nterp(x, ROZDELENI_v, xrand, 'splne'); ndex = fnd( yrand < pom); V těchto dvou řádcích s pak pomocí nterpolace kubckým splajnem určíme matc pom, v níž jsou určeny aproxmatvní hodnoty tabelované funkce v náhodných bodech xrand. Indexy prvků, které leží v červené oblast jsou obsaženy v matc ndex. - X=xRand(ndex); hst(x, 00) Zde se jž pouze předávají hodnoty xrand, které mají rozdělovací funkc sn(x)/, jak je patrné z hstogramů na obrázku. Opět platí, že se zvyšujícím se počtem nagenerovaných hodnot se zmenšuje počet fluktuací v těchto hstogramech. 57
Obrázek : Rozehrávání neznámé funkce: horní graf 0.000 hodnot, prostřední.000.000 a dolní 0 mlonů hodnot. 58
Obrázek 3: K vysvětlení prncpu metody. Prncp metody je takový (vz obrázek 3), že v obdélníku daných rozměrů generujeme bod, který je defnován jako uspořádaná dvojce hodnot [x, y]. Hodnoty x generuje v rozsahu defnčního oboru na ose x, hodnoty y v rozsahu od 0 do maxma tabelované funkce f. Nagenerovaný bod pak leží v šedém obdélníku. Pokud navíc leží pod křvkou, tzn. v červené oblast, bereme jeho x-ovou souřadnc jako hodnotu generované funkce. Hodnoty s větší pravděpodobností jsou tímto způsobem generovány tak často, jak to odpovídá dané pravděpodobnost. Na obrázku je hstogram s rozdělovací funkcí sn(x)/. 59