[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1: Radioaktivní rozpad. Odbočka - vysvětlení některých dále používaných pojmů: 1. Vzdálenost bodů v R 2 : d ( (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 2. δ-okolí bodu (, y 0 ): ( U δ (x0, y 0 ) ) = {(x, y) d ( (x, y), (, y 0 ) ) < δ} (tedy otevřený kruh se středem v (, y 0 ) a poloměrem δ > 0) 3. Spojitost funkce dvou proměnných jako u funkce jedné proměnné: ( U ε f(x0, y 0 ) ) ( U δ (x0, y 0 ) ) ( : ((x, y) U δ (x0, y 0 ) ) ( f(x, y) U ε f(x0, y 0 ) )) neboli ε > 0 δ > 0 : ( d ( (x, y), (, y 0 ) ) ) < δ f(x, y) f(, y 0 ) < ε. (1. 3. analogicky pro funkce více proměnných) 4. Otevřená množina: s každým bodem obsahuje i nějaké jeho okolí 5. Parciální derivace: na proměnné, podle kterých nederivujeme, se díváme jako na konstanty. Tedy např pro funkci G(u, v, w) = u 2 ln v + v (v > 0, w 0) w máme G u = 2u ln v, G v = u2 1 v + 1 w 1, G ( w = v 1w ) 2. Dále diferenciální rovnice 1. řádu 1.1 Existence a jednoznačnost řešení dále uvažujeme rovnice typu y = F (x, y), (1) F definována na M R 2, M otevřená (omezujeme se proto na otevřené intervaly)
Definice: Řekneme, že funkce y : I R je řešením rovnice (1) na intervalu I, jestliže pro každé x I je (x, y(x)) M a y (x) = F ( x, y(x) ). [M2-P2] Řešení y 1 : I 1 R rovnice (1) je rozšířením (vlastním rozšířením) řešení y 2 : I 2 R této rovnice, je-li I 2 I 1 (I 2 I 1 ) a y 1 (x) = y 2 (x) pro všechna x I 2. Řešení y je maximálním řešením, pokud neexistuje jeho vlastní rozšíření. počáteční podmínka (P.P.): y( ) = y 0 ; (, y 0 ) M (2) Cauchyova úloha diferenciální rovnice spolu s počáteční podmínkou řešení Cauchyovy úlohy řešení y diferenciální rovnice na intervalu I, pro které platí y( ) = y 0 Příklad 1.2: Ukázka Cauchyovy úlohy, která má více řešení: y = 3y 2 3 ; y(0) = 0. Definice: Řekneme, že Cauchyova úloha (1), (2) je jednoznačně řešitelná v M, jestliže pro každá dvě její řešení y 1 na I 1 a y 2 na I 2 platí y 1 (x) = y 2 (x) x I 1 I 2. Věta 1.1 (existence a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice 1. řádu) : Je-li funkce F spojitá na M = Ĩ J, kde Ĩ, J jsou intervaly, pak existuje řešení Cauchyovy úlohy (1), (2) na nějakém F intervalu I Ĩ. Je-li navíc spojitá nebo omezená na M, je Cauchyova úloha v M jednoznačně řešitelná. y 1.2 Rovnice se separovanými proměnnými rovnice typu y = f(x) g(y) (3) (máme tu tedy: F (x, y) = f(x) g(y) ) Poznámka: Na základě Věty 1.1 lze už teď říci, že nám k existenci řešení bude stačit spojitost funkcí f a g, k jednoznačnosti pak ještě spojitost f g, tj. spojitost g (díky spojitosti f ). zřejmě platí: je li g(y ) = 0, pak y(x) = y, x I (tj. y y na I) je řešení rovnice (3) je to tzv. stacionární řešení dále se omezíme na jednu dvojici intervalů I, J takových, že: f je spojitá na I g je spojitá na J a nenabývá na J nulové hodnoty
[M2-P3] protože g(y) 0, lze touto hodnotou dělit a dostaneme toto přepíšeme na tvar y = f(x), (4) g(y) g(y) y = f(x), kde g = 1 g přesněji g(y(x)) y (x) = f(x) (5) máme: g = 1 g je spojitá na J, tedy existuje G primitivní funkce k g na J existuje F primitivní funkce k f na I pomocí věty o derivaci složené funkce z (5) dostáváme ( ) ) G( y(x) = F (x) tj. G ( y(x) ) = F (x) + c, x I c {x F (x) + c H( G)} funkce g je nenulová na J, tedy G je prostá na J a tím existuje G 1 na G(J) máme tak y(x) = G ( ) 1 F (x) + c, x I c Poznámka: Všimněte si, že z výše uvedených úvah vyplývá (aniž bychom využili Větu 1.1), že je-li f spojitá na intervalu I, g spojitá na J a nenabývá-li g nulové hodnoty na J, pak existuje řešení, jehož graf prochází daným bodem množiny I J, a toto řešení je určeno jednoznačně ve smyslu výše uvedené definice. Nepotřebujeme tedy v tomto případě zkoumat derivaci funkce g. Derivace g nás začne zajímat v případě, kdy dovolíme, aby funkce g nabývala nulové hodnoty. (Věta 1.1 je obecnější - vypovídá o řešení obecnějších rovnic, proto má silnější předpoklady.) Poznámka: Podívejme se ještě na úlohu y = 3y 2 3 ; y(0) = 0 z Příkladu 1.2. Je to rovnice se separovanými proměnnými. Máme tu f(x) = 1, g(y) = 3y 2 3. Funkce f je spojitá na celém R, tedy I = R. Funkce g je spojitá na celém R, nenulová ale pouze na intervalech J 1 = (, 0) a J 2 = (0, ). Existenci a jednoznačnost řešení tedy máme zaručenu pouze v R J 1 a v R J 2. Protože je však počáteční podmínka nulová, musíme zkoumat chování derivace funkce g v okolí nuly. Snadno zjistíme, že g (y) = y 1 3 pro y 0, a tedy g (0) neexistuje, protože g (0) = lim y 0 g (y) = = + = lim y 0 + g (y) = g +(0). Museli jsme proto očekávat, že budeme mít problémy s jednoznačností řešení. Příklad 1.3: Najděte řešení diferenciální rovnice y = y2 1 x vyhovující počáteční podmínce: a) y(3) = 1, b) y( 1 3 ) = 2, c) y(0) = 1, d) y(2) = 0. (Neboli: Řešte Cauchyovy úlohy... )
Příklad 1.4: Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = e y [M2-P4] a řešení vyhovující počáteční podmínce y( e) = 1. Řešení : Máme f(x) = 1, g(y) = e y. Obě funkce jsou spojité na celém R a g nenabývá na R nulové hodnoty, tedy máme zaručenu existenci a jednoznačnost řešení v celém R R (tedy I = J = R). Derivaci funkce g není nutno vzhledem k výše uvedené poznámce zkoumat. Protože g(y) 0, můžeme rovnici tímto vydělit (zde tedy vynásobit e y ) e y y = 1, pak zintegrovat e y dy = 1 dx a dostaneme e y = x + c. Protože oborem hodnot exponenciální funkce je interval (0 ; ), musí být x + c > 0. Obecné řešení tedy je y(x) = ln(x + c), x ( c ; ) (c R). (Všiměte si, že žádné řešení není definováno na celém R, přestože f byla spojitá na celém R. Toto však není v rozporu s Větou 1.1.) Zbývá nám ještě najít řešení vyhovující zadané počáteční podmínce. V předpisu pro obecné řešení proto dosadíme x := e, y := 1 (není nutné dosazovat až do předpisu pro obecné řešení; lze dosadit už do rovnosti e y = x + c zde by to bylo výhodnější) a postupně dostaneme Řešením Cauchyovy úlohy je tedy funkce 1 = ln( e + c) e = e + c c = 2 e. y(x) = ln (x + 2 e), x ( 2 e ; ). SHRNUTÍ: A) pro obecné řešení: najdeme všechny dvojice intervalů I, J takových, že f je spojitá na I, g je spojitá na J a g nenabývá na J nulové hodnoty hledáme řešení, jejichž graf leží celý uvnitř I J, předchozím způsobem přidáme stacionární řešení na maximálních intervalech spojitosti funkce f B) pro Cauchyovu úlohu (s počáteční podmínkou y( ) = y 0 ): je-li g(y 0 ) = 0, pak máme stacionární řešení y y 0 na maximálním intervalu spojitosti funkce f, který obsahuje je-li g(y 0 ) 0, stačí dále uvažovat jen tu dvojici I, J z A), pro kterou I, y 0 J, tam dořešit jako výše a pak pomocí počáteční podmínky určit c NEBO: zintegrujeme rovnost (4) od do x a dostaneme: x f(t) dt = x y (t) g ( y(t) ) dt = y(t) = u y (t) dt = du y(x) = y 0 du g(u), najdeme integrály vlevo a vpravo a ze získané rovnosti vyjádříme y(x) (počáteční podmínka tu je schována v mezích integrálu, takže zde odpadá dopočítávání konstanty c)
[M2-P5] 1.3. Lineární diferenciální rovnice (LDR) 1. řádu rovnice typu a 1 (x) y + a 0 (x) y = f(x) a 1, a 0, f definované na intervalu I, a 1 (x) 0 pro každé x I a 1 0 na I, tedy lze dělit přepíšeme sručněji y + a 0(x) a 1 (x) y = f(x) a 1 (x) y + p(x) y = q(x) Věta 1.2: Nechť jsou funkce p, q spojité na intervalu I, I, y 0 R. Pak má Cauchyova úloha s počáteční podmínkou y( ) = y 0 právě jedno řešení na (celém) I. označíme-li D : y y + p y, je D lineární zobrazení, neboť D(αy 1 + βy 2 ) = (αy 1 + βy 2 ) + p (αy 1 + βy 2 ) = α(y 1 + p y 1 ) + β(y 2 + p y 2 ) = αd(y 1 ) + βd(y 2 ), a rovnici lze přepsat ve tvaru D(y) = q homogenní LDR: q(x) = 0 pro každé x I nehomogenní LDR: q(x) 0 alespoň pro jedno x I přidružená homogenní rovnice: v rovnici nahradíme q nulovou funkcí Množiny řešení (z linearity D): 1. homogenní LDR: množina řešení je lineární prostor (je to jádro zobrazení D) 2. nehomogenní LDR: předpokládejme, že y 1, y 2 řeší danou rovnici (tj. D(y 1 ) = D(y 2 ) = q ) a y 0 řeší přidruženou homogenní rovnici (tj. D(y 0 ) = 0 ), pak A) y 1 y 2 řeší přidruženou homogenní rovnici: D(y 1 y 2 ) = D(y 1 ) D(y 2 ) = q q = 0 B) y 1 + y 0 řeší danou rovnici: D(y 1 + y 0 ) = D(y 1 ) + D(y 0 ) = q + 0 = q A)+B) nám nyní dává, že pro obecné řešení y nehomogenní LDR platí: y = ŷ + ỹ, kde ŷ je jedno pevné řešení dané rovnice (tzv. partikulární řešení) a ỹ je obecné řešení přidružené homogenní rovnice Řešení homogenní LDR 1. řádu : je to rovnice se separovanými proměnnými, lze tedy použít postup z předchozího odstavce 1.2; pro obecné řešení dostaneme P (x) y = c e (c R), kde P (x) je nějaká primitivní funkce k p(x) na I
Řešení nehomogenní LDR 1. řádu : 1. vyřešíme přidruženou homogenní rovnici, dostaneme (viz výše): ỹ = c e P (x) (c R) [M2-P6] 2. najdeme partikulární řešení ŷ nehomogenní rovnice: Metoda variace konstanty ŷ hledáme ve tvaru po dosazení do rovnice dostaneme P (x) ŷ = c(x) e c (x) e P (x) c(x) e P (x) P p(x) +p(x) c(x) e (x) = q(x) }{{} ŷ druhý a třetí člen na levé straně se vyruší, tedy máme odkud c (x) e P (x) = q(x) c (x) = q(x) e P (x) funkce vpravo je spojitá, tedy k ní existuje primitivní funkce na I; označíme-li ji Q(x), můžeme vzít např. čímž dostaneme c(x) = Q(x) ŷ(x) = Q(x) e P (x), 3. pro obecné řešení nehomogenní rovnice máme y = ŷ + ỹ, tj. neboli x I y(x) = Q(x) e P (x) P (x) + c e y(x) = ( Q(x) + c) e P (x), x I (c R) 4. pro Cauchyovu úlohu s počáteční podmínkou y( ) = y 0 dosadíme počáteční podmínku do obecného řešení z bodu 3. Jiný přístup k řešení LDR 1. řádu: Metoda integračního faktoru Hledáme integrační faktor µ(x) ( µ(x) 0 na I ) tak, aby levá strana rovnice po vynásobení µ byla derivací součinu. Pak bude stačit novou rovnici zintegrovat, vydělit µ a dostaneme řešení původní rovnice. Máme y + p y = q µ Má-li být y µ + p µ y = (y µ), musí platit y µ + p µ y = q µ p(x) µ(x) = µ (x). Metodou separace proměnných snadno zjistíme, že této rovnosti vyhovují funkce tvaru µ(x) = e P (x), kde P je libovolná primitivní funkce k funkci p. Zvolíme-li tedy funkci µ takovýmto zbůsobem, budeme mít (y(x) e P (x)) = q(x) e P (x). Odtud neboli Ne zcela korektně lze také psát x y(x) e P (x) = q(t) e P (t) dt + c, x I { x } y(x) = q(t) e P (t) dt + c e P (x), x I. { y(x) = } q(x) e P (x) dx + c e P (x), x I ( q(x) e P (x) dx zde ovšem nepředstavuje neurčitý integrál, ale pouze jednu konkrétní primitivní funkci).