3.4.10 Konstruce ružnic Předolady: 3404 Př. 1: Jsou dány body K, L a M. Narýsuj všechny ružnice, teré rochází těmito třemi body. Kružnice - množina bodů, teré mají stejnou vzdálenost od středu ružnice střed hledané ružnice musí mít stejnou vzdálenost od všech tří zadaných bodů střed ružnice musí mít stejnou vzdálenost nařílad od dvojice bodů K, L musí ležet na ose úsečy KL (odobně taé na ose úsečy LM a úsečy KM). o KM M o LM K L o KL Pedagogicá oznáma: Dooručuji žáům, aby udělali i třetí osu. Není samozřejmé, že se všechny tři osy rotnou ve stejném bodě. Jde taé o dobrou ontrolu řesnosti rýsování. 1
Př. 2: Jsou dány tři římy,, r. Každé dvě z nich jsou navzájem různoběžné, všechny tři římy nemají solečný růsečí. Najdi všechny ružnice, teré se dotýají těchto tří říme. Část nareslených ružnic už známe: Kružnice rocházející třemi body, je ružnice osaná trojúhelníu, terý je těmito body určen. Kružnice dotýající se tří říme a ležící uvnitř trojúhelníu, terý tyto římy ohraničují, je ružnice vesaná trojúhelníu, terý je těmito římami určen. 2
Kružnice dotýající se tří říme a ležící vně trojúhelníu, terý tyto římy ohraničují, jsou ružnice řisané trojúhelníu, terý je těmito římami určen. Pedagogicá oznáma: Neříáme si ředem, že v ředchozích říladech jde onstruci ružnice osané (řílad 1) říadně ružnice vesané a ružnic řisaných (druhý řílad), řeneme si to až o vyřešení obou říladů. Pojmenování bodů v rvním říladu je zvoleno schválně, aby žáům body neasociovaly vrcholy trojúhelníu. Většina žáů odhadne v říladu dva ouze ružnici vesanou, na ružnice řisané řijde až, dyž se dozví, že jedna ružnice je málo. Př. 3: Jsou dány dvě rovnoběžné římy, a ružnice, terá leží uvnitř ásu, terý ohraničují římy,. Najdi všechny ružnice, teré se dotýají říme, a ružnice. Náčrte: Vzdálenost říme označíme d, oloměr ružnice označíme r. Hledáme střed modrých ružnic: Musí být stejně vzdálen od obou říme leží na ose ásu. Musí být od ružnice vzdálen stejně jao od obou říme musí být od ružnice vzdálen o olovinu vzdálenosti mezi římami leží na ružnici se středem ve d středu ružnice a oloměru r +. 2 Konstruce: l 1 2 o 1 2 Záis onstruce: 1.,, ;, = d,, r 2. o; osa ásu říme, d 3. l; l ; r + 2 4., ; = o l 1 2 1 2 ( ) 3
d d 5. 1, 2; 1 1;, 2 2; 2 2 Rozbor: Úloha má vždy dvě řešení. Kružnice, teré jsme hledali, měly slňovat vždy tři ze tří tyů odmíne: rocházet bodem (odmína tyu B), dotýat se římy (odmína tyu ), dotýat se ružnice (odmína tyu ). Tyto úlohy se nazývají ollóniovy. Existuje celem deset těchto úloh. My jsme si uázali úlohu BBB (rvní řílad), úlohu (druhý řílad) a jednu z možností úlohy (třetí řílad). Řešení všech úloh (snadno nalezení na internetu) řesahuje naše možnosti. Př. 4: Je dána říma na ní bod a mimo ní bod B. Najdi všechny ružnice, teré rocházejí body, B a dotýají se římy. Náčrte: B třed hledané ružnice: Musí ležet na olmici římce rocházející bodem. Musí být stejně vzdálen od obou bodů leží ose úsečy B. Konstruce: Záis onstruce: 1.,, B;, B 2. ;, 3. o; o B 4. ; = o B o 5. ; ( ; ) Rozbor: Poud bod B neleží na římce má úloha má vždy jedno řešení. Předchozí řílad je oět ollóniova úloha, seciální říad, dy bod leží buď na římce ). Tyto úlohy se nazývají Paovy. (odmína ( B ) ) nebo na ružnici (odmína ( ) Předchozí řílad se označuje jao Paova úloha ( B) B. 4
Př. 5: Je dána říma a bod. Narýsuj všechny ružnice, teré se dotýají římy, rocházejí bodem a mají oloměr r = 3cm. Náčrte: nebo třed hledané ružnice: Musí být od římy vzdálen 3cm musí ležet na rovnoběžce s římou vzdálenou 3 cm. l,3cm. Musí být od bodu vzdálen 3cm leží na ružnici ( ) Konstruce: 1 2 Záis onstruce: 1., 2. ;, = 3cm 3. l; l ( ;3cm) 4. 1, 2; 1, 2 = l 5., ; ;3cm, ;3cm ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 l 2 1 Rozbor: Počet řešení závisí na vzdálenosti bodu od římy. < 6cm úloha má dvě řešení, = 6cm úloha má jedno řešení, > 6cm úloha nemá žádné řešení. Př. 6: Je dána ružnice ( ;4,5cm) a bod. Najdi všechny ružnice l, teré rocházejí Náčrte: bodem, dotýají se ružnice a mají oloměr r = 2cm. Proveď disusi v závislosti vzdálenosti bodu od středu ružnice. 5
třed hledané ružnice: l (vnitřní Musí být od ružnice vzdálen 2cm musí ležet na ružnici ( ) 1 ;2,5cm doty) nebo na ružnici l2 ( ;6,5cm). Musí být od bodu vzdálen 2 cm leží na ružnici l (,2cm). Konstruce: 1 1 m 2 2 l 1 l 2 Záis onstruce: 1., 4,5cm, ( ) 2. l1, l2; l1 ( ;2,5cm ), l2 ( ;6,5cm) 3. m; m( ;2cm) ( ) 4., ;, = l l m 1 2 1 2 1 2 6
( ) ( ) 5., ; ;2cm, ;2cm 1 2 1 1 2 2 Rozbor: Počet řešení závisí na vzdálenosti bodu od středu. < 0,5cm úloha nemá žádné řešení, = 0,5cm úloha má rávě jedno řešení, 0,5 < < 6,5cm úloha má dvě řešení, = 6,5cm úloha má rávě jedno řešení, > 6,5cm úloha nemá žádné řešení. Př. 7: Petáová: strana 76/cvičení 8 a) strana 76/cvičení 11 a) strana 77/cvičení 12 strana 77/cvičení 13 hrnutí: Při hledání středů ružnic využíváme množiny bodů, na terých musí střed ležet. 7