Počátky: už jsme potkali

KVANTOVÁ MECHANIKA

Počátky: už jsme potkali Záření černého tělesa Kvantování energie Fotoefekt PLANCK 1858-1947 EINSTEIN 1879-1955 Model atomu Vlnové vlastnosti částic BOHR 1885-1962 de BROGLIE 1892-1987

Základ: Dvě různé formulace kvantové mechaniky HEISENBERG 1901-1976 SCHRÖDINGER 1887-1961 Matice-algebra Vlny-analýza

Interpretace, rozpracování, rozšíření BORN 1882-1970 JORDAN 1902-1980 PAULI 1900-1958 DIRAC 1902-1984

Vidíme: plno chytrých lidí si s tím lámalo hlavu je to těžké Většině z nich bylo v té době něco málo přes dvacet Takže teď na to máte největší kapacitu! Tak jdeme na to!

DVOUŠTĚRBINOVÝ EXPERIMENT Feynman: In telling you how it works we will have told you about the basic peculiarities of all quantum mechanics ČÁSTICE VLNY

Částice jsou asi jasné, pro interferenci vln animace z Wikipedie: l 1 l 2 Matematický popis: každá ze dvou vln popsaná komplexním číslem; obě dohromady součtem exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 a intenzita daná kvadrátem absolutní hodnoty, exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 2 což osciluje (viz RLC obvody) Na ty se budu odvolávat často Podrobněji probereme interferenci na cvičení

POZOROVANÉ ELEKTRONY ELEKTRONY

Částicové a vlnové vlastnosti zároveň: Částicové: lokální stopy Vlnové: kde je najdeme Vlnová funkce, která pro dvouštěrbinový experiment byla exp ikl 1 l 1 + exp ikl 2 l 2 Kvadrát absolutní hodnoty dává místo intenzity vlny pravděpodobnost nalezení částice Teď ale hlavní otázka je: dostává novou interpretaci: K této interpretaci se ještě vrátíme a zpřesníme ji Jak získat vlnovou funkci pro daný fyzikální systém??? Začneme tím nejjednodušším: volnou částicí tj. částicí, na kterou nepůsobí žádná síla

Volná částice v klasické mechanice Platí pro ni 1. Newtonův zákon setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu To znamená nemění se rychlost a tím pádem hybnost Její energie je pouze kinetická daná vztahem E = 1 2 mv2 = mv 2 2m = p2 2m Vyjádření kinetické energie pomocí hybnosti se nám bude hodit dále

Odvození vlnové funkce pro volnou částici Vyjdeme ze staré kvantové mechaniky: energii odpovídá frekvence a hybnosti vlnová délka Začneme energií, tj. Planckovým vztahem Oscilaci s úhlovou frekvencí ω popíšeme komplexním číslem Aexp iωt E = ħω A je amplituda Jako v RLC obvodech, na které se budu často odvolávat Imaginární jednotku budeme značit i místo j

Nyní budeme chtít, aby se tahle oscilace pohybovala prostorem Nejprve bude pohyb po přímce tj. v jednorozměrném prostoru označovaném 1d, pak rozšíříme na třírozměrný označovaný 3d Často budem zjednodušovat pohyb na jednorozměrný pro názornost Před oscilací se podíváme na jeden puls, jak se pohybuje prostorem

Animace:

Matematické vyjádření Nechť je puls v čase t = 0 popsaný nějakou funkcí f, tj. y = f x a nechť se pohybuje rychlostí v Potom pro puls v čase t musíme k x přičíst vt, tj. udělat záměnu x x vt takže dostaneme y = f x vt

Takhle jsme k prostorové závislosti přidali časovou: k x jsme přičetli vt. My chceme naopak k časové přidat prostorovou, tj. chceme pohyb komplexní oscilace Předně vidíme, že u času je vhodné záporné znaménko, takže budeme mít exp iωt Dále provedeme úpravu: takže naopak k vt přičteme x exp iωt = exp iω v vt exp iω v x vt = exp i ω v Takže k ωt v exponenciále přičteme ω v x x ωt Jelikož platí ω = 2πf a v = λf, dostáváme ω v = 2π λ k tedy opět vlnočet, neboli vlnový vektor Oscilující postupná vlna v 1d je tedy popsána funkcí Aexp i kx ωt To, co násobí i v exp se nazývá fáze. V našem případě tedy fáze = kx ωt Někdy se fáze říká i celé té exponenciále Tvar fáze dává analogii mezi úhlovou frekvencí a vlnočtem: Úhlová frekvence jak rychle se mění fáze v čase; Vlnočet jak rychle se mění v prostoru

Zavedení vlnočtu vede k větší analogii taky mezi kvantově mechanickými vztahy E = ħω p = h λ = 2πħ λ = ħ 2π λ = ħk V obou vztazích nyní vystupuje ħ a obě vlnové veličiny jsou v čitateli Navíc můžeme zobecnit na pohyb v 3d vynásobením jednotkovým vektorem ve směru pohybu pn = ħkn Platí pn = p ħkn = ħk p = ħk Fáze se mění je ve směru pohybu, tj. kx k r Ve složkách k = k x, k y, k z r = x, y, z k r = k x x + k y y + k z z

Takže vlnová funkce volné částice má tvar rovinné vlny ψ r, t = Aexp i k r ωt Tuto vlnovou funkci chceme vyjádřit pomocí částicových vlastností Proto obrátíme kvantově mechanické vztahy z předchozí stránky, tj. napíšeme vlnové vlastnosti pomocí částicových přehledně pohromadě ω = E ħ k = p ħ Odtud: ψ r, t = Aexp i ħ p r Et

Tedy naše první vlnová funkce, tj. vlnová funkce volné částice s hybností p a energií E je ψ r, t = Aexp i ħ p r Et kde vztah mezi hybností a energií je E = p2 2m Tohle je bezva, ale většinou nás zajímá pohyb částice, která není volná, nýbrž na kterou působí nějaká síla

Inspirace v klasické mechanice: 1. Newtonův zákon říká, jak se částice pohybuje, když nepůsobí síla. Pokud síla působí, tak nastupuje 2. Newtonův zákon F = ma, tj. pohybová rovnice, která pro F = 0 přejde na první zákon: 0 = a = dv dt v = const Takže zkusíme postupovat obráceně: nejdřív najít pohybovou rovnici pro vlnovou funkci volné částice a pak ji zobecnit na případ, kdy na částici působí síla

Odvození pohybové rovnice pro vlnovou funkci volné částice Pohybová rovnice by měla obsahovat časovou derivaci. Ovšem vlnová funkce závisí taky na prostoru, takže časová derivace bude parciální Pro pohybové rovnice, kde máme kromě času taky prostorové souřadnice, nám jako inspirace můžou sloužit Maxwellovy rovnice. V nejjednodušším případě ve vakuu bez nábojů a proudů mají tvar pohybových rovnic pro elektrické a magnetické pole ε 0 E t = 1 μ 0 B B t = E s doplňující podmínkou E = B = 0 Řešením je taky rovinná vlna; kvůli doplňující podmínce nulových divergencí je vlna příčná. (Naopak zvuk ve vzduchu je vlna podélná; zvuk v pevné látce nebo vlny na vodě jsou příčné i podélné)

Časová derivace naší vlnové funkce pro volnou částici t ψ r, t = A t exp i ħ p r Et = = Aexp i ħ p r Et t i ħ p r Et = = Aexp i ħ p r Et i ħ E = i Eψ r, t ħ Derivace složené funkce Parciální derivace lineární funkce takže iħ ψ r, t t = Eψ r, t Takovéhle derivování exponenciály nějaké další funkce, např. lineární jako tady, budeme potkávat znovu a znovu Je to stejné jako výpočet napětí na cívce v RLC obvodu L di dt iωli nebo jako Fourierova a Laplaceova transformace, v nichž derivování přejde v násobení frekvencí

Inspirace Maxwellovými rovnicemi časová derivace je vyjádřená pomocí prostorových, takže spočteme prostorovou parciální derivaci naší vlnové funkce. Výpočet je velmi podobný výpočtu časové parciální derivace: x ψ r, t = A x exp i ħ = Aexp i ħ p r Et x = Aexp i ħ p r Et i ħ p x p r Et = i ħ p xx + p y y + p z z Et = = i ħ p xψ r, t takže iħ ψ r, t x = p xψ r, t A stejně pro další složky y, z. Tuhle operaci iħ / x uděláme ještě jednou: Součet přes všechny tři složky iħ x iħ x 2 ψ r, t = ħ2 x2 ψ r, t = ħ 2 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 ψ r, t = p x 2 + p y 2 + p z 2 ψ r, t Laplacián jako v rovnici difuze, značí se 2 p x 2 ψ r, t Kvadrát vektoru hybnosti; vydělením 2m dostaneme kinetickou energii:

ħ2 2m 2 ψ r, t = p2 ψ r, t 2m Ale pro volnou částici je energie částice rovna její kinetické energii E = p2 2m takže srovnání s iħ ψ r, t t = Eψ r, t dá iħ t ψ r, t = ħ2 2m 2 ψ r, t Tohle je rovnice, kterou splňuje vlnová funkce volné částice ψ r, t = Aexp i ħ p r Et Tím máme první krok, pohybovou rovnici pro volnou částici. Teď ji budeme chtít zobecnit na částici, na kterou působí síla

Zobecnění na vlnovou rovnici částice v silovém poli Pracujeme s energií, takže i sílu budeme chtít popsat energií Síla je daná potenciální energií V: dv x F = dx Znaménko mínus: síla směřuje z kopce V x Pro jednoduchost pohyb v 1d Pro pohyb v 3d je síla daná gradientem potenciální energie F F F x

Působení síly pak vyjádříme tak, že ke kinetické energii přidáme potenciální E = p2 2m E = p2 2m + V r Tak by člověka mohlo napadnou udělat totéž s rovnicí pro vlnovou funkci iħ ψ r, t t = ħ2 2m 2 ψ r, t iħ ħ2 ψ r, t = t 2m 2 + V r ψ r, t A to funguje! Dostali jsme Schrodingerovu rovnici (tzv. časovou pro odlišení od bezčasové dále) iħ t ψ r, t = ħ2 2m 2 + V r ψ r, t Schrodinger, 1925

Našli jsme rovnici, jejíž řešení nám dá vlnovou funkci Jestliže tu vlnovou funkci jednou máme, tak co s ní? Tomu se říká kinematika jak popsat systém, co všechno nám ten popis říká V mechanice kinematika poloha a rychlost; v el-mag je to el-mag pole; Pak dynamika: pohybové rovnice, tj. 2. Newtonův zákon v mechanice a Maxwellovy rovnice v el-mag. Obvykle v pořadí napřed kinematika a pak dynamika Ale kvantová mechanika je právě trochu nezvyklá, tak i tohle uděláme naopak Po dynamice děláme kinematiku, tak jako jsme k řešení rovnice hledali samotnou rovnici

Základní postulát kinematiky kvantové mechaniky: vlnová funkce obsahuje všechnu informaci o částici tj. úplně definuje stav částice Předně nám dává pravděpodobnost, že částici najdeme v daném místě, když tam dáme stínítko nebo jiný detektor Přesněji hustotu pravděpodobnosti, protože poloha je spojitá proměnná Je to zase jako u Maxwellova rozdělení, kde byla hustota pravděpodobnosti v rychlostním rozdělení, protože rychlost je taky spojitá veličina Takže tady ψ r, t 2 dv je pravděpodobnost, že v čase t bude částice v malém objemu dv kolem bodu r Bornova interpretace vlnové funkce (Born, 1926) Jistota, že částice někde je, dá normováni, jako v Maxwellově rozdělení + ψ r, t Vývoj podle Schrodingerovy rovnice zachovává tento integrál, takže stačí tuto podmínku požadovat v jednom časovém okamžiku 2 dv = 1

Schrodingerova rovnice je lineární, tj. řešení vynásobené konstantou a součet dvou řešení jsou zase řešení tj. pro jakákoliv dvě řešení ψ 1 r, t a ψ 2 r, t a jakákoliv dvě komplexní čísla c 1 a c 2 je lineární kombinace ψ r, t = c 1 ψ 1 r, t + c 2 ψ 2 r, t dalším řešením + Výsledek je zase potřeba normovat pro splnění podmínky ψ r, t 2 dv = 1 Takže všechna řešení Schrodingerovy rovnice a tím všechny stavy tvoří lineární neboli vektorový prostor; dále uvidíme, že měřitelným veličinám odpovídají lineární operátory na tomto prostoru Možnost sčítání už naznačoval dvouštěrbinový experiment interferenčním obrazcem vzniklým součtem dvou vln Sčítání řešení a tím pádem interference jsou typické pro vlny např. elektromagnetické, mechanické obojí popisované lineární rovnicí Naopak sčítání řešení pohybových rovnic částice obecně nedá řešení, např. dvou planet obíhajících kolem Slunce

Pro bližší pohled na kinematiku zase zjednodušíme pohyb na 1d, takže vlnová funkce bude ψ x, t Vezmeme v jednom časovém okamžiku, takže vynecháme závislost na čase ψ x Jako příklad si můžeme zase představovat Gaussovu zvonovou křivku Navíc ta se časem objeví v harmonickém oscilátoru A teď to přijde: ta částice v tomhle stavu v žádném místě není!!! Jak to? Protože kdyby tam byla před měřením a my ji v tom místě při měření jenom našli, tak by to byla další informace, kterou jsme neměli, když jsme znali jenom pravděpodobnosti Ale podle kvantové mechaniky obsahuje ψ veškerou informaci

Jak by teda vypadala vlnová funkce částice, která v nějakém místě je, třeba v místě x 0? Musela by být nenulová jenom v jednom bodě, ale přitom její kvadrát ψ x 2 by musel mít nenulový integrál Jelikož je to hustota, tak kvadrát ψ x 2 v tom bodě musí být nekonečný Odtud kvadrát vlnové funkce je Diracovo delta: ψ x 2 = δ x x 0 Abychom se vyhnuli komplikacím s nekonečny a spojitostí, představíme si, že v prostoru máme jenom 3 body Tohle navíc může být i dobré přiblížení, kdybychom např. měli molekulu se třemi atomy a elektron by měl na každém z nich k dispozici jenom jeden orbital Takže následující analýza se nám časem bude hodit pro konstruování molekulárních orbitálů z atomových Dalším příkladem kvantového systému popsaného konečně rozměrným vektorovým prostorem je spin

Polohy bodů označíme a, b, c Třeba a b c a = 0,2nm, b = 0,5nm, c = 1,3nm Pak vlnová funkce budou tři čísla ψ a, ψ b, ψ c Přehledně je uspořádáme do sloupcového vektoru, který označíme prostě jako ψ bez závorek ψ = ψ a ψ b ψ c Tím navíc zdůrazníme, že vlnové funkce tvoří vektorový prostor Stavů je nekonečně mnoho i pro konečně mnoho bodů Pravděpodobnosti nalezení částice v každém ze tří bodů: ψ n 2, n = a, b, c pokud je splněna normovací podmínka ψ a 2 + ψ b 2 + ψ c 2 = 1 tj. jistota, že částice někde je Pokud normovací podmínka není splněna, musíme vektor normovat Pro elektromagnetickou vlnu dá kvadrát absolutní hodnoty amplitudy intenzitu Proto složkám vlnové funkce říkáme amplitudy pravděpodobnosti

Příklad: ψ = 3 1 1 + i Odtud ψ a 2 + ψ b 2 + ψ c 2 = 3 2 + 1 2 + 1 + i 2 = 3 + 1 + 2 = 6 kde jsme použili 1 + i 2 = 1 + i 1 + i = 1 + i 1 i = 1 2 i 2 = 1 1 = 2 Vidíme, že aby byla splněna normovací podmínka, musíme všechny amplitudy vydělit 6 (případně vynásobit jakoukoliv komplexní jednotkou), takže normovaný vektor je: ψ = 1 6 3 1 1 + i = 1 2 1 6 1 + i 6 Pravděpodobnosti ψ a 2 = 1 2 2 = 1 2 ψ b 2 = 1 6 2 = 1 6 ψ c 2 = 1 + i 6 2 = 2 6 = 1 3 Součet pravděpodobností: 1 2 + 1 6 + 1 3 = 1 jak má být

Ovšem stavy, v nichž částice opravdu je na jednom z míst, jsou jenom ty, kde má pravděpodobnost 1 být na tom místě a pravděpodobnost 0 být na jiném, tj. jsou to tři stavy ψ a = ψ b = Index u ψ označuje právě to místo, kde částice je, tj. např.: 1 0 0 ψ c a = 0 ψ b b = 1 0 1 0 ψ c = 0 0 1 Obecně platí ψ m n = δ m,n m, n = a, b, c Kroneckerovo delta δ m,n = 1 pro m = n, jinak 0 Obdoba Diracova delta bez nekonečna proto stejné písmeno ψ m n = δ m,n jsou složky jednotkové matice, což je vidět, když ty tři vektory dáme dohromady a dostaneme jednotkovou matici: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Když jednotkovou maticí vynásobíme jakýkoliv vektor, tak ten vektor dostaneme zpátky Ale zkonstruujeme trochu jinou diagonální matici

x a 0 0 0 b 0 0 0 c Budeme jí říkat matice polohy nebo operátor polohy V dalším budeme matice a operátory značit stříškou Když touhle maticí vynásobíme obecný vektor ψ, dostaneme xψ = a 0 0 0 b 0 0 0 c ψ a ψ b ψ c = a ψ a b ψ b c ψ c tj. každá složka vektoru ψ je vynásobena hodnotou polohy na tom místě, na kterém udává pravděpodobnost nalezení částice Obecný vektor se změní nějakým obecným způsobem.

Ale když jí vynásobíme jeden z těchhle tří vektorů, dostaneme ten vektor zpátky, navíc vynásobený tou hodnotou polohy, na které částice v příslušném stavu je. Např. xψ a = a 0 0 0 b 0 0 0 c 1 0 0 = a 0 0 = a 1 0 0 = aψ a Tentýž výpočet můžeme udělat pro zbylé dva vektory a výsledek je xψ n = nψ n ; n = a, b, c Říká se, že ψ n jsou vlastní vektory matice x a n jsou příslušné vlastní hodnoty Místo vlastní vektor budu taky říkat vlastní stav nebo vlastní funkce (to až se vrátíme do spojitého prostoru)

Takže naše částice má definovanou polohu, někde vůbec je, jenom ve speciálních stavech, určených vlastními vektory matice x, přičemž vlastní hodnota určuje místo, na kterém částice je V jakémkoliv jiném stavu částice prostě polohu nemá, ne že by ji měla a my bychom ji akorát neznali Ale vlastní vektory matice x tvoří bázi, takže každý vektor můžu přes ně vyjádřit ψ = ψ a ψ b ψ c = ψ a 1 0 0 + ψ b 0 1 0 + ψ c 0 0 1 = = ψ a ψ a + ψ b ψ b + ψ c ψ c = ψ m ψ m m=a,b,c Opět sčítání vlnové vlastnosti Odtud ψ n = ψ m ψ m n m=a,b,c = ψ m δ m,n m=a,b,c což platí, protože Kroneckerovo delta vybere ze součtu jenom člen m = n

Pak druhé mocniny absolutních hodnot koeficientů v součtu dávají pravděpodobnosti, že při měření částici najdeme v příslušném místě. Po měření částice už není v původním stavu ψ, nýbrž ve stavu odpovídajícím místu, kde jsme ji našli Tak např. jestli ji po měření najdeme v místě a, pak po měření je ve stavu 1 0 0 protože pak s jistotou, tj. pravděpodobností 1, víme, že částice je v místě a Pokud tedy částice před měřením nebyla v jednom z těch tří stavů, kde je poloha daná, pak to měření nutně změní stav částice!!!

Koeficient v součtu ψ n neboli n-tou složku vektoru ψ můžeme vyjádřit jako skalární součin stavového vektoru s příslušným vektorem báze: ψ n = ψ n ψ Např. ψ b ψ = 0 1 0 ψ a ψ b ψ c = 0 ψ a + 1 ψ b + 0 ψ c = ψ b Skalární součin umožňuje zavést bra-ket zápis ψ n ψ = ψ n ψ tím, že rozdělí závorku bra-ket na dvě části, sloupcový vektor ket ψ a řádkový komplexně sdružený bra ψ n V tomto zápisu lze taky zapsat působení operátoru, např. xψ n se zapíše jako x ψ n a je to zase ket, v tomhle případě rovný n ψ n Obdobně ψ m x je zase bra, v tomhle případě rovný ψ m m Operátor se taky dá obložit bra zleva a ket zprava. Pokud to jsou bázové vektory, pak tímto dostaneme příslušný maticový prvek, např. ψ m x ψ n = ψ m n ψ n = n ψ m ψ n = nδ m,n Což je prvek matice x na místě m, n. Využili jsme ortonormalitu bázových vektorů ψ m ψ n = δ m,n

Teď bychom mohli přidávat body, víc a víc, hustěji a hustěji V jednu chvíli už jich může být dost pro požadovanou přesnost Toho se využívá pro numerické výpočty na počítači Ale my půjdeme až do spojitě nekonečně mnoha bodů na přímce, kde jsme začali Ale i tak můžeme chápat funkci ψ x jako vektor nekonečně mnoha čísel, jednoho pro každý bod Potom spojité zobecnění rovnice xψ = a 0 0 0 b 0 0 0 c ψ a ψ b ψ c = a ψ a b ψ b c ψ c je xψ x Tím dostanu z jedné funkce jinou, takže když ψ je nekonečně rozměrný vektor, pak násobení x je násobení nekonečně rozměrnou diagonální maticí

Takže zase tuhle operaci budeme označovat x a zase jí budeme říkat operátor polohy Operátor: z jedné funkce udělá jinou a to lineárním způsobem Konkrétně tady: vynásob v každém bodě x hodnotu funkce hodnotou x tj. xψ x xψ x Když jako funkci vezmeme Diracovo delta, pak ψ x0 x = δ x x 0 x, x 0 R v analogii s ψ m n = δ m,n m, n = a, b, c xψ x0 x xψ x0 x = xδ x x 0 Pro x = x 0 xδ x x 0 = x 0 δ x x 0 Pro x x 0 δ x x 0 = 0 0 = xδ x x 0 = x 0 δ x x 0 Celkově xδ x x 0 = x 0 δ x x 0 pro všechna x xψ x0 = x 0 ψ x0 x 0 R v analogii s xψ n = nψ n ; n = a, b, c Takže Diracovo delta je vlastním vektorem spojitého operátoru polohy tak jako Kroneckerovo delta bylo vlastním vektorem diskrétního operátoru polohy

Tak jako v diskrétním případě, jakoukoliv funkci můžeme zapsat jako součet vlastních funkcí s vhodnými koeficienty Kvůli spojitosti místo součtu bude integrál tj. místo ψ n = ψ m ψ m n m=a,b,c = ψ m δ m,n m=a,b,c dostaneme obráceným postupem + ψ x = dx 0 ψ x 0 δ x x 0 + = dx 0 ψ x 0 ψ x0 x Druhé mocniny absolutních hodnot koeficientů, tj ψ x 0, jsou pravděpodobnosti, že po měření polohy najdeme částici v bodě x 0. Opět kvůli spojitosti to jsou hustoty pravděpodobnosti Takže jsme dostali Bornovu interpretaci vlnové funkce z toho, že vlnovou funkci chápeme jako vektor ve spojitě nekonečně rozměrném prostoru

Interpretace funkce jako vektoru jako analogie s případem konečně mnoha bodů (koukali jsme na konkrétní případ tří bodů) je jasnější v bra-ket notaci: ψ n x ψ m n = ψ n ψ m = δ m,n ψ x0 x = x x 0 = δ x x 0 potom ψ n = ψ n ψ ψ x = x ψ a ψ n = ψ m ψ m n m=a,b,c přepíšeme jako + ψ n ψ = ψ m ψ ψ n ψ m x ψ = dx 0 x 0 ψ x x 0 Působení operátoru m=a,b,c + což přepíšeme ψ x = dx 0 ψ x 0 ψ x0 x ψ n x ψ = ψ n n ψ = n ψ n ψ = nψ n x x ψ = x x ψ = x x ψ = xψ x

Poloha částice není jediné, co nás může zajímat. Další na ráně je hybnost Tady už víme, jak vypadá vlnová funkce částice, která má dobře definovanou hybnost: je to rovinná vlna Pro jednoduchost v 1d ψ p0 x = exp i ħ p 0x Při odvozování Schrodingerovy rovnice jsme viděli, že iħ d dx exp i ħ p 0x = p 0 exp i ħ p 0x takže se nám přímo vnucuje nadefinovat operátor hybnosti p iħ d dx p ψ p 0 = p 0 ψ p0 v analogii s xψ x0 = x 0 ψ x0 protože vlastní stav tohoto operátoru je rovinná vlna, tj. stav, v němž je hybnost vůbec definovaná, a odpovídající vlastní hodnotou je právě hodnota hybnosti

Opět jako pro polohu: jestliže vlnová funkce není rovinná vlna, pak prostě nemá žádnou hybnost. Ale zase každou funkci můžeme napsat jako součet, resp. integrál přes rovinné vlny, tj. udělat Fourierovu transformaci ψ x = + dp 2πħ c ψ p exp i ħ px Pak c ψ p 2 je hustota pravděpodobnosti, že při měření hybnosti ve stavu ψ naměříme p Tohle už je úplně analogické Maxwellovu rozdělení rychlostí v plynu Konkrétně pro rovinnou vlnu ψ p0 x = exp i ħ p 0x = + dp 2πħ 2πħδ p p 0 exp i ħ px + dp 2πħ c p 0 p exp i ħ px takže c p0 p = 2πħδ p p 0 v analogii s ψ x0 x = δ x x 0

Teď máme dvě sady vlastních funkcí, tj. dvě báze nekonečně rozměrného prostoru: vlastní funkce operátoru polohy a vlastní funkce operátoru hybnosti Jak se vůči sobě mají? Jedním směrem už vztah máme ψ p0 x = exp i ħ p 0x Pro obrácený vztah napíšeme ψ x0 x = δ x x 0 = + dp 2πħ exp i ħ p x x 0 = + dp 2πħ exp i ħ px 0 exp i ħ px Kvůli tomuto vyjádření delta funkce dáváme do jmenovatele dp konstantu 2πħ = h stejně jako při počítání počtu módů na struně pro černé těleso. A má to důsledky pro statistickou mechaniku (když se z Maxwellova nebo obecněji Gibbsova rozdělení počítá termodynamika, konkrétně entropie nebo chemický potenciál) Zároveň ale musí platit což dává ψ x0 x = + dp 2πħ c x 0 p exp i ħ px c x0 p = exp i ħ px 0

Vztah mezi bázemi je lépe vidět zase v bra-ket zápisu, když vedle báze vektorů x ještě zavedeme bázi vektorů p Pak můžeme psát ψ x0 x = x x 0 = ale zároveň ψ x0 x = + + dp 2πħ p x 0 x p dp 2πħ exp i ħ px 0 exp i ħ px (doporučuju pohrát si s těmahle formulkama) Odkud vidíme ψ p x = x p = exp i ħ px a c x0 p = p x 0 =exp i ħ px 0 + A tudíž cp0 p = p p 0 = dx p x x p 0 Pro obecný stav ψ x = x ψ = + + dp 2πħ + = dxexp i ħ p 0 p x p ψ x p c ψ p = p ψ = dx x ψ p x = + + dp 2πħ c ψ p exp = 2πħδ p 0 p i ħ px = dxψ x exp i ħ px Tudíž exponenciály ve Fourierově a zpětné Fourierově transformaci jsou prvky transformační matice mezi bázemi x a p.

Podívejme se ještě jednou na bázové vektory x a p vyjádřené vždy v opačné bázi: x p = ψ p x = exp i ħ px p x =c x p =exp i ħ px Odtud hustota pravděpodobnosti, že ve stavu p nalezneme částici v místě x, je daná x p 2 = ψ p x 2 = exp i ħ px 2 = 1 protože absolutní hodnota komplexní exponenciály je 1 jako v RLC obvodech Částice s danou hybností má stejnou pravděpodobnost, že naměříme jakoukoliv polohu o poloze nevíme vůbec nic Podobně p x 2 = c x p 2 = exp i ħ px 2 = 1 Částice s danou polohou má zase stejnou pravděpodobnost, že naměříme jakoukoliv hybnost o hybnosti nevíme vůbec nic Tohle jsou dva extrémní případy: úplná znalost hybnosti znamená žádná znalost polohy a naopak To odpovídá extrémům v komunikační technice: rovinná vlna jedné vlnové délky je všude v prostoru Diracův delta puls má naopak stejně zastoupené všechny frekvence Ale mezi nima je spojitý přechod: čím kratší puls, tím větší frekvenční pásmo Tento spojitý přechod má obdobu v kvantové mechanice

Délku pulsu označíme L. Ta tím pádem udává neurčitost polohy Δx~L Na této délce ale ztratíme fázovou informaci k~ 1 L Takže x k~1 a tím x p~ħ jelikož hybnost dostaneme z vlnočtu vynásobením ħ p = ħk

Když se to udělá přesně, tak vyjde, že pro neurčitost polohy Δx a hybnosti Δp platí Δx Δp ħ 2 Tzv. relace neurčitosti Heisenberg, 1927 Speciálně vidíme dva extrémní případy: jestli neurčitost jednoho je nula, tak druhého musí být nekonečno Proč?

Numerické odhady Elektron v atomu vodíku: z Bohrova modelu víme, že Odtud p~ ħ 2 x ~ α 2 m ec x~a B = 1 α ħ m e c Takže pro neurčitost rychlosti dostáváme v~ α 2 c což je stejného řádu jako samotná rychlost αc Další potvrzení, že pro elektron v atomu je kvantová mechanika nezbytná Na cvičení dokonce vypočítáme energii základního stavu atomu vodíku (a harmonického oscilátoru, který potkáme dále) přímo z relací neurčitosti Naopak když budeme měřit polohu našeho člověka o hmotnosti 80kg šuplerou, tj. x~1μm, pak kvantová mechanika dá nepřesnost měření jeho rychlosti v~ 10 34 Js 2 80kg 10 6 m 6 10 31 ms 1 Další potvrzení, že v našem makrosvětě jsou kvantové jevy zanedbatelné

Zdůrazňuju: důvod téhle neurčitosti je kinematický, tj. v samé podstatě věci, ne v měřicích přístrojích Jde o to, že veličina je definovaná jenom pro ty stavy, co jsou popsány vlastními vektory operátoru té veličiny Jestliže dvě veličiny mají ty vlastní vektory různé, pak nemůžou mít obě veličiny hodnotu v žádném stavu Poloha a hybnost jsou trochu extrémní případ, protože ty vlastní vektory jsou od sebe tak rozdílné, jak to jenom jde Úplně rovnoměrné zastoupení jednoho ve vlastních vektorech druhého Operátor polohy jsme zavedli jako diagonální matici, konečně rozměrnou a pak nekonečně Dvě diagonální matice komutují v součinu Když komutují, tak komutují v jakékoliv bázi, i když v ní nejsou diagonální

Takže bychom čekali, že operátor polohy a hybnosti nekomutujou Už víme, že operátor hybnosti není diagonální maticí není to násobení ψ něčím v každém bodě x Spočítáme výsledek působení v jednom pořadí a v druhém xp ψ x = x iħ d dx ψ x = iħx dψ x dx ale p xψ x = iħ d dx xψ x = iħx dψ x dx dx iħψ x dx Proč tenhle člen navíc? Platí odtud vidíme, že dx dx = 1 člen navíc je iħψ x xp ψ x p xψ x = iħψ x Toto platí pro každou vlnovou funkci ψ r, t, takže dostáváme operátorový vztah xp p x = iħ tyto operátory nekomutují, tj. záleží na tom, v jakém pořadí působí

Zobecnění na 3d: 3 operátory složek polohy x, y, z splňující xψ r = xψ r a podobně pro y, z a 3 operátory složek hybnosti p x = iħ x a podobně pro y, z Protože máme více než jeden směr, z obyčejné derivace se staly parciální Vlastní stavy: popsané 3d delta funkcemi a 3d rovinnými vlnami Komutace ve stejném směru stejná, komutace v různých směrech dá nulu úplně stejným výpočtem jako v 1d protože parciální derivace se chová k ostatním proměnným jako konstantám

Pro polohu a hybnost v různých směrech např. x, p y xp yψ r = x iħ y p yxψ r = iħ y ψ r = iħx ψ r y xψ r = iħx ψ r y x iħψ r y Podobně jako prve, ale tentokrát x y = 0 Pro parciální derivaci podle jedné proměnné jsou ostatní proměnné konstanty Takže člen navíc vypadne a máme xp yψ r p yxψ r = 0 Toto platí pro každou vlnovou funkci ψ r, t, takže dostáváme operátorový vztah xp y p yx = 0 tj. poloha a hybnost v různých směrech komutují Odtud plyne, že existuje stav, který je současně vlastním stavem x a p y Taky že jo, je to ψ x0 x ψ p0 y = δ x x 0 exp i ħ p 0y krát libovolná funkce z

Souhrnně platí x j p k p kx j = iħδ jk kde δ jk je opět Kroneckerovo delta, rovno jedné, pokud jsou indexy stejné a rovno nule, pokud jsou indexy různé Born, Heisenberg, Jordan, 1925

Operátor libovolné veličiny v kvantové mechanice Obecně v kvantové mechanice: každé veličině A je přiřazen operátor A, tj. předpis, jak z jedné vlnové funkce udělat jinou ψ φ = Aψ Pokud φ je úměrné ψ, tj. pro nějaké číslo a platí φ = aψ pak ψ je vlastní funkce operátoru A příslušné k vlastní hodnotě a. Je-li systém ve stavu popsaném vlnovou funkcí ψ, pak při měření veličiny A s jistotou naměříme hodnotu a. Jakýkoliv stav se dá napsat jako součet (případně integrál) vlastních stavů veličiny Pak pravděpodobnost, že při měření veličiny A naměříme hodnotu a je daná zastoupením příslušné vlastní funkce v součtu nebo v integrálu Nekomutující operátory nemohou sdílet vlastní funkce, komutující vždy mohou

Vidíme dva přístupy ke kvantové mechanice Schrodinger (1925): analýza: diferenciální rovnice, vlnová funkce Heisenberg (1926): algebra: matice, operátory, komutační relace (shodou okolností matice z matematiky neznal a znovu je vynalezl) Dirac (1927) ukázal, že obě formulace jsou ekvivalentní protože diferenciální operátor je nekonečně rozměrná matice a vlnová funkce je nekonečně rozměrný vektor Tomuhle spojení analýzy a algebry se v matematice říká funkcionální analýza Do značné míry byla motivována fyzikou jako mnohé oblasti matematiky

Praktická otázka: jak dostaneme operátor dané veličiny? Už máme operátory polohy a hybnosti Navíc v klasické mechanice všechny další veličiny vyjádřené pomocí polohy a hybnosti Kvantově operátor veličiny dostanem z operátorů polohy a hybnosti stejným vztahem, tj. v klasickém vztahu prostě dáme nad všechny veličiny stříšky Tak např. pro důležitou veličinu energie, se kterou už jsme pracovali při hledání Schrodingerovy rovnice:

Klasicky, jak už jsme viděli: E = p2 2m + V r Kvantově mechanicky H = p 2 + V r 2m Operátoru energie se říká Hamiltonián, a proto se značí H místo E Operátor kvadrátu hybnosti dostaneme ze složek hybnosti z Pythagorovy věty jako v klasické mechanice p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 Jelikož p x = iħ x tj. derivování a vynásobení konstantou iħ takže p x 2 je druhá derivace vynásobená druhou mocninou konstanty p x 2 = iħ 2 2 x 2 = ħ2 2 x 2 a totéž pro ostatní dvě složky, takže p 2 = p x 2 + p y 2 + p z 2 = ħ 2 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2

Operátor V r dostaneme ze tří operátorů polohy x, y, z stejným předpisem jakým dostaneme V r ze tří složek vektoru polohy x, y, z Tak jako působení operátorů polohy na danou vlnovou funkci bylo prostě vynásobení xψ r = xψ r tak i obecně V r ψ r = V r ψ r Teď už víme, jak každý ze dvou členů Hamiltoniánu působí na vlnovou funkci, takže je můžeme sečíst a dostaneme Hψ r = ħ2 2m 2 + V r ψ r Poznáváme pravou stranu Schrodingerovy rovnice, takže Schrodingerovu rovnici můžeme přepsat do tvaru iħ t ψ r, t = Hψ r, t

Opět jako pro jakoukoliv veličinu: v obecném stavu částice nemá žádnou hodnotu energie Proto nás bude zajímat, v jakých stavech částice energii má a jakou hodnotu energie v daném takovém stavu má To jsou vlastní stavy a vlastní hodnoty Hamiltoniánu tj. každá taková vlastní funkce ψ E a vlastní hodnota E splňujou Hψ E r = Eψ E r Této rovnici se říká bezčasová Schrodingerova rovnice, protože její řešení jednoduše dává jedno konkrétní řešení časové Schrodingerovy rovnice ψ E r exp i ħ Et Toto snadno ověříme dosazením do časové Schrodingerovy rovnice iħ ψ r, t t = Hψ r, t Pravá strana dá vynásobení energií E díky bezčasové Schrodingerově rovnici, protože v ní druhý faktor (komplexní exponenciála) nehraje roli A levá strana dá totéž vynásobení z derivace lineární funkce, jako už několikrát, protože v ní naopak nehraje roli zase první faktor, tj. vlastní funkce Hamiltoniánu. Prostorová a časová závislost jsou v tomto řešení časové Schrodingerovy rovnice oddělené matematici tomu říkají separace proměnných

Vidíme, že toto řešení časové Schrodingerovy rovnice má stejnou časovou závislost jako rovinná vlna pro volnou částici Takže tímto se nám zpětně potvrzuje, že pro volnou částici je rovinná vlna stav s danou hodnotou energie Navíc jak jsme viděli při zavedení operátoru hybnosti, rovinná vlna je vlastní hodnotou všech tří operátorů složek hybnosti (viděli jsme v 1d ale ostatní složky fungujou stejně) Přesněji řečeno, takhle jsme operátory hybnosti zavedli, aby to platilo Rovinné vlny jsou pro volnou částici zároveň vlastní stavy energie a hybnosti A to zase souvisí s tím, že pro volnou částici operátor energie je tvořen jenom operátory hybnosti H = p 2 2m a operátory všech tří složek hybnosti spolu komutujou takže mají společné vlastní funkce To odpovídá klasické fyzice pro volnou částici zadaná energie odpovídá zadané hybnosti kvůli 1.Newtonovu zákonu V potenciální energii V už ψ E r není vlastní funkce hybnosti, protože i klasicky se hybnost mění během pohybu

Vlastní stav energie je stacionární (ať je částice volná nebo ne): Měřitelné veličiny se nemění s časem Např. hustota pravděpodobnosti ψ E r exp i ħ Et 2 = ψ E r 2 V čase se mění jenom fáze vlnové funkce exp i ħ Et a ta má absolutní hodnotu rovnou jedné, jako v RLC obvodech Tato fáze nezmění ani další měřitelné veličiny Hustota pravděpodobnosti zůstává stejná

S energií přijde další zvláštnost kvantové mechaniky, vlastně ta, která jí dala jméno: Poloha byla divná tím, že v obecném stavu částice nemá její hodnotu ani definovanou pouze ve vlastním stavu Ovšem pro jakoukoliv hodnotu polohy existuje vlastní funkce, která má tuto hodnotu polohy jako svou vlastní hodnotu, konkrétně Diracova delta funkce na tom místě. Totéž platí pro hybnost a tím pádem pro energii volné částice V tom případě je to jakákoliv ale kladná hodnota, přesněji nezáporná, nula může být taky, protože energie je pouze kinetická, daná kvadrátem hybnosti a ten musí být kladný nebo nula Ovšem pro energii částice pod vlivem síly, tj. která má i potenciální energii, tohle už nemusí být pravda:

Klasicky částice s potenciální energií může mít jakoukoliv hodnotu celkové energie větší nebo rovnou minimu potenciální energie Uvidíme, že kvantová částice nemůže mít jakoukoliv energii Konkrétně jestliže je uvězněná v prostoru, tak může mít jen diskrétní hodnoty energie Tj. energie je kvantovaná, jak jsme prvně potkali v černém tělese To není náhoda, protože elektromagnetické pole odpovídá oscilátorům uvězněným v potenciálové jámě, jak brzy uvidíme Taktéž další veličiny, např. moment hybnosti dále Na druhé straně kvůli svým vlnovým vlastnostem může částice aspoň v nějaké oblasti mít zápornou kinetickou energii a tím pádem se dostat tam, kam se klasická částice nedostane --Tunelování skrz potenciálovou barieru Na kvantování a tunelování se podíváme v detailu obojí má aplikace