PMD - POLARIZAČNÍ VLIVY OPTICKÝCH VLÁKEN

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS PMD - POLARIZAČNÍ VLIVY OPTICKÝCH VLÁKEN OPTICAL FIBRES AND THEIR POLARIZATION EFFECT DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. ONDŘEJ KLESNIL doc. Ing. MILOSLAV FILKA, CSc. BRNO 010

Abtakt Tento pojekt popiuje základní pojmy a základní teoie polaizační vidové dipeze (PMD) v optických vláknech. Jou popány základní vztahy mezi Jonee a Stokee vektoy, otáčení matic, definice a epezentace vektoů polaizační vidové dipeze (PMD) a zákony nekonečně malé otace. Od zavedení pvních konceptů e základy polaizační vidové dipeze (PMD) v optických vláknech taly důležitou oučátí znalotí základů kontukce vyokokapacitních optických komunikačních ytémů. Efekty PMD jou jevy lineáního elektomagnetického šíření vznikající v tzv. jednoežimových vláknech. Navzdoy vému jménu tyto vlákna podpoují dva ežimy šíření chaakteitickou polaizací. Kvůli dvojitému optickému lomu e ve vlákně tyto dva ežimy pohybují dvěma ůznými ychlotmi a nahodilá změna tohoto dvojitého lomu po celé délce vlákna má za náledek nahodilé páování mezi těmito dvěma ežimy. V oučaných technologiích paktického přenou vede výledný jev PMD k defomaci pulu a zhošení ytému, kteý omezuje kapacitu přenou vlákna. Dále zde popiuji známé metody měření optických vláken, způoby kompenzace PMD a vyhodnocuji naměřené hodnoty PMD na páteřní íti. Klíčová lova PMD, matice, Joneův vekto, Stokeův vekto, optické vlákno Abtact Thi poject decibe the fundamental concept and baic theoy of polaization mode dipeion (PMD) in optical fibe. Thee ae decibed baic the elation between Jone vecto and Stoke vecto, otation matice, the definition and epeentation of PMD vecto, the law of infiniteimal otation. Afte the intoduction the fit conception with bae of polaization mode dipeion (PMD) in optical fibe, they have become an impotant body of knowledge baic fo the deign of high-capacity optical communication ytem. PMD effect ae linea electomagnetic popagation phenomena occuing in o-called ingle-mode fibe. Depite thei name, thee fibe uppot two mode of popagation ditinguihed by thei polaization. Becaue of

optical biefingence in the fibe, the two mode tavel with diffeent goup velocitie, and the andom change of thi biefingence along the fibe length eult in andom coupling between the mode. With cuent pactical tanmiion technology the eulting PMD phenomena lead to pule ditotion and ytem impaiment that limit the tanmiion capacity of the fibe. I decibe diffeent way of meauing PMD in optical fibe, PMD compenation technique and analye PMD eult in optical fibe. Keywod PMD, matix, Jone vecto, Stoke vecto, optical fibe KLESNIL, O. PMD - polaizační vlivy optických vláken. Bno: Vyoké učení technické v Bně, Fakulta elektotechniky a komunikačních technologií, 010. 61. Vedoucí diplomové páce doc. Ing. Milolav Filka, CSc.

PROHLÁŠENÍ Pohlašuji, že vou diplomovou páci na téma PMD polaizační vlivy optických vláken. jem vypacoval amotatně pod vedením vedoucího diplomové páce a použitím odboné liteatuy a dalších infomačních zdojů, kteé jou všechny citovány v páci a uvedeny v eznamu liteatuy na konci páce. Jako auto uvedené diplomové páce dále pohlašuji, že v ouviloti vytvořením této diplomové páce jem nepoušil autoká páva třetích oob, zejména jem nezaáhl nedovoleným způobem do cizích autokých páv oobnotních a jem i plně vědom náledků poušení utanovení 11 a náledujících autokého zákona č. 11/000 Sb., včetně možných tetněpávních důledků vyplývajících z utanovení 15 tetního zákona č. 140/1961 Sb. V Bně dne.. (podpi autoa)

PODĚKOVÁNÍ Děkuji vedoucímu diplomové páce doc. Ing. Milolav Filka, CSc. za velmi užitečnou metodickou pomoc a cenné ady při zpacování diplomové páce. V Bně dne.. (podpi autoa)

Obah ÚVOD:... 13 1. PMD POLARIZAČNÍ VIDOVÁ DISPERZE... 15 IDEÁLNÍ VLÁKNO:... 15 REÁLNÉ VLÁKNO:... 16.JONESOVY A STOKESOVY VEKTORY... 18.1. ZOBRAZENÍ OPERÁTORA... 19.. SKALÁRNÍ SOUČINY... 0.3. SKLÁDÁNÍ VEKTORŮ... 1 3.VÝRAZY MATICE OTÁČENÍ... 3.1.VAZBA MEZI U A R.... 3.. OTÁČIVÉ TVARY JONESOVY MATICE... 3.3. OTÁČIVÉ TVARY VE STOKESOVĚ PROSTORU... 3 3.4. ZÁKLADNÍ ROTACE... 4 4.VEKTORY PMD... 5 4.1. ROZBOR VLASTNÍHO VEKTORU JONESOVY MATICE... 6 4. VSTUP A VÝSTUP PMD VEKTORŮ... 8 4.3. MOMENTY A STŘEDNÍ HODNOTY SIGNÁLU ZPOŽDĚNÍ... 8 5.ZÁKONY NEKONEČNĚ MALÉ ROTACE... 3 5.1. VEKTOR S DVOJITÝM ODRAZEM... 3 5.. PMD VEKTOR τ... 34 5.3. DYNAMICKÁ ROVNICE PMD... 35 6. PAULIHO MATICE OTÁČENÍ A VEKTORY OTÁČENÍ... 36 7. MĚŘENÍ PMD... 39 7.1 METODA SKENOVÁNÍ VLNOVÉ DÉLKY (METODA S FIXNÍM ANALYZÁTOREM)... 39 7. TRADIČNÍ INTERFEROMETRICKÁ METODA (TINTY)... 40 7.3 OPTICKÝ REFLEKTOMETR OTDR... 41 8. KOMPENZAČNÍ TECHNIKY PMD... 4 8.1 OPTICKÝ KOMPENZÁTOR PMD... 4 8. OPTOELEKTRONICKÝ KOMPENZÁTOR PMD... 43 8.3 ELEKTRONICKÁ KOMPENZACE PMD... 44 9. PMD MEZINÁRODNÍ STANDARDY A DOPORUČENÍ... 46 9.1 LIMITY PMD... 47 10. MĚŘENÍ OPTICKÉ TRASY... 48 11. ZÁVĚR... 49 LITERATURA... 50 SEZNAM PŘÍLOH... 51 7

Seznam použitých zkatek E,Ẽ : vektoy elektického pole, Ẽ(ω) je Fouieova tanfomace komplexního tanveálního (x, y) a E(t) má komplexní amplitudu e vektou elektického pole, jako např. ~ E = e. [0.1] Vekto kutečného elektického pole je RE (Ee jωot ). e j(ωot-βz) : nekonečná vlna jdoucí ve měu z, j je imaginání jednotka, ω 0 je úhlový noič fekvence, t je ča a β je kontanta šíření I: x nebo 3x3 označuje matici. Rozdíl by měl vyplynout čitě z kontextu. p, q, : jednotka Stokeova vektou, p a q e někdy používají k popiu polaizace pomalých a ychlých pohybů, zatímco e používá po popi oy otáčení. R: 3x3 otační matice ve Stokeově potou iomofním k U. Uvádí do vztahu výtup a vtup pře vzoec ) ) t = R [0.] Ŝ: 3-D Stokeovy vektoy jednotkové délky označující polaizaci pole a odpovídající. Složka jou Stokeovy paamety. = 1 x = x * x * y = j( x * y y + x * y + * y x * y ) [0.3] Touto definicí 3 = 1 po pavotočivé polaizované větlo ( y = j x ) vyhovuje tadiční optické definici. Avšak v liteatuře e používají také levotočivé definice.vždy e používají tejná pímena po Joneovy a Stokeovy vektoy. Důležité je, že polečná fáze pounu obou komponentů nemění. 8

: x -D komplexní Joneův (loupcový) ket vekto, =.Závoka y * označuje odpovídající komplexní dužený řadový vekto tj., = ( x ) *, y. Citace závoka ket e používá k odlišení Joneových vektoů od vektoů Stokeových. Naše Joneovi vektoy jou všechny jednotkovou veličinou tj. * * = xx + yy = 1 [0.4] T: x jednotkový přeno matice v Joneově potou. Uvádí do vztahu výtup a vtup pře t T [0.5] Používám ymboly a t, pokud je to nutné po objanění, jak učit množtví jednotlivých vtupů a výtupů. Dle chématu 1. IN ˆ, ˆ, ˆ,ˆ, t t t T, U, R OUT Ob. 0.1. U: x Joneova matice, det(u) = 1. Vztahuje e k T vzocem T = e jφ 0 [0.6] Kde ϕ 0 je polečná fáze. x, y, z : ouřadnice vlákna, z je mě šíření, x a y jou příčné ouřadnice tj. ty z Joneova potou. β : 3-D dvoj-zlomový vekto popiující mítní vlatnoti vlákna. β σ : x matice v Joneově potou, β σ = β1σ 1 + βσ + β3σ 3. U σ 1, σ, σ 3 : x Pauliho matice otáčení, po tento účel e definuje jako: 1 0 0 1 0 j σ 1 =, σ =, σ 3 =, 0 1 1 0 j 0 [0.7] 9

σ : Pauliho vekto otáčení ve Stokeově potou, σ = σ, σ, ) ( 1 σ 3 τ : výtup PMD vektou ve Stokeově potou. Jeho délka τ je v jednotkách DGD a jeho mě je tejný e Stokeovým vektoem v pomalém tavu. V běžně uváděných citacích od Poola je výtup vektou PMD označen Ω, jeho délka je také v DGD, je označena τ. Dva vektoy PMD τ a Ω jou uváděny do vztahu převácením pře ou 3. ω : odchylka od úhlové noné fekvence ω 0 větla. Optická fekvence je (ω 0 + ω). ω jako dolní index: označuje deivování tj. d/dω = ω. 10

Seznam obázků Ob. 0.1.... 10 Ob. 1.1: Ideální vlákno... 16 Ob. 1.: Reálné vlákno... 17 Ob. 7.1: Metoda kenování vlnové délky... 40 Ob. 7.. Tadiční intefeometická metoda... 41 Ob. 7.3: Optický eflektomet OTDR... 4 Ob. 8.1: Optický kompenzáto PMD... 43 Ob. 8.: Optoelektonický kompenzáto PMD... 44 Ob. 8.3. Elektonický kompenzáto PMD... 45 11

Seznam tabulek tab.3.1.... 56 tab.9.1. Mezináodní tandady a dopoučení... 5 tab.9.. Limity PMD... 48 tab.10.1. Naměřené hodnoty PMD... 49 1

Úvod: Základy polaizační vidové dipeze (PMD) v optických vláknech e za více než 0 let taly důležitou znalotí v kontukci vyokokapacitních optických komunikačních ytémů. V polední době tále větší potřeba zvyšování přenoové kapacity optických vláken zapříčinila náůt zájmu o polaizační vidovou dipezi PMD, takže už při přenou 10Gbit/ je nutné e tímto jevem zabývat. Paamet PMD je v zájmu pakticky každého, kdo e v této oblati pohybuje od výobců vláken, intalační fimy, až po povozovatele a výobce měřicí techniky. Všeobecně je již tandadem, že e před naazením ytému 10Gbit/ na optickou tau jednovidovými vlákny měří také PMD. Od zavedení pvních konceptů e základy polaizační vidové dipeze (PMD) v optických vláknech taly důležitou oučátí znalotí základů kontukce vyokokapacitních optických komunikačních ytémů. Efekty PMD jou jevy lineáního elektomagnetického šíření vznikající v tzv. jednoežimových vláknech. Navzdoy vému jménu tato vlákna podpoují dva ežimy šíření vynikající vou polaizací. Kvůli dvojitému optickému lomu e ve vlákně tyto dva ežimy pohybují dvěma ůznými ychlotmi a nahodilá změna tohoto dvojitého lomu po celé délce vlákna má za náledek nahodilé páování mezi těmito dvěma ežimy. V oučaných technologiích paktického přenou vede výledný jev PMD k defomaci pulu a zhošení ytému, kteý omezuje kapacitu přenou vlákna. V této páci e Vám pokuím vyvětlit základní vztahy mezi vektoy Jonee a Stokee, otáčení matic, definice a zátupce vektoů PMD, zákony nekonečně malého otáčení PMD, způoby měření PMD a objanění možnoti potlačení PMD. Objevíme pojitot mezi analýzami v oblati fekvence a čau a iomofní vztah mezi 3- ozměným pohledem (3-D) používajícím Stokeovy vektoy 3-D eálnými číly a dvojozměným pohledem (-D) používající Joneovy vektoy -D komlexními číly. Nejdříve i vyzkoušíme popi polaizace větla v 3-D potou Stokeových vektoů (Stokeův poto) a ve -D potou Joneových vektoů (Joneův poto, definovaný půečíkem o x a y v laboatoních podmínkách). Pauliho otační matice a otace vektoů jou klíčem ke pojení těchto dvou potoů, kteé pak budou dikutovány polečně matematickými vektoy otáčení. Pak e věnuji vektoům PMD a základním tavům polaizace (PSP) používaným k popiu šíření větla ve vláknech nahodilým dvojitým lomem a tím pojené ůzné kupiny 13

zpoždění (DGD). Po vizualizace PMD efektů ve Stokeově potou bylo použito několik pavidel nekonečně malého otáčení. Popíšu možné metody měření optických vláken, způoby kompenzace PMD a nakonec analyzuji naměřené hodnoty PMD na páteřní íti po možnot navýšení její přenoové ychloti. 14

1. PMD Polaizační vidová dipeze Jev PMD v optických vláknech používaných po komunikaci natane z důvodu přítomnoti dvojitého lomu ve vlákně. Toto zdvojené lomení e mění náhodně po celé délce vlákna. Pokud by vlákno bylo po celé vé délce homogenní a dokonale kuhové, podmínky po šíření obou těchto vidů budou tejné, ale to není možné, žádné optické vlákno není homogenní a dokonale kuhové a poto šíření obou těchto vidů bude ůzné a velice nahodilé. Ideální vlákno: Toto vlákno je ideální a nevzniká na něm jev PMD, ale takové vlákno není možné vyobit. Na ob.1.1 je zobazen model půběhu v ideálním optickém vláknu. Z obázku je vidět, že e oba dva vidy šíří napoto tejně. Vyvětlivky: půběh jednoho vidu půběh duhého (zpožděného) vidu vektoový oučet dvou vidů Ob. 1.1: Ideální vlákno 15

Reálné vlákno: Toto vlákno je eálné a vzniká na něm jev PMD, kteý ovlivňuje přenoovou ychlot optickým vláknem. Zde je zobazen model půběhu v eálném optickém vláknu. Velice dobře je vidět, jak e změnil vektoový oučet dvou vidů, kteý vypadá jako piála. Ob. 1.: Reálné vlákno Koeficient polaizační vidové dipeze D PMD udává velikot PMD optického vlákna. Rozlišujeme PMD po kátká vlákna a po dlouhá. a) dlouhá vlákna D PMD t PMD 1 (λ) = [ p km ] [1.1] L PMD u dlouhých vláken e mění nahodile a podmínky po celé tae vlákna jou ůzné. Závilot na délce poto neni lineání a délka tay e muí odmocnit. 16

b) kátká vlákna D PMD t PMD 1 (λ) = [ p km ] [1.] L PMD u kátkých vláken (přibližně do 10 kilometů) má přibližně lineání závilot na vzdálenoti. 17

.Joneovy a Stokeovy vektoy Tato čát e zabývá znázoněním polaizace v Joneově a Stokeově potou a vazbou mezi nimi. Celý tento dokument předpokládá, že neexituje žádná nelineánot vlákna a žádné ztáty polaity a že obvyklá podmínka ztáty vlákna e vytvoří tak, že můžeme počítat jednotkovými maticemi přenou, T a U, a 3-D maticemi otáčení, R, TT = I, UU, RR = I, [.1] kde křížek označuje Hemitianké loučení. R obahuje eálné pvky, zatímco R křížkem je učeno k převádění R. Pvky vtupního a výtupního pole E(ω) a Et(ω) při fekvenci ω jou ve vztahu E ~ T E ~ t = ( ω ) [.] Po pokleu veličin pole a za použití jednotkových Joneových vektoů k popiu, tav polaizace e bude řídit vzocem t = T [.3] Kde a t zahnují infomace o fázi a polaizaci. Pauliho matice otáčení nám dovolí popat jednotky i Stokeova vektou ve hodě kompaktním vzocem. i = σ i [.4] Stokeův vekto je pak jednoduše vektoem σ ˆ = σ [.5] Dále zde bude několik užitečných vazeb mezi Joneovými a Stokeovými vektoy, hlavně zobazení opeátoa, kaláních oučinů a kládání vektoů. Na začátku bych připomněl, že kalání obazec dvou Joneových vektoů p a q je q p = q * x p x + q * y p y [.6] 18

a že jejich dyadický opeáto je p q p p q p q * * x x x y = * * y qx p y q y [.7] Poovnáním.6 a.7 potom vidíte.1. Zobazení opeátoa ( p q ) q p T = [.8] Tak, jak uvádí kapitola 6., jakýkoliv komplex x matice e může ozšířit do podmínek jednotkové matice I a tří matic otáčení. Po Hemitianké matice jou koeficienty eálné. Budeme mít několik příležitotí tyto techniky použít, nad nejpoužívanější je zkouška pojekce Joneova vektou. Výledek takového ozpětí je překvapivě jednoduchý vztah 1 = σ ( I + ˆ ) [.9] Kde je Stokeův vekto odpovídající a kde používám vzoce 6.8, 6.9 a.8 ve T σ = σ =. tvau ( i ) i i Po vynáobení e z.9 tává = ˆ σ. [.10] Vzoec.10 ukazuje jinou důležitou vazbu mezi Joneovými a Stokeovými vektoy. Joneův vekto je vlatní vekto ).σ jednotkovou vlatní hodnotou. 19

.. Skalání oučiny Okamžité použití vzoce pojektou.9. je učení vazby mezi kaláními oučiny dvou Joneových vektoů p a q a jejich přidužených Stokeových vektoů p ) a q ). Používáme vzoec.9. e vztahem = p a náobíme ho q zpava a q zleva, čímž dotaneme q p p q = 1 ( 1+ pˆ q) ˆ [.11] Dobře známý peciální případ této vazby je pá pavoúhlých Joneových vektoů e vztahem q p = 0. Jejich Stokeovy vektoy jou antipaalelní, tj. q ) = - p ). V dalším textu i takové páy pavoúhlých Joneových vektoů antipaalelními Stokeovými vektoy označíme např. p a p _. Jakýkoliv takový pá tvoří kompletní pavoúhlý komplex v Joneově potou, potože máme vzoec p _ p = 0 a p p + p _ p _ = 1 [.1] kde duhý vztah vychází ze vzoce.9. Teď e podívejme na pá vtupních Joneových vektoů p, q a převedené vektoy p t, q t na výtupu vlákna. Tyto jou uvedeny vztahem.3. Použitím vztahu.1 a.3 je velmi jednoduché i ukázat, že kalání oučiny na vtupu a výtupu zůtávají zachované tj. p q = t t p q [.13] Když e.13 vloží do.11 vidíme, že veličina kaláních Stokeových oučinů zůtane při přenou také zachovaná: tj. přeno pře vlákno je předtavován otáčením Stokeových vektoů. Tato vlatnot otáčení je amozřejmě důledkem pavoúhlého měu..1. matice R. 0

.3. Skládání vektoů Zde vezmeme v úvahu Joneův vekto, kteý zde předtavuje kládání (upepozici) = a p + b p _ [.14] jakýchkoliv dvou pavoúhlých vektoů p a p _. Jaký bude zcadlový obaz této kladby ve Stokeově potou? Po komplexní kontanty a a b, použitím vzoce.1 a.14 dotaneme * * a = p, b = p _, = 1 = aa + bb [.15] Stokeovy vektoy, p a p _ jou ), p ) a - p ). Vložením.14 do.5 pak dotaneme ˆ = * ( aa bb ) pˆ + ab p _ σ p + a b pσ p _ [.16] Kombinací vlatního vektoového vztahu.10 a vztahu otáčivého vektou 6.3 zjitíme, že p _ σ p = p _ σ ( p σ ) p = jpˆ p _ σ p může být vyjádřeno dvěma Stokeovými vektoy pˆ a pˆ 3 eálnou hodnotou ve tvau <p_ σ p>= ˆp +j ˆp 3 kde pˆ, ˆp a ˆp 3 jou umítěna na pavé taně v Stokeově potou. A poto e ze.16 tává ˆ = ( aa bb ) pˆ + ( ab + a b) pˆ + j( ab + a b)pˆ [.17] předtavující tojozměné kládání ve Stokeově potou. Všimněte i podobnoti ovnicí 0.3. Tyto dva Joneovy vektoy odpovídají polaizaci podél o x a y, kteé tvoří pouze takové pavoúhlé páy. Všeobecně vekto p definuje ou na Poicaeho kulovém potou. Joneovy vektoy e tejným ozdělením il aa bb mezi p a p _ e objevují na kuhové kolmici k této oe. Fázový ozdíl mezi koeficienty kladby a a b učují azimut na tomto kuhu. 1

3.Výazy matice otáčení Ve výše uvedeném textu jem uvedl, že polaizace větla e při přenou vláknem může popat jako otáčení Stokeova vektou. Exitují zde vzoce matic, kteé vyvětlují tyto vlatnoti otáčení tj. ou otáčení ˆ a úhel otáčení ϕ. Tyto matice jou základem po pochopení základů vektoů PMD v laboatoři. Tato čát e věnuje dikuzi několika výazů po takové matice jak ve Stokeově, tak v Joneově potou. Nejdřív i muíme tanovit všeobecnou vazbu mezi maticemi U a R těchto dvou potoů. 3.1.Vazba mezi U a R. Po odvození této vazby použijeme vzoce 0.5 až 0. a.5, abychom dotali výazy po Stokeův vekto t na výtupu t = Rˆ = Rσ ; tˆ = t σ t U σu ˆ =. [3.1] Potože oba vztahy jou platné po jakoukoliv ituaci na vtupu můžeme z 3.1. odvodit ovnici Rσ = U σu, [3.] kteá je požadovanou vazbou mezi maticí R Stokeova potou a maticí U Joneova potou. Všimněte i, že ačkoliv det (U) = 1, vzoec 3.. neučuje algebaický znak U, kteý způobuje nějaké ozdíly v učení U z expeimentálních výledků. 3.. Otáčivé tvay Joneovy matice Vtup Joneova vektou, kteý je ouběžný oou otáčení veličiny R e nebude otáčet při přenou po celé délce vlákna. Joneovy vektoy odpovídající ˆ a ˆ jou a _, kteé poto muí být vlatní vektoy odpovídající U. Potože a _ tvoří kompletní pavoúhlý komplex Joneových vektoů, můžeme U vyjádřit ve tvau U = λ 1 + λ, kde λ 1 a λ jou jejich vlatní hodnoty. Potože UU = I a det( U ) = 1, vlatní hodnoty U muí být jednotkovou veličinou a jejich podukty muí být jednotkami. Poto můžeme napat Joneovu matici U v otáčivém tvau.

U jϕ / = e + e jϕ /. [3.3] Použitím vzoce.9, kde nahadíme, můžeme vyjádřit vzoec.3 v náhadním tvau U ( ϕ / ) jˆ σ in( ϕ / ), = I co [3.4] kde ϕ je úhel otáčení ve Stokeově potou, jak můžeme vidět níže. Toto U má také tučný tva U = e j ( ϕ / ) ˆ σ [3.5] (viz vzoec 6.1). Abychom e dotali ze 3.5 na 3.4, bude to mít za náledek ozvinutí tvau enegie exponentem v 3.5. náledovaný použitím ( ˆ σ ) = I po vykácení výledku v 3.4. Nezapomeňte, že a _ jou vlatní pozice ˆ σ vlatními hodnotami 1 a 1. 3.3. Otáčivé tvay ve Stokeově potou Zde použiji vztah 3. po úpavu otáčivého tvau 3.4 Joneovy matice U na iomofní tva po matici R ve Stokeově potou. Vložíme 3.4 na pavou tanu 3.. a dotaneme U σu = ( coϕ ) σ + ( 1 coϕ ) ˆ ( ˆ σ ) + ( inϕ ) ˆ σ, [3.6] využitím pavidel vektou otáčení 6.3, 6.4, 6.7 a 6.13 zjednodušíme výledné vzoce. Poovnáním 3.6 a 3. nám vznikne otáčivý tva R ( co ϕ ) I + ( 1 coϕ ) ˆˆ + ( inϕ ) ˆ, R = ( inϕ) ˆ ( coϕ )( ˆ )( ˆ ), = ˆ ˆ + [3.7] kde tojozměné ) ) je pojekčním opeátoem a ) je potiobazem opeátoa 1 1 ˆˆ = 1 3 1 1 3 1 3 0 ˆ 3 ; = 3 33 0 1 3 1 0 [3.8] 3

Ze vztahu 3.7 můžeme vidět, že po jakýkoliv Stokeův vekto ŝ, R ŝ předtavuje pavotočivé otáčení ŝ pod úhlem ϕ pavděpodobným měem ˆ. Metoda Mülleovy matice po měření vektoů PMD použivá tento tva po vytýčení oy otáčení a úhlu z měřených údajů po R. Elegantní výaz po U uvedený v ovnici 3.5 má iomofní potiku ve Stokeově potou ve vzoci R = e ϕ ( ˆ ). [3.9] Zde je nezávilá poměnná 3x3 matice opeátoa. K pokázání ovnocennoti tohoto tvau a tvaem 3.7 můžeme použít ozvinutí poměnné enegetickou řadou a identické ovnice ( ˆ )( ˆ ) = I + ˆˆ; ( ˆ )( ˆ )( ˆ ) = ˆ [3.10] obahují temíny objevující e v tomto ozvinutém tvau. 3.4. Základní otace Základní otace ve Stokeově potou jou ty, kteé otáčí Stokeovými vektoy kolem oy 1, a 3 v Poitcaeho kulovém potou. Matice popiující tyto děje jou peciální případy vzoců 5.7 a 5.4. Nazýváme je U 1, U, U 3 a R 1, R, R 3. Ve vztahu 3.4 e výaz ˆ.σ zkátí na σ i, z čehož dotaneme U i = I co ϕ / jσ inϕ /, i = 1,,3, i [3.11] Zatímco ve výazu 3.7 je ozdílné od nuly pouze i = 1. Pvky Ui a R i jou uvedeny v tab. 3.1. Všimněte i, že Ui a R i popiuje pomalou otaci způobenou lamelou dvojitého lomu kolem oy x v Joneově potou. U a R odpovídají fázi, kdy lamela je natavená pod úhlem 45 v Joneově potou. U 3 a R 3 popiují otáčení kolem oy z pod úhlem ϕ /. 4

oa Joneova matice otace Stokeova potou 1 U 1 e = 0 jϕ / e 0 jϕ / R 1 1 = 0 0 0 coϕ inϕ 0 inϕ coϕ coϕ / j inϕ / U = j inϕ / coϕ / R coϕ = 0 inϕ 0 1 0 inϕ 0 coϕ coϕ / inϕ / 3 U 3 = inϕ / coϕ / R coϕ = inϕ 0 inϕ co 3 ϕ 0 0 0 1 tab.3.1. 4.Vektoy PMD Jev PMD v optických vláknech používaných po komunikaci natane z důvodu přítomnoti dvojitého lomu ve vlákně. Toto zdvojené lomení e mění náhodně po celé délce vlákna. Je možné jej přehadit aymetiemi v napětí vlákna a geometií, jako např. eliptickým půřezem, mikoohybem nebo mikopotočením. Čato i takové vlákno můžeme předtavit jako nahodilé dvojlomové ekce jejichž oy dvojitého lomu a veličiny e nahodile mění podle oy z (po celé délce vlákna). PMD e může podle úhlů pohledu pojevovat ůzně. Z hledika fekvence můžeme vidět, při pevném vtupu polaizace, změny ve fekvenci ω na výtupu polaizace. Po dobu tohoto duhu fekvence můžeme pozoovat dočané zpoždění pulu pocházejícího vláknem, kteý je funkcí polaizace vtupního pulu. Tyto dva jevy jou dokonale popojené. Exituje zde peciální pavoúhlý pá a vlatnot vlákna nazvaná PSP. Světlo vypuštěné za těchto podmínek nemění polaizaci na výtupu v pvní vtvě ω. Tyto PSP mají kupinová zpoždění τ g, kteé jou maximálním a minimálním čaovým zpožděním z pohledu čau. Rozdíl mezi těmito dvěma zpožděními e nazývá DGD. Typickými hodnotami DGD jou 1-50p po vlákno dlouhé 500 km, v záviloti na typu vlákna. Vekto PMD τ popiuje jak jevy PSP, tak DGD v tomto vlákně. Je to Stokeův vekto mající mě pomalého PSP délkou, kteá e ovná DGD. 5

Někteé pohledy do poblematiky PMD e mohou zdát jednoduché pozoováním kouku vlákna udžujícího polaizaci. Jeho PSP jou polaizace podél hlavní oy dvojitého lomu tohoto vlákna. Pak můžeme zvažovat dvě amotatné oy a všeobecně pak máme ůzné fáze pounu φ a ůzná kupinová zpoždění dφ / dω. Někomu e může zdát, že ozdílné hodnoty φ (ω) budou také vytvářet změny ve výtupním efektu polaizace jako funkce fekvence, dokud do jednoho z PSP není zaveden vekto. Může e zdát překvapivé, že PSP natává ve vlákně, u kteého e pojevuje nahodilý dvojitý lom jako funkce oy z. Avšak PSP natává, jak objevili Pool a Wagne. DGD ote zhuba duhou odmocninou délky vlákna. Tato čát je věnována dikuzi o PMD vektoech. 4.1. Rozbo vlatního vektou Joneovy matice Tento ozbo podle Poola a Wagnea je založen na Joneově matici U a pohledu z hledika fekvenční domény, učující kupinu zpoždění úzko-pámového pulu šířícího e po vlákně fekvencí odvozenou od fáze tohoto pole. Potože toto je případ po vlákno udžující polaizaci, najdeme zde polaizační výtupy t, kteé nemění v pvní řadě fekvenci. Tyto výtupy mají ůzné kupiny zpoždění a také ukazují maximální a minimální zpoždění po úzko-pámové puly libovolného vtupu polaizace. Všimněte i, že náš PMD vekto τ je definovaný po pavotočivý Stokeův poto, zatímco šioce používaný PMD vekto Ω je definovaný po levotočivý Stokeův poto. Podle ovnice 0.5 a.3 máme ovnici přenou t = e jφ 0U, [4.1] uvádějící do vztahu vtup a výtup Joneových vektoů a t. Potože jou puly popány množinami vln v omezeném fekvenčním pámu, potřebujeme vzít v úvahu fekvenční závilot vektou t. Vezměme v úvahu pevný vtup polaizace a fázi, tj. = 0 (potože = 0 ), kteý je vhodný po vtupy jednoduchých pulů vláken v čae 0. ω Deivováním 4.1 a vyloučením z ovnice dotaneme po změnu výtup Joneova vektou ω 6

t ( dφ / dω juωu ). = j 0 + t ω [4. ] Rovnice 4. nám říká, že po většinu vtupů polaizace e výtup polaizace bude měnit v pvní řadě fekvencí. Fekvence odvozená ze polečné fáze ϕ 0 identifikuje kupinu zpoždění τ 0 polečnou po všechny polaizace. τ = dφ / d 0 0 ω. [4.3] Jetliže t tvoří pavoúhlé vlatní tavy opeátoa ju ω U, potom tˆ ω = 0, pak mělo být vyjádřeno ve tvau t ω by t ω = j ( dφ / dω) t, [4.4] kde ϕ je fáze t. Níže v textu uvidíte, že opeáto je Hemitiankého typu a že jeho topa je 0. Poto jeho vlatní hodnoty jou eálné a přidáme nulu. Označíme je τ/ a - τ/. Poovnáním 4. 4.4, identifikací dϕ / dω v 4.4 ve kupině zpoždění τ g a použitím 4.3 dotaneme dvě hodnoty kupiny zpoždění τ = τ 0 ± τ /. g [4.5] vlatního tavu ju ω U, pojenému větší hodnotou kupinového zpoždění přiřadíme p tak, aby z pavoúhlého vlatího tavu majícího menší hodnotu kupinového zpoždění e talo Joneovy matice p _. Pomalý PSP p poto vyhovuje ovnici vlatního vektou 1 τ p = ju U. p ω [4.6] Podle 4.5 je DGD τ. Potože deteminant Hemitianké matice je poduktem vé vlatní hodnoty, máme det(ju ω U )= - τ²/4. Z tohoto odvodíme, že det (U) = 1 a můžeme vytknout výaz po τ, a to τ = det U ω. [4.7] 7

4. Vtup a výtup PMD vektoů Výše dikutovaný poblém byl zaměřený na výazy po PMD vekto na výtupu vlákna. Jou zde paktické případy, kde je nutný odpovídající vekto PMD na vtupu. Ten e může zíkat jednoduchou tanfomací. Rozlišíme veličiny vtupu a výtupu vepáním dolního indexu a t. Vztah mezi PSP p a pt tanfomuje Joneovy vektoy PSP do tvau e řídí vzocem.3, kteý p t = T p. [4.8] Matice M půobící na vektoech na vtupu e tanfomují na opeátoy matice výtupu M t = TM T. Použitím této tanfomace u matice τ σ dotaneme τ σ = U τ t σu = ju Uω, [4.9] Poto, oučáti vtupu vektou PMD τ jou koeficienty σ - ozšíření poduktu matice U Uω. Potože PMD vektoy jou vektoy Stokeovy, jou tanfomovány Mülleovou maticí otáčení R iomofní k U (viz ovnice 3.), potože τ t = Rτ. [4.10] 4.3. Momenty a třední hodnoty ignálu zpoždění Momenty e šioce používají po vyjádření přenou pulu a používají e také u jevu PMD. Zde je popáno jejich použití po učení a definici vektoů PMD. Momenty jou velmi vhodné po popi zpoždění ignálu v ytémech tvořících nebo více ežimů šíření, jako např. ty, kteé zahnují PMD efekty, zatímco pojmy jako např. ychlotní kupina nebo kupina zpoždění mají přínou definici pouze po jednotlivé ežimy. Jevy PMD mohou ozdělovat vtupní impul na dva nebo více impulů na výtupu vlákna vedoucí ke tvaům pulu záviejícím na polaizaci. Signál bude předtavovat v mítě vlákna y komplex vektoů E(z, t) v čaové doméně a jeho tanfomací podle Fouiea Ẽ (z, ω) v fekvenční doméně. E 1 ~ jωt ~ 1 jωt = dωee ; E = dtee, π π [4.11] 8

kde všechny integály mají hodnotu od mínu nekonečna do plu nekonečna. Standadizujme tato pole tak, aby enegie v tomto pulu byla W ~ ~ = dte E = dωe E, [4.1] kde pavou tanu ovnice tvoří Paevalova teoie. Střední doba t g (z), při kteé ignál pochází mítem z e definuje vým těžištěm nebo pvním momentem W 1 t g = W ( z) /. 1 W [4.13] Použitím teoie piály e pvní moment může napat buď jako čaová doména nebo jako fekvenční doména ~ ~ W1 = dt t E E = j dωe E ω. [4.14] Nyní použijeme tanfomaci a Joneovy matice k vyjádření výtupního pole Ẽ t za podmínek, že Ẽ, Ẽ t = T Ẽ a použijeme deivace ~ ~ ~ E = T E + TE tω ω ω, [4.15] T ω = 1 0 jφ 0 jφ ( jτ U + U ) e = ju τ I + τ σ e, 0 ω 0 [4.16] abychom je nahadily v 4.13 a 4.14. Definicí tředního zpoždění ignálu τ g jako ozdílu mezi tředními dobami doazu na výtupu(t) a vtupu () dotaneme 1 ~ τ g = tgt tg = t 1 0 + W [ W W ]/ W = dωe ( τ ju U ) E, 1 ω ~ [4.17] kde τ 0 = dφ 0 /dω jako předtím. Nahazením σ-ozšíření 4.9 po ju U ω =½τ σ, e může třední zpoždění ignálu napat jako τ g 1 ~ 1 ~ d E 0 E. W = ω τ + τ σ [4.18] 9

Vytvořil jem zátupce vtupního pole Ẽ jeho komplexní amplitudou e, jeho jednotkovým Joneovým vektoem a odpovídajícím Stokeovým vektoem ) (viz ovnice.5) ~ E = e ( ω) ; ˆ ( ω) = σ, [4.19] kde e ignální enegie tává W uvedeného vzoce dotaneme po třední zpoždění ignálu * = dω e e. Vložením tohoto výazu do výše τ g 1 = dωe W 1 ( ω) e ( ω) τ + τ ˆ = τ ( ω) + τ ( ω) ˆ ( ). 1 0 0 ω [4.0] kde je τ vtup PMD vektou, jako výše uvedené. Tato vyjadřuje τ g jako pektální třed (vymezeno hanatými závokami) pektální hutoty e*e mající váhu τ 0 (ω) a kalání oučin mezi vtupem vektou PMD τ (ω) a vtupem Stokeova vektou. Tento výaz po třední ignál zpoždění platí po jakýkoliv tva vtupního pulu a pektální ozdíl jeho polaizace. Při zaměření na vtup polaizace ) závilé na fekvenci a na pektu úzkého pulu, jako např. τ 0 a τ e může vzít v úvahu kontanta ignálního páma, 4.0 e pak zjednoduší na τ g 1 = τ 0 + τ ˆ. [4.1] Toto ouhlaí 4.5, kteé e zdeivovalo po peciální případ vtupu polaizací vyovnaných dle PSP. Rovnice 4.1 udává třední ignál zpoždění po jakoukoliv polaizaci vtupu. Zdá e, že vtupy na PSP vedou k max. a min. zpoždění τ. Ve kutečnoti třední ignál zpoždění τ e může jednoduše intepetovat jako půmě zpoždění dvou PSP. Abychom i to lépe předtavili, vezměme v úvahu předtavitele vtupní polaizace jako překytí.14 PSP = a p + b p _. Tato zpoždění jou (τ 0 ± τ/) a půmě zpoždění je τ g = aa ( τ + τ ) + bb ( τ / ). 0 / 0 τ [4.] 30

Můžeme použít pavidlo kaláního oučinu obazu.11, abychom i dokázali ekvivalence 4.1 a 4.. Jednoduchý tva 4.1 nám dovolí učení vektou PMD τ v čaové doméně. Mohou e použít vyšší momenty W detailu vlatnotí přenášených pulů. Duhý moment je n n = dtt E E po učení dalšího W ~ = = dωeω Eω ( z) dt t E E( z) [4.3] kteý zajišťuje infomaci o šíření pulu m. Když budeme potupovat podél tejných pavidel jako výše a nahadíme 4.15, pak dotaneme W ω ~ ~ ~ { E T T E + ( E T TE ~ cc) }. t W = d ω ω ω ω + [4.4] Z 4.16 vyplyne, že 1 ω Tω = τ 0 I + τ 0τ σ + T = τ 0I + τ σ 1 τ I, 4 [4.5] kde jme použili pavidlo vektou otáčení 6.8. Po zjednodušení 4.4 dále použijeme 4.19, vezmeme v úvahu polaizaci vtupu v záviloti na fekvenci a budeme chaakteizovat komplexní vtupní amplitudu e(ω) její eálnou amplitudou a (ω) a fází δ (ω) Výledek je pak e = a e 1 1 W ˆ ˆ t W = dωe e τ 0 + τ + δω τ 0 + τ. jδ. [4.6] [4.7] Při peciálních případech δ ω = 0 tento tva ouhlaí výledkem podle Kalona. Tento peciální případ bee na vědomí ovobození od fekvenčního šumu v optickém pulu a E t = * ymetický tva pulu nebo, což je přenější, ( ) ( ) E t. 31

5.Zákony nekonečně malé otace Zákony otace zahnují hlavně jednoduchou ovnici, pokud jou otace nekonečně malé např. při malých změnách v délce vlákna nebo fekvence. Tyto jou dobře známé v mechanice a jou šioce používané v příbuzném jevu PMD, zpřažených ežimech ozšiřování a ytémech vedení dvojité vlny. Exitují zde zákony, kteé umožňují jednoduchý geometický výklad ve Stokeově potou. Budeme e bavit o nekonečně malých zákonech u vektoů dvojitým odazem, PMD vektou a dynamické ovnici PMD. 5.1. Vekto dvojitým odazem Vezměme v úvahu změnu polaizace (z) větla v mítě oy z vlákna kvůli přidání vlákna o malé délce dz. Tato změna je ovlivněna mítním dvojlomem vlákna chaakteizovaným vým účinným elativním dielektickým tenoem ε(z) tj. chaakteitika půměu ežimu půřezu vlákna. Změna e řídí ovnicí vlny po pektální oučát vektou pavoúhlého pole Ẽ(z) tohoto ežimu. ~ d E ~ + εk0 E = 0, dz [5.1] kde k 0 = π/λ 0 je kontanta ozšíření po volný poto a λ 0 je vlnová délka volného potou. Po výpočet používáme ozšíření σ tenou ε tohoto tvau β1 β jβ3 0 0 0 0, 0 εk = β I + β β σ = β I + β β + jβ3 β1 [5.] kde β 0 je polečná kontanta ozšíření. Koeficienty β i ozšíření jou oučátí mítního dvojlomu vektou β (z) ve Stokeově potou. Tento vekto má chaakte kontanty ozšíření a je užitečným nátojem při popiu dvojlomu v jevu PMD. Navíc k tomuto ozšíření používáme adiabatické přibližné hodnoty beoucí v úvahu, že polaizace, (z) a ε (z) e všechny liší velmi pomalu od z a doazením ~ jβoz E = e, [5.3] 3

kde zahnuje fázi velmi pomalé změny. Budeme pokačovat vkládáním 5. a 5.3 do 5.1. Doadíme tva d dz podle adiabatického předpokladu a dotaneme ovnici adiabatické vlny po Joneovy vektoy (z) d dz 1 + jβ σ = 0. [5.4] Pavá tana ovnice 5.. ukazuje tva dielektického tenou vlákna vyjádřeného oučátmi β i vektou dvojitého lomu β. Zdá e, že optická aktivita (otáčivý dvojitý lom) je zahnuta do tohoto popiu. Při peciálních případech lineáního dvojlomu vytředěného podle oy x vlákna máme β =β 3 =0, a β 1 = nk 0 kde e n liší od indexu lomu. Odpovídající pořadí a mimořádné indexy jou n = n 0 ± n /. [5.5] Exituje zde úzký vztah mezi vektoem dvojitého lomu β a pojmem mítního nomálního ežimu používaného v teoii optických vodičů vln po analýzu vodičů, jejichž vlatnoti e mění délkou z, jako např. náš ε(z). V daném mítě z 0 jou mítním nomální ežimy definovány jako ežimy jednotného vodiče vlatnoti míta z 0 tj. v našem případě vodič jednotným vzocem ( z) ε( ) z 0 ε =. Vložením tohoto vztahu do vzoce 5.1 dotaneme pole dvou mítních nomálních ežimů Ẽ(z) = j Mz e β, jejichž polaita M M e nemění délkou. Z.10 víme, že M muí být vlatním vektoem β σ. Polaita mítních nomálních ežimů je poto popána Stokeovými vektoy ± β. Kontanta ozšíření polaitě ve tvau β M těchto ežimů závií na jejich 1 β ˆ M = β + β M = β0 ± 0 β, [5.6] kteé předpokládá, že β 0 >> β. 33

Nyní obátíme pozonot k případu, kde β (z) e mění délkou vlákna z. K popiu této změny polaizace podél z muíme ozlišit Stokeovy vektoy ˆ = σ. A dotaneme dˆ d = dz dz σ + d σ dz. [5.7] Nakonec zkombinujeme 5.4. a 5.7 použitím pavidel otáčení vektou 6.6, 6.7 a 6.13 a dotaneme zákon nekonečně malého otáčení po dvojitý lom dˆ = β ˆ. dz [5.8] Integováním výledků 5.8 dotaneme fomální vyjádření po Mülleovu Matici R vlákna jako ve tvau 0.. 5.. PMD vekto τ Zde vezmeme v úvahu změnu polaity na výtupu vlákna vzhledem k malé změně ve fekvenci ω. Polaita na vtupu je tále kontantní. Začneme ovnicí 6. napanou jako po změnu polaizace na výtupu odpovídající Stokeově vektou je ˆ = j τ + ω ω = ω ω ( ju U ) σ 0 ω + σ ( ). ω [5.9], kde dolní index ω označuje ozdílnot. Rozdíl [5.10] Nakonec zkombinujeme 5.9. a 5.10 použitím ozšíření σ 4.11 po obazce U ω U a použijeme pavidlo 6.6, 6.7 a dotaneme zákon nekonečně malé otace ˆ = τ ˆ. ω [5.11] Geometický výklad tohoto jednoduchého zákona je otáčení na výtupu Stokeova vektou v Poicaeho kulovém potou vyjádřené jako změna ω. Oa otáčení je PSP pˆ a ychlot otáčení je DGD τ. 34

Zákon nekonečně malého otáčení 5.11 nám dovolí vyjádřit vekto PMD v temínech otáčení (Mülleovy) matice R, kteá uvádí do vztahu vtup a výtup Stokeových vektoů ŝ (0) a ŝ (z) vztahem ŝ (z) = R ŝ (0). Zdeivujeme tento vztah (zatímco ŝ (0) na vtupu je tálé) a dotaneme ˆ ( z) = R ˆ ( 0) R R ˆ ( z). ω ω = ω [5.1] Poovnáním 5.11 a 5.1 zíkáme vztah opeátoa = R ω R, [5.13] 5.3. Dynamická ovnice PMD Dynamická ovnice PMD vychází z kombinace zákonů nekonečně malého otáčení po PMD a dvojitého lomu. Je to základ po tatitickou teoii PMD. Deivace podle Poola začíná deivací 5.8 ohledem na ω a 5.11 ohledem na z. Výledky e zkombinují odtaněním ˆ / z ω a vykácení vztahem a ( b c ) = b( a c ) c( a b ), z čehož dotaneme τ ˆ = β ˆ ω + z ( β τ ) ˆ. [5.14] Poto je tento vztah platný po jakékoliv ŝ a můžeme odvodit náledující ovnici τ β = + β τ. z ω [5.15] Toto je dynamická ovnice PMD popiující vývoj vektou PMD vzhledem ke vzdálenoti. 35

6. Pauliho matice otáčení a vektoy otáčení V této čáti uvedu tučný přehled vlatnotí Pauliho matic otáčení definovaných v čáti 3 a někteé klíčové vzoce po vektoy otáčení σ. Matematická ymbolika vektoů otáčení nám zajišťuje vhodný způob zacházení komplexními maticemi x. Navíc nám unadňuje popojení mezi complexními -D Joneovými vektoy a jejich odpovídajícími eálnými 3-D Stokeovými vektoy. Matice otáčení jou hemitianké a jednotkové, tj. σ i = σ i a 1 σ i σ [6.1] = i a má nulový zápi, T σ i = 0. Tyto matice e řídí dobře známými pavidly náobení σ i = I; σ σ = σ σ = i j j i jσ, k [6.] kde indexy (i, j, k) mohou mít jakoukoliv cyklickou změnu pořadí (1,, 3). Zápi vektou otáčení e kládá z úpavy tří matic otáčení Joneova potou jako tří oučátí vektou ve Stokeově potou. Např. kalání oučin a σ = a1σ 1 + aσ + a3σ 3 je x matice v Joneově potou. Poto vekto otáčení obahuje pvky obou potoů a je užitečný při zkoušce jejich popojení. Použitím pavidla 6., jakákoliv funkce σ matice, kteá e může ozvét o enegii, e může edukovat na výaz lineání v σ maticích a jednotkových maticích I. Užitečnými příklady takovýchto edukcí, vyjádřených matematickou ymbolikou vektoů otáčení, jou σ ( a σ ) = ai ( a σ ) σ = ai ( a σ )( a σ ) ( a σ )( b σ ) = ( a b ) I + j( a b ) = a I, + ja σ, ja σ, σ, ( a σ ) σ ( a σ ) = a( a σ ) a σ, [6.3] až [6.7] 36

kde I je x jednotková matice a a b jou jakékoliv vektoy ve Stokeově potou, a je délka vektou a. Ačkoliv nám omezený poto nedovoluje vyjádřit podobné deivace po výše uvedené vzoce, všimněte i, že 6.4 je komplexní řetězení 6.3 a že 6.5 je peciálním případem 6.6. Všimněte i také, že a σ nekomunikuje b σ dokud a b = 0. Všeobecně jakékoliv matice x M mohou být ozšířeny do tvau M a0 + a1 a ja3 = a + ja3 a0 a1 = a0i + a σ + a σ + a σ 1 1 3 3 = a I + a σ 0 [6.8] koeficienty a i danými vzocem 1 1 a0 = T( M ); ai = T( σ im ) [6.9] kde po zobazení 6.9 používám 6. při T(I) = a T(σ i ) = 0. V 6.8 jme používali vekto otáčení σ k vyjádření ozšíření v celitvém matematickém ymbolu. Názoným příkladem 6.8 je 0 0 α α = ( σ + jσ 3 ), 0 [6.10] kteý je učen po předvedení univeality. Všimněte i, že pavé tany ovnic 6.3 6.7 jou maticemi tvau 6.8. Jetliže je M Hemitiánké (M =M), potom koeficienty a v ozšíření 6.8 jou eálné. Jetliže je M jednotkové (M =M -1 ), pak e může vyjádřit ve tvau M = exp ( jh ) = I + ( jh ) + ( 1/ )( jh ) + L [6.11] kde H je x Hemitiánká matice a pavá tana je obvykle ozšíření o enegetickou řadu exponentu funkce. Jetliže vyjádříme matici H vzoce 6.11 ve tvau 6.8 eálnými koeficienty, dotaneme jednotkovou matici 37

M = exp a σ 0 ( ja ) exp( j ) = exp( ja )[ co( ) ˆ 0 I a ja σ in( a) ], [6.1] ) kde aa = a. Ve vzoci 6.1 pvní tva je výledek jednotkové matice I komutované (pojené) otatními a polední tva je výledkem ozšiřování exp(-j a σ ) v enegetické řadě a použitím 6.5 pokátíme výledek na tva lineání v I a Pauliho matice. Je nadné přímo dokázat, že jetliže M má tva 6.1, potom M M = I. Všimněte i, že jetliže topa jakékoliv matice M je nula, potom koeficient I muí být nula. Také není těžké dokázat z 6.1, že jetliže jednotková matice M, jako např. U v textu, vyhovuje det (M) = 1, potom koeficient exp (-ja 0 ) je omezen na hodnoty 1 nebo 1. Velkou paktickou výhodou matematické ymboliky vektou otáčení je, že σ e může konvetovat do jakéhokoliv Stokeova vektou ( ) ) utvořením kvadatické ovnice tak, jak je to v.5. Tato jednoduchot e komplexněji dá vyjádřit např. ve tvaech a σ = a σ = a ˆ a σ = a σ = a ŝ, Rσ = R σ = Rŝ, nebo [6.13] kde R je matice 3x3. Ve mylu 6.13 je čato pojednávat o σ jako o doplňkovém vektou ve Stokeově potou. Např. v textu e čato používá kutečnot, že jetliže a σ = b σ, z toho plyne, že a = b. Tento výledek také vychází z 6.8 a 6.9, potože komponent vektou a i e může znovu zíkat ze kaláního oučinu a.σ. 38

7. Měření PMD Jev PMD je výazně labší než chomatická dipeze, uplatňuje e až od přenoové ychloti 10Gbit/, ale jev PMD je náhodný a závií i na montáži tay, kteá je dále ovlivněna vlivy okolního potředí. PMD není možné po optickou tau přeně počítat a je potřeba ji měřit ve všech tádiích jejího života, tzn. I při výtavbě tay. 7.1 Metoda kenování vlnové délky (metoda fixním analyzátoem) Podtatou této měřící metody je měření výkonu pocházející optickou taou v záviloti na vlnové délce. Po zdoj záření e používá šiokopektální LED dioda nebo laditelný lae. Za zdojem je polaizáto a pak optická taa. Na konci tay jako detekto používáme po zdoj záření z LED diod optický pektální analyzáto OSA a po lae potačuje měřidlo výkonu. U této metody e muí měřit ve dvou fázích. V pvní fázi měříme podle ob 6.1., kde je zapojený před detektoem polaizáto. Tímto zíkáme pektální závilot ložky výkonu o učité polaizaci (dané polaizátoem) P(l). Ve duhé fázi odtaníme polaizáto před přijímačem a změříme efeenční hodnotu pektální závilot celkového výkonu Ptot(l). Z poměu obou naměřených pektálních půběhů P(l)/Ptot(l) vyplývá pektální závilot změny polaizace výtupního záření a z toho lze výpočtem tanovit hodnotu PMD dané optické tay. Většinou e ke tanovení PMD používá ychlá Fouieova tanfomace (FFT), kteá umožňuje naměřené pektální výledky převét přímo do čaové oblati. Ob. 7.1: Metoda kenování vlnové délky 39

7. Tadiční intefeometická metoda (TINTY) Tato metoda používá šiokopektální zdoj záření( nízkokoheentní zdoj, většinou e používá LED. Po půchodu polaizátoem P je polaizované záření navázáno do vlákna tay a na duhém konci vlákna je PMD analyzáto. Analyzáto e kládá z intefeomet(nejčatěji Michelonův. V tomto intefeometu je polaizované optické záření ozděleno do dvou čátí. Jedna čát je zakončena pohyblivým zcadlem a duhá pevným zcadlem. Záření e odáží od obou zcadel zpět a na detektou pak natává intefeence ignálu z obou čátí. Pounováním pohyblivého zcadla e mění vzájemný čaový poun mezi ignály obou čátí a díky tomu e zíká intefeogam. Z intefeogamu je možné zjitit zpoždění vlivem PMD. Ob. 7.: Tadiční intefeometická metoda Tato měřicí metoda je velmi ychlá a dotatečně přená po měření PMD optických ta. Je možné měřit hodnoty zpoždění PMD od 0,1 p až po tovky p, což je po měření optických kabelových ta napoto potačující. Tato metoda je vhodná po měření v teénu po vou ychlot, odolnot vůči vibacím optického vlákna a nepotřebě tanovování efeenční hodnoty. 40

7.3 Optický eflektomet OTDR Tato metoda měření je v dnešní době nejpoužívanější při montáži a povozování optických ta. Optický eflektomet využívá metodu zpětného ozptylu, vyhodnocuje závilot zpětně ozptýleného optického výkonu při šíření úzkého optického impulu měřeným vláknem. Po měření útlumu využívá Fenelovy odazy nebo Raygleighova ozptylu. Pomocí OTDR je možné měřit délku vlákna, homogenitu vlákna, útlum váů, útlum optických konektoových pojek a lokalizaci pouch. Výhody OTDR jou, že e při měření přitupuje pouze z jedné tany a pokytuje infomace o učitých čátechoptického vlákna opoti přímým metodám. Ob. 7.3: Optický eflektomet OTDR 41

8. Kompenzační techniky PMD Je opavdu velice obtížné nížit hodnoty PMD, potože vlatnot a kolíání PMD během celého úeku optické tay je velice náhodné. Snižování hodnoty PMD nutně neznamená kompletní odtanění efektu, ale edukce pavděpodobných výpadků způobených PMD. Až v poledních několika letech bylo navženo několik metod kompenzace PMD. Můžou být ozděleny do tří základních kategoií: Optický kompenzáto PMD Optoelektonický kompenzáto PMD Elektonický kompenzáto PMD 8.1 Optický kompenzáto PMD Jeden z mnoha běžných optických kompenzátoů PMD vyžaduje polaizační kontolo (PC) a délku PMF(polaization-maintaining fibe) na ob. PC e používá k vyovnání polaizace větelného ignálu, kteý tímto vyovnává PSP v PMF. PMF je vlákno, kteé bylo úmylně vyobené dlouhé, ale řízeným dvojlomem a poto může být použito ke geneování pecifických velikotí DGD. Tímto způobem může být ychlé SOP zpožděno tejně velkými DGD v PMF, mající za náledek celkové nížení DGD. Více ložité kompenzátoy můžou být vyobeny vyměňující pevnou délkou PMF poměnným zpožděním umožňující zušení libovolných velikotí DGD nebo vícenáobného PC-PMF tupně, zvyšující tupeň volnoti a z toho důvodu přenot kompenzace. Navzdoy janých výhod optické kompenzace má i pá nevýhod. Za pve, optické návhy vyžadují dahé a poměně veliké optické komponenty. Ale potože PMD má dynamickou povahu, tak kompenzátoy muí být přizpůobivé. Přizpůobování kompenzátoů v optické oblati není jednoduše doažitelná, potože optické komponenty nejou tak flexibilní. Ob. 8.1: Optický kompenzáto PMD 4

8. Optoelektonický kompenzáto PMD Další možnotí je optoelektonický kompenzáto PMD, kteý má optickou a elektonickou čát. Toto chéma je zobazeno na ob.. Schéma obahuje ozdělovač přijímaného větelného ignálu z PC a PBS (polaization beam plitte). Výledné větelné ignály jou pak převedeny na elektické ignály dvěma oddělenými TIA (photodiode-tanimpedance amplie). Elektický ignál odpovídající větelnému v ychlé SOP je pak zpožděn intevalem tejných DGD. Nakonec jou oba ignály pojeny do podoby přijímaného ignálu, kteý je ale bez PMD. Hlavní výhoda optoelektonické kompenzace PMD je, že někteý kompenzační hadwae je přenoitelný z optické do elektické oblati, tím pádem ote integace. Nicméně, optoelektonická kompenzace PMD tále ještě vyžaduje optické komponenty PC a PBS. Poto větší integace doáhneme použitím elektonického kompenzátou. Avšak u optoelektonické kompenzace zůtává vyoká cena. Ob. 8.: Optoelektonický kompenzáto PMD 43

8.3 Elektonická kompenzace PMD Elektonická kompenzace PMD e povádí vyovnáním přijímaného ignálu a potom je to převedeno ze větla na elektřinu pomoci fotodiody a TIA. Elektonická kompenzace je ataktivní, potože nabízí vyšší úoveň integace a díky tomu i nižší cenu opoti opticke a optoelektické kompenzaci. Vyšší úoveň integace je obzvlášť důležitá u WDM ytémů, ve kteých je kompenzace PMD požadována po každý kanál. Přizpůobení ke změnám PMD je jednodušší a e zavedením učícího e algoitmu LMS ychle dotupné. Elektická kompenzace může být implementována několika způoby: Tanveální filt (TF), Nelineání zpětnovazební kompenzace (DFE), ozdílná fázová detekce, atd. Elektické kompenzace jou obecně velké a dokážou zlepšit ignál. Na duhou tanu to nevykonávají tak dobře jako optická kompenzace a požadují vyokoychlotní elektoniku po lepší výkon. Ob. 8.3: Elektonický kompenzáto PMD Výše popané kompenzace e používají a tetují v poledních několika letech a na každou optickou tau muí byt peciálně uzpůobeny. Další možnoti kompenzace bez přidání kompenzační čáti jou náledující: Použití jiné vlnové délky. Pokud nevyhovuje přenoová ceta po konkétní vlnovou délku, je možné vyzkoušet jiný ozah použité fekvence. Je to velmi jednoduchý způob, ale čato těžko ealizovatelný a účinnot je jen v malém pocentu případů. 44

Použití jiného vlákna optického kabelu. Optická ceta bývá zpavidla zajištěna i několika ezevními, eviními vlákny, nebo vlákny učenými po přeno pouze ežijních infomací. Po nejnižší hodnotu PMD zpavidla zkoušíme všechna vlákna v kabelu a ta použijeme po nejdůležitější přenoovou cetu. Pokud nemáme k dipozici měřící přítoj, je to polu e způobem změny vlnové délky jediný způob jak e vyhnout nákladné změně celého kabelu. Výměna celé optické tay. Tento způob patří ke kajním způobům řešení. Zpavidla ji však dopoučuji po optické tay e taými optickými vlákny vyobenými v devadeátých letech a po tay vlákny poškozenými. Výměna optických kabelů je výhodná zejména na taách e tašími optickými kabely a tam, kde e kabely zatahují či zafukují a jejich výměna tudíž není tak nákladná. Výměna úeku vlákna. Tato metoda vyžaduje poměření optické tay eflektometickým přítojem POTDR. Tento způob je nejefektivnější a lze jej použít na všech duzích optických ta. V oučané době je měření dipeze (zejména PMD) tandadem a tak většina nově potavených optických ta i ta upgadovaných na vyšší přenoovou ychlot (STM- 64) je poměřena. 45

9. PMD Mezináodní tandady a dopoučení STANDARDY ITU-T G.650. ITU-T G.65 ITU-T G.653 ITU-T G.654 ITU-T G.655 ITU-T G.656 IEC/TS 61941 IEC 60793-1-48 GR-947-CORE TIA/EIA-455 FOTP-113 TIA/EIA -455- FOTP-1A TIA/EIA -455- FOTP-14A TIA/EIA TSB 107 POPIS Definice a tetovací metody po tatitické a nelineání vlatnoti jednovidového vlákna a kabelu Chaakteitiky optických kabelů jednovidovým vláknem Chaakteitiky jednovidových optických kabelů vláknem pounutou dipezní chakteitikou Chaakteitiky jednovidových optických kabelů vláknem minimálním útlumem Chaakteitiky jednovidových optických kabelů vláknem pounutou nenulovou chomatickou dipezí Chaakteitiky vlákna a kabelu nenulovou dipezí po šiokopámový přeno Technické pecifikace měřící techniky PMD po jednovidové optické vlákna Měřící metody a tetovací poceduy PMD Obecné požadavky po mobilní tetovací et PMD Měření PMD po jednovidové optické vlákna pomocí metody pevneho analyzátou Měření PMD po jednovidové optické vlákna pomocí vyhodnocení Stokeova paametu Měření PMD po jednovidové optické vlákna pomocí intefeometie Pavidla po tatitickou pecifikaci PMD na vlákně optického kabelu Tab. 9.1: Mezináodní tandady a dopoučení 46

9.1 Limity PMD Přenoová ychlot na kanál SDH SONET Odpovídají cí timelot Limit zpoždění PMD Koeficient PMD na 400 km 55 Mb/ ---- OC-1 19.3 n n <100 p/ km 155 Mb/ STM-1 OC-3 6.43 n 640 p <3 p/ km 6 Mb/ STM-4 OC-1 1.61 n 160 p <8 p/ km 1. Gb/ --- OC-4 803 p 80 p <4 p/ km.5 Gb/ STM-16 OC-48 401 p 40 p < p/ km 10 Gb/ STM-64 OC-19 100 p 10 p <0.5 p/ km 40 Gb/ STM-56 OC-768 5.1 p.5 p <0.15 p/ km Tab. 9.: Limity PMD 47

10. Měření optické tay Měření bylo povedeno na páteřní íti Maaykovy univezity. Cílem bylo zjitit, zda je možné navýšit přenoovou kapacitu této ítě. Po měření byl použit analyzáto FTB 5700. Přítoj je vhodný po měření na katších až tředně dlouhých optických taách (do 140 km) bez zeilovačů. Měření e povádí tzv. jednoměnou metodou (eflektometickou), kdy odpadá nutnot použití zdoje záření na duhém konci. Měření pobíhalo na vlnové délce 1478nm až 164nm a vzdálenot optické tay byla 847m. Výledky měření PMD a jejich maximální limity po přenoovou ychlot 40Gb/ jou zobazeny v tabulce 10.1. vlákno zpoždění PMD [p] Naměřené koeficient PMD [p/ km] limit zpoždění PMD po 40Gb/ [p] Limitní hodnoty koeficient PMD po 40Gb/ [p/ km] 1. 0.04 0.013.5 <0.15. 0.03 0.0117.5 <0.15 3. 0.08 0.078.5 <0.15 4. 0.08 0.070.5 <0.15 5. 0.03 0.0111.5 <0.15 6. 0.08 0.064.5 <0.15 7. 0.15 0.050.5 <0.15 8. 0.03 0.0110.5 <0.15 9. 0.06 0.019.5 <0.15 Tab. 10.1: Naměřené hodnoty PMD Z naměřených výledků vyplývá, že hodnoty PMD všech devíti optických vláken jou nízké opoti limitním hodnotám. Poto z hledika PMD je možné naazení vyšší přenoové ychloti na optické tae. Kompenzace PMD není v této ituaci nutná a dopoučil bych vyzkoušení přenoové ychloti 40Gb/. 48

11. Závě V této páci jem popal jev zvaný polaizační vidová dipeze (PMD). Zabýval jem e vlivem PMD na optický přeno. Potřebou dnešní doby je tále více navyšovat přenoovou kapacitu optických ta, ote tedy i potřeba měřit hodnoty PMD, kteé jou od ychlotí 10Gbit/ již nutnotí. Dále jem popal používané metody měření optických ta. Pokud jou naměřené hodnoty vyšší, než je dopoučený tandad, znemožňuje to naadit vyšší přenoové ychloti. Tuto poblematiku je pak nutné řešit použitím kompenzačních pvků, kteé jou velice obtížně ealizovatelné, poto e muí vyměnit celé nebo čáti optického vlákna. Měření PMD pobíhalo na páteřní íti Maaykovy univezity o délce 847m. Z výledků měření vyplývá, že hodnoty PMD na všech devíti optických vláknech vykazují velmi nízké hodnoty zpoždění PMD a poto je možné z hledika PMD použít i přenoovou ychlot 40Gb/. 49