Tepelné procesy Přednášky a cvičení AN: prof. Fatima Hassouna, učebna B139 Přednášky CZ: prof. Pavel Hasal, posluchárna B III Cvičení CZ: Vladislav Nevoral, učebna B139 1
Pavel Hasal e-mail: Pavel.Hasal@vscht.cz tel. +420 220 44 3167 místnost: B143 2
Doporučená literatura: Příklady budou počítány v MAPLu a COMSOLu. 3
PŘEDNÁŠKA 1 1) Skalární, vektorové a tenzorové veličiny 2) Skalární a vektorový součin, vektorové diferenciální operátory, materiálová derivace, objemový a plošný integrál, rovnice kontinuity 3) Převod rovnic do bezrozměrového tvaru, škálování, difúzní/vodivostní čas. 4
Skalár, vektor a tenzor a Skalár: prvek pole, obvykle jde o reálné číslo - není prostorově orientován - ve zvoleném prostoru (času) jej lze vyjádřit jako hodnotu - typické skaláry: teplota, tlak, koncentrace Vektor: vektor má velikost a směr - je orientovaný - ve 3D prostoru jej lze charakterizovat třemi hodnotami - typické vektory: rychlost, gradient tlaku, gradient koncentrace Tenzor 2. řádu: geometrické objekty popisující lineární vztahy mezi vektory, skaláry a jinými tenzory - má směr (je orientovaný) - ve 3D prostoru jej lze charakterizovat devíti hodnotami - typický tenzor: tenzor rychlosti deformace v kapalině Příklad: kostička materiálu, na kterou působí vnější síla lze změřit namáhání materiálu v různých směrech měření tenzoru druhého řádu; tenzor napětí 5
Tenzory Tenzory vyjadřují napětí v kapalném nebo pevném médiu. Tenzorem je možné popsat jaké změny charakteristické vlastnosti (změna rychlosti v kapalinách nebo změna povrchu u pevných látek) ve směru kolmém na nějakou plochu jsou způsobeny (inicializovány) vložením tečných nebo normálových sil k této ploše. 6
Skalární součin Skalární součin dvou vektorů = skalár a b = ab cos θ = a x b x + a y b y + a z b z = i a i b i Výsledek skalárního součinu je velikost vektoru b promítnutého do vektoru a velikosti vektoru a nebo obráceně. Vlastnosti skalárního součinu vektorů - Komutativní - Distributivní 7
Skalární součin Skalární součin vektoru a tenzoru = vektor Například: Skalární součin matice A a vektoru x Vlastnost skalárního součinu vektoru a tenzoru A = Ax = 2 1 1 2 0 3 1, x = 1 0 1 1 2 0 3 1 2 1 0 = 2 1 1 1 + 0 2 2 0 1 3 + 0 1 = 1 3 Asociativní Důkaz udělají studenti samostatně! 8
Gradientní operátor Vektorové diferenciální operátory Gradient je vícerozměrné zobecnění derivace. Zatímco derivaci lze definovat jako funkci jedné proměnné, pro funkce více proměnných, je nazývána gradientem. Gradient je vektorová funkce, na rozdíl od derivace, která je skalární funkce. Daný vektor musí být diferenciální pro uplatnění gradientu. Gradient skalárního pole = vektorové pole jehož velikost je míra změny a která směřuje ve směru k největšímu růstu skalárního pole. Pokud je vektor vyřešen, jeho složky představují rychlost změny skalárního pole vzhledem ke každé směrové složce. Gradient vektorového pole = tenzor 9
Divergence vektorového pole Divergence odpovídá hustotě objemového toku vektorového pole z nekonečně malého objemu v jeho okolí. Zahřívání okolního vzduchu. Rychlost vzduchu v každém bodě definuje vektorové pole F. Když se vzduch v oblasti ohřívá, tak se ve všech směrech rozšiřuje, a proto směřuje rychlostní pole F ven z této oblasti. Tato expanze tekutiny s rychlostním polem F je popsáno divergencí F. Příklady: Divergence rychlostního pole v této oblasti by měla mít kladnou hodnotu. 10
Divergence vektorového pole Divergence vektorového pole F = <P,Q,R> je definovaná jako parciální derivace P podle x plus parciální derivace Q podle y plus parciální derivace R podle z. A = diva div F = δp δx + δq δy + δr δz v kartezských souřadnicích A Ax/ x + Ay/ y + Az/ z v cylindrických souřadnicích A (r Ay)/(r r) + Aø/(r ø) + Az/ z ve sférických souřadnicích A (R 2 AR)/(R 2 R) + (Aø sinθ)/(r sinθ θ) + Aø/(R sinθ ø) 11
Vektorové diferenciální operátory Divergence vektorového pole = skalár Laplaceův operátor = divergence operátoru divergence Divergence tenzorového pole = vektor 12
Vektorové diferenciální operátory Cvičení: Ověřte, že platí 13
Materiálová derivace Materiálová derivace určuje rychlost změny libovolného počtu proměnných (jako je teplo (teplota) nebo hybnost (rychlost udávající zrychlení části materiálu, který se pohybuje rychlostí v). Pokud se jedná o tekutinu, pak je hybnost tokové pole. Materiálová derivace udává rychlost změny nějaké prostorové proměnné tak, jak je vnímána pozorovatelem, který se pohybuje společně s tekutinou. Pomocí diferenciálu funkce (skalár nebo vektor) lze sledovat přibližný přírůstek této funkce v okolí zvoleného bodu. Pro výpočet diferenciálu funkce je nutné znát derivace této funkce ve zvoleném bodě pro všechny nezávislé proměnné (prostorové souřadnice a čas). da diferenciální změna je funkcí několika proměnných (t, x, y, z) podělením diferenciálu časovým přírůstkem je získána materiálová derivace funkce, kde je v vektor rychlosti toku lokální část konvektivní část, která je nenulová i v ustáleném stavu 14
Integrální transformace Vyjadřuje zákon zachování hmoty pro transportované veličiny iv závislosti na kontrolním objemu V, který je obklopen kontrolní plochou S. Kontrolní objem obsahuje stále stejné množství tekutiny a při toku se deformuje. n je normálový vektor kolmý k ploše ds, ӀӀnӀӀ = 1, n x2 + n y 2 = 1 (n x = (1,0,0) a n y = (0,1,0) ve 2D) Množství veličiny, které přibyde/ubyde (akumuluje se) v kontrolním objemu V odpovídá množství veličiny, které do kontrolního objemu vstupuje/vystupuje skrz kontrolní plochu S, která obklopuje kontrolní objem V. Pro veličiny typu skalár, vektor (tenzor) : E - jednoduchá oblast s definovaným povrchem S - dané pozitivní (vnější) orientací F vektorové pole, jehož složky mají spojité derivace v otevřené oblasti R 3 obsahuje E Integrální transformace (nebo Gausova věta) S F ds = E div F dv 15
Rovnice kontinuity zákon zachování hmoty Ve fyzice popisuje rovnice kontinuity transport nějakého množství Tok hmoty přes hranice kontrolního objemu odpovídá akumulaci hmotu v kontrolním objemu. Tok hmoty přes hranice systému lze zapsat jako součin hustoty, rychlosti a plochy, která ohraničuje systém. Plošný integrál lze převést na objemový pomocí integrální transformace. Rovnice kontinuity v diferenciálním tvaru. U tekutin s konstantní hustotou lze rovnici dále zjednodušit. 16
Transformace rovnic do bezrozměrné podoby o Metoda slouží ke snížení počtu parametrů o Výsledné rovnice lze použít pro libovolný systém fyzikálních jednotek (SI nebo jiné) Postup: 1 - Identifikace všech závislých i nezávislých proměnných: - závislé (teplota, rychlost, tlak) - nezávislé (čs, prostorové souřadnice) 2 - Pro každou proměnnou je zvolena charakteristická veličina, která má stejný rozměr jako tato proměnná. 3 - Jsou zavedeny bezrozměrné proměnné podělením rozměrových proměnných charakteristickou veličinou. X = X X 0 rozměrová proměnná charakteristická veličina 4 - Bezrozměrné proměnné jsou dosazeny do rovnice a podělené konstantou, která je před jedním zvoleným členem rovnice. 5 - Je získána rovnice v bezrozměrném tvaru. Koeficienty před členy jsou také bezrozměrné - bezrozměrná kritéria. 17
Příklad: Převeďte následující rovnici do bezrozměrného tvaru: Nezávislé proměnné: t, x, y (čas, souřadnice x, y) Závislé proměnné: v x, v y, p (složky vektoru rychlosti x, y, tlak) Parametry (konstanty): η, ρ Zavedení bezrozměrných proměnných (dynamické viskozita, hustota) Odvodíme, jak závisí derivace rozměrových derivací veličin na derivacích bezrozměrných veličin 18
Po dosazení do původní rovnice Zatím byly škálovací faktory označeny pouze obecně. Teď budou alespoň některé z nich zvoleny konkrétně: v 0 = U průměrná rychlost proudění x 0 = y 0 = d vnitřní průměr potrubí t 0 = d/u konvektivní čas (dráha/rychlost) Po vydělení rovnice členem Bezrozměrné Reynoldsovo kritérium Re bezrozměrný tvar rovnice 19
Nyní bude zvolen charakteristický tlak Pa.s.m.s -1.m -1 = Pa Pak: Inerciální člen Viskózní člen Navierova -Stokesova rovnice Tlaková ztráta Výsledná rovnice obsahuje jeden parametr místo původních dvou Re je číslo, které říká, zda je tok turbulentní (dominují inerciální síly) nebo ne Re = (ρ d U) / η Můžeme použít škálovací argument pro získání poměru inerciálních sil k viskózním silám Re << 1 rychlost je velmi nízká a vysoká viskozita inerciální člen se blíží 0. Re >> 1 velmi nízká viskozita inerciální člen velmi vysoký viskózní člen může být zanedbán. 20
Nastavení měřítek - škálování Speciální způsob převedení do bezrozměrového tvaru: charakteristické veličiny (měřítkové/škálovací faktory) jsou voleny tak, aby bezrozměrové proměnné (závislé i nezávislé) nabývaly hodnot v řádu jednotek (~1) a v tomto řádu se také měnily. Pokud získáme Derivace také nabývají hodnot v řádu ~1 V mnoha případech je obtížné vhodné měřítkové faktory nalézt! Pokud jsou měřítka proměnných v rovnici správně nastavena, hodnoty bezrozměrových kritérií určují váhu jednotlivých členů rovnice některé členy lze zanedbat. Škálování je důležitou pomůckou při odvozování kriteriálních vztahů, např. pro výpočet Nusseltova nebo Sherwoodova kritéria. 21
Příklad: Nastavte měřítka pro Fourierovu rovnici pro vedení tepla: Nejdřív je potřeba rovnici převést do bezrozměrového tvaru: T teplota [K] t čas [s] x prostorová souřadnice [m] a teplotní vodivost [m 2 s -1 ] Nyní je potřeba vhodně zvolit měřítkové faktory t 0 a x 0. Obvykle je známa velikost systému: tloušťka stěny, průměr potrubí, délka žebra,. Například u potrubí je charakteristickým rozměrem jeho průměr d. Pokud bude zvoleno x 0 = d, pak je zaručeno, že (což chceme) Jak předpokládáme: - Dosud jsme nedefinovali měřítko pro T 0, ale to často bývá rozdíl mezi maximální a minimální teplotou v systému. 22
Dále víme, že a také Nyní je potřeba definovat měřítko času, aby platilo: a také Tím jsme získali difúzní/vodivostní čas 23
Difúzní / vodivostní čas Čas, za který je teplo přeneseno (v prostředí s teplotní vodivostí a) na vzdálenost d. Tento čas je úměrný druhé mocnině vzdálenosti. Jde pouze o hrubý odhad doby, nikoli o její přesnou hodnotu. 24
25
PŘEDNÁŠKA 2 1) Vedení tepla, Fourierův zákon 2) Fourierova rovnice, odvození pro obecný objem, 3) Okrajové podmínky 4) Biotovo číslo 5) Ustálené vedení tepla v desce 6) Vedení tepla v tyči 26
Vedení tepla: základní pojmy Existují tři režimy molekulárního pohybu: Částice/molekuly mohou: vibrovat okolo pevné pozice pohybovat se: přesouvat se z jednoho místa na místo jiné rotovat: otáčí se kolem myšlené osy Tyto pohyby dávají částicím/molekulám kinetickou energii. - Pevná hmota: částice se nemohou přesouvat, mohou pouze vibrovat. - Kapaliny a plyny: částice se mohou přesouvat. Může u nich nastat libovolný režim pohybu. 27
Vedení tepla: základní pojmy Teplota je určena průměrným množstvím kinetické energie, kterou mají částice ve vzorku hmoty. Čím víc částice vibrují, pohybují se nebo se otáčí, tím vyšší má objekt teplotu. Přenos tepla je přenos kinetické energie molekul. Přenos tepla je způsoben rozdílem teplot (teplotním gradientem) mezi dvěma objekty. Teplo proudí směrem ke klesající teplotě, protože vyšší teploty jsou spojeny s vyšší molekulární energií. Tok tepla pokračuje dokud mezi dvěma objekty není dosaženo tepelné rovnováhy, pak budou mít stejnou teplotu. Tepelný tok lze rozdělit do tří kategorií: vedení, proudění a radiace. 28
Vedení Přenos tepla na molekulární úrovni - přenos pohybové energie molekul. Oblast s molekulami s vyšší kinetickou energií předává teplo oblasti s molekulami s menší kinetickou energií. Vedení tepla se uplatňuje v pevných látkách i tekutinách. I v systémech, které se pohybují, i v systémech, které jsou klidu. Vedení tepla je nejběžnější forma u látek, které mají fyzický kontakt. Příklad: ruka položená na okno, kov umístěný do plamene. Proudění Když je tekutina (tj. plyn nebo kapalina) zahřívaná a teče směrem od zdroje tepla, tak odnáší teplo. Tekutina nad horkým povrchem je ohřívána, tím klesá její hustota, proto stoupá vzhůru. Jakmile teplá tekutina stoupá, tlačí hustší a studenější tekutinu na její místo. Tím vznikají konvekční proudy, které přenáší energii. 29
Vedení tepla je popsáno Fourierovým zákonem: Přenos tepla vedením q x dt dx hybná síla pro vedení tepla Fourierův zákon vedení tepla Intenzita toku tepla je přímo úměrná gradientu teploty. Konstantou úměrnosti je koeficient tepelné vodivosti. q x... Intenzita toku tepla [W m -2 ] = teplo prošlé za jednotku času jednotkovou plochou tepelná vodivost [Wm -1 K -1 ] T teplota [K] x prostorová souřadnice [m] 30
A - plocha Tepelný tok Q x [W] ve směru kolmém na plochu A q x... Intenzita tepelného toku [W/m 2 ] A plocha skrz kterou je vedeno teplo [m 2 ] V obecném tvaru lze zapsat ve všech prostorových směrech. T teplotní gradient - rozdíl teplot mezi konci ( o C, K) - součinitel tepelné vodivosti důležitá vlastnost materiálů - Wm -1 K -1 kovy dobré tepelné vodiče - 10 1-10 2 Wm -1 K -1 tepelné izolanty (korek, pěnové plasty, bavlna) 10-2 Wm -1 K -1 cihly 1 Wm -1 K -1 voda 0,6 Wm -1 K -1 vzduch 0,025 Wm -1 K -1 31
Tepelný tok Z první termodynamické věty platí pro izobarický systém (konstantní tlak), ve kterém se koná pouze objemová práce, že změna entalpie systému je shodná s množstvím tepla vyměněného mezi systémem a okolím. Změnu entalpie systému lze vyjádřit pomocí měrné entalpie: h měrná entalpie [J kg -1 ] V objem systému [m 3 ] hustota [kgm -3 ] Pokud je objem a hustota systému konstantní (tedy i hmotnost), pak c p měrná tepelná kapacita důležitá vlastnost materiálů [Jkg -1 K -1 ] (kolik tepla je potřeba dodat, aby se 1 kg materiálu ohřál o 1 K (1 C)). 32
Příklad Trubkový reaktor s pístovým tokem Neustálené vedení tepla v prostorově 1D systému Kontrolní objem ΔV q* - objemový zdroj tepla [Wm -3 ] (Jouleovo teplo (elektrický proud ve vodiči), reakční teplo ( tj. jaderná reakce) ) Bilance tepelné energie v elementu V VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE Fourierova rovnice teplotní vodivost [m 2 s -1 ] 33
Odvození Fourierovy rovnice pro obecný objemový element Bilance telepné energie v infinitezimálním elementu VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE VSTUP VÝSTUP + ZDROJ = AKUMULACE Celkový transport tepla přes hranice systému Celkový transport tepla přes hranice systému q n normálová složka intenzity toku tepla přes hranice systému 34 Jednotkový vektor
Akumulace enthalpie v elementu objemu Předpokládáme, že a c p jsou konstantní Bilance: q* - objemový zdroj energie [Wm -3 ] Gaussova transformace Bilance musí platit i pro elementární objem dv, potom 35
Teplotní difuzivita (vodivost) Fourierova rovnice pro vedení tepla obecný tvar pro všechny souřadnicové systémy 36
Fourierova rovnice ( heat equation ) = konst. 2 2 2 * T T T T q a 2 2 2 t x y z c p 2 2 * T 1 T 1 T T q a r 2 2 2 t r r r r z cp 2 2 * T T 1 T 1 sin T a q 2 2 2 2 2 t r r sin r sin cp 37
Okrajová podmínka prvního druhu (Dirichletova) Hodnota teploty na okraji je definována jako: Typické okrajové podmínky X=W X=0 Pro Z = 0 T okraj = T 0 Okrajová podmínka druhého druhu (Neumannova) Z=0 L Z=L 1) Nulový tok tepla přes okraj 2) Použití Neumannovy okrajové podmínky u osy symetrie a u polo-nekonečných domén nulový tok Použití u osy symetrie Polo-nekonečná doména 38
Podmínka spojitosti toku tepla na fázovém rozhraní Na rozhraní není akumulace tepla. Kontinuita toku. Platí pro všechny souřadnicové systémy. Konvektivní okrajová podmínka podmínka spojitosti toku tepla na fázovém rozhraní (jedna z fází přenáší teplo vedením i konvekcí = přestup tepla). Robinova okrajová podmínka (třetí druh okrajové podmínky) - součinitel přestupu tepla [Wm -2 K -1 ] závisí na - geometrii - typu proudění - materiálových vlastnostech tekutiny 39
Ustálené vedení tepla Pro vedení tepla v 1D systému (teplota závisí pouze na jedné souřadnici), lze zapsat základní popis procesu. Modelování vedení tepla stěnami jako ustálené a jednorozměrné. stanovení teploty exponovaného povrchu rovinné stěny V systému 1D platí pro okrajové teploty při vedení tepla rovinnou deskou o tloušťce L s tepelnou vodivostí : T(x = 0) = T w1 T(x = L) = T w2 T 1, α 1 λ T w1 T w2 T 2, α 2 Tepelný tok v systému 1D skrz desku, teploty pak závisí pouze na jedné souřadnici x = 0 L x = L 40
Biotovo číslo Biotovo číslo ukazuje poměr vnitřního tepelného odporu (kondukce) a vnějšího tepelného odporu (konvekce). Nízká hodnota Biotova čísla říká, že přenos tepla se děje především vedením (kondukcí), velká hodnota říká, že teplo je přeneseno především konvekcí. Biotovo číslo = vnitřní tepelný odpor vnější tepelný odpor = odpor proti vedení odpor proti přestupu α: koeficient přestupu tepla: intenzita tepelného toku z povrchu do tekutiny λ: tepelná vodivost: intenzita tepelného toku vedením směrem k povrchu Bi L L 1 Bi >> 1 vnější tepelný odpor je velmi malý Bi << 1: vnitřní tepelný odpor je velmi malý: výborná vodivost 0,1<Bi<100: vnitřní i vnější tepelný odpor jsou srovnatelné 41
Numerické řešení Fourierovy rovnice s různými okrajovými podmínkami, q * 0 (Mathematica) 42
čas 43
44
45
46
Přednáška 3 1) Vedení tepla žebrovaným povrchem 2) Tenkovrstvá aproximace 3) Účinnost žeber při vedení tepla 47
Užití: Vedení tepla žebrovaným povrchem topidla, topná tělesa chladiče motorů a kompresorů chladiče u procesorů v počítačích Schematický obrázek Předpoklady H >> L změny ve směru y nejsou podstatné. Materiál žeber je vynikající tepelný vodič změny teploty v základním tělese ve směru osy z jsou zanedbatelné. Žebra jsou od sebe velmi daleko nedochází ke vzájemnému ovlivnění transportu tepla mezi jednotlivými žebry. Systém se nachází v ustáleném stavu a v žebrech není žádný zdroj tepla. 48
Transport tepla lze analyzovat pro každé žebro samostatně. Fourierova rovnice ustálený stav, v žebrech není zdroj tepla Laplaceova rovnice derivace 49
Tenkovrstvá aproximace v žebru Uvažujeme rovnoměrný přenos tepla z žebra do okolního prostředí (např. vzduchu). Žebro je tenké, tj. jeho délka je mnohem větší než tloušťka, tj. L/W>>1. Předpokládáme nízkou hodnotu Biotova čísla Bi << 1 ( přestup << vedení ). Předpokládáme, že je žebro velmi široké a proto ve směru y je teplota konstantní. Potom teplota závisí jen na souřadnicích x a z, tj. T = T(x,z). Vzhledem k symetrii uvažujeme jen polovinu žebra (0 < x < W). Na počátku (t = 0) má žebro všude teplotu T 0. Protože je žebro tenké a z výborného vodiče tepla, předpokládáme ve směru x konstantní teplotu tenkovrstvá aproximace - prototyp redukce 2D systému na 1D. Pak teplota není funkcí hodnoty x (žádná změna teploty ve směru x pro danou hodnotu z). Protože je teplotní pole přibližně 1D, může být lokální hodnota nahrazena průměrnou teplotou (pro danou hodnotu z). T x = W x = 0 T = T 0 Bi << 1 (vedení) T(x, z) x z z = 0 z z = L Problém 4 50
Účinnost žeber = tok tepla z povrchu žebra do okolí při daném rozložení teploty tok tepla z povrchu žebra do okolí při maximální možné hnací síle, tj. při teplotě povrchu žebra všude rovnét 0. Hybná síla přestupu tepla je pak po celém povrchu rovna (T 0 -T ) Zavedení bezrozměrových veličin T T 0 L W z z W T T Problém 4 51
Fourierova rovnice Pouze pro ustálené systémy (směr v ose y) 52
Cvičení: Problém 4 bude řešen během přednášky 53
54
PŘEDNÁŠKA 4 1) ustálené vedení tepla ve vícerozměrných systémech (těleso obdélníkového průřezu), 2) neustálené vedení tepla (vedení tepla membránou/deskou) 55
Ustálené vedení tepla ve dvou a více prostorových dimenzích Fourierova rovnice a 2 2 T 0 T 0 Jeden z nejjednodušších případů představuje velmi dlouhé těleso obdélníkového průřezu (nosník, drát,...), které je náhle vnořeno do prostředí s konstantní teplotou V tělese může docházet k produkci tepla vlivem průchodu elektrického proudu (odporový drát), přeměnou mikrovlnné energie(!) nebo v důsledku chemické reakce (typ trubkového reaktoru). Charakter řešení, tj. teplotního pole T(x, y), závisí na okrajových podmínkách. Jednoduché podmínky představuje např. konstantní teplota T 0 na všech okrajích. 56
Fourierova rovnice + okrajové podmínky okraje Před řešením je vhodné upravit rovnici tak, aby byla okrajová podmínka homogenní. Proto definujeme: T = T T 0 pak okrajová podmínka nabyde tvaru ˆ 0 T na všech okrajích rovnice 57
Analytické řešení lze získat Fourierovou nebo jinou metodou. Metoda FT nebude probírána v základním kurzu a nebude součástí zkoušky. 58
řešení z webu 59
Velmi dobrý zdroj mnoha analytických řešení Fourierovy rovnice 60
Problém 5 bude řešen v COMSOLu 61
Neustálené vedení tepla v prostorově distribuovaném systému Neustálené vedení tepla: teplota v tělese se mění s časem i s polohou. Uvažujeme změny teploty s časem a pozicí v jednorozměrných systémech, jako je velká rovinná deska, dlouhý válec a koule, např. membrána, cihlová zeď. Uvažujeme 1D systém bez zdroje tepla Rozsáhlá deska o tloušťce (dvě souřadnice jsou nezajímavé ) Pro řešení problému jsou potřeba dvě okrajové podmínky a jedna počáteční podmínka. 62
Uvažujeme, že na počátku je všude uvnitř desky teplota T 0 V čase t > 0, zvýšíme teplotu na levém okraji na hodnotu T 1. Na pravém okraji budeme udržovat teplotu T 0. Řešením Fourierovy rovnice získáme teplotu jako funkci času a souřadnice x. Studenti by již nyní měli umět zodpovědět otázky: 1) Jaký teplotní profil se v desce ustálí? 2) Jaký je řádový odhad doby potřebné k ustálení teplotního profilu. 63
Nyní rovnice převedeme do bezrozměrové podoby a: teplotní vodivost [m 2 s -1 ] In[ ]:= t 0.001; Plot Evaluate Table Activate u t, x, M, 1, 2, 5, 10, 100, x, 0, 1, PlotRange All, Frame True, ImageSize 700, GridLines Automatic počáteční podmínka okrajové podmínky Out[ ]= Analytické řešení problému lze nalézt například Fourierovou metodou: 64
65
PŘEDNÁŠKA 5 1) současné sdílení tepla vedením a prouděním 2) odvození Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice pro obecný bilanční objem 3) Pécletovo kritérium 4) Problém 7 formulace rovnic 66
Proudění Když je proudící tekutina (plyn nebo kapalina) lokálně zahřívána, pak odnáší teplo od jeho zdroje do okolí. Teplo je transportováno společně s tekutinou. Tekutina nad horkým pevným povrchem se roztahuje, tím klesá její hustota a pohybuje se směrem vzhůru působením vztlakových sil. Když teplejší tekutina proudí vzhůru, na její místo se nasává tekutina studenější, tj. s tekutina vyšší hustotou. Tím je vyvolán konvekční tok, který přenáší energii. Jedná se o teplo přenášené makroskopickým pohybem tekutiny částicemi kontinua (rozdíl od vedení tepla, kde se uplatňují mikroskopické částice). 67
Sdílení tepla konvekcí Předpokládáme, že tok látky ( V ) nastává ve směru kolmém k ploše A. Z první termodynamické věty platí pro izobarický systém (konstantní tlak), ve kterém se koná pouze objemová práce, že změna entalpie systému se rovná množství tepla vyměněnému mezi systémem a okolím. dq = dh dq dt = dh dt Každá hmotnost obsahuje teplo Q. Obvykle se tok tepla rovná toku entalpie (Q = H ). [W] h měrná entalpie [J/kg] <c p > střední tepelná kapacita [J/kg/K] Budeme předpokládat, že c p je konstantní (tj., že c p není funkcí teploty v rozmezí teplot od T ref do T) 68
Intenzita konvektivního toku tepla plochou A je tedy v rychlost konvektivního toku [m/s] Intenzita konvektivního toku tepla je orientována v prostoru (orientace je dána vektorem rychlosti): 69
Sdílení tepla probíhá většinou současně prouděním i vedením. Celková intenzita toku tepla q je dána součtem intenzit toku tepla vedením q v a prouděním q k : celková intenzita: složka ve směru x: 70
Neustálené sdílení tepla vedením a konvekcí v prostorově 1D systému Budeme bilancovat enthalpii v kontrolním objemu V: objemový zdroj tepla VSTUP + ZDROJ = VÝSTUP + AKUMULACE 71
Použijeme rovnici kontinuity a předpokládáme nestlačitelnou tekutinu, 3D-system 1D-system Pro nestlačitelné tekutiny platí, že hustota zůstává konstantní v celém objemu tekutiny, ta se pohybuje rychlostí konvekčního toku divergence rychlosti toku je proto nulová. Z toho vyplývá, že rychlost v x je v prostorově 1D systému konstantní. Pokud se mění průřez systému podél osy x, mění se také rychlost toku v x. Ale tím by se systém stal 2D systémem! Fourierova-Kirchhoffova rovnice v 1D systému 72
Odvození Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice pro obecný bilanční objem V kontrolní objem S plocha ohraničující kontrolní objem Tepelný tok Q prochází hranicí systému. Tepelný tok ploškou ds je tedy: q n ds q n je normálová složka vektoru q VSTUP - VÝSTUP + ZDROJ = AKUMULACE součet toků přes všechny hranice součet zdrojů v celém objemu akumulace tepla v celém systému 73
hmotnost objemu dv součet tepla akumulovaného v celém objemu Bilanční rovnice pak je - Pokud objem elementu nezávisí na čase, lze v akumulačním členu přehodit pořadí integrace a derivace: 74
skalární součin je distributivní obě veličiny (v, T) závisí na prostorových souřadnicích platí: f skalární funkce a vektorová funkce Důkaz provedou studenti za domácí úkol. - Rovnice kontinuity platí pro nestlačitelnou tekutinu. 75
operátor materiálové derivace Materiálová derivace vyjadřuje rychlost změny určité fyzikální veličiny v pohybujícím se systému, který je vystaven změnám pole této fyzikální veličiny v čase a prostoru. Fourierova-Kirchhoffova rovnice V kartézských souřadnicích lze F-K rovnici zapsat ve tvaru: 76
Transformace Fourierovy-Kirchhoffovy (FK) rovnice do bezrozměrového tvaru nechť konvektivní čas Pe Pécletovo číslo nechť q - bezrozměrný objemový zdroj tepla 77
Pe t v 2 * q Fourierova-Kirchhoffova rovnice Fyzikální význam Pécletova čísla Rychlost sdílení tepla konvekcí (rychlost proudění) Rychlost sdílení tepla vedením (rychlost vedení) v 0 = u x 0 = L Pokud se a/x 0 blíží 0: Pe číslo se blíží nekonečnu: převládá sdílení tepla prouděním (konvekcí). Pokud se v 0 blíží k 0, Pe číslo se blíží 0. Tekutina se téměř nepohybuje: převládá sdílení tepla vedením. vodivostní čas: vodivostní rychlost: 78
Problém 6 bude řešen na cvičení Problém 7 bude řešen na přednášce Problém 7: Nekonečně dlouhý pás pevné látky se postupně posouvá třemi zónami s rozdílnými teplotními režimy. V obou okrajových částech je pás shora i zdola tepelně izolován. Ve střední části přijímá horní povrch pásu tepelný tok s hustotou q 0 a spodní povrch pásu je tepelně izolovaný. Tloušťka pásu je L a délka střední zóny se rovná K. Předpokládejte, že pás v první zóně, ve značné vzdálenosti od druhé zóny, má teplotu T i. Ve třetí zóně, daleko od rozhraní s druhou zónou, se již teplota nemění. Zjistěte, jaký vliv má hodnota Pécletova kritéria na ustálený teplotní profil v pásu. Neuvažujte žádný vnitřní zdroj tepla. ZÓNA I ZÓNA II ZÓNA III q 0 izolace pás izolace x - y=l T I L T II T III y=0 v x x=0 x=k x + y x 79
1 T I y L T i T I y ZÓNA I 0 T I ZÓNA II TII TII TIII 2 qi, x qii, x qii, x qiii, x 3 T q II 0 y v x 4 5 y T III 0 ZÓNA III x T III 0 y 6 x okrajové podmínky y 0 x T I T 0 x 0 II 0 x K y y y T III 0 x 2 2 T j Tj T j vx a, j I, II, III 2 2 x x y Fourierova-Kirchhofova rovnice popisuje ustálené sdílení tepla ve všech třech zónách, proudění (posun pásu) nastává pouze ve směru x Pokud platí, že K L a Bi 1, lze aplikovat tenkovrstvou aproximaci a zjednodušit dvourozměrný problém na jednorozměrný. Obdržíme tak diferenciální rovnice: d 2 T dx j 2 v dt x j 0, j I, III a dx tyto rovnice, spolu s okrajovými podmínkami 1 6, převedeme obvyklým způsobem do bezrozměrového tvaru (po zavedení bezrozměrových proměnných): 2 d Tj v dt q 2 dx a dx L x j 0, j II j T j T T 0 i, j { I, II, III} x x L 80
definujeme teplotu T 0 a zavedeme Pécletovo kritérium Pe T 0 ql v L a 0 x Pe Obdržíme tak 3 diferenciální rovnice: 2 d I d I Pe 0 2 dx dx 2 d dx 2 d dx II 2 III 2 d II Pe 1 dx d III Pe 0 dx pro zónu I pro zónu II pro zónu III a 6 okrajových podmínek: x : I 0 x 0: I II x K L : II III x : d dx III 0 x 0: d I dx d II dx K d II d x : L dx dx III 81
Řešení s pomocí programu Mathematica: řešení ODR pro zóny I a III řešení ODR pro zónu II I ( x) II ( x) řešení pro všechny tři zóny III ( x) hodnoty konstant C1, C2, C3, C4, C5 a C6 určíme z okrajových podmínek 82
1 e 2 1 e x, Pe P I x e x Pe II x 1 x 1 e Pe x, 0 x 2 2 Pe Pe Pe III x, x Pe úplný teplotní profil v pásu je popsán výše uvedenými funkcemi I II III Pe 83
PŘEDNÁŠKA 6 84
Přestup tepla kombinace transportu tepla současným vedením a prouděním velmi častá/obvyklá situace Typické případy: - transport tepla mezi teplosměnnou plochou a tekutinou ve výměnících tepla - obtékání těles (např. při sušení materiálů) - volná konvekce (vlivem rozdílných hustot tekutin vyvolaných změnami teploty), např. ohřev plynů v blízkosti topných těles konstantní tepelný tok Typické rozložení teploty při přestupu tepla mezi tekutinou a stěnou 85
Podíl vedení na celkovém transportu tepla vzrůstá směrem ke stěně, protože u stěny se rychlost proudění blíží 0, Protože ve vrstvě, která se nachází těsně u stěny je rychlost proudění nulová, teplo se u fázového rozhraní přenáší pouze vedením, V ustáleném stavu musí být tok tepla vrstvou, která je nejblíže u stěny, roven toku tepla přes celou tepelnou podvrstvu. Proto platí: Newtonův ochlazovací zákon tepelná vodivost tekutiny Wm -1 K -1 součinitel přestupu tepla Wm -2 K -1 86
Převedení rovnice do bezrozměrového tvaru: charakteristický rozměr, např., průměr potrubí Po úpravě: Nu: udává, kolikrát je tepelný tok při sdílení tepla přestupem, tj. současným vedením a konvekcí, vyšší než v nehybné tekutině, kde probíhá sdílení tepla pouze vedením 87
Pro nehybnou tekutinu platí: Nusseltovo kritérium závisí na režimu toku tekutiny, vlastnostech tekutiny a geometrickém uspořádání systému geometrické simplexy režim proudění Reynoldsovo kritérium (podíl inerciálních a viskózních sil) vlastnosti tekutiny Prandtlovo kritérium (poměr kinematické viskozity a teplotní vodivosti) v kinematická viskozita [m 2 s -1 ] 88
V některých případech lze zapsat závislost Nusseltova kritéria na podmínkách přestupu ve tvaru: Pro výpočet součinitele přestupu tepla je potřeba nalézt v literatuře vhodnou korelaci pro výpočet Nusseltova kritéria. Tyto korelace lze získat: - řešením Fourierovy-Kirchhoffovy rovnice a případně dalších transportních rovnic - empiricky/pokusně 89
Hodnota Nusseltova kritéria závisí na poloze na obtékaném povrchu, Například při obtékání těles má na každém místě povrchu Nusseltovo kritérium jinou hodnotu, protože se s polohou mění hodnota normálové derivace teploty směrem k povrchu. 90
Je vhodné definovat průměrnou hodnotu Nusseltova kritéria přes celý povrch obtékaného objektu: kde skalární součin vyjadřuje hodnotu derivace teploty ve směru normálového vektoru, tedy vektoru kolmého k povrchu tělesa. Vztah pro výpočet průměrné hodnoty Nusseltova kritéria lze v literatuře nalézt v mnoha podobách, často ve tvarech: Dittus-Boelter: Sieder-Tate: 91
Kvalitativní chování Nusseltova kritéria při laminárním proudění v omezeném prostoru - systémy tvořené trubkami (výměníky tepla ) - proudění mezi deskami (výměníky tepla ) - stékající kapalné filmy (kondenzace, zkrápění ) Uvažujme vodorovné potrubí s radiální souřadnicí r a axiální souřadnicí z a laminární tok u tekutiny v tomto potrubí ve směru osy z. Tekutina má na vstupu teplotu T 0 a stěna trubky má konstantní teplotu T W viz náčrtek: Jádro tekutiny (šrafovaná oblast) zůstává do určité vzdálenosti od vstupu neprohřáté (T = T 0 ), protože není dosud ovlivněno tokem tepla ze stěn potrubí. Jde o tzv. vstupní oblast. Když teplo projde i do střední části, je celý objem tekutiny ohřát (či ochlazen). V trubce se tak ustaví tzv. teplotně vyvinutá oblast. 92
Kvalitativní charakter teplotního pole hodnota podél souřadnice z klesá hodnota T W - T 0 zůstává v celé vstupní oblasti konstantní hodnota Nu ve vstupní oblasti klesá podél osy z 93
vstupní oblast teplotně vyvinutá oblast Nu je nejvyšší na vstupu do trubky (z = 0) a klesá podél osy z Nu(z) se pro malé hodnoty z chová jako nepřímá úměra, proto je závislost v logaritmických souřadnicích lineární. Pro dlouhé trubky nebo filmy se Nu blíží konstantě, přestože teplota může stále záviset na z. Poloha, kde se Nu stává konstantní je na rozhraní vstupní oblasti a teplotně vyvinuté oblasti. 94
GRAETZŮV PROBLÉM Ustálený transport tepla při ustáleném laminárním proudění v trubce bez zdroje tepla Fourierova-Kirchhoffova (FK) rovnice řešení Navierovy-Stokesovy rovnice pro laminární proudění nestlačitelné tekutiny v trubce kruhového průřezu, tzv. Poiseuilleův tok U je střední rychlost proudění. 95
F-K rovnice v cylindrických souřadnicích v r = 0 při laminárním proudění se tekutina pohybuje pouze ve směru z Předpoklad: Pe >> 1 ve směru z Dominuje konvekce, zanedbáme vedení tepla v podélném směru 3 okrajové podmínky: teplota na vstupu do potrubí symetrie vůči podélné ose teplota stěny potrubí Zavedeme bezrozměrové proměnné: U je maximální rychlost tekutiny v ose trubky R je poloměr trubky tento případ se nazývá Graetzův problém 96
Poznámky: a) zvláštností je, že Pe bylo použito v definici bezrozměrné axiální souřadnice, b) Pe je definováno s užitím průměrné rychlosti a průměru potrubí, což je však u trubek s kruhovým průřezem obvyklé. 97
viz. definice Pe převedení okrajových podmínek na bezrozměrové tvary: r 1 98
Řešení Graetzova problému je dosti komplikované, proto bude určeno numericky na cvičeních. Hlavním závěrem Graetzova analytického řešení je zjištění, že hodnota Nu v teplotně vyvinuté oblasti je již konstantní. Konkrétně v trubce kruhového průřezu je pro (při laminárním proudění). Asymptotické (přibližné) řešení, které umožňuje nalézt hodnotu Nu ve vstupní oblasti uvádíme zde: 99
Bude provedena substituce 1 r středu potrubí nabývala hodnoty 1: tak, aby radiální souřadná osa měla počátek na stěně trubky a ve =-1 A B C Okrajové podmínky: 100
Ve vzdálenosti od vstupu do trubky přestoupilo teplo na vzdálenost od stěny. Derivace nahradíme diferencemi a učiníme odhad velikosti jednotlivých členů rovnice. A Protože jde jenom o řádový odhad, koeficient 2 zanedbáme B C 101
Nyní budou všechny tři výsledné členy dosazeny do původní rovnice: x δ malé δ y 1 δ 2 1 δ 1 δ 2 Protože je malé, platí: 102
Příklad: Vypočtěme Nusseltovo kritérium: Přesný vztah pro hodnotu Nu pro dané okrajové podmínky a geometrii má tvar: Odhad délky vstupní oblasti:, kde L T vzdálenost od vstupu do potrubí, kdy Nu dosáhne konstantní hodnoty. 103
Výsledky numerického řešení Graetzova problému Pe = 2,5 Podélné teplotní profily pro různé hodnoty r Radiální teplotní profily pro různé hodnoty z Pe Teplotní pole v trubce pro Pe = 2,5 z 104
PŘEDNÁŠKA 7 105
Mezní vrstvy při laminárním obtékání pevných povrchů ( x) 4.92 u x Re x Re x x Vývoj hydrodynamické/rychlostní mezní vrstvy při laminárním obtékání rovinné desky s ostrou náběžnou hranou C f s 1 2 2 u u s y y=0 ( x ( x) ) t t 1 Pr 3 Vývoj teplotní mezní vrstvy při laminárním obtékání rovinné desky s ostrou náběžnou hranou T y T s T y 0
Mezní vrstva při turbulentním obtékání pevných povrchů
Vznik a vývoj mezní vrstvy při toku tekutiny podél rovinné desky s ostrou nátokovou hranou
OBTÉKÁNÍ TĚLESA PŘI LAMINÁRNÍM PROUDĚNÍ & PŘENOS TEPLA - Obtékání objektu chceme určit koeficient přestupu tepla α - Přestup tepla mezi tekutinou a povrchem objektu je závislý na režimu proudění tekutiny a orientaci objektu vůči proudu - Rychlostní pole uvažujeme 2D nebo 3D - když je Pe 1, vyvine se teplotní podvrstva: teplota se významně mění ve směru normály k povrchu tělesa - ve větší vzdálenosti od povrchu je teplota konstantní Rychlostní profil a přenos tepla při obtékání koule - Rychlost je závislá na souřadnicích r, α - Symetrie profilu rychlosti vůči souřadnici ϕ - Rychlost U se skládá ze dvou složek - Tok je popsán Navierovou-Stokesovou rovnicí poloměr Potřebujeme znát rychlostní pole v tekutině ve sférických souřadnicích Rozklad na složky střední rychlosti U střední rychlost daleko od koule 109
- FK rovnice v ustáleném stavu bez zdroje tepla: - FK rovnice ve sférických souřadnicích: - Okrajové podmínky pro teploty: - Vztahy pro škálování: úhel α zatím neškálován R R 2 R (R/a) Pe = (UR)/a 110
PŘESTUP TEPLA PŘI STOKESOVĚ TOKU plíživé/plouživé obtékání koule - inerciální síly jsou velmi malé vůči silám viskózním, Re 0: Pe 1 1 - pokud Pe 0 má konvekce zanedbatelný vliv na transport tepla, - transport tepla je realizován především vedením, - zjednodušený tvar FK rovnice: - Protože je konvekce zanedbatelná, tok nedeformuje teplotní pole okolo koule pole je symetrické vůči souřadnici α - další zjednodušení: Řešení: 111
- Nu kritérium pro kouli se symetrickým teplotním profilem: - pro: Nu = 1 - nebo: Nu = 2 Přestup tepla při plíživém toku (Re 0) pro případ: Pe 1 (vysoká viskozita, nízká vodivost) Tedy: ν: kinematická viskozita [m 2 s -1 ] a: teplotní vodivost [m 2 s -1 ] Kapalina s vysokou viskozitou rychlostní profil je vyvinut do velké vzdálenosti od koule Nízká teplotní vodivost teplota se mění pouze blízko u povrchu = teplotní podvrstva Teplotní a tepelná vodivost jsou na sobě lineárně závislé. 112
ač je Pe 1, vedení tepla nelze zanedbat vedení tepla je jediný mechanismus přenosu tepla z povrchu koule do tekutiny na povrchu koule je U = 0 (mechanismus tepelné radiace bude diskutován později) Rychlostní pole a teplotní podvrstva - Dvě části řešení FKr: vnitřní (INNER) a vnější (OUTER) 1) VNĚJŠÍ řešení - popisuje rozložení teploty jen mimo teplotní podvrstvu - nemá význam pro výpočet Nu kritéria - FKr bez členů pro vedení tepla + použití OP teplota nezávisí na úhlu α Vnější řešení je: 113
2) VNITŘNÍ řešení - popisuje rozložení teplot pouze v podvrstvě - je nutné pro výpočet Nusseltova kritéria - oba typy přenosu vedení i proudění - škálování velikost všech veličin řádově 1 - FK rovnice: - teplota, rychlosti v R, v α 1 114
A) Škálování α (0-π) (0, 180) x Levá strana FK rovnice Pravá strana FK rovnice /vyděleno Pe kritériem FK rovnice 115
-Nyní bude přeškálována radiální souřadnice ξ z intervalu 1, 1+x na interval 0,1, kde x je tloušťka podvrstvy nová radiální souřadnice Y 0,1 Když ξ = 1 Y = 0 - s rostoucí hodnotou Pe se tloušťka podvrstvy snižuje: rychlost šíření tepla vedením je velmi nízká proti rychlosti šíření tepla prouděním, proto Y závisí na Pe - b je neznámá konstanta. Musí být kladná, aby nové radiální hodnoty byly z intervalu 0,1
B) Škálování ξ (1;1+tloušťka podvrstvy) - Nové souřadnice Y - ξ = 1, Y = 0 - S rostoucím Pe, se snižuje tloušťka podvrstvy: rychlost šíření tepla vedením je velmi malá v porovnání s konvekcí - konstanta b je kladná Porovnání velikosti jednotlivých členů FK rovnice 1. člen velikost ~ 1 1+x-1 x=y/pe b Pe -b První člen má velikost size řádově 118
Porovnání velikosti jednotlivých členů FK rovnice 2. člen Pe -b V teplotní podvrstvě je ξ blízké 1, proto je x blízké 0 x 2 << x 3. člen Pe -b Pe b-1 121
Porovnání velikosti jednotlivých členů FK rovnice 4. člen Pe 2b-1 5. člen Pe -1 Všechny členy Pe 1, b > 0 na obou stranách rovnice použijeme jen největší členy Pe -b = Pe 2b-1 -b = 2b-1 b = 1/3 122
- Lokální hodnota Nu kritéria, která je funkcí α: Nu( ) Y Y K Pe 1/3 - K je funkcí tvaru objektu a polohy: Nu( ) K( ) Pe 1/3 - Střední hodnota Nu kritéria přes celý povrch: 1 1/3 Nu K Pe da K Pe A - Pro kouli (Pe 1), charakteristický rozměr je její poloměr: A 1/3 Nu 1, 249Pe 1/3 123
Transport tepla v laminární podvrstvě: Re 1, Pe 1 - Pokud Re 1, Pe 1 existuje teplotní i rychlostní podvrstva; jejich tloušťky mohou být rozdílné Pe Re Pr Pr a Pr 1 v 0, a 1/2 1/2 Nu k Pr Re Pr 1 v, a 0 1/3 1/2 Nu k Pr Re Pr 1, v a T v 124
Nu kritérium při laminárním obtékání Závislost Nu na Re a Pr má vždy tvar: Platí, že Pe 1. Nu = k Re a Pr b Stokesovo plíživé obtékání pevného tělesa (malé částice, aerosoly ) Laminární obtékání pevného tělesa Laminární obtékání pevného tělesa Obtékání jedné tekutiny jinou (emulze, bubliny ) libovolné 125
Vybraná ilustrativní videa Volná konvekce: Mezní vrstva: Kapky: Laminární proudění: Přechodové proudění: Turbulentní proudění:
Projekt: Vyjděte ze specifikace příkladu P10 a řešte stejným způsobem problém sdílení tepla při obtékání tělesa, které má vámi zvolený nekruhový průřez, např.: Délka obtékané hrany musí být rovna 1!
PŘEDNÁŠKA 8 129
Sdílení tepla při volném (přirozeném) proudění - Změna teploty tekutiny způsobuje změnu její hustoty (teplotní roztažnost) ovlivňuje i rozložení rychlosti a tlaku - FK rovnici + NS rovnice + rovnici kontinuity nutno řešit současně - Bilance hybnosti je vyjádřena NS rovnicí: - ρ = ρ(t), η = η(t) - Teplota ovlivňuje 3 členy NS rovnice! - Zavedeme dynamický tlak (při referenční teplotě T 0 a hustotě ρ 0 ) odečtením hydrostatické složky: - Po dosazení dynamického tlaku do NS rovnice: P = p ϱ 0 g z P = p ϱ 0 g hybná síla volné konvekce Inerciální člen Viskózní člen 130
- Předpoklady: hustota tekutiny závisí pouze na teplotě, nezávisí na koncentracích složek - Pak je možno použít Boussinesquovu aproximaci (má 2 části): 1) Protože hustota se mění lineárně v okolí ref. teploty T 0, lze použít Taylorův rozvoj: Definice teplotní roztažnosti (koeficient roztažnosti tekutin) b: Spojením s Taylorovým rozvojem získáme rovnici: ρ ρ 0 = β ρ (T-T 0 ) Pak je zkombinována s NS rovnicí a vydělena hustotou: kinematická viskozita 131
2) V okolí referenčního stavu je dostatečně malá změna hustoty: ρ(t) ρ(t 0 ). Změna hustoty je dostatečně malá, když : Potom: nebo nebo Charakteristické vlastnosti jsou konstanty: a, 0, 0 Teplotní objemová roztažnost pro ideální plyn je: 132
Volné proudění podél nekonečné vertikální stěny konstantní teplota stěny - Tok tepla ovlivňuje teplotu a tedy i hustotu změna profilů rychlosti a tlaku - FK rov. + NS rov. + rov. kontinuity výpočet polí rychlosti, tlaku a teploty prohřívání tekutiny Ustálený stav bez zdroje tepla: tok tekutiny směrem vzhůru rov. kontinuity 133
- Hodnoty charakteristických veličin jsou v rozsahu 0,1 : Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny T 0 referenční teplota, ΔT maximální teplotní rozdíl U b charakteristická rychlost volné konvekce (zatím neznámá) L charakteristická délka (často neznámá) - Volná konvekce: V NS bývají stejně velké členy inerciální, tlakové a volné konvekce. Viskózní část NS je zanedbatelná. Daleko od stěny musí být nastaveno 134
Převedení NS rovnice do bezrozměrového tvaru: - Pro volnou konvekci mají všechny čtyři členy řádově stejné hodnoty - Pak: - Viskózní člen NS rovnice je vynásoben - Reynoldsovo kritérium: Grashoffovo kritérium
NS rovnice s Grashoffovým kritériem: Analogicky je získána bezrozměrová rovnice pro v y : Rovnice kontinuity:
FK rovnice: Pécletovo kritérium pro volnou konvekci - Při popisu sdílení tepla volnou konvekcí se občas používá Rayleighovo číslo: - Cílem výpočtů je Nusseltovo kritérium: geometrické simplexy, poloha geometrické simplexy destabilizující síla (volná konvekce) stabilizující síla (viskózní síly)
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 - Pro tvoří se rychlostní podvrstva (podobně jako při laminárním obtékání pevných těles) stěna okrajová vrstva jádro 1) VNITŘNÍ řešení: v okrajové vrstvě. - členy volné konvekce + viskózní + inerciální NS rovnice jsou řádově stejné 2) VNĚJŠÍ řešení: jádro. - členy volné konvekce + inerciální NS rovnice jsou řádově stejné - viskózní člen NS rovnice je zanedbatelný VNITŘNÍ řešení je potřeba pro výpočet Nu: Zjednodušení snížení počtu rovnic
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 1) Druhé derivace ve směru x 0 blízko desky. stěna velmi tenká rychlostní podvrstva jádro 2) V podvrstvě: ve směru y se tlak nemění. 1)+2) Podobná aproximace pro tok mezi dvěma nekonečnými deskami. - Víme, že tlak P = P(x) = vložený tlak Δp známe, nemusíme vypočítat jsou potřeba 3 rovnice pro : NS, FK, rovnice kontinuity * Je obtížné prokázat zjednodušení 1), 2) zmíněné dříve. Obecně platí, že lze snížit počet o jednu rovnici: P = P(x).
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 - Výsledné rovnice: y Pro 1 je nutné přeškálovat souřadnici y a rychlost v y (Gr nemůže dosáhnout nekonečna)
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 je nutné přeškálovat souřadnici y a rychlost v y (Gr nemůže dosáhnout nekonečna): Pro eliminaci Gr všechny členy rovnice nyní mají podobné rozsahy (přibližně stejné magnitudy)
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 Na vlastnosti podvrstvy má také vliv Pr kritérium: tenká rychlostní podvrstva (nízká viskozita) široká teplotní podvrstva (dobrá tepelná vodivost) široká rychlostní podvrstva (velká viskozita) tenká teplotní podvrstva(špatná tepelná vodivost) Jaké jsou hodnoty jednotlivých členů všech použitých rovnic? Pro mezní hodnoty Pr kritéria: Pr 0 Pr - Tloušťka tepelné podvrstvy je ovlivněna Pr, ale měla by zůstat v intervalu od 0 do 1 a) Bezrozměrná souřadnice Y: neznámá mocnina b) Přeškálovaná rychlost (aby v teplotní podvrstvě rychlost zůstala v rozsahu od 0 do 1):
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1 rychlostní podvrstva (důležité členy): 1) viskózní 2) inerciální 3) volná konvekce vně rychlostní podvrstvy: 1) inerciální 2) volná konvekce viskózní člen je zanedbatelný Přeškálované rovnice: Proto: NS rovnice Teplotní a rychlostní podvrstvy u nekonečné stěny. v teplotní podvrstvě
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1
Volná konvekce podél nekonečné vertikální stěny: Gr 1/2 1
Cvičení 2 stěny/1 stěna
Přednáška 9 147
Transport tepla při turbulenci v omezeném prostoru - Charakter proudění popisuje velikost Reynoldsova čísla: Re = F inerciální F viskózní 1) Re < Re c : laminární proudění (trubka kruhového průřezu Re c 2 300) 2) Re > Re c : přechodové proudění = střídá se laminární a turbulentní proudění 3) Re Re c : stále turbulentní proudění Charakterizace turbulentního toku: - Fluctuation of velocity, temperature and other parameters - Time dependent 3D (always) flow - Swirling of fluid increases mass and heat transfer - Pressure drop is increasing Velocity and pressure at a point fluctuate with time in a random manner Fanning friction coefficient: ratio between the local shear stress and the local flow kinetic energy density - Describes dimensionless pressure drop - NS equation: dynamický tlak inerciální člen tlakový člen viskózní člen 148
- Inerciální síly viskózní síly (Re 1) levá a pravá strana NS rovnice jsou stejné inerciální část tlaková část Přeškálování/bezrozměrný vztah: inerciální člen tlakový člen průměrná rychlost proudění průměr potrubí délka potrubí pokles tlaku na délku potrubí L Fanningův frikční koeficient: - bezrozměrná tlaková ztráta Darcyův frikční koeficient (chemické inženýrství I, II): (součinitel tření) kde: v x = v x U ρ v y v x y p x x = x L v y = v y U y = y D p = p p ρ U v y U D v x y p p p x p x v x y v y 1 = L p D L ρ U 2 = 2 f zanedbatelné v centru, blízko u stěny 149
Pressure drop in tube: kruhový průřez (laminární tok): turbulentní tok: Kármána-Nikuradseho: Blassiova rovnice: nebo empicický vztah emprici laminární oblast (směrnice -1) Kármán-Nikuradse nárůst tlakové ztráty při turbulenci Blassiova rovnice směrnice Závislost frikčního koeficientu f na Re kritériu. 150
Časová fluktuace teploty na pozici x, y, z: - Průměrná teplota <T> je integrální teplota - Integrace v intervalu od 0 do t a : t f < t a < t s Reynoldsovo zprůměrnění Fluktuace teploty ve dvou časových měřítkách - Teplora v čase t je součet průměrné teploty a teplotní fluktuace: T = <T> + - Průměrná rychlost má podobný výraz: v = v + U průměrná rychlost v intervalu t a vektor rychlostní fluktuace v čase t 151
Vlastnosti průměrných veličin (T = <T> + ): 1) Průměrná hodnota fluktuace v intervalu t a je rovná nule: < > = 0 2) MNČ (metoda nejmenších čtverců) fluktuace = ukazatel kvality fluktuace: 3) Další zprůměrnění již zprůměrněné veličiny nemá vliv na tuto veličinu: intenzita fluktuace na základě definice: 4) Pořadí zprůměrnění a derivování lze zaměnit: zprůměrnění Pro zjednodušení prostorové souřadnice pouze x a y 152
A) Zprůměrnění rovnice kontinuity: Zprůměrněná rovnice kontinuity Další vlastnost: B) Zprůměrnění FK rovnice bez zdroje: Divergence vektoru fluktuací= 0 Každá část byla individuálně zprůměrována: Pro zjednodušení problému jen ve 2D: Další snímek 153
B) Zprůměrnění FK rovnice bez zdroje: průměrná hodnota fluktuace = 0 Pak, FK: Fourierův zákon zprůměrněná intenzita toku tepla vedením 154
Tok hybnosti
B) Zprůměrnění FK rovnice bez zdroje: Nyní bude zkoumán součin: Definice toku tepelné energie turbulencí: Zrychlené vedení tepla turbulentním prouděním Konečný tvar zprůměrněné hodnoty FK rovnice: Popisuje fluktuace odhadovaná z průměrných hodnot 156
Difúzní model Konstitutivní rovnice pro intenzitu toku tepla turbulencí stěna souřadnice Turbulentní víry u stěny + přenos tepla. Konstitutivní rovnice: teplo je přenášeno turbulentními víry - Turbulentní víry přenáší teplo z oblasti s vyšší teplotou do oblasti s nižší teplotou. - Přenos tepla turbulencí = zrychlené vedení tepla tok tepla je úměrný zápornému gradientu zprůměrněné teploty. - Teplo i hybnost jsou přenášeny stejným vírem - ε H není konstantní závisí na vzdálenosti od stěny - Blízko stěny: ε H 0 (žádný vír) - Obvykle: ε M 0,85*ε H Difúzní model ε H - difuzivita teplotních vírů [m 2 s -1 ] ε H ε M (difuzivita teplotních vírů je téměř stejná jako difuzivita vírů hybnosti) 157
Konstitutivní rovnice pro intenzitu toku tepla turbulencí Jak zjistit turbulentní difuzivity vírů? souřadnice teplo je přenášeno turbulentními víry Prandtlova metoda: Difuzivita hybnosti: stěna Turbulentní víry u stěny + přenos tepla. Difuzivita tepelného víru: Normálová (kolmá) derivace rychlosti souvisí s povrchem trubky Konstitutivní rovnice: vedení q C = λ T q T = f( T, v ) q T q turbulence - ε M /ε H = 0,85 - Nejdřív spočítáme ε M pak ε H - l - velikost míchaného objemu - l = κ*y (y je kolmá vzdálenost od trubky) ε H difuzivita teplotních vírů [m 2 s -1 ] - Obvykle κ 0,4 ε H ε M (difuzivita teplotních vírů je téměř stejná jako difuzivita vírů hybnosti) 158
Nu kritérium pro turbulentní tok v potrubí: - Korelace z údajů tabulky (vlastnosti toku, typ tekutiny, geometrie) Rovnice platí pro: & Blassiova rovnice Colburnova rovnice: & Rovnice Bhattiho a Shaha: Rovnice platí pro: přesnost: 159
Přednáška 10 161
SDÍLENÍ TEPLA PŘI VARU - Při varu dochází k fázovému přechodu kapalina-pára výrazná změna tepelných a tokových vlastností: - změna hustoty typicky o 3 řády (1 000 kg/m 3 1 kg/m 3 ) - změna hustoty způsobuje proudění kapalné i plynné/parní fáze (obdobně jako při volné konvekci) - koeficient přestupu tepla nabývá vyšších hodnot (v porovnání s volnou konvekcí), příčinou je vyšší rozdíl hustot kapaliny a páry turbulence a dále intenzivní promíchávání vyvolané parními bublinami Křivka varu: popisuje závislost intenzity toku tepla mezi (zahřívanou/vroucí) kapalnou fází a topnou plochou na teplotním rozdílu mezi nimi teplotní rozdíl (přehřátí) ΔT e = T s - T b teplota topné plochy teplota bodu varu (závisí na tlaku) 162
Hustota tepelného toku Lze rozlišit 4 fáze ohřívání a varu kapaliny: Fáze varu závisí na rozdílu teplot mezi topnou deskou a vroucí kapalinou. S. Nukiyama, Maximum and minimum values of heat q transmitted from metal to boiling water under atmospheric pressure. J. Soc. Mech. Eng. Jpn. 37 (1934) 53-54, 367-374 163
K dalšímu čtení:
Jednotlivé fáze procesu varu (ΔT e > 0) : 1) volná konvekce (ΔT e 0) - kapalina se u topné plochy ohřívá - kapalina proudí a víří kvůli změně hustoty chladnější tekutina se dostává do blízkosti topné desky - v této fázi ještě nedochází ke vzniku plynné fáze - teplota kapaliny roste - Nu kritérium? lze užít korelace pro volnou konvekci: α 10 3 Wm -2 K -1 2) bublinový/nukleační var (ΔT e > 0) - je-li teplotní rozdíl dostatečně vysoký, začnou se na topné ploše tvořit parní bublinky - bublinky se tvoří na tzv. nukleačních místech rostou uvolňují se a stoupají - charakter bublinového varu závisí na velikosti ΔT e - intenzivnější tok/víření způsobuje lepší přenos tepla součinitel α výrazně roste s rostoucím ΔT e žádoucí ve výměnících tepla 166
topná plocha 3) přechodový var (ΔT e 0) - vysoké přehřátí topná plocha je nakonec zcela pokryta bublinkami chladnější kapalina s ní nemá kontakt - tepelná vodivost páry je mnohem nižší než vodivost kapaliny - nastává tzv. krize varu může dojít k poškození (propálení či roztavení) topné plochy, resp. výměníku, protože zahřívaná plocha/stěna není dostatečně ochlazována ΔT e 10 2 K α klesá z 10 4 na 10 2 Wm -2 K -1 167
4) blánový var (ΔT e > ΔT krit ) - celý povrch desky je pokryt párou - parní blána se odtrhává od desky v jeden okamžik chladná kapalina se opět dostane do kontaktu s topnou plochou a vytváří se nová parní blána - součinitel přestupu tepla nabývá nejnižší hodnoty v tzv. Leidenfrostově bodě (α 10 2 Wm -2 K -1 ) - s rostoucím rozdílem teplot se zvyšuje součinitel přestupu (vliv radiace) - blánový var je obecně nežádoucí vytváření bublin u topné plochy (bublinový var) 168
tepelný tok Závislost součinitele přestupu tepla na přehřátí ΔT e při varu: - při bublinovém varu Rohsenowa korelace: veličiny dosazované při teplotě varu/kondenzace rozdíl teplot = přehřátí G. Nellis, S. Klein, Heat transfer, Cambridge University Press (2009), 782 dynamická viskozita kapaliny hustota kapaliny hustota páry mezifázové napětí kapalina-pára měrná tepelná kapacita kapaliny Prandtlovo číslo pro kapalinu exponent typicky 1 1,7 gravitační zrychlení rozdíl mezi měrnou entalpií páry a kapaliny konstanta závisející na typu povrchu topné plochy a tekutině (tabelováno) 169
Odhad kritické teploty/kritického přehřátí/teploty propálení: Lienhardova - Dhirova rovnice: KRIT CRIT kritická A: velikost topné plochy Konstanta závisející na geometrii systému (tabelovaná). 170
Tabulka 7-1: koeficient C nb do Rohsenowy korelace, zdroj. Rohsenow (1952), Collier and Thome (1994), Vachon et. al. (1968) W.M. Rohsenow, "A Method of Correlating Heat Transfer Data for Surface Boiling of Liquids," Trans. ASME (74): 969, 1952. http://fchart.com/ees/heat_transfer_library/boiling/hs2010.htm
Přednáška 11 173
Sdílení tepla při kondenzaci Dva režimy kondenzace: 1) kapková kondenzace žádaná, těžko zajistitelná, nastává na nesmáčivých površích, vysoké hodnoty součinitele přestupu tepla 2) filmová kondenzace obvyklý režim, nastává na smáčivých površích - na stěně se vytváří spojitý kapalný film - tloušťka filmu δ - tepelný tok prochází filmem Filmová kondenzace T W < T K?? tepelná vodivost kapaliny (filmu) teplota kondenzace teplota teplosměnné plochy (stěny) stěna film kondenzátu 174
- hustota tepelného toku: q = α(t K - T W ) - předpoklad: α = λ δ (α součinitel přestupu tepla) - δ (tloušťka filmu) by měla být malá krátká stěna (vodorovné trubky) NS rovnice pro ustálený stav: - souřadnice x: - souřadnice y: pára s hustotou ρ g, předpokládáme, že se nepohybuje a že platí - předpoklad: tlak napříč filmem se příliš nemění - zkombinováním obou rovnic: obvykle zanedbatelné 175
obvykle zanedbatelné L film kondenzátu tloušťka filmu (10-5 m) U rychlost stékání filmu (10-3 ms -1 ) U l Re 1 velmi nízká relativně nízká stěna L 176
Bezrozměrové veličiny + škálování: vhodně zvolená rychlost: Potom: 177
C 1 a C 2 jsou konstanty určitelné z okrajových podmínek: 1) stěna: 2) rozhraní kapalina - pára: viskózní napětí v kapalině a páře jsou stejná = tok hybnosti na fázovém rozhraní je konstantní - viskozita páry je mnohem nižší přibližně platí: 178
- po dosazení do řešení: 179
TEPLOTNÍ POLE PŘI FILMOVÉ KONDENZACI - předpoklady: 1) bez zdroje tepla 2) ustálený stav škálování: FK rovnice: δ/δ δ 2 /δ 2 zanedbatelné zanedbatelné 180
FK rovnice: řešení FK rovnice lineární teplotní profil 181
ODHAD TLOUŠŤKY FILMU PŘI FILMOVÉ KONDENZACI: - bilance hmoty v elementárním objemu o výšce x - ustálený stav j c intenzita toku kondenzující páry [kg m -2 s -1 ] x 182
- hmotnostní tok kapaliny: 183
BILANCE ENTALPIE V ELEMENTÁRNÍM ÚSEKU FILMU - entalpická bilance: šířka stěny teplo odevzdané kondenzující parou teplo odvedené teplosměnnou plochou měrná entalpie rovnovážné páry stěna Toky energie ve filmu kondenzátu. intenzita toku tepla stěnou 184
Bilance entalpie v elementárním úseku filmu - je potřeba zvolit referenční stav: kapalina, referenční teplota T ref je teplota varu - u čisté látky/chemicky čisté kapaliny: teplota varu = teplota kondenzace - potom: h g = Δh v = měrná entalpie kondenzující páry - integrální vztah pro entalpii: dy objemový průtok kapaliny hmotnostní tok kapaliny střední tepelná kapacita (bez <>) měrná entalpie 185
Bilance entalpie v elementárním úseku filmu Nyní lze dosadit do entalpické bilance za veličiny j c a dh dx 186
Bilance entalpie v elementárním úseku filmu - výpočet δ(x) a α(x) provedeny v programu MAPLE (úspora času): 187
Bilance entalpie v elementárním úseku filmu - výpočet δ(x) a α(x) provedeny v programu MAPLE (úspora času): 188
PŘEDNÁŠKA 12 SDÍLENÍ TEPLA SÁLÁNÍM (TEPELNOU RADIACÍ/TEPELNÝM ZÁŘENÍM) 190
Radiací je energie vyzařována z povrchu tělesa v podobě elektromagnetického vlnění (T > 0) radiace se odlišuje od sdílení tepla vedením nebo konvekcí tím, že nevyžaduje zprostředkující hmotné prostředí (dochází k ní i ve vakuu), radiační energie prochází stejně dobře vakuem jako čistým vzduchem, přenosy energie vedením a konvekcí jsou přímo úměrné rozdílu teplot ( T 1 ), přenos energie zářením závisí na rozdílu čtvrtých mocnin teplot ( T 4 ) radiačně interagujících objektů, u těles s vysokou teplotou proto převažuje radiační přenos nad konvekcí (požáry), sdílení tepla radiací závisí na teplotě a vlastnostech povrchu vyzařujícího tělesa, přenos energie probíhá i mezi objekty se stejnými teplotami (jejich (vnitřní) energie se ale nemění).
- vlnová délka záření: ELEKTROMAGNETICKÉ SPEKTRUM vs. TEPELNÉ ZÁŘENÍ frekvence rychlost světla - teplé povrchy generují jako tepelné záření pouze úzký výsek z elektromagnetického spektra: 0,2 μm 1 000 μm - tento interval zahrnuje ultrafialovou (UV), viditelnou (VIS) a infračervenou (IR) oblast viditelné světlo
ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA Přenos energie radiací lze teoreticky popsat s použitím představy absolutně černého tělesa (Max Planck, 1918-NC) Absolutně černé těleso (AČT) hypotetické těleso, jehož povrch absorbuje veškeré dopadající elektromagnetické záření (při všech vlnových délkách a pod všemi úhly dopadu) AČT neodráží světlo, proto se jeví jako černé, všechna černá tělesa ohřátá na danou teplotu vyzařují tepelné záření, AČT vyzařuje ve všech směrech (ideální difúzní zářič), AČT vyzařuje maximální možné množství energie při dané teplotě a vlnové délce ve srovnání s ostatními tělesy, AČT při dané teplotě vyzařuje energii při různých vlnových délkách (Planckův vyzařovací zákon viz dále) Maximum vyzařované energie při teplotě T nastává při vlnové délce λ max : Wienův zákon: Celková intenzita toku energie při všech vlnových délkách: je úměrná čtvrté mocnině absolutní teploty je popsána Stefanovým-Boltzmannovým zákonem Stefanova-Boltzmannova konstanta (tato rovnice nevyjadřuje tok energie při konkrétních hodnotách vlnové délky) 193
Encyclopaedia Britannica
ZÁŘENÍ ABSOLUTNĚ ČERNÉHO TĚLESA popsáno Planckovým vyzařovacím zákonem Energie vyzářená radiací za jednotku času: intenzita toku energie vztažená na vlnovou délku záření = spektrální hustota/emisní síla/monochromatický zářivý výkon Planckův vyzařovací zákon: E, T 2 2 hc 5 hc exp 1 kt (W m -3 ) h = 6,62606876 10-34 J s k = 1,3806503 10-23 J K -1 c = 299792458 m s -1 (Planckova konstanta) (Boltzmannova konst.) (rychlost světla ve vakuu) Absolutně černé těleso slouží jako srovnávací zářič pro reálné povrchy, emisní síla AČT udává maximální hodnotu monochromatického zářivého výkonu, kterou lze dosáhnout jakýmkoli reálným tělesem (povrchem). 195
Černé těleso vs. reálné těleso
Pohltivost a propustnost některých materiálů vs. vlnová délka
Záření černého tělesa 4 qr T E T 0 2 2 hc, d d 5 hc 0 exp 1 kt Radiační výměna mezi dvěma černými povrchy: Intenzita osálání: I = množství energie plocha na níž dopadá Energie z da 1 přicházející kolmo na plochu A 2. Energie z da 1 přicházející k povrchu pod úhlem α. Z toho důvodu se jeví plocha da 1 jako menší. 198
Lambertův kosinový zákon: intenzita záření dopadajícího od ideálního difúzního zdroje (emitoru) je přímo úměrná kosinu úhlu mezi směrem dopadajícího světla a kolmicí k emitujícímu povrchu. 199
Lambertův kosinový zákon - Energie přijatá povrchem A 2 z povrchu A 1 : - povrch da 2 = pás: obvod pásu šířka pásu - celková energie vyzářená povrchem da 1 = energie přicházející na povrch da 2 : hustota zářivého toku 200
Lambertův kosinový zákon - energie záření vztažená na plochu: - lze vyjádřit di 0 : - Energie vyzářená plochou da 1 na plochu da 2 ve vzdálenosti r. 201
FAKTOR OZÁŘENÍ / VIEW FAKTOR Difúzní povrchy vyzařují tepelné záření rovnoměrně do všech směrů. Toto chování výrazně zjednodušuje výpočet energie vyměněné zářením mezi dvěma tělesy s difúzními povrchy. Při řešení problémů přenosu tepla radiací, závisí předané teplo (vyzářené z jednoho difúzního zářiče a pohlcené druhým) na vzájemné poloze a orientaci obou povrchů a nezáleží na vlastnostech samotných povrchů. Geometrické uspořádání povrchů vyměňujících teplo sáláním je vyjádřeno faktorem ozáření (angl.: view factor). Faktor ozáření F 12 je definován jako podíl záření emitovaného plochou 1 a dopadajícího na plochu 2 ku celkovému záření emitovanému plochou 1. F 12 = záření emitované plochou 1 dopadající na plochu 2 celkové záření emitované plochou 1
Lambertův kosinový zákon F 12 = záření emitované plochou 1 dopadající na plochu 2 celkové záření emitované plochou 1 Energie přenesená z A 1 na A 2 : Celková energie přenesená z A 2 na A 1 : Projekce povrchu da 2 do směru úsečky r (cosinový zákon). Celkový tok tepla mezi plochami A 1 a A 2 : Přenos tepla radiací mezi povrchy A 1 and A 2. Alternativně: 203
Faktor ozáření - Podíl radiace z povrchu 1, který zasáhne povrch 2 - Pro δ 0 veškeré záření z povrchu S 1 dopadne na povrch S 2 - Povrchy 3 a 4 se vzájemně nevidí F 34 =0 - uzavřený systém ploch: Pro rovinné a konkávní plochy F ii = 0 - Povrchy tvoří trojúhelník:, tj. veškeré záření z plochy 1 dopadne na plochu 2 nebo 3 - Výpočet view faktoru bývá obtížný. - Knihovny pro různé geometrie: http://www.me.utexas.edu/~howell 204
Emisivita - Černé těleso: = 1, emituje maximální energii pro danou teplotu - Jiné než černé objekty (šedé): < 1 emisivita energie emitovaná šedým tělesem energie emitovaná černým tělesem typické hodnoty emisivit: leštěné kovy pasivované kovy papír, zdi barvy 205