6 Mezní stavy únosnosti

6 Mezní stavy únosnosti 6.1 Nosníky 6.1.1 Nosníky pozemních staveb Typické průřezy spřažených nosníků jsou na obr. 4. Betonová deska může být kompaktní nebo žebrová, případně může mít náběhy. Ocelový nosník lze (je to vhodné zejména při požárním návrhu) obetonovat. Nosník se pak nazývá částečně obetonovaný. Deska je s nosníkem spojena smykovým spojením. U prostých nosníků je deska vždy na tlačené straně, u spojitých nosníků může být u vnitřních podpor i tažena: beton potom nepůsobí a jeho úlohu musí převzít tažená podélná výztuž. Spřažené nosníky se musí v rozhodujících průřezech zkontrolovat na únosnost a, je-li nutné, také na únosnost při ztrátě stability. Mají-li nosníky štíhlé stěny, je potřeba prověřit únosnost při boulení ve smyku či při působení soustředěně působících příčných sil. Vždy je nutné prověřit i únosnost v podélném smyku, tzn. návrh smykového spojení. Obr. 4 Typické průřezy spřažených nosníků [obr. 6.1] Nosníky navržené podle teorie plasticity lze navrhnout s tzv. úplným smykovým spojením, kdy spojení není slabým místem nosníku, anebo s tzv. částečným smykovým spojením, kdy o únosnosti nosníku rozhoduje právě smykové spojení. Důvody pro použití částečného smykového spojení mohou být ekonomické, kdy je konstrukce s úplným spojením 25

zbytečně únosná, nebo praktické, kdy např. při použití žebrové desky je počet spřahovacích prvků na nosníku omezen. U nás ale je dosud obvyklé používat pouze úplné spojení. U nosníků navržených podle teorie pružnosti je přípustné pouze úplné smykové spojení. 6.1.2 Účinná šířka pro ověření průřezu Zjednodušeně lze u pozemních staveb předpokládat, na rozdíl od složitějšího průběhu podle obr. 2, konstantní účinnou šířku betonové pásnice v celé oblasti kladných momentů v každém poli nosníku. Pro výpočet lze uvažovat hodnotu b eff,1 uprostřed pole a hodnotu b eff,2 na obou stranách od vnitřní podpory. 6.2 Únosnosti průřezů nosníků 6.2.1 Únosnost v ohybu Jsou-li na nosníku pouze průřezy třídy 1 a 2 (a deska se nepředepíná), lze návrhovou únosnost určit plastickým výpočtem podle obr. 5. Již bylo řečeno, že tento výpočet pokrývá většinu praktických případů. Jinak se použije pružný výpočet nebo nelineární výpočet, jak budou popsány dále. Obr. 5 Příklady plastického rozdělení napětí pro spřažený nosník s plnou deskou a plným smykovým spojením pro kladný a záporný moment [obr. 6.2] 26

Při úplném smykovém spojení ocelové a betonové části spřaženého nosníku se při výpočtu M pl,rd předpokládá, že nastává plná interakce mezi ocelovým profilem, výztuží a betonem, přičemž v oceli je napětí rovné návrhové pevnosti f yd, ve výztuži f sd (často lze ale tlačenou výztuž úplně zanedbat) a v tlačeném betonu 0,85f cd, kde f cd je návrhová válcová pevnost betonu v tlaku. S taženým betonem se nepočítá. U spřažených průřezů s ocelovými prvky pevnostní třídy S420 nebo S460 není dosud plně prověřena schopnost plastifikace těchto ocelí, a proto se v případech, kdy je vzdálenost x pl mezi plastickou neutrální osou a nejvíce tlačenými vlákny betonu větší než 15 % celkové výšky prvku h, bere návrhový moment únosnosti M Rd jako β M pl,rd, kde β je redukční součinitel uvedený na obr. 6. Obr. 6 Redukční součinitel β pro M pl,rd [obr. 6.3] U pozemních staveb se profilovaný plech v tlačené oblasti zanedbá a v tažené oblasti se započítá s návrhovou pevností f yp,d. V oblastech kladných momentů se u spřažených nosníků pozemních staveb navržených podle teorie plasticity může použít již zmíněné částečné smykové spojení. Vyžaduje to použít dostatečně tažné (duktilní) spřahovací prvky (budou definovány dále, obvyklé trny k nim patří). Výpočet momentu únosnosti je stejný jako při úplném spojení, použije se ale redukovaná tlaková síla v betonové pásnici (N c místo síly N cf ). Poměr η = N c /N cf potom udává stupeň smykového spojení. Poloha plastické neutrální osy v desce odpovídá nové síle N c, viz obr. 7. Ocelovým průřezem prochází druhá neutrální osa, která se má použít při klasifikování stojiny. Obr. 7 Plastické rozdělení napětí pro kladný moment a částečné smykové spojení [obr. 6.4] 27

1 Plastická teorie 2 Zjednodušená metoda Obr. 8 Vztah mezi M Rd a N c (pro tažné spřahovací prvky) [obr. 6.5] Vztah mezi M Rd a N c je podle výzkumu dán křivkou ABC na obr. 8, kde M pl,a,rd a M pl,rd jsou návrhové plastické únosnosti při působení kladného momentu na samotný ocelový prvek a na spřažený průřez při úplném smykovém spojení. Popsaný postup nalezení únosnosti odpovídá hodnotě M Rd určené (bezpečně) z přímé spojnice AC na obr. 8, takže platí: 28

Nc MRd = Mpl,a,Rd + ( Mpl,Rd Mpl,a,Rd ) (6.1) N cf Pro spřažené průřezy třídy 1 a 2 s tlačenou betonovou pásnicí se nelineární únosnost v ohybu M Rd může určit jako funkce tlakové síly v betonu N c podle zjednodušených vzorců (6.2) a (6.3), jak ukazuje obr. 8: Nc MRd = Ma,Ed + ( Mel,Rd Ma,Ed ) pro N c N c,el (6.2) N c,el M = M + M M ( ) c c,el Rd el,rd pl,rd el,rd N N c,f N N c,el pro N c,el N c N c,f (6.3) kde M el,rd = M a,ed + km c,ed (6.4) a kde M a,ed je návrhový ohybový moment, působící na ocelový průřez před účinností spřažení; M c,ed k N c,el část návrhového ohybového momentu, působící na spřažený průřez; nejmenší součinitel určený tak, že je dosaženo návrhové pevnosti oceli, betonu nebo výztuže (nejmenší hodnota k rozhoduje); pokud se použije nepodepíraná konstrukce, musí se vzít v úvahu i postup montáže; tlaková síla v betonové pásnici odpovídající momentu M el,rd (moment, při kterém je dosaženo návrhové pevnosti oceli nebo betonu, rozhoduje co nastane dřív). Pro průřezy s ocelovými prvky pevnostní třídy S420 nebo S460, u nichž vzdálenost x pl mezi plastickou neutrální osou a nejvíce tlačenými vlákny betonu převyšuje 15 % celkové výšky prvku h, se ve výrazu (6.3) a na obr. 9 nahradí M pl,rd redukovanou hodnotou βm pl,rd. Obsahuje-li spřažený nosník štíhlé průřezy třídy 3, vypočítá se napětí při ohybu pružnou teorií. Jsou-li v nosníku i průřezy třídy 4, uplatní se ještě ČSN EN 1993-1-5, protože se velmi štíhlé ocelové části nemohou započítat plnou hodnotou. 29

1 Podepíraná konstrukce 2 Nepodepíraná konstrukce Obr. 9 Zjednodušený vztah mezi M Rd a N c pro průřezy s betonovou deskou v tlaku [obr. 6.6] Největší napětí v průřezu jsou při pružném výpočtu omezena hodnotami f cd u betonu v tlaku, f yd u konstrukční oceli v tahu i tlaku a f sd ve výztuži v tahu i tlaku. Alternativně se může tlačená výztuž v betonové desce zanedbat, viz obr. 10. Jak už bylo několikrát upozorněno, napětí vzniklá v důsledku zatížení samotné ocelové konstrukce se při montáži bez podepírání (montáž bez lešení) musí přičíst k napětím od zatížení působícího na spřaženou konstrukci. Účinek dotvarování betonu lze při dlouhodobém zatížení zahrnout zavedením modifikovaného poměru modulů n. Obr. 10 Průběh poměrného protažení ε a normálového napětí δ při pružném působení 30

6.2.2 Únosnost ve vertikálním smyku Na únosnosti spřaženého průřezu ve vertikálním smyku se podílí ocel i beton, účinek betonu je ale malý, a proto se zpravidla zanedbá. Únosnost V pl,rd se proto určí jen jako únosnost ocelového profilu V pl,a,rd podle ČSN EN 1993-1-1. Štíhlosti stojin spřažených nosníků není vhodné volit příliš velké. Pokud se velmi štíhlá stojina vyskytne, postupuje se při stanovení únosnosti s vlivem boulení ve smyku V b,rd podle ČSN EN 1993-1-5. Vertikální smyk má vliv na únosnost průřezu v ohybu. Stejně jako u ocelových nosníků se tento vliv vyčísluje jen je-li vertikální smyková síla V Ed větší než polovina smykové únosnosti V Rd. Pokud tento případ nastane, lze pro průřezy třídy 1 a 2 vliv smyku na únosnost v ohybu započítat redukcí návrhové pevnosti oceli ve stojině na hodnotu (1 ρ)f yd. Smyková plocha je vyznačená na obr. 11, kde: ( ) 2 ρ = 2V V 1 (6.5) Ed Rd kde V Rd je příslušná únosnost ve vertikálním smyku. Pro průřezy třídy 3 a 4 je nutné použít ČSN EN 1993-1-5. Obr. 11 Plastické rozdělení napětí modifikované vlivem vertikálního smyku [obr. 6.7] 6.3 Únosnost průřezů nosníků pozemních staveb s částečným obetonováním 6.3.1 Rozsah Typické průřezy částečně obetonovaných nosníků jsou na obr. 12. Dále uvedené výpočetní postupy lze použít na částečně obetonované průřezy třídy 1 a 2, je-li současně d/t w menší než 124ε. 31

Obr. 12 Typické průřezy částečně obetonovaných nosníků [obr. 6.8] Obr. 13 Příklady plastického rozdělení napětí pro účinné průřezy (nahoře a uprostřed působí kladný moment, dole působí zápozný moment) [obr. 6.9] 32

6.3.2 Únosnost v ohybu U průřezu s obetonovanou stojinou se předpokládá úplné smykové spojení mezi ocelovým profilem a obetonováním a počítá se plasticky podle obr. 13. Postupuje se tak, že se z rovnováhy sil nalezne poloha neutrální osy a potom se vyčíslí moment únosnosti. Vše je zřejmé z obrázku. 6.3.3 Únosnost při vertikálním smyku Obetonování poměrně značně zvyšuje únosnost ocelové stojiny ve smyku. Jsou-li třmínky u nosníku upraveny podle obr. 14, lze k únosnosti ocelové stojiny připočítat ještě plný příspěvek obetonování stojiny. Postupuje se tak, že se celkový vertikální smyk V Ed rozdělí do částí V a,ed a V c,ed, působících na ocelový profil a obetonování. Rozdělení se provede ve stejném poměru v jakém přispívají ocel a obetonování do únosnosti v ohybu M pl,rd. Vliv síly V a,ed na ocelový profil se posoudí podle ČSN EN 1993-1-5, vliv síly V c,ed na obetonování se posoudí podle ČSN EN 1992-1-1. 1 Uzavřené třmínky 2 Otevřené třmínky přivařené ke stojině 3 Třmínky procházejí stojinou Obr. 14 Uspořádání třmínků [obr. 6.10] 6.3.4 Ohyb a vertikální smyk Vliv smyku na únosnost v ohybu je (stejně jako u neobetonovaných stojin) nezanedbatelný jen, je-li návrhová vertikální smyková síla V a,ed větší než polovina návrhové smykové únosnosti V pl,a,rd ocelového průřezu. Pokud tento případ nastane, nahradí se ve výrazu (6.5) poměr V Ed / V pl,rd poměrem V a,ed / V pl,a,rd. Dále se postupuje stejně jako u neobetonovaného průřezu. 33

6.4 Ztráta stability spřažených nosníků při ohybu 6.4.1 Všeobecně Spřažené nosníky o jednom poli jsou zpravidla dobře zajištěny proti ztrátě stability při ohybu samotnou betonovou deskou, se kterou je ocelová tlačená pásnice prostého nosníku spojena. Jiná situace nastane u spojitého nosníku, kde tlačená pásnice ocelového profilu u vnitřních podpor s deskou spojena není. Ocelový nosník také může ztratit stabilitu v průběhu betonování, nebrání-li pohybu do stran dostatečně tuhé bednění. K posouzení stability samotného ocelového nosníku se použije ČSN EN 1993-1-1, pro spojitý nosník lze použít následující postup. 6.4.2 Ověření stability spojitých spřažených nosníků pozemních staveb s průřezy třídy 1, 2 a 3 Postupuje se obdobně jako u ocelových nosníků, tzn. že se najde kritický moment ideálního nosníku, který poslouží k určení součinitele klopení χ LT. Návrhový moment únosnosti se u příčně nezajištěného spojitého spřaženého nosníku s průřezem třídy 1, 2 nebo 3 a s prizmatickým ocelovým průřezem stanoví podle vztahu: M b,rd = χ LT M Rd (6.6) kde χ LT je součinitel vzpěrnosti pro ztrátu stability při ohybu (klopení), závisející na poměrné štíhlosti λ LT ; M Rd návrhový moment únosnosti při působení záporného momentu v příslušné vnitřní podpoře. Hodnoty součinitele vzpěrnosti χ LT se určí podle ČSN EN 1993-1-1. Moment únosnosti M Rd se pro průřezy třídy 1 nebo 2 určí plastickou teorií. Pro průřezy třídy 3 se určí podle (6.4) jako návrhový záporný moment, který vyvolá buď napětí f sd v tažené výztuži, nebo tlakové napětí f yd ve spodním vláknu ocelového profilu (menší hodnota rozhoduje). Poměrnou štíhlost λ LT lze určit ze vztahu: λ LT = M M Rk cr (6.7) kde M Rk je M cr moment únosnosti spřaženého průřezu stanovený s použitím charakteristických vlastností materiálu; již zmíněný kritický pružný ohybový moment odpovídající ztrátě stability nosníku při ohybu, určený ve vnitřní podpoře příslušného pole, kde je záporný moment největší. 34

Stanovení M cr je teoreticky náročnou úlohou a norma neposkytuje podklady pro výpočet tohoto kritického momentu. Uvádí se pouze obecně, že je-li deska spřaženého průřezu spojena s jedním nebo více podpůrnými ocelovými prvky přibližně rovnoběžnými s uvažovaným spřaženým nosníkem, lze pružný kritický moment určit na modelu spojitého otočeného U- rámu. Obr. 15 naznačuje, jak tento model uvažuje příčné vychýlení dolní pásnice způsobující ohyb stojiny a natočení horní pásnice, kterému brání tuhost desky. Jedná se o výpočet kritického momentu nosníku spojitě rotačně poddajně podepřeného. V normě je dále uvedeno, jak lze tuhost tohoto rotačního podepření stanovit. Další postup je nutné vyčíst z odborné literatury (např.[7]). Tyto přesné výpočty se ovšem u pozemních konstrukcí často nahrazují přibližným postupem uvedeným dále. 1 trhliny Obr. 15 Otočený U-rám ABCD odolávající ztrátě stability při ohybu [obr. 6.11] 6.4.3 Zjednodušené ověření pro pozemní stavby bez přímého výpočtu Spojitý nosník s průřezy třídy 1, 2 nebo 3 lze pokládat za vyhovující, jsou-li splněny následující podmínky: a) Sousední pole se neliší v délce o více než 20 % délky kratšího pole. Délka konzoly nepřevyšuje o více než 15 % délku přilehlého pole. b) Zatížení je v každém poli rovnoměrné, návrhová hodnota stálého zatížení je větší než 40 % celkového návrhového zatížení. c) Horní pásnice ocelového prvku je připojena k železobetonové nebo spřažené desce spřahovacími prvky. d) Deska je současně připojena k dalšímu podpůrnému prvku přibližně rovnoběžnému s uvažovaným spřaženým nosníkem tak, že tvoří otočený U-rám podle obr. 15. e) Je-li deska spřažená, je pnuta mezi dva rovnoběžné podpůrné prvky uvažovaného otočeného U-rámu. f) V každé podpoře ocelového prvku je dolní pásnice příčně podepřena a jeho stojina je vyztužena. Jinde může být stojina nevyztužena. 35

g) Má-li ocelový profil tvar IPE, HE nebo I a nosníky nejsou obetonovány, jejich výška h není větší než limitní výška z tab. 7. h) Je-li ocelový prvek částečně obetonovaný, jeho výška nepřesáhne hodnoty z tab. 7 o více než 200 mm u ocelí pevnostní třídy do S355 a 150 mm u ocelí tříd S420 a S460. Tab. 7 Největší výška (mm) neobetonovaných ocelových nosníků, na něž lze použít kap. 6.4.3 [tab. 6.1] Ocelový nosník Pevnostní třída oceli S235 S275 S355 S420 a S460 IPE 600 550 400 270 HE 800 700 650 500 I 500 450 360 200 6.5 Příčné síly na stojiny 6.5.1 Všeobecně Pro nespřažené pásnice spřažených nosníků a pro přilehlou část stojiny lze k určení návrhové únosnosti nevyztužených nebo vyztužených stojin při působení příčných sil v pásnicích použít pravidla uvedená v ČSN EN 1993-1-5. Stejně tak se postupuje, působí-li příčné síly v kombinaci s ohybem a osovou silou. Ve vnitřních podporách nosníků pozemních staveb navržených s použitím účinné stojiny třídy 2 má být navrženo příčné vyztužení, pokud se neprokáže, že nevyztužená stojina má dostačující únosnost při boulení a borcení. 6.5.2 Boulení stojiny vyvolané pásnicemi Jde o jev známý z ocelových konstrukcí, kdy je stojina deformací pásnice nucena k vyboulení. U spřažených konstrukcí lze tento jev posuzovat stejně jako u ocelových konstrukcí, tzn. využije se ČSN EN 1993-1-5 s tou změnou, že se jako plocha A fc uvažuje transformovaná plocha spřažené ocelové pásnice (ocelová pásnice plus betonová deska, která se převede na ocel pomocí poměru modulů pro krátkodobé zatížení). 6.6 Smykové spojení 6.6.1 Všeobecně Smykové spojení musí přenést podélnou smykovou sílu mezi betonovou a ocelovou částí, přičemž se nepočítá se soudržností oceli a betonu. Aby se mohl použít již vysvětlený plastický návrh nosníku, musí mít spřahovací prvky dostačující deformační schopnost, umožňující redistribuci smyku mezi jednotlivé spřahovací prvky. V Příloze B se ukáže, že spřahovací prvek lze považovat za tažný v případě, že jeho charakteristická kapacita prokluzu δ uk je nejméně 6 mm. Přivařované trny s hlavou a nastřelované zarážky Hilti tuto podmínku 36

splňují, perforovaná lišta jen za určitých okolností. Zejména při plastickém návrhu se na jednom nosníku nemají používat spřahovací prvky s rozdílnou deformační charakteristikou, neboť to vede k přemáhání tužších prvků. Nedoporučuje se to ale ani pro pružný návrh. Spřahovací prvky mají také být schopny zabránit oddělení betonové části od oceli, což se prokazuje tak, že mají odolat tahové síle kolmé k rovině ocelové pásnice, která je rovna nejméně 0,1násobku návrhové smykové únosnosti spřahovacího prvku. Trny, zarážky Hilti i perforovaná lišta i tuto podmínku splňují. Při návrhu smykového spojení je také nutné sledovat přenos síly ze spřahovacích prvků do betonové desky, viz kap. 6.6.6. U nosníků pozemních staveb navržených plasticky má pro úplné spojení být počet spřahovacích prvků roven nejméně celkové návrhové smykové síle N cf působící v mezním stavu únosnosti mezi kritickými průřezy nosníku (to jsou místa největších momentů a místa podpor), dělené návrhovou únosností jednoho prvku P Rd. Síla N cf je dána menší hodnotou z: N cf = A a f yd (6.15) nebo N cf = A c 0,85f cd + A s f sd (6.16) U spojitého nosníku je třeba u vnitřní podpory přidat ještě sílu v tažené výztuži, jak ukazuje obr. 16. Obr. 16 Kritické průřezy a definice smykové síly při plastickém výpočtu Již bylo zmíněno, že u nosníků pozemních staveb se může také použít u nás dosud málo obvyklé částečné smykové spojení. Zjednodušeně lze říci, že ho lze u nosníků s rozpětím do 25 m a souměrným ocelovým průřezem použít vždy, použije-li se plastický výpočet a alespoň 40 % obvyklých trnů, které by byly potřeba pro úplné spojení. Podrobněji jsou podmínky specifikované v čl. 6.6.2.1 normy. Poměr počtu spřahovacích prvků (n) pro částečné spojení ku počtu pro úplné spojení (n f ) se označuje η a má stejný význam jako η na obr. 7 a 8. Již bylo řečeno, že smykové spřahovací prvky se po délce nosníku musí rozmístit tak, aby přenesly podélný smyk mezi ocelí a betonem a tím zabránily oddělení betonu od ocelového nosníku. Uvažuje se přitom odpovídající rozdělení návrhové smykové síly. Tažné spřahovací prvky lze (podle obr. 16) rozmístit mezi kritickými průřezy (podpory a místa největších momentů) pravidelně, pokud: všechny kritické průřezy v uvažovaném poli jsou třídy 1 nebo 2; 37

plastický moment únosnosti spřaženého průřezu není větší než 2,5násobek plastického momentu únosnosti samotného ocelového průřezu. Při návrhu provedeném podle teorie pružnosti se spřahovací prvky naopak rozmístí v souladu s podélným smykem, vypočítaným mezi betonovou deskou a ocelovou pásnicí obvyklým vzorcem: V l = V Ed S c /I 1 (6.17) kde V Ed je návrhová hodnota posouvající síly, S c statický moment plochy tlačené části betonové desky k neutrální ose ideálního ocelobetonového průřezu redukovaný součinitelem n, moment setrvačnosti ideálního průřezu bez trhlin. I 1 Podélná posouvající síla V l je podle tohoto vzorce přímo úměrná vertikální posouvající síle. V místech velkých posouvajících sil jsou proto prvky umístěny hustěji než v místech s malými posouvajícími silami. Na první pohled se tak před zabetonováním desky pozná, jakou metodou byl spřažený nosník navržen. 6.6.2 Podélná smyková síla nosníků pozemních staveb V tomto článku se rekapituluje vše, co bylo řečeno výše: pokud se pro posouzení průřezu použije teorie pružnosti, určí se podélný smyk stejnou teorií, zatímco při návrhu podle teorie plasticity se uváží rozdíl normálové síly v betonu (nebo v konstrukční oceli) na délce mezi kritickými průřezy. Vše bude ještě objasněno v číselných příkladech k tomuto tématu. 6.6.3 Trny s hlavou v plné desce a v obetonování Trny jsou jediným spřahovacím prostředkem, jehož únosnost je pro průměry mezi 16 a 25 mm stanovena touto normou. Pro všechny ostatní spřahovací prostředky, případně i pro trny s menším nebo naopak větším průměrem, je nutné únosnost určit zkouškami podle Přílohy B této normy. Známí výrobci spřahovacích prvků (např. Hilti) udávají právě výsledky únosnosti ověřené zkouškami. Také pro perforovanou lištu výšky 50 a 100 mm jsou k dispozici únosnosti ověřené zkouškami. V současnosti se na ČVUT zkoušejí i trny menších průměrů než 16 mm; výsledky budou publikovány v odborné literatuře. Návrhová únosnost trnu s hlavou ve smyku, přivařeného automatem, se určí ze vztahů (první vzorec odpovídá porušení trnu, druhý porušení okolního betonu): P Rd = f 2 0,8 u π d /4 γ V (6.18) nebo P Rd 2 0, 29αd fck Ecm = (6.19) γ V 38

kde je únosnost dána menší hodnotou. Ve vzorcích značí: α h d sc =0,2 +1 pro 3 h sc / d 4 (6.20) α = 1 pro h sc / d > 4 (6.21) a kde γ V je dílčí součinitel (v ČR = 1,25); d průměr dříku trnu, 16 mm d 25 mm; f u mez pevnosti v tahu materiálu trnu, ne větší než 500 N/mm 2 ; f ck charakteristická válcová pevnost betonu příslušného stáří v tlaku a objemové hmotnosti ne menší než 1750 kg/m 3 ; celková jmenovitá výška trnu. h sc Je-li trn v nějakém konstrukčním prvku současně se smykem namáhán též tahovou silou, určí se návrhová tahová síla na jeden trn F ten ; je-li F ten 0,1P Rd, kde P Rd je návrhová únosnost trnu ve smyku, lze tahovou sílu zanedbat. Je-li F ten > 0,1P Rd, není tento případ pokryt touto normou a je nutné získat výsledky zkouškami. 6.6.4 Návrhová únosnost trnů s hlavou použitých v pozemních stavbách spolu s profilovanými plechy Jedná se o častou kombinaci používanou u stropních konstrukcí, kde se jako bednění desky použijí trapézové (profilované) plechy. Při výpočtu únosnosti trnu je nutné rozlišit, zda žebra desky jdou rovnoběžně s nosníkem, nebo jsou umístěna kolmo k ose nosníku. V prvním případě jsou trny umístěny v betonu podle obr. 17. Únosnost trnu se oproti únosnosti v plné desce zmenšuje redukčním součinitelem k, který je dán vztahem: b 0 h sc k = 0,6 1 1,0 (6.22) h p h p kde h sc je celková výška trnu, ne větší než h p + 75 mm. Obr. 17 Nosník s profilovaným plechem rovnoběžným s nosníkem [obr. 6.12] Jsou-li žebra desky kolmá k ose nosníku podle obr. 18, redukuje se únosnost součinitelem k t určeným ze vztahu: 39

k t 0,7 0 sc = n r b h p h h p 1 (6.23) kde n r je počet trnů v jednom žebru v příčném řezu nosníkem, přičemž se do výpočtů uvažují nejvýše dvě řady. Obr. 18 Nosník s profilovaným plechem kolmo k nosníku [obr. 6.13] Součinitel k t nemá být větší než je hodnota k t,max v tab. 8. Součinitel lze uplatnit, pokud platí: trny jsou v žebrech výšky h p, ne větší než 85 mm a šířky b 0, ne menší než h p a při provaření trnů skrz plech není průměr trnu větší než 20 mm nebo prochází-li trny otvory v plechu, není průměr trnů větší než 22 mm. Tab. 8 Horní limitní hodnoty k t,max redukčního součinitele k t [tab. 6.2] Počet trnů v žebru Tloušťka t plechu (mm) Trny s průměrem ne větším než 20 mm a přivařené skrz plech Profilovaný plech s otvory a trny průměru 19 mm nebo 22 mm n r = 1 1,0 > 1,0 0,85 1,00 0,75 0,75 n r = 2 1,0 > 1,0 0,70 0,80 0,60 0,60 Mají-li spřahovací prvky současně zajistit spřaženou funkci nosníku i spřažené desky, jsou trny nad nosníkem namáhány ve dvou směrech a musí splnit následující podmínku: F P F + 2 2 t 2 2,Rd Pt,Rd 1 (6.24) kde F je návrhová podélná smyková síla způsobená spřaženým chováním nosníku; F t návrhová příčná síla způsobená spřaženým chováním desky; P,Rd a P t,rd jsou odpovídající návrhové smykové únosnosti trnu. 40

Jiné spřahovací prvky Již bylo řečeno, že norma obsahuje návod pro výpočet únosnosti pouze pro přivařované trny s průměrem 16 až 25 mm. Pro všechny ostatní používané prvky se musí jejich únosnost ověřit individuálně. Uvedeme zde proto ještě dva často používané spřahovací prvky: přistřelované zarážky Hilti a přivařovanou perforovanou lištu. Výhodou zarážek Hilti je, že pro jejich instalaci není potřeba elektrický proud, jsou proto vhodné např. pro menší rekonstrukce stropů. Perforovanou lištu lze snadno vyrobit a přivařit ve výrobě, nevýhodou ale je, že její použití vylučuje současné použití spojitých profilovaných plechů. Přistřelované zarážky Návrhovou únosnost přistřelovaných kotev HVB (výrobce Hilti) umístěných v plné betonové desce lze uvažovat podle tab. 9. Tab. 9 Návrhová únosnost kotev HVB Kotva Návrhová únosnost Maximální výška plechu [mm] P Rd [kn] b0 hap 1,8 0 h ap <1,8 Minimální výška betonové desky h c [mm] HVB 80 23 45 45 90 HVB 95 60 57 95 HVB 110 75 66 110 HVB 125 28 80 75 125 HVB 140 80 80 140 Pro kotvy v žebrové desce je nutné dodržet omezení z tabulky a pro únosnost použít redukční součinitele podle těchto vzorců: žebra kolmo k ose nosníku: α = 0,85 b h 0 c h n h h ap ap ap ale vždy 0,5 α 1,0 n je počet kotev v žebru. 41

žebra ve směru osy nosníku: α = 1, 0 pro α b h b 0 h ap > 1,8 0 sc ap = 0,6 pro hap hap h ale vždy 0,5 α 1,0 b h 0 ap 1,8 Redukce platí pro kotvu jakkoli vzhledem k ose nosníku natočenou. U zarážek HVB lze počítat s dostačující tažností, spřažení provedené tímto způsobem je duktilní (tažné). Perforovaná lišta Na ČVUT se posledních deseti letech experimentuje s perforovanými lištami, vyobrazenými na následujícím obrázku. Zatím jsou prověřeny únosnosti dvou typů lišty: nízká (výška 50 mm) a vysoká (výška 100 mm). Charakteristická únosnost lišty 50 mm vysoké s otvory 30 mm je P = 68 + 12, 4 f + 797 A Rk ck st Charakteristická únosnost u lišty 100 mm vysoké s otvory 60 mm je P = 273 + 14,1 f + 313 A Rk ck st Ve vzorcích značí: A st f ck pevnost betonu měřená na válcích [MPa], plocha výztuže provlečené otvory lišty [v mm 2 /mm]. Uvažuje se výztuž s mezí kluzu f sk = 490 MPa 42

Po dosazení příslušných hodnot vychází únosnost v N/mm délky lišty. Statistickým rozborem byl pro nízkou lištu zjištěn součinitel γ v = 1, 4, pro vysokou lištu γ v = 1, 25. Přitom platí obvyklý vztah pro návrhovou únosnost PRd = PRk γ v Lištu obecně nelze považovat za dostatečně tažný prvek spřažení ve smyslu ČSN EN 1994-1-1, protože při zkouškách na vzorcích podle Přílohy B se tažnost (prokluz δ při dosažení P Rk ) pohybuje mezi 2 až 7 mm, přičemž s větším množstvím výztuže procházející otvory (A st ) tažnost vzrůstá. Protože hraniční hodnotou je prokluz 6 mm, je vhodné bezpečně navrhovat nosníky s lištou podle teorie pružnosti. Více informací o liště je v [14], [15], [16], [17]. 6.6.5 Detaily smykového spojení a vliv montáže Pro trny platí řada podmínek, jejichž splnění zajišťuje správnou funkci trnů. Tak např. vzdálenost povrchu spřahovacího prvku, který brání nadzvednutí desky (např. spodní strana hlavy spřahovacího trnu), od dolní výztuže nemá být menší než 30 mm, viz obr. 19. Povrch hlavy trnů může být zalícován s povrchem desky, častěji se ale požaduje krytí hlavy betonem, které má být alespoň 20 mm. Při rozmísťování trnů je také vždy nutné dbát na to, aby se beton dal dobře zhutnit; zejména se jedná o oblast u paty trnů, kde je namáhání betonu největší. Při betonování je nutné vyhnout se situaci, kdy by částečně zatvrdlý beton (s pevností pod 20 MPa) byl zatěžován nebo vystaven deformacím. Je-li řada trnů provedena podél okraje betonové desky, má se příčná výztuž zakotvit v betonu mezi okrajem desky a přilehlou řadou spřahovacích prvků. Je-li vzdálenost mezi okrajem desky a osou nejbližší řady spřahovacích prvků menší než 300 mm, mají se dodržet doporučení specifikovaná v normě, aby se zabránilo podélnému rozštěpení betonové pásnice, způsobenému spřahovacími prvky: Je-li použita deska s náběhy, má okraj náběhu ležet mimo linie vynesené pod úhlem 45 stupňů od vnějšího okraje spřahovacího prvku (viz obr. 19), vzdálenost okraje náběhu od spřahovacího prvku (krytí) nemá být menší než 50 mm a pruty příčné výztuže se umístí v náběhu ve vzdálenosti alespoň 40 mm pod povrchem spřahovacího prvku, který odolává nadzvednutí. 43

Obr. 19 Detaily [obr. 6.14] Protože spojení betonové desky s nosníkem často zajišťuje stabilitu nosníku nebo jeho částí, musí rozteče trnů splňovat určité podmínky. Tak u tlačené pásnice nemá být rozteč (osová vzdálenost) ve směru působícího tlaku větší než: pro plnou desku: 22tf 235 f y ; pro žebrovou desku s žebry napříč nosníku: 15tf 235 f y ; kde t f je tloušťka pásnice; f y jmenovitá mez kluzu pásnice v MPa. U pozemních staveb nemá být podélná rozteč trnů větší než šestinásobek celkové tloušťky desky a zároveň ne větší než 800 mm. Čistá (nikoli osová) vzdálenost od okraje tlačené pásnice ke krajní řadě spřahovacích prvků nemá být větší než 9tf 235 f y. Trny ale nemají být rozmístěny ani příliš hustě, aby se při přenášení sil nebo případném porušení navzájem neovlivňovaly: rozteč ve směru smykové síly nemá být menší než 5d; rozteč ve směru napříč ke smykové síle nemá být menší než 2,5d v plné desce a 4d v ostatních případech. Existují určité technologické požadavky pro přivařování trnů. Kromě zajištění dostatečného příkonu elektrického proudu (zdroj musí být dostatečně tvrdý ) je také nutno dbát na to, aby nedošlo k nadměrné deformaci pásnice na kterou se trny přivařují. Proto se nemá používat příliš tenká pásnice, její tloušťka musí odpovídat průměru přivařovaného trnu. Lze to definovat tak, že kromě případů kdy jsou trny umístěny přímo nad stojinou, nemá být průměr přivařeného trnu větší než 2,5násobek tloušťky pásnice. Nelze-li uvedené požadavky dodržet, je vhodné přesvědčit se zkouškami, jak bude přivařování probíhat. Trn také nemá být příliš blízko okraje pásnice, za krajní hodnotu se považuje 20 mm. Pro volbu samotného trnu platí rovněž určitá omezení. Tak např. celková výška trnu nemá být po přivaření menší než 3d, kde d je průměr dříku trnu, hlava trnu nemá mít průměr menší než 1,5d a výšku menší než 0,4d. U tažených prvků namáhaných na únavu nemá být průměr přivařeného trnu větší než 1,5násobek tloušťky pásnice, ke které se přivařuje, pokud zkoušky nepotvrdí dostatečnou únavovou únosnost trnu ve smyku. Toto pravidlo se uplatní i u trnů přivařených přímo nad stojinou. U žebrových desek vybetonovaných do profilovaného plechu má trn přesahovat nad horní hranu plechu alespoň 2d, a nejmenší šířka žeber vyplněných betonem má být alespoň 44

50 mm, měřeno uprostřed výšky žebra. Mají-li profilované plechy v dolní pásnici střední žebírko, umísťují se trny střídavě vlevo a vpravo od tohoto žebírka. 6.6.6 Podélný smyk v betonových deskách Je zřejmé, že sílu z trnů nebo jiných spřahovacích prvků je nutné dále roznést do betonové desky, čemuž kromě tloušťky desky musí odpovídat také příčná výztuž v desce. Plochy možného smykového porušení desky jsou naznačeny na obr. 20. Návrhové podélné smykové napětí pro kteroukoli možnou plochu smykového porušení desky ν Ed nesmí překročit návrhovou podélnou smykovou pevnost, která se určí podle ČSN EN 1992-1-1. Prochází-li smyková plocha kolem trnů (např.smyková plocha b-b na obr. 20), má se jako délka smykové plochy uvažovat rozměr h f, za který se považuje (2h sc + průměr hlavy trnu) pro trny v jedné řadě nebo trny vystřídané a (2h sc + s t + průměr hlavy trnu) pro trny umístěné v párech. Účinná příčná výztuž na jednotku délky nosníku A sf / s f se uváží podle obr. 20, kde A b, A t a A bh jsou plochy výztuže na jednotku délky nosníku a s f vzdálenost trnů v podélném směru. typ a-a b-b c-c d-d A sf /s f A b +A t 2A b 2A b 2A bh Obr. 20 Typické plochy možného smykového porušení [obr. 6.15] Pokud se použijí profilované plechy a smyková plocha prochází tloušťkou desky (např. smyková plocha a-a na obr. 21), má se rozměr h f uvažovat jako tloušťka betonu nad plechem. Použijí-li se plechy položené napříč k nosníkům a návrhová únosnost trnů se určí s použitím redukčního součinitele k t podle 6.6.4, nemusí se uvažovat smyková plocha b-b na obr. 21. Použijí-li se plechy s mechanickým nebo třecím spojením položené napříč k nosníkům spojitě přes horní pásnici nosníku, může se jejich příspěvek k příčnému vyztužení pro smykovou plochu typu a-a započítat způsobem popsaným v normě. 45

typ a-a b-b c-c d-d A sf /s f A t 2A b 2A b A t + A b Obr. 21 Typické plochy možného smykového porušení při použití profilovaného plechu [obr. 6.16] Příklad 6.1 Navrhněte stropní nosníky na rozpětí 7,5 m, vzájemná vzdálenost nosníků je 2,0 m. Zatížení stálé představuje pouze vlastní tíha konstrukce, proměnné užitné q k = 4,0 kn/m 2. Nosník je z oceli s mezí kluzu f y = 275 MPa, beton má válcovou pevnost v tlaku f ck = 20 MPa. Železobetonová deska má konstantní tloušťku 70 mm. Nosník není při stavbě podpírán. Jako spřahovací prvky se použijí trny a alternativně perforovaná lišta. Použije se ocel S275 a beton C20/25. Mezní stav únosnosti Stálé zatížení: g k = 23 2 0,07 + 0,22 = 3,44 kn/m Proměnné zatížení: g d = 1,35 3,44 = 4,64 kn/m q k = 2 4 = 8 kn/m q d = 1,5 8 = 12 kn/m Moment uprostřed: M Ed = 0,125 16,64 7,5 2 = 117 knm Zvolíme ocelový profil IPE 200. Ocel je u prostého nosníku namáhána tahem, jedná se tedy automaticky o průřez třídy 1, tudíž se provede plastický výpočet. Návrhové pevnosti ocel f yd = 275/1,0 = 275 MPa beton f cd = 20/1,5 = 13,3 MPa Napětí při dosažení plastické únosnosti v ohybu je na obrázku. 46

Účinná šířka desky: b eff = 7500/4 = 1875 mm Poloha neutrální osy (z rovnováhy sil): Moment únosnosti: 2848 275 x= =37 mm 1875 0,85 13,3 M pl,rd = 2848 275 (170 37/2) = 118,6 10 6 Nmm = 118,6 knm > M Ed = 117 knm Spřažení Použijí se trny průměru 16 mm z oceli s mezí pevnosti f u =370 MPa. Trny budou po přivaření 50 mm vysoké (krytí betonem 20 mm). Únosnost trnu v plné desce: 2 π 16 PRk = 0,8 370 = 59514 N 4 2 P = 0, 29 0,825 16 20 29000 = 46645 N Rk α = 0,2(h/d + 1) = 0,2(50/16 + 1) = 0,825 P P Rk Rd = 46,6 kn 46,6 = = 37,3 kn 1,25 Na polovině rozpětí je potřeba přenést sílu: N cf = 2848 275 = 783,2 103 N = 783,2 kn Potřebný počet trnů: n f 783,2 = = 21 37,3 Trny budou v jedné řadě, jejich vzdálenost v podélném směru tudíž bude 3750/21 = 180 mm. Mezní stav použitelnosti Průhyb při betonování desky: δ = 5 3,44 7500 4 /384 210000 19,43 10 6 = 35 mm (předpokládá se, že se tento průhyb vyrovná nadvýšením ocelového nosníku) 47

Průhyb spřaženého nosníku (pružný výpočet): n = E a /E c = 210000/(29000/2) = 14,5 b eff /n = 1875/14,5 = 129 mm x = (2848 170 + 129 70 35)/(2848 + 129 70) = 67 mm I 1 = 19,43 10 6 + 2848 103 2 + (129 67 3 /12) + 129 67 33 2 = 62,2 10 6 mm 4 Napětí v mezním stavu použitelnosti v dolních vláknech oceli: Účinek čerstvého betonu: M Ed = 0,125 3,44 7,5 2 = 24,2 knm σ a = 24,2 10 6 /194 10 3 = 124,7 MPa Účinek proměnného zatížení: M Ed = 0,125 8 7,5 2 = 56,25 knm σ a = 56,25 10 6 203/62,2 10 6 = 183,6 MPa Napětí v dolní pásnici celkem: σ a = 124,7 + 183,6 = 308,3 MPa > 275 MPa Ukazuje se, že v mezním stavu použitelnosti dochází k plastifikaci nosníku, což není přípustné, a navržený profil IPE 200 tedy nelze využít. Pro profil IPE 220 bude: 48

x = (3337 180 + 129 70 35)/(3337 + 129 70) = 74 mm I 1 = 27,72 10 6 + 3337 106 2 + (129 70 3 /12) + 129 70 39 2 = 82,6 10 6 mm 4 σ a = 24,2 10 6 /252 10 3 + 56,25 10 6 216/82,6 10 6 = 96,0 + 147,1 = 243,1 MPa < 275 MPa σ c = 56,25 10 6 74/82,6 10 6 14,5 = 3,4 MPa < 0,85 13,3 = 11,4 MPa Nosník s tímto ocelovým průřezem je v mezním stavu únosnosti pružný a pro výpočet průhybu lze použít standardní výpočet. Průhyb při betonování δ = 5 3,44 7500 4 /384 210000 27,72 10 6 = 24 mm (lze vyrovnat nadvýšením) průhyb od proměnného zatížení δ = 5 8 7500 4 /384 210000 82,6 10 6 = 19 mm < L/250 návrh vyhovuje. Alternativně se nabízí použít spřažení perforovanou lištou výšky 50 mm. Při spřažení lištou ale nelze použít plastický výpočet. Zjevně proto bude nutné ještě zvětšit ocelový průřez, vyzkoušíme IPE 240. Při pružném výpočtu bude v mezním stavu únosnosti: napětí v ocelovém nosníku při působení stálého zatížení M g,ed = 0,125 4,64 7500 2 = 32,6 knm σ a = 32,6 10 6 /324 10 3 = 100,6 MPa napětí ve spřaženém nosníku při působení proměnného zatížení M q,ed = 0,125 12 7500 2 = 84,37 knm x = (3912 190 + 129 70 35)/(3912 + 129 70) = 82 mm I 1 = 38,92 10 6 + 3912 108 2 + (129 70 3 /12) + 129 70 47 2 = 108,2 10 6 mm 4 σ a = 84,37 10 6 228/108,2 10 6 = 177,8 MPa σ c = 84,37 10 6 82/14,5 108,2 10 6 = 4,4 MPa 49

Napětí v dolním vláknu ocelového průřezu celkem: σ a = 100,6 + 177,8 = 278,4 MPa se přibližně rovná návrhové pevnosti oceli (275 MPa), a lze proto návrh považovat za vyhovující. Průběh napětí je vynesen na obrázku na předchozí stránce. Průhyb již nekontrolujeme, protože zjevně vyhoví. Únosnost spřahovací lišty bez výztuže protažené otvory (A st = 0) je P Rk = -68 + 12,4f ck + 797A st = -68 + 12,4 20 = 180 N/mm P Rd = 180/1,4 = 128 N/mm Posouvající síla u podpory je u spřaženého nosníku: V = 0,5 12 7,5 = 45 kn Statický moment betonové pásnice k neutrální ose: S c = 129 70 47 = 424,4 10 3 mm 3 Podélná posouvající síla mezi betonovou deskou a ocelovou pásnicí u podpory je V l = V S c /I 1 = 45000 424,4 10 3 /108,2 10 6 = 176 N/mm < 180 N/mm Spřažení tudíž pevnostně vyhovuje. Rekapitulace Vyhovuje IPE 220 + 42 trnů, nebo IPE 240 + spřahovací lišta 50 mm vysoká. Příklad 6.2 Navrhněte stropní nosníky na rozpětí 6 m, vzájemná vzdálenost nosníků je 2,5 m. Zatížení stálé g k = 2,85 kn/m 2 (z toho samotná betonová deska 1,55 kn/m 2 ), proměnné užitné q k = 3,0 kn/m 2. Nosník je z oceli s mezí kluzu f y = 235 MPa, beton má válcovou pevnost v tlaku f ck = 25 MPa. Žebrová deska je vybetonována do plechů VSŽ 12 003 vysokých 50 mm, tloušťka desky nad povrchem plechů je také 50 mm. Nosník není při stavbě podpírán. Mezní stav únosnosti Zatížení: q = 1,35 2,5 2,85 +1,5 2,5 3 = 20,87 kn/m d Moment uprostřed: 1 2 M Ed = 20, 87 6 = 93, 9 kn/m 8 L 6000 Účinná šířka desky: beff =2 be =2 =2 =1500mm 8 8 Zvolíme IPE 180. Ocel je v tahu, jedná se automaticky o průřez třídy 1, a tudíž se bude jednat o plastický návrh. Napětí při dosažení plastické únosnosti je na obrázku na další stránce. 50

Poloha neutrální osy (z rovnováhy sil): 2390 235 x= =26mm 1500 14, 2 Moment únosnosti: Spřažení M pl,rd = 2390 235 (190 26/2) = 99,4 10 6 Nmm = 99,4 knm > M Ed = 93,9 knm Použijí se trny průměru 18 mm z oceli s mezí pevnosti f u = 340 MPa. Trny jsou rozmístěny podle obrázku, tj. 2 ks na 600 mm délky nosníku. Únosnost trnu v plné desce: 2 π 18 PRk = 0,8 340 = 69216 N (rozhoduje) 4 2 P = 0,29 1 18 25 30500 = 82047 N Rk P =69,2kN Rk 69, 2 P Rd = = 55, 4 kn 1, 25 Redukovaná únosnost trnu v žebrové desce, žebra kolmo k ose nosníku: 0, 7 68,8 80 kt = 1 = 0,578 1 50 50 P = 0,578 55,4 = 32,0 kn Rd Na polovině rozpětí je potřeba přenést sílu: N cf 3 = 2390 235 = 561,6 10 N = 561,6 kn 51

Potřebný počet trnů: n f 561,6 = =18 32,0 Z obrázku na předchozí stránce je vidět, že na délce 600 mm lze (při jedné řadě trnů) na nosník umístit nejvýše dva trny, tudíž na polovině rozpětí (3000 mm) může být nejvýše 10 trnů, což je méně než požadovaných 18. Při tomto počtu trnů tedy půjde o částečné smykové spojení. Podmínka pro využití částečného spojení (čl.6.6.1.2 normy) je splněna, neboť: n 10 η = = = 0,55> 0,4 Le = 25m > 6m n 18 f Moment únosnosti pro IPE 180: W pl = 166 10 3 mm 3 M pl,a,rd = 166 10 3 235 = 39,0 10 6 Nmm = 39,0 knm Moment únosnosti spřaženého nosníku při použití deseti trnů na polovině rozpětí bude: M Rd = M pl,a,rd + (M pl,rd M pl,a,rd ) η= 39,0 + (99,4 39,0) 0,55 = 72,2 knm < 93,9 knm Nosník tudíž nevyhovuje a návrh je nutné změnit. Použijeme větší ocelový profil IPE 220: Nová poloha neutrální osy: 3340 235 x= =37mm 1500 14,2 a momenty únosnosti: M pl,rd = 3340 235 (210 37/2) = 150,3 10 6 Nmm = 150,3 knm < 2,5 M pl,a,rd = = 2,5 67,2 = 168 knm M pl,a,rd = 286 10 3 235 = 67,2 10 6 Nmm = 67,2 knm M Rd = 67,2 + (150,3 67,2) 0,55 = 112,9 knm > M Ed = 93,9 knm nosník vyhovuje Mezní stav použitelnosti a) Průhyb při betonování desky: zatížení ( γ f = 1,0) : vlastní tíha 0,26 kn/m beton desky 2,5 1,55 = 3,88 kn/m celkem 4,13 kn/m 52

Průhyb δ = 5gL 4 /384EI a = 5 4,13 6000 4 /384 210000 27,7 10 6 = 12,0 mm Napětí σ a = 4,13 6000 2 /8 252 10 3 = 73,7 MPa b) Průhyb spřaženého nosníku (pružný výpočet): n = E a /E c = 210000/(30500/2) = 13,8 e = (3340 110 + (50 1500 295/13,8))/(3340 + (50 1500/13,8)) = 225 mm I 1 = 27,7 10 6 + 3 340 115 2 + ((1500/12) 50 3 + 50 1500 70 2 ) = 99,6 10 6 mm 4 zatížení: zbytek stálého 2,5 (2,85 1,55) = 3,25 kn/m proměnné zatížení 2,5 3 = 7,50 kn/m celkem 10,75 kn/m σ 4 10, 75 6000 = 225 = 109,3 MPa 8 99,6 10 a 6 Σ σ a = 73,7 +109,3 = 183,0 MPa < 235 MPa nosník je v mezním stavu použitelnosti pružný δ 5 10,75 6000 = =8,7 mm 384 210000 99,6 10 c 6 4 Průhyb celkem: δ = 12,0 +8,7 = 20,7 mm Vliv částečného spojení na zvětšení průhybu lze v tomto případě zanedbat, neboť η = 0,55 > 0,5. Rekapitulace Nosník IPE 220, žebrová deska 50 + 50 mm, 20 trnů celkem, průhyb 20,7 mm (lze případně zmenšit nadvýšením) 53

Příklad 6.3 Navrhněte průvlak nesoucí dva stropní nosníky z předchozího příkladu. Zatížení i materiály zůstávají stejné jako u příkladu 6.2. Žebra desky jsou rovnoběžná s osou nosníku. Průvlak nebude během montáže podepřen. Mezní stav únosnosti Zatížení: F = 20,87 6 = 125,2 kn d g d =0,4kN/m 1 2 Moment uprostřed M Ed = 125,2 2,5 + 0,4 7,5 = 315,8 knm 8 Účinná šířka betonové desky: b eff = 7500/4 = 1875 mm Zvolíme IPE 330: Spřažený nosník v řezu je na obrázku. Vzdálenost neutrální osy od povrchu desky se určí z rovnováhy sil. Ve výpočtu neuvažujeme beton v žebrech. Poloha neutrální osy 6260 235 x= =55mm 1875 14,2 Moment únosnosti pro úplné spojení: M pl,rd = 6260 235 (265 50/2) = 353,0 10 6 Nmm = 353,0 knm > 315,8 knm Spřažení Trny průměru 18 mm v žebrech desky podle obrázku Redukce únosnosti pro trn v podélném žebru: k Únosnost trnu: t Rd 68,8 80 =0,6 1 =0,495 50 50 P = 0, 495 55, 4 = 27, 4 kn 54

Síla k přenesení na kritické délce rovné polovině rozpětí: 3 Ncf = 6260 235 = 1471,1 10 N = 1471,1 kn 1471,1 To odpovídá n f = =54 trnům na polovině rozpětí 27,4 Budou-li trny v nejhustší možné rozteči 5d = 5 18 = 90 mm, umístí se jich na průvlak (na polovinu rozpětí) celkem n = = 41 a půjde tedy opět o částečné smykové spojení, neboť 3750 90 n 41 η = = = 0,76 n 54 f Pro IPE 330: 3 3 Wpl = 804 10 mm M pl,a,rd = 804 10 3 235 = 188,9 knm Moment únosnosti zpraženého průřezu snížený v důsledku částečného spojení: Rd pl,a,rd pl,rd pl,a,rd ( ) M = M + ( M M ) η = 188,9 + 353,0 188,9 0,76 = 313,6 knm 315,8 knm lze považovat za vyhovující. Mezní stav použitelnosti Zatížení čerstvým betonem a vlastní tíhou nosníku (γ f = 1,0) : nese IPE 330 F = 1,55 2,5 6 = 23,25 kn g =0,4kN/m 1 δa = 0,355 F L + 0,013 g L E I a 3 4 1 = 0,0355 23250 7500 + 0,013 0, 4 7500 = 14,7 mm 210 10 118 10 δ 3 4 a 3 6 Zatížení spřaženého nosníku: ( ) F = 2,85 1,55 2,5+3 2,5 6 = 64,5 kn Průřez pro pružný výpočet (započítáme jedno žebro desky) je na obrázku. n =13,8 1 6260 165 + ( 50 1875 405 + 50 68,8 355) 13,8 e = = 1 6260 + ( 50 1875 + 50 68,8) 13,8 = 291 mm 55

6 2 1 1 875 3 2 68,8 3 2 I1 = 118 10 + 6260 126 + 50 +1 875 50 114 + 50 + 68,8 50 64 13,8 12 12 1 6 4 I =308,110 mm Prověříme napjatost v provozním stavu: montážní stav: spřažený nosník: 1 M 8 2 Ed = 2,5 13,25 + 0,4 7,5 = 35,6 knm M = 2,5 64,5 = 161,2 knm Ed Napětí: dolní vlákna ocelového nosníku: σ 6 6 35,6 10 161, 2 10 291 = + = 202, 2 MPa < f 3 6 y = 235 MPa 713 10 308,1 10 horní vlákna betonové desky: 6 161, 2 10 139 σ = = 5,3 MPa < 0,85 f 6 ck = 0,85 25 = 21,25 MPa 13,8 308,1 10 Nosník působí v provozním stavu pružně. Průhyb 3 3 0,0355 64,5 10 7500 δc = = 14,9 mm 3 6 210 10 308,1 10 Podélná posouvající síla v krajní třetině nosníku: 1 64500 ( 1875 50 114 + 68,8 50 64) V S 13,8 Vl = = = 165 N / mm I 6 l 308,1 10 Síla na jeden trn (rozteče 90 mm): P = 90 165 = 14850 N < P = 27400 N Protože současně η =0,76>0,5, lze vliv prokluzu ve spřažení na průhyb zanedbat. Průhyb celkem l 7500 δ = δa + δ c = 14,7 +14,9 = 29,6 mm < = = 30,0 mm 250 250 Rd 56

Příklad 6.4 Nosníky z příkladu 6.2 navrhněte jako spojité 5 x 6 m. Zatížení i materiály jsou stejné jako v příkladu 6.2. Nosníky nebudou při betonování podepřeny. Mezní stav únosnosti Uvážíme dva zatěžovací stavy: stálé nahodilé g q d d = 1,35 2,5 2,85 = 9,62 kn / m = 1,5 2,5 3,0 = 11, 25 kn / m Zřejmě bude vyhovovat válcovaný nosník (pravděpodobně menší než IPE 220, potřebné pro prosté pole), který bude i u vnitřních podpor možno zařadit do třídy 1. Ohybové momenty pro nosník konstantního průřezu redistribuujeme podle tab. 5.1 normy. Výsledky jsou na obrázcích: Rozhodující momenty pro dimenzování: v poli: M =60,4kNm Ed v podpoře: M =51,0kNm Ed Účinná šířka desky: krajní pole: vnitřní podpora: Ohybové momenty: b b eff eff 0,8 6000 = = 1200 mm 4 0, 25 2 6000 = = 750mm 4 57

Vyzkoušíme průřez IPE 200: Průřez v poli: 2850 235 x= =39mm 1200 14,2 M pl,rd ( ) 6 = 2850 235 200 39/2 = 120,9 10 Nmm = 106,5 knm > M = 60, 4 knm Průřez v podpoře: výztuž 10 mm á 200 mm; f sk = 500 MPa Ed Poloha neutrální osy (viz obrázek) nalezena zkusmo. Kontrola: N a1 = N a2 + N s 3 ( ) N a1 = 235 850 + 62,5 + 145 8,5 5,6 = 394 10 N 3 Na2 = 235 2 850 Na1 = 276 10 N Ns 2 π 10 3 = 3 434,8 = 102 10 N 4 394 276 +102 poloha správná { ( ) } 6 = 235 2 850 170 2 850 + 62,5 75 + 46,5 5,6 102 = 69,2 10 Nmm = M pl,rd = 69,2 knm 51,0 knm 58

Kontrola zatřídění průřezu: c 50 pásnice: = 10 splněno t 8,5 stojina: d = 159 mm αd = 125 mm 125 α = =0,8 159 d 159 36 36 = = 28 = = 45 splněno t 5,6 α 0,8 Průřez skutečně patří do třídy 1. Kontrola stability (klopení). Musí být dodrženy podmínky: stejně dlouhá pole: splněno rovnoměrné zatížení; stálé alespoň 40 % celkového: zde 8,55/19,05 = 0,44; splněno horní pásnice spojena s betonovou deskou: splněno nosník IPE 200 vyhovuje tabulce z normy: splněno Všechny podmínky jsou splněny, a nosník proto není nutno kontrolovat na klopení. Spřažení Nosník se rozdělí na úseky podle obrázku. Síly při plném smykovém spojení: úsek 1: úsek 2: 3 cf = 2850 235 = 670 10 N 3 3 3 cf = 670 10 +102 10 = 772 10 N N N atd. Potřebné počty trnů (únosnost trnu v žebru podle příkladu 6.2): 670 úsek 1: n f = = 21 ks 32 772 úsek 2: n f = = 24 ks 32 Použije se následující počet spřahovacích trnů (v každém žebru dvojice): 2700 Pro úsek 1: n = 2=9 jde tedy opět o částečné smykové spojení, neboť 600 59

9 η = = 0,43 > 0,4 21 Únosnost pro částečné spřažení: IPE 200: M pl,a,rd = 220 235 = 51,7 knm M Rd = 51,7 + (120,9 51,7) 0,43 = 81,5 knm > 60,4 knm Obdobně pro úsek 2: 3300 n = 2=11 600 η =11/24=0,46 M Rd = 51,7 + (69,2 51,7) 0,46 = 59,8 knm > 51,0 knm nosník vyhovuje Mezní stav použitelnosti a) Průhyb při betonování Průhyb v krajním poli: 1 5 4 2 δa = ql 0, 0625 ML E I 384 δ a 1 5 4 6 2 = 4,3 6000 0,0625 16,3 10 6000 = 8,8 mm 210 10 19,4 10 384 a 3 6 b) Průhyb spřaženého nosníku průřez v poli: 1 2850 100 + 1200 50 275 13,8 e = = 206 mm 1 2850 + ( 1200 50) 13,8 60

6 2 1 1200 3 2 6 4 I1 = 19,4 10 + 2850 106 + 50 +1200 50 69 = 73,0 10 mm 13,8 12 průřez v podpoře: 2850 100 + 236 270 e = = 113 mm 2850 + 236 I 6 2 2 6 2 = 19, 4 10 + 2850 13 + 236 157 = 25,7 10 mm Součinitel z obr. 27: -0,35 0,35 - EI a 1 73,0 f1 = = = 0,69 EI a 2 25,7 Největší napětí v ocelovém nosníku v provozním stavu: 6 6 16,3 10 40,7 10 σa = + 13 = 263,0 MPa > f 3 6 y = 235 MPa 194 10 25,7 10 U vnitřní podpory dochází i v provozním stavu k plastifikaci průřezu. Protože k plastifikaci dochází až po zatvrdnutí betonu, je f =0,7. 2 Redistribuce momentů: 4 Průhyb: 1 5 4 6 2 δ = 10,75 6000 0,0625 19,7 10 6000 = 8,9 mm 3 6 210 10 73 10 384 Vliv prokluzu ve spřažení není potřeba uvažovat, neboť: η >0,5 L 6000 Průhyb celkem: δ = 8,8 + 8,9 = 17,7 mm = = 24,0 mm 250 250 Rekapitulace IPE 200; žebrová deska 50+50 mm, výztuž u podpor 10 mm, průhyb 17,7 mm, 20 trnů v jednom poli spojitého nosníku. 61

6.7 Spřažené sloupy a spřažené tlačené prvky 6.7.1 Všeobecně Tvary vhodné pro spřažené ocelobetonové sloupy jsou na obr. 22. Poznamenává se, že dále uváděná ustanovení normy se dají použít jen pro sloupy z oceli tříd S235 až S460 a běžného betonu pevnostních tříd C20/25 až C50/60, u nichž je poměr δ vyjadřující příspěvek oceli, viz dále vzorec (6.38), v rozmezí: 0,2 δ 0,9 (6.27) Únosnost spřaženého sloupu lze stanovit obecnou metodou, která se hodí pro sloupy s nesouměrným průřezem, nebo je k dispozici zjednodušená metoda, použitelná pro v praxi nejčastěji se vyskytující sloupy s dvojose souměrným průřezem. Zde se budeme zabývat pouze touto zjednodušenou metodou. Účinky lokálního vyboulení ocelové části sloupu na jeho únosnost se obecně musí vzít v úvahu, dodrží-li se ale rozměry podle tab. 10, k vyboulení nedojde. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Obr. 22 Typické průřezy spřažených sloupů a značení [obr. 6.17] 62

Tab. 10 Největší hodnoty poměrů (d/t), (h/t) a (b/t f ), kde f y je v N/mm 2 [tab. 6.3] Průřez max (d/t), max (h/t) a max (b/t) Duté kruhové ocelové průřezy max (d/t) = 90 235 f y Duté pravoúhlé ocelové průřezy max (h/t) = 52 235 f y Částečně obetonované průřezy max (b/t f ) = 44 235 f y 6.7.2 Obecná metoda navrhování Obecná metoda je popsána v normě, ale v praxi se obvykle vystačí se zjednodušeným postupem. 6.7.3 Zjednodušená metoda návrhu Použití této metody je omezeno na prvky s dvojose souměrným a prizmatickým průřezem a pro sloupy, jejichž poměrná štíhlost splňuje podmínku: λ 2,0 (6.28) a poměr výšky h c ku šířce b c průřezu je v rozmezí 0,2 h c / b c 5,0. 63

U plně obetonovaných ocelových průřezů podle obr. 22 a má tloušťka krytí betonem splnit následující omezení: max c z = 0,3 h max c y = 0,4 b (6.29) Podélná betonářská výztuž, kterou lze ve zjednodušené metodě stanovení únosnosti započítat, nemá být větší než 6 % plochy betonu. Je-li větší, započítá se bezpečně jen 6 %. Únosnost spřaženého průřezu v tlaku se určí plastickým výpočtem jako součet únosností jeho částí: N pl,rd = A a f yd + 0,85A c f cd + A s f sd (6.30) Výraz (6.30) se použije u obetonovaných a částečně obetonovaných ocelových profilů. Pro duté průřezy vybetonované uvnitř se součinitel 0,85 nahradí 1,0. Únosnost spřaženého průřezu při současném působení tlaku a ohybu lze vypočítat za předpokladu obdélníkových průběhů napětí podle obr. 23 (všechna vlákna oceli dosahují f yd, resp. f sd u výztuže, u tlačeného betonu je dosažena hodnota 0,85f cd ). Pro měnící se poměr síly a momentu lze určit interakční závislost. Za povšimnutí stojí, že největší únosnost v ohybu je spojena s určitým předpětím normálovou silou, viz bod D na obr. 24. To způsobuje beton ve spřaženém průřezu. Na obr. 23 je ještě vyznačen stav, kdy je stojina ocelového průřezu částečně vytížena smykem, jak se probíralo u nosníků. Ve skutečnosti ale je u sloupů smyk zpravidla zanedbatelný. Obr. 23 Interakční závislost při působení tlaku a ohybu v jedné rovině [obr. 6.18] Interakční křivku lze pro obvyklé průřezy najít v odborné literatuře (u nás např. [7]), případně ji lze nahradit polygonem z obr. 24, kde se vpravo ukazují příklady rozdělení napětí pro plně obetonovaný ocelový průřez a typické body A až D. Polygon lze získat výpočtem v ruce, zatímco určit plynulou křivku je pracnější, dostane se postupným posouváním polohy neutrální osy v průřezu. Závislost lze ale jednoduše zprogramovat. Již bylo zmíněno, že síla v tlačeném betonu N pm,rd uvedená na obr. 24 se stanoví jako 0,85f cd A c pro plně obetonované i pro částečně obetonované průřezy a jako f cd A c pro betonem vyplněné duté průřezy. Pro betonem vyplněné kruhové ocelové trubky lze navíc 64