Teoretickámechanika. Jiří Langer a Jiří Podolský. Studijní text k přednášce NOFY003

Teoretická mechanika Jiří Langer a Jiří Podoský Studijní text k přednášce NOFY3 Teoretickámechanika Ústav teoretické fyziky Matematicko-fyzikání fakuta Univerzita Karova v Praze istopad 213 c Jiří Langer, Jiří Podoský

Obsah 1 Rovnice struny a její řešení 2 1.1 Odvozenírovnicepropříčnékmitystruny.... 2 1.2 Lagrangeovafunkcestruny.... 3 1.3 Řešenírovnicestruny..... 4 1.3.1 Metodad Aembertova... 4 1.3.2 MetodaBernouiova Fourierova... 5 1.3.3 PříkadnaFourierovyřady.... 6 1.4 Dašíokrajovépodmínky:vonýkonec,tření... 7 2 Mechanika kontinua 9 2.1 LagrangeůvaEuerůvpopis... 9 2.2 Tekutýobjem... 11 2.3 Síyobjemovéapošné,podmínkyrovnováhy..... 12 2.4 Rovnicekontinuityapohybovárovnice.... 13 2.5 Newtonovskáadokonaátekutina..... 14 2.6 NevířivéprouděnídokonaétekutinyaBernouihorovnice..... 14 2.7 Vnyvdokonaétekutině.... 15 2.8 Prouděnívazkétekutiny,Navierova Stokesovarovnice.... 16 2.9 Geometrickypodobnáproudění... 16 1

Kapitoa 1 Rovnice struny a její řešení V této kapitoe prostudujeme příčný pohyb struny, jednorozměrného spojitého útvaru, na který působí vnitřní síy napětí. Nejprve odvodíme parciání diferenciání pohybovou rovnici struny apotomuvedemedvěobecnémetodyjejíhořešení,d AembertovuaBernouiovu Fourierovu. Rozbor struny představuje důežitý přechod od mechaniky diskrétních hmotných bodů k mechanice spojitého kontinua, které se budeme věnovat v násedující kapitoe 2. 1.1 Odvození rovnice pro příčné kmity struny Uvažujmestrunu,jejížkoncejsouupevněnyvbodechanaose x.předpokádejme,žestrunaje napjatá vnitřním napětím σ a její hmotnost je ve směru x rozožena s konstantní ineární hustotou ρ. Nechť struna koná jen příčné kmity. Její výchyku z rovnovážné poohy popíšeme funkcí ux, t. Souřadnice x představuje vastně spojitý index, který označuje jednotivé body struny. Předpokádejme dáe, že výchyky jsou maé ve smysu, který vypyne z přibížení, jež v daším použijeme. PřikmitechsesiceměnídékastrunyapodeHookovazákonainapětívní.Budemevšakpředpokádat, že tato změna napětí σ je zanedbatená, což bude spněno napříkad tehdy, když struna má veké zákadní předpětí. Protožestrunakmitájenkomonaosu x,jejejízrychenívpříčnémsměrudánoveičinou 2 t 2 ux, t.newtonovapohybovárovniceúsekustrunydékydxohmotnosti ρdxprotoje ρdx 2 u t 2 = F y. 1.1 Nynímusímeodvoditveikostkomésíy F y působícínadanýúsekstrunyvdůsedkunapětí σ. Uvažme tedy obecnou výchyku struny popsanou v daném okamžiku funkcí yx ux, t = konst.. Tojerovinnákřivka x=x, y= yxsjednotkovýmtečnýmvektoremtx=k1, dy dx,kdenormaizačnífaktorje k=1/ 1+ dy dx 2.Předpokádáme-i,žeúhy,ježstrunasvírásosou x,jsoumaé, bude k =1.Naúsekstrunymezi. xax+dxtedypůsobívýsednásíaf=σtx+dx σtx, neboť směry napětí veikosti σ působící na obou koncích jsou dány přísušnými tečnými vektory. 2

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 3 Pro sožku výsedné síy do příčného směru y můžeme tedy s užitím Tayorova rozvoje psát F y = σ [ dy ].= x+dx dy dx dx x d 2 y σ dx2xdx. 1.2 Protoževibovonémfixnímokamžiku tpatí yx=ux, t,dostávámez1.1a1.2nakaždém úseku dx pohybovou rovnici příčných kmitů struny Tuto rovnici struny snadno upravíme do tvaru ρ 2 u t 2 = σ 2 u x 2. 2 u x 2 1 2 u c 2 =, 1.3 t2 což je jednorozměrná vnovárovnice pro funkci ux, t, přičemž c= σ/ρ rychost šíření vny. je, jak uvidíme, 1.2 Lagrangeova funkce struny Pohybovou rovnici struny1.3 nyní odvodíme jiným způsobem, totiž z Hamitonova principu zobecněného na spojitě rozoženou hmotnost. Abychom získai přísušnou akci S, musíme nejprve sestavit přísušnou Lagrangeovu funkci L. Protožestrunakmitájenkomonaosu x,jejejírychost tux, t.kinetickáenergieúseku strunydékydxje 1 2 ρdx[ t u]2,takžecekovákinetickáenergieje T= 1 [ u 2 ρ t ] 2 x, t dx. 1.4 Knaezenípotenciáníenergiemusímevyintegrovatpříčnousíu F y působícínaúsekstrunydx, jež je dána vztahem1.2. Práce vynaožená na její překonání při vychyování struny z rovnovážné poohy u=dookamžitévýchyky u=ux, tvdanémčase tjehedanápotenciáníenergie: dv = u F y dy= σdx u d 2 y dx 2dy. Zavedeme-inynípomocnoufunkci zyvztahem dy dx x zyx,patí d2 y dx = dz dy 2 dydx = zdz dy,takže dv = σdx x,je zu= xux, taintegracípřesceoudékudostávámecekovoupo- Protože zux= du dx tenciání energii u z dz dy dy= σdx zu zdz= σdx[ 1 2 z2 ] zu = 1 2 σ zu2 dx. V = 1 [ u 2 σ x ] 2 x, t dx. 1.5 Lagrangeovafunkce L=T V strunyjeprotodíky1.4,1.5dánavýrazem L= 1 2 ρu,t 2 1 2 σu,x 2 dx, kdejsmezavedi u,t u t a u,x u xcobyvhodnézkratkyproparciáníderivacefunkce ux, t. Jetudížpřirozenézavéstfunkci Lu,x, u,t zvanouhustotalagrangeovyfunkcestruny L 1 2 ρu,t 2 1 2 σu,x 2. 1.6

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 4 Přísušný funkcioná akce pro příčné kmity struny je S t2 t 1 Ldt= t2 t 1 Lu,x, u,t dxdt, Rovnice pohybu se nyní získá z Hamitonova principu δs =. Připomeňme známý matematický výsedek variačního počtu: mějme obecný funkcioná dvou proměnných x a t tvaru S= t2 x2 t 1 x 1 Lu, u,x, u,t, x, tdxdt, přičemž funkce ux, t nabývá na hranici integrační obasti pevných hodnot. Pak extremáa tohoto funkcionáu, pro níž δs =, musí řešit Euerovu Lagrangeovu rovnici L u L L =. 1.7 x u,x t u,t Apikujeme-i podmínku1.7 na hustotu Lagrangeovy funkce struny1.6, dostaneme ihned což je rovnice struny1.3. 1.3 Řešení rovnice struny σ u,xx ρ u,tt =, Nyní ukážeme dvě zákadní metody řešení jednorozměrné vnové rovnice, tedy rovnice struny. 1.3.1 Metoda d Aembertova Transformace ξ = x ct, η = x+ct, 1.8 převede rovnici1.3 užitím reací Integrací pode ξ dostaneme x = ξ + η a t = c ξ + c η natvar 2 u ξ η =. u η = gη, kde gη je ibovoná funkce η. Daší integrace dá uξ, η= gηdη+ Fξ=Fξ+Gη, 1.9 kde Fξ, Gη jsou ibovoné funkce. Dosazením přísušných proměnných ze1.8 dostaneme tedy obecné řešení ve tvaru ux, t=fx ct+gx+ct, 1.1 přičemž F reprezentuje profi vny šířící se rychostí c směrem doprava, zatímco G profi vny putující doeva. Konkrétní tvar řešení určují počáteční podmínky, které kademe na řešení. Všimneme si, jak dostaneme funkce F a G z počátečních podmínek v případě nekonečné struny.

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 5 Předpokádejme,ževčase t=jezadánafunkce uijejíčasováderivace, ux, = u x, u,t x, = v x. 1.11 Pode1.1 tedy patí Fx+Gx = u x, 1.12 cf x+cg x = v x. 1.13 Integrací1.13 dostaneme Fx+Gx= 1 c V x, 1.14 kde V x= v xdxjeprimitivnífunkcekv xsibovonouintegračníkonstantou.z1.12 a1.14pakvypočteme FxaGx.Dosazenímproměnných ξ = x ctdoargumentu F a η = x + ct do argumentu G dostaneme řešení vyhovující uvedeným počátečním podmínkám, ux, t= 1 2 [ u x ct 1 c V x ct+u x+ct+ 1 ] c V x+ct. 1.15 Jevidět,žekonstrukceřešeníjejednoznačnáprimitivnífunkce V jeurčenaažnaaditivníkonstantu, která z výsedného řešení vypadne. Vskutku patí věta o jednoznačnosti, pode které je řešení vnové rovnice jednoznačně určeno zadáním počátečních podmínek1.11. Uvedené řešení senazývád Aembertovo. 1.3.2 Metoda Bernouiova Fourierova Vprincipuzevýšeuvedenéhod Aembertovopostupuužítiprohedánířešeníkonečnéstruny, napříkad s pevnými konci, které je navíc v každém okamžiku t omezeno okrajovou podmínkou u, t=, u, t=, 1.16 viz závěr části 1.4 textu. Výhodnější je však užít postupu Bernouiova. Při něm se hedá řešení rovnice1.3vseparovanémtvaru ux, t=xxtt.dosazenímdo1.3aúpravoudostaneme c 2 X x Xx = Tt Tt = ω2, 1.17 kde čárka označuje derivaci pode x a tečka derivaci pode t. Vztah vyjadřuje rovnost mezi dvěma funkcemi různých proměnných, která má být spněna pro všechny hodnoty x a t. To nastává jen tehdy,rovnají-iseoběstranytéžeseparačníkonstantě ω 2,kde ωjereáné.pronuovénebo imaginární ω neze dané okrajové podmínky netriviáně spnit. Vztah1.17 proto představuje dvě obyčejné ineární diferenciání rovnice pro Xx a Tt. Rovnicepro Xmáobecnéřešení ω ω Xx=C 1 cos c x + C 2 sin c x, kde C 1, C 2 jsoukonstanty.zokrajovýchpodmínek1.16impikujících X==Xpyne C 1 =, ω n = nπ c, kde n=1,2,3,. Obdobněvyřešímerovnici1.17pro Tt,coždává Tt=Acosωt+Bsinωt,kdeintegrační konstanty A, B jsou zatím neurčené. Tedy ωn u n x, t=sin c x [a n cosω n t+b n sinω n t]

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 6 je partikuárním řešením rovnice1.3, které vyhovuje okrajovým podmínkám1.16. Protožerovnice1.3jeineární,řešíjiiibovonákonečnásuperpozicefunkcí u n.budejiřešit i nekonečná řada ux, t= u n x, t= n=1 n=1 sin nπ x [ a n cos nπ ct + b n sin nπ ct ], 1.18 pokud stejnoměrně konverguje a ze ji tedy derivovat čen po čenu. To samozřejmě závisí na hodnotáchkoeficientů a n, b n,kteréurčímezpočátečníchpodmínek1.11 ux,= u,t x,= n=1 n=1 a n sin nπ x b n nπ c sin nπ x = u x, 1.19 = v x; 1.2 u xjespojitáfunkce,kterávymizívkoncovýchbodechav xjepočástechspojitáfunkce. Z teorie Fourierových řad pyne, že koeficienty jsou určeny vztahy a n = 2 b n = 2 nπc u xsin nπ x dx, v xsin nπ x dx, 1.21 astaktourčenýmikoeficientyřada1.18stejnoměrněkonverguje.výrazypro a n, b n sezískají tak,žeřada1.19resp.1.2sevynásobífunkcísinmπ x aintegrujepřes x.užitímidentity sin mπ x sin nπ x = 1 2 cos m nπ x 1 2 cos m+nπ x sesnadnozjistí,žepatí sin mπ x sin nπ x dx= 2 δ mn, 1.22 takžepointegraciřadyčenpočenuzůstanenaevéstraněpouzekoeficient a m resp. b m vynásobenýkonstantou /2resp. mπc/2,načežstačíjenpřeznačit mza n.systémfunkcí {sinnπ x }je navíc příkadem úpného ortogonáního systému funkcí s pevnými konci1.16 na intervau, připoměňme, že evá strana vztahu1.22 představuje skaární součin m-tého a n-tého čenu systému. Oprávněnost operací a důkaz úpnosti však vyžadují pečivější matematické zkoumání. 1.3.3 Příkad na Fourierovy řady Užitečnost a smys právě odvozeného postupu řešení nyní iustrujeme na konkrétním příkadě kmitů struny s pevnými konci. Uvažujme počáteční podmínky1.11, kdy strunu uprostřed vychýímezrovnovážnépoohydovzdáenosti 1 1 apakzkiduvypustíme,neboipočátečnípoohaje u x= 1 5 x pro x [, /2], u x= 1 x pro x [ /2, ], 5 zatímcopočátečnírychostvymizí, v x=.z1.21ihnedpyne,že b n =provšechna n a a n = 2 5 /2 xsin nπ x dx+ 2 5 /2 xsin nπ x dx. Integráy spočítáme metodou per partes, a n = 2 [ xcos nπ x ] /2 /2 5 nπ + cos nπ x [ dx xcos nπ x ] /2 /2 cos nπ x dx,

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 7 kde čeny v hranatých závorkách se navzájem odečtou, takže a n = 2 [ 5 n 2 π 2 sin nπ x ] /2 [ sin nπ x ] = 4 n /2 5 n 2 π 2 sin π. 2 Provšechnasudá njsoutedykoeficienty a n nuové,zatímcoproichá npatí sinn π 2 =±1. Kompetní řešení1.18, tedy proto můžeme zapsat ve tvaru ux, t= 4 [ 5π 2 sin π x cos ux, t= π ct n=1 a n sin nπ x cos 1 9 sin 3π x cos 3π ct nπ ct, + 1 5π 25 sin x cos 5π ct ]. 1.23 JednásevastněorozkadřešenídoFourierovyřadysoženéz ichýchharmonickýchmódů. Speciáněvpočátečnímčase t=dostávámerozkad piovité funkce u xurčujícípočáteční poohudořadyharmonickýchfunkcí,jejichžampitudasrostoucím nkesájako 1/n 2, u x= 4 5π 2 [ sin π x 1 9 sin 3π x + 1 5π 25 sin x ]. 1.24 Spřičtenímkaždéhodašíhočenutétořadysezákadnímóddanýhadkoufunkcísinπ x stáe vícebížífunkci u x,kterámávbodě x=/2maximum 1 1 vetvaru špičky : n=1 n=1a3 n=1a3a5 1.4 Daší okrajové podmínky: voný konec, tření V předchozí části jsme vyřešii rovnici konečné struny déky s pevnými konci, jež jsou dány okrajovou podmínkou1.16, tedy u, t=, resp. u, t=. 1.25 Nyní odvodíme okrajovou podmínku, jež naopak popisuje voné konce struny a situaci, kdy na konce působí třecí sía úměrná rychosti. Ktomujevhodnésipředstavit,ženakonecstrunynapříkadvmístě x=jepřipevněn maýnehmotnýkroužeknavečenýnarovnétyčcekomékose x.vsouaduspříčnýmpohybem ceéstrunysetedyijejíkonecmůžepohybovatpouzevpříčnémsměru.nynínapíšemenewtonovu pohybovou rovnici pro kroužek obecné hmotnosti m a uvážíme obě síy na něj působící: m 2 t u=f 2 y + F tření,kde Fy jepříčnásožkasíyvnitřníhonapětístrunynakonci x=daná vektoremf= σt,přičemžt =1,. dy dx jejednotkovýtečnývektorvizčást1.1textu.protože yx ux, t=konst.,dostáváme Fy= σ x u.třecísíamezikroužkematyčkoujeúměrná rychostipohybukroužku, F tření = b tu,kde b >jekonstantníparametrtření,takže m 2 u u = σ t2 x b u t,

KAPITOLA 1. ROVNICE STRUNY A JEJÍ ŘEŠENÍ 8 Protože koncový kroužek je ve skutečnosti nehmotný, uvažujeme imitu m a ihned dostáváme přísušnou okrajovou podmínku na konci x = σ u u = b x t. 1.26 Nadruhémkonci x=jepůsobícísíavnitřníhonapětístrunyf=+σt,coždávápodmínku σ u x = b u t. 1.27 Vpřípadě,ženakoncíchstrunyžádnétřenínepůsobí,je b=az1.26,1.27okamžitě dostáváme okrajovou podmínku na voné konce u, t=, x resp. u, t=. 1.28 x Při Bernouiově řešení rovnice struny metodou separace pak namísto řady1.18 dostaneme ux, t= n=1 cos nπ x [ a n cos nπ ct + b n sin nπ ct ]. 1.29 Na závěr ještě ukážeme, jaké důsedky má obecná okrajová podmínka 1.26 v kontextu d Aembertovařešení1.1,kdy ux, t=fx ct+gx+ct.dosazenímdo1.26dostaneme vztah σf + G =b cf G,kde F df dξ a G dg dη,neboipojednoduchéúpravě Nakoncistruny,kdeje x=,všakpatí G = 1 dg, cdt x= σ+ b cg = σ b cf. Dosazením a časovou integrací tedy dostaneme vztah F = 1 c df. dt x= G= σ b c σ+ b c F. 1.3 Anaogickyproodraznakonci x=dostávámezpodmínky1.27vztah F= σ b c G. 1.31 σ+ b c Připomeňme, že funkce F představuje profi vny šířící se doprava, zatímco G popisuje vnu putující doeva. Vzorce tedy popisují, co se děje s profiem vny při odrazu na přísušném konci. Existují násedující tři speciání případy v závisosti na veikosti tření popsaného parametrem b: pevnýkonecjepopsán b G= F odraženávnamástejnýprofijako vna dopadající, ae je převrácená vonýkonec jepopsán b= G=+F profiodraženévnyjeúpněstejný speciáníhodnotatření b=σ/c G=na x= žádnávnaseneodráží,dopadajícívna F=na x= jezceaabsorbována! 1 1 Podobnásituacemůženastativpřípaděeektromagnetickýchvn.Jsou-ivhodnouvoboumateriáuspněny speciání okrajové podmínky, eektromagnetická vna se neodrazí, ae absorbuje. To je podstatou technoogií etade typusteath,napříkadf-117,f-22anebob-2,kteréjsouproradary neviditené.

Kapitoa 2 Mechanika kontinua V této kapitoe zavedeme zákadní pojmy a odvodíme havní rovnice určující kinematiku tekutin, a to dokonaých i vazkých. 2.1 Lagrangeův a Euerův popis Tekutina se modeuje jako sožená z infinitesimáních objemů, částic, které v daném okamžiku spojitěvypňujídanouobastve 3.Tyto částice sepohybujívkaždémokamžikuurčitourychostí, která se bod od bodu spojitě mění, a proto je neze ztotožnit s moekuami tekutiny, konajícími chaotický tepený pohyb. Rychost fiktivních částic je ve fenomenoogické teorii kontinua dána střední rychostí moeku v určitém infinitesimáním objemu, přičemž moekuární pohyb je zahrnut v termodynamických veičinách. V násedujícím výkadu ae zahrneme termodynamické aspekty pouze do stavové rovnice, určující vztah mezi takem a hustotou. Pohyb tekutiny je formáně popsán trajektorií částic kontinua, což je spojitá transformace x i = f i x k, t, 2.1 kterázávisínačasejakonaparametru,přičemž f i x k, t==x i jepočátečnípooha.transformacepřiřazujekaždémuboduosouřadnicích x i,kdese částice nacházeavčase t=,bod x i neboijejípoohuvibovonémčase t.parametry x i tedyidentifikujípřísušnou částici tekutiny, neboťpřiřazenísouřadnic x i zechápatjakožto pojmenování všech částic vpočátečnímčase. Rychostdané částice určené jménem x i jepakpřirozeně v i dx i dt =df ix k, t = v i x dt k, t. 2.2 Píšemezdeobyčejnouderivacipodečasu,přestožefunkce f i x k, tzávisítéžparametrickyna souřadnicích x k pozdějipodenichbudemeparciáněderivovat.tomutopopisukontinuaříkáme Lagrangeův. 9

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 1 Vypočteme-ivšakz2.1inverzí x k jakofunkce x ja t,dosazenímdo2.2dostanemerychost proudění jako funkci okamžité poohy částic, v i = v i x k x j, t, t v i x j, t. 2.3 Tomuto popisu pohybu kontinua pomocí poe rychostí říkáme Euerův. Zatímco rychost určenou 2.2 měří pozorovateé, kteří sedují individuání částici, rychost2.3 zjišťují pozorovateé, stojícívpevnémmístěprostoruaměřícírychostté částice,kterájeprávěmíjí.vztah x k x j, t zetedychápatjako identifikačnífunkci,kterápřiřazuje původníjméno x k zavedenévt= té částici,kterávtprávěprocházíbodem x j.přieuerověpopisutedypředstavujerychost vektorové poe vr, t v prostoru. S Euerovým popisem souvisí pojem proudnice. To jsou křivky, jejichž tečny jsou v každém bodě a v každém okamžiku rovny vektoru rychosti kontinuapodobně jako tečny siočar vyjadřují směr a veikost eektrického nebo magnetického poe. Proudnice jsou tedy obrazem proudění tekutiny v daný okamžik, přičemž tento obraz se s časem může měnit. V případě časově neproměnného stacionárníhoprouděnípopsanéhorychostnímpoemvr,pronějž t v=,jeobrazneměnnýa proudnice spývají s trajektoriemi částic tekutiny. Popíšeme-i proudnice parametrickými křivkami rλ, pak jejich formání definicí je, že tečny k nim všude spňují podmínku dr =vr, t. 2.4 dλ Integrací této rovnice získáme soustavu proudnic ve zvoený okamžik t. Označíme-i eementy křivekdr=dx 1,dx 2,dx 3,pak2.4můžemevesožkáchpřepsatdopodobydx i = v i dλ,neboi vyoučením parametru λ dx 1 v 1 x j, t = dx 2 v 2 x j, t = dx 3 v 3 x j, t. Integrací této trojice diferenciáních rovnic nezávisých na parametru λ pak dostaneme vyjádření soustavy proudnic v čase t. Nyníještěurčímezrychení a i částic veuerověpopisu.ktomustačíveičiny x j v2.3vzít jako funkce času určené2.1, takže a i dv i dt = i t + idx j x j dt což v přehednějším vektorovém zápisu je = i t + v i j, 2.5 x j a= dv dt = +v gradv. 2.6 t Drobná iustrace: Pro pochopení rozdíu mezi Lagrangeovým a Euerovým popisem je užitečné uvést jednoduchý konkrétní příkad. Nechť jednorozměrný pohyb tekutiny 2.1 je dán vztahem x=fx, t=x + αx t 2,kde αjekonstanta.paklagrangeovarychostazrychení jsoupouhýmiderivacemi f podečasu,tedy v L =2αx taa L =2αx.PřiEuerověpopisumusímevyoučit jménačástic x avyjádřitjepomocíokamžitýchpooh xvdanémčase,proto použijemevztahu x = x 1+αt.Dosazenímdo v 2 L a a L dostanemeeuerovurychost v E = 2xαt 1+αt 2 azrychení a E = 2αx 1+αt.Snadnoověříme,že a 2 E zeopravduspočítatzv E užitímvztahu2.5: a E = E t + v E E x = 2αx1 αt2 1+αt 2 + 4xα2 t 2 2 1+αt 2 = 2αx 2 1+αt.Všimněmesi,žezatímcozrycheníkaždéindividuáníčásticezůstávávLagrangeověpopisukonstantnísčasem, a L 2 =2αx,Euerovozrychení vdanémmístě xkesá, a E = 2αx 1+αt pro t,protožesrostoucím tprocházejímístem x 2 částicevysanévt=zčímdábižšíhookoípočátku, x.

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 11 2.2 Tekutý objem Uvažujmemnožinu bodovýchčástic,kterévpočátečnímokamžiku t=vypňujíobast. Objem V obasti jedán V = d 3 x. Včase t částice z zapníobastt,nakteroutransformace2.1zobrazí. Veikost tekutého objemu Vt, tedy objemu obasti t, je pode věty o substituci Vt= d 3 x= J d 3 x, 2.7 t kde J je jakobián transformace2.1. Derivací2.7 pode času dostáváme d dt Vt= d J d 3 x d J = dt dt d3 x. 2.8 Rozvinutímfunkce f i v2.1dotayorovyřadypode t, x i = x i + v ix k t+1 2 a ix k t2 +, získáme prvky transformační matice x i x k = δ ik + i x t+. 2.9 k Determinantmatice2.9,cožjejakobián J,budeprotomíttvar 1 J=1+ i x i t+. 2.1 Dosadíme-i Jz2.1do2.8apoužijeme-ivětuostředníhodnotě,dostanemepro t d dt Vt= i x d 3 x =divv d 3 x =divv V, i kde veičina div v je vzata v určitém vnitřním bodě tekutého objemu. V infinitesimání imitě Vt = V odtuddostávámedůežitývztah patnývkaždémokamžikuavkaždémmístě. 1 x Zdefinicespočteme,že J ε 1 x 2 x 3 ijk x i x j x = ε ijk hδ 1i δ 2j δ 3k +`δ 1i δ 3 2j x k k ε 123 + `ε 3 12k x + ε 1 i23 x k + ε 2 1j3 i x t+ =1+ i j x t+ i d V =divv V, 2.11 dt +δ 2j δ 3k 1 x i +δ 3k δ 2 i 1i x t+ = j

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 12 2.3 Síy objemové a pošné, podmínky rovnováhy Siami objemovými se rozumí síy, rozožené v prostředí s určitou objemovou hustotou. Nejdůežitějším příkadem je gravitace: sía na objemový eement dv átky o hustotě ρ v gravitačním poiointenzitěgjedánavýrazemdf obj = ρgdv.hustotaobjemovésíytedyje ρg,neboive sožkách F i = ρg i. Síy pošné jsou charakterizovány svým účinkem na pošku určité orientace. Je-i orientace pošky určena jednotkovým vektorem vnější normáy n, pak na tuto pošku veikosti dσ působí pošnásíadf po =T n dσ,přičemžpřísušnývektornapětít n másožky T n i = τ ji n j, 2.12 kde τ ij jsousožkytenzorunapětí. Ukážeme, že rozišení mezi objemovými a pošnými siami je do určité míry formání. Nejdříve intergrací spočteme výsednou síu, působící na obast, pokud je uvnitř ní rozožena objemovásíadf obj shustotou F i anahranici působípošnásíadf po s T n i F cek i = F i dv+ T n i dσ= F i dv+ τ ji n j dσ= F i + τ ji x j daným2.12: dv, 2.13 kde jsme k úpravě nakonec užii Gaussovu větu. Vidíme, že výsednice pošné síy je formáně stejná,jakokdybyvobastibyarozoženaobjemovásíashustotou τji x j. Výsednýmomentsipůsobícíchnaobastbudeintegráemr df obj +r df po,tedy M cek i = ε ijk x j F k dv+ ε ijk x j T n k dσ= ε ijk x j F k dv+ ε ijk x j τ k n dσ. Pošný integrá opět převedeme pomocí Gaussovy věty na objemový, takže Mi cek = ε ijk x j F k + x j τ k dv = [ε ijk x j F k + τ k + ε ijk τ jk ]dv. 2.14 x x Má-i být kontinuum v rovnováze, musí být výsedná sía i výsedný moment na každou obast nuové, tedy integráy2.13 a2.14 musí vymizet při ibovoné vobě. To nastane právě tehdy, patí-i podmínky rovnováhy kontinua F i + τ ji x j =, τ ij = τ ji. 2.15 kdedruhárovnicepynezpodmínek ε ijk τ jk =.Tenzornapětítedymusíbýtsymetrický. Zkusme nyní formáně nahradit kasickou objemovou gravitační síu siou pošnou. Výsedná gravitační sía na hmotnost rozoženou s hustotou ρ v obasti je F grav = ρgdv, 2.16 kde g je intenzita gravitačního poe. Newtonovská teorie gravitace se v poním tvaru vyjádří rovnicemi obdobnými s rovnicemi eektrostatiky, tedy divg = 4πGρ, 2.17 rotg =. 2.18 Z2.17 dosadíme do rovnice2.16, zapíšeme ji ve sožkách a postupně upravíme: F grav i = 1 gj g i dv = 1 gj g i g i g j dv. 2.19 4πG x j 4πG x j x j

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 13 S užitím2.18 však můžeme vyjádřit g i g j g j = g j = 1 g j g j, x j x i 2 x i takže2.19 ze po přeznačení sčítacích indexů psát F grav T grav ji i = dv, x j kde T grav ij = 1 gi g j 1 4πG 2 δ ijg k g k. 2.2 Veičinu T ij zetedyinterpretovatjakosymetrickýtenzornapětígravitačníhopoeavýsednou gravitačnísíunaobastvyjádřitnaopakpomocípošnésíysvektoremnapětí T n i = T grav ji n j působící na hranici obasti. V eektrodynamice hraje obdobnou úohu tzv. Maxweův tenzor napětí eektromagnetického poe definovaný vztahem T emag ij = D i E j + B i H j 1 2 δ ijd k E k + B k H k, 2.21 kterýmáveektrostatickémpřípaděpřistandardníidentifikaci D i = εe i,4πε 1/G, E i g i stejný tvar jako2.2. V 19. stoetí bya skutečně snaha interpretovat eektromagnetické poe jako mechanická napětí v éteru. I z dnešního hediska však vidíme, že pošné a objemové síy můžeme chápat jako dvojí možná matematická vyjádření téže entity. 2.4 Rovnice kontinuity a pohybová rovnice Proudění tekutiny je určeno parciáními diferenciáními rovnicemi, které jsou důsedkem zákona zachování hmotnosti a 1. impusové věty. Obě rovnice nyní odvodíme. Hmotnost M = ρ V tekutého objemu musí být zachovávající se veičina, a proto s využitím2.11 dostáváme = dm = dρ V = dρ dρ dt dt dt V+ ρd dt V = dt + ρdivv V, 2.22 kde veičiny v závorce před V jsou opět určeny v určitých vnitřních bodech tekutého objemu. Vztahmusípatitproibovoněmaýobjem,takževkaždémboděje dρ + ρdivv=, 2.23 dt cožzeužitím dρ dt = ρ t +v gradρ adiv ρv=ρdivv+v gradρ přepsat ρ +div ρv=. 2.24 t Tato rovnice se nazývá rovnice kontinuity a vyjadřuje zákon zachování hmotnosti. PodobněhybnostPtekutéhoobjemuje Mv,takže dp dt =dm dt v+mdv dt = ρdv dt V, protože první čen vymizí v důsedku2.22. Změna hybnosti je pode 1. impusové věty rovna výsednici si na tekutý objem, jejíž i-tou sožku, jak byo ukázáno při odvození podmínek rovnováhy 2.13,můžemepsátjakoF i + τ ji / x j V,kdeprvníčenpředstavujehustotuobjemovýchsi a druhý odpovídá pošným siám na hranici objemuvýrazy jsou opět určeny v určitém vnitřním bodě tekutého objemu. Obdobnou úvahou jako u rovnice kontinuity s užitím2.5 pak dospějeme k vektorové pohybové rovnici ρ dv i dt ρ i t + v j i x j = F i + τ ji x j. 2.25

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 14 2.5 Newtonovská a dokonaá tekutina Aby rovnice2.24 a2.25 určovay veičiny ρ a v, potřebujeme navíc znát vztah mezi tenzorem napětí τ ij asožkamirychosti v i,respektivejejichderivacemi.utakzvanénewtonovskétekutiny se předpokádá ineární vztah τ ij = p δ ij + λ k i δ ij + µ + j x k x j x i. 2.26 Je to nejobecnější tenzor 2. řádu, který se dá vytvořit ineárně z prostorových derivací rychosti. Pokudje λ==µ,muvímeodokonaétekutině, τ ij = p δ ij. 2.27 Chybí smyková napětí a pošné síy se upatňují pouze jako izotropní tak. Pohybová rovnice2.25 pak má jednoduchý tvar i t + v i j = G i 1 p, 2.28 x j ρ x i kdejsmezavedihustotusíynajednotkuhmotnostivztahem G i = F i /ρ.tutotzv.euerovurovnici ze psát též ve vektorovém tvaru t +v gradv=g 1 gradp. 2.29 ρ Předpokádáme-i dáe navíc, že tak p je určen stavovou rovnicí jako funkce hustoty p = pρ barotropní tekutina, máme cekem 4 parciání diferenciání rovnice2.24 a2.29 pro 4 neznámé, totiž hustotu ρ a 3 sožky rychosti v. K jednoznačnému určení řešení musíme poožit okrajovou podmínkunahraniciobastizaujímanétekutinou,kterávpřípadědokonaétekutinyzní v n =, kde v n značísožkurychostikomoukhranicinapř.stěnámtrubice,kteroutekutinaprotéká. 2.6 Nevířivé proudění dokonaé tekutiny a Bernouiho rovnice Rovnici2.29jemožnoidentickypřepsat 2 dotzv.gromekaova Lambovatvaru v 2 t +grad v rotv=g 1 gradp. 2.3 2 ρ Předpokádejme, že proudění tekutiny je navíc nevířivé, tedy rotv=. 2.31 Pak existuje skaární funkce φ, zvaná potenciá rychosti taková, že v = grad φ viz podobný vztah z eektrostatiky. Předpokádejme dáe, že objemová sía má potenciá, G = grad U, a zaveďme takovou funkci P vztahem Pr= pr takžegradp= ρ 1 gradp.pakrovnice2.3nabudetvaru φ grad t + v2 2 + U+ P =, 2 Patí grad ` v 2 2 v rotv = 1 v i 2 x j v j ε ijk ε km v m j i x dλ ρλ, 2.32 = v j j δ x i δ jm δ im δ j v m j = v i i x j. x j

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 15 takže φ t + v2 + U+ P= ft. 2.33 2 Integrační funkce f na pravé straně je pouze funkcí času. To je tzv. Bernouiho rovnice pro nestacionární nevířivé proudění dokonaé tekutiny. V případě stacionárního nevířivého proudění ječen φ t =afjekonstanta. Pokud je nevířivá tekutina navíc nestačitená, takže pode2.23 spňuje potenciá rychosti rovnici div grad φ =, tedy divv=, 2.34 φ=. 2.35 Poe rychosti ze pak určit jednoduše řešením Lapaceovy rovnice pro potenciá φ při okrajové podmíncegradφ n =nahranici.jetoúohazceaanaogickáúozeproeektrostatickýpotenciá a výsedky eektrostatiky ze snadno přeožit do řeči hydrodynamiky. Anaogie kadného bodového náboje se nazývá eementární zdroj, záporného propad nora, výtok, anaogie dipóu dubet atd. Z poe rychostí pak ze určit pomocí Bernouiho rovnice poe taku. 2.7 Vny v dokonaé tekutině Předpokádejme,žetekutinavrovnovážnémstavumáhustotu ρ = konst.uvažujmenynímaé poruchyhustoty ρ=ρ + ρ 1 takové,že ρ 1 ρ,kterévyvoajímaézměnypoerychostivtom smysu,že v i j x j i t.předpokádejmedáe,žeobjemovésíygvymizí.pakpohybovárovnice 2.29 má tvar t. = 1 ρ gradp 2.36 a rovnice kontinuity2.24 je ρ 1 t + ρ divv =., 2.37 kdyžzanedbámemaéveičiny.tak pρrozvinemepodetayorovyvětykoem ρ, pρ=pρ + ρ 1 =pρ + dp ρ 1 + dρ ρ a dosadíme do2.36. Pak na tuto rovnici apikujeme operaci div, zatímco rovnici2.37 derivujeme parciáněpodečasuadosadímezjednédodruhé.zjistíme,žeporuchahustoty ρ 1 musíbýtřešením vnové rovnice ρ 1 1 2 ρ 1 c 2 =, 2.38 t2 kde c 2 =dp/dρ ρ.rovnicepřipouštířešenívetvarurovinnévny.dosazenímtohotořešenído 2.36aužitímvztahu gradpρ=dp/dρgradρ zjistíme,ževektorvjerovnoběžnýsvnovým vektorem. Jde tedy o zvukovou podénou vnu šířící se rychostí c.

KAPITOLA 2. MECHANIKA KONTINUA 16 2.8 Proudění vazké tekutiny, Navierova Stokesova rovnice Pokud je tekutina vazká, jsou koeficienty λ a µ v2.26 nenuové. Je-i však nestačitená, je divv= k x k =, takžečenuλvymizíapode2.23je ρ=konst.zestejnýchdůvodůvymizíičen 2 v j / x j x i, takže pohybová rovnice2.25 má tvar t +v gradv=g 1 gradp+ν v, 2.39 ρ kde ν = µ/ρ je tzv. kinematická viskozita. Toto je Navierova Stokesova rovnice pro nestačitenou vazkoutekutinu.okrajovápodmínkaprovazkoutekutinusekadev=nahranici.vjejím důsedku je proudění kromě triviáních případů vířivé a neze proto zavést rychostní potenciá. 2.9 Geometricky podobná proudění Uvažujmestacionární t v=prouděnínestačitenédivv=vazkétekutinyvhomogenním gravitačním poi intenzity g. Rovnice2.39 zapsaná ve sožkách má v tomto případě tvar Napišme nyní i v j = g i 1 p 2 v i + ν. 2.4 x j ρ x i x j x j v i v w i, x i a ξ i, g i g χ i, kde v jekadnákonstantasrozměremrychosti, ajekonstantasrozměremdéky, gjeveikost gravitačníhozrycheníaw i, χ i, ξ i jsoupřísušnébezrozměrné veičiny. Dosazenímdo2.4a úpravou dostaneme kde w j w i ξ j = 1 F χ i Π ξ i + 1 R 2 w i ξ j ξ j, 2.41 F v2 ag, Π p ρv 2, R av ν. 2.42 Všechny veičiny v rovnici2.41 jsou bezrozměrné. Konstanta R se nazývá Reynodsovo číso, zatímco FjeFroudeovočíso. Předpokádejme, že najdeme řešení této rovnice při určitých hodnotách čísených parametrů R a Faokrajovépodmíncew=nahraniciurčitéobastipopsanébezrozměrnýmisouřadnicemi ξ i. Pokud pak zvoíme veičinu a určující geometrické rozměry skutečné obasti, z F pak dostaneme odpovídajícíhodnotuveičiny v = agf určujícíveikostrychosti,zrkinematickouviskozitu ν= av /R,azveičinyΠdostanemeodpovídajícíhodnotupoetaku p=πρv 2 =ΠFρag.Řešení odpovídající různým hodnotám a při stejných parametrech R a F se označují jako geometricky podobná. Tato skutečnost má praktický význam napříkad při empirickém testování na zmenšených modeech. Všimněme si napříkad, že chceme-i použít měření na zmenšeném hydrodynamickém modeuzískanépřistejném g,musímeužíttekutinysjinouviskozitouurčenou R,protožezFje užjednoznačněurčenahodnota v. V řadě úoh nemá čen odpovídající vnější objemové síe podstatný viv, kupříkadu při proudění vazké tekutiny douhou vodorovnou trubicí. Zkušenost ukazuje, že pro každou geometrickou konfiguracijepro R R krit prouděníaminární,pro Rvětší,nežReynodsovokritickéčísoje proudění turbuentní.