Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic

Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar

Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně pod odborným vedením RNDr. Ladislava Adamce, CSc. a s použitím uvedené literatury. V Brně 20. 5. 2007... Roman Melichar

Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu bakalářské práce RNDr. Ladislavu Adamcovi, CSc. za cenné rady, připomínky a čas, který mi věnoval. Dále bych chtěl poděkovat svým prarodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo a Janě Modlitbové za pečlivé přečtení textu a za morální oporu.

Obsah 1 Úvod 4 2 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 5 2.1 Maticespeciálníhotypu......... 5 2.2 Charakteristickýpolynom,vlastníčíslamatice........ 6 2.3 Podobnématice... 8 2.4 Vlastníčíslamaticovéhopolynomu... 9 2.5 Lineárníoperátory............ 9 2.6 Vlastnívektoryavlastníčíslaoperátoru........... 13 2.7 Konjugovanýoperátor.......... 15 3 Základní přímé metody řešení problému vlastních čísel 18 3.1 MetodaLeverrierova........... 18 3.2 Metodainterpolační........... 20 3.3 MetodaKrylovova............ 23 3.4 MetodaDanilevského... 30 4 Stabilita problému vlastních čísel 36 5 Příloha- kódy algoritmů 39 5.1 KódalgoritmuLeverrierovymetody... 39 5.2 Kódalgoritmuprovýpočekoeficientů c mi........... 40 5.3 Kódalgoritmuinterpolačnímetody... 40 5.4 KódalgoritmuKrylovovymetody.... 41 5.5 KódalgoritmuDanilevslkéhometody............. 43 5.6 Kódalgoritmuproměřenípřesnostijednotlivýchmetod... 45 Závěr 46 Tabulka použitých symbolů 48 Literatura 49 Rejstřík 50 3

Kapitola 1 Úvod Jednou z nejstarších matematicky zpracovaných úloh o vlastních hodnotách je úloha vyšetřovaná již roku 1744 Leonhardem Eulerem pojednávající o kritickém zatížení štíhlého prutu namáhaného tlakem, při němž by mohlo nastat vybočení prutu ohybem. S rozvojem klasické matematické fyziky se během 19. století objevily četné úlohy o vlastních hodnotách při problémech kmitání. Minulé století pak v různých fyzikálních a technických oborech přineslo takovou hojnost úloh, které vedly právě k výpočtu vlastních hodnot, že se tato úloha stala jednou z nejdůležitějších v lineární algebře. Proto bylo věnováno poměrně velké úsilí na vypracování metod jejich výpočtu, založených na nejrůznějších myšlenkách. Prvními z takto vypracovaných metod byly metody přímé. Protože však nebyly co se týče přesnosti vhodné pro náročnější úlohy, byly později rozpracovány i nepřímé metody řešení výpočtu vlastních čísel a vektorů, jejichž použití už bylo vhodné i pro rozsáhlejší úlohy. Úkolem této práce je vyložit několik základních přímých metod výpočtu, navrhnout algoritmy implementující tyto metody a vzájemně je srovnat z hlediska vyžadovaného počtu operací a jejich přesnosti. Tyto algoritmy budou zapsány v programovacím jazyce matlab. Omezíme se zde však pouze na výpočet koeficientů charakteristického polynomu. Výpočet jeho kořenů(vlastních čísel) bude implementován jednou ze základních funkcí matlabu. Poznamenejme ještě, že všechny zde probírané metody kromě Leverrierovy(z roku 1840) vznikly ve třicátých letech tohoto století. Tato práce je členěna do čtyř kapitol. Po úvodu následuje v druhé kapitole seznámení s problematikou vlastních čísel a vektorů. Ve třetí kapitole jsou pak vyloženy čtyři základní přímé metody řešení problému vlastních čísel a ve čtvrté kapitole je krátce pojednáno o stabilitě problému vlastních čísel a vlastních vektorů. Pátou kapitolu tvoří kódy algoritmů pro jednotlivé metody. V závěru je uvedeno srovnání přesností dosahovaných jednotlivými metodami ve srovnání s nepřímou metodou implementovanou v matlabu. Všechny uváděné teoretické poznatky jsou pro jejich názornost doplněny o praktické výpočty. 4

Kapitola 2 Vlastní čísla a vlastní vektory matic V této kapitole zavedeme základní pojmy týkající se vlastních čísel a vlastních vektorů a vyšetříme jejich vlastnosti. Poté o nich pojednáme v souvislosti s lineárními operátory. Poslední část této kapitoly věnujeme některým vlastnostem vlastních čísel a vlastních vektorů konjugovaného operátoru. Cílem této kapitoly je nejen zavedení těchto pojmů, ale také vyšetření vlastností, které tvoří podstatu metod jejich určování. 2.1 Matice speciálního typu Souhrn čísel uspořádaných do obdélníkového schématu nazýváme maticí. Zpravidla ji zapisujeme ve tvaru a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... a m1 a m2... a mn nebo též A=(a ij ), i=1,2,..., m; j=1,2,..., n, kdečísla m, nudávajípočetřádkůasloupců.otétomaticipakříkáme,žejetypu m n.čísla a ij (většinoureálnénebokomplexní)senazývajíprvkymatice.pokud je m=n,nazývámepaktutomaticičtvercovoumaticí řádu naojejichprvcích a ij, prokteréje i=j,mluvímejakoodiagonálníchprvcích.tytopaktvořítzv.hlavní diagonálu matice. Čtvercovou matici tvaru 1 0... 0 0 1... 0..., 0 0... 1 5

jejíž diagonální prvky jsou rovny jedné a jsou ostatní nulové, budeme nazývat jednotkovou maticí a budeme ji označovat E. Další velmi významnou čtvercovou maticí je matice nulová, jejíž všechny prvky jsou rovny nule. Tu budeme označovat symbolem 0. Nechť A je čtvercová matice typu n. Zaměníme-li v této matici řádky za sloupce, získámetakmaticitransponovanou,kterouznačíme A.Pokudbychomvmatici A zaměnili všechny prvky za prvky k nim komplexně sdružené, dostali bychom tak matici komplexně sdruženou. Taková matice se značí symbolem A. Matici transponovanou a komplexně sdruženou k matici A nazvěme maticí konjugovanou a označme ji A. Mezi čtvercovými maticemi existuje několik velmi významných skupin se specifickými vlastnostmi. Pro naše účely bude vhodné definovat pouze tři skupiny. První z nich jsou tzv. normální matice. Těmi budeme nazývat čtvercové reálné matice A, pro které platí A A=AA. Dále čtvercovou komplexní matici A nazveme hermitovskou nebo též hermitovsky symetrickou, platí-li a ij = ā ji, tj. v maticovém zápisu A=A. A konečně čtvercovou komplexní matici A nazveme unitární, je-li A A=E. 2.2 Charakteristický polynom, vlastní čísla matice Nechť A=(a ij )ječtvercovámaticetypu natjereálnáproměnná.deteminant tvarudet(a te),tedy a 11 t a 12... a 1n a 21 a 22 t... a 2n,... a n2... a nn t a n1 je polynomem n-tého stupně v t a nazývá se charakteristický polynom matice A. Položíme-li det(a te) = 0, získáme tak charakteristickou rovnici matice A. Poznamenejme, žepřímý výpočet koeficientů p i charakteristického polynomu ( 1) n [t n p 1 t n 1 p 2 t n 2 p n ]jezhlediskapočtuprovedenýchoperacívelmi zdlouhavý, neboť jak známo platí p 1 = a 11 + a 22 + +a nn,. p n =( 1) n 1 det A, 6

kde p k pro2 k n 1jeažnaznaménko( 1) k 1 součtemvšechminorů k-tého řádu matice A, jejichž hlavní diagonála je částí hlavní diagonály matice A. Definice1.Nechť Aječtvercovámaticeřádu n.kořeny λ 1,...,λ n charakteristické rovnice matice A se nazývají vlastními čísly nebo též charakteristickými čísly matice A. že Ze známých vztahů mezi koeficienty algebraické rovnice a jejími kořeny vyplývá, λ 1 + λ 2 + +λ n = p 1 = a 11 + a 22 + +a nn, λ 1 λ 2...λ n =( 1) n 1 p n =det A. Vyslovíme nyní zajímavou větu, která ukazuje, že k dané matici existuje nenulový polynom, který se anuluje po dosazení této matice. Věta 1 (Cayleyova-Hamiltonova). Nechť A je čtvercová matice řádu n. Je-li ϕ(t) její charakteristický polynom, potom platí ϕ(a) = 0. Důkaz.Vyjděmezoznačenívevýšeuvedenévětěanechťdále B=adj(A te). Zřejmě každý algebraický doplněk matice A te je polynomem stupně nejvýše n 1, a proto můžeme psát B= B n 1 + B n 2 t+ +B 0 t n 1, kde B n 1,...,B 0 jsoumaticejižneobsahující t.vzhledemkzákladnívlastnosti adjungované matice, která říká, že pro každou čtvercovou matici M platí můžeme psát cožje adjm.m=det M.E, (B n 1 + B n 2 t+ +B 0 t n 1 ).(A te)=det(a te).e= =( 1) n (t n p 1 t n 1 p n )E. B n 1 A B n 1 t+b n 2 At B n 2 t 2 + +B 0 At n 1 B 0 t n =( 1) n (t n p 1 t n 1 p n )E. To je ekvivalentní soustavě rovností B n 1 A=( 1) n+1 p n E, B n 2 A B n 1 =( 1) n+1 p n 1 E,. B 0 A B 1 =( 1) n+1 p 1 E, B 0 =( 1) n E, Odtudnásobenímzpravakaždouzrovnostímaticí A i 1,kde iznačí i-tourovnost, a sečtením získáme což jsme měli dokázat. 0=( 1) n [ p n E p n 1 A p n 2 A 2 +A n ]=ϕ(a), 7

Zřejmě anuluje-li se polynom ψ(t) po dosazení nějaké čtvercové matice, pak se takto anuluje i každý jeho násobek. Nenulový polynom f(t) nejmenšího stupně s touto vlastností nazýváme minimálním polynomem matice A. Charakteristický polynom ϕ(t) libovolné čtvercové matice A je dělitelný minimálním polynomem ψ(t) této matice. Podle věty o dělení polynomů totiž existují polynomy q(t)ar(t),kde r(t)jebuďnulový,nebomámenšístupeňnežpolynom ψ(t), tak, že ϕ(t)=ψ(t)q(t)+r(t). Podosazenímatice Adotétorovnostidostáváme r(a)=ϕ(a) ψ(a)q(a)=0. Protože polynom ψ(t) byl nenulovým polynomem nejmenšího stupně anulujícím se po dosazení matice A, musí být r(t) nutně polynom nulový. Charakteristický polynom ϕ(t) je tedy skutečně dělitelný minimálním polynomem ψ(t). Poznámka 2.2.1. Úplně stejným způsobem se dokáže, že libovolný polynom ω(t), pro který platí ω(a) = 0, je dělitelný minimálním polynomem matice A. 2.3 Podobné matice Nechť A a B jsou dvě libovolné čtvercové matice stejného řádu. Existuje-li regulárnímatice Ctéhožřádutaková,že B= C 1 AC,řekneme,žematice Bje podobná matici A. Zřejmě platí aodtudi C 1 A 1 C+ C 1 A 2 C+ +C 1 A m C= C 1 (A 1 + A 2 + +A m )C, C 1 A 1 C.C 1 A 2 C...C 1 A m C= C 1 (A 1 A 2... A m )C, Aprotoprolibovolnýpolynom f(t)platí (C 1 AC) m = C 1 A m C. f(c 1 AC)=C 1 f(a)c. Odtud snadno nahlédneme, že minimální polynomy podobných matic jsou až na nenulovou multiplikativní konstantu totožné. Je-li totiž f(t) minimální polynom matice A, pak je zřejmě anulujícím polynomem matice B. Pokud by existoval minimální polynom g(t)matice C 1 ACnižšíhořádunež f(t),pakzrovnosti g(c 1 AC)=0=C 1 g(a)c ihnedplyne,že g(a)anulujeimatici A,neboť Ca C 1 jsounenulové,cožvedeke sporu. Platí dokonce, že podobné matice mají stejné charakteristické polynomy. Platí totiž det(b te)=det(c 1 AC te)=det(c 1 AC tc 1 EC)= =det(c 1 (A te)c)=det(c 1 )det(a te)det C= =(det C) 1 det(a te)det C=det(A te). 8

2.4 Vlastní čísla maticového polynomu Nyní ukážeme zajímavou vlastnost maticových polynomů, na které je založena Leverrierova metoda hledání vlastních čísel. Věta2.Nechť Aječtvercovámaticeřádu naλ 1,...λ n jejívlastníčísla,znichž některá mohou splývat. Nechť dále f(t) je libovolný polynom. Potom vlastními čísly matice f(a)jsou f(λ 1 ),..., f(λ n ). Důkaz. Pro nulový polynom f(t) věta zřejmě platí, neboť nulová matice libovolného řádu má jediné charakteristické číslo nula. Mějme tedy f(t) nenulový polynom s kořeny µ 1,...,µ m.potommůžemepsát f(t)=a(t µ 1 )...(t µ m ), kdeajevedoucíkoeficient.nechť ϕ(t)=(λ 1 t)...(λ n t)jecharakteristickýpolynommatice A.Dosazenímmatice Ado f(t)dostaneme f(a)=a(a µ 1 E)...(A µ m E)aodtudužprodeterminantdet f(a)získáváme Rovnost det f(a)=a n det(a µ 1 E)...det(A µ m E)=a n ϕ(µ 1 )...ϕ(µ m ) = n m n m n =a n (λ i µ j )= (a (λ i µ j ))= f(λ i ). i=1 j=1 i=1 j=1 det f(a)=f(λ 1 )...(f(λ n ) je identita vzhledem ke koeficientům polynomu f(t). Užijeme-li této identity pro polynom f(t) u,dostaneme i=1 det(f(a) ue)=(f(λ 1 ) u)...(f(λ n ) u). Tovšakprávěznamená,ževlastníčíslamatice f(a)jsoučísla f(λ 1 ),...,f(λ n ). Poznámka2.4.1.Speciálněpromatici A k (k N)dostávámevlastníčísla λ k 1,...,λk n. 2.5 Lineární operátory NechťRjelineárníprostor.Je-linamnožiněRdánafunkcesoboremhodnot R, nazýváme tuto funkci operátorem nad R. Operátor, který splňuje následující podmínky: 1. A(αu)=αAuprokaždývektoru dom(a)alibovolnéčíslo α(reálnénebo komplexní podle druhu prostoru), 2. A(u 1 +u 2 )=Au 1 +Au 2 prokaždédvavektoryu 1,u 2 dom(a), nazýváme lineárním operátorem. Definujme nyní několik základních operací s lineárními operátory nad týmž prostorem.prvníznichjesoučinablineárníchoperátorůaab(vtomtopořadí), pro nějž platí AB=A B. 9

Tentosoučinjezřejměopětlineárnímoperátorem,neboťprolibovolnéu 1,u 2 dom(b) platí AB(u 1 +u 2 )=A(B(u 1 +u 2 ))=A(Bu 1 +Bu 2 )= =A(Bu 1 )+A(Bu 2 )=ABu 1 +ABu 2. Součinem lineárního operátoru A s číslem α nazveme operátor αa, pro který platí αau=α(au) prokaždéu dom(a).dálesoučtemlineárníchoperátorůaabnazvemeoperátor A+B,kde (A+B)u=Au+Bu prokaždéuzdom(a). Součet i číselný násobek lineárních operátorů jsou zřejmě opět lineárními operátory. Mezi lineárními operátory existují dva význačné, které ve smyslu výše uvedených operací plní funkci jednotkového a nulového prvku. Je to identický operátor E, který každému vektoru prostoru přiřazuje tentýž vektor a nulový operátor 0, který každému vektoru přiřadí nulový vektor. Pro libovolný operátor A pak zřejmě platí EA=AE=A, A+0=0+A=0. Přirozenýmzpůsobemmůžemedefinovatin-toumocninuA n lineárníhooperátoru A jakožto n-násobný součin stejného lineárního operátoru. Konečně definujme polynom operátoru jako operátor kde f(t)jepolynom f(a)=a 0 A n + a 1 A n 1 + +a n 1 A+a n E, f(t)=a 0 t n + a 1 t n 1 + +a n 1 t+a n. V následujícím textu se budeme zabývat jen lineárními operátory a proto budeme slovo lineární vynechávat. Nyníukážeme,žekekaždémuoperátoruA:R Rpřipevnězvolenébáziv Rlzejednoznačněpřiřaditmaticianaopak.Nechťtedyu 1,u 2,...,u n jelibovolná bázevra Au 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + +a n1 u n, Au 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + +a n2 u n,..... Au n = a 1n u 1 + a 2n u 2 + +a nn u n. Pakprolibovolnývektorx=x 1 u 1 + x 2 u 2 + +x n u n zrplatí Ax=x 1 Au 1 + +x n Au n 10

aodtud y=ax= = x 1 (a 11 u 1 + +a n1 u n )+ + x n (a 1n u 1 + +a nn u n )= =(x 1 a 11 + +x n a 1n )u 1 + +(x 1 a n1 + +x n a nn )u n. To lze maticově zapsat ve tvaru y=ax, kde yaxjsousloupcesouřadnicvektorůyaxaajematicesloženázesloupců souřadnicvektorůau 1,...,Au n vbáziu 1,...,u n,tj. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A=.... a n1 a n2... a nn Vzhledem k jednoznačnosti souřadnic libovolného vektoru v libovolné bázi je matice A určena jednoznačně. Naopak definujme přiřazení, které vektoru x se souřadnicemi xvnějakébázipřiřazujevektory,jehožsouřadnice yvtésamébázijsoudány vztahem y=ax. Toto přiřazení je zřejmě lineárním operátorem a je určeno jednoznačně. Toto jednoznačné přiřazení mezi maticemi a operátory je zachováno i při operacích s operátory. Matice součtu operátorů je totiž rovna součtu matic obou sčítaných operátorů a matice součinu operátorů je rovna součinu matic jednotlivých faktorů (v tom samém pořadí). Vidíme tedy, že existuje izomorfní zobrazení mezi množinou operátorů n-rozměrného prostoru a množinou čtvercových matic n-tého řádu. Toto zobrazení přiřazuje operátoru matici při pevně zvolené bázi. Je-li tedy báze prostoru pevně zvolena, můžeme ztotožnit operátor s příslušnou maticí, stejně jako lze ztotožnit vektor s příslušným sloupcem jeho souřadnic. Ve smyslu tohoto přiřazení si pak odpovídá vektor vzniklý provedením operátoru na vektoru a sloupec vzniklý vynásobením příslušné matice příslušným sloupcem. Nyní vyšetříme vztah souřadnic vektorů v různých bázích. NechťRjelineárníprostorax Rjevektor.Označme(x) α,kde α=(u 1,...,u n ) jebázeprostorur,souřadnicevektoruxvbázi α.nechť β=(v 1,...,v n )jedruhou bází tohoto prostoru. Potom matici A řádu n nazveme maticí transformace souřadnic v bázích α a β, jestliže platí (x) β = A(x) α. Podívejme se, jak vypadá tato matice transformace souřadnic. Vyjádříme-li vek- 11

tory báze α jako lineární kombinace vektorů báze β u 1 = a 11 v 1 + +a n1 v n, u 2 = a 12 v 1 + +a n2 v n,..... u n = a 1n v 1 + +a nn v n, snadnopakvyjádřímesouřadnicevektorux=x 1 u 1 + +x n u n vbázi β: x=x 1 (a 11 v 1 + +a n1 v n )+ + x 2 (a 12 v 1 + +a n2 v n )+ +.....+ + x n (a 1n v 1 + +a nn v n )= =(x 1 a 11 + x 2 a 12 + +x n a 1n )v 1 + =(x 1 a 21 + x 2 a 22 + +x n a 2n )v 2 + +.....+ =(x 1 a n1 + x 2 a n2 + +x n a 1n )v n. Odtudužjezřejmé,že a 11 a 12... a 1n x 1 a 21 a 22... a 2n (x) β =.... x 2.. a n1 a n2... a nn Platí tedy x n A=((u 1 ) β (u 2 ) β...(u n ) β ). Poznámka 2.5.1. Pro matici A operátoru A v bázi α zřejmě platí B=((Au 1 ) α (Au 2 ) α...(au n ) α ). Tyhle poznatky nám už dovolí lehce odvodit, jak se změní matice operátoru při změně báze prostoru. Mějmedvěmatice AaBoperátoruAvsouřadnicích αaβ,acmaticitransformacesouřadnicvbázích βa α.ukážeme,žeplatí B= C 1 AC, tedy že matice operátoru v různých bázích jsou navzájem podobné a tato podobnost je realizována příslušnou maticí transformace. Zřejměprolibovolnývektorx Rplatí (y) α = A(x) α, (x) α = C(x) β, (y) α = C(y) β. 12

Odtud vyplývá, že atedy Avšak(y) β = B(x) β aprotomusíplatit C(y) β = A(x) α = AC(x) β, (y) β = C 1 AC(x) β. B= C 1 AC. 2.6 Vlastní vektory a vlastní čísla operátoru Definice 2. Vlastním číslem(nebo také vlastní hodnotou) operátoru A nazveme každé číslo λ pro které existuje nenulový vektor x dom(a) takový, že platí Ax=λx. Každý takový nenulový vektor x nazveme vlastním vektorem operátoru A, příslušným vlastnímu číslu λ. Podívejme se, jak se najdou vlastní vektory a vlastní čísla nějakého operátoru A. Ktomutoúčelunechť Ajematicetohotooperátoruvnějakébázianechť x 1,...,x n jsou souřadnice některého jeho vlastního vektoru x v této bázi. Souřadnice vektoru Axbudouzřejměvetvaru n n a 1k x k,..., a nk x k. Proto můžeme psát nebo též k=1 k=1 a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1n x n = λx 1, a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2n x n = λx 2, a n1 x 1 +a n2 x 2 +... +a nn x n. = λx n (a 11 λ)x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0, a 21 x 1 +(a 22 λ)x 2 + + a 2n x n = 0,. a n1 x 1 + a n2 x 2 + + (a nn λ)x n = 0. Zřejmětatohomogennísoustavalineárníchrovniconeznámých x 1,...,x n má nenulovéřešeníprávětehdy,kdyždet(a Eλ)=0 atojeprávětehdy,když λ je vlastním číslem matice A. Pokud bychom zvolili matici operátoru A v jiné bázi, dostali bychom tytéž vlastní čísla, neboť, jak již víme, matice operátoru v různých bázích jsou si navzájem podobné a jejich charakteristické polynomy jsou totožné. Vidíme tedy, že vlastní čísla operátoru splývají s kořeny charakteristického polynomu matice, která tomuto operátoru v libovolné bázi odpovídá. To nás opravňuje vyslovit následující definici. 13

Definice 3. Charakteristický polynom matice operátoru v libovolné bázi se nazývá charakteristickým polynomem operátoru. Mějme A matici operátoru A a ϕ(t) jeho charakteristický polynom. Podle Cayley- Hamiltonovy věty platí, že ϕ(a) = 0. Polynomu ϕ(a) operátoru A tedy odpovídá nulovámatice ϕ(a)aproto ϕ(a)=0. Vidíme tedy, že můžeme Cayley-Hamiltonovu větu zobecnit i na operátory. Stejným způsobem můžeme operátoru přiřadit i jeho minimální polynom, který bude odpovídat nenulovému polynomu nejmenšího stupně, který po dosazení daného operátoru dá nulový operátor. Takový polynom je zřejmě i minimálním polynomem matice tohoto operátoru v libovolné bázi a proto je charakteristický polynom operátoru dělitelný minimálním polynomem tohoto operátoru. Každý kořen minimálního polynomu je tedy i kořenem charakteristického polynomu. Avšak platí to i obráceně, že každý kořen charakteristického polynomu je kořenem minimálního polynomu. Tedy že množiny kořenů charakteristického polynomu a minimálního polynomu jsou totožné. Abychom tohle ukázali, předpokládejme, že λ je vlastní číslo nějakého operátoru A a x je jeho vlastní vektor příslušný tomuto vlastnímu číslu. Je-li ψ(t) minimálním polynomem daného operátoru, pak podle Bézoutovyvětyozbytkuplatípronějakýpolynom p(t),že ψ(t)=p(t)(t λ)+ψ(λ). DosazenímAanásobenímxpakdostáváme,že ψ(a)x=p(a)(a λe)x+ψ(λ)x. Avšak(A λe)x=0aψ(a)x=0x=0.protoje ψ(λ)x=0.vzhledemktomu, žexjenenulový,musíbýt ψ(λ)=0. Definice 4. Vlastním vektorem matice A nazveme každý nenulový vektor x, který vyhovuje rovnosti Ax=λx pro nějaké vlastní číslo λ matice A. Zpředešléhoplyne,ževlastnívektorymatice AoperátoruAvnějakébázi α jsou právě sloupci souřadnic vlastních vektorů tohoto operátoru v bázi α. Platí totiž A(x) α =(Ax) α =(λx) α = λ(x) α. Na závěr této části vyšetřeme některé další užitečné vlastnosti vlastních vektorů. Předně podotkněme, že vektor, jehož souřadnice jsou komplexně sdruženy s příslušnými souřadnicemi vlastního vektoru reálné matice, je také vlastním vektorem této matice a odpovídá komplexně sdruženému vlastnímu číslu. To ukážeme snadno. Je-litotiž Areálnáčtvercovámaticeaλnějakéjejívlastníčíslo,pakjezřejměi λ jejím vlastním číslem a platí A x=ax=λx= λ x. Dále ukážeme zajímavou vlastnost, že odpovídá-li několik vlastních vektorů navzájem různým vlastním číslům, jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Abychom to dokázali,označmealibovolný operátor, λ 1,...,λ s jehonavzájemrůznávlastní číslaax 1,...,x s některéjimodpovídajícívlastnívektory.předpokládejme,žetyto vektory jsou lineárně závislé. Bez újmy na obecnosti můžeme považovat vektory 14

x 1,...,x j,kde j < s,zalineárněnezávisléazbylévektoryzajejichlineárníkombinace.prox s platí j x s = c i x i. Pak ale zároveň také platí Ax s = Dohromady nám to tedy dává i=1 j c i Ax i = i=1 Ax s = λ s x s = j c i λ i x i i=1 j c i λ i x i, i=1 j λ s c i x i. i=1 j λ s c i x i =0 i=1 j (λ s λ i )c i x i =0. i=1 Zlineárnínezávislostivektorůx 1,...,x j vyplývá,ževšechnykoeficienty(λ s λ i )c i jsourovnynuleaprotožepodlepředpokladu λ s λ i pro i=1,2,..., j,jsouvšechna c i rovnanule.toaleznamená,žex s =0,cožjesporsdefinicívlastníhovektoru. Takževektoryx 1,...,x s jsouskutečnělineárněnezávislé. Má-li tedy operátor nad n-dimenzionálním prostorem n různých vlastních čísel, tvoří jeho vlastní kořeny bázi tohoto prostoru. 2.7 Konjugovaný operátor NechťAjeoperátorvn-rozměrnémunitárnímprostoruRanechťA jeoperátor nad stejným prostorem, pro který je splněna rovnost (Ax,y)=(x,A y) pro všechna x, y R. Pak tento operátor nazveme konjugovaným operátorem k operátoru A. Ukážemeotomtooperátoru,nejenževždyexistuje,aletakéžejeurčenjednoznačně.Ktomutoúčelujealenejprvenutnéukázat,žeskalárnísoučinmáv souřadnicíchlibovolnéortonormálníbáze α=(u 1,u 2,...,u n )vyjádření (x,y)=x 1 ȳ 1 + x 2 ȳ 2 + +x n ȳ n, kde(x) α =(x 1, x 2,...,x n ) a(y) α =(y 1, y 2,...,y n ) prolibovolnédvavektoryx,y. To vidíme ihned z rovnosti n n n n (x,y)=( x i u i, y j u j )= x i ȳ j (u i,u j )= x i ȳ i i=1 j=1 15 i,j=1 i=1

Nechť tedy A je libovolný operátor nad n-rozměrným prostorem R a a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A=... a n1 a n2... a nn jejemuodpovídajícímaticevněkteréortonormálníbázi α=(u 1,...,u n ).Nechť dálex,y Rjsoudvalibovolnévektorysesouřadnicemi(x 1, x 2,...,x n ),(y 1, y 2,...,y n ) vbázi α.pak a 11 x 1 + +a 1n x n a 21 x 1 + +a 2n x n (AX) α =. a n1 x 1 + +a nn x n a proto můžeme psát (AX,Y)=a 11 x 1 ȳ 1 + +a 1n x n ȳ 1 + +a 21 x 1 ȳ 2 + +a 2n x n ȳ 2 + +.....+ +a n1 x 1 ȳ n + +a nn x n ȳ n = =x 1 (a 11 ȳ 1 + a 21 ȳ 2 + +a n1 ȳ n )+ +..... + +x n (a 1n ȳ 1 + a 2n ȳ 2 + +a nn ȳ n )= =(X,A Y). Odtud vidíme, že za konjugovaný operátor lze zvolit operátor, který má v některé ortonormální bázi matici konjugovanou s maticí původního operátoru v téže bázi. Zbývánámdokázatužjenjednoznačnostkonjugovanéhooperátoru.NechťA 1 a A 2jsoudvaoperátorykonjugovanékoperátoruA.Potomproněplatí,že(Ax,y)= (x,a 1 y)=(x,a 2 y).odtudmůžemepsát(x,(a 1 A 2 )y)=0.toaleznamená,že vektor(a 1 A 2 )yjeortogonálníkekaždémuvektoruxprostorur,atedymusí býtnutně(a 1 A 2)y=0prokaždývektory R.Tahlerovnostmůžebýtsplněna jenvpřípadě,žea 1 A 2 =0,tj.A 1 =A 2. V následujícím textu vyšetříme vzájemné vztahy mezi vlastními čísly a vlastními vektorynavzájemkonjugovanýchoperátorůaaa. Označíme-li A matici operátoru A v libovolné bázi, pak zřejmě platí det(a λe)=det((a λe) )=det(a λe)= =det(a λe)=det(ā λe)= =det(a λe). Odtud plyne, že číslo λ je kořenem charakteristického polynomu operátoru A právě kdyžje λkořenemcharakteristickéhopolynomuoperátorua. 16

Označmedálex i vlastnívektoroperátoruanad n-rozměrnýmprostoremodpovídajícívlastnímučíslu λ i ay i vlastnívektoroperátorua odpovídajícívlastnímu číslu λ j.pakplatí atedy (Ax i,y j )=(λ i x i,y j )=λ i (x i,y j ) (Ax i,y j )=(x i,a y j )=(x i, λ j y j )=λ j (x i,y j ) (λ i λ j )(x i,y j )=0. Pokud λ i λ j,tj. λ i λ j 0,dostáváme(x i,y j )=0.NechťnyníoperátorAmá nnavzájemrůznýchvlastníchčísel.pakpro λ i = λ j pokudbyplatilo(x i,y j )=0, tj.(x i,y i )=0,bylbyvektory i ortogonálníkevšemvlastnímvektorůmx 1,...,x n operátorua,atedyikevšemvektorůmprostorur.tobyznamenalo,žey i je nulovývektor,cožjesporspředpokladem,žey i jevlastnívektor.tedy(x i,y j ) 0. Vidímetedy,že(x i,y j )=0právětehdy,když λ i = λ j. Ukažmeještě,žepřilibovolněvybranýchvlastníchvektorechy 1,...,y n,lzevektoryx 1,...,x n normovattak,žepro λ i λ j je(x i y i )=1.Stačímístonichvzít totiž vektory 1 α 1 x 1,..., 1 α n x n, kde α i =(x i,y i ) 0,neboť ( ) 1 x i,y i = 1 (x i,y i )=1. α i α i 17

Kapitola 3 Základní přímé metody řešení problému vlastních čísel Úplným problémem vlastních čísel budeme rozumět úlohu určit všechna vlastní čísla dané čtvercové matice. Vdruhékapitolejsmeviděli,žekoeficientycharakteristickéhopolynomu p i jsou až na znaménko rovny součtům všech hlavních minorů i-tého řádu matice A. Přímý výpočet těchto koeficientů tedy vyžaduje při větším řádu matice obrovský počet operací. Proto bylo velmi přirozené vypracovat speciální numerické metody, které zjednodušují výpočet uvedené úlohy. V této kapitole se s některými z nich seznámíme. Poznamenejme ještě, že všechny zde probírané metody kromě metody Leverrierovy(z roku 1846) vznikly v třicátých letech minulého století nebo později. Při výkladu o numerických metodách budeme zpravidla předpokládat, že prvky matic jsou reálná čísla. 3.1 Metoda Leverrierova Výhodou této metody je její jednoduchost a také to, že nemohou nastat výjimečné případy při výpočtu, jak tomu bude například u metody Krylovovy či Danilevského. Avšak cenou za tyto přednosti je právě větší náročnost při výpočtu. Samotná myšlenka spočívá v použití Newtonových vzorců. Je-li totiž ϕ(t)=( 1) n [t n p 1 t n 1 p 2 t n 2 p n ] charakteristickýpolynommatice Askořeny λ 1, λ 2,...,λ n,potomoznačíme-li platí Newtonovy vzorce: n λ k i = s k, i=1 p 1 = s 1, kp k = s k p 1 s k 1 p k 1 s 1 (k=2,...,n). 18

Odtud už lehce vyjádříme koeficienty charakteristického polynomu p 1 = s 1, p 2 = 1 2 (s 2 p 1 s 1 ),. (3.1) p n = 1 n (s n p 1 s n 1 p n 1 s 1 ). Zbývánámtedyještěurčitkoeficienty s k.zřejměplatí s 1 = λ 1 + λ 2 + +λ n =Tr A. Jakjižvíme(viz.poznámka2.4.1)jsouvlastníčíslamatice A k rovnaprávěčíslům λ k 1, λk 2,...,λk n aprotomůžemepsát,že s k=tr A k. Vidíme tedy, že pro určení koeficientů charakteristického polynomu stačí postupněpočítatmocninydanématiceaždo n-téhořádu,jejichstopyapotéužmůžeme tyto koeficienty vyjádřit jako řešení rekurentní soustavy rovnic(3.1). Přitom při počítání n-té mocniny stačí určit pouze diagonální prvky. Určování těchto mocnin je samo o sobě jednoduchou operací, avšak může být velmi pracné z hlediska počtu provedených operací. Celkově Leverrierova metoda vyžaduje 1 2 (n 1)(2n3 2n 2 +n+2)operacínásobeníadělení,cožznačněpřevyšuje počet stejného druhu operací při výpočtu metodou Danilevského a Krylovovou, a dokonce je i vyšší než u metody interpolační. Podotkněme ještě, že tahle metoda nijak neulehčuje výpočet vlastních vektorů, jak je tomu třeba u metody Krylovovy nebo Danilevského. Uveďme si pro ilustraci příklad(z[2]) výpočtu koeficientů charakteristického polynomu matice 1 2 3 4 A= 2 1 2 3 3 2 1 2. 4 3 2 1 Výpočet bude probíhat následovně: s 1 =4, 30 22 18 20 A 2 = 22 18 16 18 18 16 18 22, s 2=96, 20 18 22 30 208 178 192 242 A 3 = 178 148 154 192 192 154 148 178, s 3=712, 242 192 178 208 19

2108 A 4 = 1388 1388, s 4=6992, 2108 p 1 =4, p 2 =(96 (4).(4) )/2=40, p 3 =(712 (440).(964) )/3=56, p 4 =(6992 (44056).(712964) )/4=20. 3.2 Metoda interpolační Interpolační metody lze užít i na obecnější úlohy než jen na výpočet charakteristického polynomu. Umožňuje nám převést determinant tvaru f 11 (t)... f 1n (t) F(t)=.., (3.2) f n1 (t)... f nn (t) kde f ik (t)jsoudanépolynomyvtnapolynomiálnítvar. Protože polynom k-tého řádu lze s použitím různých interpolačních vzorců jednoznačně určit jeho hodnotami v k + 1 bodech, spočítáme nejprve k + 1 hodnot číselnýchdeterminantů F(t i ),kde kjepředpokládanýstupeňcharakteristickéhopolynomu,pronějakáobecnělibovolnězvolená,čísla t 0, t 1,...,t k apotésestrojíme tento polynom. K výpočtu je nejvýhodnější(viz.[1]) použít Newtonova interpolačního vzorce proekvidistantníargumenty t i (i=0,1,..., k). Uvedeme(podle[1])Newtonůvinterpolačnívzorecpro t i = i, i=0,1,..., k F(t)= k i=0 i F(0) t(t 1)...(t i+1), (3.3) i! kde i F(l)je i-tádiferencevypočítanýchhodnotpolynomu F(t)definovanárekurzivně takto: Označme nyní 0 F(l)=F(l), i F(l)= i 1 F(l+1) i 1 F(l). 1 i i! t(t 1)...(t i+1)= c mi t m pro1 i k, m=1 20

kde 0 c mi t m =1. m=1 Potom můžeme(3.3) přepsat na tvar, jež je nazýván interpolačním vzorcem A. A. Markova: F(t)= k i F(0)( i=0 = 0 F(0)+ i c mi t m )= m=1 k i=1 m=1 =F(0)+(c 11 1 F(0)t)+ i c mi i F(0)t m = +(c 12 2 F(0)t+c 22 2 F(0)t 2 )+ +(c 13 3 F(0)t+c 23 3 F(0)t 2 + c 33 3 F(0)t 3 )+... +(c 1k k F(0)t+c 2k k F(0)t 2 + +c kk k F(0)t k )= k k =F(0)+ ( c mi i F(0))t m. (3.4) m=1 i=m Vyšetřemenyníkoeficienty c mi.napředsepokusímevyjádřitkoeficientypolynomu t(t 1)(t 2)...(t i+1) a c mi dostanemejejichpodělenímčíslem i!. Označme t(t 1)(t 2)...(t (i 1))=e (i) 0 ti e (i) 1 ti 1 + +( 1) i 1 e (i) i 1 t1. Zřejměkoeficient e (i) mbudesoučtemsoučinůvšech m-ticrůznýchprvkůz{1,..., i 1} a proto můžeme psát e (i) 0 =1, e (i) 1 = e (i) 2 =. 1 j i 1 j, 1 j 1 <j 2 i 1 e (i) i 2 = j 1. j 2, 1 j 1 < <j i 2 i 1 e (i) i 1 = 1 j 1 < <j i 1 i 1 j 1...j i 2, j 1...j i 1 =(i 1)!. 21

Pro výpočet těchto vztahů se dá použít rekurentního vzorce i j 1...j k = s j 1...j k 1, tedy 1 j 1 < <j k i s=k e (i) k = i 1 j=k 1 j 1 < <j k 1 s 1 j. e (j) k 1. Pro0 < k < i 1můžemevýšeuvedenývzorecještěupravit e (i) k = i 1 j=k = e (i 1) k i 2 j. e (j) k 1 =( j=k +(i 1)e (i 1) k 1. j. e (j) k 1 )+(i 1)e(i 1) k 1 = Při určování koeficientů interpolačního vzorce A. A. Markova se však zpravidla používá již předpočítaná tabulka koeficientů. Podívejme se nyní na počet provedených operací při výpočtu touto metodou. Nejprve je třeba vypočítat n+1 determinantů n-tého řádu, což samo o sobě vyžaduje 1 3 (n+1)(n 1)(n2 + n+3)operacínásobeníadělení.poté,bereme-likoeficienty Markovova interpolačního vzorce z tabulky, bude třeba ještě k výpočtu koeficientů provést 1 2 n(n+1)operacínásobení.celkemtedymáme 1 3 (n+1)(n 1)(n2 + n+3)+ 1 2 n(n+1), operací násobení a dělení, což je sice nižší než u Leverrierovy metody, avšak pořád značně vyšší než u Danilevského nebo Krylovovy metody. Stejně jako v předešlém případě, nezjednodušuje nijak tato metoda výpočet vlastních vektorů. Jako příklad opět uveďme matici 1 2 3 4 A= 2 1 2 3 3 2 1 2. 4 3 2 1 Potom tabulka determinantů a diferencí bude vypadat následovně: t 0 1 2 3 4 F(t) 20 119 308 575 884 1 F(t) 99 189 267 309 2 F(t) 90 78 42 3 F(t) 12 36 4 F(t) 24 22

Dáledoplňmekoeficienty c mi Markovovainterpolačníhovzorce: i i F(0) c 4i c 3i c 2i c 1i 1 99 1, 00000 2 90 0, 50000 0, 50000 3 12 0,16667 0,50000 0,33333 4 24 0,04167 0,25000 0,45833 0,25000 Odtudužlehcespočítámekoeficienty p 1, p 2, p 3 : p 1 = c 33 3 F(0)+c 34 4 F(0)=4, p 2 = c 22 2 F(0)+c 23 3 F(0)+c 24 4 F(0)=40, p 3 = c 11 1 F(0)+=c 12 2 F(0)+=c 13 3 F(0)+=c 14 4 F(0)=56, p 4 = F(0)=20. 3.3 Metoda Krylovova Nechť A je čtvercová matice n-tého řádu a a 11 t a 12... a 1n a 21 a 22 t... a 2n ϕ(t)= =0 (3.5)... a n2... a nn t a n1 její charakteristická rovnice. A. N. Krylov navrhl metodu založenou na myšlence, že se nejprve výše uvedená charakteristická rovnice transformuje na rovnici obecně s ní ekvivalentní tvaru b 11 t b 12... b 1n b 21 t 2 b 22... b 2n D(t)= =0, (3.6)... b n1 t n b n2... b nn jejíž rozvoj podle mocniny t je pomocí Laplaceova rozvoje již značně jednodušší a odtud už bude možno snadno určit koeficienty charakteristického polynomu jako číselné násobky. Podívejme se tedy nejprve na podstatu Krylovovy transformace. Zřejmě rovnost (3.5) je nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby soustava homogenních rovnic tx 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n, tx 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n,..... tx n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n, (3.7) mělanenulovéřešení x 1, x 2,...,x n.násobmeprvnírovnicičíslem t t 2 x 1 = a 11 tx 1 + a 12 tx 2 + +a 1n tx n 23

adosaďmeza tx 1,...,tx n jejichvyjádřeníz(3.7)pomocí x 1,...,x n.dostávámetak t 2 x 1 =a 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n )+ +a 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n )+. +a 1n (a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n )= =(a 11 a 11 + a 12 a 21 + +a 1n a n1 )x 1 + +(a 11 a 12 + a 12 a 22 + +a 1n a n2 )x 2 +. +(a 11 a 1n + a 12 a 2n + +a 1n a nn )x n a označíme-li můžeme psát b 2k = n a 1s a sk (3.8) s=1 t 2 x 1 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n. (3.9) Poténásobímerovnici(3.9)znovučíslem taopětdosadímeza tx 1,...,tx n jejich vyjádřenímpomocí x 1,...,x n.tímdostaneme kde t 3 x 1 = b 31 x 1 + b 32 x 2 + +b 3n x n, b 3k = n b 2s a sk. s=1 Je tedy zřejmé, že zopakujeme-li výše uvedený postup ještě(n 3)-krát, dostaneme následující soustavu tx 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2 + +b 1n x n, t 2 x 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n,. (3.10) t n x n = b n1 x 1 + b n2 x 2 + +b nn x n, jejížkoeficienty b ik jsouurčenyrekurentnímivzorci b 1k = a 1k, n b ik = b i 1,s a sk (i=2,...,n; k=1,..., n). (3.11) s=1 Determinant soustavy(3.10) má zřejmě tvar(3.6). Přitom soustava(3.10) má nenulové řešení pro všechna t, pro která má nenulové řešení soustava(3.7), tj. pro 24

taková t,kterávyhovujírovnici ϕ(t) = 0.Toznamená,že D(t) = 0přivšech hodnotách t,kteréjsoukořenyrovnice ϕ(t)=0. Ukážeme, že platí 1 0... 0 b 11 b 12... b 1n D(t)= ϕ(t)=nϕ(t), (3.12)... b n 1,1 b n 1,2... b n 1,n tj.,žepro N 0se D(t)lišíodhledanéhocharakteristickéhopolynomujenčíselným násobkem. Předpokládejme nejprve, že všechny kořeny polynomu ϕ(t) jsou navzájem různé. Protože tyto kořeny jsou zároveň kořeny D(t), je D(t) dělitelný ϕ(t). Avšak oba polynomy mají týž stupeň. To znamená, že polynom D(t) je násobkem polynomu ϕ(t), a přitom podíl N je konstanta(nezávislá na t). Snadno nahlédneme, že Laplaceovým rozvojemdeterminantuv(3.6)podleprvníhosloupcedostanemekoeficientut n ve tvaru b 12... b 1n ( 1) n b 22... b 2n... b n 1,2... b n 1,n Koeficientpolynomu ϕ(t)ut n je( 1) n.odtudtedyplatnost(3.12). Má-li polynom ϕ(t) vícenásobné kořeny, platí rovněž D(t)=Nϕ(t), (3.13) což lze ověřit přímo vynásobením determinantů, které se v této rovnosti vyskytují a užitím vztahů(3.11). Pro N =0zrovnosti(3.13)plyne,že D(t)seidentickyrovnánule.Jetedy zřejmé, že v tomto případě uvedená transformace neumožňuje určení koeficientů charakteristického polynomu ϕ(t). I pro tento případ navrhl A. N. Krylov speciální metodu. Věnujmesealenejprvevyšetřenívlastnostíkoeficientů b ik určujících D(t).Za tímtoúčelemsidefinujemevektory b i osouřadnicích b i1, b i2,..., b in.zrovností(3.11) vyplývá, že b i1 a 11 a 21... a n1 b i 1,1 b i2. = a 12 a 22... a n2.... b i 1,2., a 1n a 2n... a nn b i 1,n tedy b in b i = A b i 1. (3.14) 25

Aodtudjižzřejmě b i = A i b 0, (3.15) neboťplatí b 1 = A b 0,kde b 0 =(1,0,...,0). Odtud už vidíme, že soustavu(3.7) je možné transformovat také tak, že vyjdeme např. od druhého sloupce této soustavy. Stejnými úvahami jako v předešlém textu bychom dospěli k determinantu D(t), ve kterém by se t vyskytovalo vedruhémsloupciapříslušnékoeficienty b ik byseurčilypodlevzorců(3.15),kde b 0 =(0,1,0,...,0). Krylovovu metodu však lze, jak dále ukážeme, přirozeným způsobem zobecnit, budeme-livolitmístovektoru B 0 speciálníhotypulibovolnývektor b 0 =(b 01, b 02,...,b 0n ). Je-li x 1, x 2,...,x n řešenísoustavy(3.7),označme u=b 01 x 1 + b 02 x 2 + +b 0n x n. Násobením a dosazováním(stejně jako v předešlém případě) dostaneme následující soustavu rovnic u=b 01 x 1 + b 02 x 2 + +b 0n x n, ut=b 11 x 1 + b 12 x 2 + +b 1n x n, ut 2 =b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n, (3.16). ut n =b n1 x 1 + b n2 x 2 + +b nn x n, kde b i =(b i1, b i2,...,b in ) = A i b 0.Tatosoustava n+1lineárníchhomogenníchrovnic o n+1neznámých u, x 1,...,x n mánenulovéřešeníprávěkdyždeterminant 1 b 01... b 0n t b 11... b 1n D(t)= =0.... t n b n1... b nn I zde bychom analogicky předešlým úvahám došli opět ke vztahu D(t)=Nϕ(t), kde Njetentokrát b 01 b 02... b 0n b 11 b 12... b 1n N=. (3.17)... b n 1,1 b n 1,2... b n 1,n Pro N = 0, stejně jako v předešlém případě, uvedená transformace neumožňuje určeníkoeficientůpolynomu ϕ(t).nechťtedynejprve N 0.Označme N i algebraickédoplňkyprvků t n i vdeterminantu D(t).Pakzrovnosti D(t)=Nϕ(t)vyplývá,žekoeficienty p i charakteristickéhopolynomujsouurčenypoměrem( 1) n 1 N i /N. 26

Podstatou práce A. N. Krylova je určení koeficientů charakteristického polynomu právě z těchto vztahů. Avšak uvedené úvahy umožňují najít hledané koeficienty bez výpočtu minorů, což podstatně snižuje náročnost výpočtu. Podmínka N 0 je ekvivalentní lineární nezávislosti řádků determinantu(3.17), což jsou právě vektory b 0, b 1,...,b n 1.Protožejichje n,tvoříbáziprostoruaprotomůžemezbylývektor b n vyjádřitpomocíjejichlineárníkombinacevetvaru b n = q 1 b n 1 + +q n b 0. (3.18) Jakdáleukážeme,jsoukoeficienty q i rovnykoeficientům p i charakteristickéhopolynomu ϕ(t)=( 1) n [t n p 1 t n 1 p n ],cožnámumožníurčittytokoeficienty jako řešení soustavy lineárních rovnic ekvivalentní této vektorové rovnosti. Odečtěme od posledního řádku determinantu D(t) lineární kombinaci předcházejícíchřádkůskoeficienty q 1, q 2,..., q n.tímdostanemesvyužitímrovnosti(3.18), že 1 b 01... b 0n t b 11... b 1n D(t)=... = t n 1 b n 1,1... b n 1,n t n q 1 t n 1 q n 0... 0 odkud už zřejmě =( 1) n [t n q 1 t n 1 q n ] N, ϕ(t)= D(t) N =( 1)n [t n q 1 t n 1 q n ]. Koeficienty p i a q i jsousitedyopravdurovny. Podívejme se ještě, jak lze k témuž výsledku dojít pomocí Cayleyovy-Hamiltonovy věty.aplikujeme-lijinamatici A,dostaneme anásobením b 0 pakzískávámeprávětvar cožje A n = p 1 A n 1 + +p n E, A n b 0 = p 1 A n 1 b 0 + +p n b 0, b n = p 1 b n 1 + +p n b 0. (3.19) Aplikujeme-li však tuto větu na matici A, můžeme zřejmě místo soustavy(3.19) použítkurčeníkoeficientů p i téžsoustavy kde c k = A k c 0. c n = p 1 c n 1 + +p n c 0, (3.20) 27

Určeníkoeficientů p i Krylovovoumetodouspoužitímsoustavy(3.19)nebo(3.20) vyžadujeprovést 3 2 n2 (n+1)operacínásobeníadělení,cožjepodstatněméněnežu obou předcházejících metod. Pokud bychom určovaly tyto koeficienty A. N. Krylovovou metodou, tak jak ji původně navrhoval ve své práci, tj. prostřednictvím výpočtů minorů,vyžadovalobytoprovést 1 3 (n4 +4n 3 +2n 2 n 3)operacínásobeníadělení. Pro ilustraci uveďme příklad opět pro matici 1 2 3 4 A= 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 apočátečnívektor c 0 = (1,0,0,0).Potomvektory c 0, c 1,..., c 4 budounabývat hodnot: c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 1 1 30 208 2108 0 2 22 178 1704 0 3 18 192 1656 0 4 20 242 1992 1 1 30 208 2108 0 1 11 89 852 0 0 15 75 900 0 0 24 114 1416 1 1 30 208 2108 0 1 11 89 852 0 0 1 5 60 0 0 0 6 24 1 1 30 208 2108 0 1 11 89 852 0 0 1 5 60 0 0 0 1 6 28

c 0 c 1 c 2 c 3 c 4 1 1 30 208 2108 0 1 11 89 852 0 0 1 5 60 0 0 0 1 4 1 1 30 0 1276 0 1 11 0 496 0 0 1 0 40 0 0 0 1 4 1 1 0 0 76 0 1 0 0 56 0 0 1 0 40 0 0 0 1 4 1 0 0 0 20 0 1 0 0 56 0 0 1 0 40 0 0 0 1 4 Odsud vidíme, že p 1 =4 p 2 =40 p 3 =56 p 4 =20. Vyšetřeme nyní situaci, kdy N = 0. V tomto případě soustava nehomogenních lineárníchrovnicurčenárovností(3.19)jižneumožňujeurčitkoeficienty p i charakteristického polynomu, neboť determinant této soustavy je roven nule. Pro tento případ navrhl A. N. Krylov postup spočívající v určení koeficientů nenulovéhopolynomunejmenšíhostupně ϑ(t)takového,že ϑ(a)c 0 =0,tj.koeficientypolynomunejmenšíhostupněanulujícíhovektor c 0.Tentopolynombuderovenminimálnímupolynomumatice Aatedyjehokořeny,jakjižbylodokázánov druhé kapitole, budou totožné se všemi kořeny charakteristického polynomu. Při nevhodnévolběvektoru c 0 všakmůžemedostatnamístominimálníhopolynomuněkterého jeho dělitele, čímž ztratíme část kořenů charakteristické rovnice. Je zřejmé, žedostaneme-linějakouvolboupočátečníhovektoru c 0 děliteleminimálníhopolynomu, potom musíme volit jiný počáteční vektor, který bude lineárně nezávislý s původnímvektorem c 0. Není-li minimální polynom ψ(t) matice A totožný s jejím charakteristickým polynomem(ažnanenulovýfaktor),jestupněmenšíhonež n,aprotožeplatí ψ(a)c 0, musíbýtvektory c 0, Ac 0,...,A n 1 c 0 lineárnězávislé.protoplatí N=0přilibovolné volběvektoru c 0.Krylovovametodatedyumožňujepro N 0určitkoeficienty charakteristického polynomu a pro N = 0 pouze některého jeho dělitele(obecně minimálního polynomu). Vztah N = 0 se projeví, řešíme-li soustavu(3.20) Gaussovou metodou tím, že se v části rovnic eliminují všechny koeficienty zároveň, takže tyto rovnice dávají 29

identitu0=0.tytorovnice(označmejejichpočet n m)jenutnovynechat.vezbylé soustavě je třeba vynechat n m posledních sloupců, počínaje sloupcem absolutních členů(tj.sloupcemsouřadnicvektoru c n ).Poslednízezbylýchsloupců,složenýze souřadnicvektoru c m,sepakzvolízaabsolutníčlennovésoustavy.řešenísoustavy pakurčíkoeficientylineárnízávislostivektoru c m navektorech c 0, c 1,..., c m 1,tj. koeficientypolynomunejmenšíhostupněanulujícíhovektor c 0. Pronázornostsitoukažmenapříkladusmaticí 5 30 48 B= 3 14 24. 3 15 25 c 0 c 1 c 2 c 3 1 5 29 125 0 3 15 63 0 3 15 63 1 5 29 125 0 3 15 63 0 0 0 0 Vyřešíme-li soustavu s vynecháním posledního sloupce, získáme koeficienty dělitele charakteristického polynomu: Odsud q 2 = 5, q 1 = 4atedy p 3 + 5p 2 = 29, 3p 2 = 15, t 2 +5t+4. 3.4 Metoda Danilevského Tato metoda spočívá v tom, že danou matici považujeme za matici operátoru v kanonickébázi(e 1, e 2,...,e n ).ZCayleyovy-Hamiltonovyvětyplyne,že A n e 1 = p 1 A n 1 e 1 + p 2 A n 2 e 1 + +p n e 1, kde p 1, p 2,...,p n jsouhledanékoeficientycharakteristickéhopolynomu. Jsou-livektory e 1, Ae 1,...,A n 1 e 1 lineárněnezávislé,můžemejepovažovatza bázi prostoru, kterou označíme α. Vyjádřeme nyní matici P uvažovaného operátoru vtétobázi. Zprvníkapitolyjižvíme,že P=((Ae 1 ) α (AAe 1 ) α (AA 2 e 1 ) α...(aa n 1 e 1 ) α ), kde(aa k e 1 ) α jsousloupcesouřadnicvektorů AA k e 1 vbázi α.pakjejižzřejmé,že 30

matice P má tzv. Frobeniův tvar 0 0... 0 p n 1 0... 0 p n 1 0 1... 0 p n 2 P=........ 0 0... 1 p 2 0 0... 0 p 1 Nynípopíšemepřechododbáze e 1, e 2,...,e n kbázi α.postupněvkaždémz n 1krokůbudemepřecházetodbáze e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e n kbázi e 1, Ae 1,..., A k e 1, e k+2,..., e n,avšakzapředpokladu,ževšechnytytosoustavyvektorů jsou skutečně lineárně nezávislé. Případy degenerace, kdy nějaká ze soustav bude lineárně závislá, budeme vyšetřovat později. Matici, kterou dostaneme po(k 1)-ním krokubudemeznačit A (k).tedy A=A (1) P= A (n). Zvýšeřečenéhojezřejmé,žesloupcematice A (k) jsousouřadnicemivektorů Ae 1, A 2 e 1,...,A k e 1, Ae k+1,..., Ae n vbázi e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e n.prvních k 1 sloupcůmatice A (k) budetedytotožnýchstýmižsloupcifrobeniovymatice P. Samotný přechod se bude realizovat podle následujícího předpisu A (k+1) = S 1 k A(k) S k, kde S k je matice transformace souřadnic v bázích e 1,Ae 1,...,A k e 1,e k+2,...,e n a e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+1,...,e n.jezřejmé,žebudemíttentotvar 1 0... s 1,k+1... 0 0 0 1... s 2,k+1... 0 0 S k =....., 0 0... s n 1,k+1... 1 0 0 0... s n,k+1... 0 1 kde s 1,k+1, s 2,k+1,..., s n,k+1 jsousouřadnicevektoru A k e 1 vbázi e 1, Ae 1,..., A k 1 e 1, e k+1,..., e n,tedyprvky ik v k-témsloupcimatice A(k).Inverznímatice S 1 k bude mít tvar 1 0... s 1,k+1 s k+1,k+1... 0 0 1 0... a 1,k 0 1... s a k+1,k... 0 0 2,k+1 s k+1,k+1... 0 0 0 1... a 2,k a k+1,k... 0 0.......... S 1 0 0... s k,k+1 s k = k+1,k+1... 0 0 0 0... a k,k a 1 = k+1,k... 0 0 1. 0 0... s k+1,k+1... 0 0 0 0... 0 0... s a k+1,k... 0 0 k+2,k+1 s k+1,k+1... 0 0 0 0... a k+2,k a k+1,k... 0 0.......... 0 0... s n,k+1 s k+1,k+1... 0 1 0 0... a n,k a k+1,k... 0 1 31

Přivýpočtumatice A (k+1) budemenejprvepočítatpomocnoumatici B (k) B (k) = S 1 k A(k) = 1 0... a(k) 1k... 0 k+1,k 0 1... a(k) 2k... 0 k+1,k.... 11 12... 1n 0 0... a(k) kk... 0 = k+1,k 21 22... 2n 1. 0 0... a k+1,k... 0... = 0 0... a(k) k+2,k... 0 n1 n2... nn k+1,k.... 0 0... a(k) nk... 1 k+1,k = ( 11 ( 21 k+1,1 1,k k+1,k k+1,1 2,k k+1,k. k+1,1 k+1,k. ( n1, k+1,1 n,k k+1,k ), ( 12 ), ( 22 k+1,2 1,k k+1,k 2,k. k+1,2 k+1,k ), ( n2. k+1,2 k+1,k ),..., ( 1n ),..., ( 2n,..., k+1,2 n,k k+1,k k+1,n 1,k k+1,k 2,k. k+1,n k+1,k ),..., ( nn. k+1,n k+1,k k+1,n n,k k+1,k ) ) ). Zvýšeřečeného,žeprvních k 1sloupcůmatice A (k) jetotožnýchstýmiž sloupcifrobeniovymatice P,jezřejmé,žesepřitěchtooperacíchprvních k 1 sloupcůnezmění.vk-témsloupcidostanemena(k+1)-nímmístějedničkuana všechostatníchmístechnuly.taktovypočítanoumatici B (k) budemenynízprava násobitmaticí S k B (k) S k = 0 0... 0 b (k) 1,k+1... b (k) 1,n 1 0... 0 b (k) 2,k+1... b (k) 2,n 0 1... 0 b (k) 3,k+1... b (k) 1 0... s 1,k+1... 0 0 3,n 0 1... s 2,k+1... 0 0 =......... 0 0... 1 b (k) k+1,k+1... b (k)..... k+1,n 0 0... s n 1,k+1... 1 0..... 0 0... s n,k+1... 0 1 0 0... 0 b (k) n,k+1... b n,n (k). 32

Tímto násobením se změní pouze(k + 1)-ní sloupec. Jeho prvky budou zřejmě čísla n j=1 b (k) 1j a(k) jk, n j=1 b (k) 2j a(k) jk,..., n j=1 b (k) nj a(k) jk. Celkemtedypřechododmatice A (k) kmatici A (k+1) buderealizovánnásledující soustavou rekurentních vzorců b (k) k+1,j = a(k) k+1,j k+1,k b (k) i,j = a(k) i,j a(k) ik b(k) k+1,j a (k+1) ij = b (k) ij n i,k+1 = a (k+1) j=1, b (k) ij a(k) jk. (i k+1), (j k+1), Tato metoda je, z hlediska počtu operací násobení a dělení potřebných k výpočtu koeficientů charakteristického polynomu, nejlepší ze všech v této kapitole uvedených metod.přivýpočtumatice A (k) jetřebaprovést n k+(n k)(n 1)+(n k)n= 2n(n k)těchtokroků.celkemtedymáme n 3 n 2 operacínásobeníadělení. Jako příklad uveďme opět matici 1 2 3 4 A= 2 1 2 3 3 2 1 2. 4 3 2 1 Výpočet v k-tém kroku budeme zapisovat do následující tabulky: A (k) b (k) k+1,j B (k) a (k+1) i,k+1 A (k+1) 33

Tabulka celého výpočtu: 1,000 2,000 3,000 4,000 1,000 2,000 1,000 2,000 3,000 0,500 3,000 2,000 1,000 2,000 1,000 4,000 3,000 2,000 1,000 1,500 0, 000 1.500 2.000 2.500 19, 000 1, 000 0.500 1.000 1.500 11, 000 0, 000 0.500 2.000 2.500 15, 000 0, 000 1.000 2.000 5.000 24, 000 0,000 19,000 2,000 2,500 0,000 1,000 11,000 1,000 1,500 1,000 0,000 15,000 2,000 2,500 1,133 0,000 24,000 2,000 5,000 1,167 0,000 0,000 0,533 0.667 24,000 1, 000 0, 000 0.467 0.333 34, 000 0,000 1,000 0,133 0,167 5,000 0,000 0,000 1,200 1,000 6,000 0, 000 0, 000 24, 000 0.667 0, 000 1,000 0,000 34,000 0,333 0,000 0,000 1,000 5,000 0,167 1,000 0,000 0,000 6,000 1,000 0,167 0,000 0,000 0,000 3,333 20,000 1,000 0,000 0,000 5,333 56,000 0,000 1,000 0,000 1,000 40,000 0,000 0,000 1,000 0,167 4,000 0,000 0,000 0,000 20,000 1,000 0,000 0,000 56,000 0,000 1,000 0,000 40,000 0,000 0,000 1,000 4,000 Koeficienty p i charakteristickéhopolynomumatice Abudoutedy p 1 =4, p 2 =56, p 3 =40, p 4 =20. Ukažme nyní, jak postupovat v případech degenerace. Může se stát, že při přechoduodbáze e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+1,...,e n kbázi e 1,Ae 1,...,A k e 1,e k+2,...,e n,budoutytovektorylineárnězávislé.protože e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+2,...,e n jsoulineárně nezávislé, znamená to, že A k e 1 = q 1 e 1 + q 2 Ae 1 + +q k A k 1 e 1 + q k+2 e k+2 + +q n e n. Zřejměčísla q i jsoutotožnásprvkymatice A (k) v k-témsloupci.aprotoje k+1,k = 0. V tomto případě už nemůžeme pokračovat obvyklou Danilevského metodou. Mohou nastat tyto dva případy: 34

1.Prvek jk jerůznýodnulypronějaké j > k+1.potomvmatici A (k) vyměníme(k+1)-níaj-týřádekazároveň(k+1)-níaj-týsloupec.tatozáměnajeekvivalentnípřechoduodbáze e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e j,..., e n kbázi e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e j,..., e k+1,...,e n.snadnonahlédneme,žejsou-livektory e 1, Ae 1,..., A n 1 e 1 lineárněnezávislé, paknutněexistujetakovýindex j.potéto transformaci můžeme pokračovat ve výpočtu. Hledáme-li pak vlastní vektory, musíme uvedenou transformaci brát ovšem v úvahu. Ve vhodném okamžiku musíme vyměnit(k + 1)-ní a j-tou souřadnici příslušných vektorů. 2.Jsou-livšechna jk pro j k+1nulová,znamenáto,ževektory e 1, Ae 1,...,A k e 1 jsoulineárnězávislé,takžematice A (k) mátvar. 0 0... 0 1k 1 0... 0 2k... C 0 0... 1 kk 0 A (k) 2 = ( ) A (k) 1 C 0 A (k). 2 Charakteristický polynom matice A je tedy roven součinu charakteristických polynomůmatice A (k) 1 a A (k) 2.Přitommatice A (k) 1 už je ve Frobeniově kanonickém tvaru, takže tuto matici můžeme ihned rozvinout v polynom. K dokončení výpočtu charakteristickéhopolynomunámtedyzbýváupravitmetodoudanilevskéhomatici A (k) 2. To znamená, že se v tomto případě proces výpočtu charakteristického polynomu v každé etapě zjednoduší. 35

Kapitola 4 Stabilita problému vlastních čísel V této kapitole odpovíme na otázku, jak se změní vlastní čísla a vlastní vektory matice, změní-li se její prvky v mezích přípustné chyby a ukážeme, že v některých případech nemusí být problém vlastních čísel stabilní. Nechť Aječtvercovámaticeřádu naa+dajekníblízkámatice.budeme předpokládat, že všechna vlastní čísla matice jsou navzájem různá a že prvky matice da(a obdobně dx a dλ) jsou velmi malé. Máme-li Ax i = λ i x i pro i=1,2,..., n,dostávámepřibližně (da) x i + A dx i = λ i dx i +(dλ i ) x i. Uvažujmenynímatici A ajejívlastnívektory v 1,...,v n příslušnévlastnímčíslům λ 1,..., λ n.pakskalárnímnásobenímdostáváme ((da) x i, v j )+(A dx i, v j )=(λ i dx i, v j )+((dλ i )x i, v j ) ((da) x i, v j )+(A dx i, v j )=λ i (dx i, v j )+dλ i (x i, v j ), odkudpro i=jdostaneme((da) x i, v i )+(A dx i, v i )=(dx i, λ i v i )+dλ i (x i, v i )a protože(x i, v i ) 0aA v i = λ i v i,platí dλ i = ((da) x i, v i ). (4.1) (x i, v i ) Pro i jjepakzřejmě(x i, v i )=0avzhledemkrovnosti(A dx i, v j )=λ j (dx i, v j ) dostáváme Nechť ((da) x i, v j )+λ j (dx i, v j )=λ i (dx i, v j ), (λ i λ j )(dx i, v j )=((da) x i, v j ), (dx i, v j )= ((da) x i, v j ) λ i λ j. dx i = n α ij x j. (4.2) j=1 36

Potomzřejmě(dx i, v j )=α ij (x j, v j )atedypro i j α ij = ((da)x i, v j ) (x j, v j )(λ i λ j ). (4.3) Koeficient α ii jevzhledemknejednoznačnostivlastníhovektoru x i neurčen.bez újmynaobecnostimůžemepředpokládat,že α ii =0.Normovánímzevzorce(4.1) dostáváme následující vztah da. xi. v i dλ i = c i da, (x i, v i ) kde c i = x i. v i (x i, v i ). ZCauchyho-Buňakovskéhonerovnostijezřejmě c i 1.Vpřípaděreálnýchvlastních vektorů máme 1 c i = cosϕ i, kde ϕ i jeúhelmezivektory x i a v i. Definice5.Zavýšeuvedenéhooznačenínazvemečíslo c i koeficientemdeformace matice Aodpovídajícívlastnímučíslu λ i. Koeficientdeformace c i tedyvyjadřuje,žepřidanénormě da můžebýtzměna λ i tímvětší,čímvětšíjetentokoeficientdeformace.uhermitovských,specielně symetrickýchmatic,platí c i =1,tedy dλ i da,protože xi = v i aprotojev tomto případě úloha určit vlastní čísla vždy stabilní. Pro libovolnou matici platí, že je tato úloha nestabilní jen při velkém koeficientu deformace. Přejděme nyní ke stabilitě výpočtu vlastních vektorů. Z(4.2) a(4.3) plyne, že dx i = j {1,...,n}\{i} ((da)x i, V j ) (X j, V j )(λ i λ j ) X j aodtud dx i da. Xi = da. Xi j {1,...,n}\{i} j {1,...,n}\{i} V j. X j (X j, V j ). λ i λ j = c j λ i λ j. Vidíme tedy, že úloha určit vlastní vektory matice může být nestabilní jen v případě,žealespoňjedenkoeficientdeformace c i jevelkýnebojsou-liněkterávlastní čísla příliš blízká. 37