2.1 POHYB 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ

2 P ÌmoËar pohyb V roce 1977 vyvo ila Kiy OíNeilov rekord v z vodech dragser. Dos hla ehdy rychlosi 628,85 km/h za pouh ch 3,72 s. Jin rekord ohoo ypu zaznamenal v roce 1958 Eli Beeding ml. p i jìzdï na sanìch s rakeov m pohonem. Po klidovèm saru dos hly sanï rychlosi 116 km/h za dobu 0,04 s, ker p edsavuje v pravèm slova smyslu Ñokamûikì. Je oiû kraöì neû mrknuì oka. M ûeme nïjak porovna yo dva v kony, abychom mïli p edsavu, ker z nich mohl p inès jezdci vïöì vzruöenì nebo dokonce srach? M me srovn va dosaûenou rychlos, dobu jìzdy nebo nïjakou jinou veliëinu?

2.2 POLOHA A POSUNUTÍ 13 2.1 POHYB Celý svě a všechno v něm se pohybuje.dokonce i věci, keré se zdají bý v klidu, jako například silnice, se pohybují spolu s oáčením Země, jejím obíháním kolem Slunce, s pohybem Slunce kolem sředu naší Galaxie i pohybem celé Galaxie vzhledem ke galaxiím osaním.čás fyziky, kerá se zabývá popisem pohybu ěles i říděním a porovnáváním pohybů, se nazývá kinemaika.keré charakerisiky pohybu vlasně máme měři a jak je budeme srovnáva? Než se pokusíme na yo oázky odpovědě, všimněme si někerých obecných vlasnosí pohybů.naše úvahy budou prozaím omezeny řemi požadavky: 1. Pohyb se děje vůči Zemi (kerou pokládáme za nehybnou) výhradně po přímce.ta může bý svislá (pád kamene), vodorovná (jízda auomobilu po dálnici), nebo libovolně skloněná.vždy o ale musí bý přímka.takový pohyb nazýváme přímočarý.(zaímco svě kolem nás je rojrozměrný, předsavuje pohyb po přímce pouze jednorozměrnou úlohu.) 2. Až do kap.5 se nebudeme zabýva příčinami pohybu, pouze se budeme snaži pohyb popsa.budeme zjiš ova, zda ěleso zvyšuje či snižuje svou rychlos, zda se zcela zasavilo, nebo se začalo pohybova opačným směrem.půjde prosě o sledování změn pohybu v průběhu času. 3. Pohybující se ěleso nahradíme hmoným bodem. Hmoný bod je nejjednodušší myslielný objek, kerý zasupuje skuečné pohybující se ěleso v případech, kdy pro popis jeho pohybu nejsou rozhodující jeho vlasní rozměry.teno případ nasává zejména ehdy, pohybují-li se všechny čási ělesa sejně rychle a ve sejném směru.jako hmoný bod si můžeme předsavi i díě, keré sjíždí po přímé skluzavce na děském hřiši.předsava hmoného bodu však již není vhodná pro oáčející se kolooč, nebo jeho různé čási se v daném okamžiku pohybují různě rychle a v různých směrech. Hmoný bod je časo užívaným a velmi funkčním fyzikálním modelem nejen při pouhém popisu pohybu ěles, ale i v úvahách o příčinách jeho změn (kap.5 a 6). Z ohoo obecnějšího pohledu nahrazuje hmoný bod skuečné ěleso v případech, kdy je podsaná jeho celková hmonos a nikoli jeho vlasní rozměry, var apod.výsižnými výrazy zasupujícímipojemhmoný bod jsou čásice nebobodový objek.zadání příkladů a úloh v jednolivých kapiolách jsou věšinou formulována nikoli pro absrakní hmoné body, čásice, bodovéobjeky, ale pro konkréní ělesa, s nimiž se sekáváme při fyzikálních experimenech i při každodenním dění (kosky, krabice, bedny, zvířaa, lidé).v kapiolách 1 až 8, v nichž se jedná výhradně o posuvné pohyby ěles, je všechna považujeme za hmoné body.s vědomím, že jsme právě přisoupili na uo dohodu, se nebudeme úzkoslivě drže erminologické přesnosi a budeme používa jak názvy konkréních objeků, ak ermíny ěleso či objek. 2.2 POLOHA A POSUNUTÍ Polohu objeku určujeme vždy vzhledem k nějakému vzažnému bodu, nejčasěji počáku souřadnicové osy (například osa x na obr.2.1).za kladný směr osy považujeme směr rosoucí souřadnice.na obr.2.1 je kladný směr orienován vpravo.opačný směr nazýváme záporný. Má-li například hmoný bod souřadnici x = 5m,znamená o,že je ve vzdálenosi 5m od počáku,měřené v kladném směru.pokud by měl souřadnici x = 5 m, byl by od počáku sejně daleko, ale na opačné sraně.souřadnice 5 m je menší než souřadnice 1maajemenšínež souřadnice +5m. záporný směr počáek kladný směr 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Obr. 2.1 Polohu bodu na ose zadáváme ve vyznačených délkových jednokách.supnici lze libovolně rozšíři v obou směrech. Změnu polohy objeku z bodu o souřadnici x 1 do bodu o souřadnici x 2 nazýváme posunuím a značíme x.plaí x = x 2 x 1. (2.1) (Podobně jako v př.1.3 z kap.1 označujeme symbolem změnu veličiny, definovanou jako rozdíl její koncové a počáeční hodnoy.) Dosadíme-li za x 1 a x 2 konkréní čísla, pak posunuí v kladném směru (na obr.2.1 doprava) bude vždy kladné a posunuí v opačném směru (na obr.2.1 doleva) vždy záporné.přemísí-li se čásice řeba z polohy x 1 = 5 m do polohy x 2 = 12 m, je x = (12 m) (5m) = = (+7m).Kladná hodnoa posunuí nám říká, že se ěleso pohnulo v kladném směru.vráí-li se ěleso zpě do polohy x = 5 m, bude celkové posunuí nulové.při výpoču posunuí není důležié, kolik merů ěleso skuečně urazilo. Podsaná je pouze výchozí a koncová poloha. Není-li v dané úloze důležié znaménko (j.směr) posunuí, hovoříme o velikosi posunuí x.ta je vždy nezáporná (j.kladná anebo nula). Posunuí je příkladem vekorové veličiny, i když zaím jen jednorozměrné.jako každý vekor je charakerizováno jak velikosí, ak směrem.vekorům je věnována celá kap.3.v uo chvíli posačí, uvědomíme-li si, že posunuí x

14 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB po přímce má dvě charakerisiky: (1) velikos, j.vzdálenos mezi počáečním a koncovým bodem (například poče merů) a (2) směr určený souřadnicovou osou orienovaný od počáeční ke koncové poloze a vyjádřený znaménkem plus či minus. Následuje první z konrol, jichž v éo knize najdee celou řadu. Každá obsahuje jednu nebo více oázek, vyžadujících jednoduchou úvahu či výpoče (časo jen z hlavy ). Můžee si pomocí nich jednoduše ověři, zda jse probranou láku pochopili. Správnéodpovědi jsou uvedeny na konci knihy. KONTROLA 1: Tři různá posunuí jsou dána následujícími počáečními a koncovými polohami na ose x. (a) 3m,+5m;(b) 3m, 7m;(c)7m, 3m.Kerá z nich jsou záporná? 2.3 PRŮMĚRNÁ RYCHLOST Přehlednou informaci o poloze ělesa získáme, zakreslíme-li do grafu závislos jeho polohy x()na čase.zvlášě jednoduchým příkladem je graf na obr.2.2, předsavující závislos x() pro králíka,* kerý sedí v poloze x = 2m. Mnohem zajímavější siuaci znázorňuje graf na obr.2.3a. V omo případě se oiž králík pohyboval.poprvé jsme si jej všimli v poloze x = 5 m v čase = 0.Pohyboval se směrem k počáku sousavy souřadnic x = 0, kerým proběhl v okamžiku = 3 s a pokračoval v běhu v kladném směru osy x. x (m) +1 1 0 1 2 3 4 1 x() (s) Obr. 2.2 Graf časové závislosi x() polohy králíka sedícího v bodě o souřadnici x = 2 m.jeho poloha se s časem nemění. * Králíka považujeme za hmoný bod. 5 0 x (m) 4 3 2 1 1 0 1 2 3 4 1 2 3 5 poloha v čase = 0 (a) (b) x() 0 3 4 2 4 (s) x (m) čas (s) Obr. 2.3 (a) Graf časové závislosi polohy x() běžícího králíka. (b) Obrázek skuečné dráhy králíka.na supnici pod osou x je vždy uveden okamžik, kdy králík dorazil do vyznačené polohy x. Na obr.2.3b je zakreslen přímočarý pohyb králíka, jak bychom ho mohli vidě ve skuečnosi.graf na obr.2.3a je samozřejmě absrakní: nic akového nemůžeme přímo pozorova.obsahuje však bohaší informaci o pohybu králíka.umožňuje například zjisi, jak rychle se pohyboval. Ve skuečnosi je s oázkou jak rychle spojeno několik různých fyzikálních veličin.jednou z nich je zv.průměrná neboli sřední rychlos v x, kerou definujeme jako podíl posunuí x v určiém časovém inervalu a délky ohoo inervalu: v x = x = x 2 x 1 2 1. (2.2) Označujeme* ji v x.v grafu x() je průměrná rychlos v x dána směrnicí přímky, kerá spojuje dva vybrané body křivky: polohu x 1 v čase 1 (v grafu bod [ 1,x 1 ]) a polohu x 2 v čase 2 (bod [ 2,x 2 ]).Podobně jako posunuí má i průměrná rychlos velikos i směr.(je edy dalším příkladem vekorové veličiny.) Je-li hodnoa v x kladná, pak křivka zleva doprava soupá (funkce x() je rosoucí).je-li záporná, pak křivka zleva doprava klesá (funkce x() je klesající).průměrná rychlos v x má vždy sejné znaménko jako posunuí, nebo hodnoa ve vzahu (2.2) je vždy kladná. * Pruh nad libovolnou veličinou bude všude v éo knize znamena její sřední hodnou.

2.3 PRŮMĚRNÁ RYCHLOST 15 Obr.2.4 dává návod, jak urči průměrnou rychlos v x běžícího králíka z obr.2.3 v časovém inervalu od = 1s do = 4 s.její hodnou v x = 6m/3s =+2m s 1 jsme vypočeli jako směrnici spojnice dvou bodů na křivce grafu: první odpovídá začáku a druhý konci časového inervalu, během kerého jsme králíka sledovali.* x (m) 4 v 3 x = směrnice přímky 2 = x 1 1 0 1 2 3 4 (s) 1 2 3 x = 2m ( 4m) = 6m 4 5 = 4s 1s= 3s Obr. 2.4 Výpoče průměrné rychlosi v časovém inervalu od = 1s do = 4 s.průměrná rychlos je určena jako směrnice přímky spojující dva body grafu, keré odpovídají počáečnímu a koncovému okamžiku daného inervalu. PŘÍKLAD2.1 Nákladní dodávka jede po přímé silnici sálou rychlosí 86 km/h.po ujeí 10,4 km náhle dojde palivo.řidič pokračuje pěšky v původním směru.po 27 minuách (0,450 h) dojde k čerpací sanici, vzdálené od odsavené dodávky 2,4 km. Jaká je průměrná rychlos řidiče od chvíle, kdy vyjel s dodávkou z výchozího mísa, až do okamžiku příchodu k čerpací sanici? Řeše výpočem i graficky. ŘEŠENÍ: Pro výpoče průměrné rychlosi v x musíme zná celkové posunuí x a dobu.je výhodné položi počáek souřadnicové osy x do mísa, odkud auomobil vyrazil (edy x 1 = 0) a orienova osu ak, aby směr jízdy byl kladný. Poloha čerpací sanice na ako zvolené ose je x 2 = = 10,4km+ 2,4km =+12,8km,aedy x = x 2 x 1 = =+12,8 km.dobu jízdy určíme z rovnice (2.2), po jejíž * V geomerii je směrnice přímky definována jako angena úhlu, kerý ao přímka svírá s nějakou vzažnou přímkou.předsavuje-li však přímka například graf závislosi x() polohy ělesa x na čase, rozumíme směrnicí podíl přírůsku souřadnice x a odpovídajícího přírůsku času, včeně uvážení příslušných jednoek.je-li poloha měřena v merech a čas v sekundách, vyjde směrnice v jednokách m s 1.Tangeně úhlu α mezi přímkou grafu a časovou osou (kerá v omo případě hraje roli vzažné přímky) bude rovna ehdy,zvolíme-li na osách a x sejně dlouhé jednoky.pokud by jedna sekunda na časové ose byla reprezenována řeba úsečkou o délce 1 cm, museli bychom na ose poloh zvoli jako 1 m rovněž úsečku o délce 1 cm. úpravě a dosazení dosaneme: = x v x = (10,4km) = 0,121 h, (86 km/h) j.asi 7,3 min.jako x = 10,4 km jsme označili vzdálenos, kerou dodávka ujela do okamžiku, kdy došlo palivo.celková doba cesy řidiče (jízda i chůze) je edy = 0,121 h + 0,450 h = 0,571 h. Nakonec dosadíme za x a do rovnice (2.2): v x = x = (12,8km) (0,571 h) = = 22,4km/h. = 22 km/h. (Odpově ) Průměrnou rychlos v x zjisíme ješě graficky.nejprve narýsujeme graf funkce x() (obr.2.5).výchozí bod grafu splývá s počákem a koncový bod je označen písmenem P.Průměrná rychlos je směrnicí přímky spojující yo dva body. Z délek přerušovaných čar je zřejmé, že směrnice má hodnou v x = 12,8km/0,57 h =+22 km/h. čerpací sanice míso odsavení dodávky poloha (km) 14 12 10 8 6 4 x jízda chůze x (= 12,8 km) 2 0 0 (= 34 min, j.0,57 h) 10 20 30 čas (min) 40 Obr. 2.5 Příklad 2.1. Přímkové úseky s označením jízda a chůze předsavují grafické znázornění časové závislosi polohy řidiče dodávky během jízdy, resp.během chůze k čerpací sanici.směrnice přímky spojující počáek sousavy souřadnic s bodem P určuje jeho průměrnou rychlos. PŘÍKLAD2.2 Předpokládejme, že návra k dodávce rvá řidiči 35 min.musí oiž nés nádobu s palivem, a proo jde pomaleji.jaká je průměrná rychlos řidiče na celé rai od okamžiku výjezdu z výchozího mísa až po návra od čerpací sanice? ŘEŠENÍ: Sejně jako v předchozím případě musíme urči celkové posunuí x a vyděli je celkovou dobou.řidičova cesa nyní končí návraem k auomobilu.její počáeční bod má opě souřadnici x 1 = 0, koncový bod je dán polohou odsaveného auomobilu x 2 = 10,4 km.dosáváme P

16 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB x = 10,4km 0 = 10,4 km.celková doba jízdy a chůze k čerpací sanici a zpě je Je edy = (10,4km) + (27 min) + (35 min) = (86 km/h) = 0,121 h + 0,450 h + 0,583 h = 1,15 h. v x = x = (10,4km) = (1,15 h) = 9,04 km/h =. 9,0km/h. (Odpově ) Průměrná rychlos je v omo případě menší než v příkladu 2.1. Je o pochopielné, celkové posunuí je oiž menší a celková doba delší. KONTROLA 2: Po doplnění paliva se dodávka vrací zpě do bodu x 1 rychlosí 80 km/h.jaká je průměrná rychlos na celé cesě? Jinou předsavu o om, jak rychle se hmoný bod pohybuje, lze získa pomocí zv. průměrné velikosi rychlosi v.zaímco pro výpoče průměrné rychlosi v x, kerá je vekorovou veličinou, je rozhodující vekor posunuí x,je průměrná velikos rychlosi veličinou skalární a je určena celkovou dráhou, kerou hmoný bod urazí nezávisle na směru pohybu.* Je edy v = celková dráha celková doba pohybu. (2.3) Průměrná velikos rychlosi v neobsahuje, na rozdíl od průměrné rychlosi v x, informaci o směru pohybu.je vždy nezáporná.v někerých případech může bý v = v x, obecně o však neplaí.výsledek následujícího příkladu o jasně dokumenuje. PŘÍKLAD2.3 Určee průměrnou velikos rychlosi pohybu v příkladu 2.2. ŘEŠENÍ: Od počáku jízdy až po návra zpě k vozu od čerpací sanice urazil řidič celkovou vzdálenos 10,4km+ 2,4km+ 2,4km= 15,2km * Je řeba rozlišova velikos vekoru průměrnérychlosi v x a průměrnou velikos rychlosi v.první veličinu určíme prosě jako velikos vekoru definovaného vzahem (2.2) (viz aké kap. 3), druhá je výsledkem sředování velikosi rychlosi nezávisle na jejím směru, například z údaje rychloměru auomobilu. za dobu 1,15 h.průměrná velikos jeho rychlosi má edy hodnou v = (15,2km) (1,15 h) RADY A NÁMĚTY = 13,2km/h. (Odpově ) Bod 2.1: Rozumíme dobře zadanému problému? Společným problémem všech, keří se eprve začínají zabýva řešením fyzikálních úloh, je správně pochopi zadání.zda jsme zadání skuečně pochopili, si nejlépe ověříme ak, že se je pokusíme vyloži někomu jinému.vyzkoušeje si o. Když čeme zadání, zapíšeme si hodnoy známých veličin i s jednokami a označíme je obvyklými symboly.rozmyslíme si, kerou veličinu máme spočía a rovněž ji označíme obvyklým symbolem. V příkladech 2.1 a 2.2 je neznámou veličinou průměrná rychlos, kerou značíme v x.pokusíme se nají fyzikální vzahy mezi neznámou veličinou a veličinami zadanými. V příkladech 2.1 a 2.2 je o definice průměrné rychlosi, zapsaná vzahem (2.2). Bod 2.2: Používáme správně jednoky? Věnujme vždy pozornos omu, abychom do vzorců dosadili všechny veličiny v odpovídajících jednokách.v příkladech 2.1 a 2.2 je přirozené počía vzdálenos v kilomerech, čas v hodinách a rychlos v kilomerech za hodinu.někdy musíme před dosazením jednoky převés. Bod 2.3: Je získaný výsledek rozumný? Nad výsledkem se nakonec zamysleme a zvažujme, dává-li smysl.není získaná hodnoa příliš velká nebo naopak příliš malá? Má správné znaménko a jednoky? Správná odpově v př.2.1 je 22 km/h.kdyby nám vyšlo řeba 0,000 22 km/h, 22 km/h, 22 km/s nebo 22 000 km/h, měli bychom hned pozna, že jsme ve výpoču udělali chybu. Bod 2.4: Umíme dobře čís z grafů? Měli bychom bý schopni dobře rozumě akovým grafům, jaké jsou například na obr. 2.2, 2.3a, 2.4 a 2.5. U všech vynášíme na vodorovnou osu čas (jeho hodnoy rosou směrem vpravo).na svislé ose je poloha hmoného bodu x vzhledem k počáku sousavy souřadnic.poloha x rose směrem vzhůru. Pozorně si všímejme jednoek, v nichž jsou veličiny na osách vyjádřeny (sekundy či minuy, mery nebo kilomery), nezapomínejme na znaménka proměnných. 2.4 OKAMŽITÁ RYCHLOST Poznali jsme již dvě různé veličiny, keré popisují, jak rychle se určié ěleso nebo čásice pohybuje: průměrnou rychlos v x a průměrnou velikos rychlosi v.obě určíme z měření prováděných v časovém inervalu.oázkou

2.4 OKAMŽITÁ RYCHLOST 17 jak rychle? však máme obvykle na mysli rychlos čásice v daném okamžiku.je popsána veličinou v x, zvanou okamžiá rychlos, nebo jednoduše rychlos. Okamžiou rychlos získáme z průměrné rychlosi ak, že budeme časový inerval (neboli dobu), měřený od okamžiku, zmenšova bez omezení k nule.s poklesem hodnoy se průměrná rychlos měřená v inervalu od do + blíží jisé liminí hodnoě, kerá pak definuje rychlos v okamžiku : x v x = lim 0 = dx d. (2.4) Okamžiá rychlos je další vekorovou veličinou, se kerou se sekáváme.obsahuje oiž informaci i o směru pohybu čásice.určuje, jak rychle se v daném okamžiku mění poloha čásice s časem.názornou geomerickou předsavu o liminím přechodu od průměrné k okamžié rychlosi můžeme získa z obr.2.4.budeme-li bez omezení přibližova bod určený koncovým okamžikem uvažovaného časového inervalu k bodu počáečnímu, přejde červená přímka v ečnu ke křivce grafu, vedenou počáečním bodem.maemaicky je okamžiá rychlos rovna směrnici ečny ke grafu funkce x(). Velikos okamžié rychlosi neboli velikos rychlosi již posrádá informaci o směru pohybu a má vždy nezápornou hodnou.rychlosi +5m s 1 a 5m s 1 mají sejnou velikos 5 m s 1.Rychloměr v auomobilu měří jen velikos rychlosi, proože není schopen urči směr pohybu. Angličí sudeni jsou na om lépe.obecná češina užívá slova rychlos ve řech různých smyslech, pro keré má angličina ři různá slova, oiž velociy (vekor rychlosi), speed (velikos vekoru rychlosi) a rae (obecná změna v čase, např.rychlos hoření).všechna ao slova jsou v angličině zcela běžná.ve fyzice užíváme slova rychlos pro vekorovou veličinu.tam, kde by mohlo dojí k nedorozumění, raději užijeme sousloví, jako je rychlos o velikosi.slova rychlos namíso velikos rychlosi lze uží pouze am, kde je opravdu zaručeno, že na směru nezáleží (výroky ypu Rychlos svěla ve vzduchu je věší než ve vodě. ) anebo kde je směr jasně dán a nemůže se měni (rychlos vlaku). PŘÍKLAD2.4 Na obr.2.6a je zakreslena časová závislos x()polohy kabiny výahu.kabina nejprve sojí v dolním paře, pak se začíná pohybova vzhůru (kladný směr souřadnicové osy) a opě se zasaví.nakreslee závislos rychlosi kabiny na čase. poloha (m) rychlos (m/s) zrychlení (m/s 2 ) 25 20 x x = 24m pro = 8,0s 15 x() x 10 x = 4m pro 5 = 3,0s B A 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 čas (s) (a) směrnice přímky x() 4 3 2 1 v x B v x () A 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 čas (s) směrnice přímky v() (b) a x zrychlení 3 2 1 A B a x () C D 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 zpomalení (c) Obr. 2.6 Příklad 2.4. (a) Časová závislos x() polohy kabiny výahu pohybující se svisle vzhůru po ose x.(b) Časová závislos její rychlosi v x ().Všimněe si, že v x () je derivací funkce x(), j. v x () = dx d.(c) Časová závislos zrychlení kabiny a x() je derivací funkce v x (), j. a x () = dvx.schemaické nákresy posaviček d v dolní čási obrázku naznačují pociy pasažéra při urychlování kabiny. ŘEŠENÍ: Úseky grafu obsahující body A a D odpovídají siuaci, kdy je kabina v klidu.grafem funkce x() v ěcho úsecích jsou přímky rovnoběžné s časovou osou.směrnice ečen, a edy i rychlos kabiny, je nulová.v úseku mezi body B a C se sklon křivky nemění a souřadnice kabiny sále rose.kabina se pohybuje konsanní rychlosí.směrnici ečny C C D D

18 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB (edy rychlos) určíme jako podíl x = v x = (24 m 4,0m) (8,0s 3,0s) =+4,0m s 1. Kladné znaménko ukazuje, že se výah pohybuje v kladném směru.hodnoy rychlosi v x = 0av x = 4m s 1 jsou pro příslušné časové inervaly vyznačeny v grafu na obr.2.6b.při rozjezdu a opěovném zasavení, j.v časových inervalech od 1 s do 3 s a od 8 s do 9 s se rychlos kabiny mění, například podle obr. 2.6b.(K diskusi o obr. 2.6c přisoupíme až v čl. 2.5.) Můžeme řeši i obrácenou úlohu, kdy pořebujeme ze znalosi funkce v x () (graf na obr.2.6b) urči x() (obr.2.6a). Její řešení však není jednoznačné.graf funkce v x () dává oiž informaci pouze o změnách polohy, nikoli o poloze samoné.abychom určili změnu polohy v libovolném časovém inervalu, vypočeme obsah plochy pod křivkou grafu v x () omezenou počáečním a koncovým bodem časového inervalu.* Mezi řeí a osmou sekundou se kabina pohybuje dejme omu konsanní rychlosí 4 m s 1.Změnu její polohy určíme jako obsah plochy pod křivkou v x () odpovídající omuo časovému inervalu: Obsah plochy pod křivkou = (4,0)(8,0 3,0) = +20. (Tao hodnoa je kladná, proože příslušná čás křivky v x () leží nad časovou osou.) Získaný číselný údaj opaříme správnou jednokou**, v omo případě (m s 1 ) s = m.obr.2.6a povrzuje, že hodnoa souřadnice určující polohu kabiny se v uvažovaném časovém inervalu skuečně zvěšila o 20 m. Z obr.2.6b však nemůžeme pozna, jaká byla její poloha na začáku a konci ohoo inervalu.k omu bychom pořebovali další údaj. PŘÍKLAD2.5 Hmoný bod se pohybuje po ose x a jeho poloha je v závislosi na čase určena vzahem x = 7,8 + 9,2 2,1 3. (2.5) Jaká je jeho rychlos v okamžiku = 3,5 s? Je jeho rychlos sálá, nebo se spojiě mění? ŘEŠENÍ: Zadání pro jednoduchos neobsahuje jednoky. Můžeme si je však k číselným koeficienům doplni ako: 7,8 m, 9,2 m s 1, 2,1m s 3.Rychlos určíme pomocí rovnice (2.4), kde za x na pravé sraně dosadíme závislos (2.5): Dosaneme ak v x = dx d = d d (7,8 + 9,2 2,13 ). v x = 0 + 9,2 (3)(2,1) 2 = 9,2 6,3 2. (2.6) * Teno posup zdůvodníme v článku 2.7. ** Její rozměr je určen součinem veličin na osách grafu. Pro = 3,5 je v x = 9,2 (6,3)(3,5) 2 = 68, v x = 68 m s 1. (Odpově ) V okamžiku = 3,5 s se hmoný bod pohybuje v záporném směru osy x a má edy rychlos 68 m s 1 (o směru pohybu vypovídá záporné znaménko).na pravé sraně vzahu (2.6) vysupuje čas a rychlos v x se edy s časem mění. KONTROLA 3: Následující čyři vzahy předsavují možné případy závislosi polohy čásice na čase.v každém z nich je poloha x zadávána v merech, čas v sekundách a vždy plaí > 0.(1) x = 3 2, (2) x = 4 2 2, (3) x = 2/ 2,(4)x = 2.(a) Ve kerých z uvedenýchpřípadů je rychlos v x čásice konsanní? (b) Kdy je záporná? (c) Kdy se pohyb čásice zpomaluje? RADY A NÁMĚTY Bod 2.5: Derivace a sklon křivky Derivace funkce je určena sklonem křivky (grafu funkce) v daném bodě.přesněji vyjádřeno je derivace rovna směrnici ečny ke křivce v omo bodě.ukázkou může bý příklad 2.4: Okamžiá rychlos výahu v libovolném okamžiku (vypočená jako derivace funkce x() podle (2.4)) je rovna směrnici ečny ke křivce na obr.2.6a sesrojené v odpovídajícím bodě. Ukážeme si, jak je možné urči derivaci funkce graficky. Na obr.2.7 je graf funkce x() pro pohybující se hmoný bod.při grafickém určení jeho rychlosi v okamžiku = 1s budeme posupova ako: Nejprve na křivce označíme bod, kerý omuo času odpovídá.v omo bodě narýsujeme ečnu ke křivce grafu.pracujeme co nejpečlivěji.dále sesrojíme pravoúhlý rojúhelník ABC, jehož odvěsny jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami.jeho konkréní volba je libovolná, nebo přepony všech akových rojúhelníků mají sejný sklon. Zvolíme edy rojúhelník co nejvěší, abychom směrnici změřili co nejpřesněji.pomocí měříek na souřadnicových osách určíme x a.směrnice ečny ke křivce je dána podílem x/.z obr.2.7 dosaneme směrnice ečny = x = (5,5m 2,3m) (1,8s 0,3s) = 3,2m 1,5s =+2,1m s 1. Podle rovnice (2.4) je ao směrnice rovna rychlosi čásice v okamžiku = 1 s.kdybychom změnili měříko na někeré souřadnicové ose, změnil by se sice jak var křivky, ak velikos úhlu θ, ale rychlos určená popsaným způsobem =

2.5 ZRYCHLENÍ 19 by byla sejná.známe-li maemaické vyjádření funkce x() (příklad 2.5), je vhodnější sanovi rychlos čásice přímo, výpočem její derivace.grafická meoda je pouze přibližná. poloha (m) 5 4 3 2 1 x 0 0 A θ ečna (= 1,5s) C B 1 2 čas (s) x (= 3,2 m) Obr. 2.7 Derivace křivky v libovolném bodě je směrnicí ečny v omo bodě.směrnice ečny (a edy i okamžiá rychlos dx/d) v čase = 1,0sje x/ =+2,1m/s. 2.5 ZRYCHLENÍ Jesliže se vekor rychlosi čásice mění, říkáme, že se čásice pohybuje se zrychlením. Průměrné zrychlení a x v časovém inervalu je definováno podílem a x = v x = v 2x v 1x 2 1. (2.7) Okamžié zrychlení (nebo prosě jen zrychlení) je určeno derivací rychlosi: a x = dv x d. (2.8) Podle vzahu (2.8) je zrychlení v daném okamžiku rovno směrnici ečny ke křivce v x () v bodě určeném ímo okamžikem. Spojením rovnic (2.8) a (2.4) dosaneme a x = dv x d = d d ( ) dx = d2 x d d 2. (2.9) Zrychlení hmoného bodu je edy v každém okamžiku dáno druhou derivací polohy x() podle času.nejužívanější jednokou zrychlení je m s 2.V příkladech a cvičeních se můžeme seka i s jinými jednokami, všechny však budou mí var délka čas 2.Zrychlení má velikos i směr, je edy další vekorovou veličinou.při pohybu podél osy x sačí k určení směru zrychlení zada pouze příslušné znaménko, podobně jako u posunuí a rychlosi. Na obr.2.6c je graf časové závislosi zrychlení výahové kabiny z příkladu 2.4. Porovnejmegrafy a x () a v x (): každý bod grafu a x () je určen derivací (j.směrnicí ečny) grafu v x () v odpovídajícím bodě.je-li rychlos v x konsanní (bu 0 m s 1 nebo 4 m s 1 ), je její derivace nulová. Zrychlení kabiny je rovněž nulové.při rozjezdu kabiny je derivace rychlosi kladná, kladné je edy i zrychlení a x (). Při zpomalování má rychlos zápornou derivaci a zrychlení je záporné.porovnejme nyní sklon dvou přímých úseků grafu v x (), keré odpovídají rozjezdu a brzdění výahu. Sklon křivky odpovídající brzdění je srmější než sklon při rozjezdu.brzdění oiž rvalo jen polovinu doby pořebné k rozjezdu.velikos zrychlení výahu při brzdění byla věší než při rozjezdu, což je zřejmé i z obr.2.6c. Jízda výahem je doprovázena nepříjemnými pociy, jak výmluvně napovídají schemaické kresby posaviček v dolní čási obr.2.6.při rozjezdu kabiny jsme jakoby lačeni směrem dolů, při zasavování naopak nadlehčováni. V mezidobí nic zvlášního nepoci ujeme.svými smysly můžeme vníma zrychlení, nikoli rychlos.jedeme-li auem rychlosí 90 km/h nebo leíme leadlem rychlosí 900 km/h, naše ělo si pohyb vůbec neuvědomuje.pokud by však náhle auo či leadlo začalo měni svou rychlos, poci ujeme uo změnu velmi inenzivně až nepříjemně. Silné vzrušení, keré zažíváme při jízdě na horské dráze v lunaparku, je čásečně způsobeno právě prudkými změnami rychlosi pohybu našeho ěla.ukázka reakce lidského ěla na velké zrychlení je na foografiích obr.2.8, keré byly pořízeny při prudkém urychlení a následném brzdění rakeových saní. Velká zrychlení někdy vyjadřujeme v zv.jednokách g, kde 1g = 9,806 65 m s 2. =. = 9,8m s 2 (jednoka g). (2.10) Tao hodnoa byla přijaa jako normální íhové zrychlení na 2.generální konferenci pro váhy a míry v r.1901.odpovídá severní zeměpisné šířce 45 na úrovni mořské hladiny. (V čl.2.8 se dovíme, že g je velikos zrychlení ělesa volně padajícího v blízkosi zemského povrchu.) Při jízdě na horské dráze dosahuje velikos zrychlení krákodobě hodnoy až 3g, j.3 9,8m s 2. = 30 m s 2.

20 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Obr. 2.8 Plukovník J.P.Sapp v rakeových saních při urychlování na vysokou rychlos (zrychlení směřuje ke čenáři) a při brzdění (zrychlení směřuje od čenáře). PŘÍKLAD2.6 (a) Kiy O Neilová vyvořila rekord v závodech dragserů, když dosáhla nejvěší rychlosi 628,85 km/h v nejkraším čase 3,72 s.jaké bylo průměrné zrychlení jejího auomobilu? ŘEŠENÍ: Průměrné zrychlení je dáno vzahem (2.7): a x = v x = (628,85 km/h 0) (3,72 s 0) 174,68 m s 1 = = 47 m s 2. = 3,72 s. = 4,8g. (Odpově ) (Předpokládali jsme, že zrychlení má směr kladné osy x.) (b) Jaké bylo průměrné zrychlení saní při jízdě Eliho Beedinga ml., kerý dosáhl rychlosi 116 km/hza0,04s? ŘEŠENÍ: Opě použijeme vzahu (2.7): a x = v x = = 32,22 m s 1 0,04 s (116 km/h 0) (0,04 s 0) = = = 806 m s 2. = 80g. (Odpově ) Nyní se můžeme vrái k oázce, kerou jsme si položili v úvodu kapioly, kde jsme se o obou rekordních výkonech poprvé zmínili: Jak rozhodneme, kerá jízda mohla přinés jezdci věší vzrušení? Máme porovnáva výslednou rychlos, dobu jízdy nebo nějakou jinou veličinu? Odpově již známe: proože lidské ělo vnímá zrychlení a ne rychlos, měli bychom porovnáva právě zrychlení.v omo srovnání víězí sáňkař Beeding, i když jeho výsledná rychlos byla mnohem menší než rychlos auomobilisky O Neilové.Zrychlení, kerému byl Beeding vysaven, by bylo smrelné, kdyby rvalo delší dobu. Bod 2.6: Znaménko zrychlení RADY A NÁMĚTY Vra me se k příkladu 2.6 a všimněme si znaménka vypočeného zrychlení.ve věšině běžných siuací mívá znaménko zrychlení následující význam: ěleso má kladné zrychlení, jesliže se jeho rychlos zvyšuje, záporné zrychlení odpovídá klesající rychlosi (ěleso brzdí).teno výklad však nemůžeme přijmou bezmyšlenkoviě v každé siuaci.má-li například auomobil rychlos v x = 27 m s 1 (= 97 km/h) a zcela zasaví za 5 s, je jeho průměrné zrychlení při brzdění a x =+5,4m s 2.Too zrychlení je kladné, i když se pohyb vozu zpomaloval.rozhodující je, že zrychlení má opačné znaménko než počáeční rychlos. Správná inerpreace znaménka zrychlení je následující: Má-li zrychlení čásice sejné znaménko jako okamžiá rychlos, rose velikos její rychlosi a její pohyb se zrychluje.má-li zrychlení opačné znaménko než okamžiá rychlos, klesá velikos rychlosi čásice a její pohyb se zpomaluje. Tao inerpreace získá náležiý význam v kap.4, kde se budeme podrobněji věnova vekorové povaze rychlosi a zrychlení. K ONTROLA 4: Pes běží podél osy x.jaké znaménko má jeho zrychlení, pohybuje-li se pes (a) v kladném směru osy x a velikos jeho rychlosi rose, (b) v kladném směru osy x a velikos jeho rychlosi klesá, (c) v záporném směru osy x s rosoucí velikosí rychlosi a (d) v záporném směru osy x s klesající velikosí rychlosi?

2.6 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB: SPECIÁLNÍ PŘÍPAD 21 PŘÍKLAD2.7 Poloha čásice pohybující se podél osy x (obr.2.1) závisí na čase ako: x = 4 27 + 3. Číselné koeficieny jsou vyjádřeny v merech, merech za sekundu a v merech za sekundu na řeí. (a) Určee v x () a a x (). ŘEŠENÍ: Rychlos v x () určíme jako derivaci polohy x() podle času: v x = 27 + 3 2. Zrychlení a x () je časovou derivací rychlosi v x (): a x = 6. (b) Je v někerém okamžiku rychlos čásice nulová? ŘEŠENÍ: Položíme-li v x () = 0, dosaneme rovnici 0 = 27 + 3 2, (Odpově ) (Odpově ) jejíž řešení je =±3 s.(odpově ) (c) Popiše pohyb čásice pro 0. ŘEŠENÍ: Provedeme rozbor závislosí x(), v x () a a x (). V čase = 0 je čásice v bodě o souřadnici x =+4m a pohybuje se doleva rychlosí 27 m s 1.Její zrychlení je nulové. V časovém inervalu 0 s <<3 s se čásice sále pohybuje doleva, její pohyb se však zpomaluje.její zrychlení je oiž kladné a směřuje edy doprava.too vrzení ověříme ak, že do vzahů pro v x () a a x () zkusmo dosadíme někerý okamžik ležící v uvedeném časovém inervalu (prove e např.pro = 2 s).zrychlení čásice s časem rose, její pohyb směrem vlevo je čím dál pomalejší. V okamžiku = 3 s má čásice nulovou rychlos (v x = = 0).Právě dosáhla nejvzdálenějšího bodu ležícího vlevo od počáku (x = 50 m).zrychlení zůsává kladné a jeho velikos neusále rose. Pro >3 s narůsá kladné zrychlení.rychlos, kerá nyní směřuje doprava, velmi prudce rose.(všimněme si, že nyní má zrychlení sejné znaménko jako rychlos.) Čásice neusále pokračuje v pohybu směrem doprava. 2.6 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB: SPECIÁLNÍ PŘÍPAD Velmi časo se sekáváme s pohyby, jejichž rychlos se (alespoň přibližně) mění ak, že zrychlení je konsanní.nazýváme je rovnoměrně zrychlené.příkladem může bý auomobil, kerý se na křižovace rozjíždí na zelenou.(grafy časové závislosi polohy, rychlosi a zrychlení, odpovídající akové siuaci, jsou schemaicky zakresleny na obr.2.9.) Sejně ak může bý zrychlení auomobilu konsanní i při brzdění. Obr. 2.9 (a) Časová závislos polohy x() čásice pohybující se rovnoměrně zrychleně. (b) Časová závislos její rychlosi v x () je v každém bodě určena směrnicí křivky x() na obrázku (a).(c) Zrychlení čásice a x () je sálé a je dáno (konsanní) směrnicí grafu v x (). poloha rychlos zrychlení x 0 x O v 0x v O a O x() směrnice = v x () (mění se v čase) v x () směrnice = a x (je konsanní) a x () směrnice = 0 Podobné případy jsou ak časé, že je vhodné mí pro jejich popis zvlášní rovnice.se dvěma možnými způsoby jejich odvození se posupně seznámíme v omo a následujícím článku. (a) (b) (c)

22 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Při sudiu obou článků i při řešení úloh a cvičení je řeba mí neusále na paměi, že yo rovnice plaí jen pro případ konsanního zrychlení (nebo zrychlení, keré lze v dobrém přiblížení za konsanní považova). Při rovnoměrně zrychleném pohybu je okamžié zrychlení shodné se zrychlením průměrným.s malou změnou označení ak můžeme rovnici (2.7) přepsa do varu a x = v x v 0x 0. Symbolem v 0x je označena rychlos v okamžiku = 0 (počáeční rychlos), a v x je rychlos v libovolném pozdějším čase.rovnici můžeme ješě upravi ako: v x = v 0x + a x. (2.11) Všimněme si, že pro = 0 vede eno vzah k očekávané rovnosi v x = v 0x.Derivováním rovnice (2.11) podle času dosaneme dv x /d = a x, v souhlasu s definičním vzahem pro zrychlení a x.těmio jednoduchými konrolními výpočy jsme ověřili správnos odvozené rovnice.na obr.2.9b je graf funkce v x () dané rovnicí (2.11). Obdobně lze přepsa rovnici (2.2): a odud v x = x x 0 0 x = x 0 + v x. (2.12) x 0 je poloha čásice v okamžiku = 0 (počáeční poloha), v x je průměrná rychlos v časovém inervalu od = 0až do obecného okamžiku. Snadno zjisíme, že grafem funkce v x () dané vzahem (2.11) je přímka. Průměrná rychlos v libovolném časovém inervalu (a edy i v inervalu od = 0 po obecný okamžik ) je v omo případě určena arimeickým průměrem počáeční a koncové rychlosi (v 0x a v x ).Můžeme ji edy zapsa ve varu v x = 1 2 (v 0x + v x ). (2.13) Dosadíme-li za v x pravou sranu rovnice (2.11), získáme po malých úpravách vzah v x = v 0x + 1 2 a x. (2.14) Po dosazení z (2.14) do (2.12) nakonec dosaneme x x 0 = v 0x + 1 2 a x 2. (2.15) Pro konrolu můžeme dosadi = 0 a dosáváme očekávaný výsledek x = x 0.Derivací vzahu (2.15) podle času získáme, opě podle očekávání, vzah (2.11). Graf funkce x() dané vzahem (2.15) je na obr. 2.9a. Uvědomme si, že funkční předpis (2.15) pro x() obsahuje veškeré dosupné informace o rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu.je-li zadáno zrychlení a x (sálé v průběhu celého děje) a hodnoy x 0 a v 0x, určující počáeční sav čásice, je možné urči v libovolném okamžiku (1) její polohu x z rovnice (2.15), (2) její rychlos v x z rovnice (2.11). Vzah (2.15) lze z (2.11) jednoduše získa inegrací, a obráceně vzah (2.11) vznikne z (2.15) derivováním. Při řešení někerých úloh sloužících k procvičení problemaiky rovnoměrně zrychleného pohybu je však výhodnější jiný pohled na vzahy (2.11) a (2.15). Časo se objevují zadání, kerá nesměřují k jejich využií jako předpisů pro funkce, ale ýkají se jednolivého okamžiku.v akových případech pak bývá vhodné hledě na yo vzahy jako na sousavu dvou rovnic, obsahujících šes veličin, x, x 0, v x, v 0x a a x.čyři z nich musí bý zadány, abychom dvě zbývající mohli urči řešením sousavy.tab.2.1 shrnuje kromě rovnic (2.11) a (2.15) další ři rovnice, keré lze získa jejich úpravou.společným rysem všech pěi rovnic je nepříomnos někeré z veličin, x x 0, v x, v 0x a a x. Soupis může bý snad užiečný ěm, keří neradi provádějí algebraické úpravy a dají přednos přímému dosazení zadaných číselných hodno do rovnice, kerou vhodně vyberou podle ypu zadání. Tabulka 2.1 Rovnice pro rovnoměrně zrychlený pohyb ČÍSLO CHYBĚJÍCÍ ROVNICE ROVNICE VELIČINA (2.11) v x = v 0x + a x x x 0 (2.15) x x 0 = v 0x + 1 2 a x 2 v x (2.16) vx 2 = v2 0x + 2a x(x x 0 ) (2.17) x x 0 = 1 2 (v 0x + v x ) a x (2.18) x x 0 = v x 1 2 a x 2 v 0x Před použiím abulky se ujisíme, že se úloha opravdu ýká rovnoměrně zrychleného pohybu.vzpomeňme si, že funkce (2.11) je derivací funkce (2.15). Zbývající ři rovnice vznikly algebraickou úpravou spočívající ve vyloučení někeré z vyjmenovaných veličin z rovnic (2.11) a (2.15). K ONTROLA 5: Následující čyři funkce popisují časovou závislos polohy hmoného bodu x(): (1)x = = 3 4; (2) x = 5 3 + 4 2 + 6; (3) x = 2/ 2 4/; (4) x = 5 2 3.Ve kerém z ěcho případů můžeme použí rovnice z ab.2.1?

2.7 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB: JINÝ PŘÍSTUP 23 PŘÍKLAD2.8 Řidič spaří policejní vůz a začne brzdi.na dráze 88 m zpomalí z rychlosi 75 km/h na45km/h. (a) Určee zrychlení auomobilu za předpokladu, že bylo během brzdění konsanní. ŘEŠENÍ: Veličiny v 0x, v x a x x 0 jsou zadány, pořebujeme urči a x.čas se v zadání úlohy neobjevuje.z ab.2.1 proo vybereme rovnici (2.16) a vypočeme z ní neznámé zrychlení a x. a x = v2 x v2 0x 2(x x 0 ) = (45 km/h)2 (75 km/h) 2 = 2(0,088 km) = 2,05 10 4 km/h 2. = 1,6m s 2. (Odpově ) (V posledním kroku výpoču je řeba věnova pozornos převodu jednoky h 2 na s 2.) Všimněme si, že rychlosi jsou kladné a zrychlení záporné.pohyb auomobilu se opravdu zpomaluje. (b) Jak dlouho řidič v éo fázi pohybu brzdil? ŘEŠENÍ: Nyní je neznámou veličinou čas a zrychlení se naopak v zadání nevyskyuje. Z ab. 2.1 volíme rovnici (2.17) a řešíme ji vzhledem k neznámé : = 2(x x 0) 2(0,088 km) = v 0x + v x (75 + 45) km/h = = 1,5 10 3 h = 5,4s. (Odpově ) (c) Řidič dále brzdí se zrychlením určeným v čási (a).za jak dlouho od začáku brzdění se auomobil zcela zasaví? ŘEŠENÍ: Při řešení éo čási úlohy nepořebujeme uvažova o posunuí x x 0.Použijeme edy rovnici (2.11) a vyjádříme : = v x v 0x 0 (75 km/h) = a x ( 2,05 10 4 km/h 2 ) = = 3,7 10 3 h = 13 s. (Odpově ) (d) Jakou dráhu urazí vůz od počáku brzdění do úplného zasavení? ŘEŠENÍ: Hledaná dráha je přímo rovna posunuí.užijeme rovnici (2.15): x x 0 = v 0x + 1 2 a x 2 = = (75 km/h)(3,7 10 3 h) + + 1 2 ( 2,05 104 km h 2 )(3,7 10 3 h) 2 = = 0,137 km. = 140 m. (Odpově ) (Je řeba dbá na o, abychom zrychlení a x dosazovali se správným znaménkem!) (e) Při další jízdě řidič opě pořebuje zasavi.zpomaluje se sejným zrychlením jako v čási (a), počáeční rychlos je však nyní aková, že auomobil zcela zasaví na dráze 200 m. Jak dlouho rvá brzdění? ŘEŠENÍ: V úloze nevysupuje počáeční rychlos.použijeme proo rovnici (2.18). Dosadíme v x = 0(vokamžiku auomobil zasavil) a rovnici řešíme vzhledem k neznámé : ( = 2(x x ) 1/2 ( ) 0) 2(200 m) 1/2 = a x 1,6m s 2 = = 16 s. (Odpově ) Bod 2.7: Rozměrová zkouška RADY A NÁMĚTY Jednokou rychlosi je m s 1, jednokou zrychlení m s 2 apod.sčía či odčía můžeme jen y členy, keré mají sejnou jednoku (sejný fyzikální rozměr).pokud se chceme ujisi, že jsme při odvozování rovnice neudělali chybu, provedeme zv.rozměrovou zkoušku, j.zkonrolujeme fyzikální rozměry všech členů v rovnici. Například na pravé sraně rovnice (2.15) (x x 0 = = v 0x + 1 2 a x 2 ) musí mí každý člen rozměr délky, ve shodě s rozměrem posunuí na levé sraně.člen v 0x má jednoku (m s 1 )(s) = m a člen 1 2 a x 2 jednoku (m s 2 )(s 2 ) = m. Oba členy edy mají správný rozměr a rovnice je podle rozměrové zkoušky v pořádku.číselné konsany, jako například 1 2 nebo Ô, jsou bezrozměrové (mají rozměr 1). 2.7 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB: JINÝ PŘÍSTUP Článek je určen čenářům obeznámeným se základy inegrálního poču. V předchozím článku jsme odvodili vzahy (2.11) a (2.15) na základě skuečnosi, že při rovnoměrně zrychleném pohybu splývá průměrné zrychlení čásice v libovolném časovém inervalu s jejím okamžiým zrychlením v libovolném okamžiku.přesvědčili jsme se,že vzah (2.15) obsahuje úplnou informaci o průběhu rovnoměrně zrychleného pohybu, jsou-li zadány hodnoy x 0, v 0x a a x.vzah (2.11) je jeho derivací. Závislosi (2.11) a (2.15) lze odvodi i jiným způsobem, jehož přednosí je možnos zobecnění i na případy pohybu s libovolným zrychlením, závislým na čase.posup spočívá v inegraci zrychlení a x, keré je při rovnoměrně zrychleném pohybu konsanní.podle definičního vzahu (2.8) plaí j. a x = dv x d, dv x = a x d.

24 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Inegrací obou sran rovnice dosáváme dv x = a x d. Zrychlení je konsanní, akže je můžeme vyknou před inegrál a píšeme dv x = a x d, j. v x = a x + C. (2.19) Inegrační konsanu C určíme z počáeční podmínky pro rychlos čásice: v okamžiku = 0 je rychlos v x = v 0x. Dosadíme yo hodnoy do vzahu (2.19), kerý plaí pro libovolný okamžik, a edy i pro = 0.Dosaneme v 0x = a x 0 + C = C. 2.8 SVISLÝ VRH Předsavme si následující pokus: V blízkosi povrchu Země vrháme nějaké ěleso svisle vzhůru nebo dolů (svislý směr udává např.volně visící olovnice) a nějak při om zajisíme, aby se neuplanil vliv odporu prosředí.zjisíme, že se ěleso s velkou přesnosí pohybuje se sálým zrychlením, směřujícím svisle dolů.nazýváme je íhové zrychlení a značíme písmenem g.z experimenu víme, že íhové zrychlení nezávisí na vlasnosech ělesa (hmonosi, husoě, varu, ) a je pro všechna ělesa sejné. Zvlášním případem svislého vrhu je volný pád, při kerém ěleso prosě upusíme.vypoušíme ho edy s nulovou počáeční rychlosí.na obr.2.10 vidíme foografický záznam souběžného volného pádu dvou různých ěles,pírka a jablka, ve vakuu.(foografie byly pořízeny v různých okamžicích s využiím sroboskopického efeku.) Při pádu obou ěles se jejich rychlos zvyšuje se sejným zrychlením g. Zjišěnou hodnou konsany C dosadíme do (2.19) a získáváme časovou závislos rychlosi (2.11). Sejnýmposupem odvodíme závislos (2.15). Z definice rychlosi (2.4) přímo plyne dx = v x d. Inegrací levé i pravé srany dosaneme dx = v x d. Z předchozích výsledků víme, že rychlos v x závisí na čase podle (2.11). Nemůžeme ji edy vyknou před inegrál a přesně zopakova posup použiý při inegraci zrychlení. Míso v x však dosadíme do inegrálu funkci (2.11): dx = (v 0x + a x )d. Počáeční rychlos v 0x je konsanní, akže inegrál na pravé sraně můžeme rozepsa do varu dx = v 0x d + a x d. Inegrace obou sran rovnice vede k výsledku x = v 0x + 1 2 a x 2 + C, (2.20) kde C je další inegrační konsana.určíme ji opě z počáeční podmínky, enokrá pro polohu čásice: v čase = 0 je x = x 0.Dosazením do (2.20) zjisíme, že hodnoa konsany C je C = x 0. Vzah (2.20) ak přejde na var (2.15). Obr. 2.10 Pírko a jablko se při volném pádu ve vakuu pohybují se sejným zrychlením g.nasvědčuje omu rosoucí vzdálenos po sobě následujících foografických obrazů objeků, keré byly zaznamenány v rovnoměrně rozložených okamžicích. Tíhové zrychlení se mírně mění se zeměpisnou šířkou a nadmořskou výškou.při hladině moře ve sředních zeměpisných šířkách má hodnou zhruba 9,8 m s 2,viz vzah (2.10) a ex za ním. Budeme jej používa v příkladech a cvičeních.

2.8 SVISLÝ VRH 25 Rovnice popisující rovnoměrně zrychlený pohyb uvedené v ab.2.1 plaí i pro svislý vrh v blízkosi* zemského povrchu.můžeme je edy při řešení úloh o svislém vrhu ěles používa, pokud je odpor vzduchu zanedbaelný.tab.2.1 přizpůsobíme nové siuaci provedením dvou drobných změn: (1) Se svislým směrem, v němž se nyní odehrává pohyb ělesa, spojíme souřadnicovou osu y ak, aby směřovala vzhůru.(osa x bývá časěji vyhrazena pro popis pohybu ve vodorovném směru.) Pro rychlos budeme používa označení v y a pro zrychlení a y.tao změna usnadní i pozdější popis složiějších pohybů v rovině nebo v prosoru.(2) Tíhové zrychlení je při zvolené orienaci osy y záporné, a ak můžeme ve všech rovnicích zaměni a y za g. Po provedení popsaných úprav získáme obměnu abulky 2.1 pro svislý vrh. Mějme na paměi: Při zvolené orienaci osy y je íhové zrychlení svislého vrhu a y = g = 9,8m s 2.Jeho velikos je však g = 9,8m s 2. Do rovnic (2.21) až (2.25) dosazujeme kladnou hodnou g. Dejme omu, že vyhodíme jablko svisle vzhůru počáeční rychlosí v 0y a před dopadem je opě chyíme. Volný le jablka (od vyhození po zachycení) se řídí rovnicemi v ab.2.2.zrychlení je konsanní a směřuje dolů, j. a y = g = 9,8m s 2.Rychlos se během leu mění podle vzahů (2.21) a (2.23). Při soupání jablka velikos (kladné) rychlosi klesá až k nule.v okamžiku zasavení je jablko ve své nejvyšší poloze.při pádu velikos (záporné) rychlosi rose. Tabulka 2.2 Rovnice pro svislý vrh ČÍSLO CHYBĚJÍCÍ ROVNICE ROVNICE VELIČINA (2.21) v y = v 0y g y y 0 (2.22) y y 0 = v 0y 1 2 g2 v y (2.23) vy 2 = v2 0y 2g(y y 0) (2.24) y y 0 = 1 2 (v 0y + v y ) g (2.25) y y 0 = v y + 1 2 g2 v 0y PŘÍKLAD2.9 Opravář upusil klíč do výahové šachy vysokého domu. (a) Jaká bude poloha klíče za 1,5 s? ŘEŠENÍ: Ze zadání je známa doba, velikos zrychlení g a počáeční rychlos v 0y, o keré můžeme předpokláda, že byla nulová.chceme urči posunuí, chybějící veličinou je edy rychlos v y, kerá není zadána a její zjišění se v zadání nepožaduje. Téo siuaci odpovídá rovnice (2.22) z ab. 2.2. Počáek souřadnicové osy y zvolme v mísě, kde opravář klíč upusil.do rovnice (2.22) přímo dosadíme y 0 = 0, v 0y = 0 a = 1,5 s.dosaneme y = 0(1,5s) 1 2 (9,8m s 2 )(1,5s) 2. =. = 11 m. (Odpově ) Záporné znaménko výsledku odpovídá očekávané skuečnosi, že se klíč po 1,5 s pádu nachází pod úrovní mísa, kde opraváři vypadl. (b) Jaká je rychlos klíče v okamžiku 1,5 s? ŘEŠENÍ: Rychlos je dána rovnicí (2.21) v y = v 0y g = 0 (9,8m s 2 )(1,5s). =. = 15 m s 1. (Odpově ) Záporné znaménko ukazuje, že rychlos klíče směřuje dolů. Teno výsledek opě není překvapivý.v obr.2.11 jsou shrnuy základní údaje o leu klíče až do okamžiku = 4s. y v y a y (s) 0 0 0 0 1 2 (m) 4,9 (m/s) 9,8 19,6 19,6 (m/s 2 ) 9,8 9,8 9,8 3 44,1 29,4 9,8 * Pro y nejpečlivější čenáře: do výšek h zanedbaelně malých proi zemskému poloměru, edy h 6 10 3 km. 4 78,4 39,2 9,8 Obr. 2.11 Příklad 2.9. Poloha, rychlos a zrychlení volně padajícího ělesa.

26 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB PŘÍKLAD2.10 V roce 1939 se Joe Sprinz z baseballového klubu v San Francisku pokusil překona rekord v chyání baseballového míče padajícího z co nejvěší výšky.rok předím dosáhli hráči klubu Cleveland Indians rekordního výkonu, když chyili baseballový míč po jeho pádu z výšky 210 m.sprinz se pokusil zachyi míček padající z leadélka leícího přibližně ve výšce 240 m.budeme předpokláda, že míček padal přesně z výšky 240 m a zanedbáme vliv odporu prosředí. (a) Určee dobu leu míčku. ŘEŠENÍ: Zvolme počáek svislé osy y v mísě, kde byl míček vypušěn a orienujme ji směrem vzhůru.počáeční poloha je y 0 = 0, počáeční rychlos v 0y = 0.V zadání úlohy nevysupuje veličina v y, použijeme proo rovnici (2.22): y y 0 = v 0y 1 2 g2, 240 m = 0 1 2 (9,8m s 2 ) 2, 4,9 2 = 240, = 7s. (Odpově ) Při výpoču druhé odmocniny musíme výsledku přiřadi kladné nebo záporné znaménko.vybrali jsme kladné znaménko, proože míč dopadl poé, co byl vypušěn. (b) Jaká byla rychlos míče ěsně nad zemí? ŘEŠENÍ: Pro výpoče rychlosi přímo ze zadaných údajů (nikoliv z výsledku příkladu (a)) použijeme rovnici (2.23): v 2 y = v2 0y 2g(y y 0) = = 0 2(9,8m s 2 )( 240 m) = = 4,7 10 3 m 2 s 2, v y = 69 m s 1 (. = 250 km/h). (Odpově ) Znaménko výsledku je nyní záporné,nebo míček leí směrem dolů, v záporném směru osy y. V popisovaném skuečném případě nebyl samozřejmě vliv odporu prosředí zanedbaelný.kdybychom jej započíali, zjisili bychom, že le míčku rval déle a výsledná rychlos byla menší, než jsme vypočeli pro ideální siuaci.i ak však byla rychlos míčku při dopadu značná.když jej oiž Sprinz při páém pokusu konečně zachyil do rukavice, byl náraz ak obrovský, že ho ruka s rukavicí udeřila do váře, zlomila mu horní čelis na dvanáci mísech a vyrazila pě zubů.sprinz upadl do bezvědomí. Obr. 2.12 Příklad 2.11. Hráč vrhá míč svisle vzhůru.rovnice pro svislý vrh plaí jak pro vzesup míče, ak pro jeho pád za předpokladu, že vliv odporu vzduchu lze zanedba. míč V nejvyšším bodě je v y = 0. Při vzesupu je a y = g, velikos rychlosi klesá a (kladná) hodnoa rychlosi se zmenšuje. y Při pádu je a y = g, velikos (záporné) rychlosi rose. y = 0 ŘEŠENÍ: V nejvyšším bodě leu je rychlos míče nulová. Z rovnice (2.21) dosaneme = v 0y v y = (12 m s 1 ) 0 g (9,8m s 2 = ) = 1,2s. (Odpově ) (b) Jaká je maximální výška leu? ŘEŠENÍ: Počáek osy y položme do mísa vyhození míče. Do rovnice (2.23) dosadíme y 0 = 0 a vyjádříme z ní y: y = v2 0y v2 y = (12 m s 1 ) 2 (0) 2 2g 2(9,8m s 2 = ) = 7,3m. (Odpově ) V éo čási úlohy jsme aké mohli s výhodou použí výsledku (a) a maximální výšku urči z rovnice (2.25). Ověře si o! (c) Za jak dlouho po vyhození dosáhne míč výšky 5 m? ŘEŠENÍ: Použijeme rovnici (2.22), kerá obsahuje pouze zadané veličiny a neznámý čas.dosazením y 0 = 0 dosaneme aedy y = v 0y 1 2 g2, 5,0m= (12 m s 1 ) 1 2 (9,8m s 2 ) 2. PŘÍKLAD2.11 Nadhazovač vyhodí baseballový míč svisle vzhůru rychlosí 12 m s 1 (obr.2.12). (a) Za jak dlouho dosáhne míč maximální výšky? Rovnici přepíšeme do varu (pro jednoduchos již nebudeme vypisova jednoky): 4,9 2 12 + 5,0 = 0.

2.9 ČÁSTICOVÁ FYZIKA 27 Řešením kvadraické rovnice dosaneme* = 0,53 s a = 1,9s. (Odpově ) Exisují dvě možná řešení! To nás však nesmí překvapi: Míč skuečně prochází polohou y = 5,0 dvakrá.jednou při výsupu a podruhé při pádu. Provedeme ješě jednoduchou konrolu získaných výsledků.okamžik, kdy míč dosáhl maximální výšky, by měl na časové ose leže právě uprosřed mezi oběma okamžiky, v nichž byla poloha míče určena souřadnicí 5 m.je omu skuečně ak. Arimeický průměr ěcho časových údajů Bod 2.9: Neočekávanévýsledky Sává se, že při výpoču dosaneme i výsledky, keré se na první pohled zdají nesmyslné, jako řeba v př.2.11c.získáme-li více výsledků, než jsme očekávali, nezavrhujme hned y, keré jsou zdánlivě nesprávné.zvažujme je pečlivě a pokusme se naléz jejich fyzikální význam.časo nějaký mají. I záporný časový údaj má svůj dobrý smysl.odpovídá událosi, kerá nasala dříve než v okamžiku = 0, kdy jsme se (zcela libovolně) rozhodli spusi sopky. = 1 2 (0,53 s + 1,9s) = 1,2s se shoduje s výsledkem příkladu (a). KONTROLA 6: Jaké je znaménko posunuí míče v příkladu 2.11 (a) při vzesupu míče a (b) při jeho pádu? (c) Jaké je zrychlení v nejvyšším bodě leu? RADY A NÁMĚTY Bod 2.8: Význam záporného znaménka Vzpomeňme si, že někeré z hodno polohy, rychlosi či zrychlení získané při řešení př. 2.9, 2.10 a 2.11 měly záporné znaménko.je důležié, abychom význam záporného znaménka u ěcho veličin uměli správně inerpreova.při řešení úloh o svislém vrhu jsme svislou souřadnicovou osu y volili vždy ak, aby její kladný směr byl orienován vzhůru.volba opačné orienace osy by byla sejně dobře možná.počáek osy y jsme vybírali ak, aby o bylo při řešení konkréní úlohy výhodné: v př.2.9 byl počáek umísěn v poloze ruky opraváře, v př. 2.10 v leadélku a v př. 2.11 v ruce nadhazovače. Záporná hodnoa souřadnice určující polohu ělesa znamená, že se ěleso nachází pod úrovní počáku osy y. Záporná rychlos znamená, že se ěleso pohybuje ak, že hodnoa jeho y-ové souřadnice klesá, v našich příkladech edy dolů.tao inerpreace záporného znaménka rychlosi je správná nezávisle na okamžié poloze ělesa. Ve všech řešených příkladech bylo zrychlení svislého vrhu záporné (= 9,8 m s 2 ), bylo edy orienováno proi kladnému směru osy y.význam záporného znaménka zrychlení je v omo případě následující: pohybuje-li se ěleso vzhůru (jeho rychlos je kladná) je vlivem záporného zrychlení brzděno (velikos jeho rychlosi klesá).naopak, ěleso pohybující se dolů (rychlos je záporná) je vlivem záporného zrychlení urychlováno, velikos jeho rychlosi rose.tao inerpreace nezávisí na poloze a rychlosi ělesa. * Řešení obecné kvadraické rovnice je uvedeno v dod.e. 2.9 ČÁSTICOVÁ FYZIKA Na různých mísech v knize občas odbočíme od popisu velkých objeků našeho svěa, se kerými máme každodenní a bezprosřední zkušenosi, a všimneme si objeků mnohem menších.doposud jsme pracovali s objekem zvaným hmoný bod, kerý má i přes své zanedbaelné rozměry konečnou hmonos.nahrazovali jsme jím reálná ělesa jako například díě, míč, auomobil.zůsává však oázka, jak malé ve skuečnosi mohou reálné objeky bý.jaké jsou nejposlednější čásečky přírody? Tímo problémem se zabývá fyzika elemenárních čásic, moderní oblas fyziky, kerá pouá pozornos celé řady špičkových fyziků. Poznání, že hmoa není spojiá, ale je vořena velmi malými objeky aomy, bylo klíčové pro pochopení mnoha zákoniosí nejen ve fyzice, ale i v chemii.pomocí moderních mikroskopů je možné jednolivé aomy dokonce i zobrazi.jedna z ukázek akového zobrazení je na obr.2.13.hmoa edy není spojiá, ale zrniá.také veličiny, keré její chování popisují, nabývají diskréních kvanovaných hodno (la. quanus = jak mnoho).mění se jen po určiých dávkách, zvaných kvana.kvanování je základní vlasnosí přírody.v dalším exu knihy poznáme mnohé fyzikální veličiny, keré jsou kvanovány, pokud je zkoumáme v dosaečně jemném měříku.tao všudypříomnos kvanování dala jméno i fyzikální disciplíně zabývající se zákony mikrosvěa, kvanové fyzice. Mezi svěem velkých ěles (makrosvěem) a svěem kvanovým (mikrosvěem) není osrá hranice.zákony mikrosvěa jsou plané všeobecně.jakmile však přejdeme od aomů k míčům a auomobilům, sává se kvanování méně nápadným a nakonec je zcela neměřielné.diskrénos (v maemaice a fyzice proiklad spojiosi, nespojios) se zrácí a obecné zákony kvanové fyziky směřují ke speciálním liminím varům, zv.zákonům klasické fyziky, keré dobře popisují pohyb velkých ěles.

28 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Roli neuronů v jádře lze velmi zhruba charakerizova ak, že zabezpečují jeho soudržnos.proony oiž mají kladný náboj, a elekrickými silami se proo velmi silně odpuzují.mezi nukleony však při velmi malých vzdálenosech působí i přiažlivá síla, zvaná silná inerakce.jediný aom, kerý nepořebuje neurony k zajišění sabiliy svého jádra, je běžný aom vodíku.jeho jádro je oiž vořeno jediným proonem.všechna osaní jádra by se bez neuronů rozpadla. Mnoho izoopů běžných prvků je nesabilních.našěsí y, na kerých byosně závisí naše exisence, mají éž izoopy sabilní.například 19 z 21 izoopů mědi je nesabilních, samovolně se rozpadají a mění v jiné prvky. Mě, kerou známe jako celkem běžný kov a používáme ji v elekronice i jiných echnologiích, je složena ze zbývajících dvou sabilních izoopů. Obr. 2.13 Šeserečné uspořádání aomů uranu je zvidielněno pomocí zobrazení v rasrovacím prozařovacím elekronovém mikroskopu.barvy jsou jednolivým čásem objeku uměle přiřazeny počíačovým zpracováním obrazu (zv. nepravé barvy ). Savba aomu Aom je složen z velmi malého, nepředsavielně huného jádra.v jádru, keré je obklopeno jedním nebo více lehkými elekrony, je sousředěna prakicky celá hmoa aomu.obvykle předpokládáme, že jádro i celý aom mají kulový var.poloměr aomu je řádově 10 10 m, jádro je asi 100 000krá menší, přibližně 10 15 m.soudržnos aomu je zajišěna vzájemným elekrickým přiahováním záporných elekronů v aomovém obalu s jádrem, obsahujícím kladné proony.zákonypopisující uo přiažlivou inerakci budeme sudova později.v éo chvíli si pouze uvědomme, že bez ní by nemohly exisova aomy, a edy ani my sami. Savba jádra Nejmenší jádro, jádro běžného aomu vodíku, je vořeno jediným proonem.exisují i dvě složiější variany, zvané izoopy neboli nuklidy vodíku, jejichž jádro navíc obsahuje jeden nebo dva elekricky neurální neurony.tyo izoopy nazýváme deuerium a riium. Vodík, ve všech varianách, je příkladem jednoho prvku.různé prvky se navzájem liší počem proonů v jádře.aom s jedním proonem v jádře je vodík, aom se šesi proony v jádře je uhlík.různé izoopy éhož prvku se liší počem neuronů v jádře.proony a neurony nazýváme společně nukleony. Srukura subaomárních čásic Elekron si sice někdy počíná velmi neobvykle, ale přeso je o jednoduchá čásice.při deekci se chová ak, jako by neměl žádné rozměry ani vniřní srukuru.elekron (značka e, někdy pro upřesnění e ) paří do skupiny čásic zvaných lepony.je jich celkem šes.vedle elekronu exisují ješě dvěsěkrá ěžší mion (značka µ, dříve nazývaný mezon µ) a více než říisíckrá ěžší auon (značka τ). Každý z nich má své neurino ν e, ν µ, ν τ s hmonosí éměř nulovou (možná i přesně nulovou).ke každému leponu exisuje aničásice.aničásici k elekronu nazýváme poziron (značka e + ). jádro d neuron proon Obr. 2.14 Předsava aomového jádra a proonů a neuronů, z nichž je složeno.proony a neurony jsou vořeny kvarky up (u) a down (d). Podle současných znalosí se proony a neurony liší od elekronů a dalších leponů ím, že se skládají ze ří jednodušších čásic zvaných kvarky.* Proon se skládá ze dvou u-kvarků (angl. up = nahoru) a jednoho d-kvarku (angl. down = dolů).neuron je vořen jedním u-kvarkem * Slovo kvark pochází ze slovních hříček užiých v básni Finnegans Wake od Jamese Joyce. u u d d u

PŘEHLED & SHRNUTÍ 29 a dvěma d-kvarky(obr.2.14).i jiné čásice, keré jsme dříve považovali za elemenární, se skládají z kvarků. Je podivuhodné, že kvarků je známo šes druhů*, edy sejný poče jako leponů.fyziky zajímá, zda má ao shoda hlubší smysl, nebo zda je zcela náhodná.odpově prozaím neznáme. PŘEHLED & SHRNUTÍ Poloha Polohu hmoného bodu určujeme souřadnicí x vzhledem k počáku souřadnicové osy.souřadnice může bý jak kladná, ak i záporná, podle oho, na keré sraně od počáku osy se bod nachází.je-li hmoný bod přímo v počáku, je jeho souřadnice nulová.kladným směrem osy rozumíme směr, ve kerém souřadnice rose, opačný směr je záporný. Posunuí Posunuí x hmoného bodu je definováno jako změna jeho polohy: x = x 2 x 1. (2.1) Posunuí je vekorová veličina.při jednorozměrném pohybu je kladné, pokud se hmoný bod posunul v kladném směru osy x, v opačném případě je záporné. Průměrná rychlos Při přesunuí hmoného bodu z polohy x 1 do polohy x 2 za dobu = 2 1 je jeho průměrná rychlos v x = x = x 2 x 1 2 1. (2.2) Znaménko průměrné rychlosi v x určuje směr pohybu (v x je vekorová veličina).průměrná rychlos nezávisí na rajekorii, kerou hmoný bod při svém pohybu skuečně prošel, ale pouze na výchozí a koncové poloze. V grafu závislosi polohy na čase x() je průměrná rychlos v časovém inervalu rovna směrnici přímky spojující krajní body čási křivky vymezené ímo časovým inervalem. Průměrná velikos rychlosi Průměrná velikos rychlosi hmoného bodu závisí na skuečně uražené dráze v daném časovém inervalu: v = skuečně uražená dráha. (2.3) celá doba pohybu Průměrná velikos rychlosi není oéž jako velikos průměrné rychlosi. Okamžiá rychlos Budeme-li zmenšova v rovnici (2.2) bez omezení k nule, bude se průměrná rychlos v x limině blíži k jisé hodnoě v x, * Další ypy jsou c (angl. charm = půvabný), s (angl. srange = podivný), (angl. op =vršek)ab (angl. boom = spodek). kerou nazýváme okamžiá rychlos (zjednodušeně jen rychlos) hmoného bodu v daném okamžiku.je edy x v x = lim = dx 0 d. (2.4) Okamžiá rychlos je rovna směrnici ečny vedené ke grafu funkce x() v bodě, kerý odpovídá danému okamžiku. Průměrné zrychlení Průměrnézrychlení je definováno jako poměr změny rychlosi v x a délky časového inervalu, během něhož k uvedené změně došlo: a x = v x Znaménko zrychlení a x určuje jeho směr. = v 2x v 1x 2 1. (2.7) Okamžié zrychlení Okamžiézrychlení (zjednodušeně jen zrychlení) získáme ze zrychlení průměrného analogickým liminím přechodem, jako v případě definice okamžié rychlosi: a x = dv x d. (2.8) Zrychlení je aké druhou derivací polohy x() podle času: a x = dv x d = d d ( ) dx = d2 x d d 2. (2.9) V grafu závislosi v x () je zrychlení a x vokamžiku dáno směrnicí ečny ke grafu sesrojené v bodě, kerý omuo okamžiku odpovídá. Rovnoměrně zrychlený pohyb Na obr.2.9 jsou zakresleny závislosi x(), v x () a a x () pro velmi důležiý případ (přímočarého) pohybu, oiž pohybu s konsanním zrychlením a x.teno pohyb nazýváme rovnoměrně zrychlený.je popsán pěi rovnicemi shrnuými v ab.2.1: v x = v 0x + a x, (2.11) x x 0 = v 0x + 1 2 a x 2, (2.15) vx 2 = v2 0x + 2a x(x x 0 ), (2.16) x x 0 = 1 2 (v 0x + v x ), (2.17) x x 0 = v x 1 2 a x 2. (2.18) Není-li zrychlení konsanní, pak yo rovnice neplaí.

30 KAPITOLA 2 PŘÍMOČARÝ POHYB Tíhové zrychlení Důležiými a časými případy rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu jsou volný pád a svislý vrh ělesa v blízkosi zemského povrchu.rovnice popisující obecný rovnoměrně zrychlený pohyb plaí i pro yo případy, je však výhodné je mírně upravi: (1) Polohu ělesa určujeme na svislé souřadnicové ose y orienované kladným směrem vzhůru.(2) Zrychlení a y nahradíme hodnoou g, kde g je velikos íhového zrychlení.v blízkosi povrchu Země je g = 9,8 m s 2.Svislý vrh je popsán rovnicemi (2.21) až (2.25). Savba aomů Všechny láky se skládají z aomů, keré jsou vořeny velmi huným jádrem obklopeným lehkými elekrony.jádro je složeno z neuronů a proonů.různé prvky se navzájem liší počem proonů v jádře.aomy se sejným počem proonů, ale odlišným počem neuronů, se nazývají izoopy daného prvku. Kvarky a lepony Elekrony se chovají jako čásice bez vniřní srukury.proony a neurony jsou složeny z ješě elemenárnějších čásic, keré nazýváme kvarky.v současnosi je známo šes druhů kvarků a ke každému z nich exisuje aničásice.elekrony paří do skupiny leponů, zahrnující rovněž šes druhů.ke každému leponu exisuje aničásice. OTÁZKY 1. (a) Může mí ěleso současně nulovou rychlos a nenulové zrychlení? (b) Může se ěleso pohybova proměnnou rychlosí, jejíž velikos je konsanní? (c) Je možné, aby se směr pohybu ělesa změnil v opačný, má-li ěleso konsanní zrychlení? (d) Může se velikos rychlosi ělesa zvyšova za současného poklesu velikosi jeho zrychlení? 2. Na obr.2.15 je zakreslen graf časové závislosi polohy ělesa x().(a) Jaké je znaménko x-ové souřadnice ělesa v okamžiku = 0? Rozhodněe, zda je v okamžicích (b) = 1s, (c) = 2s a (d) = 3 s rychlos ělesa kladná, záporná, nebo nulová.(e) Kolikrá (během zobrazeného časového inervalu) prošlo ěleso počákem sousavy souřadnic x = 0? x O 1 2 3 4 Obr. 2.15 Oázka 2 (s) 3. Hmoný bod se pohybuje podél osy x s konsanním zrychlením.v okamžiku 0 = 0 je jeho poloha určena souřadnicí x 0 = 20 m.sledujme znaménko jeho počáeční rychlosi v 0 (v čase 0 ) a znaménko jeho zrychlení.mohou nasa čyři případy: (1) +, +, (2)+,, (3), +, (4),.(a) Ve kerém z nich se rychlos hmoného bodu v jisém okamžiku > 0 anuluje? (b) Ve kerém z případů bod s jisoou projde počákem sousavy souřadnic? (c) Ve kerém z nich počákem nikdy neprojde? Ve všech čásech úlohy uvažuje pouze o kladných hodnoách časové proměnné. 4. Na obr.2.16 je zakreslena časová závislos rychlosi čásice pohybující se podél osy x.(a) Jaký je počáeční směr jejího pohybu? (b) Kerým směrem se bude čásice pohybova po velmi dlouhé době? (c) Je v někerém okamžiku její rychlos nulová? (d) Určee znaménko jejího zrychlení.(e) Je její zrychlení konsanní nebo proměnné? v x O Obr. 2.16 Oázka 4 5. V následujících čyřech siuacích je zadána počáeční a výsledná rychlos hmoného bodu: (a) 2 m s 1,3m s 1 ;(b) 2m s 1,3m s 1 ;(c) 2m s 1, 3m s 1 ;(d)2m s 1, 3m s 1. Velikos zrychlení je ve všech případech sejná.uspořádeje siuace sesupně podle velikosi posunuí hmoného bodu, ke kerému došlo během sledované změny jeho rychlosi. 6. Následující vzahy popisují čyři případy časové závislosi rychlosi ělesa: (a) v x = 3; (b) v x = 4 2 +2 6; (c) v x = 3 4; (d) v x = 5 2 3.Ve kerých z nich lze pro popis pohybu ělesa použí vzahů z ab.2.1? 7. Z horkovzdušného balonu soupajícího se zrychlením 4 m s 2 vypadlo jablko.(a) Určee zrychlení jablka vůči Zemi.(b) Jaká je rychlos jablka (velikos a směr) bezprosředně po jeho upušění, je-li v om okamžiku rychlos balonu rovna 2 m s 1? 8. (a) Nakreslee závislosi y(), v y () a a y () popisující pohyb jablka, keré vyhodíme svisle vzhůru z hrany úesu.při pádu jablko úes ěsně míjí a padá podél něj dolů.(b) Do grafů získaných v čási (a) zakreslee yéž veličiny, j. y(), v y () a a y (), pro případ, že jsme jablko z hrany úesu pouze volně vypusili. 9. Míč, kerý jsme vyhodili z hrany skalního úesu svisle vzhůru rychlosí o velikosi v 0, dopadl na zem pod úrovní úesu.rozhodněe, zda by rychlos při dopadu míče byla věší, menší či

CVIČENÍ & ÚLOHY 31 sejná jako v prvém případě, kdybychom jej hodili svisle dolů sejně velkou rychlosí v 0?(Tip: Použije rovnici (2.23).) 10. Řidička jede v auě rychlosí 100 km/h.náhle si uvědomí, že už už dohání auobus, kerý jede sejným směrem rychlosí 60 km/h.musí začí brzdi.jaká může bý nejvyšší rychlos jejího aua v okamžiku, kdy auobus dosihne, nemá-li dojí ke srážce? (Příprava na úlohu 57.) 11. Moocyklisa sojící v mísě o souřadnici x = 0 se začne rozjíždě v okamžiku = 0.Jeho zrychlení má konsanní velikos 2,0 m s 2 a míří podél kladné osy x.o dvě sekundy později projíždí bodem x = 0 auomobil, kerý jede sejným směrem. Jeho rychlos má v omo okamžiku velikos 8 m s 1.Auo zvyšuje svou rychlos s konsanním zrychlením 3,0 m s 2.Zapiše dvojici rovnic, jejichž řešením lze urči polohu mísa, v němž řidič aua předjede moocyklisu.(příprava na úlohu 56.) 12. Na obr.2.17 je znázorněna časová závislos zrychlení čásice a x ().Čásice je posupně urychlována ve řech fázích svého pohybu.seřa e jednolivé fáze sesupně podle přírůsku rychlosi. 13. Díě upusilo z balkonu dva sejné míče v časovém odsupu 1 s.rozhodněe, zda se během pádu míčů bude vzdálenos mezi nimi zvěšova, zmenšova, nebo zůsane sejná. zrychlení (m/s 2 ) 6 4 2 a x (1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 čas (s) (2) Obr. 2.17 Oázka 12 (3) CVIČENÍ & ÚLOHY Úkolem někerých cvičení je nakresli graf časovézávislosi polohy, rychlosi nebo zrychlení. Posačí jen schemaický náčrek, vždy je však řeba pečlivě popsa osy a zřeelně odliši přímé a zakřivenéčási grafu. Při kreslení grafu je možnépouží počíač nebo programovaelnou kalkulačku. ODST. 2.3 Průměrná rychlos 1C. Carl Lewis uběhne sprinerskou ra 100 m přibližně za 10 s. Bill Rodgers dokáže absolvova maraon (42 km 194 m) asi za 2 h 10 min.(a) Jaké jsou průměrné velikosi rychlosí obou běžců? (b) Za jak dlouho by Lewis uběhl maraon, kdyby vydržel po celou dobu sprinova? 2C. Při silném kýchnuí zavře člověk oči asi na 0,50 s.jakou vzdálenos urazí za uo dobu auomobil, jede-li rychlosí 90 km/h? 3C. Průměrné mrknuí rvá asi 100 ms.jakou dráhu urazí síhačka Mig 25 při mrknuí piloa, leí-li rychlosí 3 380 km/h? 4C. Nadhazovač v baseballu dokáže vyhodi míček vodorovnou rychlosí 160 km/h.za jak dlouho míček doleí k pálkaři vzdálenému 18,4 m? 5C. Hornina uvolněná z oceánského hřbeu se pomalu vzdaluje od jeho pay přibližně konsanní rychlosí.graf na obr.2.18 znázorňuje uo vzdálenos jako funkci času.vypočěe rychlos posuvu horniny v cm za rok. 6C. O kolik minu se zkráila doba jízdy po dálnici z Prahy do Brna po zvýšení rychlosního limiu ze 110 km/h na 130 km/h? Předpokládeje, že řidič projede celou rasu nejvyšší povolenou rychlosí. sáří (10 6 roků) 100 80 60 40 20 0 0 400 800 1200 1600 vzdálenos od hřbeu (km) Obr. 2.18 Cvičení 5 7C. S použiím abulek v dodaku D určee rychlos svěla (3 10 8 m s 1 ) v mílích za hodinu,sopách za sekundu,svěelných rocích za rok. 8C. Auomobil jede po rovné silnici rychlosí 30 km/h.poé, co urazil dráhu 40 km, zvýší rychlos na 60 km/h a pokračuje v jízdě dalších 40 km.(a) Jaká je průměrná rychlos auomobilu na celé osmdesáikilomerové rai? (Zvole sousavu souřadnic ak, aby osa x byla souhlasně rovnoběžná se směrem jízdy auomobilu a určee průměrnou rychlos včeně znaménka.) (b) Jaká je průměrná velikos rychlosi auomobilu? (c) Určee průměrnou rychlos graficky (pomocí grafu x()). 9Ú. Vypočěe průměrnou rychlos pohybu člověka ve dvou případech: (a) Chůze 72 m rychlosí 1,2 m s 1 a běh 72 m rychlosí 3m s 1.(b) Chůze 1 min rychlosí 1,2 m s 1 aběh1minrychlosí 3 m s 1.(c) V obou případech určee průměrnou rychlos graficky (z grafu x()). 10Ú. Auomobil jede do kopce rychlosí 40 km/h.nahoře ne-