4. Extrémy funkcí více proměnných Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010
Úvod Tato kapitola nás seznámí s metodami určování lokálních extrémů funkcí více proměnných a ukáže využití těchto metod v praxi. Co bychom měli znát metody řešení soustav rovnic lokální extrémy funkcí jedné proměnné parciální derivace funkce dané implicitně Klíčová slova kapitoly lokální extrémy, kvadratická forma, Lagrangeův multiplikátor, Taylorův polynom
Definice extrémů Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 1 Mějme funkci f dvou proměnných. Říkáme, že v bodě p D(f ) má funkce f lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu p takové, že f (p) je maximální (resp. minimální) hodnota f na U D(f ). Funkce f má v p lokální extrém, jestliže má v p lokální maximum nebo lokální minimum. Nahradíme-li v definici lokálních extrémů slovo maximální slovem největší (resp. slovo minimální slovem nejmenší), dostáváme definici ostrých lokálních extrémů.
Kritické body Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.1 (Existence extrémů) Funkce f definovaná na množině A může mít lokální extrém pouze v následujících bodech: 1 v hraničním bodě A, patří-li do definičního oboru; 2 ve vnitřním bodě A, ve kterém f nemá některou z parciálních derivací 1.řádu; 3 ve vnitřním bodě A, kde má f všechny parciální derivace 1.řádu rovny 0. Definice 2 Body popsané v předchozí větě se nazývají kritické body (pro lokální extrémy).
Určení extrémů Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.2 (Nutná podmínka) Necht v otevřené množině G má funkce f všechny parciální derivace 1.řádu. Má-li f v bodě p G lokální extrém, jsou v tomto bodě všechny parciální derivace 1.řádu (i směrové) rovny 0, tj. grad f (p) = 0. Důkaz Naopak ale tato věta neplatí! Například funkce f (x, y) = x 3 má v bodě (0, 0) obě parciální derivace rovny 0, ale v tomto bodě lokální extrém nemá. Naopak parciální derivace funkce g(x, y) = x + y v bodě (0, 0) neexistují, a přesto má funkce v tomto bodě lokální extrém. Zdůvodnění
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.3 (Postačující podmínky) Necht má funkce f (x, y) spojité parciální derivace 2.řádu v otevřené množině G a pro p G je f f x (p) = y (p) = 0. Označme F(h, k) kvadratickou formu h 2 f xx (p) + 2hk f xy (p) + k 2 f yy (p). 1 Je-li F pozitivně definitní, nabývá f v p ostré lokální minimum. 2 Je-li F negativně definitní, nabývá f v p ostré lokální maximum. 3 Je-li F indefinitní, nenabývá f v p lokální extrém. 4 Je-li F semidefinitní, nelze o lokálním extrému f v p pomocí F rozhodnout. Více o kvadratických formách naleznete v Doplňcích.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Tato věta umožňuje určit definitnost kvadratické formy přímo podle parciálních derivací druhého řádu. Věta 2.4 (Rozeznání definitnosti forem) Kvadratická forma F z předchozí věty je 1 pozitivně definitní právě když f xx (p) > 0 a f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p); 2 negativně definitní právě když f xx (p) < 0 a f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p); 3 indefinitní právě když f xx (p) f yy (p) < f 2 xy(p); 4 semidefinitní právě když f xx (p) f yy (p) = f 2 xy(p); Důkaz
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Následující věta udává postačující podmínky pro existenci ostrých extrémů dané funkce. Věta 2.5 (Postačující podmínky pro ostré extrémy) Necht má funkce f (x, y) spojité parciální derivace 2.řádu v otevřené množině G a pro p G je grad f (p) = 0. Jestliže f xx (p) f yy (p) > f 2 xy(p), pak f má v bodě p ostrý lokální extrém (maximum pro f xx (p) < 0, minimum pro f xx (p) > 0). Důkaz
Vázané extrémy Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Vázanými extrémy rozumíme největší a nejmenší hodnoty reálné funkce na dané množině (tj. tato množina je tedy vazbou). Předpokládejme, že f je funkce dvou proměnných definovaná na kompaktní množině M, přičemž f je na M spojitá. Potom f na množině M nabývá svého maxima i minima. Hledáme tedy podezřelé body, v nichž funkce f může těchto extrémů nabývat. Podezřelé body jsou dvojího druhu: 1 body z vnitřku množiny M, jsou to kritické body, nebo body, v nichž některá parciální derivace neexistuje 2 body z hranice množiny M, v nichž může být extrém vzhledem k hranici nebo její části Právě hledání podezřelých bodů z hranice množiny M bude předmětem vět v této kapitole.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Extrémy na parametrických křivkách Následující věta hovoří o hledání extrémů na hranici (množiny), která je dána parametricky. Věta 2.6 (Extrémy funkcí na křivkách) Necht A je grafem parametricky zadané křivky x = ϕ(t), y = ψ(t), t J. Pak extrémy funkce f definované na A jsou extrémy funkce f (ϕ(t), ψ(t)), t J. Všimněte si, že tato věta převede původní úlohu na hledání extrémů funkce jedné proměnné.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Metoda Lagrangeových multiplikátorů V případě, že hranice množiny je dána implicitně, není vždy možné vyjádřit z její rovnice neznámou y a dosadit ji do funkce f (x, y). Pro tyto případy se využívá tzv. metoda Lagrangeových multiplikátorů. Věta 2.7 (Extrémy na implicitních křivkách) Necht A je grafem implicitně zadané křivky g(x, y) = 0, funkce f je definována na nějaké otevřené množině U obsahující A a platí: 1 f, g mají spojité parciální derivace prvního řádu na U; 2 pro každý bod (x, y) A je bud g g x (x, y) 0 nebo y (x, y) 0. Má-li f v bodě p A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (p) = 0, x (f + λg) (p) = 0, g(p) = 0. y
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 3 (Lagrangeovy multiplikátory) Za předpokladů předchozí věty se funkce F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) nazývá Lagrangeova funkce a parametr λ Lagrangeův multiplikátor. Podrobné vysvětlení a porovnání obou zmíněných metod naleznete v úloze 2.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Protože derivace podle třetí proměnné funkce F(x, y, λ) v příslušné kvadratické formě vypadnou, dostaneme následující postačující podmínky: Věta 2.8 (Postačující podmínky) Za předpokladů předchozí věty označíme H(h, k) = h 2 F xx (p) + 2hk F xy (p) + k 2 F yy (p). V kvadratické formě H nahradíme h nebo k druhou proměnnou z rovnice h g g x (p) + k y (p) = 0 a dostaneme kvadratickou formu H(t) = at 2 jedné proměnné. 1 Je-li a > 0, nabývá f v p ostré lokální minimum. 2 Je-li a < 0, nabývá f v p ostré lokální maximum. 3 Je-li a = 0, nelze o lokálním extrému f v p pomocí H rozhodnout.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Necht např. g gx (p) y (p) 0. Potom k = h g y (p). Kvadratická forma H bude ve tvaru H(h) = h 2 f xx (p) 2h 2 f xy (p) g x(p) g y (p) + h2 f yy (p) g2 x (p) gy 2 (p) = ( = f xx (p) 2f xy (p) g ) x(p) g y (p) + f yy(p) g2 x (p) gy 2 h 2. (p) Koeficient a z předchozí věty se tedy rovná f xx (p) 2f xy (p) g x(p) g y (p) + f yy(p) g2 x (p) g 2 y (p).
Extrémy na plochách Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Budeme předpokládat, že všechny parciální derivace 1.řádu používaných funkcí existují a jsou spojité. Hledáme-li extrémy funkce tří proměnných f (x, y, z) na množině A určené rovnicí g(x, y, z) = 0, hledají se extrémy funkce F(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z). Předpokladem je nenulovost alespoň jedné z derivací g x, g y, g z v každém bodě A (tj. hodnost 1 matice grad g v každém bodě A).
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F(p) = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H dvou proměnných, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných ( H(h, k, l) = h F x dosazením za jednu proměnnou z rovnice h g x ) 2 F F (p) + k (p) + l y z (p) g g (p) + k (p) + l y z (p) = 0.
Extrémy na křivkách v prostoru Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Hledáme-li extrémy funkce tří proměnných f (x, y, z) na množině A určené rovnicemi g(x, y, z) = 0, h(x, y, z) = 0, hledají se extrémy funkce F(x, y, z, λ, µ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). Předpokladem je hodnost 2 matice s řádky grad g, grad h v každém bodě A.
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Nutnou podmínkou, aby bod p byl lokálním extrémem f na A, je rovnost grad F(p) = 0. Postačující podmínky pak dává definitnost kvadratické formy H jedné proměnné, která vznikne z kvadratické formy tří proměnných ( ) 2 H(h, k, l) = h F F F x (p) + k y (p) + l z (p) dosazením za dvě proměnné z rovnic h g x h h x g g (p) + k (p) + l y z (p) = 0, h h (p) + k (p) + l y z (p) = 0.
Taylorův polynom Úvod Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Věta 2.9 (Rozvoj funkce v polynom) Má-li f spojité parciální derivace až do řádu n + 1 v intervalu J okolo bodu (a, b), pak pro (a + h, b + k) J platí f (a + h, b + k) = n (h x + k y )j f (a, b) + j! j=0 + (h x + k y )n+1 f (c, d) (n + 1)!, kde ( h x + k ) j f (a, b) = y j i=0 ( ) j h i k j i i j f x i (a, b). y j i
Extrémy funkcí více proměnných Extrémy na otevřené množině Vázané extrémy Taylorův polynom Definice 4 Polynom proměnných h, k na pravé straně se nazývá Taylorův polynom funkce f v bodě (a, b) řádu n, poslední člen na pravé straně se nazývá zbytek.
Úvod Úloha 1 Nalezněte lokální extrémy funkce f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Řešení Úloha 2 Určete vázané lokální extrémy funkce f (x, y) = x 2 + 3y 2 při vazbě x 2y + 7 = 0. Řešení Úloha 3 Rozložte číslo 64 na tři činitele tak, aby jejich součet byl co nejmenší. Řešení
Úvod 1 : Jarník Diferenciální počet (II), kap. X. Kopáček Matematická analýza pro fyziky (II), kap. 9. 2 Úlohy: Děmidovič Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, kap. VI. Kopáček Příklady z matematiky pro fyziky (II), kap. 3. Pelikán, Zdráhal Matematická analýza funkce více proměnných, cvičení III., kap. 10
Kvadratické formy Úvod Definice 5 Je-li A symetrická matice typu n n, pak funkci F : R n R, definovanou předpisem F(h) = n a ij h i h j i,j=1 nazveme kvadratickou formou s maticí A. (Značíme h = (h 1, h 2,... h n ).) Pro účely výpočtů lokálních extrémů budeme využívat kvadratickou formu druhého diferenciálu funkce f v bodě p, tj. matice A bude rovna: ( ) ( ) a11 a A = 12 fxx (p) f = xy (p) a 21 a 22 f yx (p) f yy (p)
Dosadíme-li do výrazu v definici kvadratické formy, dostaneme: F (h) = 2 a ij h i h j = f xx (p)h 1 h 1 + f xy (p)h 1 h 2 + f yx (p)h 2 h 1 + f yy (p)h 2 h 2 = i,j=1 = f xx (p)h 1 2 + f xy (p)h 1 h 2 + f yx (p)h 2 h 1 + f yy (p)h 2 2 Protože f má spojité parciální derivace 2. řádu, platí f xy (p) = f yx (p). Tedy F (h) = f xx (p)h 1 2 + 2f xy (p)h 1 h 2 + f yy (p)h 2 2. Protože h = (h 1, h 2 ), můžeme napsat F(h 1, h 2 ) = f xx (p)h 1 2 + 2f xy (p)h 1 h 2 + f yy (p)h 2 2. V tomto tvaru budeme kvadratickou formu dále využívat.
Vlastnosti kvadratických forem Definice 6 Kvadratická forma se nazývá pozitivně definitní, platí-li pro každou dvojici h, k, kde (h, k) (0, 0), F(h, k) > 0. Kvadratická forma se nazývá negativně definitní, platí-li pro každou dvojici h, k, kde (h, k) (0, 0), F(h, k) < 0. Kvadratická forma se nazývá pozitivně semidefinitní, platí-li pro každou dvojici h, k, F(h, k) 0 a v nějakém nenulovém bodě je F (h, k) = 0. Kvadratická forma se nazývá negativně semidefinitní, platí-li pro každou dvojici h, k, F(h, k) 0 a v nějakém nenulovém bodě je F (h, k) = 0. Kvadratická forma se nazývá indefinitní, jestliže nabývá jak záporných, tak kladných hodnot. zpět
Důkaz věty 2.2 Úvod Pro funkce jedné proměnné platí následující věta: Jesliže má funkce g v bodě c lokální extrém, pak g (c) = 0. Protože f x i (p) je dle definice rovna derivaci funkce jedné proměnné f (p 1,..., p i 1, x i, p i+1,..., p n ) v bodě p i, vztahuje se na ni uvedená věta, a tedy je f x i (p) = 0. zpět
Důkaz věty 2.4 Úvod Vyjdeme z kvadratické formy F (h, k) = f xx (p)h 2 + 2f xy (p)hk + f yy (p)k 2. Předpokládejme, že k 0. Vytknutím k 2 upravíme kvadratickou formu do tvaru ( ) ) 2 h F (h, k) = k (f 2 xx (p) + 2f h xy(p) k k + f yy(p). Pro zpřehlednění výpočtů položíme f xx (p) = a, f xy (p) = b, f yy (p) = c a h k = x. Kvadratická forma tedy bude mít tvar F (h, k) = k 2 (ax 2 + 2bx + c).
1 Aby kvadratická forma byla pozitivně definitní, musí platit F(h, k) > 0 pro všechna x, neboli k 2 (ax 2 + 2bx + c) > 0. To nastane, pokud diskriminant kvadratické rovnice ax 2 + 2bx + c = 0 bude menší než 0 a zároveň a > 0 (parabola bude ležet celá nad osou x ). Platí tedy, že D = 4b 2 4ac < 0, tj. b 2 < ac. Z toho plyne Protože a > 0, je i f xx (p) > 0. f xx (p) f yy (p) > (f xy (p)) 2 Za těchto podmínek je kvadratická forma pozitivně definitní i pro k = 0, nebot nabývá tvaru F(h, k) = h 2 f xx (p) (a f xx (p) > 0).
2 Důkaz negativní definitnosti kvadratické formy je analogický s předchozím, opět musí platit D = 4b 2 4ac < 0, ale tentokrát a < 0 (parabola bude ležet celá pod osou x ). Dostáváme tedy podmínky f xx (p) f yy (p) > (f xy (p)) 2 a f xx (p) < 0. 3 Aby kvadratická forma byla indefinitní, musí mít rovnice k 2 (ax 2 + 2bx + c) = 0 dvě řešení, tj. D = 4b 2 4ac > 0, neboli b 2 > ac. Z toho vyplývá podmínka f xx (p) f yy (p) < (f xy (p)) 2. 4 Kvadratická forma semidefinitní, jestliže je bud f (h, k) > 0 a pro nějaký nenulový bod (u, v) je f (u, v) = 0 nebo f (h, k) < 0 a f (u, v) = 0. Platí tedy D = 4b 2 4ac = 0, tj. b 2 = ac. Z toho plyne podmínka f xx (p) f yy (p) = (f xy (p)) 2. zpět
Důkaz věty 2.5 Úvod Věta je důsledkem vět 2.3 a 2.4. zpět
Zdůvodnění Úvod Parciální derivace funkce f v bodě (0, 0) jsou rovny nule: f x = 3x 2 f, a tedy (0, 0) = 0 x f y = 0, a tedy f (0, 0) = 0 x Z obrázku je ale zřejmé, že funkce f v bodě (0, 0) lokální extrém nemá.
Při výpočtu parciálních derivací funkce g v bodě (0, 0) budeme postupovat podle definice: g g(0 + h, 0) g(0, 0) h + 0 0 h (0, 0) = lim = lim = lim x h 0 h h 0 h h 0 h Tato limita neexistuje, nebot pro h 0 + je rovna 1 a pro h 0 je rovna 1. Analogicky pro g y. Přesto má funkce g v bodě (0, 0) minimum (viz obrázek).
funkce f funkce g Zpět
Řešení úlohy 1 Úvod Nejprve určíme parciální derivace funkce f podle obou proměnných: f x = 3x 2 3y f y = 3y 2 3x Nalezneme kritické body, tj. položíme obě parciální derivace rovny 0 a řešíme soustavu rovnic 3x 2 3y = 0 3y 2 3x = 0. Tato soustava má dvě řešení, body A(0, 0) a B(1, 1).
Pro zjištění, zda je v A a B lokální extrém, určíme ještě parciální derivace 2. řádu v bodech A a B. 2 f x 2 = 6x 2 f x y = 3 2 f y 2 = 6y 2 f x 2 (A) = 0 2 f x 2 (B) = 6 2 f (A) = 3 x y 2 f (B) = 3 x y 2 f y 2 (A) = 0 2 f y 2 (B) = 6
Kvadratická forma v bodě A bude ve tvaru: F (h, k)(a) = h 2 f xx (A) + 2hk f xy (A) + k 2 f yy (A) = = h 2 0 + 2hk ( 3) + k 2 0 = = 6hk Kvadratická forma v bodě A je indefinitní, nebot pro různá h, k může nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Funkce f tedy nemá v bodě A lokální extrém (bod A je sedlovým bodem).
Analogicky určíme kvadratickou formu v bodě B: F(h, k)(b) = h 2 f xx (B) + 2hk f xy (B) + k 2 f yy (B) = = h 2 6 + 2hk ( 3) + k 2 6 = = 6h 2 6hk + 6k 2 = = 3h 2 + 3k 2 + 3h 2 6hk + 3k 2 = = 3h 2 + 3k 2 + 3(h 2 2hk + k 2 ) = = 3h 2 + 3k 2 + 3(h k) 2 Kvadratická forma v bodě B je pozitivně definitní, nebot pro libovolná h, k, kde (h, k) (0, 0), nabývá pouze kladných hodnot. Funkce f má tedy v bodě B lokální minimum.
Graf funkce f vypadá takto (je znázorněn ze dvou pohledů): zpět
Řešení úlohy 2 Úvod Uvědomte si, že množinou, na níž hledáme extrémy, je pouze křivka (v našem případě jde dokonce o přímku). Při řešení této úlohy můžeme postupovat dvěma způsoby. Ukážeme oba. 1 Tento postup se opírá o větu 2.6 (extrémy na parametrických křivkách). Z rovnice vazby vyjádříme x, tj. x = 2y 7 a dosadíme do předpisu funkce f (x, y). Dostaneme funkci g jedné proměnné y: g(y) = (2y 7) 2 + 3y 2 = 7y 2 28y + 49. Hledáme tedy extrémy funkce jedné proměnné g(y) pro y R. Využijeme např. diferenciálního počtu.
Derivace funkce g je rovna g (y) = 14y 28. Položíme g (y) = 0, tj. 14y 28 = 0, odkud plyne, že bod y = 2 je kritickým bodem. Protože g (y) = 14, a tedy g (2) = 14 > 0, má funkce g v bodě y = 2 minimum. Z rovnice vazby pak plyne, že x = 2 2 7 = 3 Tudíž při dané vazbě má funkce f vázané lokální minimum v bodě ( 3, 2). Poznámka: Při určování extrémů funkce g se obejdeme i bez diferenciálního počtu. Stačí si uvědomit, že grafem funkce g je parabola, která má minimum (nebot koeficient u y 2 je větší než 0). Souřadnice bodu, v němž je minimum, určíme snadno úpravou na čtverec 7y 2 28y + 49 = 7[(y 2 4y + 4) + 3] = 7(y 2) 2 + 21. Minimum je pak v bodě y = 2.
2 Napodruhé budeme tuto úlohu řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů, tj. v souladu s větou 2.7. Předpoklady této věty jsou splněny, nebot derivace obou funkcí jsou spojité na R 2 a pro každý bod (x, y) A je g y = 2 0. Má-li f v bodě p A lokální extrém, pak existuje reálné číslo λ tak, že (f + λg) (p) = 0, x (f + λg) (p) = 0, g(p) = 0. y Hledáme tedy bod p = (x, y) A a λ tak, aby platily předchozí podmínky.
Lagrangeova funkce má tvar F(x, y, λ) = x 2 + 3y 2 + λ(x 2y + 7) Parciální derivace funkce F jsou rovny: F x = 2x + λ F = 6y 2λ y Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých x, y a λ: 2x + λ = 0 6y 2λ = 0 x 2y + 7 = 0
Vyjádříme-li z prvních dvou rovnic x, resp. y a dosadíme-li do třetí rovnice, má soustava řešení λ = 6, x = 3 a y = 2. Bod p podezřelý z extrému má tedy souřadnice ( 3, 2). To, zda je v p lokální extrém, můžeme zjistit např. metodou kvadratických forem. Protože 2 f x 2 (p) = 2 2 f x y (p) = 0 2 f (p) = 6, y 2 kvadratická forma v bodě p má tvar H(h, k) = 2h 2 + 6k 2, je tedy pozitivně definitní a v bodě p = ( 3, 2) nabývá funkce f při dané vazbě lokální minimum.
Obrázek znázorňuje geometrickou interpretaci výpočtů hledáme extrémy na parabole, která vznikla jako řez funkce f (paraboloidu) rovinou kolmou na rovinu xy a obsahující přímku x 2y + 7 = 0. zpět
Řešení úlohy 3 Úvod Označíme a, b, c jednotlivé činitele, na něž máme rozložit číslo 64. Součet a + b + c označíme S. Protože součet S má být co nejmenší, hledáme minimum funkce S = a + b + c při vazbě a b c = 64. Opět budeme postupovat dvěma způsoby. 1 Budeme postupovat podle věty 2.6. Z rovnice vazby vyjádříme např. neznámou c c = 64 ab (a, b 0) a dosadíme ji do předpisu funkce. Dostaneme S = a + b + 64 ab, jde tedy o funkci dvou proměnných.
Parciální derivace funkce S jsou rovny S a = 1 + 64 b ( 1) 1 a 2 = 1 64 a 2 b S b = 1 64 ab 2 Pro určení kritických bodů položíme obě parciální derivace rovny nule a po úpravách dojdeme k soustavě rovnic 64 = a 2 b 64 = ab 2 Z první rovnice vyjádříme např. b ( ) b = 64 b a dosadíme do druhé. 2 Po úpravách dostaneme ( ) 2 64 64 = a a 2 a 3 = 64 a = 4.
Protože a = 4, plyne z poslední soustavy, že i b = 4. Kritickým bodem je tedy bod (a, b) = (4, 4). Ověříme, zda je v tomto bodě lokální minimum. Parciální derivace druhého řádu jsou rovny: 2 S a 2 = 128 a 3 b 2 S a b = 64 a 2 b 2 2 S b 2 = 128 ab 3 Příslušné funkční hodnoty v bodě (4, 4) jsou 2 S a 2 (4, 4) = 1 2 2 S a b (4, 4) = 1 4 2 S b 2 (4, 4) = 1 2
Při určení, zda je v bodě (4, 4) lokální minimum, se opřeme o větu 2.5. Funkce S má v rovině kromě os x a y spojité parciální derivace druhého řádu (dle předpokladu je a, b 0) a navíc pro ně platí S aa (4, 4) S bb (4, 4) > S 2 ab(4, 4), nebot 1 2 1 2 > ( 1 4) 2. Předpoklady věty jsou splněny a funkce S má tedy v bodě [4, 4] ostrý lokální extrém. Protože je jde o ostré lokální minimum. S aa (4, 4) = 1 2 > 0, Rozklad čísla 64 na tři činitele má tedy nejmenší součet pro a = b = c = 4.
2 Podruhé budeme tuto úlohu řešit metodou Lagrangeových multiplikátorů, tj. budeme se opírat o větu 2.7. Rovnici vazby převedeme do implicitního tvaru, tj. a b c 64 = 0. Předpoklady věty jsou splněny, nebot derivace obou funkcí jsou spojité na R 3 a pro každý bod (a, b, c) A je g c = ab 0, protože rozklad nemůže obsahovat nulu.
Lagrangeova funkce má tvar F (a, b, c, λ) = a + b + c + λ(abc 64) Parciální derivace funkce F jsou rovny F a = 1 + λbc F b = 1 + λac F c = 1 + λab F = abc 64. λ
Řešíme tedy soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých 1 + λbc = 0 1 + λac = 0 1 + λab = 0 abc 64 = 0. Stručně nastíníme postup řešení. Z poslední rovnice vyjádříme a (a = 64 bc ) a dosadíme do druhé a třetí rovnice. Získáme soustavu třech rovnic o třech neznámých: 1 + λbc = 0 1 + λ 64 b c c = 0 1 + λ 64 bc b = 0
Z druhé rovnice vyjádříme b (b = 64λ), ze třetí rovnice c (c = 64λ) a dosadíme do první rovnice: Potom b = c = 4 a a = 4. 1 + λ ( 64λ) ( 64λ) = 0 1 + 4096λ 3 = 0 λ = 1 16 Bod podezřelý z extrému má souřadnice (4, 4, 4).
Zkontrolujeme správnost našeho výsledku. Možné rozklady čísla 64 (nehledíme-li na pořadí činitelů) jsou znázorněny v následující tabulce. Druhý sloupec udává součet těchto čísel. Rozklad Součet 1 1 64 66 1 2 32 35 1 4 16 21 1 8 8 17 2 2 16 20 2 4 8 14 4 4 4 12 I z tabulky je patrné, že nejmenšího součtu dosáhneme pro rozklad 64 = 4 4 4. zpět