ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 Lineární rovnice a nerovnice Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Lineární rovnice a nerovnice 3 Obsah Lineární rovnice a nerovnice... 8 Lineární rovnice... 8 Lineární rovnice... 10... 10 Lineární rovnice... 11... 11 Lineární rovnice... 12... 12 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 14... 14 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 15... 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice... 16... 16 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 18... 18 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 19... 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice... 20... 20 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 26... 26 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 27

4 Lineární rovnice a nerovnice... 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou... 28... 28 Lineární nerovnice... 30 Lineární nerovnice... 31... 31 Lineární nerovnice... 32... 32 Lineární nerovnice... 33... 33 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 34 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 35... 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 36... 36 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou... 37... 37 Kvadratické rovnice a nerovnice... 40 Rovnice v součinovém tvaru... 40 Rovnice v součinovém tvaru... 41... 41 Rovnice v součinovém tvaru... 42... 42 Rovnice v součinovém tvaru... 43... 43 Kvadratická rovnice... 44 Kvadratická rovnice... 45

Lineární rovnice a nerovnice 5... 45 Kvadratická rovnice... 46... 46 Kvadratická rovnice... 47... 47 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 48 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 49... 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 50... 50 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice... 51... 51 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 52 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 54... 54 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 57... 57 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice... 59... 59 Umocňování rovnice... 61 Umocňování rovnice... 62... 62 Umocňování rovnice... 63... 63 Umocňování rovnice... 64... 64 Řešení rovnic užitím substituce... 66

6 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce... 67... 67 Řešení rovnic užitím substituce... 68... 68 Řešení rovnic užitím substituce... 70... 70 Soustavy rovnic a nerovnic... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 72 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 73... 73 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 76... 76 Lineární rovnice se dvěma neznámými... 79... 79 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 83 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 84... 84 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 88... 88 Lineární nerovnice se dvěma neznámými... 92... 92 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 96 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 98... 98 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 100... 100 Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými... 102

Lineární rovnice a nerovnice 7... 102 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické. 106 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 108... 108 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 111... 111 Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické... 114... 114 Soustavy lineárních nerovnic... 116 Soustavy lineárních nerovnic... 117... 117 Soustavy lineárních nerovnic... 119... 119 Soustavy lineárních nerovnic... 121... 121 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 123 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 124... 124 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 126... 126 Lineární nerovnice v součinovém a podílovém tvaru... 128... 128 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 130 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 130

8 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 131... 131 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 133... 133 Lineární rovnice a nerovnice s parametrem... 136... 136 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde. Lineární rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly.

Lineární rovnice a nerovnice 9

10 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ ] 2) Řešte rovnici. [ ] 3) Řešte rovnici. [1] 4) Řešte rovnici. [ ]

Lineární rovnice a nerovnice 11 Lineární rovnice Řešte rovnici. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. ( ) Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ ] 6) Řešte rovnici. [ ] 7) Řešte rovnici. [ ] 8) Řešte rovnici. [NŘ]

12 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice Řešte rovnici. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. [ ] 10) Řešte rovnici. [NŘ] 11) Řešte rovnici. [ ] 12) Řešte rovnici. [ ]

Lineární rovnice a nerovnice 13 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Základní pojmy Není-li uveden obor čísel, v němž hledáme řešení rovnice, míní se zpravidla obor všech reálných čísel. Velmi často se však stává (např. při řešení slovních úloh), že je obor řešení dané rovnice omezen (např. na kladná čísla, atd.). V praxi postupujeme tak, že danou rovnici vyřešíme v nejširším možném oboru ( ) a řešení pak konfrontujeme s oborem, ve kterém rovnici řešíme. Dosazením čísla za neznámou na obou stranách rovnice se výrazy s proměnnou změní na číselné výrazy. Jsou-li hodnoty obou číselných výrazů stejné, je toto číslo řešením dané rovnice, v opačném případě nikoliv. V praxi postupujeme tak, že zvlášť určíme číselnou hodnotu výrazu na levé straně, zvlášť na pravé straně a pak hodnoty porovnáme. Tomuto postupu se říká zkouška při řešení rovnice. Pokud jsme při řešení rovnice používali pouze ekvivalentní úpravy, není zkouška nezbytnou součástí řešení rovnice.

14 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině racionálních čísel. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. Řešením dané rovnice je iracionální číslo, řešení v množině racionálních čísel tedy neexistuje. Výsledek řešení: Řešení v množině racionálních čísel neexistuje. Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině racionálních čísel. [Ano, ] 2) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině celých čísel. [Ne] 3) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině přirozených čísel. [Ano, 2] 4) Zjistěte, zda rovnice má řešení v množině reálných čísel. [Ne]

Lineární rovnice a nerovnice 15 Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici a proveďte zkoušku. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. ( ) Zkouška: ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledek řešení: ( ) ( ) ( ) ( ) Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ ; ] 6) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ ; ] 7) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [NŘ] 8) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ ; ]

16 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnice v daném oboru, zkouška při řešení rovnice Řešte rovnici a proveďte zkoušku. Vyskytují-li se v lineární rovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany rovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. ( ) ( ) ( ) Výsledek řešení: ( ) ( ) Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ ; ] 10) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [17; ] 11) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [8; ] 12) Řešte rovnici a proveďte zkoušku. [ ; ]

Lineární rovnice a nerovnice 17 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Základní pojmy V rovnicích s neznámou ve jmenovateli se vyskytují lomené výrazy. Dříve, než takovou rovnici řešíme, určíme všechny podmínky, za kterých mají jednotlivé lomené výrazy smysl. Poté rovnici řešíme standardním způsobem, tj. odstraněním zlomků a následným řešením dalšími ekvivalentními úpravami. Výsledné řešení pak musíme konfrontovat se všemi podmínkami jednotlivých lomených výrazů. Každou lineární rovnici lze zapsat ve tvaru. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Jelikož je grafem lineární funkce přímka, mohou pro vzájemnou polohu obou grafů a tedy i pro řešení lineární rovnice nastat tři případy: Přímky jsou různoběžné existuje jeden průsečík a rovnice má jedno řešení. Přímky jsou rovnoběžné různé neexistuje žádný průsečík a rovnice nemá řešení. Přímky jsou totožné existuje nekonečně mnoho společných bodů a rovnice má nekonečně mnoho řešení.

18 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici. Nejprve stanovíme podmínky, za kterých mají lomené výrazy, vyskytující se v rovnici, smysl. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně rovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. ( ) Řešení není v rozporu s výše uvedenou podmínkou a je tedy řešením dané rovnice. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [7; ] 2) Řešte rovnici. [ ; ] 3) Řešte rovnici. [NŘ; ] 4) Řešte rovnici. [ { }; ]

Lineární rovnice a nerovnice 19 Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte rovnici: ( ) Nejdříve stanovíme podmínky: ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ ; ] 6) Řešte rovnici. [2; ] 7) Řešte rovnici ( ). [NŘ; ] 8) Řešte rovnici. [ ; ]

20 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice s neznámou ve jmenovateli a grafické řešení lineární rovnice Řešte graficky rovnici. Jedná se tak vlastně o zápis rovnosti dvou lineárních funkcí: Řešení původní rovnice pak odpovídá x-ové souřadnici průsečíků grafů obou lineárních funkcí. Výsledek řešení:

Lineární rovnice a nerovnice 21 Příklady k procvičení: 9) Řešte graficky rovnici.

22 Lineární rovnice a nerovnice 10) Řešte graficky rovnici.

11) Řešte graficky rovnici. Lineární rovnice a nerovnice 23

24 Lineární rovnice a nerovnice 12) Řešte graficky rovnici. NŘ

Lineární rovnice a nerovnice 25 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla a) pro b) pro je definována takto: Věta: Pro libovolná čísla 1.) 2.) 3.) 4.), platí: Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

26 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení:. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ ] 2) Řešte rovnici. [ ] 3) Řešte rovnici. [0] 4) Řešte rovnici. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici. Absolutní hodnota z čísla je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocnou kružnici se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Tato kružnice protne číselnou osu v těch bodech, které jsou řešením uvedené rovnice. Z obrázku je vidět, že rovnice má dvě řešení:. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [7, 15] 6) Řešte rovnici. [4, ] 7) Řešte rovnici. [3, ] 8) Řešte rovnici. [NŘ]

28 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou Řešte rovnici. Řešení rovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární rovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. ( ) ( ) ( ) (

Lineární rovnice a nerovnice 29 II. ( ) ( ) ( III. ( ) ( ) ( ) Řešení mají tedy rovnice pouze v intervalech I. a II. Původní rovnice má tak dvě řešení. Množinu řešení můžeme zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. [ { }] 10) Řešte rovnici. [ { }] 11) Řešte rovnici. [ { }] 12) Řešte rovnici. [ { }]

30 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů: a), b), c), d), kde. Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné!

Lineární rovnice a nerovnice 31 Lineární nerovnice Řešte rovnici. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od rovnice. Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ). Výsledek řešení: ) Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ ( ] 2) Řešte rovnici. [ )] 3) Řešte rovnici. [ ( )] 4) Řešte rovnici. [ ( )]

32 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice Řešte rovnici. Ekvivalentní úpravy provádíme tak, abychom na jedné straně nerovnice (zpravidla levé) osamostatnili neznámou. Prováděné úpravy zapisujeme za svislou čáru vpravo od nerovnice. ( ) Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ). Výsledek řešení: ) Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ ( ] 6) Řešte rovnici. [ )] 7) Řešte rovnici. [ ( )] 8) Řešte rovnici. [ ]

Lineární rovnice a nerovnice 33 Lineární nerovnice Řešte rovnici. Vyskytují-li se v lineární nerovnici zlomky, měla by první ekvivalentní úprava směřovat k odstranění zlomků. To provedeme tak, že obě strany nerovnice vynásobíme společným (nejlépe nejmenším) násobkem všech jmenovatelů. Řešení zpravidla zapisujeme pomocí intervalu: ). Výsledek řešení: ) Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici. [ ( ] 10) Řešte nerovnici. [NŘ] 11) Řešte nerovnici. [ ] 12) Řešte nerovnici. [ ( )]

34 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Základní pojmy Definice: Absolutní hodnota čísla c) pro d) pro je definována takto: Věta: Pro libovolná čísla 5.) 6.) 7.) 8.), platí: Poznámka: Číslo se pro libovolné rovná vzdálenosti obrazu čísla a na číselné ose od počátku (tj. od obrazu čísla 0). Číslo se pro libovolná čísla rovná vzdálenosti obrazů čísel a, b na číselné ose.

Lineární rovnice a nerovnice 35 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici. Absolutní hodnota z čísla x je rovna vzdálenosti tohoto čísla na číselné ose od počátku, tedy od čísla 0. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 0 a poloměrem 3 jednotky. Průnik tohoto kruhu s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je interval:. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici. [ ] 2) Řešte nerovnici. [ ( )] 3) Řešte nerovnici. [NŘ] 4) Řešte nerovnici. [ ]

36 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici. Absolutní hodnota z čísla je rovna vzdálenosti čísla x na číselné ose od čísla 1. Můžeme sestrojit pomocný kruh se středem v bodě 1 a poloměrem 3 jednotky. Průnik vnější části tohoto kruhu a jeho hraniční kružnice s číselnou osou je řešením uvedené nerovnice. K Z obrázku je vidět, že řešením nerovnice je sjednocení intervalů: ( ). Výsledek řešení: ( ) Příklady k procvičení: 5) Řešte nerovnici. [ ( ) ( )] 6) Řešte nerovnici. [ ( )] 7) Řešte nerovnici. [ ( )] 8) Řešte nerovnici. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 37 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou Řešte nerovnici. Řešení nerovnic s větším počtem absolutních hodnot provádíme jiným způsobem. Nejdříve stanovíme tzv. nulové body všech absolutních hodnot, tedy body, v nichž se výrazy uvnitř jednotlivých absolutních hodnot rovnají nule. Množinu reálných čísel pak rozdělíme pomocí těchto nulových bodů na jednotlivé disjunktní intervaly. V každém intervalu zvlášť pak zkoumáme znaménko jednotlivých výrazů v absolutních hodnotách a absolutní hodnoty zde v souladu s definicí nahrazujeme přímo tímto výrazem nebo výrazem opačným. Celý postup zpravidla zapisujeme do přehledné tabulky. NB: ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I. II. III. V každém z intervalů I., II. a III. Pak řešíme zvlášť lineární nerovnici, ale absolutní hodnoty nahrazujeme příslušnými výrazy z tabulky. I. ( ) ( ) ( ) (

38 Lineární rovnice a nerovnice Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ( ( ( II. ( ) ( ) ) Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ) ( { } III. ( ) ( ) ) Nyní stanovíme průnik tohoto řešení s intervalem, v němž řešení provádíme, tedy: ) ( ) ( ) Řešením původní nerovnice je pak sjednocení jednotlivých dílčích řešení jednotlivých intervalů: ( { } ( ) ( ) Výsledek řešení: ( )

Lineární rovnice a nerovnice 39 Příklady k procvičení: 9) Řešte nerovnici. [ ( )] 10) Řešte nerovnici. [ { }] 11) Řešte nerovnici. [ ( )] 12) Řešte nerovnici. [ ( ) ( )]

40 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Základní pojmy Definice: Rovnicí v součinovém tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru: ( ) ( ) ( ), kde výrazy ( ), ( ),, ( ) jsou lineární dvojčleny. Rovnicí v součinovém tvaru dále nazýváme každou rovnici, kterou lze převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení těchto rovnic využíváme poznatek, že součin dvou anebo více výrazů je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden výraz je roven nule.

Lineární rovnice a nerovnice 41 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici ( ) ( ). Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 10, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici ( ) ( ). [ { }] 2) Řešte rovnici ( ). [ { }] 3) Řešte rovnici ( ) ( ). [ { }] 4) Řešte rovnici ( ) ( ). [ { }]

42 Lineární rovnice a nerovnice Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: ( )( ). Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 5, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ { }] 6) Řešte rovnici. [ { }] 7) Řešte rovnici. [ { }] 8) Řešte rovnici. [ { }]

Lineární rovnice a nerovnice 43 Rovnice v součinovém tvaru Řešte rovnici. Rovnice nejdříve převedeme pomocí ekvivalentních do anulovaného tvaru: ( ) Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin vytknutím před závorku do následujícího tvaru: ( ). Je roven nule právě tehdy, když: a), nebo b). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici ( ) ( )( ). [ { }] 10) Řešte rovnici. [ { }] 11) Řešte rovnici ( )( ). [ { }] 12) Řešte rovnici ( )( ). [NŘ]

44 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde ;. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta: Řešení kvadratické rovnice je určeno následujícím vztahem: Poznámka 1: Výraz nazýváme diskriminant kvadratické rovnice a podle jeho hodnoty mohou pro řešení kvadratické rovnice nastat tři možnosti: a) - rovnice má v oboru dvě různá řešení, b) - rovnice má v oboru jedno dvojnásobné řešení, c) - rovnice nemá v oboru žádné řešení. Poznámka 2: Podle výše uvedeného vztahu lze řešit libovolnou kvadratickou rovnici. Existují však speciální typy kvadratických rovnic, které lze řešit i jiným (zpravidla jednodušším) způsobem. Mezi tyto speciální typy řadíme nejčastěji tzv. neúplné kvadratické rovnice: a) Rovnice se nazývá rovnice bez absolutního členu a s výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar vytknutím. b) Rovnice se nazývá ryze kvadratická rovnice a výhodou ji řešíme převedením na součinový tvar pomocí vzorce (pokud je to možné).

Lineární rovnice a nerovnice 45 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu. Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: ( ). Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: c), nebo d). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 1) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu. [ { }] 2) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu. [ { }] 3) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu. [ { }] 4) Řešte kvadratickou rovnici bez absolutního členu. [ { }]

46 Lineární rovnice a nerovnice Kvadratická rovnice Řešte ryze kvadratickou rovnici. Výraz na levé straně rovnice lze rozložit na součin podle vzorce do následujícího tvaru: ( )( ). Je roven nule právě tehdy, když: c), nebo d). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 5) Řešte ryze kvadratickou rovnici. [ { }] 6) Řešte ryze kvadratickou rovnici. [ { }] 7) Řešte ryze kvadratickou rovnici. [ { }] 8) Řešte ryze kvadratickou rovnici. [NŘ, výraz nelze rozložit na součin podle vzorce]

Lineární rovnice a nerovnice 47 Kvadratická rovnice Řešte kvadratickou rovnici. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: ( ) ( ) ( ) Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici. [ { }] 10) Řešte kvadratickou rovnici. [NŘ] 11) Řešte kvadratickou rovnici. [ { } ] 12) Řešte kvadratickou rovnici. [ { }]

48 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde ;. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Věta 1: Pro kořeny kvadratické rovnice platí následující vztahy:,. Věta 2: Jsou-li čísla kořeny kvadratické rovnice, pak platí: ( )( ). Uvedenému výrazu na pravé straně rovnosti říkáme rozklad kvadratického trojčlenu na kořenové činitele.

Lineární rovnice a nerovnice 49 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice. Srovnáním s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: Hledáme tedy dvě čísla, jejichž součet je 5 a součin 6. Takovým podmínkám vyhovují čísla 2 a 3. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 1) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice. [ { }] 2) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice. [ { }] 3) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice. [ { }] 4) Pomocí vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice určete řešení kvadratické rovnice. [ { }]

50 Lineární rovnice a nerovnice Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny. Dosazením do vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice dostáváme: Úpravou uvedených vztahů dostáváme: ( ) Prostým srovnáním zlomků na levé a pravé straně obou rovností dostáváme: Kvadratickou rovnici tedy můžeme psát ve tvaru:. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny. [ ] 6) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny. [ ] 7) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny. [ ] 8) Sestavte kvadratickou rovnici s kořeny. [ ]

Lineární rovnice a nerovnice 51 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. Srovnáním kvadratického trojčlenu s obecným tvarem kvadratické rovnice dostáváme:. Dosazením do vzorce pro řešení příslušné kvadratické rovnice dostáváme: ( ) ( ) ( ) Kvadratický trojčlen lze tedy psát ve tvaru: ( )( ) ( )[ ( )] Po úpravě: ( )( ) Výsledek řešení: ( )( ) Příklady k procvičení: 9) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [ ( )( )] 10) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [nelze rozložit] 11) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [ ( )( )] 12) Kvadratický trojčlen rozložte na součin kořenových činitelů. [ ( )( )]

52 Lineární rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Základní pojmy Definice: Kvadratickou rovnicí s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde ;. Kvadratickou rovnicí dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Výraz nazýváme kvadratický člen, výraz nazýváme lineární člen a člen absolutní člen. Vydělíme-li kvadratickou rovnici číslem a, dostáváme kvadratickou rovnici v tzv. normovaném tvaru. Definice: Kvadratickou rovnicí v normovaném tvaru s neznámou x nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde. Takovou rovnici pak lze psát v následujícím tvaru: Jedná se vlastně o rovnost dvou funkcí, funkce kvadratické na straně levé a funkce lineární na straně pravé. Znázorníme-li grafy obou funkcí do jednoho obrázku, je řešením původní kvadratické rovnice x-ová souřadnice průsečíků obou grafů. Uvedený postup je návodem na grafické řešení kvadratické rovnice.

Lineární rovnice a nerovnice 53 Věta 1: Pro vzájemnou polohu paraboly (grafu kvadratické funkce) a přímky (grafu lineární funkce) mohou nastat následující možnosti: a) parabola a přímka mají dva průsečíky, příslušná kvadratická rovnice má dvě řešení, b) parabola a přímka mají jeden společný bod (přímka je tečnou paraboly), příslušná kvadratická rovnice má jedno řešení, c) parabola a přímka nemají žádný společný bod, příslušná kvadratická rovnice nemá žádné řešení. Definice: Kvadratickou nerovnicí s neznámou x nazýváme každou nerovnici v jednom z těchto tvarů:,,,, kde ;. Na levé straně nerovnice je výraz zápisem kvadratické funkce. Grafem této funkce je parabola, která protíná osu x v těch bodech, které jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Část tohoto grafu pak může ležet pod osou x, část na ose x a část nad osou x. Na základě této vzájemné polohy pak lze graficky určit řešení příslušné kvadratické nerovnice.

54 Lineární rovnice a nerovnice Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Řešte graficky kvadratickou rovnici. Pomocí ekvivalentních úprav převedeme rovnici na tvar: Do jednoho grafu pak zakreslíme grafy funkcí a Obě křivky tedy mají dva průsečíky a jejich x-ové souřadnice ( a 3) jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. Výsledek řešení: { }

Lineární rovnice a nerovnice 55 Příklady k procvičení: 1) Řešte graficky kvadratickou rovnici. [ { }] 2) Řešte graficky kvadratickou rovnici. [ { }]

56 Lineární rovnice a nerovnice 3) Řešte graficky kvadratickou rovnici. [ { }] 4) Řešte graficky kvadratickou rovnici. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 57 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Řešte kvadratickou nerovnici. Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Výraz na levé straně upravíme na součin vytknutím na tvar: ( ). Výraz na levé straně rovnice je roven nule právě tehdy, když: e), nebo f). Řešení této rovnice se tedy rozpadá na řešení dvojice lineárních rovnic. Řešením první lineární rovnice je číslo 0, řešením druhé lineární rovnice číslo. Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. V těchto bodech protne graf příslušné kvadratické funkce osu x.

58 Lineární rovnice a nerovnice Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží pod osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z intervalu. Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 5) Řešte kvadratickou nerovnici. [ ( ) ( )] 6) Řešte kvadratickou nerovnici. [ ] 7) Řešte kvadratickou nerovnici. [ ( )] 8) Řešte kvadratickou nerovnici. [ ( )]

Lineární rovnice a nerovnice 59 Grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice Řešte kvadratickou nerovnici. Nejdříve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici. Dosazením do vzorce pro řešení kvadratické rovnice dostáváme: ( ) ( ) ( ) Množinu řešení dané rovnice lze tedy zapsat ve tvaru { }. V těchto bodech protne graf příslušné kvadratické funkce osu x.

60 Lineární rovnice a nerovnice Hledáme ty části grafu, které podle zadání původní nerovnice leží nad osou x nebo na ose x. Řešení je v obrázku vyšrafováno červeně a je vidět, že nerovnici vyhovují všechna x z množiny ( ). Výsledek řešení: ( ) Příklady k procvičení: 9) Řešte kvadratickou rovnici. [ ( ) ( )] 10) Řešte kvadratickou rovnici. [NŘ] 11) Řešte kvadratickou rovnici. [ ] 12) Řešte kvadratickou rovnici. [ { }]

Lineární rovnice a nerovnice 61 Umocňování rovnice Základní pojmy Věta: Pro libovolná dvě čísla platí: Uvedená věta ovšem neplatí naopak. Z tohoto poznatku plyne pro umocnění rovnice následující skutečnost: Věta: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je současně kořenem i rovnice umocněné, ale ne naopak. Umocněná rovnice může mít kořeny, které nejsou kořeny rovnice původní. Umocnění rovnice je tzv. důsledkovou úpravou. Použijeme-li při řešení rovnice důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení rovnice zkouška.

62 Lineární rovnice a nerovnice Umocňování rovnice Řešte rovnici. Nejdříve umocníme rovnici: Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. ( ) ( ) Původní rovnice tedy nemá řešení. Výsledek řešení: Rovnice nemá řešení. Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ { }] 2) Řešte rovnici. [ { }] 3) Řešte rovnici. [NŘ] 4) Řešte rovnici. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 63 Umocňování rovnice Řešte rovnici. Nejdříve umocníme rovnici: ( ) ( ) ; Jelikož jsme provedli důsledkovou úpravu, je nezbytnou součástí řešení zkouška. ( ) ( ) ( ) ( ) Řešením původní rovnice je pouze číslo 5. Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ { }] 6) Řešte rovnici. [ { }] 7) Řešte rovnici. [ { }] 8) Řešte rovnici. [ { }]

64 Lineární rovnice a nerovnice Umocňování rovnice Řešte rovnici. Nejdříve umocníme rovnici: ( ) ( ) ( ) Jelikož jsme provedli dvě důsledkové úpravy, je nezbytnou součástí řešení zkouška. ( ) ( ) Řešením původní rovnice je tedy číslo 1. Výsledek řešení: { }

Lineární rovnice a nerovnice 65 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. [ { }] 10) Řešte rovnici. [ { }] 11) Řešte rovnici. [ { }] 12) Řešte rovnici. [ { }]

66 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce Základní pojmy Substitucí rozumíme nahrazení výrazu v zápisu rovnice obsahujícího proměnnou jinou proměnnou. Daná rovnice se substitucí zpravidla zjednoduší. Tuto jednoduší rovnici s novou neznámou vyřešíme a poté se vrátíme zpět k původní neznámé. Pro volbu substituce neplatí žádné obecné pravidlo, je třeba jistého matematického citu a zkušenosti.

Lineární rovnice a nerovnice 67 Řešení rovnic užitím substituce Řešte rovnici. Nejdříve provedeme substituci. Původní rovnice se změní následovně: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: ( ) ( ) Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a) b) V obou případech se jedná o ryze kvadratické rovnice. První má kořeny a a druhá a. Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru { } Výsledek řešení: { } Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ { }] 2) Řešte rovnici. [ { }] 3) Řešte rovnici. [ { }] 4) Řešte rovnici. [ { }]

68 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce Řešte rovnici ( ). Nejdříve provedeme substituci. Původní rovnice se změní následovně: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: ( ) ( ) Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a) b) V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( z nich řešíme vynásobením jmenovatelem x. Řešením první rovnice je číslo ). Každou, řešením druhé rovnice číslo. Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru { } Výsledek řešení: { }

Lineární rovnice a nerovnice 69 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici ( ). [ { }] 6) Řešte rovnici ( ). [ { }] 7) Řešte rovnici ( ). [ { }] 8) Řešte rovnici ( ). [ { }]

70 Lineární rovnice a nerovnice Řešení rovnic užitím substituce Řešte rovnici. Nejdříve provedeme substituci. Původní rovnice se změní následovně: Jedná se o kvadratickou rovnici, kterou řešíme dosazením do vzorce: ( ) ( ) Nyní se s oběma řešeními postupně vrátíme k původní proměnné x. a) b) V obou případech se jedná o lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli ( ). Každou z nich řešíme vynásobením jmenovatelem. Řešením první rovnice je číslo, řešením druhé rovnice číslo. Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru { } Výsledek řešení: { }

Lineární rovnice a nerovnice 71 Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici. [ { }] 10) Řešte rovnici. [ { }] 11) Řešte rovnici. [ { }] 12) Řešte rovnici. [ { }]

72 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy rovnic a nerovnic Lineární rovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární rovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici ve tvaru:, kde. Lineární rovnicí se dvěma neznámými dále nazýváme každou rovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na rovnici ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a) řešením je množina bodů tvořících přímku různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic. b) řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou x. c) řešením je množina bodů tvořících přímku rovnoběžnou s osou y. d) řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y. e) rovnice nemá řešení.

Lineární rovnice a nerovnice 73 Lineární rovnice se dvěma neznámými Řešte rovnici. Všechna řešení dané rovnice dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru {[ ] } a současně znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic. Výsledek řešení: {[ ] }

74 Lineární rovnice a nerovnice Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnici. [ {[ ] }] 2) Řešte rovnici. [ {[ ] }]

Lineární rovnice a nerovnice 75 3) Řešte rovnici. [ {[ ] }] 4) Řešte rovnici. [ {[ ] }]

76 Lineární rovnice a nerovnice Lineární rovnice se dvěma neznámými Řešte rovnici. Všechna řešení dané rovnice dostaneme tak, že neznámou y volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou x. Množinu všech řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru {[ ] } a současně znázornit graficky v kartézské soustavě souřadnic. Výsledek řešení: {[ ] }

Lineární rovnice a nerovnice 77 Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. [ {[ ] }] 6) Řešte rovnici. [ {[ ] }]

78 Lineární rovnice a nerovnice 7) Řešte rovnici. [ {[ ] }] 8) Řešte rovnici. [ {[ ] }]

Lineární rovnice a nerovnice 79 Lineární rovnice se dvěma neznámými Řešte rovnici v množině přirozených čísel. Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Všechna řešení dané rovnice v množině reálných čísel dostaneme např. tak, že neznámou x volíme libovolně a pak z rovnice vyjádříme neznámou y. Množinu všech řešení znázorníme graficky v kartézské soustavě souřadnic a na vzniklé přímce pak hledáme pouze ty body, jejichž obě souřadnice jsou přirozená čísla. Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru {[ ] [ ] [ ]}

80 Lineární rovnice a nerovnice Výsledek řešení: {[ ] [ ] [ ]} Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ]}]

Lineární rovnice a nerovnice 81 10) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ]}] 11) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ] [ ] [ ] [ ]}]

82 Lineární rovnice a nerovnice 12) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [NŘ]

Lineární rovnice a nerovnice 83 Lineární nerovnice se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Lineární nerovnicí se dvěma neznámými x, y nazýváme každou rovnici v jednom z těchto tvarů:,,, kde. Lineární nerovnicí dále nazýváme každou nerovnici, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na nerovnici ve výše uvedeném tvaru. Při řešení lineárních nerovnic používáme stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení lineárních rovnic, s jednou podstatnou výjimkou: - Násobíme-li nerovnici záporným číslem, mění se znaménko nerovnosti v opačné! Řešením rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel, které můžeme graficky znázornit v rovině. Při řešení lineární rovnice může nastat jedna z následujících možností: a) řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou různoběžnou s oběma osami soustavy souřadnic. b) řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou x. c) řešením je množina bodů tvořících polorovinu s hraniční přímkou rovnoběžnou s osou y. d) řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti. e) řešením je libovolná uspořádaná dvojice reálných čísel x, y nebo nerovnice nemá žádné řešení podle použitého znaménka nerovnosti.

84 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice se dvěma neznámými Řešte nerovnici. Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou y. Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [ ]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice: Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením je tedy ta polorovina, ze které byl zkušební bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky.

Lineární rovnice a nerovnice 85 Výsledek řešení:

86 Lineární rovnice a nerovnice Příklady k procvičení: 1) Řešte nerovnici. 2) Řešte rovnici.

Lineární rovnice a nerovnice 87 3) Řešte rovnici. 4) Řešte rovnici.

88 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice se dvěma neznámými Řešte rovnici. Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou x. Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [ ]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice: Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením je tedy ta polorovina, ze které byl zkušební bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky.

Lineární rovnice a nerovnice 89 Výsledek řešení:

90 Lineární rovnice a nerovnice Příklady k procvičení: 5) Řešte rovnici. 6) Řešte rovnici.

Lineární rovnice a nerovnice 91 7) Řešte rovnici. 8) Řešte rovnici.

92 Lineární rovnice a nerovnice Lineární nerovnice se dvěma neznámými Řešte rovnici v množině přirozených čísel. Při řešení postupujeme obdobně jako při řešení v množině reálných čísel. Rovnici hraniční přímky dostaneme tak, že z rovnice vyjádříme neznámou y. Danou přímku zobrazíme v soustavě souřadnic a zvolíme libovolný bod ležící v jedné ze dvou polorovin, např. bod [ ]. Souřadnice tohoto bodu dosadíme do původní nerovnice: Vidíme, že jsme dostali pravdivou nerovnost. Řešením v množině reálných čísel je tedy ta polorovina, ze které byl zkušební bod. Pokud bychom obdrželi nerovnost nepravdivou, řešením by byla polorovina opačná. Jelikož bylo v zadání nerovnice znaménko neostré nerovnosti, je řešením nerovnice i hraniční přímka, pokud je v zadání nerovnice znaménko ostré nerovnosti, je řešením polorovina bez hraniční přímky. A nakonec vybereme z této poloroviny pouze ty uspořádané dvojice, které jsou tvořené pouze přirozenými čísly

Lineární rovnice a nerovnice 93 Množinu řešení původní rovnice lze tedy psát ve tvaru {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} Výsledek řešení: {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]} Příklady k procvičení: 9) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ]}]

94 Lineární rovnice a nerovnice 10) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}] 11) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [ {[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]}]

Lineární rovnice a nerovnice 95 12) Řešte rovnici v množině přirozených čísel. [NŘ]

96 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Základní pojmy Definice: Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y nazýváme každou soustavu rovnici ve tvaru:,, kde. Soustavou dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými dále nazýváme každou soustavu, kterou lze pomocí tzv. ekvivalentních úprav převést na soustavu rovnic ve výše uvedeném tvaru. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: - Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice. - Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy. - Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici. Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel.

Lineární rovnice a nerovnice 97 Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může nastat jedna z následujících možností: a) Soustava má jediné řešení. b) Soustava má nekonečně mnoho řešení. (Tato řešení tvoří v kartézské soustavě souřadnic přímku.) c) Soustava nemá řešení. Soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými můžeme řešit několika způsoby. K těm nejčastějším patří dosazovací metoda, sčítací metoda a grafická metoda. Všechny tyto metody jsou popsány v následujících příkladech.

98 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: Dosazovací metoda spočívá v tom, že z jedné ze dvou rovnic vyjádříme jednu neznámou, toto vyjádření dosadíme do druhé rovnice. Řešení tak převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné vyjádřit z první rovnice neznámou y. Tento výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou y. ( ) Řešení této rovnice pak dosadíme do výrazu vyjadřující neznámou y a vypočteme i tuto druhou neznámou. Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice [ ]. Výsledek řešení: {[ ]}

Lineární rovnice a nerovnice 99 Příklady k procvičení: 1) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: [ {[ ]}] 2) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: [ {[ ] } nekonečně mnoho řešení] 3) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: [NŘ] 4) Řešte soustavu rovnic dosazovací metodou: [ {[ ]}]

100 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: Sčítací metoda spočívá v tom, že jednu nebo obě rovnice vynásobíme vhodně takovými čísly, aby se po sečtení obou rovnic jedna z neznámých anulovala. Řešení tak opět převedeme na řešení jedné lineární rovnice s jednou neznámou. V tomto konkrétním případě je výhodné první rovnici vynásobit číslem 2. Takto upravené rovnice soustavy sečteme, tedy sečteme levé strany a pravé strany. Řešení této rovnice pak dosadíme do libovolné ze dvou původních rovnic a vypočteme i neznámou y. V tomto případě dosadíme do první rovnice. Řešením této soustavy je tedy uspořádaná dvojice [ ]. Výsledek řešení: {[ ]}

Lineární rovnice a nerovnice 101 Příklady k procvičení: 5) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: [ {[ ]}] 6) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: [ {[ ] } nekonečně mnoho řešení] 7) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: [NŘ] 8) Řešte soustavu rovnic sčítací metodou: [ {[ ]}]

102 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými Řešte soustavu rovnic graficky: Grafická metoda spočívá v tom, že z každé rovnice vyjádříme neznámou y. Vzniknou tak dvě rovnice lineárních funkcí. Do jedné soustavy souřadnic pak nakreslíme oba grafy (přímky) a v souladu s možnými výsledky řešení soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou tyto přímky buď různoběžné (soustava má jedno řešení), rovnoběžné různé (soustava nemá řešení), anebo rovnoběžné totožné (soustava má nekonečně mnoho řešení).

Lineární rovnice a nerovnice 103 Řešením této soustavy jsou souřadnice průsečíku obou přímek, tedy uspořádaná dvojice [ ]. Výsledek řešení: {[ ]}

104 Lineární rovnice a nerovnice Příklady k procvičení: 9) Řešte soustavu rovnic graficky: [ {[ ]}] 10) Řešte soustavu rovnic graficky: [ {[ ]}]

Lineární rovnice a nerovnice 105 11) Řešte soustavu rovnic graficky: [NŘ] 12) Řešte soustavu rovnic graficky: [ {[ ] }]

106 Lineární rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic s více neznámými a soustavy rovnice lineární a kvadratické Základní pojmy U soustav více lineárních rovnic s více neznámými je zpravidla použití metody dosazovací i sčítací méně vhodné. Jako naprosto univerzální se jeví tzv. Gaussova eliminační metoda, která bude blíže vysvětlena v následujících příkladech u soustav tří a čtyř lineárních rovnic se třemi a čtyřmi neznámými. Naopak u soustavy rovnice lineární a kvadratické se dvěma neznámými je většinou nejvhodnější metoda dosazovací. Při řešení opět používáme tzv. ekvivalentní úpravy. Mezi základní ekvivalentní úpravy patří: - Přičtení stejného čísla (výrazu) k oběma stranám rovnice. - Odečtení stejného čísla (výrazu) od obou stran rovnice. - Vynásobení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. - Vydělení obou stran rovnice číslem (výrazem) různým od nuly. Při řešení soustav rovnic dále nově používáme tyto ekvivalentní úpravy: - Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice. - Přičtení některé rovnice soustavy k zbývající rovnici této soustavy. - Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této násobené rovnici. Řešením soustavy dvou rovnic se dvěma neznámými jsou uspořádané dvojice reálných čísel. Řešením soustavy tří rovnic se třemi neznámými jsou uspořádané trojice reálných čísel. Řešením soustavy čtyř rovnic se čtyřmi neznámými jsou uspořádané čtveřice reálných čísel.