8..6 Nekoečá geometrická řd Předpokldy: 80, 805 Máme lit ppíru. Roztřiheme ho dvě poloviy, jedu dáme hromádku druhou opět roztřiheme poloviy (tedy čtvrtiy původího litu). Jedu z těchto polovi opět položíme hromádku zbývjící opět tříheme půl. A tk budeme potupovt pořád dál. Jk velký ku ppíru bude hromádce po ekoečě moho roztřižeích? N hromádce je všeche ppír z původího litu, kromě kouku, který držíme v ruce. Velikot kouku v ruce (tedy toho, co ám chybí k tomu, by tole byl celý ppír) e velmi rychle zmešuje (blíží e k ule), le pořád ám v ruce ěco zbývá (tky ám zbývá ještě ekoečěkrát roztřihout zbyteček ppíru v ruce) tv po ekoečě moho roztřižeích e emůžeme dívt jko ěco dožitelého reálým tříháím, jde o tv, ke kterému ituce reálým tříháím pouze měřuje protože kouek ppíru v ruce měřuje k ule, měřuje velikot hromádky k původí velikoti litu po ekoečě moho roztřižeích bude tole opět celý ppír. Zjímvé oučtem ekoečě moho ppírků jme ezíkli ekoečě velkou ppírovou plochu, le pouze plochu o velikoti oučet ekoečě moho číel emuí být ekoečý má myl ho zkoumt Dodtek: Pokud e zeptáte třiháí ppírků, větši tudetů bude ihed ouhlit tím, že oučet bude koečý (problém je píš převědčit tudety, že ebude ic chybět). Pokud e zeptáte ještě před tím, bude počet těch, kteří u ekoečého oučtu předpokládjí ekoečý výledek. Jik fkt, že i oučet ekoečě moh číel může být koečý, je vyvětleím ěkterých porií, příkld Achille želvy. Vrátíme e ke tříháí ppírků. Př. : Njdi poloupoti, které udávjí: ) velikot ppírku, který vzikl -tým třihem b) oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu. Řešeí zpiuj do tbulky: velikot ppírku, který vzikl -tým třihem prví třih velikot ppírku, který vzikl -tým třihem oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu oučet ploch všech ppírků, které jou hromádce po -tém třihu
prví třih druhý třih + + třetí třih 7 + + + + 8 8 8 -tý třih + + +... + 8 + + +... + Ploch všech třihých ppírků e rová oučtu prvích čleů geometrické poloupoti q použijeme vzorec: q Zjímá á, co udělá oučet, když e blíží k ekoeču počítáme itu: 0 Výledek odpovídá šemu odhdu. Termiologie: zčátku jme měli poloupot: ; ;...; ;... ( ) ymbol + +... + +... zýváme ekoečá řd (ze čleů poloupoti ( ) ) pokud je poloupot ( ) geometrická kvocietem q zýváme ymbol + +... + +... ekoečá geometrická řd kvocietem q (áš předchozí obecě ejčtější přípd) + + + + ; ( ) poloupot ; + ; ;... vzikly čítáím prvích čleů poloupoti ( ) čátečých oučtů zýváme poloupot jejíž čley když jme hledli oučet ekoečé řdy, zjišťovli jme zd je poloupot ( ) čátečých oučtů kovergetí (má itu). Když je poloupot ( ) kovergetí pltí, říkáme že ekoečá řd + +... + +... má oučet pltí: + +... + +...
Když je poloupot ( ) + +... + +... emá oučet. Př. : Je dá poloupoti [ ] ( ) divergetí (emá itu), říkáme že ekoečá řd. Vypiš prvích om čleů poloupoti. Setv poloupot čátečých oučtů odpovídjící ekoečé řdy rozhodi zd má tto řd oučet. prvích om čleů: ;; ;; ;; ;;... čátečé oučty: + 0 + + + 0 poloupot čátečých oučtů vypdá tkto: ;0; ;0; ;0;... poloupot eutále ociluje mezi dvěm hodotmi (- 0) eí kovergetí ekoečá řd + + +... emá oučet. Výledek předchozího příkldu zmeá, že emůžeme pát z výrz + + +... zméko rovoti ějkým výledkem. Správých výledků by totiž bylo ekoečě moho (kvůli podivoti ekoeč). Ve všech áledujících výpočtech rozdělíme řdu + + +... dvojice tejé brvy ulovým oučtem zbytek, ze kterého zíkáme výledek : + + + +... 0 + + + + +... + + + + +... + + + + +... Při troše hy zíkáme jko výledek libovolé celé čílo závěr, že vůbec emá myl hledt oučet řdy + + +... je velice rozumý. Př. : Njdi chybu v áledující úvze: Nkrelíme i čtverec o délce try. D C D C D C D C A B A B A B A Potupě krelíme lomeé čáry L, L, L, L, (viz obrázek). Lomeé čáry e potupě blíží úhlopříčce čtverce. Velikot lomeých čr e rová délk úhlopříčky čtverce o trě je rov. B Tvrzeí v textu je zjevě eprávé, protože délk úhlopříčky je.
Důvod je zřejmý. Pokud bychom e délku úhlopříčky chtěli dívt jko oučet ekoečé řdy ložeé z ekoečého čleu poloupoti L, muel by délk úhlopříčky být itou délek lomeých čr. Tk tomu, le eí eboť rozdíl mezi délkou úhlopříčky délkmi lomeých čr e ezmešuje. Př. : Je dá geometrická poloupot ( ) hodoty kvocietu q bude mít ekoečá geometrická řd + +... + +... oučet vypočti ho. kvocietem q. Rozhodi, pro jké Pokud má mít ekoečá geometrická řd + +... + +... oučet, muí mít poloupot čátečých oučtů ( ) blížit čley původí poloupoti ( ) ( ) itu, tedy e její čley muí této hodotě potupě, které způobují rozdíly mezi čley poloupoti, e muí blížit ule (kdyby e eblížily ule, emohli bychom ečteím ekoečě moh čleů zíkt koečé čílo) muí pltit q <. Hledáme oučet: hledáme itu poloupoti ( ) je oučet prvích čleů geometrické poloupoti ( ) Součet řdy je itou poloupoti q pltí: q q. q 0 q q q q q Nekoečá geometrická řd...... + + + +, ve které 0 kovergetí, právě když pro její kvociet q pltí q <. Pro oučet kovergetí geometrické řdy pltí q Náledující příkld je oprvdu bouový pouze pro ty, kteří by e určováím oučtu ekoečých geometrických řd udili., je Př. 5: (BONUS) Je dá poloupot. Rozhodi, zd exituje oučet ( + ) ekoečé řdy + +... + +..., pokud exituje urči ho. Prvích ěkolik čleů poloupoti Hledáme čátečé oučty: ( + ) : ; ; ; ; ;... 6 0 0
+ 6 6 9 + 6 + 0 0 5 zdá e, že pltí:. Muíme i to ověřit, příkld mtemtickou idukcí: +. ověříme pro vyšlo +. předpokládáme pltot pro k, dokzujeme pltot pro k + k předpokld: k k + k + dokzujeme pltot pro k + (chceme zíkt vzorec k + ) : k + k k ( k + ) + k + k + k + k + k + + k + k + k + k + k + k + k + ( k ) ( )( ) + k + k + k + k + ( )( ) ( )( ) ( )( ) vzorec pltí tčí počítt + + + 0 Zkoumá řd má oučet je rove. Př. 6: Urči oučet ekoečých řd: ) + +... + +... 0 0 0 8 6 b) + + +... + 9 9 c) + + +... d) + 8 6 +... 9 7 8 ) + +... + +... pltí: 0 0 0, q řd koverguje q < 0 0 Dodíme do vzorce: 0 0 q 9 9 0 0 5
8 6 b) + + +... + pltí:, q řd koverguje q < 9 Dodíme do vzorce: q c) 9 + + +... pltí:, q oučet eexituje q d) 8 6 + +... pltí:, q řd koverguje q < 9 7 8 Dodíme do vzorce: q 5 5 Př. 7: Petáková: tr 7/cvičeí 70 b) c) d) tr 7/cvičeí 7 b) d) tr 7/cvičeí 7 b) c) e) i) Shrutí: Součet ekoečě moh číel emuí být ekoečé čílo. Součet tkových geometrických řd určíme dozeím do vzorce. q 6