Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Transkript

1 Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu součtu řd. Přehled čsto se vyskytujících it posloupostí + α 0+ e,788 ( + α ) α e k + ek, > 0! log 0, > 0 k 0, >! 0! e + 0 pro ( 0,), l 3 C pro, 0,577 (Eulerov kostt) pro >

2 Limity číselých posloupostí dokočeí Umíme už vypočítt řdu it posloupostí. Neštěstí le existují situce, kdy doposud zámé věty elze použít musíme použít růzé fity. Kdy elze využít dosvdí teorii:.. 0, b 0: +, b??? eurčitý výrz 0 0 b + : ( b )??? eurčitý výrz b??? eurčitý výrz 3. 0, b : Příkld: Vypočtěte ( + )( 3 ). b??? eurčitý výrz Nemůžeme užít větu o itě podílu, it čittele i jmeovtele je +, tkže máme co čiit s eurčitým výrzem (historický ázev). Musíme provést vhodou úprvu. Po rozásobeí jmeovtele vydělíme čittel i jmeovtel ejvyšší mociou, kterou ob polyomy obshují, tj. : ( + )( 3 ) Příkld: Vypočtěte čittele i jmeovtele zlomku 3 : Limit typu, úprv spočívá ve vyděleí

3 Zde bylo vhodou úprvou vyděleí čittele i jmeovtele zlomku dále ovšem Příkld: ( 7 4 ) 9 ( 7 4 ) ( ) ( ) ( ) Příkld: ( + ) ( + ) ( + 3 )!.! 3! ( + 3)( + ) ( + 3)( + ). Defiice: Nechť je dá posloupost { } echť k < k < k 3 < je posloupost přirozeých čísel. Potom posloupost { k } ( tj. k,,, ) zýváme posloupostí k k 3. vybrou z poslouposti { } Příkld: Volíme li k, dostáváme vybrou posloupost, 4, 6,, tj. vybrou posloupost obshující právě všechy čley poslouposti { } se sudými idexy. Vět: Nechť œ R. Potom kždá vybrá posloupost { k } z poslouposti { } má též itu. Příkld: Je + e. Volme + buď k. Pk k + proto též + e.

4 7 + Příkld: Vypočtěte 6 + Řešeí: Pišme ! Předstvme si chvilku, že v expoetu eí 9, le + 6. Pk bychom již uměli zdůvodit podobě jko v předchozím příkldu, že e. Abychom dosáhli tohoto vhodého tvru expoetu, přepíšeme (připomeeme si prvidlo r ( ) s r. s ). Nyí je, jk již řečeo, e Celkem tedy e e. Nyí je možé počítt obdobé příkldy v Trilu Někdy je zpotřebí využít toho, že e k ). (viz Přehled čsto se vyskytujících it posloupostí,. ř. vprvo,

5 obrázek). Nekoečá řd její součet Příkld: Určete hodotu ekoečého součtu / + /4 + /8 + /6 + /3 + (viz /8 /6 / obshu jedotkového čtverce /4 obshu Závěr: Zdá se, že má smysl zkoumt i ekoečé součty! Vypdá to, že pltí / + /4 + /8 + /6 + /3 +. Příkld: Achilles želv. Dohoí rychloohý Achilles desetkrát pomlejší želvu, která před ím má áskok 00 m ( pohybuje se po přímce)? Strořecký filosof Zeó z Eley (si př.. l.) tvrdil, že e: proásledující musí dříve dojít tm, kde byl prchjící, tkže pomlejší je vždy utě o ěco před.

6 Defiice: Nechť { } je číselá posloupost. Pk se výrz (symbol) zývá ekoečá řd. Čísl,,,, se zývjí čley ekoečé řdy. Posloupost { s }, kde s + + +, N, zýváme posloupostí částečých součtů ekoečé řdy s, N, se zývá -tý částečý součet řdy. Má li posloupost { s } itu (ť vlstí ebo evlstí), zýváme tuto itu součtem ekoečé řdy zčíme ji obvykle písmeem s. Píšeme s s. 0 Pokud je posloupost { s } kovergetí, tj. když existuje vlstí it s s R, 0 pk říkáme, že ekoečá řd je kovergetí. Je li posloupost { s } divergetí, říkáme logicky, že řd je divergetí. (To stává, jestliže s +, s, resp. s eexistuje). + Příkld: Řd ( ) + + je řd divergetí. Její posloupost částečých součtů je {, 0,, 0, } tto posloupost emá itu, čili číslo s eexistuje. + Říkáme též, že řd ( ) osciluje. Defiice: Nekoečá číselá řd tvru řd s kvocietem q.. q se zývá geometrická Podmíky, z ichž geometrická řd koverguje, jsou popsáy ásledově.

7 Vět: Jestliže je prví čle řdy. q rove ule, tj. 0, pk je tto ekoečá geometrická řd kovergetí pro kždé q R má součet s 0. Je li 0, pk řd. q koverguje, právě když je q <. Její součet je pk dá vzorcem s q. Důkz: Prví část věty je zřejmá. Jk víme ze SŠ, vzorec pro součet prvích čleů geometrické řdy je s. q q pro q. ) Pokud q <, tj. q (, ), pk s s 0. 0 q q q. b) Pokud q, je s. s je evlstí (pokud > 0, je tto it rov 0 +, pro < 0 je tto it rov ]. Řd je v kždém přípdě divergetí. c) Pokud je q >, je s 0. 0 q q opět evlstí. Je totiž 0 q q + odtud vidíme, že v tomto přípdě je geometrická řd divergetí. d) Pro q je posloupost částečých součtů { s } {, 0,, 0,, 0,... } vidět, že jde o posloupost oscilující. je e) Pro q < zřejmě eexistuje i 0 q q (oscilující posloupost.). ) Můžeme ověřit, že v úvodím obrázku ( vyplňováí jedotkového čtverce ) je skutečě / + /4 + /8 + /6 + /3 +. Řd též. Podle ) s. q je totiž geometrickou řdou s q ) Achilles želv: je třeb sečíst řdu /0 + geometrickou řdu s 00, q 0. Nyí s q , tedy

8 Jsou le i jié řdy ež je řd geometrická! Příkld: Jk Vše klkulčk spočte Eulerovu kosttu e,78 8? Zkuste sečíst ěkolik prvích čleů řdy + + / + /6 + /4 +.! 0 Vět: (utá podmík kovergece číselé řdy): Jestliže řd koverguje, pk pltí 0. 0 Důkz: Z toho, že koverguje, plye, že existuje vlstí it s s R. Ale 0 s Můžeme vyjádřit s s - pro všech >, tkže ( s ) s s s s s 0. 0 Proč se hovoří o uté (le e postčující) podmíce kovergece řdy? Vět má chrkter implikce p q. Povšiměme si, že obráceá implikce epltí. Příkld: Hrmoická řd je řdou s kldými čley. Odtud vidíme, že její posloupost částečých součtů { s } je ostře rostoucí (je totiž s + s + + pro všech N ). Studovt ovšem posloupost všech částečých součtů s + / + /3 + + / zřejmě edokážeme. Proto prostudujeme je vybrou posloupost částečých součtů { } s, tj. s, s, s 4, s 8, s 6,. Je s, s + /, s 4 s / + + > + / +./4 +. / 3 4 s 8 > +. / > +. / + 4. / /, s > + ( )./.

9 Vidíme, že vybrá posloupost částečých součtů roste de všechy meze. Je tedy s +. Hrmoická řd diverguje k +. Obecě pltí pro řdy s kldými (ezáporými) čley ěkolik důležitých vět. ( je řdou s kldými čley, jestliže > 0 pro všech N ). s Vět: ) Neí li posloupost částečých součtů { } číselé řdy s kldými čley shor omezeá, pk je řd divergetí (diverguje k + ). s b) Je li posloupost částečých součtů { } číselé řdy s kldými čley shor omezeá, pk je řd kovergetí. Defiice: Buďte, b dvě řdy s kldými čley tkové, že pro všech N (stčí od jistého 0 počíje) je b. Říkáme, že řd b je mjortou řdy opk, že řd je miortou řdy b. Vět (pricip porováváí řd): ) Jestliže k řdě s kldými čley existuje kovergetí mjort b, pk je řd kovergetí. b) Je li řd divergetí, je divergetí i kždá její mjort. Příkld: Lze ukázt, že řd koverguje má součet L. Euler r. 73). Koverguje tké řd? 3 π 6. (Součet této řdy určil

10 Obě řdy jsou řdmi s kldými čley pro všech N je. 3 K vyšetřové řdě jsme tedy šli kovergetí mjortu 3. To zmeá, že i řd je kovergetí. 3 Příkld: Řd je kovergetí, eboť má kovergetí mjortu. 3 + Příkld: Řd je kovergetí, eboť má kovergetí mjortu. Příkld: ( ) + je divergetí řd je totiž mjortou řdy. Kritéri kovergece Vět (d Alembertovo čili ití podílové): Jestliže řd či evlstí), pk + s kldými čley je tková, že existuje it λ (vlstí ) je li λ >, je řd divergetí, b) je li λ <, je řd kovergetí, c) je li λ, elze o kovergeci rozhodout. (Výhod d Alembertov kritéri eí třeb hledt mjortu). [Je le Rod d Alembert (77-783) mtemtik, filosof, ecyklopedist]. Příkld: koverguje, eboť! 0! +!, + ( ) +,!! ( + ) + 0 λ <.

11 Vět (Cuchyovo čili odmociové kritérium ití form): Jestliže je řd s kldými čley tková, že existuje λ ( může být i λ ), pk pro λ > je řd divergetí, λ < je řd kovergetí. Příkld: Rozhoděte o kovergeci řdy ) b). 3 + Řešeí: ) <, řd koverguje 3 b) (je totiž ). Řd je kovergetí. Příkldy určeí součtu řdy: TRIAL 4. 4