p = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:

Transkript

1 ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá permutce z prvků (jedá se tedy o skupiu přirozeých čísel, kde záleží pořdí) Počet všech permutcí z prvků je rový číslu! (čteme fktoriál,! = (-)) Iverze v permutci: k k se zývá iverze v permutci [ ] Dvojice i, j když součsě pltí i<j k i > k j Zápis permutcí: Příkld: K = ; určete počet iverzí p K p = 6 K k, k,, k, právě

2 Defiice determitu: Je dá čtvercová mtice -tého stupě A = ( ij ) Číslo ( ) = ( ) det K A k k K =, [ k k,, k ] p k kde pk je počet iverzí v permutci K, se zývá determit mtice A Pozámky: Determit mtice je defiová pouze v přípdě čtvercové mtice V součtu sčítáme přes všechy permutce -prvkové možiy, tedy součet obshuje! čleů Kždý čle v součtu obshuje právě jedoho čiitele z kždého řádku kždého sloupce mtice A Pro determit mtice A používáme i jiá ozčeí, příkld A Výpočet determitů: Determity druhého stupě křížové prvidlo: =

3 Determity třetího stupě Srrusovo prvidlo: k zápisu determitu přidáme zprv prví dv sloupce postupě vytváříme součiy v úhlopříčých směrech tk, že ve směru zlev hoře doprv dolů je počítáme kldě, ve směrech zprv hoře dolev dolů záporě = = + + Příkldy: Vypočtěte determity: 8 ) si x cos x b) cos x si x c) x x x + x + Vypočtěte determity: ) b) c) d) 8

4 Řešte rovice: x x x ) x =, b) x x = x x x c) x = 6 Determity vyšších stupňů: epltí žádé z předchozích prvidel! Rozvoj determitu podle řádku (sloupce) Ve vyjádřeí determitu vytkeme z příslušých výrzů prvky z prvího řádku: A ( ) ( ) + ( ) = = + + = + ( ) Determit j se zývá subdetermit, vzike z původího determitu vyecháím prvího řádku j-tého sloupce j A + = se zývá lgebrický doplěk prvku j Výrz j ( ) j

5 Pltí tedy: + A = = ( ) + ( ) + ( ) + + Tkové vyjádřeí determitu A zýváme rozvoj determitu podle prvího řádku Obecě pltí: Rozvoj determitu podle i-tého řádku: = r= i+ r ( ) ir ir det A, kde ir je subdetermit, který vzike z determitu mtice A vyecháím i-tého řádku r-tého sloupce Přitom postupě procházíme i-tý řádek (r =,, ) Rozvoj determitu podle j-tého sloupce: = r= r+ j ( ) rj rj det A, kde rj je subdetermit, který vzike z determitu mtice A vyecháím r-tého řádku j-tého sloupce Přitom postupě procházíme j-tý sloupec (r =,, ) Příkld: Vypočtěte determit:

6 Úprvy determitu: Úprvy, které yí popíšeme, můžeme provádět jk pro řádky, tk pro sloupce Řádky i sloupce zýváme společým ázvem řdy determitu Řdové úprvy determitu: ) Násobíme-li libovolou řdu determitu číslem c, potom se číslem c ásobí celý determit (důsledek - společý čiitel jedé řdy můžeme vytkout před determit) b) Vyměíme-li v determitu dvě vzájem rovoběžé řdy, pk determit změí zméko (důsledek jsou-li v determitu dvě rovoběžé řdy stejé, pk je determit rove ule) c) Přičteme-li k ěkteré řdě determitu libovolou lieárí kombici řd s í rovoběžých, pk se hodot determitu ezměí Determit trojúhelíkové mtice: Je-li mtice A trojúhelíková, pk pltí det A = Příkldy: Vypočtěte determity: ), b) c)

7 Vypočtěte determity: ) 9 8, b) 8, c) 6 9, d) (tzv Vdermodův determit)