Řešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,

Transkript

1 Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti Řešeí:Ozčíme : +, b : Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu zkždézezávorek: Odtudhedvidíme,že Použilijsmefktu,že 0pro >0větuoritmeticeittjpředevšímtoho,že v příslušých součtech součiech evziká žádý edefiový výrz, spojitost druhé odmociy Heieovuvěturozmysletetesipečlivě!Vzthříká,chcete-li,že se provelká chová jko Včittelijmeovteli b lzevevšechpřípdechumocěípoužítbiomickouvětu,vejmeovteli je všk tké možé pro zpestřeí použít vzorce pro rozdíl 0-tých moci: b k 50 k 4 50 k k j0 α j j k 00 k 00 k j0 α j j Zde α j jsouějkáceláčíslmožáiěkterárováulevčitteliijmeovteliopětvidíme čley,jejichžchováílzeplikovtzlost,že 0pro >0Větoritmeticeit ámtedydá b 00 0 Celkem tedy máme, opět podle věty o ritmetice it, b b Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: úprv 4body úprv b 6bodů dopočítáí5bodů Bodové srážky z esprává ebo zpomeutá odůvoděí: uvedeí,že 0pro >0 bod spojitostodmoci bod ritmetikit bod Bodová srážk z um chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body Pozor,ěkteřízváspoužilivpředchozíchpísemkáchvtétositucizvláštízápis,cožjeesmysl mimojiéiproto,žehodotityemůžezáviset

2 Příkld : Spočtěte itu fukce 3 5bodů Řešeí:Limitjetypu 0 0,lzetedypoužítl Hospitlovoprvidloopětskovecí,že l H zmeá rováse,pokudeistujeitvprvo : 3 l H log 3 log3 3 log 3 log3 3 :f log 3 log3 log 3 log3 } {{ } :g Zdelogjepřirozeýlogritmus,tedylogritmusozákldu efukce gjespojitávbodě 0, proto ihed dosteme log 3 0 log3 g0 0 log 3 0 log3 Výrz,tvořící f,jetypu 0 0,lzetedyopětpříkldpoužítl Hospitlovoprvidlo: f l H log 3 log3 log log3 Celkově tedy máme podle věty o ritmetice it 3 log log3 log log3 Pozámk: Nepřízivci l Hospitlov prvidl mohou oceit i jiou možost jk dospět k výsledkuúprvou,vykráceím,rozpisemobecémociyepoeciálulogritmusdosteme: e log log3 log3 log3 log e log e log log log elog3 log3 log3 PodlevětyoitěsložeéfukceVOLSFdostemedálepro cebo c3: e log c log c VOLSF e y y 0 y e log c, log c VOLSF e y y 0 y s využitím zákldí ity pro epoeciálu V obou přípdech použití věty o itě složeé fukce ebývjívitřífukcey log c,resp y log cprstecovémokolíbodu 0ití hodoty y0,tedyvýpočetjevpořádkucelkovětedymámepodlevětyoritmeticeit log log3 3 log log3 log log3, Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: l Hospitlčíslo5bodů l Hospitlčíslo5bodů dopočet 5bodů Bodové srážky z esprává ebo zpomeutá odůvoděí: ověřeí,žejdeol Hospitltypu 0 0 bod itvboděspojitostibod Bodová srážk z um chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body

3 Příkld 3: Vyšetřete kovergeci řdy + si 3 Řešeí: Použijeme ití srovávcí kritérium, čley vyšetřové řdy budeme srovávt s 4/3 Čteářijetkvtétochvílidámožostpřijítto,pročzrovttomoci jetprvá Pokudseechátepoddt,tkvězte,žeprovelká se + ++ chovájko ztímcostáleprovelká se si 3 chovájko 3 Nyí je potřeb tyto še odhdy mtemticky přesě odůvodit Počítejme tedy, ezpomeňme i odůvoděí výpočtu: + si 3 4/3 + + } {{ } :A si 3 3 :B si ++, Protože 0,dostlijsme A Použilijsmevětuoritmeticeit, HeieovuvětuspojitostodmociyProposloupost B pltíprůběhvýsledektohotovýpočtu jepřesěto,costojíz odhdem v: si 3 3 si si Rovostv plyezezákldíity Heieovy věty použité posloupost { 3 },kterásestávázeulovýchčleůkovergujek0tímjeodůvoděvýpočet3 Protožeitv3jevlstíeulová,protožeoběsrovávéřdyjsouřdyskldými čley,kovergujeámivyšetřovářdprávětehdy,kdyžkovergujeřd Ttořd 4/3 vškkovergujepodlevěty,žeřd jekovergetíprávětehdy,když α > α Závěr: ámi vyšetřová řd tedy koverguje Bodováí při použití tohoto postupu výpočtu: odhdsjkouřdousrovt5body číselývýpočetityv36bodů závěr,žeřdkoverguje 4bodů Bodové srážky z esprává ebo zpomeutá odůvoděí: uvedeí,že 0 bod ritmetikit bod Heiehovět bod itsložeéfukce bod itísrováí:řdysezáporýmičley,itvlstíeulovábod uvedeí,že α jekovergetíprávětehdy,když α >bod Bodová srážk z um chybu, která eměí chrkter výpočtu, je podle závžosti - body

4 Příkld 4: Vyšetřete průběh fukce defiové předpisem f Řešeí: Defiičíobor:třetíodmocijedefiováprovšechreáláčísl,tedy DfR fjespojitácelém Dfjesoučtem,součiemsložeímspojitýchfukcí,eísudá, lichá,periodickápltí,že f <0právěkdyž, 3, f >0právěkdyž 3,,, f0právěkdyž { 3, } Limity v krjích bodech defiičího oboru: ± ± ± Protožeje fspojitá R,dávávětobýváímezihodot,žeoborhodot fjecelé R, HfRLimitvýšezároveňříká,že : ± f/protožeitvýrzu f v± je ± ± ± , + jepřímk y symptotoujkv+ tkv Prvíderivce:pro R \ { 3, }je f Protožefukce fjespojitámimojiéivbodech 3,protožeížeuvedeéity eistují, pltí: f ± 3 3± f +, tedyeistuje f 3+,eeistuje f f ± ± f ±, Fukce f tedyroste, 7 3,,klesá 7 3, Vbodě 7 3 jelokálí mimumhodoty f / , f 7 3 0,vbodě jelokálí miimum hodoty 0 Druháderivce:pro R \ { 3, }dosteme [ ] f <0 Fukce je tedy koveí itervlu, 3, kokáví itervlech 3,, + Fukce emá ifleí bod Zdetkédálepoužívámeprozjedodušeízápisusymbol 3 místo 3

5 Grf: Bodováí při použití tohoto postupu při výpočtu: defiičíoborbod spojitost bod oborhodotbod ityvobouekoečechbod symptotbod výpočetprvíderivce body jedostréderivceityderivcíbod mootoie,lokálíetrémy body výpočetdruhéderivce body koveit,kokávitbod grf body