24 Parciální diferenciální rovnice

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 6 24 Parciální diferenciální rovnice 24. Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla). Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x) u t div(k(x, t, u) u) = f(x, t) () nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla. Zde c(x) má význam (bodové) měrné tepelné kapacity, ρ(x) je bodová hustota látky, k(x, t, u) je koeficient tepelné vodivosti a f(x, t) vyjadřuje hustotu tepelných zdrojů. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu teploty v čase t a bodě x. Poznámka. Zjednodušený model je charakterizovaný volbami c = ρ =, k = konst. = a 2 >. Potom má rovnice () tvar u t a2 u = f(x, t). (2) Rovnici () resp. (2) často doplňujeme tzv. počáteční podmínkou kde g představuje rozložení počáteční teploty v čase t =. Věta 24. (Fundamentální řešení operátoru vedení tepla). Bud operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek) u(x,) = g (x), x R m, (3) L(u) = u t a2 u, a >, (4) G(x, t) := (4πa 2 t) m 2 e x 2 4a 2 t, x R m, t >, (5) je fundamentálním řešením operátoru L. Fundamentální řešení operátoru vedení tepla. Věta 24.2 (Řešení RVT). G(x, t) C (R m (, + )), lim t + G(, t) = +, lim t + G(x, t) = pro všechna x. R m G(x, t) dx = pro všechna t >.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 7 Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (, T), pak u(x, t) := g(y)g(x y, t) dy (6) R m t + f(y, τ)g(x y, t τ) dy dτ, R m řeší na R m (, T) rovnici (2), a navíc splňuje počáteční podmínku lim (x,t) (x,+) u(x, t) = g(x ) pro všechna x R m. Poznámka. Úloze, kdy řešíme nějakou evoluční PDR na celém prostoru a pro t >, s počáteční podmínkou (nebo počátečními podmínkami) pro t =, říkáme Cauchyova úloha. Poznámka. S využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako u(x, t) = g(y)e x y 2 (4πa 2 t) m 4a 2 t dy (7) 2 R m t + f(y, τ)e x y 2 (4πa 2 ) m 2 (t τ) m 4a 2 (t τ) dy dτ, 2 R m případně s využitím operátoru konvoluce jako u(x, t) = g(x) (x) G(x, t) + (f(x, t)y (t)) (x,t) (G(x, t)y (t)), kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátoru konvoluce vyjadřuje, podle kterých proměnných konvoluce probíhá. Poznámka. V jednodimenzionálním případě se často řeší speciální úlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také s počáteční podmínkou pro t = ). Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u(, t) = pro t > (tzv. Dirichletova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme liše na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky lichosti g podmínku u(, t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u x (, t) = pro t > (tzv. Neumannova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky sudosti g podmínku u x (, t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT na omezeném intervalu a, b s počáteční podmínkou g, zadanou pro x a, b, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu jako výše, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíříme periodicky na celé R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. K vyřešení této úlohy využijeme následující tvrzení. Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyči). Necht g(x) = n Z b ne 2π p inx je p-periodická, po částech hladká omezená funkce na R. Potom funkce u(x, t) := n Z b n e 4π2 a 2 n 2t e 2π p inx je řešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s počáteční podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá) vzhledem k bodu a R, je u(a, t) = pro t > (resp. u x (a, t) = pro t > ).

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 8 Cvičení. Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y (t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte: pro m = 2 je lim t + u(x, t) = +, prostor R 2 se působením vytrvalého bodového zdroje tepla "přehřívá"; pro m > 2 je lim t + u(x, t) = (m 2)κ m x m 2, v prostoru R m pro m > 2 je dosaženo rovnovážného rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímu řešení Laplaceova operátoru v R m. 24.2 Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice). Parciální diferenciální rovnici 2 u c 2 t 2 u = f(x, t), x Rm, t >, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > má význam rychlosti šíření vlny a f(x, t) vyjadřuje hustotu vnějších sil. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu výchylky vlny v čase t a bodě x. Poznámka. Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: u(x,) = g (x), x R m, (9) a u t (x,) = g (x), x R m. () Zde g má význam hodnoty počáteční výchylky a g má význam rychlosti počáteční výchylky. Poznámka. Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), () lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) () řeší funkce u = u + u + u 2, kde u resp. u resp. u 2 jsou řešení (8) () postupně s daty f =, g = resp. f =, g = resp. g =, g =. Poznámka. Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u = E (x) g, u = E (x) g, u 2 = E 2 (x,t) f Y (t), kde Y (t) je Heavisideova funkce, a E (x, t), E (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê (ξ, t) = cos(2πc ξ t) = d dtê(ξ, t), Ê 2 (ξ, t) = c 2sin(2πc ξ t) Y (t) = c 2 Ê(ξ, t) Y (t), 2πc ξ přičemž symbol značí Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x. sin(2πc ξ t) Věta 24.4. Bud Ê(ξ, t) = 2πc ξ a E(x, t) bud její vzor ve Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d ( ) E (x) g + E (x) g + c 2 ( E Y (t) dt (x,t) f Y (t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Pozn. Mlčky předpokládáme, že funkce (případně distribuce) g, g, f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobře definovány. Funkci (resp. obecně distribuci) E nazýváme fundamentálním řešením vlnového operátoru.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 9 Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R, d Alembertův vzorec). Bud te g C 2 (R), g C (R), f C (R (, T)). Potom u(x, t) := g (x + ct) + g (x ct) + 2 2c + c 2 t x+c(t τ) x c(t τ) f(y, τ) dy dτ x+ct x ct g (y) dy je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ). Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí m = 2 = E(x, t) = 2πc (c 2 t 2 x 2 ) + m = 3 = E(x, t) = 4πc 2 t ν ct kde symbolem (...) + rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný", a ν ct je plošná distribuce na sféře s poloměrem ct, působící přes proměnnou x R m. Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ). Bud te g C 3 (R 2 ), g C 2 (R 2 ), f C (R 2 (, T)). Potom u(x, t) := d g (x y) 2πc dt y ct c 2 t 2 y dy 2 + g (x y) 2πc y ct c 2 t 2 y dy 2 + c t f(x y, t τ) dy dτ 2π c 2 τ 2 y 2 y cτ je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 2, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ). Bud te g C 3 (R 3 ), g C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (, T)). Potom ( g u(x, t) := 4πct S ct() ct + g ) (x y)ds(y) n + 4πc 2 g (x y)ds(y) t + 4π S ct() ct S r() f ( x y, t r ) c ds(y) dr r je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 3, které splňuje počáteční podmínky (9), () s funkcemi g, g. 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice. Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, ()

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 2 kde f je daná funkce. (Je-li f =, mluvíme o () jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici () často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u n = h na Ω), nebo smíšeného typu, kdy je na části Ω zadána Dirichletova a na části Neumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme o Dirichletově, Neumannově nebo smíšené úloze. Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ). řešení Laplaceova operátoru, tedy Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální U(x) = (m 2)κ m x m 2, m > 2, U(x) = 2π ln x, m = 2. Potom funkce u := U f řeší rovnici u = f v prostoru S (R m ) (vždy, když je daná konvoluce dobře definovaná). Řešení rovnice u = f v prostoru S (R m ) je určeno jednoznačně až na harmonický polynom, tedy polynom P splňující rovnici P =. Věta 24. (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω). Řešení rovnice u = na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud. Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo 2. Ω R 2 je (obecně i neomezená) oblast a předpokládáme omezenost řešení u, nebo 3. Ω R m, m 2 je neomezená oblast a předpokládáme, že existuje koule B R () a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B R (). Poznámka. Omezenost řešení ve druhém bodě je podstatná. Například funkce u(x, y) = y i u(x, y) = řeší Laplaceovu rovnici na horní polorovině s okrajovou podmínkou u(x, ) =. Bod tři je vyjádřením skutečnosti, že řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezené oblasti je jednoznačné ve třídě funkcí, které "v nekonečnu klesají stejně rychle jako elementární řešení". Věta 24. (Dirichletova úloha na horní polorovině). Bud u (x, y) = π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u (, y) = y π g(t) (x t) 2 dt. (2) + y2 Potom funkce u(x, y) definovaná předpisem (2) je omezená, řeší rovnici u = v horní polorovině {(x, y) R 2 ; y > }, a přitom splňuje okrajovou podmínku u(x,) = g(x) ve smyslu limity ve všech bodech spojitosti funkce g. Příklad. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na horní polorovině s podmínkou u(x, ) = g(x) = χ a,b (x). Ukažte, že řešením je funkce u(x, y) = π ( arctg x b arctg x a ). y y

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 2 Řešení Příkladu Věta 24.2 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( r R) n e inϕ, (3) r (, R), ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Řešení Dirichletovy úlohy na kruhu, u(r,α) = 4 n= rn ( ) n cos(3nα) n 2 +4. Věta 24.3 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sint]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := π R 2 r 2 g(t) 2π π R 2 dt, (4) 2rR cos(ϕ t) + r2 r (, R), ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 22 Věta 24.4 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( R r ) n e inϕ, (5) r > R, ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Věta 24.5 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sint]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 2π π π g(t) r 2 R 2 R 2 dt, (6) 2rR cos(ϕ t) + r2 r > R, ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (3) a (5), případně integrály (4) a (6), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná. Věta 24.6 (Liouville). Bud u C 2 (R m ), u = v R m, která je alespoň jednostranně omezená v R m. Potom u je konstantní v R m. Z Liouvilleovy věty tedy plyne, že v bodech kružnice bud nemůže být u třídy C 2 nebo v nich nemůže splňovat Laplaceovu rovnici. Věta 24.7 (o řešení Dirichletovy úlohy na kouli). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = g(y) R2 x 2 ds(y), x < R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (B R ()) C(B R ()), u = v B R () a u = g na S R (). Věta 24.8 (o řešení Dirichletovy úlohy vně koule). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = g(y) x 2 R 2 ds(y), x > R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (R m \ B R ()) C(R m \ B R ()), u = v R m \ B R () a u = g na S R (). Navíc existuje koule B() a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B(). Věta 24.9 (o průměru). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom pro všechna x Ω a všechny koule B R (x) Ω platí u(x) = u(y)ds(y) = u(y)dy. S R () S R () B R () B R () Věta 24.2 (princip maxima a minima). Bud Ω R m omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí, u C 2 (Ω) C(Ω), u = v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici Ω. Věta 24.2 (o regularitě). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom u C (Ω).

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 23 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x Rm, t >, (7) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = ("bez vnějších sil"), u t + a(x, t) u =, x Rm, t >. (8) Rovnici (7) resp. (8) doplňujeme o počáteční podmínku tvaru u(x,) = g(x), x R m. (9) Řešení úlohy (8) (9) (s f = ) lze hledat tzv. metodou charakteristik. Definice. Rovnici (8) přiřadíme systém obyčejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (8)) pro neznámé funkce t = t(s), x j = x j (s), j =,...,m, d t(s) =, ds (2) d ds x ( ) j(s) = a j x(s), t(s)), j =,...,m, (2) s (α, β) R, kde a = (a,...,a m ) jsou funkce z (8). Každé klasické řešení (x, t) : (α, β) R m (, ) systému rovnic (2) (2) nazvu charakteristikou (charakteristickou křivkou) rovnice (8). Poznámka. Charakteristika je tedy křivka v R m (, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) R m (, ). Vzhledem k tomu, že systém (2) (2) je systém se spojitými pravými stranami a j, existuje podle teorie ODR řešení tohoto systému alespoň lokálně v okolí každé počáteční podmínky typu t(s) = t, x j (s) = x j, (x,t) R m (, ), (22) kde s (α, β) je hodnota parametru, odpovídající počáteční podmínce. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že s = (α, β). Studujme nyní chování funkce u C (R m (, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (8). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: d m u(x, t) = ds = j= u x j (x, t) d ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j= Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým řešením rovnice (8) v bodech, které leží na charakteristice. Odtud plyne následující lemma. Lemma 24.22. Uvažujme funkci u C (Ω T ), kde Ω T (, T) R m je neprázdná oblast.. Bud u konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)), s (α, β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (8). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (8) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 24 2. Necht naopak u je klasické řešení rovnice (8) v oblasti Ω T. Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti Ω T. Nepřesně, ale poněkud výstižněji lze uvedené lemma vyjádřit sloganem: u řeší (8) u je konstantní na charakteristikách. Příklad 2. Řešte rovnici u t + x u x = s obecnou počáteční podmínkou u, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x, t >, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek. Na základě toho lze explicite vyjádřit řešení uvedené rovnice pro data u C (R), a sice u(x, t) = u (xe t ). Pro u (x) = e x2, x R, dostaneme u(x, t) = exp( x 2 e 2t ), x R, t, viz obrázek. 5 4 3 y 2 4 2 2 4 x Charakteristiky rovnice u t + xu x =..8.6.4.2 3 2 4 2 2 t x 4 Funkce u(x,t) = e x2 e 2t pro x 5,5, t,3. 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 25 Příklad 3. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami (pro g C(, a ), g() = g(a) = ): Postup při řešení. u(x,) = g(x), x, a, u(x, b) =, x, a, u(, y) =, y, b, u(a, y) =, y, b. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y (y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X, Y. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y (y)+x(x) Y (y) =, odkud X X = Y Y = λ = const. (jde o rovnost funkce proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.) Má-li být u(, y) = X() Y (y) =, y, b, musí být X() =, podobně X(a) =. Okrajová úloha pro X(x) tvaru X = λx na (, a), X() =, X(a) =, má nenulové řešení jen pro λ = λ n = ( nπ a )2, potom X n (x) = sin( nπ a x) (až na násobek libovolnou konstantou). Podmínku u(x, b) = X n (x) Y (b) =, x, a lze splnit volbou Y (b) =, podmínku u(x,) = X n (x) Y () = g(x), x, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (, b) jen s podmínkou Y n (b) = (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení. Dostaneme Y n (y) = 2e nπ a b sinh( nπ a (y b)) (až na násobek libovolnou konstantou). Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (s funkcí g), hledáme u ve tvaru s neznámými konstantami c n. u(x, y) = c n X n (x)y n (y) n= Víme, že g() = g(a) =, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x, a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n= γ nx n (x). Pak z okrajové podmínky u(x,) = g(x), tedy n= c nx n (x)y n () = n= γ nx n (x) dostaneme γ n = c n Y n (), odkud spočteme dosud neznámé kostanty c n. Proved te celý výpočet a ukažte, že kde u(x, y) = sinh( nπ a (b y)) a n sinh( nπ a b) n= a n = 2 a a ( nπ ) g(x) sin a x dx. ( nπ ) sin a x, Příklad 4. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g (x), x, a, u(, y) = g 3 (y), y, b, u(x, b) = g 2 (x), x, a, u(a, y) = g 4 (y), y, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j =, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech a jsou nulové v krajních bodech těchto intervalů.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 26 Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u = u + u 2 + u 3 + u 4, kde u j (x, y) = na obdélníku (, a) (, b) pro všechna j =, 2, 3, 4, a přitom u j = g j na odpovídající části hranice obdélníku a na ostatních částech hranice je u j nulová. Tímto stojíme před čtyřmi úlohami předešlého typu, které vyřešíme jako v předešlém příkladě. Příklad 5. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g (x), x, a, u(, y) = g 3 (y), y, b, u(x, b) = g 2 (x), x, a, u(a, y) = g 4 (y), y, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j =, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech, mají v rozích obdélníka obecně nenulové hodnoty, přičemž ovšem okrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka, tedy g () = g 3 (), g (a) = g 4 (), g 2 () = g 3 (b), g 2 (a) = g 4 (b). Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = v(x, y) + c(x, y), kde c(x, y) = c + c x + c 2 y + c 3 xy. Potom c(x, y) = na obdélníku (, a) (, b) a vhodnou volbou konstant c, c 2, c 3, c 4 lze dosáhnout toho, aby funkce c(x, y) měla v rozích obdélníka stejné hodnoty jako funkce g j. Tím jsme úlohu převedli na úlohu pro neznámou funkci v(x, y), splňující v(x, y) = na obdélníku (, a) (, b) s novou okrajovou podmínkou na všech čtyřech stanách obdélníka, která má však v rozích nulové hodnoty, tj. na úlohu předešlého typu. Příklad 6. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici u(x, y) = f(x, y) na obdélníku (, a) (, b), s nulovými okrajovými podmínkami. Přitom předpokládáme, že funkci f lze (alespoň pro skoro všechna y (, b)) rozvinout do sinové Fourierovy řady vzhledem k proměnné x, tj. f(x, y) = n= ( nπ ) f n (y)sin a x, kde tedy f n (y) = 2 a a ( nπ ) f(x, y)sin a x dx. Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = n= c n(y)sin ( nπ a x). Dosazením u a f do původní rovnice a porovnáním koeficientů ve Fourierových řadách dostaneme rovnice pro neznámé funkce c n ( nπ c n(y) a a okrajové podmínky, které mají splňovat: ) 2 cn (y) = f n (y) c n () = c n (b) =. Dořešte úlohu.

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 27 Poznámka. Z uvedených příkladů je jasné, že libovolnou Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na obdélníku, s pravou stranou f a spojitou okrajovou podmínkou g, lze řešit rozdělením na šest úloh: () úlohu s pravou stranou a nulovou okrajovou podmínkou, (2) úlohu s nulovou pravou stranou a s okrajovou podmínkou, která vynuluje hodnoty původní o.p. v rozích obdélníka, (3) čtyři úlohy s nulovou pravou stranou a okrajovou podmínkou nulovou na třech stranách obdélníka. Poznámka. Podobně (rozdělením proměnných, nalezením rovnic pro takto separované funkce a jejich opětovným spojením přes nekonečnou řadu) lze řešit i úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici na kvádru, úlohu pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici na časoprostorovém obdélníku nebo kvádru, atd. Tyto úlohy zde však z časo-prostorových důvodů už nebudeme podrobněji rozebírat a tuto dlouhou kapitolu zde ukončíme.