24. Parciální diferenciální rovnice

Transkript

1 24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12

2 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x) u t div(k(x, t, u) u) = f(x, t) (1) nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla. Zde c(x) má význam (bodové) měrné tepelné kapacity, ρ(x) je bodová hustota látky, k(x, t, u) je koeficient tepelné vodivosti a f(x, t) vyjadřuje hustotu tepelných zdrojů. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu teploty v čase t a bodě x.

3 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka Zjednodušený model je charakterizovaný volbami c = ρ = 1, k = konst. = a 2 > 0. Potom má rovnice (1) tvar u t a2 u = f(x, t). (2) Rovnici (1) resp. (2) často doplňujeme tzv. počáteční podmínkou u(x, 0) = g 0 (x), x R m, (3) kde g 0 představuje rozložení počáteční teploty v čase t = 0.

4 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.1 (Fundamentální řešení operátoru vedení tepla) Bud L(u) = u t a2 u, a > 0, (4) operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek) G(x, t) := 1 (4πa 2 t) m 2 e x 2 4a 2 t, x R m, t > 0, (5) je fundamentálním řešením operátoru L.

5 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Fundamentální řešení operátoru vedení tepla.

6 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )),

7 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +,

8 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +, lim t 0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 0.

9 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +, lim t 0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 0. R m G(x, t) dx = 1 pro všechna t > 0.

10 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +, lim t 0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 0. R m G(x, t) dx = 1 pro všechna t > 0. Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (0, T), pak

11 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +, lim t 0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 0. G(x, t) dx = 1 pro všechna t > 0. R m Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (0, T), pak u(x, t) := g(y)g(x y, t) dy (6) R m t + f(y, τ)g(x y, t τ) dy dτ, 0 R m řeší na R m (0, T) rovnici (2),

12 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Věta 24.2 (Řešení RVT) G(x, t) C (R m (0, + )), lim t 0+ G(0, t) = +, lim t 0+ G(x, t) = 0 pro všechna x 0. G(x, t) dx = 1 pro všechna t > 0. R m Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (0, T), pak u(x, t) := g(y)g(x y, t) dy (6) R m t + f(y, τ)g(x y, t τ) dy dτ, 0 R m řeší na R m (0, T) rovnici (2), a navíc splňuje počáteční podmínku lim (x,t) (x0,0+) u(x, t) = g(x 0 ) pro všechna x 0 R m.

13 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka Úloze, kdy řešíme nějakou evoluční PDR na celém prostoru a pro t > 0, s počáteční podmínkou (nebo počátečními podmínkami) pro t = 0, říkáme Cauchyova úloha.

14 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka S využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako 1 u(x, t) = g(y)e x y 2 (4πa 2 t) m 4a 2 t dy (7) 2 R m 1 t 1 + f(y, τ)e x y 2 (4πa 2 ) m 2 (t τ) m 4a 2 (t τ) dy dτ, 2 R m 0 případně s využitím operátoru konvoluce jako u(x, t) = g(x) (x) G(x, t) + (f(x, t)y(t)) (x,t) (G(x, t)y(t)), kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátoru konvoluce vyjadřuje, podle kterých proměnných konvoluce probíhá.

15 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka V jednodimenzionálním případě se často řeší speciální úlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také s počáteční podmínkou pro t = 0). Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovou podmínkou u(0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Dirichletova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme liše na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky lichosti g podmínku u(0, t) = 0 pro t > 0.

16 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x > 0, a okrajovou podmínkou u (0, t) = 0 pro t > 0 (tzv. Neumannova x okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky sudosti g podmínku u (0, t) = 0 pro x t > 0.

17 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka Úlohu pro RVT na omezeném intervalu a, b s počáteční podmínkou g, zadanou pro x a, b, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu jako výše, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíříme periodicky na celé R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou.

18 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Poznámka Úlohu pro RVT na omezeném intervalu a, b s počáteční podmínkou g, zadanou pro x a, b, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu jako výše, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíříme periodicky na celé R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. K vyřešení této úlohy využijeme následující tvrzení.

19 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyči) Necht g(x) = n Z b ne 2π p inx je p-periodická, po částech hladká omezená funkce na R. Potom funkce u(x, t) := n Z b n e 4π2 a 2 n 2t e 2π p inx je řešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s počáteční podmínkou g.

20 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyči) Necht g(x) = n Z b ne 2π p inx je p-periodická, po částech hladká omezená funkce na R. Potom funkce u(x, t) := n Z b n e 4π2 a 2 n 2t e 2π p inx je řešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s počáteční podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá) vzhledem k bodu a R, je u(a, t) = 0 pro t > 0 (resp. u x (a, t) = 0 pro t > 0).

21 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Cvičení Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y(t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla).

22 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Cvičení Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y(t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte:

23 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Cvičení Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y(t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte: pro m = 2 je lim t + u(x, t) = +, prostor R 2 se působením vytrvalého bodového zdroje tepla "přehřívá";

24 24.1 Rovnice vedení tepla (pokrač.) Cvičení Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y(t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte: pro m = 2 je lim t + u(x, t) = +, prostor R 2 se působením vytrvalého bodového zdroje tepla "přehřívá"; pro m > 2 je lim t + u(x, t) = 1 (m 2)κ m x m 2, v prostoru R m pro m > 2 je dosaženo rovnovážného rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímu řešení Laplaceova operátoru v R m.

25 24.2 Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice) Parciální diferenciální rovnici 1 2 u c 2 t u = f(x, t), x 2 Rm, t > 0, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí.

26 24.2 Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice) Parciální diferenciální rovnici 1 2 u c 2 t u = f(x, t), x 2 Rm, t > 0, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > 0 má význam rychlosti šíření vlny a f(x, t) vyjadřuje hustotu vnějších sil.

27 24.2 Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice) Parciální diferenciální rovnici 1 2 u c 2 t u = f(x, t), x 2 Rm, t > 0, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > 0 má význam rychlosti šíření vlny a f(x, t) vyjadřuje hustotu vnějších sil. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu výchylky vlny v čase t a bodě x.

28 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: a u(x, 0) = g 0 (x), x R m, (9)

29 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: u(x, 0) = g 0 (x), x R m, (9) a u t (x, 0) = g 1(x), x R m. (10)

30 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: u(x, 0) = g 0 (x), x R m, (9) a u t (x, 0) = g 1(x), x R m. (10) Zde g 0 má význam hodnoty počáteční výchylky a g 1 má význam rychlosti počáteční výchylky.

31 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení:

32 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (10) řeší funkce u = u 0 + u 1 + u 2,

33 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (10) řeší funkce u = u 0 + u 1 + u 2, kde u 0 resp. u 1 resp. u 2 jsou řešení (8) (10) postupně s daty

34 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (10) řeší funkce u = u 0 + u 1 + u 2, kde u 0 resp. u 1 resp. u 2 jsou řešení (8) (10) postupně s daty f = 0, g 1 = 0 resp.

35 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (10) řeší funkce u = u 0 + u 1 + u 2, kde u 0 resp. u 1 resp. u 2 jsou řešení (8) (10) postupně s daty f = 0, g 1 = 0 resp. f = 0, g 0 = 0 resp.

36 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (10) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (10) řeší funkce u = u 0 + u 1 + u 2, kde u 0 resp. u 1 resp. u 2 jsou řešení (8) (10) postupně s daty f = 0, g 1 = 0 resp. f = 0, g 0 = 0 resp. g 0 = 0, g 1 = 0.

37 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0,

38 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1,

39 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t),

40 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a

41 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a E 0 (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují

42 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a E 0 (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê1(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ

43 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a E 0 (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê1(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê 0 (ξ, t) = cos(2πc ξ t) = d Ê(ξ, t), dt

44 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a E 0 (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê1(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê 0 (ξ, t) = cos(2πc ξ t) = d Ê(ξ, t), dt Ê 2 (ξ, t) = c 2 sin(2πc ξ t) Y(t) = c 2 Ê(ξ, t) Y(t), 2πc ξ

45 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Poznámka Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u 0 = E 0 (x) g 0, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y(t), kde Y(t) je Heavisideova funkce, a E 0 (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê1(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê 0 (ξ, t) = cos(2πc ξ t) = d Ê(ξ, t), dt Ê 2 (ξ, t) = c 2 sin(2πc ξ t) Y(t) = c 2 Ê(ξ, t) Y(t), 2πc ξ přičemž symbol značí Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x.

46 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.4 sin(2πc ξ t) Bud Ê(ξ, t) = a E(x, t) bud její vzor ve 2πc ξ Fourierově transformaci podle proměnné x.

47 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.4 sin(2πc ξ t) Bud Ê(ξ, t) = a E(x, t) bud její vzor ve 2πc ξ Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d dt ( E (x) g 0 ) +E (x) g 1 +c 2 ( E Y(t) (x,t) f Y(t) )

48 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.4 sin(2πc ξ t) Bud Ê(ξ, t) = a E(x, t) bud její vzor ve 2πc ξ Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d dt ( E (x) g 0 ) +E (x) g 1 +c 2 ( E Y(t) (x,t) f Y(t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1.

49 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.4 sin(2πc ξ t) Bud Ê(ξ, t) = a E(x, t) bud její vzor ve 2πc ξ Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d dt ( E (x) g 0 ) +E (x) g 1 +c 2 ( E Y(t) (x,t) f Y(t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1. Pozn. Mlčky předpokládáme, že funkce (případně distribuce) g 0, g 1, f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobře definovány.

50 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.4 sin(2πc ξ t) Bud Ê(ξ, t) = a E(x, t) bud její vzor ve 2πc ξ Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d dt ( E (x) g 0 ) +E (x) g 1 +c 2 ( E Y(t) (x,t) f Y(t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1. Pozn. Mlčky předpokládáme, že funkce (případně distribuce) g 0, g 1, f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobře definovány. Funkci (resp. obecně distribuci) E nazýváme fundamentálním řešením vlnového operátoru.

51 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R 1, d Alembertův vzorec) Bud te g 0 C 2 (R), g 1 C 1 (R), f C 1 (R (0, T)).

52 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R 1, d Alembertův vzorec) Bud te g 0 C 2 (R), g 1 C 1 (R), f C 1 (R (0, T)). Potom u(x, t) := g 0(x + ct) + g 0 (x ct) 2 + c 2 t x+c(t τ) 0 x c(t τ) f(y, τ) dy dτ + 1 x+ct g 1 (y) dy 2c x ct

53 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R 1, d Alembertův vzorec) Bud te g 0 C 2 (R), g 1 C 1 (R), f C 1 (R (0, T)). Potom u(x, t) := g 0(x + ct) + g 0 (x ct) 2 + c 2 t x+c(t τ) 0 x c(t τ) f(y, τ) dy dτ + 1 x+ct g 1 (y) dy 2c x ct je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 1, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1.

54 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ) Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí m = 2 = E(x, t) = 1 2πc (c 2 t 2 x 2 ) +

55 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ) Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí 1 m = 2 = E(x, t) = 2πc (c 2 t 2 x 2 ) + m = 3 = E(x, t) = 1 4πc 2 t ν ct kde symbolem (...) + rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný",

56 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ) Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí 1 m = 2 = E(x, t) = 2πc (c 2 t 2 x 2 ) + m = 3 = E(x, t) = 1 4πc 2 t ν ct kde symbolem (...) + rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný", a ν ct je plošná distribuce na sféře s poloměrem ct, působící přes proměnnou x R m.

57 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ) Bud te g 0 C 3 (R 2 ), g 1 C 2 (R 2 ), f C 1 (R 2 (0, T)).

58 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ) Bud te g 0 C 3 (R 2 ), g 1 C 2 (R 2 ), f C 1 (R 2 (0, T)). Potom u(x, t) := 1 d g 0 (x y) 2πc dt y ct c2 t 2 y dy g 1 (x y) 2πc y ct c2 t 2 y dy 2 + c t f(x y, t τ) dy dτ 2π c2 τ 2 y 2 0 y cτ

59 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ) Bud te g 0 C 3 (R 2 ), g 1 C 2 (R 2 ), f C 1 (R 2 (0, T)). Potom u(x, t) := 1 d g 0 (x y) 2πc dt y ct c2 t 2 y dy g 1 (x y) 2πc y ct c2 t 2 y dy 2 + c t f(x y, t τ) dy dτ 2π c2 τ 2 y 2 0 y cτ je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 2, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1.

60 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ) Bud te g 0 C 3 (R 3 ), g 1 C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (0, T)).

61 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ) Bud te g 0 C 3 (R 3 ), g 1 C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (0, T)). Potom ( 1 g0 u(x, t) := 4πct S ct (0) ct + g ) 0 (x y) ds(y) n + 1 g 4πc 2 1 (x y) ds(y) t + 1 4π ct 0 S ct (0) S r(0) f ( x y, t r c r ) ds(y) dr

62 24.2 Vlnová rovnice (pokrač.) Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ) Bud te g 0 C 3 (R 3 ), g 1 C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (0, T)). Potom ( 1 g0 u(x, t) := 4πct S ct (0) ct + g ) 0 (x y) ds(y) n + 1 g 4πc 2 1 (x y) ds(y) t + 1 4π ct 0 S ct (0) S r(0) f ( x y, t r c r ) ds(y) dr je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 3, které splňuje počáteční podmínky (9), (10) s funkcemi g 0, g 1.

63 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11) kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.)

64 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11) kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici (11) často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω),

65 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11) kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici (11) často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u = h na Ω), n

66 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11) kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici (11) často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u = h na Ω), nebo smíšeného n typu, kdy je na části Ω zadána Dirichletova a na části Neumannova okrajová podmínka.

67 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11) kde f je daná funkce. (Je-li f = 0, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici (11) často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u = h na Ω), nebo smíšeného n typu, kdy je na části Ω zadána Dirichletova a na části Neumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme o Dirichletově, Neumannově nebo smíšené úloze.

68 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ) Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální řešení Laplaceova operátoru, tedy U(x) = 1 (m 2)κ m x m 2, m > 2,

69 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ) Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální řešení Laplaceova operátoru, tedy U(x) = 1 (m 2)κ m x m 2, m > 2, U(x) = 1 2π ln 1 x, m = 2. Potom funkce u := U f řeší rovnici u = f v prostoru S (R m ) (vždy, když je daná konvoluce dobře definovaná).

70 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ) Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální řešení Laplaceova operátoru, tedy U(x) = 1 (m 2)κ m x m 2, m > 2, U(x) = 1 2π ln 1 x, m = 2. Potom funkce u := U f řeší rovnici u = f v prostoru S (R m ) (vždy, když je daná konvoluce dobře definovaná). Řešení rovnice u = f v prostoru S (R m ) je určeno jednoznačně až na harmonický polynom, tedy polynom P splňující rovnici P = 0.

71 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω) Řešení rovnice u = 0 na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud 1 Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo

72 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω) Řešení rovnice u = 0 na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud 1 Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo 2 Ω R 2 je (obecně i neomezená) oblast a předpokládáme omezenost řešení u, nebo

73 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω) Řešení rovnice u = 0 na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud 1 Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo 2 Ω R 2 je (obecně i neomezená) oblast a předpokládáme omezenost řešení u, nebo 3 Ω R m, m 2 je neomezená oblast a předpokládáme, že existuje koule B R (0) a konstanta c > 0 takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B R (0).

74 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Poznámka Omezenost řešení ve druhém bodě je podstatná. Například funkce u(x, y) = y i u(x, y) = 0 řeší Laplaceovu rovnici na horní polorovině s okrajovou podmínkou u(x, 0) = 0.

75 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Poznámka Omezenost řešení ve druhém bodě je podstatná. Například funkce u(x, y) = y i u(x, y) = 0 řeší Laplaceovu rovnici na horní polorovině s okrajovou podmínkou u(x, 0) = 0. Bod tři je vyjádřením skutečnosti, že řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezené oblasti je jednoznačné ve třídě funkcí, které "v nekonečnu klesají stejně rychle jako elementární řešení".

76 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na horní polorovině) Bud u 0 (x, y) = 1 π y x 2 + y 2.

77 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na horní polorovině) Bud u 0 (x, y) = 1 π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (0, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u 0 (, y)

78 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na horní polorovině) Bud u 0 (x, y) = 1 π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (0, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u 0 (, y) = y π g(t) dt. (12) (x t) 2 + y 2

79 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na horní polorovině) Bud u 0 (x, y) = 1 π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (0, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u 0 (, y) = y π g(t) dt. (12) (x t) 2 + y 2 Potom funkce u(x, y) definovaná předpisem (12) je omezená, řeší rovnici u = 0 v horní polorovině {(x, y) R 2 ; y > 0},

80 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na horní polorovině) Bud u 0 (x, y) = 1 π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (0, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u 0 (, y) = y π g(t) dt. (12) (x t) 2 + y 2 Potom funkce u(x, y) definovaná předpisem (12) je omezená, řeší rovnici u = 0 v horní polorovině {(x, y) R 2 ; y > 0}, a přitom splňuje okrajovou podmínku u(x, 0) = g(x) ve smyslu limity ve všech bodech spojitosti funkce g.

81 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Příklad 1 Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na horní polorovině s podmínkou u(x, 0) = g(x) = χ a,b (x). Ukažte, že řešením je funkce u(x, y) = 1 ( arctg x b arctg x a ). π y y

82 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Řešení Příkladu 1

83 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R.

84 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( r R) n e inϕ, (13)

85 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( r R) n e inϕ, (13) r (0, R), ϕ (0, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = 0 na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.

86 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Řešení Dirichletovy úlohy na kruhu, u(r,α) = 40. n=1 r n ( 1) n cos(3nα) n 2 +4

87 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t].

88 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 π R 2 r 2 g(t) dt, (14) 2π π R 2 2rR cos(ϕ t) + r 2

89 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 π R 2 r 2 g(t) dt, (14) 2π π R 2 2rR cos(ϕ t) + r 2 r (0, R), ϕ (0, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = 0 na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.

90 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R.

91 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( R r ) n e inϕ, (15)

92 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( R r ) n e inϕ, (15) r > R, ϕ (0, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = 0 na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru.

93 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t].

94 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 π r 2 R 2 g(t) dt, (16) 2π π R 2 2rR cos(ϕ t) + r 2

95 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem) Bud K R R 2 kruh o poloměru R > 0 a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sin t]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 π r 2 R 2 g(t) dt, (16) 2π π R 2 2rR cos(ϕ t) + r 2 r > R, ϕ (0, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = 0 na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru.

96 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > 0 jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (13) a (15), případně integrály (14) a (16), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2?

97 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > 0 jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (13) a (15), případně integrály (14) a (16), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná.

98 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > 0 jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (13) a (15), případně integrály (14) a (16), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná. Věta (Liouville) Bud u C 2 (R m ), u = 0 v R m, která je alespoň jednostranně omezená v R m. Potom u je konstantní v R m.

99 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > 0 jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (13) a (15), případně integrály (14) a (16), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná. Věta (Liouville) Bud u C 2 (R m ), u = 0 v R m, která je alespoň jednostranně omezená v R m. Potom u je konstantní v R m. Z Liouvilleovy věty tedy plyne, že v bodech kružnice bud nemůže být u třídy C 2 nebo v nich nemůže splňovat Laplaceovu rovnici.

100 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (o řešení Dirichletovy úlohy na kouli) Bud g spojitá na sféře S R (0) R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = 1 κ m R S R (0) g(y) R2 x 2 ds(y), x < R. x y m Potom u C 2 (B R (0)) C(B R (0)), u = 0 v B R (0) a u = g na S R (0).

101 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (o řešení Dirichletovy úlohy vně koule) Bud g spojitá na sféře S R (0) R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = 1 κ m R S R (0) g(y) x 2 R 2 ds(y), x > R. x y m Potom u C 2 (R m \ B R (0)) C(R m \ B R (0)), u = 0 v R m \ B R (0) a u = g na S R (0). Navíc existuje koule B(0) a konstanta c > 0 takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B(0).

102 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (o průměru) Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = 0 v Ω. Potom pro všechna x Ω a všechny koule B R (x) Ω platí u(x) = 1 u(y) ds(y) = S R (0) S R (0) 1 u(y) dy. B R (0) B R (0)

103 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (princip maxima a minima) Bud Ω R m omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí, u C 2 (Ω) C(Ω), u = 0 v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici Ω.

104 24.3 Laplace-Poissonova rovnice (pokrač.) Věta (princip maxima a minima) Bud Ω R m omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí, u C 2 (Ω) C(Ω), u = 0 v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici Ω. Věta (o regularitě) Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = 0 v Ω. Potom u C (Ω).

105 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x R m, t > 0, (17) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana,

106 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x R m, t > 0, (17) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = 0 ("bez vnějších sil"), u t + a(x, t) u = 0, x R m, t > 0. (18)

107 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x R m, t > 0, (17) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = 0 ("bez vnějších sil"), u t + a(x, t) u = 0, x R m, t > 0. (18) Rovnici (17) resp. (18) doplňujeme o počáteční podmínku tvaru u(x, 0) = g(x), x R m. (19)

108 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x R m, t > 0, (17) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = 0 ("bez vnějších sil"), u t + a(x, t) u = 0, x R m, t > 0. (18) Rovnici (17) resp. (18) doplňujeme o počáteční podmínku tvaru u(x, 0) = g(x), x R m. (19) Řešení úlohy (18) (19) (s f = 0) lze hledat tzv. metodou charakteristik.

109 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Definice Rovnici (18) přiřadíme systém obyčejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s), x j = x j (s), j = 1,...,m, d t(s) = 1, ds (20) d ds x ( ) j(s) = a j x(s), t(s)), j = 1,...,m, (21) s (α, β) R, kde a = (a 1,...,a m ) jsou funkce z (18).

110 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Definice Rovnici (18) přiřadíme systém obyčejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s), x j = x j (s), j = 1,...,m, d t(s) = 1, ds (20) d ds x ( ) j(s) = a j x(s), t(s)), j = 1,...,m, (21) s (α, β) R, kde a = (a 1,...,a m ) jsou funkce z (18). Každé klasické řešení (x, t) : (α, β) R m (0, ) systému rovnic (20) (21) nazvu charakteristikou (charakteristickou křivkou) rovnice (18).

111 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Poznámka Charakteristika je tedy křivka v R m (0, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) R m (0, ).

112 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Poznámka Charakteristika je tedy křivka v R m (0, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) R m (0, ). Vzhledem k tomu, že systém (20) (21) je systém se spojitými pravými stranami a j, existuje podle teorie ODR řešení tohoto systému alespoň lokálně v okolí každé počáteční podmínky typu t(s) = t, x j (s) = x j, (x, t) R m (0, ), (22) kde s (α, β) je hodnota parametru, odpovídající počáteční podmínce.

113 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Poznámka Charakteristika je tedy křivka v R m (0, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) R m (0, ). Vzhledem k tomu, že systém (20) (21) je systém se spojitými pravými stranami a j, existuje podle teorie ODR řešení tohoto systému alespoň lokálně v okolí každé počáteční podmínky typu t(s) = t, x j (s) = x j, (x, t) R m (0, ), (22) kde s (α, β) je hodnota parametru, odpovídající počáteční podmínce. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že s = 0 (α, β).

114 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme:

115 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: d u(x, t) = ds

116 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m d u(x, t) = ds j=0 u (x, t) d x j ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) =

117 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m d u(x, t) = ds = j=0 u (x, t) d x j ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j=0

118 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m d u(x, t) = ds = j=0 u (x, t) d x j ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j=0 Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)).

119 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m d u(x, t) = ds = j=0 u (x, t) d x j ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j=0 Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým řešením rovnice (18) v bodech, které leží na charakteristice.

120 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (0, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: m d u(x, t) = ds = j=0 u (x, t) d x j ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j=0 Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým řešením rovnice (18) v bodech, které leží na charakteristice. Odtud plyne následující lemma.

121 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Lemma Uvažujme funkci u C 1 (Ω T ), kde Ω T (0, T) R m je neprázdná oblast.

122 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Lemma Uvažujme funkci u C 1 (Ω T ), kde Ω T (0, T) R m je neprázdná oblast. (a) Bud u konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)), s (α, β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (18). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (18) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T.

123 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Lemma Uvažujme funkci u C 1 (Ω T ), kde Ω T (0, T) R m je neprázdná oblast. (a) Bud u konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)), s (α, β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (18). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (18) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T. (b) Necht naopak u je klasické řešení rovnice (18) v oblasti Ω T. Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti Ω T.

124 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Lemma Uvažujme funkci u C 1 (Ω T ), kde Ω T (0, T) R m je neprázdná oblast. (a) Bud u konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)), s (α, β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (18). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (18) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T. (b) Necht naopak u je klasické řešení rovnice (18) v oblasti Ω T. Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti Ω T. Nepřesně, ale poněkud výstižněji lze uvedené lemma vyjádřit sloganem: u řeší (18) u je konstantní na charakteristikách.

125 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Příklad 2 Řešte rovnici u + x u = 0 s obecnou počáteční t x podmínkou u 0, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u 0 (x) = e x2, x R.

126 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Příklad 2 Řešte rovnici u + x u = 0 s obecnou počáteční t x podmínkou u 0, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u 0 (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x 0, t > 0, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek.

127 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Příklad 2 Řešte rovnici u + x u = 0 s obecnou počáteční t x podmínkou u 0, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u 0 (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x 0, t > 0, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek. Na základě toho lze explicite vyjádřit řešení uvedené rovnice pro data u 0 C 1 (R), a sice u(x, t) = u 0 (xe t ).

128 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) Příklad 2 Řešte rovnici u + x u = 0 s obecnou počáteční t x podmínkou u 0, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u 0 (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x 0, t > 0, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek. Na základě toho lze explicite vyjádřit řešení uvedené rovnice pro data u 0 C 1 (R), a sice u(x, t) = u 0 (xe t ). Pro u 0 (x) = e x2, x R, dostaneme u(x, t) = exp( x 2 e 2t ), x R, t 0, viz obrázek.

129 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) y x Charakteristiky rovnice u t + xu x = 0.

130 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik (pokrač.) t x 4 0 Funkce u(x, t) = e x2 e 2t pro x 5, 5, t 0, 3.

131 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů.

132 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:

133 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách: Příklad 3 Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b), s okrajovými podmínkami (pro g C( 0, a ), g(0) = g(a) = 0): u(x, 0) = g(x), x 0, a, u(x, b) = 0, x 0, a, u(0, y) = 0, y 0, b, u(a, y) = 0, y 0, b.

134 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými),

135 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0.

136 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0,

137 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0, odkud X = Y X Y

138 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0, odkud X = Y = λ = const. X Y

139 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0, odkud X = Y = λ = const. (jde o rovnost funkce X Y proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.)

140 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0, odkud X = Y = λ = const. (jde o rovnost funkce X Y proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.) Má-li být u(0, y) = X(0) Y(y) = 0, y 0, b, musí být X(0) = 0, podobně X(a) = 0.

141 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y(y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X 0, Y 0. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y(y) + X(x) Y (y) = 0, odkud X = Y = λ = const. (jde o rovnost funkce X Y proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.) Má-li být u(0, y) = X(0) Y(y) = 0, y 0, b, musí být X(0) = 0, podobně X(a) = 0. Okrajová úloha pro X(x) tvaru X = λx na (0, a), X(0) = 0, X(a) = 0, má nenulové řešení jen pro λ = λ n = ( nπ a )2, potom X n (x) = sin( nπ x) (až na a násobek libovolnou konstantou).

142 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Podmínku u(x, b) = X n (x) Y(b) = 0, x 0, a lze splnit volbou Y(b) = 0,

143 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Podmínku u(x, b) = X n (x) Y(b) = 0, x 0, a lze splnit volbou Y(b) = 0, podmínku u(x, 0) = X n (x) Y(0) = g(x), x 0, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak.

144 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Podmínku u(x, b) = X n (x) Y(b) = 0, x 0, a lze splnit volbou Y(b) = 0, podmínku u(x, 0) = X n (x) Y(0) = g(x), x 0, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (0, b) jen s podmínkou Y n (b) = 0 (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení.

145 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Podmínku u(x, b) = X n (x) Y(b) = 0, x 0, a lze splnit volbou Y(b) = 0, podmínku u(x, 0) = X n (x) Y(0) = g(x), x 0, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (0, b) jen s podmínkou Y n (b) = 0 (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení. Dostaneme Y n (y) = 2e nπ a b sinh( nπ (y b)) (až na a násobek libovolnou konstantou).

146 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Podmínku u(x, b) = X n (x) Y(b) = 0, x 0, a lze splnit volbou Y(b) = 0, podmínku u(x, 0) = X n (x) Y(0) = g(x), x 0, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (0, b) jen s podmínkou Y n (b) = 0 (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení. Dostaneme Y n (y) = 2e nπ a b sinh( nπ (y b)) (až na a násobek libovolnou konstantou). Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (s funkcí g), hledáme u ve tvaru u(x, y) = c n X n (x)y n (y) n=1 s neznámými konstantami c n.

147 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Víme, že g(0) = g(a) = 0, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x 0, a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n=1 γ nx n (x).

148 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Víme, že g(0) = g(a) = 0, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x 0, a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n=1 γ nx n (x). Pak z okrajové podmínky u(x, 0) = g(x), tedy n=1 c nx n (x)y n (0) = n=1 γ nx n (x) dostaneme γ n = c n Y n (0), odkud spočteme dosud neznámé kostanty c n.

149 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Víme, že g(0) = g(a) = 0, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x 0, a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n=1 γ nx n (x). Pak z okrajové podmínky u(x, 0) = g(x), tedy n=1 c nx n (x)y n (0) = n=1 γ nx n (x) dostaneme γ n = c n Y n (0), odkud spočteme dosud neznámé kostanty c n. Proved te celý výpočet a ukažte, že u(x, y) = sinh( nπ (b y)) a a n sinh( nπ b) a n=1 ( nπ ) sin a x, kde a n = 2 a a 0 ( nπ ) g(x) sin a x dx.

150 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Příklad 4 Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b), s okrajovými podmínkami u(x, 0) = g 1 (x), x 0, a, u(0, y) = g 3 (y), y 0, b, u(x, b) = g 2 (x), x 0, a, u(a, y) = g 4 (y), y 0, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech a jsou nulové v krajních bodech těchto intervalů.

151 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4, kde u j (x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b) pro všechna j = 1, 2, 3, 4, a přitom u j = g j na odpovídající části hranice obdélníku a na ostatních částech hranice je u j nulová.

152 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4, kde u j (x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b) pro všechna j = 1, 2, 3, 4, a přitom u j = g j na odpovídající části hranice obdélníku a na ostatních částech hranice je u j nulová. Tímto stojíme před čtyřmi úlohami předešlého typu, které vyřešíme jako v předešlém příkladě.

153 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Příklad 5 Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b), s okrajovými podmínkami u(x, 0) = g 1 (x), x 0, a, u(0, y) = g 3 (y), y 0, b, u(x, b) = g 2 (x), x 0, a, u(a, y) = g 4 (y), y 0, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech, mají v rozích obdélníka obecně nenulové hodnoty, přičemž ovšem okrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka, tedy g 1 (0) = g 3 (0), g 1 (a) = g 4 (0), g 2 (0) = g 3 (b), g 2 (a) = g 4 (b).

154 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = v(x, y) + c(x, y), kde c(x, y) = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 xy.

155 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných (pokrač.) Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = v(x, y) + c(x, y), kde c(x, y) = c 0 + c 1 x + c 2 y + c 3 xy. Potom c(x, y) = 0 na obdélníku (0, a) (0, b) a vhodnou volbou konstant c 1, c 2, c 3, c 4 lze dosáhnout toho, aby funkce c(x, y) měla v rozích obdélníka stejné hodnoty jako funkce g j.