MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS Modifikovaný klikový mechanismus Úvod Tento text je určen pro studenty předmětu VMM jako teoretická pomůcka pro cvičení věnované základům práce se systémem ADAMS a dynamickým systémům. Zde jsou uvedeny pouze vztahy potřebné pro sestavení pohybových rovnic mechanismů a několik námětů pro analýzu zadaných mechanismů. Klikový mechanismus s poddajně vázaným kotoučem F 4 A Psi L 3 B IK 2 K R F1 F2 I2 X Lr 1 M Obrázek 1: Klikový mechanismus s poddajnou vazbou Matematický model mechanismu Kinematické závislosti. Uvažovaný mechanismus má dva stupně volnosti. Je tedy třeba vhodně zvolit zobecněné souřadnice, pro něž sestavíme pohybové rovnice. Necht jsou zobecněnými souřadnicemi úhel natočení kliky ϕ 1 a úhel natočení kotouče ϕ 2. Pak souřadnice x (poloha pístu) a ψ (úhel natočení ojnice) a jejich časové derivace můžeme vyjádřit pomocí zvolených zobecněných souřadnic ve tvaru x = x(ϕ 1 ), ψ = ψ(ϕ 1 ), ẋ = dx dϕ 1 ϕ 1 = p 42 (ϕ 1 ) ϕ 1, (1) ψ = dψ dϕ 1 ϕ 1 = p 32 (ϕ 1 ) ϕ 1, (2) kde p 42 (ϕ 1 ) a p 32 (ϕ 1 ) jsou převodové funkce. Kinetickou energii mechanismu vyjádříme za předpokladu, kdy hmotnost ojnice m 3 soustředíme do bodů A, B, tj. platí m 3 = m A + m B (3) 1
a navíc musí platit podmínka statického vyvážení ke středu hmotnosti (geometrický střed ojnice S 3 ) l m A 2 = m l B 2. Pak má moment setrvačnosti ojnice tvar (4) I S3 = m A ( l 2 ) 2 ( ) l 2 + m B + I kor. (5) 2 Z rovnic (3) (5) určíme hodnoty m A, m B a I kor. Hmotnost kliky neuvažujeme, předpokládáme, že klikový hřídel (klika s kotoučem) je vyvážen tak, že se jeho tíha zachytí ve vazbě k rámu. Pak má kinetická energie tvar E k = 1 2 I 2ϕ 2 2 + 1 2 I kϕ 2 1 + 1 2 m Ar 2 ϕ 2 1 + 1 2 I kor ψ 2 + 1 2 m Bẋ 2 + 1 2 m 4ẋ 2. (6) Po úpravě s využitím vztahů (1) a (2) dostaneme E k = 1 2 Potenciální energie [ Ik + m A r 2 + p 2 32(ϕ 1 )I kor + m B p 2 42(ϕ 1 ) + m 4 p 2 42(ϕ 1 ) ] ϕ 2 1 + 1 2 I 2ϕ 2 2. (7) E p = 1 2 k T (ϕ 2 ϕ 1 ) 2. (8) Zobecněné budicí síly vyplývají z virtuální práce všech sil konajících práci při virtuálním pohybu charakterizovaném virtuální změnou jediné zobecněné souřadnice. Vyjádřeme virtuální práci vykonanou virtuální změnou zobecněné souřadnice ϕ 1 (δw ) ϕ1 = Q 1 δϕ 1 = F δx m A gδy = = F p 42 (ϕ 1 )δϕ 1 m A gr cos ϕ 1 δϕ 1 (9) = (F p 42 (ϕ 1 ) m 3 2 gr cos ϕ 1)δϕ 1. Virtuální práce vykonaná virtuální změnou zobecněné souřadnice ϕ 2 (δw ) ϕ2 = Q 2 δϕ 2 = Mδϕ 2. (10) Zobecněné budicí síly Q 1 a Q 2 mají tedy tvar Q 1 = F p 42 (ϕ 1 ) m 3 2 gr cos ϕ 1, Q 2 = M. (11) Dosazením vztahů (7), (8) a (11) do Lagrangeových rovnic druhého druhu [1] získáme pohybové rovnice mechanismu ve tvaru [ ] [ ] [ ] [ ] [ I1 0 ϕ1 kt k + T ϕ1 1 di 1 = 2 dϕ 1 ϕ 2 1 + F p 42(ϕ 1 ) m 3 2 gr cos ϕ ] 1 (12) 0 I 2 ϕ 2 k T k T ϕ 2 M kde I 1 = I k + m A r 2 + p 2 32(ϕ 1 )I kor + m B p 2 42(ϕ 1 ) + m 4 p 2 42(ϕ 1 ). 2
Vyšetřování mechanismu systémem ADAMS Pohybové rovnice (12) jsou nelineární díky nekonstantním převodům p 32 a p 42 moment I 1 není konstantní, je funkcí natočení kliky ϕ 1. Při vyšetřování kinematiky a dynamiky mechanismů systém ADAMS provádí integraci pohybových rovnic. Proto je třeba vhodně volit integrační metodu a délku integračního kroku. Stabilita zvolené numerické metody je ovlivněna nejen délkou integračního kroku ale také počátečními podmínkami (jejich vhodnou volbou je možné vyvarovat se počátečním přechodovým dějům) a tlumením (je obecně známo, že tlumení má přiznivý vliv na stabilitu řešení pohybových rovnic). Náměty k analýze mechanismu systémem ADAMS Statika vyšetřete statickou rovnovážnou polohu mechanismu Kinematika pro konstatní úhlovou rychlost kotouče ω vyšetřete v závislosti na počátečních podmínkách časový průběh polohy pístu a srovnejte jej s teoretickou hodnotou x = r cos ϕ 1 + l 1 r2 l 2 (sin ϕ 1) 2 pro r l platí x. = r cos ωt časový průběh úhlové rychlosti kliky a srovnejte jej s průběhem úhlové rychlosti kotouče posud te vliv počátečních podmínek posud te vliv tlumení v torzní vazbě kotouč klika na stabilitu řešení Dynamika simulujte pohyb mechanismu při silovém zatížení pístu a momentovém zatížení kotouče, jestliže práce vnějších sil vykonaná během jedné otáčky kotouče je nulová, tj. platí 4rF M2π = 0 vyšetřete časové průběhy polohy pístu, úhlové rychlosti kotouče a kliky Modifikace mechanismu a zjednodušení modelu Předpokládejme, že kotouč I 2 na obrázku 1 má předepsán pohyb ϕ 2 = ωt s konstantní úhlovou rychlostí ω. Dále nebudeme oproti předchozímu případu uvažovat působící sílu F, moment M a tíhové zrychlení. V tomto odstavci je sestaven příslušný nelineární model klikového mechanismu za výše zmíněných předpokladů a jsou zde uvedena některá zjednodušení matematického modelu pro snadnější analýzu a lepší náhled na chování systému. Rovněž je zde porovnáno numerické řešení získané systémem ADAMS a vlastním výpočtem v systému MATLAB. 3
Matematický model Mechanický systém má nyní už jen jeden stupeň volnosti, který označíme ϕ = ϕ 1. Redukovaný moment setrvačnosti lze rozdělit na dvě části (konstantní I 0 a proměnnou I(ϕ)) I red = I 0 + I(ϕ), I 0 = I K + m A r 2, I(ϕ) = (m B + m 4 )p 2 42 + I kor p 2 32. (13) Jestliže označíme ϕ 20 počáteční výchylku kotouče I 2, má matematický model tvar kde ( ) I 0 + I(ϕ) ϕ + 1 2 I (ϕ) ϕ 2 + k T ϕ = k T (ωt + ϕ 20 ), (14) I (ϕ) = 2(m B + m 4 )p 42 p 42 + 2I kor p 32 p 32, p 42 = r sin ϕ(1 + p 32 ), p 42 = r[cos ϕ(1 + p 32 ) + sin ϕp 32], p 32 = λ cos ϕ 1 λ 2 sin 2 ϕ, p 32 = λ(λ2 1) sin ϕ (1 λ 2 sin 2 ϕ) 3/2. Podíl délky kliky a délky ojnice je označen λ = r l. Zjednodušení Matematický model (14) je nelineární a prakticky nemůžeme bez numerické simulaci říci nic o jeho řešení. Proto je vhodné zavést určité podmínky na parametry mechanismu, které nám dovolí zjednodušit matematický model. (a) Linearizovaný parametrický model (pro k T velké) I(ϕ) = I(ωt), I (ϕ) = I (ωt), ϕ 2 = ω 2 (b) Linearizovaný časově invariantní model (pro I(ϕ) I 0, k T velké) I 0 ϕ + k T ϕ = k T ωt 1 2 I (ωt)ω 2 (c) Linearizovaný zjednodušený model (pro I(ϕ) I 0, ω malé, k T velké) I 0 ϕ + k T ϕ = k T ωt Řešení ϕ = ϕ 0 cos Ωt + ωt, ϕ = ϕ 0 Ω sin Ωt + ω, Ω = kt I 0 4
Ukázka Pro ilustraci vlivu parametrů byl řešen klikový mechanismus s poddajnou vazbou na hnací kotouč s konrétními parametry mechanismu zapsanými v tabulce. r [m] l [m] m 2 [kg] m 3 [kg] m 4 [kg] I 2 [kgm 2 ] I 3 [kgm 2 ] k T [Nrad 1 ] 0, 2 0, 5 2, 327 5, 252 7, 801 1, 158 10 2 0, 128 10 3 Momenty setrvačnosti členů 2 a 3 jsou dány k jejich středu hmotnosti. Byl vytvořen model mechanismu v systému ADAMS a sestavený model (14) byl pro srovnání řešen také v systému MATLAB. V systému MATLAB byla použita numerická integrace metodou Runge-Kutta. Odezva mechanismu s původními parametry pro danou úhlovou rychlost hnacího členu a počáteční podmínky ω = 30 rads 1, ϕ(0) = 0, ϕ(0) = ω získaná v MATLABu a v ADAMSu je na obrázku 2. Je zde zobrazena úhlová rychlost kliky ϕ(t). Nyní můžeme modifikovat parametry mechanismu tak, jak je naznačeno v předchozím odstavci o zjednodušení. Jestliže dostatečně zvětšíme moment setrvačnosti I K, potom I(ϕ) I 0. Důsledek této změny parametrů se projeví zmenšením kmitů kliky. Průběh výsledné úhlové rychlosti kliky je opět pro řešení MATLABem a ADAMSem znázorněn na obrázku 3. Moment I K byl zvětšen o 1 kgm 2. Nyní můžeme navíc zvětšit tuhost k T na hodnotu 10 5 Nrad 1. To se projeví opět dalším zmenšením amplitudy kmitů a rovněž zvětšením frekvence kmitání (viz obrázek 4). Reference [1] Slavík, J. Stejskal, V. Zeman, V.: Základy dynamiky strojů. Vydavatelství ČVUT, Praha 1997. 120 120 100 100 80 80 60 60 Om 40 20 Om1 40 20 0 0 20 20 40 40 60 60 Cas cas (a) MATLAB (b) ADAMS Obrázek 2: Průběh úhlové rychlosti kliky pro původní nelineární model. 5
38 38 36 36 34 34 32 32 Om Om1 30 30 28 28 26 26 24 24 Cas cas (a) MATLAB (b) ADAMS Obrázek 3: Průběh úhlové rychlosti kliky pro model se zvětšeným momentem setrvačnosti I K. 30.8 31 30.6 30.8 30.4 30.6 30.2 30.4 30 30.2 Om 29.8 Om1 30 29.6 29.8 29.4 29.6 29.2 29.4 29 29.2 28.8 29 Cas cas (a) MATLAB (b) ADAMS Obrázek 4: Průběh úhlové rychlosti kliky pro model se zvětšeným momentem setrvačnosti I K a zvětšenou torzní tuhostí k T. 6
Poděkování Investice do rozvoje vzdělávání. Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci projektu č. CZ.1.07/2.2.00/28.0206 Inovace výuky podpořená praxí. Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.