Přírodovědecá faula ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD Ivan Křivý OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 006
OSTRAVSKÁ UNIVERZITA ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD Ivan Křivý
ANOTACE Předládaná disanční opora předsavue úvod do analýzy časových řad. Je určena posluchačům disančního a ombinovaného sudia sudiních programů Apliovaná maemaia a Informaia. Zahrnue následuící émaa. Deompozice časových řad: úvod analýze časových řad aproximace rendu maemaicými funcemi, meody louzavých průměrů a louzavých mediánů, exponenciální vyrovnávání, meody analýzy sezónní složy. Boxova-Jeninsova meodologie: záladní pomy a maemaicý apará Boxovy-Jeninsovy meodologie, lineární procesy, nesacionární a sezónní procesy, onsruce modelu v Boxově-Jeninsově meodologii. Sperální analýza časových řad: úvod do sperální analýzy časových řad.
ÚVOD ČÁST I. DEKOMPOZICE ČASOVÝCH ŘAD 3. ÚVOD K ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 5.. ČASOVÁ ŘADA 5.. PROBLÉMY ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 6.3. ZÁKLADNÍ PŘÍSTUPY K ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD 6.4. PŘEDPOVĚDI V ČASOVÝCH ŘADÁCH 8.5. ZÁKLADNÍ CHARAKTERISTIKY ČASOVÝCH ŘAD 9. APROXIMACE TRENDU MATEMATICKÝMI FUNKCEMI 3.. SUBJEKTIVNÍ METODY ANALÝZY TRENDU 3.. APROXIMACE TRENDU MATEMATICKÝMI FUNKCEMI 3... Konsanní funce 4... Lineární funce 4..3. Kvadraicá funce 5..4. Exponenciální funce 5..5. Modifiovaná exponenciální funce 6..6. Logisicá funce 6..7. Gomperzova funce 7..8. Splinové (splanové) funce 7 3. METODY KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ A KLOUZAVÝCH MEDIÁNŮ 9 3.. METODA KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ 9 3... Princip meody louzavých průměrů 9 3... Váhy louzavého průměru 3..3. Vyrovnání počáečních a oncových úseů časové řady 3..4. Predice v časové řadě 3..5. Volba paramerů meody 3..5. Volba paramerů meody 3..6. Jednoduché louzavé průměry 3 3..7. Vliv meody na složy časové řady 4 3.. METODA KLOUZAVÝCH MEDIÁNŮ 4 3... Princip meody louzavých mediánů 4 3... Vyrovnávání počáečních a oncových úseů řady 5 3.3. METODA ADAPTIVNÍCH VAH 6 3.3.. Princip meody adapivních vah 6 4. EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ 9 4.. PRINCIP METODY 9 4.. JEDNODUCHÉ EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ 9 4... Volba vyrovnávací onsany 3 4.3. DVOJITÉ EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ 3 4.4. TROJITÉ EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ 33 5. METODY ANALÝZY SEZÓNNÍ SLOŽKY 35 5.. SEZÓNNÍ FAKTORY 35 5.. ELEMENTÁRNÍ PŘÍSTUP K SEZÓNNÍ SLOŽCE 36 5.3. REGRESNÍ PŘÍSTUPY K SEZÓNNÍ SLOŽCE 36 5.4. WINTERSOVA METODA 37 5.4.. Mulipliaivní Winersova meoda 37 5.4.. Adiivní Winersova meoda 38 KORESPONDENČNÍ ÚKOL 4 ČÁST II. BOXOVA JENKINSOVA METODOLOGIE 43 6. ZÁKLADNÍ POJMY A MATEMATICKÝ APARÁT 45 6.. STACIONARITA ČASOVÉ ŘADY 45 6.. AUTOKORELAČNÍ FUNKCE 45 6.3. PARCIÁLNÍ AUTOKORELAČNÍ FUNKCE 47
7. LINEÁRNÍ PROCESY 49 7.. POJEM LINEÁRNÍHO PROCESU 49 7.. PROCES KLOUZAVÝCH SOUČTŮ 50 7.3. AUTOREGRESNÍ PROCES 5 7.4. SMÍŠENÝ PROCES 53 8. NESTACIONÁRNÍ A SEZÓNNÍ MODELY 55 8.. SMÍŠENÉ INTEGROVANÉ MODELY 55 8.. SEZÓNNÍ SMÍŠENÉ INTEGROVANÉ MODELY 57 8.3. MODELY ARCH 58 9. KONSTRUKCE MODELU V BOXOVĚ-JENKINSOVĚ METODOLOGII 6 9.. IDENTIFIKACE MODELU 6 9.. ODHAD PARAMETRŮ MODELU 6 9.3. VERIFIKACE MODELU 63 9.4. VÝHODY A NEVÝHODY BOXOVA-JENKINSOVA PŘÍSTUPU 64 KORESPONDENČNÍ ÚKOL 65 ČÁST III. SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD 67 0. ÚVOD DO SPEKTRÁLNÍ ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 69 0.. POJEM ÚHLOVÉ FREKVENCE 69 0.. PERIODOGRAM 69 0.3. SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA 70 0.4. FILTRY 7 0.5. ODHAD SPEKTRÁLNÍ HUSTOTY 7 0.6. TESTY PERIODICITY 73 LITERATURA 77
ÚVOD Předládaná disanční opora (modul), erá se Vám dosává do ruy, e určena pro ednosemesrální sudium analýzy časových řad. Plně porývá požadavy učebních osnov povinně volielného urzu ANCAS (Analýza časových řad), zařazeného do učebních plánů magisersých sudiních oborů Apliovaná maemaia, Apliace maemaiy v eonomii a Informační sysémy na Přírodovědecé faulě Osravsé univerziy. Poslání modulu Cíle modulu: Po prosudování ohoo modulu pochopíe souvislos mezi eorií náhodných procesů a záladními principy analýzy časových řad, naučíe se praicy analyzova časové řady s využiím běžně používaných přísupů, zeména meod deompozice a Boxovy- Jeninsovy meodologie, naučíe se vybra vhodnou meodu pro efeivní analýzu dané časové řady, pochopíe význam analýzy časových řad pro řešení onréních úloh v praxi. Celý modul e rozčleněn do následuících lecí: úvod analýze časových řad, aproximace rendu maemaicými funcemi, meody louzavých průměrů a louzavých mediánů, exponenciální vyrovnávání, meody analýzy sezónní složy, záladní pomy a maemaicý apará Boxovy-Jeninsovy meodologie, lineární procesy, nesacionární a sezónní procesy, onsruce modelu v Boxově-Jeninsově meodologii, úvod do sperální analýzy časových řad. U ednolivých lecí sou dodržena následuící pravidla: specifiace cílů lece (edy oho, co by měl suden po eím prosudování umě, zná, pochopi), vlasní výlad učiva, řešené přílady, onrolní úoly (oázy, přílady) procvičení učiva, orespondenční úoly. Oba zařazené orespondenční úoly maí charaer individuální seminární práce, erá e určena ověření Vašich schopnosí apliova zísané znalosi na analýzu onréní (Vámi vybrané) časové řady. Nunou součásí Vašich sudiních povinnosí e splnění ednoho z orespondenčních úolů; eho hodnocení bude započeno do celového hodnocení urzu. Obsah modulu Sruura modulu
V aždé apiole e uvedeno vše pořebné pro samosané sudium, počínae definicemi záladních pomů a onče využiím eoreicých poznaů v praxi. V zámu správného pochopení probírané láy sou ednolivá émaa doplněna řešením ypových příladů. Doporučueme čenáři, aby se nad aždým příladem důladně zamyslel. Pochopení principů řešení e oiž nezbyným předpoladem pro porozumění dalšímu výladu. Čas pořebný prosudování ednolivých lecí explicině neuvádíme, neboť z našich zušenosí vyplývá, že rychlos sudia značně záleží na Vašich schopnosech a sudiních návycích. Předpoládáme, že si mnozí z Vás budou chí doplni a rozšíři poznay sudiem dalších lierárních pramenů (učebnic a srip), ež se zabývaí a eorií, a i apliacemi časových řad. Při výladu sme vycházeli především z monografií T. Cipry [7] a J. Anděla []. Další doporučenou lierauru uvádíme v závěrečné čási éo disanční opory. Věříme, že Vám předládaný sudiní maeriál pomůže pochopi záladní principy analýzy časových řad, a přeeme Vám hodně úspěchů ve sudiu. Auor Auor děue ouo cesou oběma recenzenům (RNDr. PaedDr. Hashimu Habiballovi, Ph.D., a Mgr. Kaeřině Zoubové) za pečlivé pročení ruopisu a řadu cenných připomíne směřuících e zvalinění předládaného učebního exu.
ČÁST I. DEKOMPOZICE ČASOVÝCH ŘAD V éo čási se budeme podrobněi zabýva ednolivými meodami deompozice časových řad. Cíle aové deompozice sou v podsaě dvoí: samosané sudium oddělených slože časové řady, zeména rendu a sezónní složy, sudium časové řady očišěné od něerých slože, nečasěi od sezónních a cylicých fluuací. Nevíce pozornosi (apioly 4) bude věnováno meodám vyrovnávání (vyhlazování) časové řady,. posupům, eré umožňuí eliminova rendovou složu a předpovída eí vývo v budoucnosi. V apiole se budeme zabýva lasicými přísupy eliminaci rendu (zeména aproximací rendu maemaicými funcemi), dežo apioly 3 4 budou orienovány na výlad adapivních přísupů, ež umožňuí auomaicy reagova na změny rendu časové řady v čase. V apiole 5 se zaměříme na záladní lasicé i adapivní posupy vhodné analýze sezónní složy. Závěrečná apiola éo čási pa bude věnována problemaice zv. esů náhodnosi, eré umožňuí ověři hypoézu, že daná časová řada neobsahue žádnou sysemaicou složu. Při výladu budeme vycháze především z monografie T. Cipry [7]. Vyrovnávání časové řady 3
4
. ÚVOD K ANALÝZE ČASOVÝCH ŘAD Po prosudování éo apioly: pochopíe, co se rozumí pod pomem časová řada a aé sou problémy spoené s vyvářením časové řady, poznáe záladní přísupy analýze časových řad, poznáe, a se onsruuí předpovědi v časových řadách, seznámíe se s něerými charaerisiami časových řad. Úvodní apiola e věnována především vymezení pomu časové řady a obasnění něerých problémů souviseících s eí onsrucí. Dále sou v ní sručně vysvěleny záladní přísupy analýze časových řad a onsruci předpovědí v ěcho řadách. V závěrečné čási apioly sou definovány něeré významné charaerisiy časové řady, a o a eoreicé, a empiricé... Časová řada Pod pomem časová řada rozumíme daa (výsledy pozorování), erá sou chronologicy uspořádána, např. seismicý záznam v geofyzice, řada nevyšších (nenižších) denních eplo v meeorologii, vývo oncenrace nečiso v eologii, změny poču edinců něaé populace v demografii, vývo rozvodovosi v sociologii nebo vývo cen v eonomii. Máme přiom na mysli zv. saisicé (sochasicé) řady, eré sou zaíženy neisoou, nioliv řady deerminisicé, eichž chování lze ednoznačně popsa něaým maemaicým vzorcem. Jesliže vydeme z eorie náhodných procesů, můžeme říci, že časová řada předsavue onréní realizaci odpovídaícího náhodného (sochasicého) procesu. Cílem analýzy časové řady e určení modelu (mechanismu), podle něhož sou generována sledovaná daa. Znalos ohoo modelu umožňue předpovída budoucí vývo sysému a do isé míry i řídi a opimalizova chování sysému vhodnou volbou vsupních paramerů a počáečních podmíne. Z hisoricého hledisa se ao první sledovaly řady asronomicých a meeorologicých pozorování. V současnosi se apliace zaměřuí především do eonomicé oblasi. Zpočáu převládal deerminisicý přísup analýze časových řad, erý přervával ešě během první čvriny dvacáého soleí, přesože byl časo riizován pro neschopnos vysvěli nepravidelnosi v ampliudách i ve vzdálenosech mezi loálními exrémy časových řad. Velý poro v rozvoi disciplíny předsavoval nový sochasicý přísup, zeména v pracích Yulea a Slucého, s ehož pomocí lze popsa věšinu reálných časových řad z eonomicé praxe. Časová řada 5
Časové body pozorování Problémy s alendářem Déla časové řady Deompozice časové řady.. Problémy analýzy časových řad Časové řady sou vořeny výsledy pozorování (měření), erá sou prováděna v disréních časových oamžicích. Něeré z nich sou už disréní svou povahou (např. řady úhrnné produce něaé zemědělsé plodiny za ednolivé roy), iné e řeba předem disreizova. Mohou vznia něolierým způsobem: disreizací hodno spoiě se měnící veličiny (např. řada hodno ampliudy něaého signálu v daných časových oamžicích), aumulací hodno sledované veličiny za dané časové období (např. řada denních srážových úhrnů v meeorologii), průměrováním hodno uvažované veličiny v daném časovém inervalu (např. řada průměrných denních eplo). Volba časových oamžiů pozorování. Máme-li možnos volby, pa se doporučue voli ompromisní řešení. Velá husoa časových bodů pozorování umožňue dobře vysihnou charaerisicé rysy časové řady, ale mohou nasa poíže při výpočech. V aždém případě se vša snažíme voli evidisanní inervaly mezi sousedními pozorováními. Při analýze eonomicých časových řad se mohou nepříznivě proevi problémy spoené s alendářem (např. různá déla alendářních měsíců, různý poče pracovních dnů v měsíci, pohyblivé sváy). V aových případech se zavádí zv. sandardní měsíc o délce 30 dnů nebo sandardní poče pracovních dnů v měsíci, nebo se pozorované údae aumuluí (např. použií varálních da namíso měsíčních). Déla časové řady se definue ao celový poče pozorování v časové řadě, nioliv ao časové rozpěí mezi prvním a posledním pozorováním..3. Záladní přísupy analýze časových řad Volba přísupu analýze (výběr meody) závisí na celé řadě faorů: účelu analýzy, ypu sledované časové řady, zušenosech saisia, aož i dosupnosi výpočení echniy a saisicého sofwaru. V éo čási se omezíme en na sručnou charaerisiu čyř nečasěi používaných přísupů analýze časových řad. Uvažume časovou řadu y, y,..., y. n A. Deompozice časové řady. Princip ohoo přísupu e velmi ednoduchý. Časová řada se rozládá na čyři záladní složy, imiž sou rend (Tr), sezónní složa (Sz), cylicá složa (C) a náhodná (reziduální) složa (ε). To znamená, že časovou řadu chápeme ao rend, na erý se nabaluí periodicé složy (sezónní a cylicá složa) a náhodná složa (nečasěi bílý šum). Deompozice (rozlad) časové řady e dvoího ypu: a) adiivní ve varu Adii deomp 6
y = Tr + Sz + C + ε, =,,..., n, dy všechny složy se měří ve sených ednoách ao y, b) mulipliaivní ve varu y = Tr Sz C ε, =,,..., n, dy pouze rendová složa e měřena ve sených ednoách ao y a osaní složy sou bezrozměrné veličiny. Trend reprezenue dlouhodobé změny v průměrném chování řady (dlouhodobý růs nebo poles, popř. dlouhodobá onsanní úroveň); e způsoben faory, ež působí sysemaicy,. ve seném směru. Sezónní složa předsavue periodicé změny, eré se odehrávaí v průběhu rou a aždý ro se opauí. Tyo změny zpravidla souviseí se sřídáním ročních období (aro, léo, podzim a zima). Pro sudium sezónních vlivů se doporučue pracova s řadami měsíčních, nevýše varálních měření. Cylicou složu chápeme ao fluuace olem rendu, při nichž se pravidelně sřídaí fáze růsu s fázemi polesu. Déla cylu i inenzia ednolivých fází se přiom mohou v průběhu času měni. Příčiny vedoucí e vzniu cylicé složy lze zpravidla en ěžo idenifiova. Náhodná (reziduální) složa předsavue náhodné fluuace, ež nemaí sysemaicý charaer. Zahrnue éž chyby měření, chyby ve saisicém zpracování da (např. zaorouhlovací chyby). Časo se předpoládá, že má náhodná složa charaer bílého šumu,. že e vořena hodnoami nezávislých náhodných veličin s nulovou sřední hodnoou a něaým onsanním rozpylem. Deompoziční meody pracuí pouze se sysemaicými složami (rend, sezónní a cylicá složa), přiom se zpravidla využívá meod regresní analýzy. B. Boxova-Jeninsova meodologie U ohoo přísupu se zpravidla předpoládá, že časová řada e slabě sacionární (viz []). Záladním prvem při onsruci modelu e reziduální složa. Uvedeme dva ypicé přílady modelu: model louzavých součů. řádu ve varu y = ε +, ε de e něaá reálná onsana a ε reprezenue zv. bílý šum; auoregresní model. řádu definovaný předpisem y = ε + y. Boxova-Jeninsova meodologie umožňue modelova i časové řady s výrazným rendovým a/nebo sezónním charaerem, přičemž rendová i sezónní složa mohou bý (na rozdíl od deompozice) modelovány sochasicy. Boxovy-Jeninsovy modely sou mnohem flexibilněší než modely deompoziční, což znamená, že se lépe adapuí na změny v průběhu časové řady. Mulipliaivní deompozice Trend Sezónní složa Cylicá složa Náhodná složa Boxova-Jeninsova meodologie 7
Lineární faorové modely Sperální analýza časové řady Bodová předpověď Předpovědní inerval Záladním maemaicým násroem pro analýzu časové řady sou v omo případě meody orelační analýzy, eré umožňuí zouma závislosi mezi ednolivými pozorováními dané časové řady. C. Lineární auzální (faorové) modely Taové modely, běžné v eonomerii, sou zpravidla onsruovány a, že se hodnoy sledované časové řady vysvěluí pomocí iných, zv. faorových časových řad. Uvedeme ednoduchý eonomericý model, převzaý z monografie [7], ve varu c = α + βc + γx + δ p + ε. V uvažovaném modelu se výdae c obyvaelsva na náup spořebního zboží v roce vysvěluí pomocí ěcho výdaů c v roce bezprosředně předcházeícím a navíc pomocí peněžních přímů x obyvaelsva a cenového indexu p spořebního zboží v roce. ( α, βγ, a δ sou paramery modelu a ε značí bílý šum.) Faorovými modely se nebudeme v éo disanční opoře dále zabýva. D. Sperální analýza časových řad Zoumaná časová řada se považue za neonečnou lineární ombinaci sinusových a osinusových funcí s různými ampliudami a frevencemi. Pomocí speciálních saisicých násroů (např. periodogram) e možno zísa předsavu o inenziě zasoupení ednolivých frevencí v časové řadě. Ve sperální analýze časových řad se využívá především Fourierovy analýzy..4. Předpovědi v časových řadách Předpovědi v časových řadách mohou bý dvoího druhu: bodové a inervalové. Bodová předpověď předsavue bodový odhad hodnoy časové řady v určiém budoucím oamžiu. Inervalová předpověď (předpovědní inerval) e analogií inervalu spolehlivosi. Vlasnosi dobrých bodových odhadů a meody onsruce inervalových odhadů sou podrobně popsány např. v monografiích J. Anděla []. V rámci éo disanční opory se budeme zabýva pouze bodovými předpověďmi. Meody pro vyváření předpovědí sou buď valiaivní nebo vaniaivní. Kvaliaivní meody (např. meoda Delfi) sou založeny na názoru experů, a proo maí en subeivní charaer. Naproi omu meody vaniaivní vycházeí z obeivních saisicých posupů; přiom se předpoládá, že se charaer zoumané časové řady v budoucnosi nemění. Výběr předpovědní echniy závisí na celé řadě faorů, zeména na požadované formě předpovědi, časovém horizonu předpovědi, požadované přesnosi, charaeru vsupních da a eich dosupnosi. Chyba předpovědi r v čase e definována vzahem ( ) r = y yˆ, =,,..., n, Chyba p 8
v němž y značí suečně neměřenou hodnou v čase a yˆ ( ) předpověď éo hodnoy pořízenou v časovém oamžiu bezprosředně předcházeícím. Při posuzování valiy předpovědí v dané časové řadě e nuno vzí v úvahu všechny zonsruované předpovědi. V praxi se nečasěi používaí následuící míry valiy předpovědí: souče čvercových chyb SSE (Sum of Squared Errors) n SSE = r, = průměrná čvercová chyba MSE (Mean Squared Error) n MSE = r = SSE a n = n průměrná absoluní odchyla MAD (Mean Absolue Deviaion) n MAD = r. n = Srovnáme-li všechny uvedené míry, zisíme, že míry MSE a SSE (ve srovnání s MAD) posuzuí mnohem přísněi velé chyby předpovědí než chyby malé. Míry valiy předpovědi Míra SSE Míra MSE Míra MAD hodnoa (variance).5. Záladní charaerisiy časových řad n { } Předpoládeme, že e dána časová řada y = y, y,..., y. Na = n počáu musíme zdůrazni, že e principiální rozdíl mezi charaerisiami eoreicými a empiricými (výběrovými). Teoreicé charaerisiy sou (z pohledu lasicé eorie pravděpodobnosi) onsany, eichž přesnou hodnou neznáme, zaímco empiricé charaerisiy sou náhodné veličiny odhady charaerisi eoreicých. Záladními eoreicými charaerisiami časové řady sou: a) sřední hodnoa v čase μ = E ( y), =,,..., n, b) rozpyl (variance) v čase σ ( ) ( ) = var y = E y μ, =,,...,, n = 0, ±,... c) auoovarianční funce řádu ( ) γ () ( y y ) E ( y μ )( y ) = cov, + = + μ +, d) auoorelační funce řádu ( = 0, ±,...) cov () ( y, y+ ) ρ = σ σ Uvedené vzahy se zednoduší, omezíme-li se na zv. slabě sacionární řady,. na řady s onsanní sřední hodnoou, onsanním rozpylem a auoovarianční funcí, erá e invarianní vůči časovým posunům. Pa pro uvedené eoreicé charaerisiy můžeme psá: μ = E pro =,,..., n, a) sřední hodnoa ( y ) σ = ( y ) = ( y μ) b) rozpyl var E pro =,,..., n, +. Teoreicé charaerisiy 9
Auoovarianční funce Auoorelační funce Arimeicý průměr c) auoovarianční funce řádu ( = 0, ±,...) γ = ( y y+ ) = E ( y μ)( y+ μ) d) auoorelační funce řádu ( = 0, ±,...) cov ( y, y ) γ cov,, + ρ = =. σ γ 0 Auoovarianční i auoorelační funce sou funce sudé,. γ = γ, ρ = ρ, proo se určuí pouze pro 0. Graficý záznam závislosi ρ na se nazývá periodogram, přiom plaí ρ 0 = a ρ pro > 0. Odhady eoreicých charaerisi (empiricé charaerisiy) sou definovány ěmio vzahy: n a) arimeicý průměr y = y, n = s = y y = y n n y n = n = Empiricý rozpyl b) empiricý rozpyl (variance) ( ) Empiricá auoovarianční funce Empiricá auoorelační funce c) empiricá auoovarianční funce ( = 0,,...) n n c = y y y y = y y y ( )( ) + + n = n = d) empiricá auoorelační funce ( = 0,,...) c c r = =. s c Výpoče odhadů (empiricých charaerisi) má praicý význam pro n> 50, n 4. Pomy zapamaování: časová řada (sochasicá, deerminisicá), časové body pozorování, déla časové řady, deompozice časové řady (adiivní, mulipliaivní), rend, sezónní složa, cylicá složa, náhodná (reziduální) složa, Boxova-Jeninsova meodologie, lineární faorový model, faorová (vysvěluící) časová řada, sperální analýza časové řady, bodová předpověď, předpovědní inerval, chyba předpovědi, míry valiy předpovědi (míry SSE, MSE, MAD), y 0, y, 0
eoreicé charaerisiy časové řady (sřední hodnoa, rozpyl, auoovarianční funce, auoorelační funce), empiricé charaerisiy časové řady (arimeicý průměr, empiricý rozpyl, empiricá auoovarianční funce, empiricá auoorelační funce). Shrnuí V éo apiole zavádíme poem časová řada (realizace něaého náhodného procesu) a něeré další pomy souviseící s časovými řadami (déla časové řady, chyba předpovědí, míry valiy předpovědi). Dále předládáme čenáři sručnou charaerisiu záladních přísupů analýze časových řad (deompozice časové řady, Boxova-Jeninsova meodologie, lineární faorové modely a sperální analýza) a aé přehled neužívaněších eoreicých i empiricých charaerisi časové řady.
. APROXIMACE TRENDU MATEMATICKÝMI FUNKCEMI Záladní cíle éo apioly: pozna záladní lasicé (neadapivní) přísupy eliminaci rendové složy, nauči se počía bodové odhady paramerů maemaicých funcí, eré sou vhodné aproximaci rendové složy. Tao apiola e věnována lasicým přísupům (ne adapivním) analýze rendu. Zabývá se především problemaiou aproximace rendu vhodnými maemaicými funcemi. Doporučueme čenáři, aby si před sudiem éo apioly zopaoval princip meody nemenších čverců a způsob eího využií pro odhadování paramerů regresních funcí. Dále považueme za vhodné, aby si zareslil průběh ednolivých aproximačních funcí pro doporučené hodnoy eich paramerů... Subeivní meody analýzy rendu Tyo meody maí věšinou ednoduchý graficý zálad. Umožňuí sice časovou řadu vyrovna, ale neposyuí prosředy pro onsruci předpovědí. Neednodušší graficá meoda (vyrovnávání dolních a horních zevných periodicých výyvů oolo rendu) e založena na om, že se sředy vyypovaných cylů proloží poud možno hladá řiva. Poněud obeivněší e meoda průměrování cylů. Tao meoda se realizue ve řech rocích: neprve se spoí lomenými čarami všechny horní body zvrau časové řady a aé všechny dolní body zvrau, pa se pro všechny pořebné časové oamžiy vynesou do grafu sředy vzdálenosí mezi horní a dolní lomenou čarou, naonec se zareslí lomená čára spouící iž zmíněné sředy. Více podrobnosí lze naléz v monografii T. Cipry [7]. Vyrovnávání dolních a horních výyvů Meoda průměrování cylů.. Aproximace rendu maemaicými funcemi Budeme předpoláda, že zoumaná časová řada má var y = Tr + ε, =,,..., n. Typ nevhodněší maemaicé funce pro danou časovou řadu se určue na záladě předběžné analýzy řady, nečasěi pomocí graficého záznamu řady nebo eoreicých znalosí o průběhu rendové složy. Sysemaicá 3
ypologie funcí vhodných pro popis rendové složy e uvedena např. v monografii J. Kozáa []. Meoda nemenších čverců... Konsanní funce. Předpoládeme, že rendová složa časové řady e onsanní funce, Tr = β, =,,.., n. Meodou nemenších čverců dosaneme pro bodový odhad β 0 vzah b 0 0 n = y = y. n = b 0 parameru Předpověď y ˆT hodnoy časové řady v čase T pro T > n e rovněž onsanní, oiž yˆ = y. T... Lineární funce Je-li rend lineární,. Tr = β + β, =,,..., n, 0 a 0 dosaneme pro bodové odhady b b paramerů β 0 a β pomocí meody nemenších čverců sousavu dvou normálních rovnic Jeí řešení má var přičemž ( n ) n nb + b = y, 0 = = n n n 0 + = = = = b b y. n = n n y y = = b =, b0 = y b, n n = +. Pro předpovědi y ˆT budoucích hodno časové řady pa plaí yˆ T = b0 + bt. V eonomericých časových řadách, de body pozorování sou zpravidla evidisanní, e výhodněší použí modelu Tr = γ0 + γ ( ), =,,..., n. Vzhledem omu, že plaí ( ) zednoduší na var nc Odud pro bodové odhady 0 n = = 0, sousava normálních rovnice se n = n = y, ( ) = ( ) c y. = = a 0 n c c paramerů γ a 0 γ snadno dosaneme 4
n y y = = c =, c n 0 = y n = a pro předpovědi budoucích hodno časové řady y = c + c ( T )..3. Kvadraicá funce n ˆ. T 0 V případě vadraicé funce můžeme, seně ao u funce lineární, použí dvou modelů: Tr = β + β + β, =,,..., n nebo 0 ( ) ( ) Tr = γ0 + γ + γ, =,,..., n. V obou ěcho případech dosaneme sousavu ří normálních rovnic pro bodové odhady b0, b a b, resp. c0, c a c, příslušných paramerů. Předpovědi budoucích hodno časové řady se pa počíaí pomocí vzahu yˆ = b + bt + bt, resp. T 0 ( ) ( ) yˆ T = c0 + c T + c T. Poznáma. Vzorce pro výpoče inervalových odhadů ednolivých paramerů sou uvedeny např. v monografii [7]...4. Exponenciální funce Uvažume se dvouparamericou funci ve varu Tr = αβ, α > 0, β > 0, =,,..., n, (.) erá se vyznačue ím, že podíl dvou sousedních hodno rendu ( Tr+ Tr ), seně ao podíl dvou sousedních prvních diferencí rendu (( Tr+ Tr+ )( Tr+ Tr)), má onsanní hodnou rovnou β. Je-li β >, pa e uvažovaná funce zřemě rosoucí, zaímco pro 0< β < e lesaící. Pro odhad paramerů exponenciálního rendu se nečasěi používá obyčená meoda nemenších čverců. Vzah (.) se neprve převede logarimováním na var lntr = lnα + ln β a odhady obou paramerů se určí minimalizací výrazu n = ( y α β ) ln ln ln. Poznáma. Právě uvedený vzah plaí ovšem pro mulipliaivní model y = Trε. 5
Meoda nemenších vážených čverců Lepší výsledy posyue meoda nemenších vážených čverců, eíž podsaa spočívá v om, že se ednolivá pozorování opařuí saisicými vahami w, =,,..., n, a minimalizue se výraz n = ( α β ) w ln y ln ln. Saisicé váhy e vhodné voli a, aby plailo w = y, =,,..., n...5. Modifiovaná exponenciální funce Tao funce ve varu Tr = γ + αβ, α < 0, 0 < β <, γ > 0, =,,..., n e vlasně zobecněním funce exponenciální. Doporučue se v ěch případech, dy podíl sousedních prvních diferencí řady e onsanní a řada e omezena hodnoou parameru γ. Pro odhad paramerů se časo využívá následuící posup. Soubor všech pozorování se (po případném vynechání ednoho nebo dvou počáečních pozorování) rozdělí na ři seně velé čási o délce m. Sečeme-li pozorování v ednolivých čásech, dosaneme ( m αβ β ) y Tr = mγ +, β αβ y Tr = mγ + m+ m ( β ) β, m ( β ) m+ αβ y 3 Tr 3 = mγ +. β Řešením éo sousavy pa spočeme odhady ab, a cvšech ří paramerů α, β a γ m y 3 y b =, y y b a= y, y m bb c = ( ) ( ) m y ab( b ) ( b ) m. Růsová funce..6. Logisicá funce Logisicá funce má var Tr = γ, α >, 0 < β <, γ > 0, =,,..., n. + αβ Tao funce vyazue inflexní bod inf = lnα ln β, e rosoucí a asympoicy omezena hodnoou parameru γ. Jeí graf má průběh ypicý pro zv. S-řivy. Důležiou charaerisiou logisicé funce e zv. růsová funce, erou dosaneme derivováním podle času 6
dtr ln β = Tr( γ Tr). (.) d γ Z uvedeného vzahu e zřemé, že rychlos růsu rendu e přímo úměrná neen dosažené úrovni Tr, ale i vzdálenosi éo úrovně od hladiny γ. Růsová funce e navíc symericá olem inflexního bodu. Pro odhad paramerů logisicé funce lze použí senou proceduru ao v případě modifiovaného exponenciálního rendu, v omo případě se odhadovací procedura apliue na časovou řadu hodno y. Alernaivní meoda odhadu vychází z řady prvních diferencí,. z řady y y, =,,..., n +. Jesliže ve vzahu (.) nahradíme hodnoy rendové složy Tr hodnoami suečných pozorování y a použieme dy aproximace y+ y =Δ, de Δ, =,,..., n, označue řadu d prvních diferencí původní časové řady, dosaneme (po malé úpravě) Δ ln β = ln β + y. y γ Odud už pomocí meody nemenších čverců spočeme odhady paramerů β a γ. Pro odhad zbývaícího parameru α použieme Rhodesova vzahu ( n )..7. Gomperzova funce n + lnβ γ lnα = + ln. n = y Tuo funci dosaneme ednoduše logarimicou ransformací modifiované exponenciální funce ln Tr = γ + αβ, α <, 0 < β <, =,,..., n. inf = ln α ln β, e aé rosoucí a asympoicy omezena. Jeí graf má aé podobu S-řivy. Příslušná růsová funce není symericá olem inflexního bodu, ale e ladně zešimená. Gomperzova funce má inflexi v bodě ( ) Odhad paramerů se provádí seně ao u modifiované exponenciální funce, ovšem odhadovací procedura se apliue na řadu ln y...8. Splinové (splanové) funce Namíso oho, abychom se snažili popsa rend něaé časové řady polynomem neúměrně vysoého supně, rozdělíme časovou řadu na něoli úseů a v aždém z nich aproximueme rend polynomem nízého supně (např. prvního nebo druhého). Výsledná funce e pa dána spoením funcí z ednolivých úseů. Přiom požadueme, aby ao funce byla spoiá a navíc dosaečně hladá, což znamená, aby měla aé spoié derivace až do určiého řádu včeně. Pomy zapamaování: meoda vyrovnávání dolních a horních výyvů, meoda průměrování cylů, meoda nemenších čverců, 7
meoda nemenších vážených čverců, funce aproximuící rend: o onsanní funce, o lineární funce, o vadraicá funce, o exponenciální funce, o modifiovaná exponenciální funce, o logisicá funce, o Gomperzova funce, o splanové funce, růsová funce. Shrnuí V éo apiole se zabýváme lasicými,. neadapivními, přísupy analýze rendové složy. Jsou popsány funce, eré slouží nečasěi aproximaci rendu, a aé meody pro odhadování eich paramerů. 8
3. METODY KLOUZAVÝCH PRŮMĚRŮ A KLOUZAVÝCH MEDIÁNŮ Po prosudování éo apioly: pochopíe principy meody louzavých průměrů, meody louzavých mediánů a meody adapivních vah, naučíe se, a správně voli paramery uvedených meod, osvoíe si princip cenrování eonomericých časových řad. V éo apiole se budeme zabýva řemi adapivními přísupy analýze rendové složy časové řady: meodě louzavých průměrů, meodě louzavých mediánů a meodě adapivních vah. Principy ěcho meod vysvělíme na onréních příladech a, abyse e doázali správně pochopi. 3.. Meoda louzavých průměrů Meoda louzavých průměrů e adapivní, což znamená, že e schopna pracova s aovými časovými řadami, eichž rend podléhá časovým změnám. V omo případě nelze aproximova celou časovou řadu maemaicou funcí (např. polynomem) s neměnnými paramery, ale e možné použí polynomu něaého nízého supně vyrovnání ráých úseů řady. Vychází se z předpoladu, že výchozí časová řada e očišěna od sezónních a cylicých fluuací. 3... Princip meody louzavých průměrů Meoda louzavých průměrů e založena na vyrovnávání ráých úseů časové řady polynomicými funcemi. Má dva paramery: délu louzavých průměrů a řád louzavých průměrů. Déla louzavých průměrů udává suečnou délu vyrovnávaných úseů časové řady. Předpoládá se, že e o liché číslo ( m+, m ). Řád louzavých průměrů (r) reprezenue supeň vyrovnávacího polynomu. Při onsruci louzavých průměrů se posupue ao. Neprve vyrovnáme pomocí vhodného polynomu prvních m + členů časové řady,. členy y, y,..., y m +, a hodnou vyrovnávacího polynomu v prosředním bodě (v čase = m+ ) považueme za vyrovnanou hodnou y ˆm+ dané řady v omo bodě. Pro zísání vyrovnané hodnoy y + (v čase = m+ ) provedeme uéž operaci s hodnoami ˆm Déla louzavých průměrů Řád louzavých průměrů 9
y, y3,..., y m +, ad. Můžeme si o předsavi a, že se podél zoumané časové řady posupně (vždy o ednu hodnou) posouvá ono o délce m + a s hodnoami, eré leží uvniř ohoo ona, se provede naznačená operace. Vyrovnané hodnoy časové řady sou pa vořeny lineárními ombinacemi hodno původní řady s pevně určenými oeficieny. Nyní si uážeme posup na onréním příladě. Vyrovneme danou časovou řadu meodou louzavých průměrů dély m + = 5 a řádu r = 3. V podsaě de vždy o vyrovnávání pěi hodno uvažované časové řady ( y+ τ, = 3,..., n, τ =,, 0,, ) polynomem 3. supně. Koeficieny vyrovnávacího polynomu se určí meodou nemenších čverců,. minimalizací výrazu ( ) 3 y+ τ β0 βτ βτ βτ 3 τ = Odpovídaící sousava normálních rovnic pro odhady b oeficienů β, = 0,,,3, má var + + + 3 y+ ττ b0 τ b τ b τ b3 τ τ= τ= τ= τ= τ= = Vzhledem omu, že pro lichá plaí obecně se podsaně zednoduší 0 3 τ = 5 b + 0 b = y,. 0. τ = 0, uvedená sousava τ = 0 b + 34 b = τ y, τ = 0 b0 + 34 b = τ y + τ, τ =- 34 b + + τ + τ 3 30 b3 = τ y + τ. τ = (3.) V éo fázi nám sačí en hodnoa vyrovnávacího polynomu v bodě τ = 0,. odhad b. 0 Řešením první a řeí rovnice sousavy (3.) dosaneme b0 = 7 5 35 y+ τ τ y+ τ = τ= τ= = ( 3y + y + 7y + y+ 3y+ ) 35. Odhad b 0 předsavue současně vyrovnanou hodnou časové řady v čase, aže yˆ = ( 3y + y + 7y + y+ 3y + ), 35 což se obvyle (symbolicy) zapisue ve varu yˆ = ( 3,,7,, 3 ) y. 35 0
Z uvedeného e zřemé, že louzavé průměry dély m + sou lineární ombinace hodno y m, y m+,..., y+ ms pevně určenými oeficieny. Tyo oeficieny (racionální čísla) se nazývaí váhy louzavých průměrů a sou abelovány (např. v monografii [7]). 3... Váhy louzavého průměru Váhy louzavého Pro váhy louzavých průměrů plaí následuící vrzení. průměru Souče vah louzavého průměru e roven. Váhy sou symericé olem prosřední hodnoy,. oeficieny u členů y a y pro =,,..., sou shodné. + m Je-li řád r louzavého průměru sudé číslo, pa louzavé průměry řádu r a r+ sou idenicé. 3..3. Vyrovnání počáečních a oncových úseů časové řady Vyrovnáním časové řady, eré bylo popsáno v odsavci 3.., zísáme vyrovnané hodnoy pouze pro = m+, m+,..., n m, což znamená, že prvních m hodno, seně ao posledních m hodno, dané řady zůsane nevyrovnáno. Proo si nyní uážeme, a se zísaí vyrovnané hodnoy na počáu a na onci časové řady, přiom budeme navazova na řešení příladu z odsavce 3... Neprve odvodíme vzahy pro vyrovnané hodnoy yˆ ˆ založen na vyrovnání posledních pěi pozorování časové řady,. pozorování y 4, y 3, y n n n, y n, y, n pomocí polynomu 3. supně 3 yˆn + τ = b0 + bτ + bτ + b3τ (3.) pro hodnoy τ = a τ =. K omu ovšem pořebueme zná ešě odhady b, b a b. Řešením sousavy (3.) dosaneme 3 3 65 τy+ τ 7 τ y+ τ, τ= τ= n a yn. Posup e b = 7 b =, 4 τ y+ τ y+ τ τ= τ= 3 b3 = 5 τ y+ τ 7 τ + τ 7 y. τ= τ= Jesliže nyní dosadíme za všechny odhady do vzahu (3.) a posupně volíme τ = a τ =, zísáme pro vyrovnané hodnoy yˆ ˆ n a yn yˆ n = (, 8,, 7, ) yn, 35 yˆ n = (, 4, 6, 4,69 ) yn. 70 Právě uvedené vzahy se nazývaí oncové louzavé průměry a příslušné oeficieny (u ednolivých pozorování) sou eich váhy. Analogicým posupem použiým na vyrovnání prvních pěi pozorování dosaneme pro počáeční louzavé průměry vzahy Koncové louzavé průměry Počáeční louzavé průměry
yˆ = ( 69,4, 6,4, ) y, 70 yˆ = (, 7,, 8, ) y. 35 Předpovědní louzavé průměry 3..4. Predice v časové řadě Vzahu (3.) můžeme použí i pro onsruci ráodobých předpovědí. Položíme-li τ = 3, můžeme psá yˆ ( ) n+ n = ( 4,, 4, 4,6 ) yn, (3.3) 5 de y n značí předpověď hodnoy y + zonsruovanou v čase ( ) ˆn + n = n. Uvedený posup e použielný en pro zísání ráodobých předpovědí. Obecně oiž plaí, že čím e vzdáleněší horizon předpovědi, ím e eho spolehlivos menší. Vzah (3.3) e příladem předpovědních louzavých průměrů. Váhy všech ypů louzavého průměru sou abelovány (např. v monografii [7]). Povšimněe si dále, že souče vah oncových, počáečních i předpovědních louzavých průměrů e aé roven, 3..5. ovšem Volba symerie paramerů olem prosřední meody hodnoy e narušena. 3..5. Volba paramerů meody Paramery meody louzavých průměrů se zpravidla volí subeivně na záladě posouzení charaeru experimenálních da s ím, že se preferuí vyrovnávací polynomy co nenižšího řádu a déla podle požadovaného supně vyhlazení. Déla louzavých průměrů by měla odpovída periodě sezónních nebo cylicých fluuací, eré chceme eliminova (vyhladi). Poud omu a není, periodicé fluuace zůsanou po vyhlazování zachovány. V monografii [7] se uvádí obeivní riérium pro určení řádu louzavých průměrů. Navrhované riérium má var n ( Δ y ) V = ( n ) de Δ e řada -ých diferencí původní časové řady. Z eorie vyplývá, y = +, že pro r+ předsavue hodnoa riéria V odhad rozpylu bílého šumu. V praxi se posupně počíaí hodnoy V, V,..., doud nezisíme, že yo hodnoy začínaí onvergova něaé onsaně. Jsou-li hodnoy V, V,... iž blízé éo onsaně, doporučue se vybra louzavé r+ r+ průměry řádu r. Hodnoy V nesou navzáem nezávislé a nemusí zevně onvergova něaé onsaně. V aždém případě vša uvedený posup umožňue naléz horní hranici pro řád louzavých průměrů.
3..6. Jednoduché louzavé průměry Výpoče louzavých průměrů se podsaně zednoduší, esliže zvolíme zv. ednoduché louzavé průměry. Jsou o prosé arimeicé průměry ednolivých pozorování časové řady. Např. ednoduché louzavé průměry dély 5 maí var ( ) yˆ =,,,, y. 5 Je zřemé, že ednoduchý louzavý průměr liché dély m + odpovídá obyčenému louzavému průměru řádu 0 nebo éže dély. Taé onsruce předpovědí budoucích hodno časové řady y + τ, τ > 0, pomocí ednoduchých louzavých průměrů liché dély e velmi snadná, plaí oiž obecně yˆ n+ τ = (,,...,) yn m, m + přičemž v orouhlé závorce e právě m + edniče. Vyrovnávání časové řady pomocí ednoduchých louzavých průměrů sudé dély není vhodné, proože vyrovnaná hodnoa pa neodpovídá žádnému oamžiu pozorování. Ale aová siuace běžně nasává u eonomicých časových řad, dy e přirozené voli délu louzavých průměrů rovnou (měsíční pozorování), resp. 4 (varální pozorování). V aových případech se doporučue použí zv. cenrované louzavé průměry. Uvažume např. eonomicou časovou řadu měsíčních pozorování. Apliace ednoduchých louzavých průměrů dély by sice umožnila eliminova sezónní fluuace řady, ale arimeicý průměr lednové až prosincové hodnoy za určiý ro nelze přiřadi žádnému suečnému oamžiu pozorování, proože padne právě doprosřed mezi červnové a červencové pozorování. Jesliže vša zprůměrueme dva aové sousední ednoduché louzavé průměry, eré odpovídaí sředům inervalů červenčervenec a červenec-srpen, pa výslednou vyrovnanou hodnou můžeme přiřadi červencovému pozorování. Tao vyvoříme cenrovaný louzavý průměr dély 3 ve varu yˆ = ( y 6 + y 5 +... + y+ 5) + ( y 5 + y 4... + y+ 6) = = y + y + y +... + y + y + y. ( ) 6 5 4 + 4 + 5 + 6 4 Právě uvedený vzah umožňue spočía vyrovnanou červencovou hodnou a, že použieme únorové až prosincové pozorování příslušného rou s vahami a lednová pozorování uvažovaného a následuícího rou s vahami 4. Analogicy se posupue i v případě varálních pozorování, dy používáme cenrované louzavé průměry dély 5 ve varu yˆ = ( y + y + y + y+ + y+ ). 8 Jednoduché louzavé průměry Cenrované louzavé průměry 3
3..7. Vliv meody na složy časové řady Z eoreicých úvah vyplývaí následuící závěry. Meoda louzavých průměrů by neměla mí žádný významný vliv na průběh rendové složy. Sezónní složa (periodicé fluuace vyšších frevencí) by měla bý po apliaci meody louzavých průměrů v podsaě eliminována, zaímco značný podíl cylicé složy (fluuace nízých frevencí) zůsává ve vyrovnané řadě. Bílý šum přesává mí po apliaci meody louzavých průměrů vlasnos neorelovanosi. 3.. Meoda louzavých mediánů Meoda louzavých mediánů paří rovněž meodám adapivním, proože umožňue analyzova řady s rendovou složou, erá podléhá časovým změnám. Princip éo meody, aož i praicé zušenosi s eí apliací, popisue J. W. Tuey v monografii [5]. Déla louzavých mediánů 3... Princip meody louzavých mediánů Meoda e založena na vyrovnávání ráých úseů časové řady pomocí mediánů. Na rozdíl od meody louzavých průměrů má pouze ediný paramer, a o délu louzavých mediánů. Déla louzavých mediánů určue suečnou délu vyrovnávaných úseů časové řady. Seně ao v případě meody louzavých průměrů se doporučue, aby déla louzavých mediánů byla rovna vhodnému lichému číslu ( m+, m ). Posup při onsruci louzavých mediánů e následuící. Neprve vyrovnáme pomocí mediánu prvních m + členů časové řady,. členy y, y,..., y m +, a hodnou ohoo mediánu považueme za vyrovnanou hodnou y + dané řady v prosředním bodě (v čase = m+ ). Pro zísání ˆm vyrovnané hodnoy y ˆm+ (v čase = m+ ) provedeme uéž operaci,. určení mediánu, s hodnoami y, y3,..., y m +, ad. Můžeme si o názorně předsavi a, že se podél zoumané časové řady posupně (vždy o ednu hodnou) posouvá ono o délce m + a z hodno, eré leží uvniř ohoo ona, se spoče medián. Nyní si uážeme posup na onréním příladě (viz [5]). Vyrovnáme hypoeicou časovou řadu (viz ab. 3., sloupec ) meodou louzavých mediánů dély m + = 3. Na první pohled e zřemé, že hodnoy rozumně vyhlazené řady by měly pomalu růs od cca 5 do cca 0. Přiom nemusíme brá v úvahu odlehlou hodnou 304, i dyž ao hodnoa může bý reálná, a edy indiova něaou významnou událos. Ve 3. sloupci ab. 3. sou uvedeny hodnoy vyrovnané meodou louzavých mediánů dély 3. V éo souvislosi e vhodné zdůrazni, že meodu louzavých mediánů e možno apliova na danou časovou řadu opaovaně. Výslede aové opaované (edy dvonásobné) apliace 4
meody e zaznamenán v posledním sloupci ab. 3.. Povšimněe si suečnosi, že další apliace meody louzavých mediánů na údae v posledním sloupci abuly už nevede žádným změnám. Tab. 3.. Vyrovnání časové řady meodou louzavých mediánů dély 3 Čas () Výchozí řada ( y ) Vyrovnaná řada ( y ˆ ) Dvonásobně vyr. řada ( y ˆ ) 4?? 7 7? 3 9 7 7 4 3 4 4 5 4 4 4 6 7 8 304 9 0 5 0 5 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 4 0 0? 5 4?? Meoda louzavých mediánů e ve srovnání s meodou louzavých průměrů podsaně ednodušší, vyrovnání dané časové řady e možno provádě zpaměi,. bez využií násroů výpočení echniy. Navíc uvažovaná meoda není cilivá na odlehlé (nepřiměřeně vysoé nebo nízé) hodnoy pozorování. 3... Vyrovnávání počáečních a oncových úseů řady Posup popsaný v předcházeícím odsavci nám neumožňue urči vyrovnané hodnoy na počáu a onci zoumané časové řady, což e v ab. 3. vyznačeno symbolem?. Pro sanovení ěcho vyrovnaných hodno doporučue Tuey [5] dva posupy. První z nich e velmi ednoduchý a spočívá v prosém opírování hodno počáečních a oncových pozorování do příslušných hodno vyrovnané řady. To znamená, že se ve řeím sloupci ab. 3. nahradí symboly? posupně hodnoami 4 (první vyrovnaná hodnoa) a 4 (poslední vyrovnaná hodnoa). Analogicy se posupue i při doplňování chyběících vyrovnaných hodno v posledním sloupci uvažované abuly. 5
Druhý doporučený posup e poněud složiěší. První, resp. poslední, vyrovnaná hodnoa se určí ao medián ze ří údaů: hodnoy prvního, resp. posledního, pozorování, nebližší vyrovnané hodnoy a výsledu lineární exrapolace dvou nebližších vyrovnaných hodno na oamži ležící právě o ednu časovou ednou před prvním pozorováním, resp. za posledním pozorováním, zoumané řady. 3.3. Meoda adapivních vah Meoda adapivních vah e v podsaě zobecněním meody louzavých průměrů. Modifiační onsana 3.3.. Princip meody adapivních vah Podobně ao u předcházeících meod se vychází z předpoladu, že pro zoumanou časovou řadu plaí y = Tr + ε. Předpovědi se onsruuí ao vážený průměr posledních M naměřených hodno časové řady, přiom váhy ednolivých pozorování se posupně adapuí (modifiuí) vždy v oamžiu, dy se přidává výslede nového pozorování. Pro sanovení předpovědí se používá vzah M () () yˆ = w y = + i + i i= () () = w y + w y +... + wmy+ M, v němž M označue délu louzavých průměrů a wi (), i=,,..., M, váhy ednolivých pozorování v čase. V oamžiu, dy máme dispozici nové pozorování y +, se váhy adapuí podle vzorce wi( + ) = wi( ) + r+ y+ i, i=,,..., M, de e zv. modifiační onsana a r ˆ + = y+ y+ () příslušná chyba předpovědi. Počáeční hodnoy vah se nasavuí a, aby plailo w 0 = M, i =,,..., M. i ( ) Podle auorů [7] posyue ao meoda lepší výsledy než meoda louzavých průměrů. Pomy zapamaování: meoda louzavých průměrů, o déla louzavých průměrů, o řád louzavých průměrů, o váhy louzavých průměrů, o počáeční louzavé průměry, o oncové louzavé průměry, o předpovědní louzavé průměry, o ednoduché louzavé průměry, o cenrované louzavé průměry, meoda louzavých mediánů, o déla louzavých mediánů, 6
meoda adapivních vah, o modifiační onsana. Shrnuí Tao apiola e věnována řem adapivním přísupům analýze rendové složy, a o meodám louzavých průměrů, louzavých mediánů a adapivních vah. Obsahue podrobné vysvělení záladních principů, z nichž uvedené meody vycházeí, a aé návod, a yo meody apliova v praxi. 7
8
4. EXPONENCIÁLNÍ VYROVNÁVÁNÍ Po prosudování éo apioly: pochopíe princip meody exponenciálního vyrovnávání, naučíe se, a opimálně voli hodnou vyrovnávací onsany, pochopíe souvislos mezi opimální hodnoou vyrovnávací onsany a mechanismy, eré generuí danou časovou řadu. Tao apiola se zabývá meodou exponenciálního vyrovnávání, erá předsavue eden z neužívaněších přísupů analýze rendové složy časové řady. Věnue výladu náležiou pozornos, abyse pochopili princip éo meody a naučili se í správně využíva při analýze vlasních experimenálních da. 4.. Princip meody Meoda exponenciálního vyrovnávání e založena na apliaci meody vážených nemenších čverců na všechna dosupná pozorování dané časové řady s ím, že váhy ednolivých pozorování se směrem do minulosi exponenciálně zmenšuí. Vyrovnané hodnoy y ˆ časové řady se určuí a, aby minimalizovaly hodnou výrazu = 0 ( ) y yˆ α, (4.) v němž α označue zv. vyrovnávací onsanu splňuící podmínu 0< α <. Uvedený výraz má var neonečného souču, přesože v praxi známe en onečný poče pozorování y, y,..., y n. Hypoeicé prodloužení časové řady do minulosi má vša rozumné oprávnění, umožňue oiž podsaně zednoduši vzorce pro výpoče vyrovnaných hodno a předpovědí. Princip exponenciálního vyrovnávání e po výpočení sránce velmi ednoduchý, má malé nároy na pořebný obem uchovávaných da a dovolue snadnou onsruci předpovědí. Ve všech varianách exponenciálního vyrovnávání se předpoládá, že vyrovnávaná časová řada má var y = Tr + ε. Vyrovnávací onsana 4.. Jednoduché exponenciální vyrovnávání Jednoduché exponenciální vyrovnávání se používá v případě, že rendová složa dané časové řady e v ráých úsecích onsanní,. plaí Tr = β Úolem e přiom naléz odhad b 0 parameru β. 0 Proože de o adapivní přísup rendové složce, bude eno odhad závislý na časovém oamžiu, 0. 9
ve erém se provádí. Označme symbolem b0 ( ) odhad parameru β 0 zonsruovaný v čase na záladě všech pozorování y, y,..., y, ež sou v čase dispozici. Teno odhad zísáme minimalizací výrazu = 0 ( y ()) β0 vzhledem β 0. Apliace meody nemenších čverců vede normální rovnici Vzhledem omu, že Zísaný odhad b ( ) 0 = 0 α b0 () α = α y = 0 = 0. α =, můžeme uo rovnici upravi na var α b0 () = ( α) α y. = 0 bude předsavova neen odhadnuou úroveň rendu v čase, ale současně i vyrovnanou hodnou y ˆ uvažované časové řady, proo můžeme psá yˆ = ( α) α y = ( α) y + αy + α y +.... (4.) = 0 Ze vzahu (4.) e zřemé, že vyrovnaná hodnoa řady v čase e váženým součem všech pozorování řady až do času včeně s exponenciálně α, α α, α α,.... lesaícími vahami ( ) ( ) Výraz (4.) můžeme přepsa ve varu yˆ = α y + α ˆ, (4.3) ( ) y erý vlasně reprezenue reurenní předpis pro výpoče vyrovnaných hodno analyzované časové řady. Vzah (4.3) doumenue iž uvedené výhody exponenciálního vyrovnávání (ednoduchos výpoču vyrovnaných hodno, nízé nároy na obem sladovaných da). V čase sačí uloži do paměi pouze vyrovnanou hodnou y a předcházeící vyrovnané hodnoy yˆ, yˆ,... 3 lze zapomenou. Pro sanovení předpovědí se používá vzahu yˆ ( ) ˆ n+ τ n = yn, τ =,,..., což znamená, že předpovědi sou pro všechny hodnoy τ onsanní, rovné vyrovnané hodnoě posledního pozorování. Abychom mohli použí reurenního vzorce (4.3), musíme urči vyrovnanou hodnou y ˆ 0. Pro sanovení éo hodnoy máme dvě možnosi:. určíme ŷ 0 ao arimeicý průměr vhodného poču počáečních pozorování,. apliueme zv. meodu baccasing založenou na exrapolaci řady směrem do minulosi. ˆ 30
4... Volba vyrovnávací onsany Na záladě praicých zušenosí doporučue Cipra [7] vybíra hodnou vyrovnávací onsany α z inervalu 0,7; ). Přiom vysoá hodnoa α odpovídá savu, dy se mechanismus generuící danou časovou řadu podsaně nemění, aže se poslednímu pozorování připisue en malá váha. Hodnoy α se upřesňuí dvěma posupy: M a) pomocí empiricého vzorce α =, de M označue nevhodněší M + délu ednoduchých louzavých průměrů pro vyhlazení dané řady, b) pomocí simulace, ež spočívá v om, že se posupně volí α = 0,70; 0,7; 0,74;...; 0,98 a naonec se vybere aová hodnoa α, erá posyue nelepší předpovědi,. minimální hodnou riéria SSE. Z uvedeného e zřemé, že se ednoduché exponenciální vyrovnávání v případě simulačního přísupu realizue ve dvou fázích. V první fázi se určí opimální hodnoa vyrovnávací onsany, ve druhé se provede vyrovnání časové řady s opimální hodnoou α a spočou se předpovědi. 4.3. Dvoié exponenciální vyrovnávání Při apliaci meody dvoiého exponenciálního vyrovnávání se předpoládá, že rend zoumané řady e v ráých časových úsecích lineární,. Tr. = β0 + β Odhady b resp. b ( ) paramerů, 0 β, určíme minimalizací výrazu 0 (), = 0 y, ( ( )) 0 β + β α, 0< α <. Meodou nemenších čverců dosaneme sousavu normálních rovnic ve varu α b0() b() = ( α) α y, α = 0 (4.4) α( α + ) αb0() b() = ( α) α y. α = 0 Konrolní úol 4.. ( ) Doaže, že plaí:, α, α + α α = α = α = 3. = 0 α = 0 α = 0 α ( ) ( ) Návod: planos druhého a řeího vzahu doážee posupným derivováním prvního vzahu podle α. 3
Vyrovnávací saisiy Pro zednodušení zápisu sousavy (4.4) se zaváděí dvě speciální veličiny: a) ednoduchá vyrovnávací saisia S definovaná předpisem S = ( α) α y, = 0 b) dvoiá vyrovnávací saisia S [ ] = ( α) α S. = 0 [ ] S definovaná předpisem Pomocí ěcho vyrovnávacích saisi lze sousavu (4.4) přepsa ve varu α b0() b() = S, α α( α + ) [ ] αb0() b() = S ( α) S. α Řešením uvedené sousavy dosaneme hledané odhady paramerů [ ] b0 ( ) = S S, α (4.5) [ ] b () = ( S S ). α Pro předpovědi yˆ + τ, τ =,,..., zonsruované v čase zřemě plaí [ ] α [ ] yˆ + τ = b0() + b() τ = ( S S ) + ( S S ) τ = α (4.6) ( α) τ ( α) τ [ ] = + S + S. α α Položíme-li ve vzahu (4.6) τ = 0, dosaneme pro vyrovnanou hodnou řady v čase [ ] yˆ = b = S S. ( ) 0 Vyrovnané hodnoy a předpovědi se počíaí pomocí reurenních vzorců S = α y + αs, ( ) ( α) [ ] [ ] = S + αs S, eré vyplývaí přímo z definice obou vyrovnávacích saisi. Počáeční [ ] hodnoy S0 a S 0 se obvyle určuí ze vzorců (4.5), do nichž dosadíme za b0( 0 ) a b( 0) regresní odhady paramerů přímy proložené počáečním úseem zoumané časové řady. Nevhodněší hodnoa vyrovnávací onsany α se určue podobně ao v případě ednoduchého exponenciálního vyrovnávání: buď pomocí M empiricého vzorce α = nebo simulací. M + 3
4.4. Troié exponenciální vyrovnávání Vychází se z předpoladu, že rendová složa e v ráých časových úsecích řady popsána vadraicým polynomem,. Tr = β + β + β 0. Odhady paramerů, vyrovnané hodnoy i předpovědi se počíaí analogicy ao u dvoiého exponenciálního vyrovnávání. Odvozené vzahy sou podsaně složiěší, vysupue v nich navíc roiá vyrovnávací saisia definovaná reurenně ao [ 3] [ ] [ ] S = ( α) S + αs 3. Podrobnosi sou uvedeny v monografii R. G. Browna [5]. Troiá vyrovnávací saisia Pomy zapamaování: ednoduché exponenciální vyrovnávání, dvoié exponenciální vyrovnávání, roié exponenciální vyrovnávání, vyrovnávací onsana, vyrovnávací saisiy. Shrnuí Tao apiola obsahue podrobný výlad principů meod exponenciálního vyrovnávání se zaměřením na ednoduché a dvoié exponenciální vyrovnávání. Zvlášní pozornos e přiom věnována problemaice volby opimální hodnoy vyrovnávací onsany. 33
34
5. METODY ANALÝZY SEZÓNNÍ SLOŽKY Po prosudování éo apioly: pochopíe principy lasicých i adapivních přísupů analýze sezónní složy časové řady, naučíe se v praxi analyzova časové řady s významnou sezónní složou. V éo apiole poznáe principy něerých lasicých (např. regresních) a adapivních meod pro analýzu sezónních vlivů na průběh časové řady. Doporučueme Vám, abyse věnovali maximální úsilí pochopení především Winersovy meody, ež posyue v praxi nelepší výsledy. Cílem analýzy časové řady s výraznou sezónní složou může bý: a) separace sezónní složy v zámu pochopení sezónních fluuací zoumané řady, b) očišění řady od sezónních vlivů za účelem efeivního sudia dlouhodobého rendu. 5.. Sezónní faory Před vlasní analýzou časové řady e řeba rozhodnou, aý yp deompozice použieme. Proo budeme důsledně rozlišova řady s mulipliaivní a adiivní sezónní složou. Časová řada vyazue mulipliaivní sezónní složu, esliže e ampliuda sezónních fluuací přímo úměrná úrovni rendu. Je-li vša ampliuda sezónních výyvů praicy nezávislá na úrovni rendu, e vhodné pracova s adiivní sezónní složou. Hodnoy sezónní složy Sz se nazývaí sezónní faory. Jeich poče e dán počem období (sezón) L v roce ( L = 4 pro varální pozorování, L = pro měsíční pozorování), označuí se Sz, Sz,..., Sz, + L + L L+ L de = 0,,... odpovídá posupně prvnímu, druhému, rou sledování časové řady. Hodnoy ěcho faorů se pro ednolivé roy nemění. Pro ednoznačnos deompozičního rozladu se zpravidla požadue, aby se vliv sezónních faorů v rámci aždého rou celově vyompenzoval, proo se yo faory normalizuí (normalizace sezónních faorů). Mulipliaivní sezónní faory sou bezrozměrná čísla. Pro eich normalizaci se používaí podmíny: L i= Sz i+ L = L nebo L Sz i + L= pro všechna = 0,,.... i= Sezónní faory 35