TRIN_STT_P11.doc STTIK - SOUOR PŘNÁŠK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení. Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTV definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními klouby ve styčnících. PRUT nezatížený binární člen ále budeme řešit pouze případy, kdy je ZTÍŽNÍ V STYČNÍÍH a ROVINNÉ KONSTRUK. OSY PRUTŮ (členů soustavy) se ve STYČNÍÍH protínají v jednom bodě. POMÍNK STTIKÉ URČITOSTI: p + m = 2 s p počet prutů m počet složek vnějších reakcí s počet styčníků Příklad: 8 9 1 2 p + m = 2 s 9 + = 2 12 = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.
Při posuzování statické určitosti soustavy však mohou nastat výjímkové případy, kdy soustava vyhovuje podmínce statické určitosti, ale ve skutečnosti je celá pohyblivá. Máme-li pochybnosti, je nutné vyšetřit soustavu podrobněji KINMTIKY, nebo u ní provést statické řešení. Vyjdou-li neznámé síly JNOZNČNĚ V KONČNÉ VLIKOSTI, je to důkaz, že nejde o výjímkový případ. VÝJÍMKOVÝ PŘÍP nastává, když determinant soustavy rovnovážných rovnic, které sestavíme pro uvolněné styčníky, se bude rovnat nule. V takovém případě vyjdou výpočtem některé osové síly, případně reakce nekonečně velké. Pokud nastane případ p + m > 2 s znamená to, že počet neznámých osových sil je větší než počet rovnovážných rovnic konstrukce je staticky neurčitá. Konstrukce staticky neurčitá je tvarově přeurčitá, protože k zachování tvaru konstrukce některé vazby přebývají. STTIKÁ NURČITOST VNĚJŠÍ určena reakcemi VNITŘNÍ určena konstrukcí soustavy V případě, kdy p + m < 2 s je prutová konstrukce staticky přeurčitá a tvarově neurčitá, protože je pohyblivá.
Příklad: H G 9 2 8 10 12 1 11 p + m = 2 s 12 +? 2 8 1 < 1 Ve středním poli chybí prut, proto je prutová konstrukce pohyblivá. NLYTIKÉ MTOY ŘŠNÍ metoda styčníková (základní metoda) metoda průsečná (doplňková metoda) STYČNÍKOVÁ MTO postupné uvolnění jednotlivých styčníků Na styčníky působí tři druhy sil - vnější zatížení - reakce - osové síly od prutů ROVINNÁ SILOVÁ SOUSTV S SPOLČNÝM PŮSOIŠTÉM Je vhodné nejprve vypočítat z ROVNI ROVNOVÁHY reakce soustavy jako celku (ale mohou být řešeny současně s osovými silami). Výpočet začneme ve styčníku, kde jsou NJVÝŠ VĚ NZNÁMÉ OSOVÉ SÍLY. V následující demonstrační ukázce je to styčník.
emonstrační příklad: 1 α γ δ x α γ δ 2 y Řešení: α 1 - γ δ x α + γ δ 2 y Začátek postupu řešení je dle obr. zadání. Ve styčníku zavedeme v prutech 1 a 2 síly ven za styčníku (tahové) a pro styčník (bod) sestavíme rovnovážné rovnice. ix = 0 x + S 1 cosα + S 2 = 0 iy = 0 y + S 1 sinα = 0 Ze vzniklé soustavy rovnic vypočteme neznámé osové síly S 1 a S 2. je to soustava dvou rovnic o dvou neznámých jako každá jiná, ze druhé rovnice v tomto případě vyjde S 1 záporná a také jako záporná (včetně znaménka se dosadí do rovnice první a dopočte se neznámá S 2 ). V našem případě vyšla S 1 záporná
skutečná orientace osové síly je opačná než jsme povinně zavedli, působí tedy do styčníku = tlak znaménko -. Na opačném konci prutu 1 podle zákona akce a reakce působí S 1 rovněž do styčníku. Síla S 2 vyšla kladná skutečná osová síla v prutu 2 působí ve stejném smyslu jako byla povinně zavedena, působí tedy ze styčníku = tah znaménko +. Na opačném konci prutu 2 podle zákona akce a reakce působí S2 rovněž ze styčníku. ále pokračujeme styčníkem. V prutu 1 už osovou sílu známe, v prutech a opět povinně zavedeme osové síly ve ze styčníku. Rovnovážné rovnice sestavíme na základě známé orientace osové síly S 2 a povinně zavedených orientací osových sil S a S. Pokud průmět příslušné osové síly do vodorovné osy směřuje doprava v rovnici znaménko +, v opačném případě znaménko -. V ose svislé průmět příslušné vzhůru v rovnici znaménko +, v opačném případě -. : S 1 cosα + S cos + S = 0 S 1 sinα - S sin = 0 Při výpočtu dosazujeme již dříve vypočtené (z předchozích rovnic) síly v SOLUTNÍ HONOTĚ znaménko síly je určeno příslušnou rovnicí. V případě rovnovážných rovnic pro styčník bude tedy i záporná síla S 1 dosazena jen svou velikostí. Po výpočtu neznámých osových sil S a S vyznačíme jejich orientace do obr. obdobně jako v případě styčníku. ále pak můžeme pokračovat styčníkem nebo. V posledním styčníku provedeme kontrolu: ix = 0 iy = 0 Zpravidla nebude součet sil v příslušné ose roven 0, ale bude roven velmi malé hodnotě blízké nule, protože vlivem konečného počtu desetinných míst goniometrických funkcí (optimální je vyčíslování na des. místa) dochází
k řetězení chyb a tím v konečném důsledku i k velmi malé odchylce od nulové hodnoty v posledním styčníku. PRŮSČNÁ MTO výpočet pouze některých osových sil Spočívá v rozdělení soustavy na dvě dílčí pomyslným přerušením nejvýše tří prutů, které nahradíme příslušnými osovými silami. Oddělené dílčí podsestavy prutů chápeme jako TUHÁ TĚLS. γ 1 x α γ δ 2 y S S h b x α S S S 2 S 2 y a Obě oddělené podsestavy tvoří obecné soustavy sil v rovině pro řešení si vybereme levou nebo pravou podsestavu soustavu sil (té druhé si pak již nevšímáme)
V případě, že jsme si vybrali levou či pravou stranu sestavíme rovnovážné rovnice, které sestavujeme výhodně tak, aby pokud možno byla v každé pouze jedna neznámá. Je výhodné sestavit dvě rovnovážné podmínky momentové k průsečíkům dvou neznámých osových sil a jednu podmínku složkovou, vypuštěnou složkovou podmínku pak můžeme použít ke kontrole. V našem případě jsme si vybrali levou stranu: iy = 0 y S sin = 0 M i = 0 x h y b + S 2 h = 0 M i = 0 -y a S h = 0 Z rovnic po dosazení zadaných hodnot vypočteme neznámé osové síly S 1, S 2 a S. Pro kontrolu správnosti výsledků řešení můžeme zkontrolovat rovnováhu v ose x, kam dosadíme výsledky včetně znamének: ix = 0 Rx + S 2 + S cos + S = 0 GRIKÉ MTOY ŘŠNÍ metoda remonova remonova metoda spočívá ve statickém řešení rovnováhy jednotlivých styčníků. K tomu, aby se ve složkovém obrazci vyskytovala každá osová síla pouze jednou, nezakreslují se do něj šipky a je nutno zvolit níže uvedený postup řešení.
Vypočteme reakce a nakreslíme prutovou soustavu ve vhodně zvoleném měřítku délek a všechny vnější síly (zatěžující a reakce) zakreslíme ve zvoleném měřítku sil. Zvolíme smysl obcházení prutové soustavy (ve smyslu nebo proti smyslu hodinových ručiček) a v tomto pořadí zakreslíme rovnovážný obrazec vnějších sil. Pak začneme řešit osové síly v tzv. dvojném styčníku, kdy ve zvoleném smyslu - pořadí vyjdeme ze zakreslené vnější síly a pokračujeme směry osových sil ve styčníku. Vysledujeme orientace osových sil ve vznikajícím remonově obrazci a tyto zakreslíme šipkami do zobrazení prutové soustavy. Podle zákona akce a reakce dokreslíme šipky na protilehlé konce prutů. Šípka orientovaná ze styčníku znamená tah tj. znaménko +, do styčníku tlak tj. znaménko -. Příslušná znaménka zapíšeme do remonova obrazce i do obrázku prutové soustavy. Pokračujeme v dalším styčníku s nejvýše dvěma neznámými osovými silami tak, že již příslušná známá síla má orientaci dle šipky u tohoto styčníku a další osové síly s ní tvoří uzavřený obrazec se šipkami ve stejném sledu. Tento postup opakujeme až do vyřešení všech osových sil.
emonstrační příklad: yly vypočteny reakce a prutová soustava byla nakreslena v měřítku délek, vnější síly byly zakresleny v měřítku sil. Složky x a y budou složeny do výsledné reakce. 1 x 2 y Zvolili jsme smysl obcházení soustavy ve smyslu hodinových ručiček a v tomto smyslu zakreslíme v pořadí rovnovážný obrazec vnějších sil. smysl obcházení 1 2
Ve styčníku ve zvoleném smyslu obcházení začneme a pokračujeme 1 a 2. Orientace osových sil v remonově obrazci přeneseme ke styčníku do obrázku prutové soustavy zakreslíme šipky a podle zákona akce a reakce zakreslíme šipky také k protilehlým koncům prutů 1 a 2.
Pokračujeme styčníkem : rovnováha v pořadí 1,,. Orientace osových sil opět překreslíme ke styčníku a podle zákona akce a reakce doplníme šipky na opačných koncích prutů. - + - +
Pokračujeme styčníkem : rovnováha,,. + - - + - + + -
pokračujeme styčníkem : rovnováha,,. + + - - + - + + - + Nyní můžeme ještě v remonově obrazci ověřit rovnováhu ve styčníku :, 2,,,. Nakonec odměříme délky příslušných úseček v remonově obrazci, použitím měřítka přepočteme na hodnoty velikostí osových sil a včetně znaménka je zapíšeme přehledně do tabulky. 1 číslo prutu 1 2 osová síla [ *] - ** - ** 2 + ** - ** 1 + ** 8 + ** 1 - ** * jednotky (N nebo kn) ** číselná hodnota osové síly