OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ



Podobné dokumenty
OBSAH 1 Úvod Fyzikální charakteristiky Zem Referen ní plochy a soustavy... 21

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

DRUHY VÝŠEK A JEJICH TEORETICKÝ PRINCIP. Hynčicová Tereza, H2IGE1 2014

Aplikovaná matematika I

6.16. Geodetické výpočty - GEV

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

1 Determinanty a inverzní matice

Integrální počet funkcí jedné proměnné

Test z matematiky. Přijímací zkoušky na bakalářský obor Bioinformatika

Detekce kartografického zobrazení z množiny

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 11 Z GEODÉZIE 1 (Hodnocení přesnosti měření a vytyčování) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G

Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Matematika B101MA1, B101MA2

Aplikovaná numerická matematika

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

0.1 Úvod do lineární algebry

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Čebyševovy aproximace

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Shodnostní Helmertova transformace

Nastavení parametrů PID a PSD regulátorů

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Numerické metody zpracování výsledků

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Arnoldiho a Lanczosova metoda

0.1 Úvod do lineární algebry

PrecisPlanner 3D v2.2

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

Zákony hromadění chyb.

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Numerické metody a programování

Pozn. 1. Při návrhu aproximace bychom měli aproximační funkci vybírat tak, aby vektory ϕ (i) byly lineárně

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Co je obsahem numerických metod?

ZAMĚŘENÍ PŘETVOŘENÍ ŽELEZNIČNÍHO MOSTU V KLÁŠTERCI NAD OHŘÍ

Náhodné chyby přímých měření

1. Jordanův kanonický tvar

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Maturitní témata profilová část

Cvičení 5 - Inverzní matice

ODR metody Runge-Kutta

Soustavy lineárních rovnic

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

1 Vektorové prostory.

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Úlohy nejmenších čtverců

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

SOLVER UŽIVATELSKÁ PŘÍRUČKA. Kamil Šamaj, František Vižďa Univerzita obrany, Brno, 2008 Výzkumný záměr MO0 FVT

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Pružnost a plasticita II CD03

7. Analýza rozptylu.

Země a mapa. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT. Geodézie ve stavebnictví.

Transportní vlastnosti tekutin. dynamická viskozita (μ/η) tepelná vodivost (λ) difuzivita (D 12 )

Podrobné polohové bodové pole (1)

AVDAT Nelineární regresní model

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Soustavy lineárních rovnic

Stav a možná implementace DRG v zásadních otázkách

VYSOKONAPĚŤOVÉ ZKUŠEBNICTVÍ. #2 Nejistoty měření

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Globální matice konstrukce

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Jiří Ambros Vliv parametrů výpočtu na přesnost převýšení měřených GPS

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

REGRESNÍ ANALÝZA V PROSTŘEDÍ MATLAB

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

K přesnosti volného stanoviska

Numerické metody a programování. Lekce 4

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11

II. Úlohy na vložené cykly a podprogramy

CVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

0 0 a 2,n. JACOBIOVA ITERAČNÍ METODA. Ax = b (D + L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. (i) + T J

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

Vytyčení polohy bodu polární metodou

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

Operace s maticemi. 19. února 2018

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika Obor reálných čísel

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Transkript:

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014

ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE ŘADA DAT S RŮZNÝMI ČÍSELNÝMI HODNOTAMI TÉŽE VELIČINY A PRO VÝPOČET ÚLOHY MÁME NAMĚŘENO VÍC HODNOT, NEŽ JE TŘEBA (TZV. NADBYTEČNÁ MĚŘENÍ) ŘEŠENÍ ÚLOHY NENÍ JEDNOZNAČNÉ A JEDINÝM KOREKTNÍM ZPRACOVÁNÍM DAT JE JEJICH VYROVNÁNÍ VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJE JEDNOZNAČNÝ VÝPOČET HLEDANÝCH HODNOT A ODHADNE PŘESNOST JEJICH URČENÍ VČETNĚ KONTROL VYROVNÁNÍM URČENÝCH HODNOT

METODY VYROVNÁNÍ PRO VÝPOČET S NADBYTEČNÝMI MĚŘENÍMI JE VŽDY NUTNÉ ŘEŠENÍ PROVÁDĚT ZA ZVOLENÉ DODATEČNÉ PODMÍNKY METOD VYROVNÁNÍ JE VELKÉ MNOŽSTVÍ, OBVYKLE VYCHÁZÍ Z PODMÍNKY MINIMA NĚKTERÉ NORMY VEKTORU OPRAV MĚŘENÍ Z HLEDISKA VYUŽITÍ LZE METODY VYROVNÁNÍ ROZDĚLIT TAKTO: METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ (MNČ) NEJČASTĚJI UŽÍVANÁ V GEODÉZII DALŠÍ METODY (METODA MINIMAX, METODY ROBUSTNÍHO ODHADU) V GEODÉZII JSOU POUZE DOPLŇKOVÉ (NAPŘ. PRO DETEKCI HRUBÝCH CHYB)

METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ MATEMATICKO-STATISTICKÁ METODA PRO APROXIMACI ŘEŠENÍ PŘEUČENÝCH SOUSTAV ROVNIC "NEJMENŠÍ ČTVERCE" ZNAMENAJÍ, ŽE VÝSLEDNÉ ŘEŠENÍ MÁ MINIMALIZOVAT SOUČET ČTVERCŮ ODCHYLEK VŮČI KAŽDÉ ROVNICI POPRVÉ JI POUŽIL JEJÍ AUTOR CARL FRIEDRICH GAUSS V ROCE 1795 PRO ELIMINACI CHYB PŘI GEODETICKÉM MĚŘENÍ PŘI SPLNĚNÍ URČITÝCH PŘEDPOKLADŮ DÁVÁ NEJMENŠÍ STŘEDNÍ CHYBU ODHADU NEZNÁMÝCH VELIČIN PŘEDPOKLAD = MINIMALIZOVANÁ NORMA VEKTORU OPRAV: ppvv 2 = mmmmmm

METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ

METODA MINIMAX ZALOŽENA NA MINIMAX ALGORITMU POUŽÍVÁ SE, KDYŽ JSOU MĚŘENÍ ZADÁNA TOLERANČNÍMI INTERVALY HLEDÁME TAKOVÉ ŘEŠENÍ, JEHOŽ MAXIMÁLNÍ MOŽNÁ CHYBA JE ZE VŠECH MAXIMÁLNÍCH CHYB DALŠÍCH MOŽNÝCH ŘEŠENÍ NEJMENŠÍ POUŽÍVANÁ SE NAPŘ. I VE STRATEGICKÝCH HRÁCH MEZI DVĚMA A VÍCE HRÁČI (DÁMA NEBO ŠACHY) - ÚKOLEM JE NALÉZT NEJLEPŠÍ TAH V DANÉ POZICI

ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ 1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ (JEDINÁ NEZNÁMÁ VELIČINA BYLA NEZÁVISLE MĚŘENA VÍCEKRÁT ZA SEBOU) 2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ (VÍCE NEZNÁMÝCH VELIČIN JE NEPŘÍMO URČENO PROSTŘEDNICTVÍM PŘÍMÉHO MĚŘENÍ JINÝCH VELIČIN, KTERÉ JSOU S NEZNÁMÝMI VE ZNÁMÉM FUNKČNÍM VZTAHU (NAPŘ. POČÍTANÉ SOUŘADNICE A MĚŘENÉ ÚHLY, DÉLKY) 3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ (JEDNOTLIVÉ VELIČINY SE MĚŘÍ PŘÍMO, AVŠAK SOUČASNĚ MAJÍ SPLŇOVAT PŘEDEM DANOU MATEMATICKOU NEBO GEOMETRICKOU PODMÍNKU (NAPŘ. SOUČET ÚHLŮ V ROVINNÉM TROJÚHELNÍKU) 4) SLOŽITĚJŠÍ, KOMBINOVANÉ ZPŮSOBY VYROVNÁNÍ

1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ DĚLÍME NA VYROVNÁNÍ: STEJNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM ARITMETICKÝ PRŮMĚR): xx = ll nn mm xx = mm nn mm = vv2 nn 1 RŮZNÉ PŘESNOSTI (PŘI APLIKACI MNČ JE VÝSLEDKEM VÁŽENÝ (OBECNÝ) ARITMETICKÝ PRŮMĚR): xx = pppp pp mm xx = mm 0 pp mm 0 = pppp2 nn 1 mm ii = mm 0 pp ii

1) VYROVNÁNÍ PŘÍMÝCH MĚŘENÍ MĚŘICKÝCH DVOJIC (NAPŘ. DVAKRÁT MĚŘENÁ DÉLKA, MĚŘENÍ TAM A ZPĚT PŘI NIVELACI, ) STEJNÉ PŘESNOSTI xx = ll ii +ll ii 2 dd ii = ll ii -ll ii mm = dddd 2nn mm xx = mm 2 RŮZNÉ PŘESNOSTI xx = ll ii +ll ii 2 dd ii = ll ii -ll ii mm 0 = ppdddd 2nn mm 0xx = mm 0 2 mm ii = mm 0 pp ii mm xxii = mm 0xx pp ii

2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ ÚLOHU LZE ROZDĚLIT DO TĚCHTO KROKŮ: 1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: K= POČET NEZNÁMÝM (NUTNÝCH MĚŘENÍ) N= POČET PROVEDENÝCH MĚŘENÍ MUSÍ PLATIT: N>K 2) VOLBA NEZNÁMÝCH A SESTAVENÍ FUNKČNÍCH VZTAHŮ: ll = ff(xx TT ) PŘ. PŘI VYROVNÁNÍ NIVELAČNÍ SÍTĚ: xx = HH AA, h 1 = xx HH AA, 3) ROVNICE OPRAV: vv = ff xx TT ll = ll ll

2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 4) PŘETVOŘENÉ ROVNICE OPRAV A VOLBA PŘIBLIŽNÝCH NEZNÁMÝCH: xx 0 =? vv = AAAAAA + lll lll = ff xx 0 TT ll AA = MATICI A(N, K) NAZÝVÁME MATICÍ PLÁNU 5) NORMÁLNÍ ROVNICE: VZNIKNOU DOSAZENÍM PŘETVOŘENÉ ROVNICE OPRAV DO PODMÍNKY MNČ: AA TT PPPPPPPP + AA TT PPlll = 0 MATICE P JE MATICE VAH (DIAGONÁLNÍ)

2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 6) ŘEŠENÍ NORMÁLNÍCH ROVNIC: dddd = (AA TT PPPP) 1 AA TT PPlll 7) VÝPOČET OPRAV MĚŘENÍ (DOSAZENÍ DO PŘ. ROV. OPRAV): 8) VÝPOČET NEZNÁMÝCH: vv = AAAAAA + lll xx = xx 0 + dddd 9) VÝPOČET VYROVNANÝCH MĚŘENÍ ll II = ll + vv 10)KONTROLA DOSAZENÍM DO FUNKČNÍCH VZTAHŮ: ll IIII = ff(xx TT ) ll II ll IIII

2) VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ 11)ZÁVĚREČNÁ KONTROLA (NEZÁVISLÁ KONTROLA VÝPOČTU, NAPŘ. KONTROLA UZÁVĚRŮ, ) 12)KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ: APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA: STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ llll = mm 0 2 QQ llll, STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ: mm 0 2 = vvtt pppp nn kk QQ llll = PP 1 Σ llll = mm 0 2 QQ llll QQ llll = AAQQ xxxxaa TT STŘEDNÍ CHYBY NEZNÁMÝCH: Σ xxxx = mm 0 2 QQ xxxx, QQ xxxx = (AA TT PPPP) 1 STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH

3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 1) STANOVENÍ DIMENZE ÚLOHY: rr = nn kk (POČET PODMÍNEK) 2) SESTAVENÍ PODMÍNEK: φφ ll TT = 0 NAPŘ. 180 αα ββ γγ = 0 3) PŘETVOŘENÉ PODMÍNKOVÉ ROVNICE: BBBB + uu = 0 4) VÝPOČET OPRAV: BB = ll uu = φφ(ll TT ) vv = PP 1 BB TT (BBPP 1 BB TT ) 1 uu KORELÁTY K

3) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ 5) VYROVNANÁ MĚŘENÍ: ll = ll + vv 6) KONTROLA DOSAZENÍM DO PODMÍNEK: φφ ll TT 0 7) KONTROLA DOSAZENÍM DO DALŠÍCH (ZÁVISLÝCH) PODMÍNEK 8) KVALITATIVNÍ HODNOCENÍ: APOSTERIORNÍ JEDNOTKOVÁ STŘEDNÍ CHYBA: STŘEDNÍ CHYBY MĚŘENÝCH VELIČIN: Σ llll = mm 0 2 QQ llll, STŘEDNÍ CHYBY VYROVNANÝCH MĚŘENÍ: Σ llll = mm 0 2 QQ llll QQ llll = PP 1 mm 0 2 = vvtt pppp rr QQ llll = PP 1 PP 1 BB TT (BBPP 1 BB TT ) 1 BBPP 1 STŘEDNÍ CHYBY FUNKCÍ VYROVNANÝCH NEZNÁMÝCH

4) KOMBINOVANÉ DRUHY VYROVNÁNÍ VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ S PODMÍNKAMI (APLIKOVÁNO PŘI VYROVNÁNÍ VOLNÝCH SÍTÍ) VYROVNÁNÍ PODMÍNKOVÝCH MĚŘENÍ S NEZNÁMÝMI (NAPŘ. K NALEZENÍ CHYBY KONSTANTNÍ VELIKOSTI V MĚŘENÝCH DATECH)

LITERATURA: BÖHM, J., RADOUCH, V., HAMPACHER, M. (1990) TEORIE CHYB A VYROVNÁVACÍ POČET. GEODETICKÝ A KARTOGRAFICKÝ PODNIK PRAHA, 1990, 2. UPRAVENÉ VYDÁNÍ. DĚKUJI ZA POZORNOST