Příklad 2. Popíšeme předpoklady výpočtu pravděpodobnost výsledků hodu několika kostkami. Příklad prvého schematu ukázal, že rostoucím počtem mincí se mění relativní četnosti jednotlivých tvarů. Nyní tuto skutečnost ukážeme na podmnožinách se šesti možnostmi, které budou nejprve stejné, a následně dostanou ve 3. schematu jednotlivé možnosti různé velikosti. Nebinární šestková soustava s náhradním binárním schematem (36 binárních prvků). Herní pole 6 hracích kostek 6^6 možností (46656) variant uspořádání. hrací kostka 1 hrací kostka 2 hrací kostka 3 hrací kostka 4 hrací kostka 5 hrací kostka 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 E1 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 E2 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 E3 4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 E4 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 E5 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 E6 7 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Poř. čís. Tato soustava šestic už má 6 extrémních uspořádání. Vymyká se tedy Pascalovu trojúhelníku, který zobrazuje binární systematiku. Ale jak nadpis tabulky napovídá, každý jednotlivý případ má binární charakter. Je to dáno tak zvaným n zobrazením. Řekneme si tedy, že celý systém jsou kombinace 6. třídy z celku 36, které jsou nějak vyloučeny v předpokladu. Podobné téma numerický příklad 2. tabulka 2., kde je v předpokladu vyloučena modifikace například velikostí k-tice, nebo počtem k-tic. V tomto případě můžeme podstatu vyloučení nazvat například jako poziční, ale obecně je to vyloučení z určitého nějakého důvodu, a může být i neznámý tedy kauzální (na rozdíl od předpokladu). Původní teorie hovoří o navzájem se vylučujících případech. Vzorec pro řízení kombinacemi je dán součinem všech šesti podmnožin jako prvních tříd z celku 6. Tedy (kombinace 1. třídy celku 6)^6. Všech kombinací 6. třídy celku 36 je 1947792. Existujících šestic z vyloučení je 46656, což je asi 41,75 krát méně. Každá jednotlivá jednice celku 36 různých se opakuje 7776 krát. Takže každý jednotlivý prvek na výpisu všech podob má 7776 jednic ve sloupci a 38880 nul. Je to poměr zase jen 1:6. Absolutnímu poměru jednic a nul ve sloupci každého prvku 7776 : 38880 říkáme Referenční systém prvku (RS), zatímco poměru 6 ze 36 říkáme řídící systém (DS) D=direct, S = systém. DS se vztahuje ke všem prvkům množiny. RS se vztahuje ke všem různým stavům jediného prvku, a je to binární soustava. Poznámka RS a jeho konkrétní podoba je pro jeden prvek jako pro první prvek dán kombinacemi. V tomto vzorci kombinací jsou jednice jako výběr ( k ) a nuly jako množina (n k), tedy 7776. třída celku 46656. Jednotlivé referenční soustavy jsou navzájem omezeny. To je snadno pochopitelné u jedné kostky. Tam kde má RS jednoho čísla jednici, musí mít jiné číslo nulu. Ale také navzájem nezávislé prvky různých kostek jsou omezeny. Na etalonu všech možných (46656) má například 35. prvek 2 varianty a poslední prvek (samozřejmě jeho RS) už nemá variantu žádnou, protože každý jeden z jeho 46656 stavů je dán dopočítáním na každém jednotlivém řádku (sigmaaditivní princip). Jinak bychom totiž nedostali etalon všech možných. Systém všech RS má také konečný počet uspořádání dán jako 46656! (tedy faktoriál čísla 46656). Proto například nemůže mít dvě stejné RS. Počet jednic je dán jinak, nežli počet dvojic. Teoreticky zcela nezávislé prvky by mohly 46656 krát opakovat jedinou stejnou RS, tedy jediný tvar. Potom by ale vzniklo 7776 krát kombinace 36. třídy celku 36, a 38880 krát nultá třída celku 36. Z toho plyne poučení. Charakter klasického vzájemného vyloučení je stejný jako vyloučení principem kombinací. Omezuje se kombinace jednotlivých referenčních systémů prvků množiny. Aby toho nebylo moc, ukážeme si na příkladu dvou kostek násobení pravděpodobnosti.
Pravidlo o násobení pravděpodobností Herní pole 2 kostky 36 variant Pravděpodobnost Pravděpodobnost hrací kostka 1 hrací kostka 2 hrací kostka 1 hrací kostka 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 řádku 1 1 1 1/6 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 2 1 2 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 3 1 3 1/6 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 4 1 4 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 5 1 5 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 6 1 6 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 7 2 1 0 1/6 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 8 2 2 0 1/6 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 9 2 3 0 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 10 2 4 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 11 2 5 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 12 2 6 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 13 3 1 0 0 1/6 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 14 3 2 0 0 1/6 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 15 3 3 0 0 1/6 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 16 3 4 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 17 3 5 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 18 3 6 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 19 4 1 0 0 0 1/6 0 0 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 20 4 2 0 0 0 1/6 0 0 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 21 4 3 0 0 0 1/6 0 0 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 22 4 4 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 23 4 5 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 24 4 6 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 25 5 1 0 0 0 0 1/6 0 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 26 5 2 0 0 0 0 1/6 0 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 27 5 3 0 0 0 0 1/6 0 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 28 5 4 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 29 5 5 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 30 5 6 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 31 6 1 0 0 0 0 0 1/6 1/6 0 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 32 6 2 0 0 0 0 0 1/6 0 1/6 0 0 0 0 (1/6)^2=1/36 33 6 3 0 0 0 0 0 1/6 0 0 1/6 0 0 0 (1/6)^2=1/36 34 6 4 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 1/6 0 0 (1/6)^2=1/36 35 6 5 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 1/6 0 (1/6)^2=1/36 36 6 6 0 0 0 0 0 1/6 0 0 0 0 0 1/6 (1/6)^2=1/36 Součin pravděpodobností jako pravidlo platí pouze pro jevy řízené variacemi. Celkem 1 Už při dotazu na to kdy padne jiný tvar, nežli stejná čísla, je pravděpodobnost 2/36 = 1/18 Poř. čís. Tato tabulka ukazuje, že součet součinů všech řádků dává dohromady 1 celá = 100%. Dost logicky 36 krát 1/36 = 1 celá. Je li tedy jev řízen variacemi s opakováním, platí pravidlo o násobení pravděpodobnosti. Je-li však řízen jinak, například kombinacemi, pravidlo o násobení pravděpodobností neplatí. Přes to je nutno pozorně určit kombinatorický model. (Variace s opakováním neexistují, jde o určitý výběr dvojic celku 12p) Například uvedeme numerické příklady, kde jsou výpočtem kombinatorické matice, a taktéž rozdělená množina všech možných simuluje navzájem vyloučené případy. V tomto příkladu ale pravidlo o násobení pravděpodobnosti platí, a je to v celku výhoda, protože pokud jsou stejné součiny, lze počet stavů dovodit ze vztahu 1/pravděpodobnost. Horší to je v případě, že součiny na řádku nejsou stejné. Pokud máme však dostatek jednotlivých údajů (řádků), poslouží nám dobře průměrná pravděpodobnost. Takže budeme li šetřit opakování (může být nekonečné) relativních hodnot jako výsledků, uděláme jednoduše aritmetický průměr a z něho zjistíme kolik řádků má RS každého prvku. Následně můžeme dovodit i DS celého systému (bývá často málo zjevný). Obecný DS je dán průměrným
RS jako x*y*z..., takže vlastně odhadujeme součin kombinací určitých tříd, kde DS celkem je součet x+y+z... Právě z počtu variací x y, nebo podobného vztahu zjistíme nejbližší třídy kombinací (Pascalovo schema). Podobných hodnot bývá sice více zejména když máme jen přibližné hodnoty z průměru, ale zase jich není tolik, aby se nedaly jednotlivé modely DS napasovat blíž ke skutečnosti a diskrétnímu modelu. Pak právě doceníme teorii vyloučení stavů. Prakticky může být interaktivně aktivní složkou určitá dvojice, nebo i trojice (teplota, tlak, množství a další). Šetřené jevy (žádoucí nežádoucí) soustředíme do množiny a nalezneme (žádoucí, nebo nežádoucí) DS, tedy potenciální souhrn jevů šetřených. Můžeme určit, že regulačním prostředkem je volba pomocí k, které se může opakovat, měnit co do počtu prvků a další záležitosti. Jak si připodobnit diskrétní množinu kontinuálním jevům? Jednoduše známe například rozsah teplot. Z výpočtu zjistíme, že parametru teploty náleží x dílů z celku y. Odstupňujeme jednotlivé díly teplotní stupnice na rozdílu (t 1...t s ) a dostaneme množinu příbuzných a navzájem se vylučujících jevů. Jsou to prvky našeho DS. Totéž uděláme například s tlakem, nebo koncentrací plynu a tak dál. Dostaneme určitou digitalizaci spojitých hodnot. Zajímavé je to, že můžeme takto zacházet i s časem včetně reálného. To je problematika D/K převodu v praktickém vyjádření. To však není hlavním námětem tohoto příkladu, takže se vrátíme k původnímu tématu. Na prvním schematu jsme si ukázali, jak se rozpadají tvary podle četnosti svých kombinací. Totéž, jen trošku jinak platí i o množinách řízených jinak, nežli binárně. Už jsme si ukázali, že zatímco binární množina má 2 extrémy, má jiná množina tolik extrémů, kolik srovnatelně stejných prvků má. Extrém vznikne, když se stejné prvky různých podmnožin vyskytnou současně ve výběru (k). To ovšem platí pro stejné nebo stejně početné podmnožiny navzájem se vylučujících jevů. Pro obecné množiny platí náhrada pořadí krajními a středními hodnotami v rámci navzájem vyloučených podmnožin systému. Takže extrémem je kombinace všech infim, nebo suprem, nebo také středních hodnot, pokud existují takto definovatelné prvky u všech různých podmnožin a tak dál. Náš systém 6 kostek má 6 extrémů, tedy stavů, kdy jsou vybrány stejná čísla u všech kostek. Extrémy mají tu vlastnost, že se vyskytují v jediné podobě. Nemají variaci (s výhradou extrém je uspořádání s nejmenší variací mezi existujícími). Každé jiné uspořádání, například 5 krát jednice + něco, už má 5 variant na každé kostce, a existuje 6 pětic z celku 6 kostek. Takže například 5 jednic plus jedna dvojka má 6 variant, ale obecně 5 krát jednice plus něco už má 30 variant. Podobné je to se všemi ostatními rozklady. Například počet třikrát jednice plus třikrát dvojka už existuje v počtu 20 variant. Jde zase jen o stejný princip kombinatorického rozkladu. Když ale vezmeme v úvahu, že jde o variace n tice stejných, pak v rámci variací stojí ve vzorci proti kombinaci (váha) variace (vzorec vlastního výpočtu). Projev binární soustavy v soustavě vyšší (šestkové) Pole variací 6. třídy celku 6 z pohledu jednoho prvku Výpočet (váha x vzorec) Kostka 1 Kostka 2 Kostka 3 Kostka 4 Kostka 5 Kostka 6 Váha Vzorec Celkem 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 6 5^5 18750 1 číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 5 možností 15 5^4 9375 1 číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 5 možností 20 5^3 2500 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 5 možností 15 5^2 375 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 5 možností 6 5^1 30 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 číslo 1 5^0 1 k tice bez sledovaného čísla 1 5^6 15625 Celkem součet sloupce = variace 6. třídy celku 6 46656 Systém variací se podřizuje podobným zásadám, které panují mezi kombinacemi. Jednoduše to lze vyjádřit jako vliv Pascalova trojúhelníku na uspořádání variací. Je to stejný vliv jako u kombinací, nebo také obecných permutací. Proto je nadřazeným schematem kombinatoriky schema kombinací.
Představa variací rozložených na kombinace není zcela jednoduchou záležitostí. U našich kostek existuje vždy 6 stejných popisů, což zavádí k interpretaci prvku s opakováním. Ale není to pravda. Musíme si unikátnost vysvětlit jako příslušnost prvku a podmnožiny. Například jednotka prvé kostky není totožná s jednotkou kostky jiné. Je jen stejně velká, což je také zavádějící. Takže správné znační by bylo : Kostka 1, číslo 1 = (například 1K1), nebo 2K1 pro jednici druhé kostky. Takže můžeme rozlišovat parametrem třídění buď příslušnost k podmnožinám kostek, tedy podle prefixu 1..6(K), nebo podle podmnožin velikostí, tedy podle sufixu (K)1...6. Obecně ale můžeme přiřadit každému prvku jiné unikátní označení, například pořadí. To už musí respektovat jak pořadí velikosti čísel, tak pořadí kostek. Zásadně tedy nahradíme značení kostek pořadím od 1 do 6, a za toto pořadí přiřadíme pořadí prvku. Dostaneme identifikaci dvojicí čísel od 11 do 66. Ale i toto můžeme nahradit pořadím od jedné do 36. Dopracováváme se ke kombinacím z původních variací. Náhradní schema pro variace šesté třídy celku 6 je určitý výběr z celku kombinací 6. třídy celku 36. Podstata úprav při práci s kombinatorickými schematy 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 Třídění podle příslušností ke kostce 1 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 Třídění podle příslušností ke kostce 2 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 Třídění podle příslušností ke kostce 3 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 Třídění podle příslušností ke kostce 4 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 Třídění podle příslušností ke kostce 5 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K6 Třídění podle příslušností ke kostce 6 Třídění podle příslušnosti k číslu 1 Třídění podle příslušnosti k číslu 2 Třídění podle příslušnosti k číslu 3 Třídění podle příslušnosti k číslu 4 Třídění podle příslušnosti k číslu 5 Třídění podle příslušnosti k číslu 6 Zelená matice ukazuje dva možné druhy uspořádání. Konkrétně buď podle příslušnosti ke kostce, nebo podle příslušnosti k množině stejných velikostí. Obě třídění můžeme navzájem zamě - ňovat v n zobrazení. Budeme hovořit o transformaci souřadnice. Je to sice jednoduchá záležitost, ale z hlediska definice vzájemného vyloučení to už jedno není. Snadno lze při tom udělat chybu výpočtu. Výraz určitý výběr je na místě. Jak ukazuje tabulka, je výběr možno provést z několika hledisek. Základní úpravy naznačuje matice údajů se zeleným podkladem. Ovšem není to jediná možnost. Můžeme například zvolit takové uspořádání, které má v každém řádku i sloupci příslušnost k oběma původním, nebo také výhradním příslušnostem. Jde o základ random třídění. Oba základní druhy si ukážeme jako uspořádanou souřadnici systému kombinací. Charakteristické postupy pro manipulace se souřadnicí kombinatorických schemat Třídění do podmnožin kostek v souřadnici Podmnožina kostky 1 Podmnožina kostky 2 Podmnožina kostky 3 Podmnožina kostky 4 Podmnožina kostky 5 Podmnožina kostky 6 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Připuštěna kombinace mezi podmnožinami Třídění do podmnožin jednotlivých čísel v souřadnici Podmnožina čísla 1 Podmnožina čísla 2 Podmnožina čísla 3 Podmnožina čísla 4 Podmnožina čísla 5 Podmnožina čísla 6 1K1 2K1 3K1 4K1 5K1 6K1 1K2 2K2 3K2 4K2 5K2 6K2 1K3 2K3 3K3 4K3 5K3 6K3 1K4 2K4 3K4 4K4 5K4 6K4 1K5 2K5 3K5 4K5 5K5 6K5 1K6 2K6 3K6 4K6 5K6 6K6 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Vyloučena kombinace mezi podmnožinami Tabulka nám ukazuje například také to, jak pomocí variace znaků (v podstatě pozic jako pořadí) dosáhneme strukturu příslušnosti. Označení variací 2. třídy celku 6 popíšeme variaci 6. třídy celku 6. To co jsme vlastně udělali se souřadnicí můžeme nazvat určením kombinačních vlastností. Jedná se vlastně také o určení mechanizmu vyloučení z předpokladu. Když variace 2. třídy celku 6 (čísla 11 až 66) seřadíme podle velikosti dostaneme spojité
očíslování pořadí 1. až 36. prvek. Ukážeme si úpravu takové souřadnice. Charakteristické postupy pro manipulace se souřadnicí kombinatorických schemat Třídění do podmnožin kostek v souřadnici Podmnožina kostky 1 Podmnožina kostky 2 Podmnožina kostky 3 Podmnožina kostky 4 Podmnožina kostky 5 Podmnožina kostky 6 1K1 1K2 1K3 1K4 1K5 1K6 2K1 2K2 2K3 2K4 2K5 2K6 3K1 3K2 3K3 3K4 3K5 3K6 4K1 4K2 4K3 4K4 4K5 4K6 5K1 5K2 5K3 5K4 5K5 5K6 6K1 6K2 6K3 6K4 6K5 6K6 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Vyloučena kombinace uvnitř Připuštěna kombinace mezi podmnožinami Třídění do podmnožin jednotlivých čísel v souřadnici Podmnožina čísla 1 Podmnožina čísla 2 Podmnožina čísla 3 Podmnožina čísla 4 Podmnožina čísla 5 Podmnožina čísla 6 1K1 2K1 3K1 4K1 5K1 6K1 1K2 2K2 3K2 4K2 5K2 6K2 1K3 2K3 3K3 4K3 5K3 6K3 1K4 2K4 3K4 4K4 5K4 6K4 1K5 2K5 3K5 4K5 5K5 6K5 1K6 2K6 3K6 4K6 5K6 6K6 11 21 31 41 51 61 12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65 16 26 36 46 56 66 1 7 13 19 25 31 2 8 14 20 26 32 3 9 15 21 27 33 4 10 16 22 28 34 5 11 17 23 29 35 6 12 18 24 30 36 Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Přípustná kombinace uvnitř Vyloučena kombinace mezi podmnožinami Tabulka nám popisuje typické operace pořadím. Nejprve jsme kauzální (poziční) značení kostek 1K1 až například 6K6 nahradili jen číslem pozice v matici (v tomto případě čtvercové, což není podmínkou). Dostali jsme náhradní schema, které je vlastně autonomním kódem pozice. Tvarem je variace čísel 2. třídy celku 6. Takto dané velikosti čísel setřídíme podle velikosti vzestupně a místo kódu pozice dáme velikost z pořadí. Dostáváme klasickou substituční metodu kódování, ale tím, že známe důvod, jde o kód, nikoliv o šifru. Typické variace se nám proměnily na určitý výběr kombinací. Nahradili jsme variační strukturu strukturou kombinační, což ještě neznamená, že například vlastní losování je podle kombinačního principu. Ten by byl splněn, když by všech 6 kostek bylo vylosováno naráz. Pokud jsou kostky vhazovány postupně, jde o variační princip. V tom je ten problém. Kauzálně můžeme chtít losovat kombinace, ale každá kostka se ustálí v jiném čase. Reálný svět se řídí variačním principem. Toto je samozřejmě popis kombinatorických pojmů. Kombinační, nebo variační struktura (modelu) na rozdíl od principu děje, který je nazýván stejně, tedy kombinační princip děje (není kombinačním schematem děje, ale může jím být), stejně tak jako variační princip děje (není, ale může být variačním schematem děje). Nyní již budeme pracovat s kombinačním schematem variací. Ukážeme si, že jde vlastně o typ výběru, který nazývám modifikací. Za tím účelem si rozložíme kombinace 6. třídy celku 36 do matice modifikací tak jak ukazují numerické příklady. Pravidelné rozložení 36p za pomoci Bernoulliho schematu Pč. 36p rozdělených do 6n Výpočet (váha x základ) M 6p 6p 6p 6p 6p 6p Váha Základ Celkem Poznámka 1 6 6 1 6 2 5 1 30 36 1080 3 4 2 30 225 6750 4 4 1 1 60 540 32400 5 3 3 15 400 6000 6 3 2 1 120 1800 216000 7 3 1 1 1 60 4320 259200 8 2 2 2 20 3375 67500 9 2 2 1 1 90 8100 729000 10 2 1 1 1 1 30 19440 583200 11 1 1 1 1 1 1 1 46656 46656 M11 = variace 6^6 Součet řádků (modifikací) = C(6 z 36) 1947792 Schema nám ukazuje, že zdánlivé variace 6^6 jsou při důsledném popisu jen modifikací, tedy podmnožinou z kombinací 6. třídy celku 36. Vodítkem k tomu je dotaz: Je jednotka prvé kostky totožným prvkem s jednotkou druhé, či jiné kostky? Samozřejmě že není. Ačkoliv by se nám mohlo zdát, že variace znamenají také například poziční princip v uspořádání čísel, tak to také není pravda. Takto interpretované variace jsou dány jako 6! (6 faktoriál) = 6*5*4*3*2*1 = 720. Takové vyjádření je skutečně variačním principem postupu (děje). Popravdě řečeno 6^6 jsou variace s opakováním.
Příklad nám však ukazuje, že to je nesmysl. Stejné jednice různých kostek nejsou totožnými prvky (stejný prvek nemůže být ve stejném čase sám vedle sebe). Nebude asi překvapením, že zavrhovaný pojem variací (nebo i kombinací) s opakováním odsouvám z kombinatoriky. Užití je však v teorii uspořádaných množin. Pokud se tedy vyskytne výraz x y, jde buď o obecné vyjádření množství za pomoci nějakého modulu x, nebo se jedná o strukturu uspořádání množin. Tato struktura však má kombinační základ spolu s variantou vyjádření množství pomocí kombinací. Přestože variace a kombinace s opakováním nemají logicky místo v kombinatorické logice jako systematický pojem, je jejich věcný význam zejména pro aplikace nepostradatelný. Například postup konstrukcí (rozpisů) by byl velice omezený. Plyne ale také zpětně určitý poznatek. Je-li například 6^6 variací s opakováním modifikací číslo 11, je také každá jiná modifikace nahraditelná nějakou podobou variace s opakováním. To právě umožňuje generovat přímo jen žádanou modifikaci. Potom také celý systém kombinací lze popsat příslušnými variacemi s opakováním. To znamená možnost (znalost) převodu reálných opakování (jevů) na kombinace, tedy RS a DS systému. Na tyto záležitosti potom navazují další vztahy jako je poměr mezi kombinacemi a variacemi daný jako k!. Mezi variacemi a variacemi s opakováním stejné třídy panuje vztah: Variace bez opakování celku X = X!, tedy X *(X-1)*(X-2)...(X=1). Variace s opakováním jsou dány jako X x, tedy X*X*X... Podstata existenční logiky v kombinatorice Variace bez opakování X * (X-1) * (X-2) * (X-3) * (X-4) * Podle třídy až k (X=1) Variace s opakováním X * X * X * X * X * Podle třídy až k (X=X) Rozdíl mezi variací s opakováním a bez opakování Rozdíl jednotlivých členů 0 * 1 * 2 * 3 * 4 * Podle třídy až k (X-1) Z toho plyne poučení o exist enční formulaci tříd Úprava variace bez opakování (X-0) * (X-1) * (X-2) * (X-3) * (X-4) * Podle třídy až k (X=0) Vriace bez opakování X * X * X * X * X * Podle třídy až k (X=X) Komentáře úprav budeme zdůvodňovat samozřejmě i jinak a jinde. Uvedeme si jen, že nově zavedené členy jsou nesoučasně existující. Neexistují li prvky, nemohou se uspořádat do kombinací a tak dál. Takže existuje li reálné uspořádání členy 0/X, nebo X/0 neexistují. Ale důvod vyjádření existuje. Hledá ho fyzika jako doplněk při hledání nulových potenciálů. Tohle je podstata. Aby existenční vyjádření bylo logické musí být vybaveno výrazem exist. Pak dostává smysl také člen součinu (X-X) 1 = 1 V numerických příkladech jsme zavedli podobně existenční logiku, ale na jiném principu. Zde vycházíme ze sigmaaditivní zkušenosti, která říká, že existuje li třída X/1 až X/X, existuje také třída X/0, nebo 0/X. Počet členů součinu je dán totiž rozdílem. (X-0)=X až k (X-X) = 0. Členy X/0 a 0/X odpovídají množině bez podmnožin, nebo bez prvků. Určité pravidlo tady ale je. Zatímco indexy kauzálních velikostí jsou dány jako jednice v exponentu, jsou členy (X) 0 /(0) 1, a podobně obrácený poměr. Naopak na rozdíl od stávající teorie neexistuje třída > nežli základ x Takže na závěr si uvedeme, že pravděpodobnost jednotlivého případu množiny 6^6 je dána opravdu vynásobením pravděpodobností, ale jen pro vlastní vnitřní systém. 6^6 = 46656. Potom jeden případ 1/46656 = 0,000021433. Což je dáno také jako (1/6) 6. V systému kombinací je to však jen cca 2,4%. Takže pokud hovoříme o relativní četnosti jako o pravděpodobnosti, musíme vycházet jen a jen z počtu existujících možností šetřeného systému. To si vysvětlíme jako pravděpodobnost v rámci Pascalova trojúhelníku. Libovolné vyjádření 2 x obsahuje součet všech k tříd kombinace od 0 z x, až po x z celku X. Takže pro třídu n je dáno že celek 2 x = 100%. Pak samozřejmě také každá jednotlivá třída k má součet pravděpodobností menší nežli 1 celá. Vzhledem k definici vyloučené existence (obecně nějak v předpokladu, nebo empiricky) je celkem součet všech existujících stavů etalonu šetřené množiny počtem všech možných = 100%. Zde už vůbec nehraje úlohu jak se projevují podobností, nebo příznaky jednotlivé stavy. Součin pravděpodobností jako rozměr už není pravděpodobností, ale velikostí které budeme říkat absolutní, ale může to být také správně definováno jako poměrná velikost z nějakého systému včetně vlastního. Mimo toho bychom měli vždy uvádět, že relativní četnost z etalonu, je pouze a vždy jen pravděpodobností prvého výskytu. Nikoliv druhého a dalšího následného.