Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Poděbrady Iracionální rovnice Mgr. Karel Lhotský Datum: 30. listopadu 013 Ročník: Anotace:. ročník HŠ Učební materiál určený nejen k výkladu v hodinách matematiky, ale především k samostudiu, popřípadě
Iracionální rovnice (rovnice s neznámou v odmocněnci)
Ekvivalentní úpravy rovnic Záměna stran rovnice. Přičtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice. Násobení obou stran stejným reálným číslem, které je různé od nuly. Eistují úpravy, které nejsou ekvivalentní. Např.: Násobení (dělení) výrazem, který obsahuje neznámou. Umocňování. Rovnice před neekvivalentní úpravou může mít jinou množinu kořenů než rovnice po úpravě. 3
Umocnění rovnosti = 1 = 1 1 1 1 Máme lineární rovnici. Umocníme ji na druhou. Dostáváme (ryze) kvadratickou rovnici, která má dva kořeny. Číslo (1) nevyhovuje původní rovnici. Nevyhovující kořen vyloučíme prostřednictvím zkoušky. Zkouška je součástí řešení rovnice, pokud jsme provedli aspoň jednu neekvivalentní úpravu. 4
Příklad 1: 5 3 5 3 5 6 9 0 5 4 1 4 0 1 0 4 0 1 4 1 Neznámá je v odmocněnci. Proto musí platit: + 5 0. 5 Podmínka není povinná, stejně budeme dělat zkoušku správnosti řešení. Ale někdy se vyplatí, jak uvidíme později. Umocníme na druhou, neboť jedině tak se zbavíme odmocniny. Pozor na vzorec (A+B). Řešíme kvadratickou rovnici. Oba kořeny vyhovují podmínce, ale je nutné provést zkoušku. 5
Příklad 1: 5 3 (zkouška) 1 1 L 1 5 4 P 1 3 L P 4 L 4 5 1 1 P 4 3 1 L P K 1 Kořen 1 = 1 splňuje danou rovnici. Kořen = 4 nesplňuje danou rovnici. Kořenem rovnice je pouze číslo (1). 6
Příklad : 5 3 3 3 3 5 3 3 5 3 3 10 5 0 13 11 0 0 11 0 1 11 L 8 L 11 P P 11 L P L P K 11 Musí platit: 3 + 3 0. 1 Osamostatníme odmocninu na levé straně rovnice, aby byla po umocnění odstraněna. Dále řešíme jako příklad 1. Opět vyhovuje rovnici pouze jeden kořen. 7
Příklad 3: 3 6 4 3 6 4 9 6 8 16 9 54 8 16 0 17 70 7 10 0 7 0 10 0 7 10 1 L 3 L 6 P 3 P 6 L P L P K Řešíme jako příklady 1 a. 6 Oba kořeny vyhovují rovnici. 7;10 8
Příklad 4: 3 6 4 3 6 4 9 6 8 16 9 54 0 17 8 16 70 7 10 0 7 0 10 0 7 1 10 L 3 L 6 P 3 P 6 L P L P K 6 Po umocnění dostáváme zcela stejnou rovnici jako v předchozím příkladu. Zkoušce nevyhovuje ani jeden z kořenů. 9
Příklad 4: 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 4 4 1 1 4 1 1 1 1 1 1 4 1 1 4 4 6 5 0 Podmínky na neznámou: 3 + 1 0, 1 0 jsou obě splněny, když 1. V rovnici se vyskytují dvě odmocniny. Odstraníme je postupně. Je vhodné nechat na jedné straně samostatně odmocninu ze složitějšího výrazu. Před dalším umocněním je vhodné zkrátit dvěma. 10
Příklad 4 (pokračování) 1 5 0 1 0 1 1 L L P 4 L 0 L P K 0 1; 5 5 0 5 L 16 4 L 4 L P L P Oba kořeny vyhovují dané rovnici. 11
Příklad 5: 5 7 5 7 5 7 5 5 7 5 4 5 1 5 1 5 10 144 3 154 0 Podmínky na neznámou: + 5 0, + 7 0, 0 jsou všechny splněny, když. V rovnici se vyskytují tři odmocniny. Odstraníme je postupně. Je vhodné nechat na jedné straně samostatně odmocninu z nejsložitějšího výrazu. 1
Příklad 5 (pokračování) 11 14 0 11 0 14 0 11 14 1 L 16 L 4 3 L 7 P P 7 L P 49 9 K 11 Druhý kořen nevyhovuje podmínce 0. Kdybychom podmínky na začátku nestanovili, zjistili bychom při zkoušce, že se v odmocněnci objeví číslo záporné. Může se proto zdát, že stanovení podmínek je zbytečné. Pozor na příklad 6!!!!!!! 13
Příklad 6: 1 1 3 1 L 11 11 0 0 P 3 L P K 0 Při stanovení podmínek na dostáváme: 1 0, 1 0. Obě podmínky splňuje jediné číslo = 1. Nemusíme proto řešit rovnici obvyklým (pracným) způsobem. Stačí ověřit, zda = 1 kořenem rovnice. Číslo 1 není kořenem rovnice. 14
Příklad 7: 4 4 4 4 4 5 0 5 0 4 4 0 5 0 1 5 Nalezení všech, pro která je splněna podmínka: 4 0 by bylo velice pracné. Nebudeme se jí zabývat a spolehneme se na zkoušku. Nejprve umocníme, abychom se zbavili vnější odmocniny. Zbývá jen jedna odmocnina. 15
Příklad 7 (zkouška) 0 1 L 0 0 4 0 P L P 5 L 5 5 4 7 3 P L P K 5 Dosadíme oba kořeny postupně do levé a pravé strany rovnice. Původní rovnici vyhovuje pouze jeden kořen. 16
Příklad 8: 5 1 7 3 1 7 3 5 Stanovení podmínek na odmocněnce není nutné. Zde se však nejedná o tak těžký úkol jako v příkladu 7. K 5 0, + 1 0, 7 3 0 5, 1, 7 3 Podmínky si odporují. Neeistuje, které by mohlo být kořenem rovnice. 17
Příklad 9: 3 3 3 0 t t 3t 0 t 1 0 t 0 t 1 0 t 1 t 1 3 3 1 3 8 1 3 1 1 K 1; 8 Třetí odmocnina eistuje z libovolného reálného čísla. Umocňování nevede k cíli. Použijeme substituci: t 3 t 3 Zkouškou ověříme správnost řešení. 18
Příklady k procvičení (1): 1. 5 7. 4 3 3. 6 1 4 4. 8 5 0 5. 6. 4 4 11 1 K K 7 5 K K 5 8 K K 5 6 19
Příklady k procvičení (): 7. 16 4 8. 5 9 3 9. 1 K K K 10 11 5 10. 4 5 K 7 11. 3 34 K 10 1. 3 17 4 K 4 0
Příklady k procvičení (3): 13. 110 1 K 11 14. 9 4 K 15. 3 10 16. 4 16 K K 5 4;5 17. 9 4 3 K 6 18. 1 5 1 K 5 1
Příklady k procvičení (4): 19. 0. 1.. 3. 1 5 K ;1 3 1 14 1 1 5 1 K K K 5 4 36 4. 13 13 K K 9
Příklady k procvičení (5): 5. 3 5 3 K ;3 6. 7 5 K 54 7. 1 3 1 K 1 8. 5 5 4 K K 1,5 9. 1,5 1,5 3 30. 3 1 0 K 3
Příklady k procvičení (6): 31. 1 1 9 3. 6 6 16 33. 8 8 30 3 34. 5 5 3 35. 7 9 3 K K K K K 5 10 17 4 1 36. 4 1 1 K 4
Příklady k procvičení (7): 1 37. 4 5 K 49 3 38. 3 3 8 5 K 8 3 3 39. 3 0 K 8;1 4 40. 6 0 K 16 5