Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná veličina. Číselné charakteristiky náhodné veličiny. Základní rozdělení pravděpodobností. Náhodný vektor, distribuční funkce náhodného vektoru. Diskrétní a absolutně spojitý náhodný vektor, číselné charakteristiky náhodného vektoru. Marginální rozdělení, nezávislé náhodné veličiny, jejich vlastnosti. Rozdělení χ, t, F. Slabý zákon velkých čísel, klasické limitní věty teorie pravděpodobnosti. Popisná statistika.. Průběh zkoušky Písemná část příkladová: budou zadány dva příklady z probrané látky. Hodnocení je stejné jako u zápočtových písemek, tj. dva celé příklady správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Rozsah cca - 3 minut. Úspěch u písemné části příkladové je přenositelný i do dalších zkouškových pokusů. Písemná část teoretická: student, postupivší z písemné části příkladové, si náhodně vylosuje dvě otázky, obsahující stěžejní pojmy učiva (viz seznam níže). Ty musí být zcela bezchybně zodpovězeny, aby mohla být písemná část zkoušky úspěšně zakončena. Rozsah cca 5 - minut. Ústní část: student si náhodně vylosuje dvě teoretické otázky, pokrývající učivo celého semestru, plus důkaz či odvození vybraného tvrzení (viz seznam níže). Na přípravu odpovědí bude 4 minut, na následné zodpovězení dalších minut. Při jejich přípravě může být využit podpůrný materiál, uvedený níže; je přitom nutno zareagovat na každou z nich. Důraz bude kladen zejména na porozumění tématu. Ústní část nebude dokončena, když student prokáže neznalost základních pojmů předmětu (viz níže) a jejich souvislostí nebo základních matematických pojmů a jejich vlastností (v rozsahu sylabů předmětů Matematika, a Lineární algebra ).
3. Hodnocení zkoušky Rozhodující vliv na stanovení celkové známky budou mít obě teoretické otázky, samozřejmě s přihlédnutím k výsledku písemné části příkladové a důkazu, resp. odvození vybraného tvrzení. Do známky z písemné části příkladové jsou zahrnuty i výsledky zápočtových testů. 4. Základní pojmy... jsou zejména jev, operace s jevy, jevové pole, náhodný jev, pravděpodobnost, klasická pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost, nezávislé náhodné jevy, náhodná veličina, rozdělení pravděpodobností, distribuční funkce, diskrétní a spojité rozdělení pravděpodobností, střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, α-kvantil, náhodný vektor, marginální rozdělení pravděpodobností, nezávislost náhodných veličin, střední hodnota náhodného vektoru, kovariance, korelační koeficient, varianční matice, korelační matice, konvergence podle pravděpodobnosti. Poznámka Tento výčet neznamená, že jsou ostatní pojmy a vlastnosti méně důležité. Pouze vyzdvihuje ty z nich, při jejichž neznalosti (a neznalosti odpovídajících souvislostí) se není dále o čem bavit. 5. Zkoušené důkazy a odvození vlastnosti pravděpodobnosti v - v8 ověření axiomů pravděpodobnosti u klasické pravděpodobnosti věta., Bayesova věta, věta.6 -.9, věta.4 vlastnosti distribuční funkce V, V, V 3 a), V 4, věta.4 Čebyševova nerovnost, Věta.8 odvození střední hodnoty a rozptylu u alternativního, binomického, rovnoměrného a normálního rozdělení věta o marginálním rozdělení, Věta 3., 3.a), 3.5
3 vlastnosti - 5 kovariance a korelačního koeficientu věta 3.7, 3.8, 3., 3. -. krok Čebyševova věta, Bernoulliho věta, věta o aritmetickém průměru integrální věta Moivreova - Laplaceova V Olomouci, dne 5.. 6 doc. RNDr. Karel Hron, Ph.D.
4 6. Doplněk: vybrané vzorce z KMA/PMS (podpůrný materiál) P(X = k) = λk k! e λ P(X = k) = ( p) k p f(x) = { σ (x µ), x, π e σ f(x) = exp ( ) x λ λ, x >, pro y,, z, g n (y) = y n e y n Γ( n), pro y >. h n (z) = z n e z Γ( n+ ) nγ( ( ) n+ n Γ( n z >. ), ( ) n+ nb(, n) + t, t R n f n (t) = )Γ( n) + t = n, y, g(y) = Γ( n +n ) ( n ) n Γ( n )Γ( n y ( n + n y ) n +n, y >. ) n n x α e x dx x α ( x) β P ( n ) n n n A i = P(A i ) P(A i A j )+ i= i= i= j=i+ n n n + P(A i A j A k ) + ( ) n P ( n ) A i. i= j=i+ k=j+ i= p Y (y n ) = p X [ϕ (y n )] g Y (y) = f X [ϕ (y)] [ϕ (y)], y R α 3 (X) = E[(X E(X))3 ] α 4 (X) = E[(X E(X))4 ] 3 ( var(x)) 3 ( var(x)) 4 P(a < X b,..., a n < X n b n ) = ( ) ε j F X (c,..., c n ) P(X = x m ) = P(X = x m, X = x m, X 3 = x 3m ) = ( )( )( ) r r xm r xm x m = (p ) x m (p ) x m (p 3 ) x 3m x m x m x 3m
5 f(x, x ) = exp { [ (x µ ) ( ϱ ) σ πσ σ ϱ ϱ (x µ )(x µ ) + (x µ ) ]} σ σ σ f(x,..., x n ) = { (π) n det(v) exp } (x µ) V (x µ) G(y) = = [ [ ] f (x )dx f (x )dx = {x :ϕ(x,x ) y} ] f (x )dx f (x )dx, y R. {x :ϕ(x,x ) y} g(y) = f (y t)f (t) dt g(y) = xf (yx)f (x) dx, y R var ( n ) n X j = var(x j ) + cov(x i, X j ) = j= j= i<j n = var(x j ) + cov(x i, X j ) j= i j x ([np]+), np [np], x p = x (np) +x (np+), np = [np]. ˆx = a j h n j+ n j n j+ n j + n j, m = m h, m 3 = m 3, m 4 = m 4 m h + 7 4 h4