Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně rozložená (ρ = konst.), lze vypočíst podle následujících vztahů: y T = S z = z T = S y = y a z jsou prostorové souřadnice [m], y T a z T jsou souřadnice těžiště plochy [m], y d d, (1) z d d, () S y a S z jsou statické momenty 1.stupně (lineární) [m 3 ] a je obsah plochy [m ]. 1
Kvadratický, deviační a polární moment průřezu Hojně využívanou charakteristikou geometrie plochy je kvadratický (. stupně) moment průřezu. Tato charakteristika je využívaná zejména při výpočtech průhybu nosníků. Kvadratické momenty vzhledem k daným osám a deviační moment lze vypočíst následujícím způsobem: J y = J z = D yz = z d, (3) y d, (4) yz d, (5) y a z jsou prostorové souřadnice[m], J y,j z a D yz jsou kvadratické momenty průřezu a deviační moment průřezu [m 4 ] a je obsah plochy [m ]. Další charakteristikou, kterou lze s výhodou užít zejména v případě kruhového průřezu, je polární kvadratický moment průřezu J p = (y + z ) d = J y + J z, (6) y a z jsou prostorové souřadnice [m], J y,j z jsou kvadratické momenty průřezu [m 4 ], J p je polární kvadratický moment průřezu[m 4 ] a je obsah plochy [m ].
Steinerova věta Stejně jako v případě momentů setrvačnosti lze odvodit vztahy pro výpočet kvadratických momentů k posunutým osám oproti osám procházejícím těžištěm. y a z jsou prostorové souřadnice [m], J y = J yt + a, (7) J z = J zt + b, (8) D yz = D yt z T + ab, (9) y T a z T jsou souřadnice těžiště plochy [m], a a b vzdálenosti mezi jednolitými osami [m], J y,j z a D yz jsou kvadratické momenty a deviační moment průřezu vzhledem k posunutým osám [m 4 ], J yt,j zt a D yt z T jsou kvadratické momenty a deviační moment průřezu vzhledem k osám procházejícím těžištěm plochy [m 4 ] a je obsah plochy [m ]. Momenty vzhledem k pootočeným osám (Culmanova kružnice) Zopakujme nyní dva velmi důležité pojmy, které byly vysvětleny v kapitole věnované charakteristikám rozložení hmoty v tělese. Hlavní osy jsou takové osy které jsou natočeny v bodě takovým způsobem, že je deviační moment roven nule. Hlavní centrální osa je taková osa, která navíc prochází těžištěm. Platí vztahy pro počítání s goniometrickými funkcemi: sin α = 1 cosα, (10) cos α = 1 + cosα, (11) sinαcosα = 1 sinα. (1) 3
Obrázek : Pootočení systému souřadnic. Transformační vztahy mezi systémy souřadnic mají tvar: ξ = zcosα + ysinα (13) η = zsinα + ycosα (14) Proveďme nyní odvození vztahu pro kvadratický moment průřezu vzhledem k ose ξ. Kvadratický moment průřezu vzhledem k ose η a deviační moment lze odvodit analogickým způsobem. J ξ = = = sin α η d = ( zsinα + ycosα) d = (z sin α yzsinαcosα + y cos α) d = z d sinαcosα yz d + cos α = sin J y sinαcosαd yz + cos αj z = = 1 cosα J y sinαd yz + 1 + cosα J z = = J y + J z J η = J y + J z y d = J y J z cosα D yz sinα (15) + J y J z cosα + D yz sinα (16) 4
D ξη = J y + J z sinα + D yz cosα (17) Postup konstrukce Culmanovy kružnice Culmanova kružnice umožňuje graficky určit hodnoty momentů setrvačnosti a deviačního momentu pro souřadnicové osy natočené o určitá úhel vzhledem kosám pro něž jsou momenty již známé. Rovněž je možné určit směr hlavních os. Na Obr.3 je zakrasleno těleso a souřadnicové osy x a y, zároveň jsou zde ukázány hlavní osy, tedy osy, pro které vyjde deviační moment nulový. Obrázek 3: Těleso, systém souřadnic O(x, y) a systém hlavních os O(I, II). Nechť jsou známy (vypočteny) kvadratické momenty J y a J z vzhledem k osám y a z a deviační moment D yz. Ukažme si nyní jakým způsobem sestrojit Culmanovu kružnici. 1. Na vodorovnou osu vynášíme kvadratické momenty a na svislou osu deviační momenty.. Vynesme tedy hodnotu J z a do kladné části svislé osy hodnotu D yz. Tím získáme bod kružnice, který je obrazem roviny dané směry os z a x (osa kolmá k osám y a z). 3. Vynesením J y a D yz tak jak je uvedeno v Obr.5 dostaneme druhý bod kružnice. Spojením těchto dvou bodů dostaneme střed kružnice. Hlavní 5
Obrázek 4: Vynesení J z a D yz. osy a osy x a y svírají úhel ϑ, do Culmanovy kružnice se vynáší úhel dvojnásobný ϑ. Obrázek 5: Vynesení J y a D yz. Nalezení středu kružnice a zobrazení úhlu který svírají hlavní osy a osy y a z. 4. Nyní lze zkonstruovat celou kružnici. Je-li Culmanova kružnice zkonstruovaná, lze zjistit hodnoty kvadratických momentů a deviačního momentu pro libovolně natočený svazek rovin. 6
Obrázek 6: Culmanova kružnice. 7