LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM

Transkript

1 LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POSUNUTYM OSAM - predpokladejme, e name linearni a kvadraticke moment k osam, a chceme urcit moment k osam a. - souradnice elementu ds k posunutm osam jsou potom: = - d = - c - dosaenim do akladnich vtahu pro linearni a kvadraticke moment (napr. J = 2ds = (-c) 2 ds = 2 ds 2c ds + c 2 ds = J - 2cU + c 2 S ) dostaneme nasledujici vtah: c ds Linearni moment U = U - cs U = U - ds Kvadraticke moment d J = J - 2cU + c 2 S J = J - 2dU + d 2 S - osov kvadratick moment J p = J + J = J + J - 2cU - 2dU + (d 2 + c 2 )S J = J - du - cu + dcs - polarni moment - deviacni moment

2 Poor! Hodnot posunuti c, d jsou kladne (aporne) pokud nov SS vnikne posunutim puvodniho SS v jeho kladnem (apornem) smeru prislusne os. c d ds V tomto pripade je hodnota c dosaovana do vse uvedench vtahu jako aporne cislo, protoe posunuti SS blo realiovano v apornem smeru os ( = + c). Hodnota d je dosaovana jako kladne cislo ( = - d).

3 - jsou-li os a CENTRALNIMI OSAMI (prochaeji teistem prureu) => T a T, plati, e linearni moment U T = U T = 0 a ted vdalenosti os souradneho sstemu od teiste T = T = 0. Potom se nase transformacni vtah jednodusi a tto vtah se v literature onacuji jako STEINEROVY VETY: Poor! J, J : namenko u hodnot posunuti c, d de resit u nemusite, nebot se de hodnot posunuti vsktuji ve druhe mocnine (vd kladne cislo). U, U,J : de je nutne brat na retel namenka u hodnot posunuti c, d T T Linearni moment c T U = - cs U = - ds Kvadraticke moment d J = J T + c 2 S J = J T + d 2 S - osov kvadratick moment J p = J + J = J T + J T + (d 2 + c 2 )S J = J T + dcs - polarni moment - deviacni moment

4 ZADANI Romer pricneho prureu: 2.0 x 4.5 cm (b x h) URCETE: 1) S 2) U, U, J, J, J, Jp 3) J, J, J, Jp 4) J, J, J, Jp 5) J, J, J, Jp 6) J, J, J, Jp 7) J I, J I, J I, Jp I b/2 b/2 h T h/2 I b I h = 4.5 cm b = 2.0 cm

5 b/2 b/2 RESENI: 1) S =? S = 9.0 cm 2 2) U, U, J, J, J, Jp =? U = cm 3 ; U = 9.00 cm 3 J = cm 4 ; J = 12.0 cm 4 ; J = cm 4 ; Jp = cm 4 J J J Jp h T I h/2 SS SS SS SS SS I b I h = 4.5 cm b = 2.0 cm

6 LINEARNI A KVADRATICKE MOMENTY K POOTOCENYM OSAM - predpokladejme, e name linearni a kvadraticke moment k osam, a chceme urcit moment k osam a. - souradnice elementu ds k potocenm osam jsou potom: = cosα + sinα = cosα sinα - dosaenim do akladnich vtahu pro linearni a kvadraticke moment (napr. J = 2ds = (cosα sinα) 2 ds = ( 2 cos 2 α 2sinαcosα + 2 sin 2 α)ds = J cos 2 α J sin2α + J sin 2 α) dostaneme nasledujici vtah: Linearni moment U = U cosα - U sinα U = U cosα + U sinα sinα cosα ds Kvadraticke moment J = J cos 2 α - J sin2α + J sin 2 α J = J sin 2 α + J sin2α + J cos 2 α - osov kvadratick moment J p = J + J = J + J = J p => je INVARIANTNI J = [(J J )sin2α]/2 + J cos2α - polarni moment - deviacni moment

7 - kvadraticke moment J, J a J maji vsechn vlastnosti souradnic tenoru jako matematickeho utvaru tn. e vsechn jeho slok v novem, natocenem karteskem souradnicovem sstemu (SS) jsou urcen linearni kombinaci souradnic tenoru puvodniho SS. - k akladnim vlastnostem tenoru patri existence HLAVNIHO SOURADNICOVEHO SYSTEMU (HSS) => to jest takov souradnicov sstem, kde je deviacni moment J roven nule (J = 0). Kvadraticke moment prureu pote navame HLAVNIMI OSOVYMI KVADRATICKYMI MOMENTY PRUREZU a nacime je index I, II (J I, J II ). Chceme-li rolisit tto hlavni moment dle jejich velikosti, pote pro vetsiho nich pouivame index 1 a mensiho nich index 2 (J 1, J 2, kde J 1 > J 2 ). Nadale J 1 navame MAXIMALNIM HLAVNIM OSOVYM KVADRATICKYM MOMENTEM a J 2 navame MINIMALNIM HLAVNIM OSOVYM KVADRATICKYM MOMENTEM. - naleeni a pouivani HSS je pro nas vlast vhodne, nebot dojde ke jednoduseni vtahu pro vpocet napeti. - pokud bude souradnicov sstem leet v teisti, budeme jej navat CENTRALNIM SOURADNICOVYM SYSTEMEM (CSS) a jeho os CENTRALNIMI OSAMI. - o jakou hodnotu uhlu α I musime stavajici SS natocit, ab se stal HSS (J = 0), nam rekne nasledujici vtah: T T SS HSS CSS HCSS Poor! Uhel α je vd ten ostr uhel (mensi ne 90 )mei vodorovnou osou v Mohrove rovine a spojnici bodu A a stredu krunice S.

8 - tenor kvadratickch momentu je mone grafick naornit v tv. MOHROVE ROVINE pomoci MOHROVY KRUZNICE - na vodorovnou osu nanasime osove kvadraticke moment J, J - na svislou osu deviacni moment J - v Mohrove krunici plati plati dvojnasobek uhlu tn. e odmeren uhel v Mohrove rovine je ve skutecnosti polovicni (proto uhel nacime 2α) Mohrova krunice pro pripad, kde J > J a J > 0. deviacni kv vadratick mom ment 2 J (J + J )/2 J S r 2α A Poor! Bod A je vd dan souradnicemi J a J, kde u J uvaujeme jeho namenko (+,-)! J 1 osove kvadraticke moment J 2 B J 1 Ponamka: Bod B je je rovne adan pomoci J, ale namenko neni ridici, nebot jeho poloha (+ nebo -) je riena polohou budu A.

9 Postup pro sestrojeni Mohrov krunice a urceni uhlu natoceni α: 1. Spocitame hodnot J, J a J. Uvaujme nni pripad, e J > J a J < 0. J = 2 ds ; J = 2 ds; J = ds J > J a J < Na os aneseme hodnot J, J a urcime stred krunice S (je vlastne stred mei J a J ). J J S (J + J )/2 3. Deviacni moment J a to vcetne uvaovani jeho namenka (+,-) vnasime VZDY k osovemu kvadratickemu momentu J (vplva to odvoench vtahu). B Sestrojime bod A [J, J ], který je bodem Mohrov krunice. Jeliko name stred krunice S a jeji bod A, mueme sestrojit Mohrovu krunici. J S Ponamka: Jak ji blo uvedeno, v Mohrove rovine plati dvojnasobek uhlu, tn. e jakkoliv odecten uhel musite vdelit dvema. Proto ted os a v A r J J Mohrove rovine sviraji uhel 2*90 = 180 (osa -> SA, osa -> SB).

10 4. Odecteme uhel 2α, ted uhel mei osou (spojnice bodu SA) a vodorovnou osou Mohrov krunice (osa osovch kvadratickch momentu). Prusecik krunice s vodorovnou osou nam daji hlavni kvadraticke moment => J 1 maximalni, J 2 minimalni hlavni kvadratick moment. Chceme-li ted natocit puvodni souradnicov sstem do poloh HLAVNIHO SOURADNICOVEHO SYSTEMU (HSS) a to tak, e osa bude maximalni hlavni osou (J = J 1, a ted J = J 2 ), potom musime SS otocit o uhel α ve stejnem smslu otoceni jako je onaceno v Mohrove krunici (v tomto pripade proti smeru hodinovch rucicek). J 2 A 2α S 2β B J 1 Chceme-li, ab -osa bla minimalni hlavni osou 2 (J = J 2 ), musime otocit osu o uhel α (tento uhel mue bt spocitam dle nie uvedeneho vtahu) = 2 α = 1 Chceme-li, ab -osa bla maximalni hlavni osou 1 (J = J 1 ), musime otocit osu o uhel β. β = 2 = 1 Ponamka: Pokud bchom chteli, ab osa bla maximalni hlavni osou (J = J 1, a ted J = J 2 ), pote musime otocit SS o polovicni uhel, je svira usecka SB a S1 pri achovani stejne smslu otaceni, kter vplva Mohrov krunice (v tomto pripade ve smeru hodinovch rucicek).

11 ZADANI Romer pricneho prureu: 2.0 x 4.5 cm (b x h) URCETE: 1) J, J, J p, J, J, J, J p, J 2) O jak uhel α musite pootocit osu, ab SS a bl hlavnimi souradnicovmi sstem. 3) Hlavni kvadraticke moment J 1 a J 2 pro oba SS. 4) Zakreslete Mohrov krunice pro oba SS b/2 h h/2 b h = 4.5 cm b = 2.0 cm

12 1 RESENI: α J J J p J J 1 J 2 J p12 α [ ] h SS h = 4.5 cm b = 2.0 cm 2 b deviacni kvadr ratick moment J (J + J )/2 J r A J S 2α J p = J + J = J 1 + J 2 = J p12 => je INVARIANTNI 2 1 J 2 B J 1

13 b/2 RESENI: J J J p J J 1 J 2 J p12 α [ ] h 2 h/2 SS h = 4.5 cm b = 2.0 cm b 1 deviacni kvadra atick moment J (J + J )/2 J B J =0 S A J p = J + J = J 1 + J 2 = J p12 => je INVARIANTNI 2 1 J 2 J 1