UMĚLÉ OSVĚTLENÍ V BUDOVÁCH Ing. Bohumír Garlík, CSc. Katedra TZB Praha 2008
1. PŘEDNÁŠKA 2. Měrné jednotky používané ve světelné technice: Měrové jednotky rovinného úhlu Rovinný úhel různoběžky: α je ten, který svírají dvě
Měří se: mírou úhlovou (v obloukových stupních) mírou obloukovou (v radiánech) OBLOUKOVÝ STUPEŇ a) 60 obloukových minut b) nebo 60 x 60 = 3600 obloukových vteřin 1 0 = 60 = 3600 Oblouková míra: => Velikost rovinného úhlu sevřeného dvěma různoběžkami, je vyjádřena DÉLKOU KRUHOVÉHO OBLOUKU, který vytínají ramena uvažovaného úhlu na kružnici opsané libovolným poloměrem z vrcholu tohoto úhlu, měřenou poloměrem uvažované kružnice.
délka kruhového oblouku α = poloměr příslušné kružnice [rad] Pro každý úhel, který je dán ve stupních (α 0 ), lze stanovit příslušnou obloukovou míru v radiánech (α rad ) pomocí rovnice α[rad] = 0,0175α[ 0 ] Obloukové míry různých úhlů jsou uvedeny v příslušných převodních tabulkách, např. Valouchových:
V osvětlovací technice se při výpočtu OSLNĚNÍ vzdáleným svítidlem uplatňují velmi malé úhly, pak platí zjednodušený vztah: pro úhel α v minutách α = 180a / πr = (57,3) a/r [ 0 ;m,m] α = (180.60a) / πr = (3440) a/r
;m,m] ] PROSTOROVÝ ÚHEL PROSTOROVÝ ÚHEL Není názorný, přitom je důležitou veličinou používanou ve světelně technických výpočtech: - je to výseč z prostoru vymezovanou obecnou kuželovou nebo jehlanovou plochou
- jeho velikost je určena velikostí plochy, vyťaté obecnou kuželovou plochou na povrchu jednotkové koule, jejíž střed (vrchol prostorového úhlu) je totožný s vrcholem uvažované kuželové plochy, dělenou druhou mocninou jejího poloměru. Prostorový úhel 1 steradián (sr) je definován jako kužel, který na kouli o poloměru 1 m vytvoří plochu 1m 2 Prostorový úhel Ω, pod nímž je ze středu koule o poloměru r vidět plocha A
vyťatá na povrchu této koule, se stanoví ze vztahu: Ω = A / r 2 ( sr; m 2,m) Největší hodnoty Ω max = 4π nabývá prostorový úhel pro plochu A k rovnou povrchu celé koule, kdy je velikost plochy A k rovna A k = 4πr 2. Ω max - nazývá se 1 spat (sp) plný prostorový úhel VÝPOČET RŮZNÝCH PROSTOROVÝCH ÚHLŮ Ve světelné technice jde nejčastěji o prostorový úhel vymezovaný: rotačním kuželem (kulovým vrchlíkem) kulovým pásem a) prostorový úhel vymezovaný rotačním kuželem s vrcholovým úhlem 2α :
Ω = 4πsin 2 (α/2) b) prostorový úhel vymezovaný kulovým pásem:
Ω = 4πsin (α 1 + α 2 ) / 2. sin (α 1 - α 2 ) / 2 c) Russelovy Blochovy úhly: Plocha kulového pásu nebo vrchlíku je dána vztahem: S = 2πrv Rozdělíme-li povrch koule např. na 18 kulových pásů a dva vrchlíky sejných výšek v, je prostorový úhel, který přináleží kterémukoli kulovému pásu nebo vrchlíku, dán rovnicí: Ω = (4π) / 20 = 0,628 sr Obr.:Russelovy-Blochovy úhly Poloviční středové úhly α R příslušné k tětivám
MN, které vyznačují poloviční výšku každého vrchlíku, popřípadě kulového pásu, se nazývají úhly Russelovy-Blochovy. Pro každý takový úhel platí: α R = (α 1 + α 2 ) / 2 d) Prostorový úhel vymezovaný rotačním kuželem s vrcholovým úhlem velmi malým: Obr.:Ztotožnění vrchlíku s plochou základny Z obr. Výše uvedeného lze odvodit: r l tgα a / l protože pro velmi malé úhly platí obecný goniometrický tvar: sin 2 x tg 2 x
lze pro malý prostorový úhel psát: Ω = (πa 2 /l 2 ) je-li l / d 3,2 Pro takový případ platí přibližně vztah: Ω = S / l 2 Kde: Ω - prostorový úhel (sr) S - plocha kruhu (m 2 ) l - vzdálenost pozorovatele (m) d - průměr kruhu (m). Při poměru l / d = 3,2, odpovídá vrcholový úhel kužele asi 18 0, dosahuje chyba 1,9%. Svírá-li osa zorného úhlu s normálou pozorované plochy S úhel υ platí obecný vztah: Ω = (S cos υ) / l 2 = S ' / l 2
S ' - zorný průmět plochy S (m 2 ) l - vzdálenost pozorovatele od pozorované plochy (m) Ω - zorný prostorový úhel (sr) Obr.Prostorový úhel při malém vrch.úhlu Prostorový úhel Ω α, který přináleží velmi malému vrcholovému úhlu α lze vypočítat s přihlédnutím k obr. výše uvedeného, tímto postupem (viz. přednášky): Ω α = 2,39.10-4 α 2 b) Když je úhel α dán v minutách, platí: Poznámka: Odvození a příklady viz. přednášky!!! Ω α = 6, 64. 10-8 α 2 e) Prostorový úhel vymezovaný čtyřbokým jehlanem s obdélníkovou základnou:
V praxi se často počítá prostorový úhel, pod nímž se z určité vzdálenosti pozoruje obdélniková plocha. Obr.:Prostorový úhel vymezený čtyřbokým jehlanem Stanovíme prostorový úhel, pod nímž je z bodu P vidět obdélník BCDG v soustavě x, y, z; v rovině rovnoběžné s rovinou x,y ve vzdálenosti h od počátku P. Poznámka. Úpravou a odvozením dostaneme výsledný
obecný tvar pro výpočet prostorového úhlu (viz. přenášky). Upravíme výše uvedený obrázek na obrázek obecný: Ω - a,b - h - prostorový úhel při vrcholu O (sr) strany obdélníka (m) výška jehlanu nad vrcholem obdélníka (m) Ω = arctg(ab)/h a 2 +b 2 +h 2 Určuje-li prostorový úhel, pod nímž je z bodu
P vidět obdélník BCDG, umístěný podle níže uvedeného obr., v rovině kolmé k úsečce PP 0, doplní se sledovaný obdélník o dílčí obdélníky III a IV a rozdělí se na obdélníky I, II, jak je patrno z tohoto obrázku: Hledaný prostorový úhel se stanoví z rovnice: Ω (I+II) = Ω (IV+I) + Ω (III+II) - Ω (IV) - Ω (III) Prostorový úhel, pod nímž se z bodu P pozoruje obdélník BCDG umístěný podle níže uvedeného obrázku
Ω (I+II+III+IV) = Ω (I) + Ω (II) + Ω (III) + Ω (IV) POMOCNÉ POJMY: Zorný průmět: je to kolmý průmět pozorovaného tělesa nebo rovinného obrazce do roviny, která je kolmá ke směru pohledu a která se dotýká pozorovaného tělesa nebo obrazce na straně k pozorovateli. Zorný úhel - je to rovinný úhel, v němž vidí pozorovatel uvažovanou úsečku. Je to úhel sevřený, oběma myšlenými různoběžkami, proloženými okem pozorovatele a koncovými body úsečky.
Zorný prostorový úhel - je vymezován kuželovou nebo jehlancovou plochou, určenou viditelným obrysem pozorovaného předmětu nebo rovinného obrazce a vrchol této kuželové nebo jehlancové plochy je v místě oka pozorovatele. Je-li vzdálenost pozorovatele vzhledem k pozorovanému předmětu dostatečně velká, je tento zorný prostorový úhel totožný s prostorovým úhlem, který přísluší zornému průmětu. PŘÍKLADY Poznámka: Příklady budou řešeny na přednáškách. Na jednotlivých ukázkách praktických příkladů, budou zadány úkoly do semestrálních prací!!! Světelně technické pojmy a měrové jednotky.
ZÁKLADNÍ VELIČINY: Světelně technické jednotky jsou odvozeny z JEDNOTKY SVÍTIVOSTI, která jediná je realizovatelná. Při výpočtech, je třeba předpokládat, že světelný zdroj je tak malých rozměrů, že jej lze považovat za SVÍTÍCÍ BOD. Např. žárovka je považována za svítící bod. Znalost pojmu prostorový úhel usnadní pochopení pojmu SVÍTIVOSTI a SVĚTELNÉHO TOKU. SVĚTELNÝ TOK: Světelným tokem bodového světelného zdroje se míní úhrnný světelný tok Φ 0 vyzařovaný do celého prostoru, tj. do plného prostorového úhlu. SVÍTIVOST I : Je to světelný tok připadající na jednotku
prostorového úhlu. Svítivost I bodového zdroje v uvažovaném prostorovém úhlu je: I ω = Φ ω / ω (cd) [kandela] Kde: Φ ω - ω - světelný tok v uvažovaném prostorovém úhlu ω(lm) uvažovaný prostorový úhel (sr) POZNÁMKA: Problematika bude podrobně rozvedena na přednáškách a procvičena!!! DEFINICE : Svítivosti Jedna kandela (cd) je rovna svítivosti zdroje, který vyzařuje v určitém směru monochromatické záření o frekvenci 540. 10 12 Hz, při čemž zářivost zdroje v tomto směru je 1/683 W/sr. DEFINICE : Světelného toku
Jednotka světelného toku se nazývá LUMEN (lm). Je to světelný tok bodového světelného zdroje svítícího jednotkou svítivosti, tj. 1 cd do jednotky prostorového úhlu, tj. do jednoho steradiánu. Bodový světelný zdroj, jehož střední sférická svítivost je I, má úhrnný světelný tok Kde Φ = 4πI Φ - úhrnný světelný tok (lm) I - střední sférická svítivost (cd) Světelný zdroj, jehož střední sférická svítivost je 1 cd, dává celkový světelný tok 12,57 lm. MNOŽSTVÍ SVĚTLA Q : Je vyzařovaná, nebo pohlcovaná světelná
energie. Q = Φ.t Q - množství světla (lmh) lumenhodina Φ - světelný tok (lm) t - doba svícení (h) MĚRNÝ (SVĚTELNÝ) VÝKON η : η = Φ/P Φ - celkový světelný tok zdroje (lm) P - příkon světelného zdroje (W) Posuzujeme tím světelné zdroje různých druhů a příkonů, ale i různých jakostí. INTENZITA OSVĚTLENÍ E : Světelný tok zachycený uvažovanou plochou způsobuje OSVĚTLENÍ. Osvětlení je tím intenzivnější, čím větší je světelný tok plochou zachycený a čím menší je tato plocha. E = Φ / S Tato rovnice platí, je-li světelný tok v mezích uvažované plochy neměnný
Je takto definována jen STŘEDNÍ HODNOTA osvětlení E med E - intenzita osvětlení (lx) Φ - světelný tok zachycený uvažovanou plochou (lm) S - velikost uvažované plochy (m 2 ) Vnitřní osvětlení koule s ploměrem r je dáno rovnicí: E = 4πI / 4πr 2 = I / r 2 Z této rovnice je zřejmé, že intenzita osvětlení bodovým světelným zdrojem ubývá kvadraticky se vzdáleností od zdroje. Hovoříme tak o: ZÁKON ČTVERCOVÝ Čtvercový zákon také vyplývá ze vztahu mezi svítivostí a světelným tokem v uvažovaném prostorovém úhlu:
Poznámka: Odvození s příklady budou uvedeny na přednáškách!!! E = Iω /r 2 JAS L : dvě různě svítící koule ze stejného opálového skla koule jsou prosvětlované stejnými žárovkami menší koule je světlejší než větší vyzařovaný světelný tok a svítivost obou koulí jsou stejné se stejným směrem JAS je tím větší, čím větší je svítivost tímto směrem a čím menší je svítící plocha v tomto směru JAS svítící plochy v určitém směru je dán: podílem její svítivosti v uvažovaném směru a velikostí jejího zorného průmětu (tj. kolmého průmětu svítící plochy do roviny kolmé k uvažovanému směru): ODVOZENÍ (viz. přednášky)
L α = I α / S = I α / Scosα L α - jas (cd/m 2 ) ve směru α I α - svítivost (cd) ve směru α S - svítící plocha (m 2 ) α - úhel, který svírá svítící plocha se svým zorným průmětem Jde-li o jas plochy ve směru kolmém, pak: L 0 = I 0 /S Obě rovnice platí tehdy, je-li svítivost plochy v každém místě stejná. Pak I α a L α jsou průměrné velikosti jasu a svítivosti v uvažovaném směru α. Je-li svítivost uvažované plochy v různých místech různá, platí pro každé místo svítící plochy diferenciální rovnice:
Poznámka: postup bude uveden na přednáškách!!! Př.Vykazuje-li svítící plocha o velikosti S 1 = 0,6 x 0,6 = 0,36 m 2 (např. vyzařovací plocha zářivkového svítidla 4x18W s difuzním krytem) pod úhlem α = 60 0 (cosα = 0,5) od normály svítivost I α = 450 cd, pak je jas L α této plochy ve zmíněném směru roven: L α = 450 / 0,36. 0,5 = 2500 cd.m -2 ROVNOMĚRNÝ ROZPTYL SVĚTLA LAMBERTŮV ROZPTYL - jas svítící plochy se jeví ve všech směrech stejný LAMBERTOVA SVÍTÍCÍ PLOCHA - je to plocha s ideálně rovnoměrným rozptylem světla SVÍTIVOST v různých směrech, kterékoli roviny proložené kolmicí v uvažovaném místě
svítící plochy je určena tzv. Lambertovou kružnicí k 1. SVÍTIVOST I α v kterémkoli směru, je dána součinem max. svítivosti ve směru kolmém I 0 a kosinem úhlu I α který svírá uvažovaný směr s kolmicí v uvažovaném místě k Lambertově ploše. SVÍTIVOST ubývá stejně jako se zmenšuje průmět svítící plochy, tj. s kosinem úhlu α, a proto zůstává podíl I α / S cos α tj. JAS, v kterémkoli směru stejný; lze jej znázornit poloměrem kružnice k 2. I 0 = Φ/ π = LS I 0 - svítivost ve směru kolmém k Lambertově ploše (cd) Φ - plochou vyzařovaný světelný tok (lm) L - jas Lambertovy svítící plochy (cd/m 2 ) S - velikost Lamberovy svítící plochy (m 2) Při rovnoměrném rozptylu je jas ve všech směrech stejný, proto platí
L = I 0 /S Pak Φ = πi 0 = πls dělením rovnice S Φ/S = πi 0 / S = πl πl - SVĚTLENÍ Lambertovy plochy označuje se M M = Φ/S = πl M - světlení (lm/m 2 ) Φ - vyzařovaný světelný tok (lm) S - velikost svítící plochy (m 2 ) L - jas Lambertovy plochy (cd/m 2 ) SVĚTLENÍ je plošná hustota světelného toku vyzařovaného plošným zdrojem.
POZNÁMKA: V osvětlovací technice se používají často svítící plochy, ať jsou osvětlované nebo prosvětlované, za Lambertovy plochy, i když se svými světelnými vlastnostmi jen blíží rovnoměrnému rozptylovači světla; za tohoto předpokladu lze při výpočtech aplikovat jednoduché matematické vztahy a tím se výpočty značně zjednoduší. PŘÍKLADY: Budou uvedeny na přednáškách a rovněž na přednáškách budou zadány příklady do semestrální práce!!!