Vlci a zajíci v pohádkovém lese 1/6 Vlci a zajíci v pohádkovém lese Jií Neas Vstupujeme do pohádky o jednom zvláštním lese. Ona ovšem celá pohádka to bude ponkud zvláštní. Nebudou v ní víly ani králové, a dokonce ani vlkodlaci, bludiky i jiná strašidla, jak by se pro pohádkový les slušelo a patilo. Protože však tam poádek vcí bude ponkud jiný než ve skutenosti, pívlastek "pohádkový" mu upírat nebudeme. A aspo pro princeznu v ní místo najdeme. V lese si budeme všímat vlk a zajíc. Vegetariánští zajíci se o sebe postarají, rostlinné stravy je dostatek, a vlkm poslouží jako základní zdroj obživy. Pozornost vnujeme tomu, jak se mní velikost vlí a zajeí populace. Vlkm role predátor sedí. Zajíci by asi patili spíš na pole a vlci by mohli mít jinou základní lahdku, ale tím by se nám komplikoval systém oznaování - promnné veliiny znaíváme písmeny z konce abecedy, a tak se nám bude hodit v pro vlky a z pro zajíce. 1 Nebudeme však tmito písmeny oznaovat množství sledovaných zvíat, nýbrž odchylky jejich potu od stední hodnoty. ím vtší bude zajeí populace, tím lépe se vlkm povede, což vlci na rozdíl od nás lidí nepromítnou do vtší "osobní spoteby", ale zkrátka budou se více množit. A protože pírstek veliiny vyjaduje derivace 2, mžeme tuto závislost matematicky vyjádit rovnicí 3 v' = a z, kde a je kladná konstanta, vyjadující závislost fertility vlk na dostupnosti potravy. Tato rovnice ovšem popisuje vývoj vlí populace i v dobách zlých, když je zajíc málo (jejich poet je menší než stední stav, tedy odchylka z od stední hodnoty je záporná) a vlk ubývá (v' < 0). Jak tedy vývoj vlí a zajeí populace funguje? Když vlk pibude, budou se zajíci píliš asto stávat potravou vlk, takže jejich populace bude slábnout - ím vtší bude "nadstav" (poet nad stední hodnotou) vlk, tím více bude zajíc ubývat, ím vtší bude podstav (poet pod stední hodnotou) vlk, tím více budou zajíci pibývat. Zmna množství zajíc tedy bude mít obrácené znaménko než odchylka potu vlk od rovnovážné podoby; práv uvedenou úvahu mžeme vyjádit rovnicí z' = - b v, 1 Pi tom si uvdomíme, jak píjemný jazyk je eština, že nám takovouto možnost poskytuje. 2 Nezávisle promnnou veliinou je zde as t; jeho jednotka mže být libovolná, avšak pro celou úvahu pevn zvolená; vhodnjší zde bude pedstavit si ji jako den i týden než jako sekundu, ve fyzice bžn užívanou. 3 Poet zajíc i poet vlk jsou pirozená ísla, která netvoí hustou množinu, a tak pokud není jejich poet konstantní, nemže jejich závislost na ase být vyjádena spojitou (a tedy ani derivovatelnou) funkcí. Vzhledem k výhodnosti prostedk matematické analýzy její aparát zde používáme s tím, že pi dostaten velkých potech malou celoíselnou zmnu mžeme považovat za spojitou. Jiný možný pístup je nevyjadovat velikost populace potem kusu, nýbrž její celkovou hmotností. Pak derivace podle asu má smysl, avšak zas narazíme na jiné problémy - vlci žerou "v dávkách", jak nakládat s hmotností zardoušených, avšak ješt nesežraných hlodavc atd.
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 2/6 kde kladná konstanta b vyjaduje závislost pírstku zajíc v závislosti na míe ohrožení vlky. Urení konstant a a b nechme princezn. Naše princezna je jiná než jaké obvykle v pohádkách bývají. Krásnými dlouhými kaštanovými vlasy, velkýma dobro vyzaujícíma oima, milým úsmvem, cudností a skromností své tradiní pohádkové kolegyn pipomíná, avšak místo nepraktických princeznovských šat má zelené triko s nápisy E = m c 2, E = h f, F = E - T S a hndé džíny; barvou obleení tak vyjaduje lásku k lesu, jehož se naše pohádka týká. A co je dležité, naše princezna má malý doktorát ze zoologie a PhD. z ekologie. Nápisy na triku ukazují k fyzice; princezna totiž ví, že všechny procesy v zoologii i v ekologii musejí být v souladu s fyzikálními zákony. A ví také, jak užitený nástroj pi poznávání je matematika, a tak s urováním konstant poká, až bude mít matematický model lesa zpracovaný. My jej budeme ešit spolu s ní. Máme dv rovnice, které váží vlí a zajeí populaci. Co však s nimi? Nejdíve je zderivujeme. Dostaneme: v'' = a z', z'' = - b v'. Nyní za první derivace dosame z našich pvodn sestavených rovnic: v'' = - a b v, z'' = - a b z. Pro ob populace dostáváme stejné rovnice. Pevedeme v nich leny z pravé strany na levou: v'' + a b v = 0, z'' + a b z = 0. Protože a i b jsou kladná ísla, je jejich souin rovnž kladný a bude užitené se na nj dívat jako na druhou mocninu urité veliiny, kterou oznaíme, tedy a b = 2. Jak odchylka potu vlk, tak odchylka potu zajíc od své stední hodnoty se ídí stejnou diferenciální rovnicí: v'' + 2 v = 0, z'' + 2 z = 0. Jde o homogenní (krátkou) lineární diferenciální rovnici druhého ádu s konstantními koeficienty. Koeny její charakteristické rovnice 2 + 2 = 0 jsou ryze imaginární: i a - i. Znamená to, že ešení rovnic mžeme vyjádit ve tvaru v = K 1 cos ( t) + K 2 sin ( t), z = C 1 cos ( t) + C 2 sin ( t).
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 3/6 Konstanty K 1, K 2, C 1 a C 2 lze urit na základ poáteních podmínek, piemž mezi vlími konstantami K 1, K 2 a zajeími konstantami C 1, C 2 existuje souvislost, jejíž konkrétní tvar si ukážeme. Uvedli jsme ešení diferenciálních rovnic ve tvaru, v jakém bývá v uebnicích pedkládáno, tedy jako lineární kombinaci dvou lineární nezávislých (bázických) ešení. Praktici však dávají pednost jinému vyjádení, které dává názornjší pedstavu o jeho prbhu: v = K sin ( t + ), z = C sin ( t + ), piemž konstanty a lze volit z intervalu (- /2, /2>. Dosud sledujeme prakticky symetricky vývoj vlí i zajeí populace. Abychom zjednodušili vyjadování, vybereme si jednu z nich, jejímuž popisu budeme dávat pednost. Naše vzdlaná princezna dobe ví, jak užitené pro zdraví lesního spoleenství jsou šelmy, nicmén jejímu jemnému princeznímu srdci jsou pece jen bližší zajíci. A proto na zajeí rovnici si ukažme, jak spolu souvisejí konstanty z jednotlivých vyjádení ešení naší diferenciální rovnice: C 1 = C sin, C 2 = C cos, C = (C 2 1 + C 2 2 ) 1/2, = arctg (C 1 /C 2 ). Uvedené vztahy si tená mže ovit pomocí vztahu pro vyjádení sinu a kosinu soutu dvou argument. Princezna tedy ví, jak pro zdravý vývoj populace zajíc jsou vlci užitení. Co by se stalo, kdyby vlci v lese nebyli? Perušme naše pemýšlení o vzájemném psobení obou populací a zkusme se zamyslet, jak by se nad zajeí populace vyvíjela v lese bez vlk. Pokud se jim dobe povede, budou se zajíci množit. ím více zajíc bude, tím více mezi nimi bude zajeích maminek a tatínk, a tedy tím více jich bude pibývat. To mžeme vyjádit diferenciální rovnicí 4 Z' = k Z, kterou mžeme napsat ve tvaru standardním pro lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty Z' - k Z = 0. Urení kladné konstanty k zas necháme zooložce-ekoložce princezn a my pomocí charakteristické rovnice - k = 0 najdeme ešení diferenciální rovnice, které vyjaduje, jak by se s asem mniílo množství zajíc: Z = Z 0 e kt. 4 V tomto pípad nemáme k dispozici njakou stední hodnotu potu králík, nebo oni se stále množí. Proto pracujeme s jejich celkovým potem, a k jeho oznaení použijeme pro odlišení velké Z.
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 4/6 Poet zajíc by tak exponenciáln rostl nade všechny meze. Pochopiteln, a jsou skromní vegetariáni, jednou by jim pestala stait lesní vegetace k obživ, zaali by si pekážet, podmínky dstojného zajeího života by pestaly existovat. Vývoj zajeí populace by se pestal ídit rovnicí odvozenou za pedpokladu, že se zajícm vede dobe. V lese by se prost nedalo normáln žít. Došlo by ke kolapsu. A tak díky vlkm, že k tomu nedochází! Podobn je tomu s každým exponenciálním rstem populace. Na rozdíl od zajíc jsou lidé vybaveni rozumem a vlí. V nkterých oblastech lidská populace stále výrazn roste, avšak celosvtov vtším problémem, který mže znamenat zhoršování podmínek lidského života, je rst náronosti, rst spoteby. A tak se nabízí otázka, zda teba souasná ekonomická krize nemá lidem pomoci podobn jako vlci pomáhají zdravému vývoji zajeí populace. Pak ovšem ty rzné protikrizové balíky, šrotovné apod. pipomínají jakési pípadné nemoudré snahy zajeích pohlavár vlky cílevdom 5 vyhubit. Vra me se však k lesu, kde se navzájem ovlivují zajeí a vlí populace. Zderivujme ešení diferenciální rovnice pro vlky, a to v našem "praktickém" tvaru:: v' = K cos ( t + ). Do vztahu v' = a z dosame za v' a za z vyjádení vyjadující závislost na ase: K cos ( t + ) = ac sin ( t + ). Porovnávat kosinus se sinem bude snazší, když si uvdomíme, že platí identita cos x = sin (x + /2) (ovíme ji zas jednoduše pomocí vztahu pro sinus soutu dvou argument s tím, že sin(/2) = 1, cos(/2) = 0). Použijeme-li tento vztah na kosinus vyskytující se v derivaci potu vlk, dostaneme K sin ( t + + /2) = a C sin ( t + ). To znamená, že K = a C/, = - /2. Vývoj našich populací tedy mžeme vyjádit ve tvaru z = C sin ( t + ). v = (a C / ) sin( t + - /2), popípad (protože 2 = a b) z = C sin ( t + ). v = C (a / b) 1/2 cos( t + ). Konstanty C a jsou ureny poáteními podmínkami. Jestliže zaneme as mit, když stav zajíc bude roven stední hodnot a bude rst, bude "fázová" konstanta rovna nule. Vzhledem k tomu, že funkní hodnoty funkcí sinus a kosinus se pohybují mezi -1 a 1, vyjaduje konstanta C maximální 5 Jsme v pohádce, a tam takové cílevdomé poínání zajeí populace je možné.
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 5/6 možnou odchylku potu zajíc od stední hodnoty. Maximální možná odchylka K stavu vlk není veliinou na této nezávislou, je totiž rovna a C /, což mžeme také vyjádit ve tvaru C (a/b) 1/2. Povšimneme si, že platí K / C = (a/b) 1/2, tedy a / b = (K / C) 2. Pro sestavení rovnic jsme udlali adu zjednodušujících pedpoklad. Konec konc, pohádkové populace vlk a zajíc se jimi mohou ídit. Došli jsme k výsledku, že ob oscilují kolem rovnovážné polohy, piemž vývoj vlí populace je o tvrt periody (pipomeme, že perioda funkcí sinus a kosinus je 2 ) naped ped populací zajeí, což mžeme vyjádit i tak, že je-li vývoj zajeí populace vyjáden (pi vhodné volb mítka) grafem funkce sinus, vyjaduje graf funkce kosinus vývoj populace vlí. Konstanty úmrnosti a a b z lineárních závislostí mezi v' a z a mezi z' a v se promítnou jednak do pomru mezi amplitudami, jak jsme již ped zaátkem tohoto odstavce zmínili, jednak do délky T 0 trvání periody, T 0 = 2 / = 2 / (a b) 1/2, odkud mžeme vyjádit souin konstant a a b ve tvaru a b = 4 2 / T 2. Pokud princezna zná amplitudy K a C, s nimiž velikosti populací oscilují podle rovnovážné polohy, a periodu T tohoto kolísání 6, snadno vypoítá konstanty a a b, které vyjadují, jak výrazn zmna jedné sledované veliiny závisí na hodnot veliiny druhé: a = 2 K / (T C), b = 2 C / (T K), Poty zajíc i vlk v lese se mní, avšak systém je tak nastaven, že stední hodnota zstává stálá. Kdyby kvli njakému vnjšímu zásahu došlo ke zmn nkteré z konstant a i b, ovlivní to pomr amplitud obou populací a délku periody, avšak regulaní schopnost bude trvat, pokud nebude zmna píliš velká, teba pokud velikost nkteré z populací neklesne na nulu; vymení zajíc by mlo za následek vymení vlk, vymení vlk samo by však znamenalo nekontrolovaný rst zajeí populace, což by, jak jsme si už ekli, znamenalo pro zajíce také katastrofu. Model, který jsme ešili pomocí soustavy dvou lineárních diferenciálních rovnic 1. ádu (pevedením na ešení lineární diferenciální rovnice 2. ádu), je velice zjednodušující. To není nic pohádkového. V praxi kvli možnosti modelovat reálnou situaci tak, abychom ji mohli ešit analyticky, velice asto zjednodušujeme. Snad jsme tím však vystihli podstatu regulace, kdy je nkterá veliina udržována v oscilacích kolem urité rovnovážné polohy pomocí jiné, negativní zptnou vazbu zprostedkovávající veliiny. Pomocí zcela elementární teorie diferenciálních rovnic s jednou neznámou funkcí jsme udlali matematický model s dvma v ase se na sob závisle mnícími veliinami, tedy s dvma neznámými funkcemi asu. 6 V našem pohádkovém svt je as homogenní, tedy njaké kolísání zpsobené roními obdobím zde nenastává.
Vlci a zajíci v pohádkovém lese 6/6 Regulace udržuje urité parametry v daných mezích. Pokud dojde k jejich píliš velkému vychýlení, pestává fungovat. Pro spoustu rzných veliin, které mžeme na Zemi mit, existují takové vzájemn složit provázané mechanismy, které udržují jejich žádoucí hodnoty v potebných mezích. Bez nich by na Zemi nebyl lidský život možný. lovk si poíná však asto bezohledn, takže mže hodnoty tchto pro život dležitých veliin vychýlit natolik, až regulaní mechanismy selžou. Nelze pesn zjistit, v jakých mezích regulace funguje, nicmén každopádn lidská rozpínavost pedstavuje vážné nebezpeí pro fungování toho, co je podmínkou života. Vztahy ve skuteném svt jsou nesrovnateln složitjší než v pohádkovém lese. Úlohu naší princezny v nm hrají týmy vdc. Zjednodušený pohádkolesní model jsme snadno vyešili s využitím elementárních znalostí o diferenciálních rovnicích. Naše souasné lidské vdomosti o svt slouží k sestavení rozsáhlých model, které se eší na poítaích. Ani ty se neobejdou bez zjednodušování. O svt a zákonitostech v nm platných toho víme stále více, a pi tom stále více a více poznáváme, kolik toho nevíme. Zdravou lidskou reakcí by mla být rostoucí touha po poznání 7 a zárove s ní i veliká pokora a úžas nad tím, jak zemský systém funguje. K tomu však patí i cílevdomá snaha jeho fungování neublížit. A to vše vyžaduje hluboce prožité poznávání, vedoucí k vdomí sounáležitosti vlastního "já" s celkem - s lidstvem, se Zemí, s vesmírem. A to zas vede ke stále hlubší pokoe. 8 Louíme se te s naší vzdlanou princeznou a s periodicky kolísajícími populacemi vlk a zajíc, louíme se i se soustavou dvou lineárních diferenciálních rovnic o dvou neznámých funkcích, a opouštíme náš pohádkový les s vdomím toho, že mezi naším "reálným" svtem s mitelnými veliinami, svtem pohádek a ideálním svtem matematiky vlastn žádná ostrá hranice není a vším tím prostupuje svt, ve kterém se uskuteuje naše lidství, naše touhy a usilování, kde má své místo i utopie, takzvanými realisty odmítaná, a pesto jako motivace k plnému, tvrímu prožívání našich život nesmírn dležitá. Literatura Neas, J.: Hrneku, va aneb Separace promnných v eské pohádce. Envigogika 2008,. 1. Mundus symbolicus 16 (2008) Rastrigin, L.A.: Etot sluajnyj, sluajnyj, sluajnyj mir! Moskva, Molodaja gvardija 1969. 10.06.2009 7 Ve svt idejí (v informaní sfée) je na míst chtít stále více a více, zatímco ve svt materiálním nikoli. 8 Znamená to existenci kladné zptné vazby pro postoj pokory.