MUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)

Transkript

1 MUNDUS SYMBOLICUS 19 (2011)!"#$$%&! %' ($ Vítám vás, milí tenái, opt v pohádkovém lese [1], [2]. Setkáme se zase s krásnou a sympatickou princeznou Alguelitou 1 i s vílami a kovílasy 2. Ke správnému pohádkovému lesu patí jeskyn. Nechybí ani u nás. Spolu se skupinou dtí ešících pytagoriádu jeskyni Tináctku navštívíme. A jako já coby autor vítám tenáe, tak princezna Alguelita uvítala skupinu matematikychtivých dtí 3 u vchodu do Tináctky. tená, který není v našem pohádkovém lese ponejprv, už ví, že krásná a vzdlaná princezna Alguelita, matematicky vzdlaná zooložka a ekoložka, se svými krásnými dlouhými kaštanovými vlasy, velkýma dobro vyzaujícíma oima, milým úsmvem, cudností a skromností se svým tradiním pohádkovým kolegyním - princeznám podobá, avšak místo nepraktických princeznovských šat nosívá kalhoty a triko, a je to taková inteligentní a laskavá intelektuálka. Tentokrát mla na sob kalhoty béžové a modré triko, na nmž byly vpedu zobrazeny dv velké soustedné kružnice. Dtem to trochu pipomínalo orloj, nicmén princezna byla tak milá a tak krásn a zajímav povídala, že jim z jeskyn myšlenky na pražské Staromstské ani na olomoucké Horní námstí neutíkaly. Vnitní kružnice byla žlutá a pipomínala ciferník hodin; mla po obvod vyznaených dvanáct bod, oznaených obdobn jako celé hodiny na hodinách, avšak dva rozdíly byly nápadné. Onen horní bod ml oznaení dv nulu a dvanáctku, kterou vyjadovalo písmeno C. Princezna si totiž uvdomila, že by bylo docela nerozumné, když pracujeme s ísly do dvanácti, používat dvojciferná ísla, a tak shodn s konvencí programátor z reálného svta používala pro desítku písmeno A, pro jedenáctku B 1 Princezna je pedstavena v [2], v [1] vystupuje princezna bez jména. Princeznino jméno, inspirované jménem autorky knihy [4], poukazující na možnosti pohádky pro sdlování, vyjaduje dležitost as pro globální ekosystém; alga je latinsky a španlsky asa; španlsky tvoená dvojnásobná zdrobnlina píponou -uelita je Algüelita, do eštiny pepisujeme Alguelita. 2 Mužská obdoba víly. eský slovní základ víl je doplnn pedponou ko- s obdobným významem jako u goniometrických funkcí a píponou -as, která je pevzata z litevštiny jako základní píznak maskulina (tam jde o nominativní pádovou koncovku). 3 Dtem jsou zde pisuzovány znalosti, které se oekávají až od stedoškolák. Autor se za to omlouvá, avšak do pohádky se lépe hodí dti než mládež 1

2 a pro dvanáctku C. Vnjší, ervená kružnice mla po obvod vyznaeno tináct rovnomrn od sebe vzdálených bod. Horní bod byl oznaen 0, a pak, proti smru hodinových ruiek, byly body 1, 2,..., B, C. A jak princezna dti pivítala? Povdla jim, že si váží toho, jak zvládly poítání s ísly 4. íše ísel je krásná, bohatá, dokonce bohatší než všechno lidské poznání svta. Pi tom jim slíbila, že v jeskyni najdou jiný svt. Bude se v nm poítat obdobn jako se v lidském svt poítá s reálnými ísly, avšak v jeskynním svt bude ísel konen mnoho, jak už napovídá název jeskyn Tináctka. Ano, hlavní vtev matematiky v Tináctce vystaí s tinácti ísly, kterým se íká trettoísla 5. A jedno z nich - nula - je docela nezajímavé. A tak je v Tináctce dvanáct zajímavých ísel. Alguelita vyjádila nadji, že chytré dti nejsou povrivé. A kdyby snad nkteré pece jen povrivé bylo a ped tináctkou mlo takový mrazivý respekt, a radji myslí na tch dvanáct zajímavých trettoísel. U vstupu do jeskyn Tináctky Alguelita pedstavila dtem jejich prvodce svtem trettoísel: víly Algebru a Exponenciálu a kovílasy Modula a Logaritma. Pak dti doprovodila do úžasné podzemní sín a tam pedala slovo víle Algebe. Algebra dtem zopakovala ve velkolepé jeskyni pohádkového svta pravidla, která spluje poítání s ísly v lidském svt. Pipomeme si je spolu s nimi. Pro sítání platí: sk) Pro libovovolná dv ísla a, b je a + b = b + a. sa) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a + b) + c = a + (b + c). sn) Existuje práv jedno íslo 0, pro nž pro libovolné íslo a platí 0 + a = a. si) Ke každému íslu a existuje práv jedno takové íslo a, že platí a + a = 0. íslo 0 nazýváme nula, íslo a je opané íslo k íslu a. Poslední pravidlo (si) nám umožuje definovat odítání: Pro libovolná dv ísla a,b definujeme jejich rozdíl a - b = a + b. Podobná pravidla platí pro násobení: mk) Pro libovolná dv ísla a, b je a. b = b. a. ma) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a.b).c = a.(b.c). mn) Existuje práv jedno íslo 1, pro nž pro libovolné íslo a platí 1. a = a. mi) Ke každému íslu a, rznému od nuly existuje práv jedno takové íslo a -1, že platí a.a -1 = 1. íslo 1 nazýváme jednotka, íslo a -1 je pevrácené ili inverzní íslo k íslu a. Poslední pravidlo (mi) nám umožuje definovat dlení nenulovým íslem: Pro libovolné íslo a a libovolné nenulové íslo b definujeme jejich podíl a /b = a. b -1. A samozejm, že víla Algebra pipomnla i distributivní zákon a jednu dležitou vlastnost nuly: d) Pro libovolná ti ísla a, b, c je (a + b).c = a.c + b.c. z) Pro každé íslo a platí 0.a = 0. 4 íslem rozumíme reálné íslo (pípadn racionální íslo). 5 Tretton je švédsky tináct. 2

3 I když takovouto teorii ani dti milující matematiku ve škole nemají v žádné zvláštní oblib, v podání víly Algebry vše poslouchaly úpln se zatajeným dechem. A jejich poznáníchtivost ješt vzrostla, když se Algebra zmínila, že pro platnost tchto pravidel pro poítání není podstatné, že (lidských) ísel je nekonen mnoho. Ale to už pedala slovo kovílasovi Modulovi. Jeho plné jméno je Modul Tináct, ale on je zvyklý na to, že se mu íká krátce Modul. A tak i zde o nm jako o Modulovi budeme mluvit. Modul pišel s tím, že v Jeskyni Tináctce poítají s trettoísly, sítají je a násobí, a také odítají a dlí (nulou ovšem nikoli). Je jich tináct, od nuly do dvanáctky (ale také bychom mohli íci teba od ptky do tyky, piemž po dvanáctce následuje nula). A jak už víme z Alguelitina trika, desítka, jedenáctka a dvanáctka se oznaují jednocifern A, B, a C. A protože trettoísel je konen mnoho, mohou se operace mezi nimi definovat tabulkami. Rychle na plátno v ele jeskyn promítl tabulky sítání a násobení a vyzval dti, aby si je dobe prohlédly: SÍTÁNÍ TRETTOÍSEL A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A A B C B B C A C C A B NÁSOBENÍ TRETTOÍSEL A B C A B C A C B C B A C 3 7 B 2 6 A A 2 7 C B C 5 B 4 A A 4 B 5 C B C 7 2 A A 6 2 B 7 3 C 8 4 A 0 A B C B 0 B C A

4 C 0 C B A Ob tabulky jsou symetrické 6 mezi trettoísly tak platí pro sítání i pro násobení komutativní zákony sk, mk. Proto je také lhostejno, zda první operand hledáme v levém sloupci a druhý v horním ádku i naopak. Z toho, jak vypadá ádek náležející nule u sítání a jednice u násobení, je vidt, že zde platí i zákony sn a mn. V tabulce sítání je v každém ádku práv jednou nula ta je práv ve sloupci, v jehož záhlaví je trettoíslo opané k íslu v záhlaví píslušného ádku. Mžeme si tak vytvoit tabulku opaných ísel: a A B C -a 0 C B A Z ádku i ze sloupce odpovídajícího nule vidíme, že zde platí zákon z, a tedy k nule neexistuje inverzní trettoíslo. K nenulovým trettoíslm však inverzní trettoísla v tabulce snadno vyhledáme tak, že pro vybrané trettoíslo najdeme píslušný ádek, v nm najdeme jedniku, a ta je ve sloupci, v jehož záhlaví je hledané inverzní trettoíslo. Zde je tabulka inverzních trettoísel: a a A B C A 8 B C Pi vyjadování opaných ísel se obejdeme bez znaménka "minus", pi vyjadování pevrácených ísel bez zlomk. K násobení a k pevráceným trettoíslm obrátíme svou pozornost za chvíli; te se zamysleme nad tím, zda bychom pece jen nemohli nkterá trettoísla prohlásit za záporná. Jist, mohli; jde o to, zda by to bylo rozumné, a jaký pístup by byl nejrozumnjší. Jedna možnost by bylo prohlásit za záporná ta ísla, od nichž je (názorn) blíže k nule pomocí pitení než pomocí odetení, tedy 7 až C. Modul poznamenal, že podobn to dlají na zemi programátoi, když eší ukládání celých ísel v poítai, ale když už on by byl tmi zápornost uctívajícími lidmi nucen nkterá trettoísla prohlásit za záporná, byla by to trettoísla 2, 5, 6, 7, 8 a 11. Pro zrovna takto, vysvtlí pozdjí víla Exponenciála. Že by se podobný pístup ve struktue, již používají programátoi, použít nedal, a i kdyby dal, nebylo by to pro práci poítae vhodné, o tom se Modul už nezmínil. Ml Modul platnost zbývajících pravidel dtem prost jen pedložit k vení? On jim to dal jako podnt k pemýšlení, piemž jim prozradil, že souet a souin trettoísel se dá vypoítat tak, že se spoítá jejich souet a souin jako obyejných lidských ísel, získaný výsledek se vydlí (se zbytkem) tinácti; zbytek pi tomto dlení je výsledkem operace mezi trettoísly. Lidé tmto operacím íkají sítání, resp. násobení podle modulu 13. Díky této souvislosti s poítáním s lidskými ísly se na základ asociativity a distributivity jejich sítání a násobení dá pomrn snadno dokázat, že tyto vlastnosti mají i operace s trettoísly. A když mžeme s trettoísly poítat, mžeme v jejich oboru ešit i rovnice. Lineární jsou podle Modula docela nezajímavé, ukázal to na píkladu 5x = B; 6 Nezmní se, zamníme-li ádky a sloupce, pokud jejich poadí zstane zachováno. 4

5 ob strany rovnice vynásobil trettoíslem inverzním k 5, tedy 8: tedy 8.5x = 8.B, x = A. Protože se však pohybujeme v konené, nepíliš poetné množin, mžeme k ešení rovnice použít pímo tabulku násobení; v ádku píslušejícím trettoíslu 5 najdeme výsledek B; nachází se ve sloupci trettoísla A. Poslouchající dti ani neregistrovaly ubíhající as, pesto však Modulova informace, že te pijdou ješt zajímavjší vci, je potšila. Než ped dti pedstoupila usmvavá víla Exponenciála, laskavá Algebra jim pipomnla, jak se zavádí nezáporná celoíselná mocnina mezi ísly. Udlala to poctiv, indukcí: Pro každé íslo a je a 0 = 1. Dále definujeme a n+1 = a.a n Exponenciála své pozorné posluchae upozornila, že definice indukcí uvažuje mocnitel jako libovolné pirozené íslo 7. Mocniny nuly jsou nezajímavé, mocniny nenulových trettoísel jsou zas nenulová trettoísla, a tch je dvanáct; jejich hodnoty se periodicky opakují. Protože nejdelší perioda tohoto opakování je dvanáct, mocnitel budeme vyjadovat pomocí tolvoísel 8, jichž, na rozdíl od trettooísel není tináct, nýbrž dvanáct. Tolvoísla nebudeme násobit, budeme je jen sítat. Jejich sítání vyjaduje tato tabulka: SÍTÁNÍ TOLVOÍSEL A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A A B B B A Dvanáctá mocnina je v našem svt trettoísel vždy stejná jako nultá. Protože by nkdy vypadalo dost násiln dvanáctku nahrazovat nulou, pi poítání s tolvoísly považujeme 0 a C (= 12) za vyjádení téhož ísla. Vtom se tam ukázala princezna Alguelita a ukázala žlutou kružnici na svém triku, kde horní bod ml dv oznaení, 0 a C. Pipomnla, že je to podobné, jako když plnoc nkdy 7 Tedy nezáporné celé íslo; nulu považujeme tedy za pirozené íslo. 8 Tolv je švédsky dvanáct. 5

6 oznaujeme jako 0 hodin, nkdy jako 24 hodin. Lpt na jednom oznaení nemusí být vždy nejšikovnjší. Vzáptí však Alguelita zas udlala prostor víle Exponenciále, a ta ukázala tabulku mocnin; v levém záhlaví jednotlivých ádk jsou nenulová trettoísla, sloupce jsou nadepsány tolvoísly; sloupce nadepsané 0 a C jsou (až na grafickou úpravu) stejné. Nultá mocnina i dvanáctá mocnina jsou vždy rovny 1, nula a dvanáctka pedstavují stejné tolvoíslo. V ádcích odpovídajících trettoíslm 2, 6, 7 a 11 jsou obsažena všechna nenulová trettoísla. Tato trettoísla tzv. primitivní koeny mohou sloužit jako základ jakéhosi speciálního trettoíslového logaritmu. O tom však bude povídat kovílas Logaritmus. Exponenciála dále zmínila, že mezi mocninami ostatních trettoísel se vyskytují jen nkterá trettoísla. Hodnoty mocnin se periodicky opakují, délka periody (íká se též délka cyklu) je vždy dlitelem ísla 12. MOCNINY TRETTOÍSEL exponent n A B C Délka základ x cyklu C B 9 5 A 7 1 C C 9 A C 9 A C C C A C B 1 C A 5 9 B C C C C C A 9 C A 9 C B C A 6 1 C 12 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 C 1 2 V tabulce mocnin trettoísel ve sloupci exponentu 2 dvakrát vystupují trettoísla 1, 3, 4, 9, A a C jsou to tzv. kvadratické zbytky. Dále víme, že nula je druhou mocninou nuly. Trettoísla 2, 5, 6, 7, 8 a B, která nejsou druhou mocninou žádného trettoísla, nazýváme kvadratickými nezbytky. Vzdálen to pipomíná dlení lidských ísel na kladná a záporná - záporná ísla nejsou druhou mocninou žádného ísla, kladná pak dvou ísel lišících se znaménkem. A i v lidské aritmetice je nula druhou mocninou nuly a žádného jiného ísla. Te Exponenciála pedala slovo Algebe, aby popovídala o kvadratických rovnicích v oboru trettoísel. Kvadratická rovnice má, podobn jako mezi obyejnými ísly, tvar a.x 2 + b.x + c = 0, 6

7 kde a 0. Protože a je nenulové, mžeme rovnici vynásobit trettoíslem a -1 a uvést ji do normovaného tvaru x 2 + p.x + q = 0, kterou mžeme pevést na tvar (x + 7p) 2 = (7p) 2 - q. Te se na chvíli víla Algebra odmlela a ekala, jak se pozorn poslouchající dti budou tváit na sedmiku. Ale opravdu jen na chviliku, v pohádkovém svt byly všechny poslouchající dti ješt bystejší než jako ešitelé Pytagoriády, a tak si uvdomily, že násobit 7 je vlastn totéž jako dlit 2; 2 a 7 jsou navzájem inverzní trettoísla Konstatování, že poet ešení kvadratické rovnice závisí na tom, zda trettoíslo (7p) 2 - q je kvadratický zbytek, nula i kvadratický nezbytek, už nikoho nepekvapil. V prvním pípad má rovnice dv ešení, v druhém jedno a v posledním žádné. V normované kvadratické rovnici mže každý z koeficient p, q nabývat tinácti rzných hodnot. ešení pro všech 169 rzných rovnic (v závislost na p a q) uvádí tabulka. Aby do ní bylo možno zapsat dva koeny, každému q odpovídají dva sloupce; pi dvou koenech jsou oba využity, pi jednom (dvojnásobném) je v pravém symbol -, pokud ešení neexistuje, je v obou sloupcích #. Pokud máme kvadratickou rovnici v oboru reálných ísel, na jejíž koeny i koeficienty se mžeme dívat jako na trettoísla, pak v oboru trettoísel má tytéž koeny. ešení kvadratické rovnice x 2 + px + q = 0 q p A B C # # A # # # # # # # # B # # 1 C 1 C # # # # # # # # A # # B # # 2 0 B - C 4 7 # # # # # # # # # # 1 A 8 3 # # 3 A 0 # # B C 2 8 # # # # # # # # # # # # A C B # # # # # # # # # # # # C # # A B 1 7 # # # # # # # # # # # # # # # # 8 C 1 6 # # B 9 - A 2 5 # # # # # # # # # # C # # B # # 9 A # # A # # C # # # # # # # # B B 6 # # A 7 # # C # # # # # # # # A 0 3 # # B # # # # # # # # A 6 4 C # # B # # 7 8 B 4 # # # # # # # # 3 C A 5 # # C A # # # # # # # # B # # C # # 7

8 Kovílas Logaritmus už netrpliv ekal, kdy se dostane ke slovu. Když se tak stalo, zaal tím, že jist dobe znají, jak se zavádí logaritmus v oboru reálných ísel. Jde o to, že z exponenciálního vztahu y = a x, kde a je kladné íslo rzné od 1, mžeme vyjádit x jako logaritmus kladného ísla y o základu a: x = log a y Z pravidel o poítání s logaritmy si pipomeme, že platí log a 1 = 0; log a a = 1 log a (x.y) = log a x + log a y A podobn mžeme zavést "logaritmus" i mezi trettoísly. Platí-li y = a x, kde a je primitivní koen a x libovolné tolvoíslo, mžeme vyjádit x jako diskrétní logaritmus (podle modulu 13) 9 nenulového ísla y o základu a: x = dlog a y. Jako píklad zvolme a = 6. Z tabulky mocnin si vyberme ádek mocnin 6 a vytvome samostatnou tabulku mocnin 6: x A B C 6 x 1 6 A C B 1 Když vymníme poadí ádk, upravíme levá záhlaví a sloupce uspoádáme tak, aby se v tabulce pro jednotlivá y dobe hledaly píslušné diskrétní logaritmy, dostaneme tabulku diskrétních logaritm: y A B C dlog 6 y A B 6 Pipomeme, že y je nenulové trettoíslo, kdežto jeho diskrétní logaritmus tolvoíslo. Pro diskrétní logaritmy platí podobn jako pro obyejné logaritmy dlog a 1 = 0; dlog a a = 1 dlog a (x.y) = dlog a x + dlog a y (na pravé stran jde ovšem o sítání tolvoísel). Aby to demonstroval na píklad, zstal kovílas Logaritmus u základu 6 a zvolil x = 5, y = 9. Vynásobíme-li trettoísla 5 a 9, dostaneme 6. V tabulce najdeme dlog 6 5 = 9, dlog 6 9 = 4 9 Nkdy se používá termín index 8

9 a i bez použití tabulky víme, že dlog 6 6 = 1. Seteme-li diskrétní logaritmy initel, tedy 9 a 4 jako tolvoísla, dostaneme skuten 1. Zatímco pevedení násobení ísel na sítání logaritm se mže velice dobe uplatnit pi výpotu, v oblasti trettoísel (a tolvoísel jako exponent) je to jen hezká zajímavost. 10 as neuviteln rychle utíkal, dti se toho dovdly hodn, a tak nadešel as pro Alguelitino závrené slovo. Ta je v nm pochválila za pozornost a pipomnla, že se seznámily s trettoísly, jichž je jen tináct, a pi tom pro operace mezi nimi platí stejné zákona jako pro operace mezi reálnými ísly. Mezi trettoísly zvláštní postavení zaujímá nula; nenulová trettoísla však nerozdlujeme na kladná a záporná. Zápornost se do pohádkové íše nehodí. Alguelita se svými spolupracovníky, vílami a kovílasy, skítky a dalším pohádkovými bytostmi vdí, že smyslem života je spolen konat dobro a usilovat o n. Proto jim velice vyhovuje, že trettoísla nelze njak rozumn uspoádat pomocí vztah 'vtší menší', 'horší lepší'. V pohádkové íši nechtjí konkurenci, jeden v druhém vidí spolupracovníka, pítele, bratra, sestru. Jeskynní setkání ukonila slovy: "Vážím si lidmi používané struktury reálných ísel. Ale nehodí se ke všemu a nkdy vede na scestí. Jejich lineární uspoádání ('vtší menší', 'horší lepší') je užitené pro poítání, ale týká se ísel, a nikoli živých tvor. I ve skuteném svt je dležitá neporovnatelnost. Je krásné, když lidé mohou spolen, každý podle svých schopností a možností, usilovat o dobro. Každý jsme jiný, umíme nco jiného; máme svá obdarování a vzájemn jeden potebujeme druhého. A je skvlé, že máme jeden druhého po boku. Vdom používám první osobu, patím jak svtu pohádek, tak i lidskému svtu, krásnému, bohatému, trpícímu rostoucím násilím a oekávajícímu rozmnožování dobra. Doufám, že jste v naší jeskyni Tináctce prožily píjemné a ducha oberstvující chvíle, že vám bylo dobe spolu s vílami a kovílasy a i se mnou. Kéž byste se odtud vrátily obohaceny nejen matematicky, ale i všeobecn lidsky. Mjte se moc dobe a a je i dobe všem, s nimiž se setkáte." Literatura 1. NEAS, J.: Vlci a zajíci v pohádkovém lese. Envigogika 2009/IV/2 (Inspirace) Mundus Symbolicus NEAS, J.: Princezna Alguelita a rozmanitost v pírod. Envigogika 2011/VI/1 (Inspirace) 3. PELIKÁN, J. HENZLER, J.: Matematické základy informatiky. Praha, Oeconomica ELIZAGARAY, Alga M.: Nios, Autores y Libros. La Habana, Gente Nueva Pokud bychom pracovali s podobnou strukturou, poet jejíchž prvk by místo 13 byl vyjáden nesmírn velkým prvoíslem, nalezly by diskrétní logaritmy významné uplatnní v kryptografických metodách 9

10 10