Použití matematického aparátu při řešení prostorových mechanismů Ondřej FRANTIŠEK Katedra mechaniky 337, Fakulta strojní, VŠB-TUO
Téma přednášky - Mechanismy Co je to mechanismus? oustava těles spojených vazbami sloužící k trnsformaci pohybů Cíle přednášky: Přiblížit přístupy k analýze kinematiky, statiky a dynamiky mechnismů Popsat postup sestavení matematického modelu mechanismu Optimalizovat mechanismus
Dva přístupy k analýze kinematiky, statiky a dynamiky mechnismů Multibody sytémy ProEngineer, Ansys atd. Lepší vizualizace pohybu mechanismu (kolize hmot) Vytvoření simulace vyžaduje méně času, pokud je k dispozici prostorový model estavení vlastního matematického modelu Matlab, cilab, Mathematica Problematická vizualizace pohybu mechanismu Matematický model je efektivnější a lze jej snadno parametrizovat implementace optimalizačních algoritmů apod. 3
Multibody systémy Mechanismus řazení nákladního automobilu Tatra Video pravostranný 4
Vlastní matematický model Mechanismus řízení (ovládání náprav) nákladního automobilu Tatra Video matematicky_model 5
Maticová transformační rovnice Hledáme vztah mezi rm a rm M rm tělesa y rm z x, y, z souřadný systém (C) r y x z x x, y, z C tělesa r poloha počátku C v C (poloha vazby mezi tělesy) rm poloha bodu M v C rm poloha bodu M v C 6
Maticová transformační rovnice r M =T r M [] [] x M y Rozšířený průvodič bodu M v C a : r M = M, r M = z M M rm y rm z r y x z x x M y M z M Transformační matice definující vzájemné spojení tělesa a : [ cos cos cos 3 cos cos cos 3 T = cos 3 cos 3 cos 33 ubmatice směrových cosinů r x O y O z O ] poloha počátku C v7c (poloha vazby mezi tělesy)
Transformační matice základních pohybů - praxe [ ] [ ] [ ] ] [ ] [ [ ] [ ] T x x = T B = cos R y = sin x, T y y = xb yb, zb sin cos y, T z z = cos sin R x = sin cos, z., cos sin sin cos a R z = 8
Definice transformačních matic základních pohybů v MATLABu function T=Rx(fix) %%Vytvoří transformační matici základního pohybu, rotace kolem x o úhel fix. T= [ cos(fix) -sin(fix) sin(fix) cos(fix) ]; 9
oučasné pohyby více těles spojených do řetězce r M =T r M, r M =T 3 r 3M, r 3M =T 34 r 4M. } r M=T T 3 T 34 =T 4 r 4, M M y rm y4 3 r4m z4 x4 Transformační matice definující vzájemné spojení tělesa a 4: T 4=T T 3 T 34 z x
Práce s transformačními maticemi rotační vazba b φ a a délka tělesa b - délka tělesa φ úhel pootočení rotační vazby y x y z T = Tx(a). Rz(φ). Tx(b) z x
Práce s transformačními maticemi sférická (kloubová) vazba b a délka tělesa b - délka tělesa φx, φy, φz úhly natočení kloubové vazby a y x y T =T x a R x x R y y R z z T x b z z x
tanovení úlohy polohy mechanismů Úloha polohy = stanovení všech souřadnic vazeb (úhlů natočení nebo posunutí) Maticová rovnice úlohy polohy pro jednu smyčku mechanismu E=T T 3 T 34 T 45 T 5 Jednotková matice y 4 3 5 z m Transformační matice spojení rámu s tělesem ka yč m is an h ec m značka pro libovolnou vazbu u Šrafování označuje pevný prostor (rám), který je označován indexem x 3
tanovení úlohy polohy mechanismů Maticová rovnice úlohy polohy: E=T T 3 T 34 T 45 T 5 [ ][ ] a x x x = a a x x. a 3 a 3 a 33 x Získáváme soustavu 6 skalárních nelineárních rovnic, kde neznámými jsou souřadnice vazeb => neznámé jsou většinou argumenty goniometrických funkcí sinus a cosinus. 4
tanovení úlohy polohy klikového mechanismu Úloha polohy stanovuje závislost úhlu natočení kliky na posunutí pístu 5
Úloha polohy klikového mechanismu kinematické schéma a rozměry Rozměry mechanismu: r=4 mm; L=8 mm; y L r φ x h Úloha polohy stanovuje závislost úhlu natočení kliky φ na posunutí pístu h 6
Úloha polohy klikového mechanismu - zavedení tělesových souřadných systémů a souřadnic vazeb y y3 α y4 x3 y x φ x4 x β h - Rám (pevný prostor) - Klika 3 - Ojnice 4 - Píst 7
Úloha polohy klikového mechanismu sestavení maticové rovnice y y3 T = R z α y4 x3 y x φ x4 x T 3 =T x r R z β h T 34 =T x L R z T 4=T x h E=T T 3 T 34 T 4 8
Úloha polohy klikového mechanismu realizace v prostředí MATLAB Pro jednu hodnotu natočení kliky φ=.5 rad function rezidua=maticova_rce(nez) r=4;l=8;global phi T=Rz(phi); Definice soustavy nelineárních rovnic popisujícíhc pohyb mechanismu T3=Tx(r)*Rz(nez()); T34=Tx(L)*Rz(nez()); T4=Tx(-nez(3)); A=T*T3*T34*T4-eye(3); rezidua=[a(,); A(,3); A(,3)]; global phi phi=.5; poc_poloha=[.. 4]; sour_vazeb=fsolve(@maticova_rce,poc_poloha); sour_vazeb =.8837 -.4 4.564 Výpočet soustavy nelineárních rovnic pomocí funkce fsolve Výsledné souřadnice vazeb 9
Úloha polohy klikového mechanismu - realizace v prostředí MATLAB Pro celý cyklus mechanismu,36 global phi sour_vazeb=[]; poc_poloha=[ ]; for phi = :.:*pi; sour_vazeb=[sour_vazeb; fsolve(@maticova_rce,poc_poloha)]; poc_poloha=sour_vazeb(end,:); OIdhad řešení je roven end předchozímu výsledku!!! plot([:.:*pi]*8/pi,sour_vazeb(:,3)); hold on;grid on xlabel('\phi natočení kliky [ ]') ylabel('h posunutí pístu [mm]')
Úloha polohy klikového mechanismu realizace v prostředí MATLAB r=8 mm r=4 mm
Prostorové mechanismy Postup řešení úlohy polohy bude vysvětlen na konkrétním příkladu mechanismu. Jedná se reálný problém technické praxe řešený pro Tatru a.s..
Mechanismus řazení nákladního automobilu Tatra. estavit úlohu polohy => trajektorie trajektorie rukojeti řadicí páky. Citlivostní analýza => předepsánívýrobních a montážních tolerancí 3. Optimalizace mechanismu 3
Mechanismus řazení kinematické schéma M Často obtížné!!! 8 R 6 Ovládání převodové skříně: p posuv φ natočení Označení vazeb: R - rotační vazba - sférická (kloubová) vazba V - válcová vazba R 7 5 3 V 4 R R φ p 4
Analýza kinematického schématu M 8 Počet členů včetně rámu: 8 R Počet stupňů volnosti (počet možných pohybů 6 mechanismu): 3 volnosti nedefinovaný souřadnice mechanismu ovládání převodové skříně R 7 5 3 V p φ 5 4 R R
ouřadnice mechanismu ovládání převodové skříně z z z p x x x x y y y z φ z z y x x y φ y M řazení 8 volba R 6 R 7 5 3 V 4 R R p φ
tanovení úlohy polohy mechanismů Úloha polohy = stanovení všech souřadnic vazeb (úhlů natočení nebo posunutí) Maticová rovnice úlohy polohy pro jednu smyčku mechanismu E=T T 3 T 34 T 45 T 5 Jednotková matice Transformační matice spojení rámu s tělesem y 4 3 U složitých mechanismů je zapotřebí definovat několik smyček!!! 5 z m ka yč m is an h ec m u x značka pro libovolnou vazbu Šrafování označuje pevný prostor (rám), který je označován indexem 7
tanovení počtu smyček mechanismu =>počtu maticových rovnic Počet sestavovaných maticových rovnic bude 3 => soustava 8 nelineárních rovnic 8
Zavedení tělesových souřadných systémů 9
Definice rozměrů mechanismu Zavedení a změření rozměrových kót, které definují polohy vazeb, popř. orientaci os vazeb. U vazeb, které kotví mechanismus na rám (body, R), je potřeba znát jejich polohu v pevném souřadném systému 3
estavení maticové rovnice základní smyčky A 3
estavení maticových rovnic pro smyčky B a C 3
Výpočet.... Odhad hodnot neznámých souřadnic vazeb. Nastavení hodnot souřadnic převodové skříně 3. Výpočet souřadnic vazeb ze soustavy 8 nelineárních rovnic vyplývajících z maticových rovnic základních smyček 4. Výpočet polohy rukojeti řadící páky pomocí vztahu 5. Vypočtené souřadnice vazeb nastavit jako odhad do dalšího kroku 6. Zpět do bodu Běheme tohoto výpočtu se řeší soustava nelineárních rovnic přibližně 3 krát 33
Citlivostní analýza => předepsání výrobních a montážních tolerancí Tento rozměr mechanismu již řidiči znemožní řazení 34
Výsledek trajektorie rukojeti řadicí páky 35
Postup optimalizačního procesu. Definice cílové funkce. Definice omezujících podmínek => volba optimalizační metody a algoritmu 3. Citlivostní analýza => volba ladicích parametrů (rozměrů mechanismu), které budou optimalizovány 4. Výpočet optimalizační úlohy 5. Rozbor řešení 36
Cílová funkce charakterizující tvar drah řazení Úkolem optimalizace je nalézt vektor ladicích parametrů x ℝn tak, aby minimalizoval F: ℝn ℝ x min : min F x x ℝ n Dvě geometrické charakteristiky tvaru drah řazení: klon sr Křivost dr Vztažené k délce drah Ld Cílová funkce: F =G R G 3 G 45 w s s R w d d R G R = Ld Ld ws & wd váhové faktory
Citlivostní analýza ladicí parametry M Detail X (evropské promítání) L6s= 8 6 = 63 X +ψ ψ L8r= 8 L6r= 3 L6h= L 6v = [589; ; 85] L5h= 395 3 L3k= 6 R=[348; ; 395] 4 L 7=,5 799 7 L 4= 33 = 6 3 4v 4 L4s= 5 p L 5 L5d= 395 ψ L8s= 6 L8p= 4 8 φ
Optimalizace bez omezení Metoda simplexů (neboli Nelder-Mead) implex nejjednodušší geometrický útvar daného prostoru ℝn; definován n+ vrcholy Princip: x3(k) počáteční odhad simplexu vyčíslení hodnot cílové funkve ve vrcholech simplexu zrcadlíme, zmenšujeme, zvětšujeme, kontrahujeme x x3(k) x3(k) x(k) (k) x3(k) x3(k) xki(k) x(k) x(k) x(k) x(k) xr(k) xr xko(k) (k) x3(k) xr(k) x (k) e v3(k) x(k) v(k) x(k) Přednosti: Robustní, nepotřebuje (kromě počátečního simplexu) žádné vstupní parametry Nedostatky: Nevyužívá historii, není paralelizovatelná
Optimalizace metodou simplexů (Nelder-Mead) 4 F =4 Dvourozměrná optimalizace Původní trajektorie řazení
Metoda simplexů video video
Optimalizace kvazinewtonovskou metodou BFG Aproximuje cílovou funkci tzv. kvadratickým modelem m(k): ℝn ℝ Taylor: F x k d m k d =F k F k T d d T B k d Gradient [ k F x k k F k k B = x k x F k x kn x k k F k F k k k x x x k x n k F k x k xn F k F k k k x n x x kn ] Hessián Explicitní vyjádření B(k) není možné a numerické vyčíslení je drahé, pro n = 5 5 vyčíslení F Hessián B(k) konstruujeme pomocí historie Možností jak aproximovat Hessián B(k) je několik DFP, BFG, modifikovaná BFG etc. Přednosti: Využívá historii, je paralelizovatelná Nedostatky: Potřebuje (kromě počátečního odhadu) další parametry, např: B(), h
Příklad složitějšího mechanismu mechanismu řazení 6 smyček => soustava 36 nelineárních rovnic 5 6 R 8 R z φ p R V 7 3 R y V M 9 3 R 4 x R
Mechanismus řízení
Mechanismus řízení
Děkuji Vám za pozornost Fotografie upraveného levostranného mechanismu řazení