Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky SEMESTRÁLNÍ PRÁCE z předmětu Matematické modelování Matematické modely v ekonomii Kateřina Chmelíčková

Obsah 1 Propojení matematiky a ekonomie 4 2 Prostředky matematického modelování v ekonomii 6 2.1 Historicky sformované disciplíny................. 6 2.2 Deterministické a stochastické modely............. 7 2.3 Statické a dynamické modely.................. 7 2.4 Modely pro mikrosféru, mezosféru a makrosféru........ 8 2.5 Deskriptivní a optimalizační modely............... 9 3 Matematický aparát používaný při modelování v ekonomii 10 4 Matematické modelování a výpočetní technika 12 5 Matematické programování 14 5.1 Model matematického programování.............. 14 5.2 Lineární programování...................... 16 5.2.1 Matematický model úlohy LP.............. 17 5.2.2 Základní typy úloh LP.................. 18 6 Závěr 21 Literatura 22 2

Úvod Matematické modelování ekonomických procesů lze v dnešní době považovat za běžně používaný nástroj při řešení rozhodovacích úloh z oblasti řízení a plánování na různých úrovních národní ekonomiky. Proč? Tato skutečnost je úzce spojena s moderní výpočetní technikou; matematické modely a metody spolu se stále se vyvíjející a zdokonalující se technickou podporou jsou klíčovými faktory úspěchu v intenzifikaci rozvoje ekonomiky. Tato práce se tedy bude zabývat nejen matematickým aparátem užívaným v matematických modelech v ekonomii, ale rovněž spojením těchto modelů s výpočetní technikou. V souvislosti s tímto bude rovněž zmíněna důležitá problematika matematického programováni se zvláštním zaměřením na programování lineární. 3

Kapitola 1 Propojení matematiky a ekonomie Jak bylo již v úvodu zmíněno, v současnosti je propojení matematiky a ekonomie v podobě nejrůznějších modelů bráno v podstatě za samozřejmost. Nicméně je určitě zajímavé se na toto podívat i z historického hlediska. Pokud by nás zajímaly vůbec nejstarší náznaky zmíněného propojení, pak bychom mohli zapátrat až v dávné minulosti. Konkrétně v období kolem roku 1650 př. n. l., kam se řadí Rhindův-Ahmesův papyrus, u néhož lze mluvit o ekonomické interpretaci. Samozřejmě mnohem bohatší a pro nás zajímavější bude novověká historie matematického modelování v ekonomii. Pokud bychom se vrátili do 17. století, pak je potřeba zcela jistě zmínit jméno anglického vědce W. Pettyho (1623-1687), který napsal v roce 1676 studii Political Arithmerick,jejíž myšlenky se podílely na formováni ekonometrie jako samostatné vědecké disciplíny. Dalším důležitým jménem v této oblasti je A. A. Cournot (1801-1877). Tento francouzský matematik se začal zabývat ekonomií a je spojován především s poptávkovými funkcemi, kdy tento pojem zavedl a tím definoval poptávku po zboží jako funkci jeho ceny. Rovněž předvídal teorii elasticity a dotýkal se i teorie oligopolu. K. Marx (1818-1883)používal ve svých dílech jednoduchá matematická schémata, zcela běžně opíral svůj výklad o číselné ilustrace a statistické údaje. Oproti Cournotovi byl ve své době díky jednoduchosti užívaných matematických nástrojů úspěšnější. Francouzsko-švýcarský ekonom L. Walras (1834-1910) první používal matematický aparát jako naprosto podstatnou součást svých ekonomických úvah o marginální teorii užitku a při odvození obecné teorie ekonomické 4

rovnováhy. Zajímavostí je, že Walras neaplikoval na ekonomickou problematiku svoje matematické znalosti, ale spíše dodatečně hledal matematický aparát, pomocí něhož by mohl své myšlenky vyjádřit. Žákem L. Walrase byl V. Pareto (1848-1923), který narozdíl od svého učitele dokonale ovládal matematickou teorii své doby a používal matematiku jako samozřejmý způsob vyjadřování ekonomických závistlostí. S Paretovou analýzou se setkáváme i v současnosti. Po první světové válce postup matematiky do ekonomie pokračoval v mnoha směrech. V Rusku půspbil J. Sluckij (1880-1948), který se vedle problémů spíše statistických zabýval i teorií mezního užitku, stochastickými procesy a teorií poptávkouvých funkcí. Od roku 1933 začal vycházet časopis Econometrica, ve kterém se formuje vědní odvětví ekonometrie, která za svou hlavní náplň považuje matematický popis a statistickou verifikaci ekonomických vztahů a v širším pojetí zavádění matematických metod do ekonomie. V roce 1944 vychází kniha J. von Neumanna a O. Morgensterna Theory of games and economic behavior (Teorie her a ekonomické chování), která je považována za základní dílo teorie her. Po druhé světové válce se plně rozvíjelo lineární programování, hlavně zásluhou G. B. Dantziga a brzy poté se začaly uplatňovat i modely z oblasti nelineárního programování; v roce 1957 byla vydána kniha R. Bellmana Dynamic programming, která upozornila na další metody použitelné v ekonomickém modelování. Na začátku padesátých let se objevuje mezioborová disciplína operační výzkum, která přenáší zkušenosti z týmové práce při výzkumu a plánování vojenských operací na řízení ekonomických systémů. Vznikají teorie hromadné obsluhy, teorie optimalizace zásob, sít ová analýza. Uplatňování matematiky v ekonomii také působí zpětně jako mohutný zdroj inspirace pro rozvoj řady matematických odvětví; někdy je obtížné určit, kde končí čistá matematika a kde začínají aplikace matematiky v ekonomii. Sblížení matematiky a ekonomie je prospěšné jak pro ekonomii, tak i pro matematiku. Ekonomie je přiváděna k exaktním formulací a ke kvantitativnímu vyjadřování ekonomických závislostí. Matematika je obohacována o zcela nové oblasti zkoumání. 5

Kapitola 2 Prostředky matematického modelování v ekonomii Pro výstavbu matematických modelů ekonomických systémů máme k dispozici řadu matematických prostředků, které jsou speciálně upraveny pro použití na typické ekonomické úlohy. Dle [1] můžeme tyto prostředky klasifikovat podle následujících třídících kritérií: 1. podle historického vývoje a sformování v jednotlivé disciplíny, 2. zda berou v úvahu náhodné vlivy působící v modelovaných systémech, 3. zda berou v úvahu časový vývoj v modelovaném systému, 4. pro jaké ekonomické systémy jsou především určeny, 5. zda hlavním účelem modelu je popis systému či zda jde hlavně o nalezení optimálního rozhodnutí v konkrétně zadané situaci. 2.1 Historicky sformované disciplíny Nový všdní obor zpravidla vzniká postupně hromaděním nových poznatků publikovaných v odborné literatuře a hromaděním zkušeností s praktickými aplikacemi. Za rozhodující pro určení doby vzniku nové diciplíny můžeme považovat vydání práce zásadního významu či ustavení odborné společnosti. Následující přehled uvádí jednotlivé disciplíny včetně orientačního data jejich vzniku: ekonometrie (1930) strukturní analýza (1939) 6

teorie her (1944) lineární programování (1947) operační výzkum (1950) teorie hromadné obsluhy (1951) nelineární programování (1951) optimalizace zásob (1951) dynamické programování (1957) sít ová analýza (1958) celočíselné programování (1958) vícekriteriální optimalizace (1970) Disciplíny zabývající se vyhledáním extrému funkce při vedlejších podmínkách, typicky v podobě nerovností, vyvinuté pro aplikace v ekonomii, se souhrnně nazývají matematické programování. Právě matematické programování hraje důležitou roli a bude mu ještě dále věnována pozornost. 2.2 Deterministické a stochastické modely Model označíme za deterministický, pokud nepoužívá prostředky počtu pravděpodobnosti a tím také nepostihuje nekontrolovatelné nebo náhodné vlivy působící v modelovaném systému. Hranici mezi deterministickými a stochastickými modely nelze zcela přesně vymezit. I modely klasifikované jako deterministické používají často průměrné hodnoty náhodné veličiny jako výchozí údaje, zkoumají vliv náhodného kolísání vstupních údajů na řešení pomocí rozboru stability řešení apod. O stochastických modelech mluvíme tedy hlavně v případech, kdy použití pravděpodobnostního aparátu má natolik ústřední roli, že bez něho model přestává být adekvátním zobrazením reality. 2.3 Statické a dynamické modely Jednou z typických vlastností ekonomických systémů je jejich vývoj v čase. Pokud má tento vývoj pro účel zkoumání žádný či zanedbatelný vliv, používá se model, ve kterém nevystupuje čas jako parametr explicitně ani implicitně; 7

takovýto model nazýváme statický. Model, v němž čas explicitně vystupuje, se pak nazývá dynamický. Dynamické modely lze ještě dále rozdělit podle hodnot, jakých čas t nabývá. Probíhá-li čas všechny číselné hodnoty v nějakém intervalu, pak se mluví o modelu se spojitým časem. Pokud model pracuje pouze s určitými časovými okamžiky (např. stav na konci měsíce), tedy čas nabývá konečného či spočetného počtu hodnot; takové modely se nazývají modely s diskrétním časem. V modelech se spojitým časem se globální hodnoty časově proměnných veličin přes určité období vyjadřují jako časové integrály; např. úhrnná hodnota časově proměnné veličiny x(t) se vypočte jako X = T 0 x(t)dt. Změny této veličiny v čase jsou potom charakterizovány pomocí časové derivace ẋ(t) = dx(t). dt V modelech s diskrétním časem se objevuje místo integrálu suma a místo derivace diference X = T x(t) t=1 x(t) = x(t + 1) x(t). 2.4 Modely pro mikrosféru, mezosféru a makrosféru Modely určené především pro použití na podnikové úrovní se nazývají mikromodely, mluví se o modelování na mikroúrovni či o modelech mikrosféry. Modely určené pro použití na úrovni odvětví národní ekonomiky se nazývají mezomodely, mluví se o modelování na mezoúrovni. Modely zahrnující problematiku celé ekonomiky se nazývají makromodely, práce s těmito modely se označuje jako modelování na makroúrovni. Vzhledem k tomu, že odvětví bývá často považováno spíše za statistickou kategorii než za reálně existující část národního hospodářství, věnuje se obvykle větší pozornost zbylým dvěma kategoriím, tedy mikrosféře a makrosféře. 8

2.5 Deskriptivní a optimalizační modely Některé matematické modely si kladou za cíl popsat určitou část ekonomické reality na exaktní úrovnia objasnit zákonitosti jejího fungování či alespoň formulovat hypotézy o těchto zákonitostech; takové modely se nazývají deskriptivní. Jiným důležitým cílem matematického modelováni je najít optimální rozhodnutí v dané situaci či navrhnout metodu, jak taková rozhodnutí generovat; tyto modely se nazývají optimalizační. Oba tyto typy modelů jsou svým způsobem vzájemně propojeny. Optimalizačni model může obsahovat předpoklady o fungování zkoumaného systému, tím v sobě zahrnuje prvky modelu deskriptivního. A naopak, modely sestavené jako deskriptivní poskytují většinou podklady použitelné pro řízení modelovaných systémů a tím vytvářejí přechod k aplikaci modelů optimalizačnich. 9

Kapitola 3 Matematický aparát používaný při modelování v ekonomii Matematika disponuje bohatým aparátem, který jí umožňuje přesný popis vztahů mezi jednotlivými veličinami. Závislost veličiny y na veličině x, resp. na veličinách x 1, x 2,..., x n, zapíšeme dle obvyklé konvence: y = f(x), resp. y = f(x 1, x 2,..., x n ). Často se můžeme také setkat s vektorovou funkcí f, y = f(x), kdy tento zápis reprezentuje m funkcí o n proměnných y 1 = f 1 (x 1, x 2,..., x n ) y 2 = f 2 (x 1, x 2,..., x n )..................... y m = f m (x 1, x 2,..., x n ). Vektorové funkce více proměnných jsou důležitým prostředkem pro popis ekonomických systémů. Základni funkcí ekonomického systému je transformace zdrojů na výrobky. Jestliže objemy zdrojů za pevné časové období popíšeme hodnotou proměnných x 1, x 2,..., x n, pak výrobky vystupující ze systému v tomto období mohou být popsány hodnotami závisle proměnných y 1, y 2,..., y m. Matematické modely v ekonomii si často kladou za cíl nalezení optimálních rozhodnutí; matematicky tuto optimalitu můžeme ztělesnit pojmem extrému funkce. Extrémem funkce budeme rozumět bud její maximum nebo její minimum. 10

Je-li funkce f definována na množině X, značíme největší hodnotu, které f na X nabývá, symbolem max f(x). x X Někdy nás nezajímá pouze největší hodnota funkce f na množině X, ale spíše ten prvek množiny X, v němž je maximální hodnoty dosaženo. Takový prvek se značí symbolem arg max f(x). x X Obdobně můžeme definovat i symboly min x X f(x), argmin f(x). x X Dalším často užívaným nástrojem pro vyjadřování ekonomických závislostí jsou matice. Jak je známo, matici A o m řádcích a n sloupcích (tedy matici typu m, n) můžeme násobit maticí B zprava, pokud počet řádků matice B je roven počtu sloupců matice A. V případě modelů ekonomických systémů se často používá součin matice A typu m, n a matice typu n, 1, tj. sloupcového vektoru. Jako příklad můžou sloužit lineární funkce y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n................................. y m = a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n. Chceme-li tento dlouhý zápis zkrátit a zjednodušit, pak ho zapíše právě maticově: y = Ax, přičemž jak zápis napovídá, velkými tučnými písmeny A jsou označeny obecné matice typu m, n, zatímco malá tučná x, y jsou vyhrazena konkrétně pro jednosloupcové matice, tedy vektory. 11

Kapitola 4 Matematické modelování a výpočetní technika Význam výpočetní techniky všeobecně je čím dál větší. Toto platí i ve spojitosti a nejrůznějšími vědními obory, tedy i pro matematiku a specielně pro matematické modely představuje významný nástroj. Matematické modelování bylo v ekonomii používáno už v době, kdy programovatelné počítače ještě neexistovaly; k výraznějšímu použití počítačů při řešení úloh z oblasti ekonomie došlo na konci padesátých let, kdy už počítače byly běžně dostupné. Nástup počítačů přesto znamenal v matematickém modelování významný obrat. Bylo možné ustoupit od vysokého stupně agregace ekonomických veličin, jinak nutné při výpočtech prostředky klasické matematické analýzy a numerické matematiky 1. Neagregované modely mají schopnost přesněji vystihnout jevy v modelované ekonomické realitě, takže výsledky z nich získané je možné bezprostředně použít pro rozhodování a řízení. Nástupem počítačů se rovněž posílila úloha optimalizačních modelů, které bylo možné konstruovat více s ohledem na podstatu problému a méně s ohledem na výpočetní náročnost jejich řešení. Dále počítače umožnily shromáždění rozsáhlých statistických podkladů o reálných ekonomických systémech, na kterých mohou být optimalizační i deskriptivní modely založeny. Nový rozvoj zaznamenalo po nástupu počítačů lineární programování. Původní metody navržené pro řešení úloh lineárního programování bylo nutné pro reálné úlohy velkých rozměrů od základu přepracovat. Důležitým bodem se stalo rovněž úsporné zorganizování manipulace se vstupními 1 Agregací se rozumí spojení několika příbuzných veličin do jediné charakteristiky za účelem zmenšení rozměrů modelu. 12

daty. V oblasti nelineárního programování se pro použití na počítačích osvědčily metody, které používají prvky z výpočetních postupů lineárního programováni. Při typických aplikacích matematického modelování je nutné často kombinovat v jednom modelu různé matematické prostředky. Takovéto kombinované modely bývá velice obtížné řešit přesnými optimalizačními algoritmy kvůli jejich složitosti. Lze však navrhnout řídící algoritmus opírající se o odhada dosavadní zkušenosti s modelovaným systémem (tzv. heuristický algoritmus) a jeho činnost ověřit pomocí simulačních postupů. Přes neustálý rozvoj počítačů a jejich výpočetní síly je třeba uvážit, že jejich schopnosti přece jen jsou limitovány. Je tedy třeba mít toto napaměti při sestavování modelu a starat se o objem výpočtů potřebných k jeho vyřešení. Ekonomické systémy jaou pochopitelně velice složité a pokud bychom se pokoušeli vystihnout všechny jeho podstatné rysy, získali bychom model, který by pravděpodobně nešel vyřešit ani s pomocí nejlepší výpočetní techniky. Problematika využití výpočetní techniky je samozřejmě mnohem komplikovanější. Nicméně uvedený stručný přehled měl za úkol pouze naznačit, že počítače a jejich neustálý vývoj úzce souvisí i s matematickými modely. V následující části bude řeč tedy o modelech ve vztahu k matematickému programováni a k lineárnímu programování pak obzvlást. 13

Kapitola 5 Matematické programování Matematické programování se zabývá řešením optimalizačních úloh, ve kterých jde o nalezení maxima, resp. minima předem definovaného kritéria (např. zisk, náklady, objem výroby,... atd.) na množině všech možných přípustných variant dané úlohy. Prakticky to znamená, že hledáme extrém zmíněného kritéria při platnosti jistých omezujících podmínek. Dané kritérium je vyjádřené funkční závislostí (jde o funkci více proměnných) a omezující podmínky jsou vyjádřeny soustavou rovnic či nerovnic. Úlohy matematického programování dělíme na lineární a nelineární. 5.1 Model matematického programování Dosud jsme mluvili o modelování a o modelech; nicméně pojem model a to, co si pod ním představujeme, zatím nebylo vysvětleno. Můžeme říci, že pro každý model (a to nejen pro ekonomický) platí dvě základní charakteristiky; model je určité zobrazení (napodobení) reálného systému, vždy nedokonalý obraz skutečnosti Správně zkonstruovaný model musí vystihovat vlastnosti, které jsou z hlediska řešení problému považovány za důležité. Důvody se v podstatě nabízejí: 1. Pokud by model do všech známých detailů vystihoval reálnou skutečnost, šlo by o kopii skutečnosti a nelze tedy hovořit o modelu; navíc by se vytratily všechny výhody plynoucí z používání modelu; 2. Čím více vlastností reálného systému model vystihuje, tím je složitější a obtížnějí řešitelný, až neřešitelný dostupnými prostředky; 14

3. Jestliže model neobsahuje z hlediska požadovaného řešení důležité vlastnosti reálného systému (neznáme je nebo je opomeneme do modelu zařadit), mohou být získané výsledky optimální z hlediska modelu, nikoli pak z pohledu reálné situace. Model matematického programováni vyjadřuje vztahy platné v reálném systému formou matematických a výrazových prostředků, jako jsou: funkce soustavy rovnic a nerovnic Pokud by nás zajímal model úlohy matematického programování, tak ten se obvykle skládá ze dvou částí - z účelové funkce a z omezujících podmínek. 1. účelová (kriteriální) funkce vyjadřuje cíl, tedy co je měřítkem úspěšnosti řešení; cílem je nalézt takovou kombinaci rozhodovacích proměnných, aby hodnota této funkce nabývala požadovaného extrému (tj. maxima či minima). 2. omezující podmínky vyjadřují omezení a závazky, které jsme při řešení nuceni splnit; obvykle jde o soustavu rovnic či nerovnic, kde každá vyjadřuje jedno konkrétní omezení jako např.: nepřekročení kapacity vybraného skladu, nutnost vyrobit alespoň požadované množství q určitého výrobku, potřebu dosáhnout čistého zisku alespoň v nějaké minimální nezbytné výši z min, atd. Speciálním druhem omezujících podmínek jsou tzv. podmínky obligátní. Jde o omezení, která považujeme za samozřejmá, ale je třeba je uvést, aby výsledné řešení mělo vůbec smysl. Tyto podmínky vymezují definiční obor proměnných, obvykle jde o podmínky nezápornosti, které zajišt ují, abychom nevyráběli záporné množství či neujeli záporný počet kilometrů. Matematický model úlohy matematického programování můžeme obecně zapsat následovně: minimalizuj (maximalizuj) z = F (x 1, x 2,..., x n ) (5.1) za podmínek f 1 (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.2) 15

kde f 2 (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.3)......... f m (x 1, x 2,..., x n ) 0 (5.4) x j 0, j = 1, 2,..., n (5.5) n........................... počet rozhodovacích proměnných, m............................... počet omezujících podmínek, x j..................................... rozhodovací proměnné, F (x) a f i (x)............. funkce n rozhodovacích proměnných. Rovnice 5.1 ve výše uvedeném zápisu představuje účelovou funkci, rovnice 5.2-5.4 omezující podmínky a vztah 5.5 podmínky obligátní. Množínu všech x, která splňují podmínky 5.2-5.5 se nazývá množina přípustných řešení. Dosud byla řeč o matematickém programování jako celku, nyní se zaměříme na jednu jeho významnou část, a to na lineární programováni. 5.2 Lineární programování Danou úlohu označíme za úlohu lineárního programování - LP, jsou-li kriteriální funkce i všechny rovnice a nerovnice podmínek tvořeny lineárními výrazy. Lineární programování lze považovat za základ kvantitativních rozhodovacích procesů, a to z následujících důvodů: velké množství typů a variant důležitých problémů (např. manažerských) je možné formulovat pomocí modelů LP; pokud dokážeme problém formulovat jako úlohu LP, máme k dispozici dobré programové prostředky na jeho rychlé řešení na počítačích, a to i pro poměrně rozsáhlé úlohy; algoritmy pro řešení úloh LP dávají jako vedlejší produkt vlastního řešení řadu dalších informací velmi důležitých pro řídící management; aplikování způsobu myšlení, který používáme při konstrukci modelů matematického programování (tj. optimalizace zvoleného kritéria při splnění jistých omezujících podmínek) je velmi užitečné 16

při přemýšlení o vzniklých problémech i v případě, že nehodláme konstruovat a řešit model. Praxe s používáním LP modelů rozvíjí schopnosti využívat koncept hledání optima při splnění jistých podmínek i při intuitivním rozhodování. Při aplikaci lineárního programování pro řešení reálného rozhodovacího problému lze rozlišit několik základních na sebe navazujících fází: 1. Rozpoznání problému v rámci reálného systému a jeho definice 2. Formulace ekonomického modelu daného problému, který zjednodušeně popíše reálný systém, bude obsahovat pouze nejpodstatnější prvky a vazby mezi nimi s ohledem na analyzovaný problém 3. Formulace matematického modelu daného problému, který nás bude zajímat nejvíce a budeme se jím tedy v další části zabývat 4. Vlastní řešení matematického modelu úlohy LP 5. Interpretace získaných výsledků a jejich verifikace, která nám současně ověří, zda byly správně sestaveny oba modely, ekonomický a matematický 6. V případě úspěšné verifikace výsledků lze přistoupit k jejich implementaci v rámci analyzovaného reálného systému; ta by měla přispět ke zlepšení fungování daného systému s ohledem na sledovaný a v modelu definovaný cíl 5.2.1 Matematický model úlohy LP V předchozí části jsme uvedli způsob, jakým postupovat při hledání řešení v rámci lineárního programování. Byly zmíněny dva modely, a to ekonomický a matematický. Ekonomický model je v podstatě slovním a numerickým popisem problému, podobně jako zadání slovní úlohy v matematice. Aby bylo možné daný problém řešit, je třeba jej nějakým způsobem formalizovat - převést tedy ekonomický model na model matematický, který je potom řešitelný standardními postupy. Oba modely obsahují stejné prvky ale v odlišném vyjádření. Již dříve jsme uvedli model matematického modelováni. Nicméně důležité je rovněž zmínit, že při formulaci matematického modelu nějaké reálně ekonomické situace je výhodné zachovávat určitý postup; ten by mohl vypadat zhruba následovně: 17

1. Rozebrat ekonomický model, uvědomit si, co jsou činnosti (procesy) modelu, co jsou zdroje - činitele vstupující do činností, co výsledky - činitele vystupující z činnosti a konečně, co je kritériem optimality v modelu. 2. Stanovit proměnné, jejich přesný věcný význam, dimenzi a měrnou jednotku. Obecně řečeno, proměnné vyjadřují neznámé a hledané úrovně, na nichž jsou prováděny čínnosti (uskutečňovány procesy). 3. Vyjádřit lineárními rovnicemi nebo nerovnostmi omezení úlohy v činitelích. Na pravé straně rovnice nebo nerovnosti stojí omezené disponibilní množství vstupujícího činitele nebo požadované množství vystupujícího činitele. Na levé straně je pak bud potřebné množství vstupujícího nebo produkované množství vystupujícího činitele, v obou případech vyjádřeno jako lineární funkce proměnných úlohy. 4. Vyjádřit zvolené kritérium optimality jako lineární formu proměnných úlohy. Jak je z postupu patrné, první dva body jsou obecně platné pro jakoukoliv úlohu matematického programování, jejíž model již byl popsán. Zbylé dva body už platí očividně speciálně pro programování lineární. 5.2.2 Základní typy úloh LP Úlohy lineárního programování mají široké použití v různých oblastech ekonomické sféry. Pro představu o některých základních typech bude uveden jejich přehled včetně stručné charakteristika problému. Úlohy výrobního plánování V úlohách výrobního plánování se jedná o stanovení výrobního programu při respektování omezených výrobních činitelů a dalších podmínek tak, aby bylo optimalizováno zvolené kritérium jako je např. maximalizace zisku či minimalizace nákladů. Proměnné v modelu úlohy výrobního plánování představují často objem produkce určitého druhu výrobku a omezující podmínky jsou odrazem omezených výrobních kapacit, technologických podmínek nebo požadavků odběratelů. Směšovací problém Ve směšovacích úlohách jde o to navrhnout směs požadovaných vlastností tak, aby bylo optimalizováno zvolené kritérium, např. co nejlevnější směs. Slovo 18

směs je tu vnímáno v širším slova smyslu. Může jít o směs v klasickém smyslu slova - tedy denní dávku výživy osob (nutriční problém) či přeneseně, např. finanční směs (tj. úlohy plánování portfolia). Jednotlivé proměnné udávají zpravidla podíl složek na výsledné směsi. Omezující podmínky jsou velice různorodé a vychází z charakteru úlohy. Řezný problém V úlohách tohoto typu se jedná o optimalizaci dělení větších celků na menší části tak, aby byl minimalizován odpad a aby byly splněny omezující podmínky; ty mohou třeba vyjadřovat požadavky, v jakém poměru mají být části získané dělěním. Příkladem může být řezání tyčí čí trubek, jednoduše jde o případy, kdy pro dělení je určující pouze jeden rozměr. Dopravní problém Dopravním problémem nazýváme úlohu, ve které jde o rozvoz nějakého zboží či materiálu z dodavatelských míst (zdrojů) odběratelům (do cílových míst) tak, aby byly minimalizovány celkové náklady spojené s tímto rozvozem. Máme definováno m zdrojů (dodavatelů) D 1, D 2,..., D m s omezenými kapacitami a 1, a 2,..., a m (množství, které je dodavatel schopen v uvažovaném období dodat) a n cílových míst (odběratelů) O 1, O 2,..., O n se stanovanými požadavky b 1, b 2,..., b n (množství, které odběratel v uvažovaném období požaduje). Vztah každé dvojice zdroj-cílové místoje oceněn, toto ocenění můzeme označit c ij, kde i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n; pod oceněním si můžeme představit třeba náklady na přepravu jednotky zboží mezi zdrojem a cílovým místem. Cílem řešení dopravního problému je naplánovat přepravu mezi zdroji a cílovými místy tak, aby nebyly překročeny kapacity zdrojů a aby byly uspokojeny požadavky cílových míst. Přiřazovací problém V úlohách tohoto typu jde o nalezení vzájemně jednoznačného přiřazení dvojice jednotek ze dvou skupin tak, aby toto přiřazení přineslo co nejvyšší efekt. V přiřazovacím problému jsou definovány dvě skupiny jednotek se stejným počtem prvků (pokdu by tomu tak nebylo, je třeba jednu ze skupin doplnit fiktivními jednotkami); jednotky těchto skupin můžeme označit A 1, A 2,..., A m a B 1, B 2,..., B m. Dále zde zavádíme cenový koeficient c ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., m, který slouží jako ohodnocení přiřazení každé dvojice. 19

Cílem je určit, zda i-tá jednotka z první skupiny bude nebo nebude přiřazena j-té jednotce ze skupiny druhé. V souvislosti s tím jsou zavedeny proměnné x ij, i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., m, které nabývají pouze dvou hodnot: x ij = 1, pokud jednotka A i bude přiřazena jednotce B j, x ij = 0, v opačném případě. Přiřazovací úloha je ve své podstatě speciálním případem dopravní úlohy, kdy máme stejný počet zdrojů i cílových míst a požadavky všech cílových míst i kapacity všech zdrojů jsou rovny jedné; zároveň v tomto případě můžeme mluvit o nedělitelnosti požadavků. 20

Kapitola 6 Závěr Problematika matematických modelů v ekonomii je velice rozsáhlých tématem a v této práci byla proto vybrána pouze malá část, kterou lze považovat za základní. Samozřejmě by bylo na místě alespoň zmínit některé další zajímavé oblasti spojené s matematickými modely. Budeme-li uvažovat modely konfliktních situací, potom je třeba zmínit teorii her. Tento vědní obor vznikl z představy, že situace, které vznikají při hraní her (jako jsou karetní hry či šachy) jsou ve své struktuře shodné se situacemi, které se řeší při rozhodování v ekonomických systémech. V matematických modelech nachází své uplatnění i teorie grafů, zvláště pak sít ová analýza. Existuje řada typů optimalizačních úloh, které je možné řešit pomocí jejich grafické reprezentace. Výhodou je velmi přehledná struktura celé úlohy, která bývá často srozumitelnější než třeba formulace v podobě matematického modelu v jejich klasické podobě. Svoje uplatnění mají samozřejmě i teorie hromadné obsluhy či teorie zásob. Všechny tyto výše zmíněné oblasti hrají samozřejmě také důležitou roli, nicméně rozebrání jejich charakteristik by dosáhlo rozsahu spíše knihy než semestrální práce. 21

Literatura [1] Hušek R., Maňas M.: Matematické modely v ekonomii, SNTL, Praha 1989 [2] Lagová M., Jablonský J.: Lineární modely, VŠE, Praha 1999 [3] Plevný M., Žižka M.: Modelování a optimalizace v manažerském rozhodování, ZČU, Plzeň 2007 [4] Rzchetník L., Zelinka J., Pelzbauerová V.: Sbírka příkladů z lineárního programování, SNTL, Praha 1968 22