Polyedry, polyedrické (diskrétní) plochy Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Základní tělesa 1
Co jsou základní tělesa? Základní tělesa pro tvorbu modelů standardní výbava nejrůznějších programů CAD; jsou základními stavebními kameny pro 3D modelování zadávají se pomocí určujících parametrů změnou určujících parametrů dochází ke změně parametricky zadaného tělesa Základní tělesa v SW Rhino kvádr (krychle), koule, elipsoid, paraboloid(?), kužel, komolý kužel, válec, dutý válec, anuloid (torus), potrubí(?) Základní tělesa - přehled kvádr Sears Tower, Chicago, US 2
Kvádr a krychle výška v 1 šířka 2 2 3 h délka 1 1 sjednocení stěn (povrch) plné těleso (povrch+vnitřek) Typy modelů Pro CAD modelování Sjednocení stěn (plošný model) těleso je popsáno jen svojí hranicí Těleso (plný model) hranice i vnitřek Pro účely zobrazování (deskr. g.) Drátěný model reprezentuje hrany tělesa a vybrané křivky na povrchu 3
Základní tělesa - přehled kužel Norman Foster Millenium Tower Tokyo, Japan Kužel výška v v střed poloměr kruhové podstavy 1 2 1 2 povrch těleso 4
Kuželová plocha K.P. je dána vrcholem V a řídicí křivkou k: kuželová plocha je tvořena všemi přímkami (tzv. površkami) procházejícími vrcholem V a libovolným bodem na řídicí křivce Tečné roviny ve všech bodech téže površky se K.P. dotýká téže tečné roviny V k Základní tělesa -přehled válec Hans Hollein HAAS-HAUS Wien, Oesterreich 5
Válec 3 3 výška v v 1 1 Střed kruhové podstavy poloměr 2 2 povrch těleso Válcová plocha V.P. je dána směrem s a řídicí křivkou k V.P. je tvořena všemi přímkami (površkami), které náležejí témuž směru (jsou všechny navzájem rovnoběžné) a protínají řídicí křivku Tečné roviny ve všech bodech téže površky se V.P. dotýká téže tečné roviny 6
Vytažení rovnoběžné vytažení (Extrusion) bodová množina v rovině (mnohoúhelník, křivka, oblast,...) je podrobena spojité translaci dané směrem vytažení obdobně vytažení do bodu Vytažení jako konstrukční postup identifikace těles vzniklých vytažením může značně zjednodušit vlastní způsob konstrukce např. p 1 p 2 7
Základní tělesa - přehled koule Adrian Fainsilber CITE DES SCIENCES ET DE'L INDUSTRIE, Paris, Frankreich Střed Koule, kulová plocha (sféra) 4 1 2 1 3 poloměr 2 kulová plocha koule 8
Základní tělesa - přehled anuloid (torus) Santiago Calatrava Funk - Fernsehturm Montjuic Spanien Takasaki Masaharu ASTRONOMICAL MUSEUM Kihoku-cho, Japan Anuloid - vytvoření Rotací kruhu K kolem osy o, která leží v rovině kruhu K, vzniká anuloid (torus). o... osa střed K... kruh 9
Anuloid (torus) 3 1 2 1 3 2 Typy anuloidů Podle počtu průsečíků hraniční kružnice rotujícího kruhu K a osy o (0,1, nebo 2) rozeznáváme různé typy anuloidů 10
Plochy/Tělesa Mnohostěny, Eulerova věta 11
Mnohostěny/polyedrické plochy Mnohostěny tělesa ohraničená rovinnými mnohoúhelníky rozlišujeme vrcholy, hrany, stěny - každá hrana náleží právě dvěma stěnám a v každém vrcholu se protínají nejméně tři hrany a tři stěny např. kvádr, krychle, Polyedrické (diskrétní) plochy sjednocení konečně mnoha mnohoúhelníků (stěn), které nemusejí ohraničovat těleso Hranol Castel del Monte, jižní Itálie Židovské muzeum, Berlín 12
Hranol kosý hranol kolmý hranol výška podstava kvádr, krychle, hranoly, jejichž obě podstavy jsou shodné pravidelné n-úhelníky patří mezi archimédovská tělesa (viz dále) Jehlan The Transamerica pyramid, S. Francisco Pyramidy v Gíze Louvre, Paříž The Taipei 101, Tchai-pej 13
jehlan Jehlan komolý jehlan obelisk výška v podstava vytažení do bodu Konvexní a nekonvexní útvary Konvexní množiny (ve 2D, 3D,...): Bodová množina, které spolu s body A, B náleží i všechny body úsečky AB A B A B konvexní nekonvexní Konvexní mnohostěny: Mnohostěny, které jsou konvexními bodovými množinami 14
Konvexní a nekonvexní mnohostěny Topologicky ekvivalentní tělesa jsou taková tělesa, jež je možno na sebe převést pomocí spojitých deformací konvexní (topologicky ekvivaletní kuželu, kvádru, kouli,...) nekonvexní (topologicky různá) Platónská tělesa Konvexní mnohostěny, jejichž všechny stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky a z jejichž každého vrcholu vychází stejný počet hran. Existuje právě 5 platónských těles Tetraeder: 4 rovnostranné trojúhelníky, 4 vrcholy, 6 hran Hexaeder (krychle): 6 čtverců, 8 vrcholů, 12 hran Oktaeder: 8 rovnostranných trojúhelníků, 6 vrcholů, 12 hran Dodekaeder: 12 pravidelných pětiúhelníků, 20 vrcholů, 30 hran Ikosaeder: 20 rovnostranných trojúhelníků, 12 vrcholů, 30 hran všem lze opsat i vepsat kulovou plochu 15
Tetraeder (čtyřstěn) Platónská tělesa Oktaeder (osmistěn) Ikosaeder (dvacetistěn) Hexaedr (krychle) Dodekaedr (dvanáctistěn) Sítě platónských těles Čtyřstěn Osmistěn Krychle Dvanáctistěn Dvacetistěn 16
Dualita platónských těles těžiště stěn platónského tělesa jsou opět vrcholy platónského tělesa (tzv. duální těleso) čtyřstěn čtyřstěn krychle osmistěn dvanáctistěn dvacetistěn Platónská tělesa v architektuře 17
Zlatý řez (zlatý, božský poměr) zlatý řez vznikne rozdělením úsečky na dvě části tak, že poměr větší části k menší je stejný jako poměr celé úsečky k větší části. v umění je pokládán za ideální proporci mezi různými délkami (zlatý obdélník) Zlatý řez v umění Parthenón, Atény Cheopsova pyramida, Káhira Leonardo da Vinci Velká mešita, Tunisko 18
Zlatý řez a platónská tělesa uvažujeme 3 shodné navzájem kolmé zlaté obdélníky se společným středem (viz obr.) a vrcholy (0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1) tyto souřadnice určují vrcholy pravidelného dvacetistěnu se středem v počátku a délkou hrany 2 Eulerova formule za předpokladu, že těleso je topologicky ekvivalentní s koulí ( nemá žádný otvor ), potom platí v... počet vrcholů h... počet hran s... počet stěn v h + s = 2 Leonard Euler (1707-1783) 19
Geodetické sféry a kopule Geodetické sféry Geodetická sféra je mnohostěn s výhradně trojúhelníkovými stěnami nahrazující kouli Název je odvozen od pojmu geodetika (nejkratší spojnice na ploše) G.S. se odvozují z platónských těles dělením stěn na menší trojúhelníky a následným promítnutím na opsanou kulovou plochu Části geodetických sfér se označují jako geodetické kopule 20
Geodetické sféry V řadě CAD systémů jsou geodetické sféry odvozeny od pravidelného dvacetistěnu Stěny geodetických sfér nejsou ani shodné, ani rovnostranné trojúhelníky! Generování geodetické sféry Varianta 1 Základní těleso: dvacetistěn Počet trojúhelníků v k-tém kroku 20*(k+1)^2 Krok 1 (20*4 = 80 trojúh.) Krok 2 (20*9 = 180 trojúh.) Krok 3 (20*16 = 320 trojúh.) 21
Generování geodetické sféry Varianta 2 Základní těleso: dvacetistěn Počet trojúhelníků v k-tém kroku 20*4^k (rekurzívně: 4 krát více trojúhelníků než v kroku předchozím) Krok 1 (20*4 = 80 trojúh.) Krok 2 (20*16 = 4*80 = 320 trojúh.) Krok 3 (20*64 = 4*320 = 1280 trojúh.) Krok 4 (20*256 = 4*1280 = 5120 trojúh.) Generování geodetické sféry - další výchozí tělesa Základní těleso: čtyřstěn nebo osmistěn principy dělení jako u dvacetistěnu čtyřstěn osmistěn krok 1 krok 2 krok 3 22
Geodetické kopule v architektuře vynikající statické vlastnosti nízká spotřeba materiálu energetická úspornost odolnost proti větru zajímavé akustické vlastnosti atraktivní design Polyedrické (diskrétní) plochy 23
Diskrétní plochy sjednocení konečně mnoha mnohoúhelníků (stěn), které nemusejí ohraničovat těleso hrana vrchol stěna krajní hrana Diskrétní plochy diskrétní plochy slouží jako aproximace hladkých ploch (náhrada s předem danou tolerancí) v architektuře se realizují nejčastěji jako konstrukce z oceli a skla v designu se uplatňují lépe než hladké plochy (nižší náklady) 24