Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních čísel. Literatura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001. Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Obecná Dirichletova okrajová podmínka (2D, 3D) Klasické řešení úlohy: najít u C 2 (Ω) C(Ω), aby u = f v Ω R 2, u = g na Γ. Slabé řešení úlohy: Vezměme takovou funkci w W2 1 (Ω), aby splňovala w = g na Γ, pak hledáme u W2 1 (Ω), pro niž Ω u w W 2 1 (Ω), u v dx = fv dx Ω v W 1 2 (Ω). Lze řešit např. užitím u = w + u 0, kde u 0 W 2 1(Ω): u 0 v dx = fv dx w v dx v W 2 1 (Ω). Ω Ω Ω
Příklad v 1D: Okrajová úloha u + e x u = cos x, u(0) = 1, u(3) = 5. Zvolíme například w(x) = 1 2x, tj. u = u 0 + w, navíc dokonce u = u 0. Pak OÚ pro neznámou funkci u 0: u 0 + ex (u 0 + w) = cos x, u 0 (0) = 0, u 0 (3) = 0. Slabá formulace: Najít u 0 W 2 1([0, 3]), aby v W 2 1 ([0, 3]) 3 0 ( u 0 (x)v (x) + e x u 0 (x)v(x) ) 3 dx = (cos x e x (1 2x))v(x) dx. Řešení původní úlohy je u = u 0 + 1 2x W2 1 ([0, 3]). 0
Inspirace i pro 1D OÚ s jinými OP: ( (2 + x 3 )u ) + u = cosπx, u(0) = 7, u (1) = 4. Zvolme w(x) = 7 + 4x, tj. u = u 0 + w a platí (2). Pak z ( (2 + x 3 )u 0 ( (2 + x 3 )(u 0 + w) ) + u0 + w = cosπx, ) ( (2 + x 3 )w ) + u0 + w = cosπx, ( (2 + x 3 )u 0) 12x 2 + u 0 + 7 + 4x = cosπx, odvodíme OÚ pro neznámou funkci u 0 : ( (2 + x 3 )u 0) + u0 = cos πx + 12x 2 4x 7, (1) u 0 (0) = 0, u 0 (1) = 0. (2) Příslušný operátor je sym. a poz. def., OÚ (1)-(2) řešíme standardně. Řešení původní úlohy je u = u 0 + 7 + 4x.
Jiné okrajové podmínky ve 2D OÚ (pro fajnšpekry) Neumannova okrajová podmínka u ν = h na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν = h na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty (viz též oddíl Newtonova okrajová podmínka na další stránce). Dospějeme k úloze: Najít funkci u H A = W2 1 (Ω) takovou, aby platilo ( u v + u ) v dx = fv dx + hv ds v H A. Ω x 1 x 1 x 2 x 2 Ω Γ Pro existenci řešení je nutná doplňující podmínka Ω f dx + Γ h ds = 0.
Newtonova (Robinova) okrajová podmínka u ν + αu = q na Γ. Slabou formulaci úlohy u = f v Ω, u ν + αu = q na Γ lze odvodit postupem naznačeným v minulé přednášce (Jiná cesta k zobecněnému řešení) a uplatněním Greenovy věty. Vynásobme tedy obě strany rovnice u = f testovací funkcí v a integrujme přes oblast Ω. Levou stranu, tj. Ω uv dx upravíme pomocí Greenovy věty:
( 2 u uv dx = Ω Ω x1 2 v + 2 u x2 2 ( u = vν 1 + u ) vν 2 Γ x 1 x 2 ( ) u = ν v ds + Γ = Γ ) v dx ( u v ds + + u ) v dx Ω x 1 x 1 x 2 x 2 u v dx Ω (q αu) v ds + u v dx (viz okraj. podm.). Ω Člen Γ qv ds převedeme na druhou stranu rovnice, tj. k Ω fv dx. Slabá formulace: Najít funkci u W2 1 (Ω) takovou, aby platilo u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds v W2 1 (Ω). Ω Γ Pokud α > c > 0, je příslušný operátor pozitivně definitní. Ω Γ
Ω u v dx + αuv ds = fv dx + qv ds Γ Ω Γ v W 1 2 (Ω). Tato okrajová úloha modeluje například ustálené vedení tepla v homogenním a izotropním materiálu s jednotkovou tepelnou vodivostí a s koeficientem α přestupu tepla do vnějšího prostředí, u je teplota v tělese Ω.
Kdy existuje slabé řešení? Operátor A příslušný této úloze je symetrický a pozitivně definitní. (u, v) A = u v dx + αuv ds Ω Symetrie zřejmá. Pozitivní definitnost (s využitím Friedrichsovy nerovnosti), dokonce vzhledem k normě W 1 2 (Ω) : (u, u) A min( 1 2, α) ( Ω u u dx + c min(1/2, α) u 2 L 2 (Ω) + 1 2 ĉ u 2 W 1 2 (Ω), Ω Γ Γ ) u 2 ds + 1 u u dx 2 Ω u u dx kde c je konstanta z Friedr. nerovnosti (viz minulou přednášku) a ĉ = min(c/2, cα, 1/2) > 0 je konstanta.
Proč se používá slabá formulace? Obecnější úlohy než při minimalizaci funkcionálu energie (pro symetrické pozitivně definitní operátory jsou však možné obě cesty a vedou k témuž řešení). Existence řešení za dosti obecných podmínek (Laxovo-Milgramovo lemma). Jednoznačnost řešení. "Poměrně průhledné" odvození z klasické formulace. Velmi vhodná pro teoretickou analýzu (odhady chyby, rychlost konvergence). Teoretický základ metody konečných prvků.
Jednoznačnost slabého (zobecněného) řešení Necht operátor A je pozitivně definitní na prostoru V. Mějme dvě řešení u 1, u 2 V, tj. (u 1, v) A = (f, v) v V, (u 2, v) A = (f, v) v V. Po odečtení (u 1 u 2, v) A = 0 v V. Vezměme v = u 1 u 2 (jest v V ), pak 0 = (u 1 u 2, u 1 u 2 ) A c u 1 u 2 2 A = u 1 = u 2.
Ukázka složitější úlohy se smíšenými okrajovými podmínkami 2 ( ) u a ij + bu = f v Ω R 2, x i x j i,j=1 u = g na Γ 1, 2 i,j=1 a ij u x j ν i = h na Γ 2, 2 i,j=1 a ij u x j ν i + αu = q na Γ 3, kde Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 a meas 1 Γ i > 0, i = 1, 2, 3, dále a ij > 0, b 0. Slabá formulace: Najdi funkci u W 1 2 (Ω): u w V, kde w W2 1 (Ω), w = g na Γ 1 ; 2 u v a ij dx + buv dx + αuv ds x j x i Ω Γ 3 = fu dx + hv ds + qv ds v V, Ω Γ 2 Γ 3 Ω i,j=1 kde V = { v W 1 2 (Ω) : v Γ 1 = 0 }. Jest W 1 2 (Ω) V W 1 2 (Ω).
Metoda sítí pro přibližné řešení 1D OÚ a(x)y (x)+b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x), x [a, b], a OP (3) Předpoklady: a, b, q, f C([a, b]), y C 4 ([a, b]) (kvůli odhadům chyby), a(x) a 0 > 0, q(x) 0 x [a, b]. Poznámka: Rovnice (3) je (až na znaménko) obecnější verzí rovnice (p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x), p(x) p 0 > 0, q(x) 0. Myšlenka: Ekvidistantně rozdělit interval [a, b], a = x 0 < x 1 < < x N = b, x i = a + ih, h = (b a)/n. Požadovat splnění rovnice (1) jen v bodech x i (neužívá se tedy variační formulace!), a to jen přibližně. Místo y (x i ), y (x i ) použít přibližnou derivaci vyjádřenou diferenčním podílem. Sestavit lineární algebraické rovnice pro neznámé Y i, které aproximují y i y(x i ). Vyřešit výslednou soustavu lineárních algeb. rovnic.
Taylorův polynom 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 0.5 0 0.5 1 1.5 2 f pol. 1 pol. 2 pol. 3 pol. 4 pol. 5 Rozvoj funkce f v okolí bodu a: f(x) n (x a) k f (k) (a) k! k=0
Aproximace derivací pomocí Taylorova rozvoje y i+1 = y i + hy (x i ) + h2 2! y (x i ) + h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i + θ + i h), y i 1 = y i hy (x i ) + h2 2! y (x i ) h3 3! y (x i ) + h4 4! y(4) (x i θ i h), kde θ + i (0, 1), θ i (0, 1). (4)-(5) y (x i ) = y i+1 y i 1 + R 1, kde R 1 c 1 h 2. 2h (4)+(5) y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + R 2, kde R 2 c 2 h 2. Konstanty c 1, c 2 nezávisejí na h a i. (4) (5)
Máme tedy y (x i ) = y i+1 y i 1 2h + O(h 2 ), y (x i ) = y i+1 2y i + y i 1 h 2 + O(h 2 ). Dosadíme do a(x)y (x) + b(x)y (x) q(x)y(x) = f(x) v x = x i ; zavedeme a i = a(x i ), b i = b(x i ), atd. Dostaneme rovnost a i y i+1 2y i + y i 1 h 2 + b i y i+1 y i 1 2h Upravíme (stále jde o přesnou rovnost) y i 1 a i hb i /2 h 2 q i y i = f i + O(h 2 ). + y i 2a i + h 2 q i h 2 y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i + O(h 2 ).
Nyní zanedbáme člen O(h 2 ) a dostaneme sít ovou rovnici pro přibližné uzlové hodnoty Y i 1, Y i, Y i+1 : Y i 1 a i hb i /2 h 2 + Y i 2a i + h 2 q i h 2 Y i+1 a i + hb i /2 h 2 = f i. Rovnici sestavíme v každém vnitřním uzlu x i (a, b). Chyba diskretizace (rozdíl mezi f i a levou stranou, v níž místo Y i 1, Y i, Y i+1 užijeme hodnoty y i 1, y i, y i+1 ) je řádu O(h 2 ). Jsou-li OP dirichletovské, pak hodnoty Y 0 a Y N známe a dostáváme N 1 rovnic pro neznámé Y 1,...,Y N 1. Jsou-li v OP derivace, můžeme je aproximovat diferenčními podíly (Y 1 Y 0 )/h a (Y N Y N 1 )/h, dopustíme se však chyby diskretizace řádu O(h), tedy větší.
Chyba metody η h = y h Y h, kde y h = (y 1,..., y N ) T a Y h = (Y 1,..., Y N ) T. Vektor Y h získáme vyřešením soustavy A h Y h = F h, kde F h = (f 1,...,f N ) T. Za předpokladu hladkosti koeficientů rovnice platí: matice A h má "dobré" vlastnosti, existuje právě jedno řešení Y h ; dirichletovské OP, pak η h max C 0 h 2 h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h), pak η h max C 1 h h (0, h 0 ]; OP s derivací aproximované s chybou O(h 2 ) (tj. přesněji; předpis zde neuveden), pak η h max C 1 h 2 h (0, h 0 ]. Poznámky: Chyba diskretizace OP je velmi významná. Snížení hladkosti řešení a koeficientů vede ke zhoršení odhadů rychlosti konvergence.
Příklad: Řešme y (1 + sin 2 x)y = 4, y(0) = 0 = y(π) přibližně metodou sítí s h = π/3. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π. q 1 = 1 + sin 2 x 1 = 1 + sin 2 (π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, q 2 = 1 + sin 2 x 2 = 1 + sin 2 (2π/3) = 1 + ( 3/2) 2 = 1 + 3/4, f 1 = 4, f 2 = 4. Diferenční rovnice Y 0 2Y 1 + Y 2 π 2 9 Y 1 2Y 2 + Y 3 π 2 9 (1 + 3 4 )Y 1 = 4, (6) (1 + 3 4 )Y 2 = 4. (7) Protože z okrajových podmínek plyne Y 0 = 0 = Y 3, jsou (6)-(7) dvě rovnice pro dvě neznámé, tj. Y 1 a Y 2.
Po odečtení 3(Y 2 Y 1 ) 7 4 (Y 2 Y 1 ) = 0, π 2 9 ( 27 π 2 + 7 4 tedy Y 1 = Y 2. Po dosazení do (6)-(7) ) (Y 2 Y 1 ) = 0, Y 1 = 1, 50 a Y 2 = 1, 50.
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 4 uzly.
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 5 uzlů.
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 10 uzlů.
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Přesné řešení červeně, přibližné modře, 20 uzlů.
Přednosti metody sítí: dosti obecná rovnice; jednoduchost; soustava s řídkou maticí. Zápory metody sítí: silné předpoklady na hladkost; při oslabení předpokladů na hladkost lze očekávat pomalou konvergenci; problémy s okrajovými podmínkami (2D úlohy).
Problém vlastních čísel a metoda sítí Víme, že vlastní čísla okrajové úlohy u + λu = 0, (8) u(0) = 0, u(π) = 0, (9) jsou λ = 1, 4, 9, 16, 25,... Zkusme je spočítat přibližně. Uzly sítě: x 0 = 0, x 1 = π/3, x 2 = 2π/3, x 3 = π, krok dělení h = π/3. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vlastního čísla λ. Z (8) dostáváme diferenční rovnice kde U 0 = 0, U 3 = 0, viz (9). U 0 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 + U 3 h 2 + µu 2 = 0,
Po dosazení U 0 = 0 a U 3 = 0 soustavu upravíme 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, ( 2h ) 2 + µ U 1 + 1 h 2 U 2 = 0, 1 h 2 U 1 + ( 2h ) 2 + µ U 2 = 0. ( Soustava má nenulové řešení, pokud 2 ) 2 h 2 + µ 1 h 4 = 0. Tedy µ 2 h 2 = 1 h 2, tj. µ 1 = 1 h 2 0, 9119 a µ 2 = 3 2, 7357. h2
Jiný přístup k soustavě: Soustavu můžeme upravit i takto 2U 1 + U 2 h 2 + µu 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µu 2 = 0, 2 h 2 U 1 1 h 2 U 2 = µu 1, 1 h 2 U 1 + 2 h 2 U 2 = µu 2 ; dostáváme (a pak řešíme) standardní ( ) problém vlastních čísel 2 1 AU = µu s maticí A = 1. h 2 1 2
Jemnější dělení: např. h = π/5, vektor hodnot ve vnitřních uzlech sítě U = (U 1,...,U 4 ) T. Pak AU = µu, kde 2 1 0 0 A = 1 1 2 1 0 h 2 0 1 2 1. 0 0 1 2 Vlastní čísla (a vlastní vektory) třídiagonální matice. Čím jemnější dělení, tím lepší aproximace (malých) vlastních čísel.
49 36 25 16 9 4 1 n = 2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 20 n = 50 n = 100 1 2 3 4 5 6 7 Poradove cislo vlastniho cisla Parametr n udává počet vnitřních uzlů sítě. Je zobrazeno několik malých vlastních čísel odpovídající matice typu n n. S rostoucím n pozorujeme konvergenci k přesným vlastním číslům 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.
Problém vlastních čísel a metoda sítí. Obecnější případ. Najděme přibližně první dvě vlastní čísla OÚ u + λp(x)u = 0, u(a) = 0, u(b) = 0, kde p je funkce kladná na intervalu [a, b]. Uzly sítě: x 0 = a, x 1 = (b a)/3, x 2 = 2(b a)/3, x 3 = b, krok dělení h = (b a)/3. Zaved me p i = p(x i ), i = 1, 2. Označme U 1, U 2 hodnoty sít ového řešení v bodech x 1, x 2 a µ aproximaci vl. č. λ. Diferenční rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0.
upravme ( ) 2 h 2 + µp 1 U 1 + 1 h 2 U 2 = 0, ( ) 1 2 h 2 U 1 + h 2 + µp 2 U 2 = 0. Dvě hodnoty µ tedy najdeme jako řešení kvadratické rovnice ( )( ) 2 2 h 2 + µp 1 h 2 + µp 2 1 h 4 = 0. (Hodnoty p1, p2 a h jsou známé!)
Výchozí rovnice 2U 1 + U 2 h 2 + µp 1 U 1 = 0, U 1 2U 2 h 2 + µp 2 U 2 = 0 můžeme upravit i do této podoby 1 1 p 1 h 2(2U 1 U 2 ) = µu 1, 1 1 p 2 h 2( U 1 + 2U 2 ) = µu 2, v níž již vidíme ( maticový ) problém vlastních čísel, tj. AU = µu, 1 ( ) kde A = 1 p 1 0 2 1 h 2 1. 0 1 2 p 2
Jemnější dělení; maticový zápis. Stejnoměrné dělení s krokem h, body x i, v nich známé hodnoty p i a neznámé hodnoty U i, i = 1,..., n. Pak AU = µu, kde U = (U 1,..., U n ) T, 2 1 0 0... 0 1 2 1 0... 0 A = 1 0 1 2 1 0... h 2 D 1 0............ 0 0... 1 2 1 0 0... 0 1 2 1 0 0... 0 1 2 a p 1 0... 0 0 p 2... 0 D =. 0..... 0. 0 0 0 p n