4..14 Spříme a půjčujeme II Předpklady: 04013 Př. 1: Hza ulžil a 3 rky d baky 20 000 Kč s rčí úrkvu míru 0,48 %. Úrk mu baka každý rk desílá a běžý účet. Jaku částku bude p třech letech dispvat, pkud ic eutratí? Úrk v jedm rce: 20 000 0, 0048 0,8 = 1 020 Kč. Úrk za tři rky: 3 1 020 = 3 060 Kč. P třech letech bude Hza dispvat částku 23 060 Kč. Př. 2: Hza ulžil a 3 rky d baky 20 000 Kč s rčí úrkvu míru 0,48 %. Úrk eí p skčeí úrkvacíh bdbí desílá a jeh účet, ale připisvá k vkladu. Jaku částku bude mít p třech letech k dispzici? Při výpčtu zakruhluj a haléře. Úrk v jedm rce: 20 000 0, 0048 0,8 = 1 020 Kč. P prví rce má ulže (a úrk v druhém rce se pčítá z částky) 21 020. Úrk v druhém rce: 21 020 0, 0048 0,8 = 1 024,16 Kč. P druhém rce má ulže (a úrk v třetím rce se pčítá z částky) 21 020 + 1 024,16 = 22 044,16 Kč. Úrk v třetím rce: 22 044,16 0, 0048 0,8 = 1 028,34 Kč. Celkvá částka p třech letech: 22 044,16 + 1028,34 = 23 072,0 Kč Druhým způsbem si Hza aspří více (baka v dalších letech úrčí i úrky, které Hza získal v předchzích letech). Ozačuje se jak slžeé úrkváí. Pstup, při kterém si věřitel úrky vybírá (a baka je tedy dále eúrčí) se začuje jak jedduché úrkváí. Slžeé úrkváí je zdá se slžité výpčtem. Pkud bychm pstupvali jak při řešeí příkladu, byl by výpčet aspřeé částky p 20 letech úklem a ěklik hdi. Zkusíme si pstup prjít ještě jedu a zapisvat h tak, abychm dvdili přijatelý vzrec. Úrk v jedm rce: 20 000 0, 0048 0,8 = 1 020 Kč. P prví rce má ulže (a úrk v druhém rce se pčítá z částky) 21 020 = 20 000 + 20 000 0,0048 0,8 = 20 000 1+ 0,0048 0,8 ( ) 1
Úrk v druhém rce: 20 000 ( 1+ 0, 0048 0,8) 0, 0048 0,8 Kč. P druhém rce má ulže (a úrk v třetím rce se pčítá z částky) 20 000 1+ 0, 0048 0,8 + 20 000 1+ 0, 0048 0,8 0, 0048 0,8 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = 20 000 1+ 0, 0048 0,8 1+ 0, 0048 0,8 = 20 000 1+ 0, 0048 0,8 Úrk v třetím rce: 20 000 ( 1+ 0, 0048 0,8) 0, 0048 0,8 Kč. P třetím rce má ulže (a úrk v čtvrtém rce se pčítá z částky) ( ) ( ) 2 2 20 000 1+ 0, 0048 0,8 + 20 000 1+ 0, 0048 0,8 0, 0048 0,8 = ( ) ( ) ( ) 2 3 = 20 000 1+ 0, 0048 0,8 1+ 0, 0048 0,8 = 20 000 1+ 0, 0048 0,8 Př. 3: Napiš vztah, který udává částku, kteru Hza aspří p pěti letech. 20 000 ( 1+ 0, 0048 0,8) Př. 4: Napiš vztah, který udává částku, kteru Hza aspří p letech. 20 000 ( 1+ 0,0048 0,8) Př. : Kapitál, který budeme mít p letech slžeéh úrkváí ašetřeý v bace se začuje jak K, pčátečí kapitál se začí K 0. Napiš vzrec pr výpčet částky, kteru si aspříš p letech slžeéh úrkváí. ( ) K = K 1+ p 0,8 Př. 6: Vypčti částku, kteru si aspříš z 30 000 Kč, jestliže tut částku ulžíš: a) a pět let s úrkem 1,2 % b) a 2 let s úrkem 1, %. a) 30 000 Kč a pět let s úrkem 1,2 % ( ) ( ) K = K 1+ p 0,8 = 30 000 1+ 0, 012 0,8 = 368 217,90 Kč b) 30 000 Kč a 2 let s úrkem 1, % ( ) ( ) 2 K = K 1+ p 0,8 = 30 000 1+ 0,01 0,8 = 480 423,61 Kč Př. 7: Jaku částku bys měl ašetřeu, kdyby Tvůj předek ulžil v rce 1348 u příležitsti zalžeí UK 100 Kč s rčí úrkvu míru 2, %? Od rku 1348 uplyul 2016 1348 = 668 let. ( ) ( ) 668 K = K 1+ p 0,8 = 100 1+ 0, 02 0,8 = 12 97 042 Kč Př. 8: Obdbí, p ěmž baka připisuje úrk se začuje jak úrkvací bdbí. Úrkvací bdbí emusí být vždy 1 rk, apříklad u běžých účtů bývá úrkvací bdbí 1 de. Vypčti částku, kteru ašetříš za 3 rky, jestliže ulžíš 10 000 Kč 2
a) rk s úrkvu míru 0,7 % a úrkvací bdbí je: a) rk b) půlrk c) měsíc d) de. ( ) ( ) 3 K = K 1+ p 0,8 = 10 000 1+ 0, 007 0,8 = 12 887, 08 b) půlrk 0, 007 K = K ( 1+ p 0,8) = 10 000 1+ 0,8 = 12 891, 71 2 c) měsíc 0, 007 K = K ( 1+ p 0,8) = 10 000 1+ 0,8 = 12 89,8 12 d) de 3 2 312 3 360 0, 007 K = K ( 1+ p 0,8) = 10 000 1+ 0,8 = 12 896,33 360 Př. 9: Uprav vzrec pr slžeé úrkváí tak, aby umžňval výpčet aspřeé částky pr růzá úrkvací bdbí. K p = K 1+ 0,8 k k Př. 10: Vysvětli slv iflace. Iflace Peíze emají v deší dbě žádu hdtu samy sbě, jejich pužíváí reguluje stát, v případě zhruceí ekmiky se může stát, že svu hdtu zcela eb částečě ztratí (měvé krize a měvé refrmy). Prces zehdcváí peěz prbíhá téměř eustále (ale pmalu) díky jevu zvaému iflace (zehdcváí peěz). V dbě psaí tht textu byla mezirčí míra iflace 6% peíze ztratily během uplyulých dvaácti měsíců 6% své hdty. Tedy za určitu částku je mžé yí akupit 6% zbží méě ež před rkem. Výpčet míry iflace velmi závisí velmi a tm, u kteréh zbží sledujeme cey a jak výrazě tyt cey d výsledku zapčítáváme. Výpčet iflace se prvádí v závislsti a sptřebím kši jehž bsah je vděčým ámětem sprů uvitř dbré veřejsti (apříklad je dluhdbým sprem zda d iflace zapčítávat změy ce emvitstí. 3
V Evrpě se t edělá s důvděím, že ákup emvitsti eí sptřeba, ale ivestice. Fakt, že sptřebitelé musí ěkde bydlet je trchu pmíje. Hlavím důvdem tht přístupu je pdle mhých ekmů fakt, že díky tét zásadě vychází rčí míra iflace v aprsté většiě let ižší). Rčí míra iflace je průměrý údaj a faktický dpad zdražváí je a růzé vrstvy splečsti velmi růzý (pkud zdražuje jídl eb eergie dtýká se t spíš chudších vrstev). Na druhu strau eí mžé ahlížet a iflaci jak zcela záprý jev. Fakt, že peíze pmalu ztrácí hdtu, přispívá k tmu, aby ebyly zbytečě stahváy z běhu a ukládáy dma a jejich vlastíci se je sažili ivestvat eb utratit. Napak vzácé chvíle, kdy je iflace záprá (peíze hdtu získávají a zbží zlevňuje - deflace) jsu pvažváy (ěkterými ekmy) za velmi ebezpečé (lidé espří a eutrácejí, prtže čekají až zbží ještě více zleví a tím klesá výk ekmiky). V ásledujících výpčtech de všech pdrbstí dhlédeme a budeme uvažvat, že iflace zameá stejměré zehdcváí peěz bez hledu a dpad pr kkrétí druhy zbží. Pkud je rčí míra iflace 3% zameá t, že se cey v za rk v průměru zvýší 3% zbží, které stál a začátku rku 100 Kč, bude a kci rku stát 103 Kč. Př. 11: Urči, jaku hdtu bude mít 100 000 Kč za rk, pkud se ptvrdí rčí dhad iflace ve výši 3%. Zbží za 100 Kč má a kci rku ceu 103 Kč. Na kci rku budeme mít 100 000 Kč, zajímá ás, klik Kč a začátku rku by stačil a ákup stejéh mžství zbží. zbží akupeé a pčátku rku za x Kč má a kci rku ceu 100000 Kč. Přímá úměrst: pčátek rku 100 Kč... kec rku 103 Kč pčátek rku x Kč... kec rku 100 000 Kč x 100000 100000 100 100000 = x = = = 97087 Kč 100 103 103 1, 03 Ztratili jsme skr 3000 Kč. 100000 Jaký je výzam hdt ve výsledém vztahu x =? 1,03 100000... pčátečí hdta peěz I 0, x... kečá hdta peěz I, 3 p 1,03... 1+ 0, 03 = 1+ = 1+ (jedička zvětšeá výši iflace ve 100 100 zlmku). hdtu peěz sížeu iflaci během jedh rku můžeme rvu pčítat pmcí I0 vzrce I =. p 1+ 100 4
Př. 12: Urči hdtu 100 000 Kč p deseti letech, pkud se bude průměrá hdta iflace v tmt bdbí rvat 3%. Nejdříve určíme klik peěz bude uté p dvaceti letech a ákup zbží v hdtě 100000 v sučassti. Pté přepčítáme hdtu eúrčeých 100000. Klik peěz ptřebujeme a ákup zbží, které měl a začátku ceu 100000. p 1. rce. 10 1, 03 p 2. letech. ( ) 10 1, 03 Kč) p 3. letech. 2 10 1,03 1,03 = 10 1,03 (a pčátku rku by byl ptřeba 3 10 1, 03 p x. letech. 10 1,03 x teď můžeme dsadit 10 let a určit mžství peěz v hdtě 100000 10 p 10. letech. 10 1, 03 = 134392 Kč P deseti letech ptřebujeme 134392 Kč a ákup zbží, které před tím stál 100000 Kč. Hdtu 100000 spčteme přímu úměrstí: 134392 Kč 100 000 Kč 100 000 Kč x Kč x 100000 100000 = x = 100000 = 74409 Kč 100000 134392 134392 Při tříprcetí iflaci bude mít 100000 Kč steju hdtu, jaku má v deší dbě 74409 Kč (peíze tak ztratí přes 2% své hdty). Shrutí: