Permutace s opakováním

Transkript

1 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př. : Urči kolik růzých slov je možé vytvořit přemísťováím písme slova KAJAK. Slovo má 5 písme vyrábíme růzá pořadí z pěti prvků permutace (je to i v adpisu) Problém: eí tak úplě pravda, že máme 5 prvků, protože dvě písmea se ve slově vyskytují dvakrát a jejich prohozeím se ic ezměí (a tedy ai evytvoří ové slovo) Řešeí: písmea ve slově si oidexujeme (pak budou rozlišitelá) KAJAK 5! možostí. Jak se počet možostí změí, když idexy zrušíme? Například slova: KAJAK a K AJAK budou stejá ze dvou slov mám jedié. Stejým způsobem se počet slov zmeší i v dalších případech: vzájemé prohozeí písme K a K ezpůsobí vzik ového slova po zrušeí idexů u K a K se počet slov zmeší a poloviu Stejě dopademe, když zrušíme idexy u písme A a A : existují dvě možosti, jak tyto písmea avzájem prohazovat počet slov se opět zmeší a poloviu 5! Celkový počet možostí:. Pedagogická pozámka: Prví příklad je potřeba se studety vyřešit, další již zvládají bez potíží sami. Př. : Kolik růzých čtyřmístých čísel je možé z jeho cifer vytvořit z cifer čísla? Výsledek urči aalogicky s předchozím příkladem a zkotroluj ještě libovolou další metodou. Aalogicky s předchozím příkladem: čtyřmísté číslo = uspořádaá čtveřice ze čtyř cifer možostí tři cifry jsou stejé (jedičky) jejich prohazováí (3! možostí) získávám stejá čísla čísel je 3! krát méě ež kdyby byly cifry růzé celkem 4 3! = možosti Jiá metoda: číslo vytvořím, jakmile se rozhodu a kterou pozici umístím (zbytek doplím jedičkami) čtyřmísté číslo čtyři možosti, jak umístit cifru 4 možosti Př. 3: Kolika způsoby je možé rozdělit mezi deset dětí pět jablek, dvě hrušky a tři baáy tak, aby každé dítě dostalo jede kus ovoce. děti máme postaveé do řady musíme postavit do řady deset kusů ovoce, abychom přiřadili dětem jejich ovoce

2 seřazujeme 0 kusů ovoce 0! možostí prohazováím pěti jablek mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší 5! krát prohazováím dvou hrušek mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší! krát prohazováím tří baáů mezi sebou se výsledé rozdáí ovoce ezměí počet výsledků se zmeší 3! krát 0! celkový počet možostí: 5! 3!! Všechy předchozí příklady mají hodě společého: máme růzých prvků z ich sestavujeme uspořádaou k-tici ( k, protože ěkteré prvky se mohou opakovat) záleží a pořadí ěkteré prvky se mohou opakovat k-tice, které jsme sestavovali se azývají permutace s opakováím Permutace s opakováím z prvků je uspořádaá k-tice sestaveá z těchto prvků tak, že každý se v í vyskytuje alespoň jedou. Při sestavováí k-tice potřebujeme vědět, kolikrát se který prvek bude opakovat. Počet opakováí jedotlivých prvků si ozačujeme čísly k; k;...; k. Př. 4: Urči kokrétí hodoty proměých, k, k; k;...; k ve třetím příkladu. Co platí pro čísla k, k; k;...; k? rozdávali jsme tři druhy ovoce = 3 rozdávali jsme deset kusů ovoce k = 0 rozdávali jsme pět jablek k = 5 rozdávali jsme dvě hrušky k = rozdávali jsme tři baáy k3 = k = 3 Platí: = 0, počet kusů ovoce, které jsme rozdávali, získáme tím, že sečteme počet jablek, hrušek a baáů dohromady. obecě zřejmě platí: k = k + k k Pedagogická pozámka: Předchozí příklad je podle mého ázoru utý. Samostatě ho vyřeší maximálě třetia ejlepších, ostatí mají problémy s určeím, k a samozřejmě k. Vyřešeí ásledujícího příkladu je pak pro ě sadé a mohou pochopit předchozí defiici. Př. 5: Urči kokrétí hodoty proměých, k, k; k;...; k v prvím příkladu. Ověř platost vztahu k = k + k k? ve slově KAJAK jsou tři růzá písmea = 3 slovo KAJAK má pět písme k = 5

3 písmeo K je ve slově KAJAK dvakrát k = písmeo A je ve slově KAJAK dvakrát k = písmeo J je ve slově KAJAK jedou k 3 = Platí: + + = 5, počet písme ve slově KAJAK získáme tím, že sečteme kolikrát je ve slově písmeo K, A a J. Počet k-čleých permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé prvky opakují k; k;...; k -krát začíme P ( k; k;...; k ). Př. 6: Urči počet k-čleých permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé prvky opakují k; k;...; k -krát. Celkem máme k k k... k k + k k! možostí Nyí musíme dělit pro každý prvek počtem možostí, kterými můžeme prohazovat jeho výskyty: prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat prvek se vyskytuje k -krát k! možostí, jak tyto prvky prohazovat celkem ( k ) + k k! možostí k! k!... k! = prvků, které uspořádáváme ( ) Pedagogická pozámka: Studetům, kteří mají se sestaveím vzorce problémy, většiou stačí připomeout, aby si a papír apsali řešeí příkladu 3. Většia studetů píše k! vzorec ve tvaru, který je samozřejmě také správý, ale v tabulkách k! k!... k! se epoužívá. Na požádáí pro ě eí problém přepsat vzorec tak, aby se v ěm k evyskytovalo. ; ;...; permutací s opakováím z prvků, v ichž se jedotlivé Počet P ( k k k ) prvky opakují ; ;...; = k k k -krát, je P ( k ; k ;...; k ) ( k + k + + k )...! k! k!... k! Př. 7: Kolika způsoby je možé mezi 30 studetů rozdat dvě volé vstupeky a kocert, pět vstupeek a plavecký stadió a deset vstupeek do posilovy, pokud každý ze studetů může dostat maximálě jedu vstupeku (i tak jich bude málo)? Problém: podobé zadáí jako v příkladu 3, ale máme málo lístků, a ěkteré studety ic ezbude aby ebyli smutí dostaou prázdé papírky vyřešeo rozdáváme: vstupeky a kocert, 5 lístků do bazéu, 0 lístků do posilovy a 3 prázdých 30! lístků: možostí! 5! 0! 3! 3

4 Pedagogická pozámka: Kromě mešiy, která dokáže příklad vyřešit samostatě, se 7! objevují dvě špatá řešeí. Prví mají vzorec (těm připomíám, že! 5! 0! 30! studetů bylo 30 a e 7), druzí pak (ty upozorňuji, že jejich řešeí! 5! 0! eodpovídá vzorci pro počet permutací s opakováím, protože součet čísel ve jmeovateli se erová číslu v čitateli). 7! Při společé opravě a tabuli vyjdeme se vzorce a doplíme ho a! 5! 0! 30 správý výběrem 7 studetů, kteří dostaou ějaký lístek - 7 možostí 30 7! správý výsledek, upravíme 7! 5! 0! 30 7! 30! 7! 30! = = a pak přemýšlíme o výzamu 7! 5! 0! 7 3!! 5! 0!! 5! 0! 3! čleu 3! ve jmeovateli Př. 8: Je všeobecě zámo, že ejúčiějším zaklíadlem je formule ABRAKADABRA. Urči: a) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea slova ABRAKADABRA a splést zaklíadlo. b) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea tak, aby žádá pětice sousedích písme ebyla tvořea pěti písmey A c) počet všech způsobů, jimiž lze přemístit písmea tak, aby žádá dvojice sousedích písme ebyla tvořea dvěma písmey A Spočteme si, kolik písme slovo obsahuje. A 5x B x R x K x D x! Možosti přemístěí: 5!!!!! a) žádá pětice sousedích písme eí tvořea pěti písmey A všecha písmea A esmí být vedle sebe moho růzých možostí sáz by se počítalo, kdy jsou všecha vedle sebe odečtu to od všechmožostí všecha A vedle sebe = beru je jako jede zak AAAAA x B x R x K x D x 7!!! 4

5 všecha A esmí být vedle sebe:! 7! 5!!!!! b) žádá dvojice sousedích písme eí tvořea dvěma písmey A dvě písmea A esmí být vedle sebe písmea A musím od sebe oddělovat pomocí zbývajících písme, které mám k dispozici: B R K D B R máme šest zbývajících písme existuje sedm míst (prázdé 7 čtverečky), do kterých můžeme apsat jedo z pěti písme A možostí jak apsat 5 písmea A 6! ještě můžeme prohazovat souhlásky: možostí!! ke každému rozmístěí písme A můžeme vystřídat všechy kombiace souhlásek 7 6! možosti kombiujeme celkem možostí 5!! Pedagogická pozámka: Bod a) předchozího příkladu spočítají všichi, bod b) je mešia! (často se vyskytující chybou je výsledek 5!!! 7, ve kterém studeti uvažují pouze ad tím, kolik mají možostí umístit mezi souhlásky spojeé AAAAA a zapomíají, že mohou prohazovat mezi sebou také souhlásky. Bod c) přesahuje možosti všech studetů, emá tedy ceu příliš dlouho čekat a řešeí zveřejňuji poměrě brzo. Př. 9: Urči počet všech čtyřciferých přirozeých čísel dělitelých devíti v jejichž zápisu se vyskytují pouze číslice 0,, 3, 5, 6. Číslo je dělitelé devíti, právě když je ciferý součet dělitelý devíti ejdříve si zjistíme, jak ze zadaých číslic sestavit správý ciferý součet a pak zjistíme kolik čísel je možé z každého takového seskupeí sestavit. ciferý součet 9: = 9 sestavujeme z číslic 6, 3, 0, 0!!! možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme 3! = 3! možostí (a začátku 0 (můžeme vybrat dvakrát) a další tři číslice můžeme uspořádat libovolě, počet možostí dělíme dvěma, protože prohozeím ul se ic ezměí) celkově 3! 6! = možostí = 9 sestavujeme z číslic 5,,, 0 začátku esmí být ula odečítáme 3!! s ulou a začátku) celkově 3! = 9 možostí!! možostí, ale a!!! možostí (počet uspořádáí číslic 5,,, 0 5

6 = 9 sestavujeme z číslic 3, 3, 3, 0 3!! možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme možost (ulou a začátku a tři trojky za í) celkově 3 3!! = možosti = 9 sestavujeme z číslic 3,,, ula ic eodečítáme celkově ciferý součet 8: 3!! = 4 možosti = 8 sestavujeme z číslic 6, 6, 6, 0 3!! 3!! možostí, mezi čísly eí možostí, ale a začátku esmí být ula odečítáme možost (ulou a začátku a tři šestky za í) celkově 3 3!! = možosti = 8 sestavujeme z číslic 6, 6, 3, 3 eí ula ic eodečítáme celkově!! = = 8 sestavujeme z číslic 6, 5, 5,!! možostí eí ula ic eodečítáme celkově! = možostí = 8 sestavujeme z číslic 5, 5, 5, 3 možostí, mezi čísly možostí, mezi čísly!!! 3!! možostí, mezi čísly eí ula ic eodečítáme celkově 4 3! = možosti Dohromady máme = 47 možostí jak sestavit čísla tak, aby bylo dělitelé devíti ( )!! ( ) ( ) k + k Na závěr si zkusíme spočítat P ( k, k ) = = = = Kk ( ). Tedy k! k! k! k! k počet permutací s opakováím ze dvou prvků, z ichž jede se opakuje k-krát a druhý k -krát je stejý jako počet k-prvkových kombiací z prvků. ( ) =. Př. 0: (BONUS) Najdi kombiatorické zdůvoděí vzorce P ( k k ) K ( ), k Vytvářeí k-prvkové kombiace z prvků si můžeme představit takto: máme prvků a tedy! možostí jak se postavit do řady, prvích k pozic v této řadě, k prvků zameá, že prvek zameá, že prvek je vybrá do kombiace, zbývajících ( ) vybrá ebyl pokud ás zajímá výsledek výběru do kombiace, musíme počet! možostí postaveí do řady vydělit: 6

7 k! možostí, jak proházet mezi sebou prvky a prvích k místech (jejich proházeí eovliví výběr do kombiace) ( k )! možostí, jak proházet mezi sebou prvky a zbývajících ( k ) místech (jejich proházeí eovliví výběr do kombiace)! celkem možostí, jak sestavit kombiaci k! k! ( ) Př. : Petáková: straa 48/cvičeí 73 Shrutí: 7