Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz

Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl Úvod Gaspard Monge Souřadný systém, zobrazení bodu Zobrazení přímky Stopníky obecné přímky Sklopení přímky Zobrazení roviny Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny Obrazce v rovině Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin Průsečík přímky s rovinou Průnik rovinných obrazců Kolmost přímky a roviny Otočení roviny do průmětny, osová afinita 2. díl Zobrazení hranolu Řez hranolu Síť hranolu Průsečík přímky s hranolem Zobrazení jehlanu Středová kolineace a řez jehlanu Síť jehlanu Průsečík přímky s jehlanem Kuželosečky Zobrazení válce Řez válce Síť válce Průnik přímky s válcem Zobrazení kuželu Řez kuželu Síť kuželu Průsečíky přímky s kuželem Koule zobrazení, řez, průnik s přímkou Průnik těles 3

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Obsah 1. dílu 1 Úvod...8 Gaspard Monge... 8 Pravoúhlé promítání na dvě průmětny... 9 2 Souřadný systém, zobrazení bodu...12 Souřadný systém... 12 Zobrazení bodu... 12 Kvadranty... 13 Příklad zobrazení bodů... 14 Cvičení zobrazení bodů, kvadranty... 15 3 Zobrazení přímky...16 Zobrazení přímky dané dvěma body... 16 Přímka rovnoběžná s jinou přímkou... 17 Přímka rovnoběžná s průmětnou... 18 Přímka kolmá na průmětnu... 2 Příklad přímka rovnoběžná s nárysnou... 21 Cvičení zobrazení přímky... 22 4 Stopníky obecné přímky...23 Příklad stopníky přímky... 24 Příklad stopníky přímky... 25 Stopníky přímky rovnoběžné s nárysnou... 26 Stopníky přímky rovnoběžné s půdorysnou... 26 Stopníky přímky rovnoběžné s oběma průmětnami... 27 Stopníky přímky kolmé k nárysně... 27 Stopníky přímky kolmé k půdorysně... 28 Cvičení stopníky přímky... 28 Zobrazení přímky kolmé k základnici... 29 5 Sklopení přímky...3 Stopníky přímky kolmé k základnici... 31 Skutečná velikost úsečky... 32 Sklopení úsečky do půdorysny skutečná velikost... 33 Sklopení do nárysny... 33 Cvičení skutečná velikost úsečky... 34 6 Zobrazení roviny...35 Stopy roviny... 35 Zadání roviny souřadnicemi... 35 Rovina ve speciálních polohách... 37 Rovina zadaná dvojicí přímek... 4 Rovina zadaná přímkou a bodem... 41 Rovina zadaná trojicí bodů... 41 Cvičení rovina... 42 7 Bod a přímka v rovině, odchylka roviny od průmětny...43 Hlavní přímky roviny... 43 Vyhledání chybějícího průmětu bodu v rovině... 44 4

Obsah Cvičení hlavní přímky roviny... 46 Spádová přímka roviny... 46 Odchylka roviny od průmětny... 47 Příklad hlavní a spádové přímky roviny... 48 Příklad rovina zadaná spádovou přímkou... 5 Příklad odchylka roviny od průmětny... 5 Cvičení rovina... 53 8 Obrazce v rovině...54 Příklad nalezení chybějícího nárysu obrazce v rovině... 54 Příklad nalezení chybějícího půdorysu obrazce v rovině... 56 Příklad chybějící průměty bodů obrazce v rovině... 58 Cvičení obrazce v rovině... 6 9 Vzájemná poloha dvou rovin, průsečnice rovin...61 Průsečnice různoběžných rovin... 61 Průsečnice rovin speciální případy... 62 Cvičení průsečnice rovin... 64 1 Průsečík přímky s rovinou...65 Sestrojení průsečíku přímky s rovinou... 66 Průsečík přímky s rovinou ve zvláštní poloze... 68 Cvičení průsečík přímky s rovinou... 7 11 Průnik rovinných obrazců...71 Sestrojení průniku dvou rovinných obrazců... 74 Příklad sestrojení průniku rovinných obrazců krycí přímka... 78 Cvičení průnik rovinných obrazců... 83 12 Kolmost přímky a roviny...84 Přímka kolmá k rovině... 84 Příklad přímka kolmá k rovině... 84 Rovina kolmá k přímce... 84 Příklad rovina kolmá k přímce... 86 Cvičení kolmost přímky a roviny... 87 13 Otočení roviny do průmětny, osová afinita...88 Osová afinita... 88 Příklad osová afinita... 88 Otočení bodu roviny (do půdorysny)... 89 Příklad skutečná velikost obrazce... 91 Příklad otočení roviny kolmé k nárysně... 91 Příklad sestrojení obrazce zadaného tvaru... 92 Příklad sestrojení pravidelného pětiúhelníka... 98 Cvičení otočení roviny a afinita... 99 5

1 Úvod Pravoúhlé promítání na dvě průmětny A Obr. 1-1 Princip této zobrazovací metody spočívá v tom, že se bod v prostoru promítne pod pravým úhlem do vodorovné průmětny tzv. půdorysny, a pod pravým úhlem do svislé průmětny tzv. nárysny. Obě průmětny roviny, do nichž se bod promítá jsou vzájemně kolmé (obr. 1-1). První průmět bodu do půdorysny se nazývá půdorys bodu a značí se dolním indexem 1, druhý průmět bodu do nárysny se nazývá nárys bodu a značí se dolním indexem 2. A nárysna x= Obr. 1-2 Aby se oba průměty bodu nárys i půdorys mohly nakreslit na jednu společnou rovnou plochu, je potřeba jednu průmětnu otočit do druhé okolo jejich společné přímky průsečnice x. Půdorysna se sklopí otočí se o 9 do nárysny okolo přímky x průsečnice obou průměten. Sklopení jedné průmětny do druhé se nazývá sdružení průměten (obr. 1-2). Přímka x se nazývá základnice. Přímka x má také své dva průměty nárys a půdorys. Splývají spolu s původní přímkou a tento splývající půdorysný a nárysný průmět přímky x se značí. Jestliže původním bodem, jeho půdorysem a nárysem v prostoru proložíte rovinu tzv. promítací rovinu, je tato rovina kolmá na nárysnu i půdorysnu. Průsečnice promítací roviny a nárysny je kolmá na základnici x a také průsečnice promítací roviny a půdorysny je kolmá na základnici x. Po sklopení půdorysny do nárysny obě kolmé průsečnice promítací roviny a půdorysny, resp. nárysny, splynou v jednu přímku kolmou na základnici x. 7

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Půdorys i nárys bodu pak leží na kolmici k základnici x. Tato kolmá přímka se nazývá ordinála. Průmětům bodu A a se říká sdružené průměty (obr. 1-3). Podívejte se na obrázek (obr. 1-3) a zkuste říci, jak vysoko je bod A nad půdorysnou. V prostoru je to snadné. V levé části obrázku v prostorovém zobrazení je vidět, že tato vzdálenost je rovna vzdálenosti bodu A a jeho půdorysného průmětu (před sklopením půdorysny). Když tuto informaci přeneseme do obrázku vpravo, kde je již vidět nárys i půdorys situace v jedné rovině, je zřejmé, že tato vzdálenost je také rovna vzdálenosti nárysu bodu od základnice. Podobně lze z prostorového obrázku vlevo odvodit, že vzdálenost bodu A od nárysny je rovna vzdálenosti bodu A a jeho nárysného průmětu. Převeďte situaci v prostoru do roviny, kdy se půdorysna sklopila do nárysny. V pravé části obrázku je tato situace nakreslena. Vzdálenost půdorysu bodu od základnice je rovna vzdálenosti původního bodu A od nárysny. A x= Obr. 1-3 Naučte se na situaci v prostoru dívat dvěma způsoby. Když se díváte shora, dostáváte půdorysný pohled. Díváte-li se na situaci zepředu kolmo k nárysně, dostáváte nárysný pohled (obr. 1-4). x= A A1 Obr. 1-4 8

1 Úvod Podívejte se na následující obrázek (obr. 1-5). Je zde zobrazen jistý objekt, je znázorněn svým půdorysem a nárysem. Dokážete si představit, jak vypadá tento objekt v prostoru? Jestliže jste pochopili, že nárys objektu je umístěn obvykle nad základnicí a je značen dolním indexem 2 a že půdorys je umístěn obvykle pod základnicí a je značen dolním indexem 1, pak již víte, že zde znázorněný objekt je pětiboký jehlan. V 2 E 2 D 2 C 2 B 2 D 1 E 1 V 1 C 1 B 1 Obr. 1-5 Vrcholy A, B, C, D, E leží v půdorysně, neboť jejich vzdálenost od půdorysny je. To je vidět v nárysu, zde leží nárysy bodů E 2 na základnici. Odtud je tedy zřejmé, že body A E mají nulovou vzdálenost od půdorysny, tudíž v ní leží. Vrchol V neleží v půdorysně, jeho vzdálenost od půdorysny lze opět zjistit z nárysu. Vidíte, že nárys bodu V 2 má od základnice nenulovou vzdálenost, a to je jeho vzdálenost od půdorysny. Prostorové zobrazení tohoto objektu by mohlo vypadat následovně (obr. 1-6): Obr. 1-6 9

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání 2 SOUŘADNÝ SYSTÉM, ZOBRAZENÍ BODU Souřadný systém Aby bylo možné pracovat s body, přímkami a jejich vzájemnými vztahy, je potřeba do prostoru umístit souřadný systém a pomocí něj pak polohu objektů popisovat. Osa z bude svislá osa, kolmá na půdorysnu. Osa y bude vodorovná osa, kolmá na nárysnu. Osa x bude současně kolmá na osu y a z, tj. bude umístěna do průsečnice půdorysny a nárysny. Pro další upřesnění je nutné dohodnout, na kterou stranu budou směřovat kladné a na kterou záporné hodnoty. U osy z to bude intuitivní, kladné hodnoty budou směřovat nahoru. U osy y budou kladné hodnoty směřovat před nárysnu. U osy x je možné zvolit buď levotočivý pravoúhlý souřadný systém, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny doprava, nebo pravotočivý pravoúhlý souřadný systém, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny směrem doleva od počátku souřadného systému. V této knize budeme pracovat s levotočivým pravoúhlým souřadným systémem, kdy budou kladné hodnoty x vynášeny od počátku souřadného systému směrem doprava. Na následujícím obrázku (obr. 2-1) vidíte umístění levotočivého pravoúhlého souřadného systému v prostoru a jeho interpretaci po sdružení průměten do jedné roviny. kladné hodnoty z z - kladné x kladné hodnoty systému y kladné hodnoty Obr. 2-1 x - kladné y - kladné Zobrazení bodu Abyste mohli zobrazit sdružené průměty bodu, musí být tento bod jednoznačným způsobem určen. Jedním ze způsobů je určit tento bod pomocí souřadnic [x, y, z]. Kladná souřadnice x se nanese od zvoleného počátku směrem vpravo, kladná souřadnice y se nanese směrem dolů od základnice, kladná souřadnice z se nanese směrem nahoru od základnice. Na následujícím obrázku (obr. 2-2) jsou znázorněny sdružené průměty a bodu A[x, y, z]. 1

2 Souřadný systém, zobrazení bodu x z y Obr. 2-2 Kvadranty Půdorysna a nárysna rozdělují prostor do čtyř částí kvadrantů (obr. 2-3). První kvadrant v něm se nejčastěji nacházejí objekty, které mají být zobrazeny. Objekt se nachází před nárysnou a nad půdorysnou. Souřadnice y a z jsou zde kladné. Druhý kvadrant objekt umístěný zde se nachází za nárysnou a nad půdorysnou. Souřadnice z je kladná a souřadnice y záporná. Třetí kvadrant objekt umístěný zde se nachází za nárysnou a pod půdorysnou. Souřadnice y i z jsou záporné. Čtvrtý kvadrant objekt umístěný zde se nachází pod půdorysnou a před nárysnou. Souřadnice z je záporná a souřadnice y kladná. II I III IV Obr. 2-3 11

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání Příklad zobrazení bodů Sestrojte sdružené průměty bodů A [2; 3; 4], B [ 2; 3; 4], C [1; 2; 3], D[; 2; 5], E [ 1; 3; 1] a určete, v kterém kvadrantu se nachází. Řešení: 2 4 3 Obr. 2-4 B 2 4 2 3 B 1 Obr. 2-5 12

2 Souřadný systém, zobrazení bodu Body A a B se oba nacházejí v prvním kvadrantu (obr. 2-4, obr. 2-5). Další body jsou zobrazeny už bez vyznačení nanášených vzdáleností na osy x, y a z (obr. 2-6). C 2 D 1 C 1 E 2 E 1 D 2 Obr. 2-6 Pro lepší představu, ve kterých kvadrantech body leží, se podívejte na ilustrativní prostorový obrázek (obr. 2-7). Bod C leží ve druhém kvadrantu, bod D ve třetím kvadrantu, bod E ve čtvrtém. II C I B A D E III IV Obr. 2-7 Cvičení zobrazení bodů, kvadranty a. Sestrojte sdružené průměty bodů A[; 1; 2], B[1; 2; 3], C[2; 4; 5], D[3; 2; 1], E[4; ; ]. b. Sestrojte sdružené průměty bodů A[ 1; 2; 1], B[; 3; 2], C[1; 2; 4], D[2; 3; 5], E[3; 4; ]. c. Sestrojte sdružené průměty bodů A[ 1; 1; 1], B[1; 2; 2], C[; ; ]. d. Zjistěte, ve kterých kvadrantech leží body z předchozích tří cvičení. 13

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání 3 ZOBRAZENÍ PŘÍMKY Abyste mohli pomocí Mongeovy deskriptivní geometrie zobrazit přímku, tedy její sdružené průměty, musí být přímka zadaná nějakým jednoznačným způsobem. Jedním z nich je zadání přímky pomocí dvou různých bodů v prostoru. Pak se získají sdružené průměty těchto dvou bodů, a spojnice příslušných průmětů těchto dvou bodů je průmětem dané přímky. Jiným způsobem může být zadání přímky pomocí jednoho bodu a nějaké vlastnosti, například že hledaná přímka má být rovnoběžná s nějakou jinou přímkou. Možností je mnoho a některé z nich si prakticky vyzkoušíte. Zobrazení přímky dané dvěma body Zobrazte sdružené průměty přímky p dané body A[ 1; 1; 5] a B[1; 3; 2]. Řešení: Nejprve zobrazte půdorysy a nárysy bodů A a B. Spojením nárysů bodů A a B a B 2 dostanete nárys přímky p. Spojením půdorysů bodů A a B a B 1 dostanete půdorys přímky p (obr. 3-1). Pro lepší představu situace se podívejte na prostorový obrázek (obr. 3-2). Body A a B jsou dány svými půdorysy a nárysy (, B 1,, B 2 ). Spojením půdorysů bodů vzniká půdorys přímky p procházející body a B 1. Spojením nárysů bodů vzniká nárys přímky p procházející body a B 2. B 2 B 1 Obr. 3-1 A p x= B 2 B B 1 Obr. 3-2 14

3 Zobrazení přímky Přímka rovnoběžná s jinou přímkou Přímka p je dána bodem A[; 2; 2] a dále je rovnoběžná s přímkou q danou body C[; 4; 5] a D[3; 2; 1]. Zobrazte přímku p. q 2 C 2 D 2 D 1 C 1 q 1 Obr. 3-3 Řešení: Nejprve sestrojte sdružené průměty bodů A, C a D,, C 1, C 2, D 1, D 2. Spojením sdružených průmětů bodů C a D získáte sdružené průměty přímky q q 1 a q 2. Průměty dvou v prostoru rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky (pokud průmětem nejsou body). Protože hledaná přímka p má být s přímkou q rovnoběžná a má procházet bodem A, její půdorys bude rovnoběžný s půdorysem přímky q q 1 a bude procházet půdorysem bodu A, její nárys bude rovnoběžný s nárysem přímky q q 2 a bude procházet nárysem bodu A (obr. 3-3). Pro lepší představu situace se podívejte na prostorový obrázek (obr. 3-4). Přímky p a q jsou v prostoru rovnoběžné, a proto i jejich kolmé průměty jsou rovnoběžné. Pokud bod leží na přímce, pak i průmět tohoto bodu leží na průmětu této přímky. 15

Deskriptivní geometrie Díl 1 Mongeovo promítání p q q 2 C 2 C x= A D 2 D D 1 C 1 q 1 Obr. 3-4 Přímka rovnoběžná s průmětnou Jestliže je přímka rovnoběžná s nárysnou, pak její půdorysný průmět je rovnoběžný se základnicí (obr. 3-5). p x= Obr. 3-5 Jestliže je přímka rovnoběžná s půdorysnou, pak její nárysný průmět je rovnoběžný se základnicí (obr. 3-6). 16

3 Zobrazení přímky p x= Obr. 3-6 Jestliže je přímka rovnoběžná s oběma průmětnami, pak je také rovnoběžná s jejich průsečnicí, tj. se základnicí x, a pak půdorysný i nárysný průmět takové přímky je rovnoběžný se základnicí (obr. 3-7). p x= Obr. 3-7 17