S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 1 7/4.1 T Y P Y N A P J A T O S T I A T R A N S F O R M A C E N A P J A T O S T I Pojmem napjatost roumíme stav určitého bodu tělesa, který je podroben působení silových účinků. Všechna tělesa se pak pohledu pružnosti a pevnosti řeší a předpokladu statické rovnováhy. Z hlediska pružnosti a pevnosti si le stav napjatosti představit pomocí šesti složek napětí, které působí na bod tělesa. Schematické náornění všech šesti složek napětí, které působí v daném bodě (náorněném elementární krychlí), je na obráku. Složky napětí
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 2 S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A O Obráek náornûní sloïek napûtí: N or m á lov á napětí T e č ná napětí T ři těchto složek jsou normálová napětí, která působí ve směru normál k jednotlivým plochám elementu. O načují se, y a podle směrů os, s nimiž jsou rovnoběžné. D alší tři složky jsou smyková neboli tečná napětí, která působí ve směru tečen k jednotlivým plochám elementu. Značí se, y a podle směrů hran, ke kterým míří. Ponámky: 1) Povšimněte si eistence vždy dvojic smykových napětí, která směřují k téže hraně elementu. H ovoříme o tv. sdružených smykových napětích. 2) M atematicky le obecnou napjatost vyjádřit tenorem. J eho tvar je možné apsat pomocí symetrické matice 3 3: y T = y. y H lav ní napětí H lavní napětí (normálové) je kolmé k hlavní rovině. H lavní rovina je rovina, v níž neleží žádná složka smykového napětí. K aždá obecná napjatost má tři hlavní
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 3 navájem kolmé roviny a tři hlavní napětí 1, 2 a 3, i když některá nich mohou být nulová. Velikosti hlavních napětí vypočítáme původního stavu napjatosti. N apjatost vtažená k novým osám, jištěná výpočtem, je definována trojicí hlavních napětí 1, 2 a 3 a tenor napětí má tvar: 1 0 T = 0 2 3 Podle počtu nenulových napětí v tenoru napětí rodělujeme napjatost na tři ákladní typy: jednoosou, dvojosou a trojosou. N ejjednodušším případem napjatosti je stav, kdy je poue jedno normálové napětí nenulové a všechna ostatní napětí jsou rovna nule. V tomto případě hovoříme o jednoosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti přímkové, protože všechna napětí mají směr téže přímky. J ediné nenulové napětí je současně prvním hlavním napětím 1. O statní dvě hlavní napětí jsou rovna nule ( 2 = 3 = 0). T ento stav je přínačný pro jednoduché působy namáhání, jako jsou tah, resp. tlak, ohyb a případně jejich vájemné kombinace. Výsledný stav napjatosti je přímo vyjádřen jedinou hodnotou tahového, resp. tlakového napětí nebo ohybového napětí a v případě kombinace jejich součtem s ohledem na naménka. T e n or napětí T ypy napjatos ti J e d noos á napjatos t
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 4 S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A O Obráek pfiípad Û jed noosé napjatosti: y y y y D v ojos á napjatos t D alším možným případem je stav, kdy jsou nenulová dvě normálová napětí a případně ještě smykové napětí, jehož obě složky leží v téže rovině jako nenulová normálová napětí. V tomto případě hovoříme o dvojosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti rovinné, protože všechny nenulové složky napětí leží v jedné rovině. Zvláštním stavem rovinné napjatosti může být případ, kdy je nenulová poue jedna dvojice sdružených smykových napětí a ostatní složky jsou nulové. Pak jde o stav čistého smyku a jeho rovinou je rovina, ve které leží obě složky sdružených smykových napětí. T ento stav je přínačný ejména při namáhání krutem, případně smykem (napjatost se naývá čistý smyk) a dále pro všechny kombinace těchto namáhání s jednoosou případně rovinnou napjatostí, jejichž rovina je shodná s rovinou sdružených smykových napětí. R ovinná napjatost je přínačná pro volné povrchy těles, kde je napětí ve směru vnější normály nulové.
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 5 Obráek pfiípad Û d v ojosé napjatosti: O y y y y y y y J de o nejobecnější stav napjatosti v bodě tělesa, kdy mohou být nenulové všechny složky napětí působících na element nebo kdy nenulové složky neleží v jedné rovině. V takovém případě hovoříme o trojosé napjatosti nebo někdy také o napjatosti prostorové. T ato napjatost je naprosto obecná a nastává ve většině případů obecně namáhaných těles. Pro ískání hlavních napětí je třeba napjatost transformovat. Obráek trojosé napjatosti: T r ojos á napjatos t O J de prakticky o výpočet hlavních napětí adané napjatosti. T r ans for m ac e napjatos ti
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 6 S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A J e d noos á napjatos t D v ojos á napjatos t J ak již bylo řečeno dříve, jednoosou napjatost není třeba transformovat, protože výsledná složka je přímo použitelná pro pevnostní kontrolu: 1 =. T enor napětí má v tomto případě tvar: 1 T = 0 = 0. V případě dvojosé napjatosti definované poue dvojicí normálových napětí není transformace také třeba, protože tyto dvě složky jsou přímo hlavními napětími: 1 = a 2 = y. T enor napětí má v tomto případě tvar: 0 1 0 T = 0 y = 0 2. V případě dvojosé napjatosti definované smykovým napětím spolu se dvěma normálovými napětími ležícími v téže rovině (mohou mít i nulové hodnoty) je třeba pro ískání hlavních napětí provést transformaci takové napjatosti. T enor napětí má v tomto obecném případě rovinné napjatosti ležící v rovině -y tvar: 0 0 T =, y 0
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 7 resp. pro rovinu y-: nebo pro rovinu -: 0 T = 0 y 0 0 y T = 0. y 0 T ransformaci složek napjatosti v rovině poprvé matematicky popsal M ohr, proto hovoříme o tv. M ohrově kružnici. Základní vtahy, které rovnice M ohrovy kružnice vyplývají, jsou pro výpočet hlavních napětí v rovině -y (je-li dáno, y a ): + y y 1,2 = ± 2 + 2, 2 2 resp. v rovině y- (je-li dáno y, a ): y + y 1,2 = ± 2 2 2 + 2 nebo v rovině - (je-li dáno, a y ): + 1,2 = ± 2 2 2 + y2. Pokud bude trojosá napjatost dána poue třemi nenulovými složkami normálových napětí (všechna smyková napětí jsou nulová), půjde přímo o trojici hlavních napětí: 1 =, 2 = y a 3 =. M oh r ov a kr u žnic e T r ojos á napjatos t
část 7, díl 4, kapitola 1, str. 8 S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A T enor napětí má v tomto případě tvar: 0 1 0 T = 0 y = 0 2. 3 V případě obecné trojosé (prostorové) napjatosti je třeba k výpočtu hlavních napětí provést transformaci (pootočení) souřadnicového systému použitím vtahů odpovídajících transformaci tenoru napětí, který le apsat ve tvaru: y T = y. y I nv ar ianty te n or u napětí Vlastní výpočtový vtah má tvar kubické rovnice: 3 I 1 2 + I 2 I 3 = 0, kde členy I 1, I 2 a I 3 představují tv. invarianty tenoru napětí (při pootočení souřadnicového systému se nemění, jsou invariantní) a le je vyjádřit ve tvaru: I 1 = + y +, y y I2 = + + = y + + y 2 y2 2, y y y I 3 = y = y + 2 y 2 y y2 2. y T akto definovaná kubická rovnice má vždy tři reálné kořeny (některý může být násobný anebo některý nulový), které jsou třemi hlavními napětími 1, 2 a 3. Ponámka: T yto vtahy le použít i v případě dvojosé napjatosti, ale výpočet je bytečně dlouhavý.