739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná rovnice ve tvaru ax + by + c = 0 není jednoznačná Obsahuje tři parametry, rovnice, teré jsou navzájem svými násoby, popisují stejné přímy Ja popsat přímu jednoznačně? Nápad: Zápis lineární funce y = x + je jednoznačný, různé předpisy znamenají různé funce (a tedy různé přímy) Můžeme na tento tvar převést aždou obecnou rovnici přímy? ax + by + c = 0 by = ax c / : b (vydělit můžeme jen, dyž platí b 0 ) a c y = x b b (tohle jsme chtěli) Pro teré přímy, tento tvar nezísáme? Když b = 0 tedy přímy ax + 0y + c = 0, ax = c - přímy rovnoběžné s osou y O těch jsme u lineárních funcí nemluvili, nejde o grafy funcí Rovnici aždé přímy, terá není rovnoběžná s osou y, můžeme napsat ve tvaru y = x + Tato rovnice se nazývá směrnicový tvar rovnice přímy Číslo se nazývá směrnice přímy Význam oeficientů: : posunutí po ose y, : udává směr přímy, jde o tgϕ, de ϕ je úhel, terý svírá příma s ladnou poloosou x y=x+ y=x
Z pravoúhlého trojúhelníu je vidět, že platí: tgϕ = = Př : Je dána příma 6x + 3y 4 = 0 Najdi směrnicový tvar rovnice této přímy, urči odchylu této přímy od ladné poloosy x 6x + 3y 4 = 0 3y = 6x + 4 4 y = x + směrnice přímy = 3 tgϕ = ϕ = 6 34 Př : Napiš obecnou rovnici a směrnicový tvar rovnice přímy se směrnicí =, terá A ; prochází bodem [ ] Dosadíme do směrnicového tvaru y = x + : = + teď dosadíme bod A[ ; ] y x = + = 3 Směrnicový tvar: y = x 3 Obecná rovnice: x y 3 = 0 Př 3: Napiš ve směrnicovém tvaru rovnici přímy se směrnicí, terá prochází bodem A a ; a [ ] Směrnicový tvar: y = x + Dosadíme bod [ ; ] A a a do rovnice a dopočítáme : = a a Dosadíme do rovnice: y = x + = x + a a a = a + Rovnici y = x + a a častěji píšeme ve tvaru: y a ( x a ) směrnicového tvaru - snadno doážeme zapsat přímu, terá prochází bodem [ ; ] Přímu, terá má směrnici a prochází bodem [ ; ] ( y a ) = ( x a ) Ja to funguje? = největší výhoda A a a zapíšeme rovnicí Př 4: Ověř dosazením, že bod A[ a ; a ] vyhovuje rovnici ( y a ) ( x a ) na směrnici ( y a ) = ( x a ) (dosadíme bod [ ; ] ( a a ) = ( a a ) A a a ) A a a = bez ohledu
0 = 0 (vyjde bez ohledu na ) Dodate: Zapisování rovnic ve tvaru, terý využívá nulující se závory, je v matematice poměrně časté Pedagogicá poznáma: Přílady 3 a 4 opět ověřují správné chápání rovnic v analyticé geometrii (rozdíl mezi oeficienty a, b, c (teré se u onrétních příme liší a teré určují o terou přímu jde) a neznámými x, y (teré slouží jao připravená místa pro dosazení souřadnic bodů, jejichž vztah přímce chceme zjišťovat) Ja zapsat všechny přímy procházející daným bodem? Mají různý směr použijeme R ; y a = x a Prochází bodem A[ a a ] použijeme tvar ( ) ( ) POZOR!!! Přímu rovnoběžnou s osou y nemůžeme napsat ve směrnicovém tvaru musíme ji napsat zvlášť: x = a Př 5: Zapiš všechny přímy, teré procházejí bodem [ 3; ] Použijeme směrnicový tvar: y a ( x a ) Dosadíme bod [ 3; ] : y = ( x 3), R Ještě rovnoběža s osou y: x = 3 = R Směrnice i směrový vetor udávají směr přímy musí spolu souviset Ja? y=x+ y=x u u u u Z obrázu je vidět, že platí tgϕ = = = u Pedagogicá poznáma: Ve šole reslím pouze funci y = x + a ptám se žáů, ja mám do obrázy se souřadnicemi směrový vetor nareslit (ja si vybrat z těch neonečně mnoho možností tu nejvyhodnější) Př 6: Pomocí směrnicového tvaru napiš rovnici přímy AB, terá prochází body A [ ;3], B[ ;4 ] Nejdříve určíme směrnici pomocí směrového vetoru, pa dosadíme do tvaru pro přímu procházející bodem 3
Směrový vetor: B A = ( ;) = ( ;) Příma procházející bodem: ( y a ) ( x a ) Dosadíme bod A [ ;3] a směrnici y = x + + 3 7 y = x + u u = = = u = = : y 3 = ( x ) Dodate: Zísaná rovnice samozřejmě nezávisí na tom, terý bod použijeme pro dosazení: Dosadíme bod B[ ;4 ] : y 4 = ( x ( ) ), y 4 = ( x + ) y = x + 4 7 y = x + stejný výslede Jaý je vztah mezi směrnicemi navzájem olmých příme? Napíšeme si dvě olmice ve směrnicovém tvaru: p : y = x +, : y = x + Přepíšeme do obecného tvaru: p : x y + = 0, : x y + = 0 p ; n ; Dva vetory jsou olmé, dyž je jejich salární součin roven nule np n = ( ; )( ; ) = + ( )( ) = 0 + = 0 = = Směrnice dvou olmic jsou čísla s opačným znaménem a převrácenou absolutní hodnotou Kolmost můžeme určit z normálových vetorů: n = ( ), = ( ) Př 7: Najdi směrnicový tvar rovnice přímy, terá prochází bodem A [ ;] a je olmá na přímu y = x + Směrnice původní přímy: = směrnice olmice: Do rovnice y x = + dosadíme bod [ ;] Hledaná příma má rovnici: = = A : = + = y = x + Př 8: Petáová: strana 05/cvičení 3 4
Shrnutí: Směrnicový tvar (předpis lineární funce) umožňuje snadno zapsat přímu procházející bodem 5