Počítačová dynamika tekutin (CFD) Řešení rovnic - metoda konečných objemů -
Rozdělení parciálních diferenciálních rovnic 2 Obecná parciální diferenciální rovnice se dvěma nezávislými proměnnými x a y: v závislosti na koeficientech a, b a c lze určit typ rovnice: (b 2-4ac) > 0 typ hyperbolický. (b 2-4ac) = 0 typ parabolický. (b 2-4ac) < 0 typ eliptický. Poznámka: jestliže a, b, a c závisí na x a y, rovnice mohou být různého typu v závislosti na pozici v x-y prostoru. V tomto případě jsou rovnice smíšeného typu. Typ parabolický Typ eliptický Typ hyperbolický (nestacionární vedení tepla v rovinné desce) (Laplaceova rovnice) (vlnová rovnice)
Rozdělení parciálních diferenciálních rovnic 3 Obecně NS rovnice je smíšeného typu Prostředí Děj ustálený Děj neustálený Viskózní typ eliptický typ parabolický Nevazké (M<1) typ eliptický typ hyperbolický Nevazké (M>1) typ hyperbolický typ hyperbolický Tenká vrstva typ parabolický typ parabolický
Diskretizační přístupy 4 Metoda sítí Finite Difference Method nejstarší metoda pro diskretizaci PDR; využívá diferenciálního tvaru rovnic; aproximace derivací v uzlových bodech; užívá cca 5% komerčních řešičů Metoda konečných objemů Finite Volume Method využívá integrálního tvaru rovnic; aproximace toků přes hranice kontrolního objemu; užívá cca 80% komerčních řešičů. Metoda konečných prvků Finite Element Method podobná metodě konečných objemů, ale řešení je aproximováno po částech lineární funkcí; nejvíce užívaná při pevnostních výpočtech, málo vhodná pro turbulentní proudění; užívá cca 15% komerčních řešičů. Lattice gas/lattice Boltzmann
Metoda sítí 5 patří mezi nejstarší numerické metody postup řešení publikoval před rokem 1910 L. F. Richardson první skutečné numerické řešení: tok kolem válce (Thom,1933) Scientific American (1965): "Computer Experiments in Fluid Dynamics." F. H. Harlow and J. E. Fromm; poprvé jasně a populárně vyjádřená myšlenka computer experiments => počátek CFD Výhoda: snadné užití Nevýhoda: požadavek na jednoduché sítě A.Thom, The Flow Past Circular Cylinders at Low Speeds, Proc. Royal Society, A141, pp. 651-666, London, 1933
Metoda sítí 6 dopředná diference, 1. řád zpětná diference, 1. řád centrální diference, 2. řád centrální diference, 2. řád u centrální dopředná u i zpětná derivace i-1, j+1 i, j+1 i+1, j+1 u i 1 u i+1 i-1, j i, j i+1, j x i 1 x i+1 i-1, j-1 i, j-1 i+1, j-1 i 2 i 1 i i + 1 i + 2
7 Řešená oblast je rozdělena na konečný počet malých kontrolních objemů pomocí sítě (grid, mesh). Základní rovnice (kontinuity, pohybové, energie, transportní, ), které popisují spojité prostředí, jsou disktetizovány do soustavy algebraických rovnic.
8 Výpočetní síť - základní označení Hraniční uzel (node, vertex) Hrana (edge) Plocha stěny (face) Výpočetní uzel (centroid) Kontrolní objem, buňka (cell) Kontrolní objemy se nepřekrývají. Hodnoty složek rychlosti a skalárních veličin jsou v geometrických středech kontrolních objemů, hodnoty na hranicích objemu se získávají interpolací.
9 Výpočetní síť - kontrolní objem Tok přes hranice kontrolního objemu je integrálním součtem přes čtyři (2D) nebo šest (3D) ploch kontrolního objemu. 2D NW N NE n yv, xu, W SW w P s S e E SE plochy: North, N South, S East, E West, W Front, F Back, B
10 Diskretizace rovnic (příklad 1) - transportní rovnice (konstantní hustota, laminární tok, ustálený stav, 2D) 2D N n W w P e E s yv, S xu, c c A koncentrace složky A, D D A difuzní koeficient, S S A - zdroj
Diskretizace rovnic (příklad 1) 11 Integrace transportní rovnice přes objem Aplikace Gaussovy věty
Diskretizace rovnic (příklad 1) 12 Tok napříč kontrolního objemu je suma přes stěny. P Aproximace plošného integrálu ze střední hodnoty na stěně. Po úpravě
Diskretizace rovnic (příklad 1) Diferenční aproximace vpřed dy n W N A n x P E A w A e A ee A s 13 2D y dy s S 1 Určení hodnot v centrech buněk nejjednodušší interpolační schéma: protiproud 1. řádu předpokládá se, že hodnota na stěně je rovná hodnotě v centru buňky ležící vlevo (proti proudu), např. dx w dxe
Diskretizace rovnic (příklad 1) 14 N C počet sousedících buněk koeficienty a jsou odlišné pro každou buňku při každé iteraci pole koncentrací je vypočítáno přepočtem c P z této rovnice iteračně pro každou buňku v řešené oblasti
Diskretizace rovnic (příklad 2) 15 Rovnice kontinuity (konstantní hustota, ustálený stav, jednosměrný tok ve směru x) : ( ) 0 x ru Diskretizace rovnice = převedení na řešitelný algebraický tvar: ( ru)d V ( ru)dx dy dz ru da rua e rua w x x V V A Au A u e P w W Prostorové interpolační schéma: protiproud 1. řádu y dz z u W dy w P dx e E x
Interpolační schémata (prostorová) φ(x) 16 Protiproudá interpolace 1. řádu (First-order upwind) Předpokládá se, že hodnota φ na stěně je rovná hodnotě v centru buňky ležící vlevo (proti proudu). Protiproudá interpolace 2. řádu (Second order upwind) Určuje hodnotu φ na stěně z hodnot v centrech dvou buněk ležící vlevo (proti proudu). Centrální diference (Central differencing) Určujeme hodnotu φ na stěně pomocí lineární interpolace mezi hodnotami ve středu sousedících buněk. Protiproudá kvadratická interpolace (QUICK) Kvadratická křivka je aproximována ze dvou uzlů ležící proti proudu (upstream) a jednoho uzlu, který leží po proudu (downstream). φ W φ W W W W φ P P w φ(x) e P w e φ(x) φp P w φ(x) φ P φ P e φ e φ e φ e φ e E E E φ E φe W P E w e interpolovaná hodnota směr toku
Interpolační schémata (prostorová) - shrnutí 17 Interpolační schémata vyšších řádů jsou více přesnější, ale méně stabilnější a výpočet trvá déle. Pro dobrou stabilitu a přesnost se často doporučuje začít výpočet s first order upwind a po cca 100 iteracích přepnout na second order upwind. Centrální diferenční schéma by mělo být užíváno krátkodobých výpočtech při dostatečně jemné výpočetní síti, při které je hodnota Pecletova čísla vždy menší než jedna. Pecletovo číslo je poměr mezi konvektivním a difuzním transportem: Pe = ρul D Lineární interpolace nemůže být použita při proudění s velkou vířivostí. QUICK interpolace je velmi přesná, ale v oblastech s velkými gradienty může způsobit problémy se stabilitou výpočtu.
Interpolační schémata (příklad) 18 Protiproudé 1. řádu 100 ºC Protiproudé 2. řádu 100 ºC 8 x 8 0 ºC 0 ºC 100 ºC 100 ºC 64 x 64 0 ºC 0 ºC zdroj: www.bakker.org