Tivium z optiky 7 1 Vlnění V této kapitole shnujeme základní pojmy a poznatky o vlnění na přímce a v postou Odvolávat se na ně budeme často v kapitolách následujících věnujte poto vyložené látce náležitou pozonost a podle potřeby se k uvedeným pojmům vacejte i během dalšího studia 11 Vlnění na přímce 1 Polaizace příčného vlnění 13 Monochomatická vlna 14 Jednoozměná vlnová ovnice 15 Skládání vlnění 16 Dispeze 17 Tojozměná vlnová ovnice 18 Nejdůležitější typy postoových vln 181 Rovinné vlny 18 Kulové vlny 19 Huygensův pincip Vlnění je vnější pojev koelovaných kmitů velkého množství vázaných oscilátoů Často se jedná pouze o oscilátoy myšlené (modelové) a občas jich bývá i nekonečně mnoho Nejdůležitější příklady vlnění jsou: 1 zvuk vlny v elastickém kontinuu světlo (a elektomagnetické vlny obecně) seismické vlny povchové vlny na hladině kapaliny V pvní části této kapitoly (odstavce 11-16) se nejdříve v zájmu jednoduchosti výkladu zabýváme vlněním vázaným na přímku Mnoho věcí je ovšem možno bezpostředně zobecnit i na případ vlnění v postou kteému věnujeme odstavce 17-19 11 Vlnění na přímce Vlnění na přímce popisujeme matematicky postřednictvím skalání či vektoové unkce uxt ( ) esp uxt ( ) závisející na dvou paametech - poloze bodu na vlnící se přímce a na čase Tuto unkci obvykle nazýváme unkcí vlnovou Fyzikální význam vlnové unkce je po ůzná vlnění ůzný: zvuk - tlak (hustota) vlny v elastickém kontinuu - výchylka elementu kontinua z ovnovážné polohy světlo (a elektomagnetické vlny obecně) - elektická či magnetická intenzita (indukce) nebo vektoový a skalání potenciál seismické vlny - výchylka elementu zemského séoidu z ovnovážné polohy povchové vlny na hladině kapaliny - výchylka elementu kapaliny z ovnovážné polohy Rozlišujeme dva základní typy vlnění popsaných vektoovou vlnovou unkcí: 1 Připojit bychom mohli též i poměně exotický příklad vln gavitačních
8 Vlnění příčné - vekto uxt ( ) je po každé t a x kolmý k ose x (tj ke směu šíření vlnění) podélné - vekto uxt ( ) leží po každé t a x v ose x (je tedy ovnoběžný se směem šíření vlnění) Často se však setkáváme i s vlněními kteá mají nenulovou příčnou i podélnou složku 1 Polaizace příčného vlnění Pod polaizací příčného vlnění v zadaném bodě osy x ozumíme chování vektoové vlnové unkce uxt ( ) v tomto bodě v závislosti na čase Učujeme ji podle chaakteu pohybu koncového bodu vektou u v ovině kolmé k ose x (směu šíření vlnění) vedené zadaným bodem Rozlišujeme tyto základní typy polaizace: lineání - koncový bod vektou u vykonává kmity podél nějaké přímky kolmé k ose x kuhová - vekto u nemění svou velikost jeho koncový bod se pohybuje (ovnoměně) po kužnici eliptická - koncový bod vektou u se pohybuje po elipse Podle směu otáčení vektou u ozlišujeme pavotočivou a levotočivou kuhovou a eliptickou polaizaci V pavotočivě polaizované vlně se vekto u otáčí při pohledu ve směu šíření vlnění souhlasně s pohybem hodinových učiček v levotočivé vlně ve směu opačném Pokud vekto u mění svůj smě v ovině kolmé k ose x náhodně hovoříme o nepolaizovaném vlnění 3 Libovolně polaizované příčné vlnění můžeme vždy v zadaném bodě ozložit do dvou navzájem kolmých směů To matematicky odpovídá volbě vhodné otonomální báze e 1 a e v ovině kolmé ke směu šíření vlnění a ozkladu vlnové unkce uxt ( ) do ní uxt ( ) = u( xte ) + u( xte ) 13 Monochomatická vlna 1 1 Monochomatická vlna 4 je chaakteizována speciální závislostí vlnové unkce na postoové a časové poměnné: uxt ( ) = u cos kx ωt + ϕ nebo po vektoovou vlnovou unkci u( x t ) = u cos kx t + u cos kx t + u cos kx t + ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) ( ω ϕ ) x x y y z z kde u ( u ) je kladná konstanta (konstantní vekto) a k ω a ϕ ( ϕ x ϕ y ϕ z ) jsou konstantní paamety ( ω navíc kladný) Znaménko paametu k ozhoduje o směu šíření vlnění po k > se vlna šíří zleva dopava a po k < ve směu opačném Po jednotlivé paamety používáme obvykle následující označení: u - amplituda ( u - vektoová amplituda) Např vlnění v elastickém kontinuu či cikulání vlnění na vodní hladině 3 Velmi důležitým příkladem nepolaizovaného vlnění je světlo pocházející z příodních zdojů (Slunce hvězdy ap) 4 Světlo o zadané ekvenci (vlnové délce) má přesně deinovanou bavu Je tedy jednobaevné neboli monochomatické Poto i obecné vlny s přesně zadanou ekvencí (vlnovou délkou) nazýváme monochomatickými
Tivium z optiky 9 k - vlnové číslo ("vlnový vekto") ω - kuhová ekvence ϕ - ázové posunutí Komě těchto paametů používáme k popisu monochomatické vlny též: vlnovou délku λ= π/ k ekvenci = ω/π peiodu T = 1/ = π/ ω Další často používaná vyjádření monochomatické vlny jsou (po jednoduchost je uvádíme jen po skalání vlnovou unkci) uxt ( ) = u sin kx ωt + ϕ ( ω ) = C uxt ( ) e i kx t V posledním vztahu je C obecně komplexní číslo a v jeho ázi je zahnuto i ázové posunutí ϕ Předpokládá se ovšem že po povedení výpočtů přejdeme nakonec k eálné či imaginání části výazu 14 Jednoozměná vlnová ovnice Vlnová unkce odpovídající obecnému vlnění na přímce splňuje tzv jednoozměnou vlnovou ovnici 5 (uvádíme po jednoduchost jen po skalání vlnovou unkci) u x 1 u = t v kde v je kladný paamet chaakteizující postředí v němž se vlnění šíří Nazývá se obvykle ázová ychlost vlnění Monochomatická vlnová unkce splňuje vlnovou ovnici za předpokladu v = ω/ k Úhlová ekvence a vlnové číslo monochomatické vlny nejsou tedy nezávislé paamety Jejich vzájemný vztah učuje postředí 6 v němž se vlna šíří 5 S vlnovou ovnicí (zejména s její tojozměnou vezí kteou pobíáme dále) se setkáváme v mnoha oboech yziky Všude kde se vyskytuje vlnění je možno pohybové ovnice (např pohybové ovnice po tekutiny elastická kontinua nebo Maxwellovy ovnice po elektomagnetické pole) převést po jistých úpavách na ovnici vlnovou 6 Zde jednoozměné platí ale též po tojozměný případ
1 Vlnění 15 Skládání vlnění Vlnová ovnice je lineání To znamená že jsou-li u1( x t ) a u( x t ) dvě její řešení je jejím řešením i jejich libovolná lineání kombinace 7 Speciálně je řešením této ovnice i součet uxt ( ) = u( xt ) + u( xt ) 1 Vlnové unkce můžeme tedy sčítat Obvykle pak hovoříme o skládání vlnění Velmi důležitým důsledkem lineaity vlnové ovnice je tvzení že obecnou vlnovou unkci můžeme zapsat jako lineání kombinaci konečného či nekonečného (nebo dokonce nespočetného) počtu vln monochomatických ( ω ϕ ) uxt ( ) = Acos kx t + n n n n n kde sčítací index n nabývá hodnot 1 N (N je přiozené číslo) po konečnou lineání kombinaci nebo hodnot 1 + po nekonečný počet monochomatických složek V případě nespočetné lineání kombinace musíme ovšem použít integálu: + ( ω ϕ ) uxt ( ) = Ak cos kx ( kt ) + ( k) dk v němž explicitně naznačujeme závislost úhlové ekvence ω na vlnovém čísle k (viz odstavec 14) Konstanty A n a Ak jsou amplitudy jednotlivých monochomatických složek a udávají míu se kteou jsou tyto složky ve výsledné vlně zastoupeny 16 Dispeze Fázová ychlost monochomatické vlny může záviset na její ekvenci (vlnové délce vlnovém čísle) V takovém případě říkáme že se vlnění šíří dispezním postředím Pokud vlnová délka neovlivňuje ázovou ychlost monochomatické vlny hovoříme o vlnění v nedispezním postředí Závislost ázové ychlosti na ekvenci nazýváme obecně dispezí Po nemonochomatické vlnění ztácí pojem ázové ychlosti v dispezním postředím smysl neboť každé monochomatické složce v této vlně zastoupené odpovídá odlišná hodnota ázové ychlosti 8 Liší-li se však ekvence jednotlivých monochomatických složek jen málo od jisté střední hodnoty ω ω( k ) např je-li unkce A(k) ve výše uvedené integální lineání kombinaci ostře lokalizována na malém okolí bodu k (viz obázek) je možno ukázat že se tato téměř monochomatická vlna šíří tzv gupovou ychlostí v = dω/ dk g 7 Platí pochopitelně i po vektoové vlnové unkce 8 V nedispezním postředí mají naopak všechny monochomatické vlny stejnou ázovou ychlost a poto se toutéž ázovou ychlostí šíří i obecná nemonochomatická vlna
Tivium z optiky 11 17 Tojozměná vlnová ovnice V tomto a v dalších odstavcích ozšiřujeme výklad odstavců předchozích na obecnější případ vlnění v postou Potože většinu dříve zavedených pojmů je možno bezezbytku použít i v obecném tojozměném případě omezujeme se dále jen na odlišnosti od jednoozměného případu Vlnová unkce u ( t ) esp u ( t) je po vlnění v postou unkcí čtyř eálných poměnných - tří postoových souřadnic a času Podobně jako v jednoozměném případě se řídí vlnovou ovnicí a to jen málo odlišného tvau (opět ji uvádíme po jednoduchost pouze po skalání vlnovou unkci) 1 u u = t kde v opět označuje ázovou ychlost vlnění a je Laplaceův opeáto 9 v 18 Nejdůležitější typy postoových vln Obecná vlnová unkce může mít po vlnění v postou jako unkce více poměnných poměně komplikovanou stuktuu Nejčastěji poto pacujeme se speciálními typy postoových vln vlnami ovinnými vlnami kulovými vlnami válcovými V následujícím pobeeme stučně pvní dva typy postoových vln 181 Rovinné vlny Vlnová unkce 1 má po ovinnou vlnu tva = Un ( v t) kde U je nějaká eálná unkce jedné eálné poměnné n zadaný vekto jednotkové délky a v ázová ychlost (vyskytující se ve vlnové ovnici) Ověřte že takto zvolená vlnová unkce splňuje tojozměnou vlnovou ovnici Vlnoplochy 11 jsou po ovinnou vlnu popsány ovnicí n v t = konst Po zadaný čas t se jedná o nomálovou ovnici oviny v postou Odtud tedy název ovinné vlny Vekto n je nomálovým vektoem této oviny a navíc udává smě jejího pohybu v postou bude-li se čas měnit Vekto n tedy zadává smě šíření ovinné vlny postoem Speciálním typem ovinných vln jsou ovinné monochomatické vlny 1 = u cos k ωt + ϕ 9 + + x y z 1 I v tomto odstavci pacujeme po jednoduchost s unkcemi skaláními 11 Množiny bodů v postou na nichž vlnová unkce u nabývá konstantní hodnoty 1 Ověřte že deinice ovinné monochomatické vlny neodpouje deinici obecné ovinné vlny uvedené výše
1 Vlnění Význam použitých symbolů je stejný jako v případě monochomatických vln na přímce pouze vlnové číslo se změnilo na vlnový vekto k V platnosti zůstávají i vztahy 13 λ= π/ k a v = ω/ k Vlnovou unkci po ovinné monochomatické vlny často zapisujeme v ekvivalentních tvaech = u sin k ωt + ψ 18 Kulové vlny i( k ωt) = Ce Vlnová unkce nabývá po kulovou vlnu se středem v počátku souřadnic tva 14 U ( ± v t) = kde U je nějaká eálná unkce jedné eálné poměnné v ázová ychlost z vlnové ovnice a = 15 Znaménko + odpovídá tzv sbíhavé (konvegentní) kulové vlně kteá se šíří z postoového nekonečna do počátku souřadnic znaménko vlně ozbíhavé (divegentní) Kulové monochomatické vlny zadáváme ovnicemi 16 ( ± ω + ϕ) u cos k t = u sin ( k ± ωt + ψ) = i( k±ωt) Ce = v nichž je paamet k (velikost vlnového vektou) kladný a platí 19 Huygensův pincip λ= π/k a v = ω/k Každý bod do něhož dospěla v čase t vybaná vlnoplocha se stává sám zdojem elementáního ozuchu kteý se kolem něj dále šíří ve omě elementáních vlnoploch (v homogenním postředí kulových) Výslednou vlnoplochu v čase t + t získáme jako vnější obálku těchto elementáních vlnoploch Huygensův pincip říká jak ze znalosti ozložení vlnoploch v postou v zadaném čase konstuovat vlnoplochy v časech budoucích Je vlastně slovním vyjádřením řešení vlnové ovnice V připojeném obázku naznačujeme konstukci budoucí vlnoplochy po homogenní a izotopní postředí 13 Po k [ k k k ] je k k + k + k x y z x y z 14 Ověřte že tato vlnová unkce vyhovuje tojozměné vlnové ovnici Všimněte si též aktou ve jmenovateli Bez něj by uvedená vlnová unkce vlnovou ovnici nesplňovala! 15 x + y + z 16 I zde ověřte soulad deinic obecné a monochomatické kulové vlny