Numercké výpočty ve světovém geodetckém referenčním systému 984 (WGS84) prof. Mara Ivanovna Jurkna, DrSc. CNIIGAK, Moskva prof. Ing. Mloš Pck, DrSc. Geofyzkální ústav ČAV, Praha Vojenský geografcký obzor, 6, č. Příloha
OBSAH Úvod.... Světový geodetcký referenční systém 984 (WGS84).... Odvozené geometrcké parametry WGS84... 4. Volba proměnného bodu... 5. Tíhový potencál... 9 4. Střední ntegrální hodnota tíže... Závěr... 4 Lteratura... 5 Abstract... 5 SEZNAM TABULEK. Základní parametry systému WGS84. Odvozené parametry systému WGS84. Hodnoty členů vztažených k bodu P (ϕ, λ, H = ) 4. Hodnoty bodů vztažených k bodu P (ϕ, λ, H = ) 5. Výpočet normálního tíhového potencálu a normálního tíhového zrychlení 6. Výpočet normální tíže a tíhového potencálu podle Pzzettho 7. Koefcenty pro výpočet normální tíže
Úvod V současné době přecházíme na nový světový geodetcký referenční systém 984 (World Geodetc System 984, WGS84). Starší generace byla zvyklá používat klascká zobrazení, ať jž šlo o Křováka, č o Gausse-Krügera (dnes se tomu říká Unversal Transversal Mercator (UTM) ). Pro starší generac geodetů to přnáší zcela nový pohled na základy geodéze. Systém WGS84 není defnován po staru geometrcky, ale fyzkálně. Jako normální zemské těleso byl podle Pzzettho zvolen hladnový rotační elpsod, jehož základní parametry, velkost, tvar, hmotnost a rychlost rotace, byly odvozeny z pozorování, zejména pak z pozorování družc. To ovšem přnáší prot klasckému pojetí geodéze řadu novnek. Dnes praktcky všechny úlohy vyšší geodéze vedou na řešení okrajových úloh z teore tíhového potencálu. Geodet s tedy musl doplnt matematcké vzdělání o parte, které se na vysokých školách v dobách ne přílš vzdálených nepřednášely. Kromě okrajových úloh šlo o funkce, které řešení umožňovaly: As od šedesátých let mnulého století jsme se musel naučt používat kulové funkce. Nedávno pak funkce hyperbolcké a hyperbolometrcké (ty byly mplementovány na stolní počtače teprve as před pět lety). Na rozdíl od vzorců klascké geodéze přnášejí dnes používané rovnce vyšší geodéze jak členy s geometrckým prvky, tak členy s prvky fyzkálním. Pro starší generac geodetů jsou tyto výrazy téměř nesrozumtelné; na rovnce nového typu pohlížejí s obavam, zda něco takového lze vůbec numercky počítat. V našem příspěvku se pokusíme o propočet příkladu v novém systému WGS84. Ke sledování budeme potřebovat stolní počítač se systémem Wndows verze 98 nebo vyšší a s odpovídající verzí programu Excel.. Světový geodetcký referenční systém 984 (WGS84) Pzzett [] ukázal, že známe-l čtyř základní parametry referenčního elpsodu, můžeme z nch odvodt vše potřebné: tíhový potencál a složky tíhového pole, jakož odvozené parametry. Volba čtyř základních parametrů závsí spíše na praktckých podmínkách než teoretckých. Tato volba se párkrát měnla a dnes se používají tyto základní parametry (tab. ):. Parametr defnující rozměr referenčního elpsodu. Dnes to je velká poloosa referenčního elpsodu a. Jde o poslední geometrcký parametr. Jž delší dobu se předpokládá, že bude nahrazen jným prvkem, prvkem fyzkálním, totž hodnotou tíhového potencálu W na referenčním elpsodu. Důvodů je více, především však to, že hodnotu W lze odvozovat přímo z družcových měření a lze j v přírodě realzovat, což u hodnoty a nejde.. Parametr mající vztah ke tvaru referenční plochy. Dnes je to převrácená hodnota zploštění referenčního elpsodu /f. Tento parametr byl zvolen nedávno. Předtím se používal jný prvek, např. čtverec prvé excentrcty e, dynamcký tvarový faktor J nebo gravtační koefcent druhého stupně C,.. Parametr defnující rychlost rotace zemského tělesa ω. ) Jak je vdět, anglčtna vládne všude. Ještě před pár lety se říkalo, že naš reformátoř nosí beranc, když v Moskvě mrzne, dnes je všechno jnak. Zdá se, že v některých našch geodetckých nsttucích zaměstnávají meteorologa, aby včas věděl, jak fouká vítr.
4. Parametr defnující hmotnost referenčního tělesa M a gravtační konstantu G, což je geocentrcká gravtační konstanta GM. Tabulka Základní parametry systému WGS84 Název Symbol Hodnota Rozměr Velká poloosa a 6 78 7 m Převrácená hodnota zploštění /f 98,57 56 Úhlová rychlost rotace Země ω 7,9 5 5 rad/s Zemská gravtační konstanta (vlv hmoty atmosféry započítán) GM,986 4 48 4 m s. Odvozené geometrcké parametry WGS84 Základní parametry systému nestačí na všechny numercké výpočty geodetckých úloh. Proto z nch odvodíme další hodnoty. Přtom se budeme řídt zásadou, že základní parametry byly stanoveny zcela přesně (to znamená, že za hodnotam uvedeným v tab. následují samé nuly) a odvozené parametry z nch vypočteme na tolk desetnných míst, kolk budeme pro naše účely potřebovat. Ve světové lteratuře bylo odvozeno několk postupů dalšího zpracování. My se zde přdržíme Moloděnského postupu [, ]. Další metody metoda Pzzettho, Mortze a Heskanena, Hrvonena, Hotna a dalších byly podrobně popsány např. v prác [4]. Čtverec prvé excentrcty e určíme ze vztahu e = f f, () kde f =. ( f ) Čtverec druhé excentrcty (e ) je dán rovncí e ( e ) =. () e Pro čtverec lneární excentrcty E platí E = a b, () kde hodnotu malé poloosy b dostaneme z výrazu b = a ( f ). (4) Starší defnce Pzzettho referenčního elpsodu používala ještě gravtační koefcent druhého stupně C,, respektve dynamcký tvarový faktor J = 5 C,. Pro jejch vzájemné vztahy [5] platí rovnce C = 5, (5) J, J ω a e = e, 5 GM q 4
kde q = + ( e ) arctan ( e ) e. Tabulka Odvozené parametry systému WGS84 Člen Hodnota Rozměr Rovnce f, 5 8 664 747 48 e,6 694 79 99 4 7 () e,8 89 9 84 6 5 (e ),6 79 496 74 76 45 () e,8 94 47 949 695 7 E 7 66 7,554 76 97 m () E 5 854,8 4 85 m b 6 56 75,4 45 79 497 564 m (4) C, 4,84 667 749 599 4 4 (5) J,8 69 8 57 8 (6) q 7,4 65 786 75 7 5. Volba proměnného bodu Pro numercká řešení geodetckých úloh s zvolíme nějaký proměnný bod P(ϕ, λ, H) ležící vně referenčního elpsodu. Zeměpsné souřadnce (ϕ, λ) volíme v prostoru České republky, za nadmořskou výšku H volíme hodnotu dostatečně velkou, aby se případné vlvy projevly výrazným způsobem. Nechť tedy je: ϕ = 5, λ = 5, H = m. (7) Pro kartézské souřadnce (x, y, z) bodu P(ϕ, λ, H) platí x = ( N + H ) cosϕ cosλ, (8) y = N + H cosϕ sn, ( ) λ [ N( e ) H ] snϕ z = +, kde N je poloměr křvost referenčního elpsodu v prvém vertkálu: N = a e sn ϕ. (9) V teor zemského tíhového pole se užívá elptcký souřadncový systém. Podle Moloděnského tedy přejdeme od kartézských souřadnc (x, y, z) k elptckému souřadncovému systému (u, v, w). Bude x = E snu cosv cosh w, () y = E sn u sn v cosh w, z = E cosu snh w. Souřadnce (x, y, z) mohou být vypočteny pomocí rovnc (7) a (8). Odpovídající hodnoty (u, v, w) dostaneme pomocí rovnc (). Předně platí v = L. K určení souřadnc u a w tak máme dvě rovnce 5
Můžeme položt Potom bude p = xcos v + ysn v = E snu cosh w, () z = E cosu snh w. sn u = d, snh w = f. = ( d ) /, cosh w ( + snh w) / = ( + f ) / cosu = (a) Současným řešením rovnc dostaneme Ed + f =, () ( ) p ( d ) / f z Ed =. () Z rovnce () dostáváme z f = E ( d ) takže z rovnce () odvodíme ) 4 E d ( E + z + p ) d + p =. Dále pak ) = E + z + p ± ( E + z + p ) 4E p d E, (4) u = arcsn d, (5) / z f = ( ) 4 E + z + p ± E + z + p E p E E. (6) Pokud platí a b cosh w =, snh w =, E E (7) pak elpsod w = w je totožný s referenčním elpsodem pro H = ; bude tedy p = asn u, z = bcosu (8) a dále x = asnu cosv, (9) y = asn u sn v, z = bcosu, E + p + z = E + a sn u + b cos u = a + E sn u, ( E p + z ) 4E p = ( a E sn u ) +, [ ] / 4 4 4 a + E sn u ± a + E sn u E a u = b cosu f = E E sn () ) Z rovnc () a () jsme sestavl bkvadratckou rovnc pro neznámou d a tu řešl obvyklým způsobem jako kvadratckou rovnc pro d. ) Jný přístup k řešení této úlohy v Pzzettho systému nalezneme ve stat 4, rovnce (4). Numercké výsledky v tabulce 4 a v tabulce 6 jsou pochoptelně stejné. 6
bcosu = b + cos u a E sn u a E sn u = E E E bcosu / bcosu / b = { u } = { u} sn = E E cos. E V rovncích (4) a (6) musíme zvolt znaménko mnus. Legendrův polynom prvého druhu druhého stupně pro H = je P ( cosu ) = cos u. () Lamého koefcenty převádějící změny v souřadncích (u, v, w) na změny v kartézských souřadncích (x, y, z) budou = r k E ( cosh w sn u) / x h = ; r k = u, v, w ; x = x, y, z. () k h u =, () h v = E sn u cosh w, ( cosh w sn u) h w = E. Tabulka Hodnoty členů vztažených k bodu P (ϕ, λ, H = ) Člen Hodnota Rozměr Rovnce a 6 78 7 m b 6 56 75,4 45 8 m (4) e,6 694 79 99 4 () ϕ 5 (7) λ 5 (7) N 6 9 7,44 94 69 m (9) H m (7) p 4 7 864,9 6 78 m () u,699 785 89 896 65 rad (8) x 967 89,6 58 m (9) y 6 9,46 497 7 m (9) z 4 86 789,7 76 4 m (9) cosh w, 7 49 69 7 (7) snh w,8 9 6 8 (7) P (cos u ),77 79 86 5 868 () w,94 7 84 499 7 (6) h u, 6 69 75, 5 69 m () h v, 4 7 864,9 6 78 m () 7
Tabulka 4 Hodnoty členů vztažených k bodu P(ϕ, λ, H = ) Člen Hodnota Rozměr Rovnce ϕ 5 (7) λ 5 (7) H m (7) x 974,868 5 m (7) y 64 857,8 5 5 m (7) z 4 87 449,48 7 6 m (7) u,699 785 886 8 48 rad (5) p 4,4 9 967 65 m () P,77 79 84 4 (6) cosh w,4 96 66 8 (a) snh w, 8 68 6 4 (a) w,96 8 6 7 95 6 h u 6 79 69,46 955 7 m () h v 4 4 9,967 7 m () Tabulka 5 Výpočet normálního tíhového potencálu a normálního tíhového zrychlení Člen Hodnota Rozměr Rovnce m,466 95 57 46 4 (5) P (cos u),77 79 84 8 (6) W 6 466 779,78 8 m s (8) W 7,469 55859 m s (9) W 45 5,6768 6 m s () W 6 58 898,756 45 m s (7) h u 6 79 69,46 955 68 m () h v 4 4 9,967 65 m () h w dw 9,78 4 59 96 9 m s (5) h w dw, 744 59 667 49 m s (6) h w dw,4 6 86 4 48 7 m s (7) W w 9,779 9 65 8 94 m s (8) h w du,675 9 559 7 78 m s (9) du,66 85 9 6 85 m s (4) W u,7 6 894 9 57 4 m s (8) h u γ (P) 9,779 9 66 696 74 m s () 8
. Tíhový potencál Tíhový potencál W(P) v bodě P(ϕ, λ, H) počítáme podle Moloděnského pomocí vzorce GM ω a W ( P) = arc cot snhw + [( snh w + ) arccot snhw snh w] P ( cosu)+ (5) E m ω + E sn u cosh w, b E b m = tan E + arc, b E kde P (cos u) je Legendrův polynom prvého druhu druhého stupně (6) P ( cosu) = cos u. (6) K numerckému výpočtu rovnce (4): Hyperbolometrcké funkce arc cot x nejsou na počítačích mplementovány. Počítají se tedy pro x = snh w jako arc tan (/snh w). Rovnc (4) s formálně přepíšeme do tvaru W = W + W + W, (7) kde GM W = arccot snhw, (8) E a W = ω [( snh w + ) arccot snh w snh w] P ( cosu), (9) m ω W = E sn u cosh w. () Prvé dervace normálního tíhového potencálu γ (P) budeme psát takto: W ( ) ( W hu u ) γ P = +, () hw W W hw W kde W GM ω a 6snh w + 4 = + 6snh w cosh w arc cot snh w P ( cosu)+ () w E cosh w m cosh w ( P( cosu) ) + ω E snh w cosh w, W ω a = ω E cosh wsn u cosu [( snh w + ) arccot snh w snh w] sn( u). () u m Rovnc () podobně jako v předchozím přepíšeme na tvar W = dw + dw + dw, (4) h w h h h w w w w 9
kde GM W = dw =, (5) h h E cosh w w w ω a 6snh w + 4 W = dw = 6snh w cosh w arc cot snh w P ( cosu), hw hw m cosh w (6) W = dw = ω E snh w cosh w ( P ( cosu) ). hw hw (7) Stejně upravíme rovnc (). Bude W = du + du, hu u hu hu (8) kde du = ω E cosh wsn u cosu, h h (9) u u ω a du = ( snh w + ) arccot snh w u hu m [ snh w] sn( u). (4) h Laméovy koefcenty h u, h v jsme jž odvodl dříve v rovncích () a (). Vypočetl jsme tak hodnotu tíhového potencálu W a jeho dervac ve směru normály γ podle rovnc (4) a (). Numercké hodnoty příslušných členů nalezneme v tab. 5. 4. Střední ntegrální hodnota tíže Hodnotu tíže určíme dervováním rovnce (4) ve směru normály k referenčnímu elpsodu. K tomu účelu s rovnc (4) přepíšeme podle Pzzettho do pohodlnějšího tvaru [7]. Podle Pzzettho jsme přešl do systému ortogonálních elptckých souřadnc (s, u, v). Přtom hodnota s má vztah k nadmořským výškám, hodnota u je redukovaná šířka a v je zeměpsná délka bodu. (V Pzzettho úpravě se místo doplňku redukované šířky u používá přímo redukovaná šířka β. Podle toho jsou upraveny rovnce z práce [7].) Souřadnce bodu P tedy v tomto systému určují vztahy x = a cosu cosλ, (4) y = a cosu sn λ, x = b snu ; u je doplněk redukované šířky. Její hodnotu určíme z rovnc (4): cos u = r a, sn u = z b, (4) r = x + y. Dále pak vypočteme pomocnou velčnu Q, pro níž platí ( b ) + u ( a ) Q = sn u cos ; (4) pro Laméovy koefcenty dostáváme h s = ( xk s) k =
a podobně pro hodnoty h u a h λ ; tyto koefcenty jsou defnovány v takto stanoveném systému rovncem h s = Q, h u = a b Q, hλ = a cosu. (44) Tíhový potencál W bude v Pzzettho pojetí popsán rovncí ( ) ( ) ( b ) b W P = α + β A α B B C + C + ( ) ( ) r b C (45) a a čl symbolcky W = W a + W b. (46) Konstanty α a β určují vztahy ω α =, (47) [ B ( b a ) C] β = GM α, (48) hodnoty elptckých ntegrálů A, B, C a B, C jsou A = E arctan E b, (49) ( ) [ ( E b ) b E ( ) ] B = E arctan a, [ E b ( E b )], [ ( E b) b E ] C = E arctan B = E arctan a, [ E b arctan( E b) ] C = E. Rovnc (45) budeme dervovat ve směru normály. Bude W γ ( P) = hs u ( ) ( ) P W P W ( P) [ W ( P) h ] + u u + s h u h s [ W ( P) h s] = g = ( g + g ) +. ( g + g ) Hlavní člen rovnce (5) pšme ve tvaru W ( P) α b β = ( B B ) sn u + C C C sn u = g + g hs s Q a. (5) ( a ) b Q Opravný člen W ( P) α a sn( u) ( b ) b = B B C + C = g (5) h u u b Q ( a ) a můžeme zpravdla zanedbat. Po dosazení vztahů (5) a (5) do rovnce (5) dostaneme řadu (vz [7]) γ γ γ γ = γ + H + H + H +..., (5) H! H! H s s (5)
kde Platí tedy γ = n H k = γ k n = k = sn k ϕ. (54) k γ ( P) = γ k sn ϕ H. (55)! Tabulka 6 Výpočet normální tíže a tíhového potencálu podle Pzzettho Velčna Hodnota Rozměr Rovnce x 974,868 5 m (4) y 64 857,8 5 5 m (4) z 4 87 449,48 7 6 m (4) u,699 785 886 8 94 rad (4) Q,567 586 4 77 59 7 /m (4) h s 7,87 9 76 87 9 8 /m (44) h u 6,75 6 46 8 649 99 6 m (44) A,4 5 59 79 9 7 /m (49) B,56 487 78 95 8 /m (49) C,57 8 6 744 9 /m (49) B,574 55 6 57 44 /m (49) C,584 946 74 466 87 /m (49) α,847 74 56 59 4 m s (47) β 5,7 58 5 5 6 m s (48) W a,6 667 67 676 8 8 m s (46) W b 4, 786 5 54 8 7 m s (46) W 6 58 898,7 564 5 7 m s (46) g,587 955 568 8 Gal (5) g,88 7 85 Gal (5) g,7 6 888 756 6 4 Gal (5) γ 9,779 9 66 488 95 Gal (5) γ 9,795 Gal (57) γ 9,795 Gal (59)
Tabulka 7 Koefcenty pro výpočet normální tíže Velčna Hodnota Rozměr Rovnce γ 9,795 Gal (57) γ 9,795 Gal (59) γ = n k = γ s γ k γ 9,78 5 5 94 5 Gal γ 5,6 75 455 8 57 Gal γ,76 57 669 89 5 4 Gal γ,4 45 4 746 8 6 Gal γ 4 7,4 7 59 4 84 9 Gal γ 5 4,7 57 4 46 4 Gal γ +,87 797 667 955 7 6 Gal γ 4,89 84 58 64 9 Gal γ,996 46 49 5 7 Gal γ,45 44 9 Gal γ +4,69 78 5 544 5 Gal γ 4,45 78 5 77 7 8 Gal γ +4,48 6 44 9 Gal γ +9,7 67 4 8 9 Gal γ 7,5 4 9 9 6 Gal γ +,54 85 6 Gal γ 4 +7,66 47 49 99 77 Gal γ 4 +6,656 6 55 Gal γ pro ϕ = 5 γ 9,8 7 5 6 Gal γ +,85 4 74 948 4 6 Gal γ 7,5 875 7 8 Gal γ +,55 84 69 86 9 Gal 6 γ +,4 86 749 75 9 Gal 4 4 k k
Hodnoty koefcentů γ γ k γ k = řady (55) jejch částečné součty ϕ sn pro H! H zeměpsnou šířku ϕ = 5 nalezneme v tab. 7. Jako příklad výpočtu normálního tíhového zrychlení γ pro známou výšku H = m a zeměpsnou šířku ϕ = 5 podle rovnce (5) uvádíme ϕ = 5, H = m, γ = 9,779 9 66 488 95 Gal. Střední ntegrální hodnotu tíže 4) počítanou pro spojnc normále k referenčnímu elpsodu H γ = P P γ dh H H = jsme určoval dvojím způsobem: Jednak přímo podle rovnce (56). Vzdálenost P P bodů P (H = ) a P(H), ležící na téže P P = m jsme rozděll na n = dílků. Pak podle lchoběžníkové metody vyčíslení ntegrálu ([6], str. 6) jsme dostal 99 γ = n + + h n γ γ γ ; (57) n= h = m, hodnotu γ pro výšku H jsme pak počítal podle rovnce (5). Dostal jsme γ = 9,795 Gal. Podle druhé metody jsme přímo ntegroval rovnc (5): Z výsledku γ = γ = H 4 H H = = 4! = n γ H γ dh dh vyplynulo, že γ = 9,795 Gal. (6) (56) (58) (59) Závěr Práce pojednává o numerckých výpočtech v geodetckých systémech typu WGS84. Konkrétně byly použty základní parametry tohoto systému a z nch odvozeny vedlejší parametry. Další výpočty byly provedeny pro zvolený bod P(ϕ = 5, λ = 5, H = m). K ověření výsledků je třeba mít počítač se systémem Wndows verze 98 nebo vyšší a s odpovídající verzí programu Excel. 4) Numercká hodnota tíže (síly) a tíhového zrychlení je př nám dané volbě jednotek stejná, lší se jen rozměrem, síla se měří v jednotkách kg m s, zrychlení v jednotkách m s. 4
Lteratura [] PIZZETTI, P.: Prncp della teora meccanca della fgura de panet. Psa : Enrco Spoerr, 9. [] JEREMEJEV, V. F. a JURKINA, M. I.: Teorja vysot v gravtaconnom pole Zeml. Moskva : CNIIGAK, GIGK, Nedra, 97. Něm. překlad: Theore der Hőhen n Gravtatonsfeld der Erde. Arbeten aus dem Vermessungs- und Kartenwesen der DDR,, 974, S. 84. [] MOLODĚNSKIJ, M. S., JEREMEJEV, V. F. a JURKINA, M. I.: Metody zučenja vnešnego gravtaconnogo polja fgury Zeml. Trudy CNIIGAK, vyp., 96, s. 5. (Moskva : Geodezzdat). [4] JURKINA, M. I. a PICK, M.: K přechodu na nový světový geodetcký systém WGS84. Geodetcký a kartografcký obzor, 5/9, 4, č., s. 4 45. [5] MORITZ, H.: Geodetc reference system 967. Publcaton spécalle du Bulletn Géodésque, UGGI, AIG, 967. Vz též: The Geodetc Reference System 967. Allgemene Vermessungs-Nachrchten, 75, 968, no, S. 7. [6] BRONŠTEJN, I. N. a SEMENDJAJEV, K. A.: Spravočnk po matematke dlja nženerov učaščchsja vtuzov. 8. zd. Moskva : Gos. zd. fzko-matemat. lt., 959. 68 s. Něm. překlad: Taschenbuch der Mathematk. 7. Aufl. Lepzg : Teubner, 977. [7] PICK, M.: On the Normal Gravty Formulae. Studa geophysca et geodaetca, 4, 99, no. 4, p. 89. ABSTRACT The presented paper deals wth the numercal calculatons n the geodetc systems of such a type as WGS84.As a concrete case, the numercal values of the basc parameters of system WGS84 were used. The followng analyss was carred out for the chosen pont P(ϕ = 5, λ = 5, H = m). The results can be proved on the computer wth WINDOWS 98 or better and accordng to the program EXCEL. 5