Diplomová práce Matematické základy v popisu tíhového pole Země

Transkript

1 Západočeská unverzta v Plzn Fakulta aplkovaných věd Katedra matematky Dplomová práce Matematcké základy v popsu tíhového pole Země Plzeň, 006 Jtka Hájková

2

3

4 Abstrakt Tato práce shrnuje základní matematcké postupy používané v geodéz př popsu tíhového pole Země. Matematcké modely jsou dskutovány nejprve obecně za předpokladu deálních vstupních dat, pozděj na pozadí dostupných tíhových dat. Práce se zaměřuje především na pops globální složky tíhového pole Země metodou spektrálního rozkladu a na řešení rezduální složky tíhového pole pomocí hrančních ntegrálů. Jsou zde popsány některé problémy, které se vyskytují př řešení tíhového pole Země a jeho základní hladnové plochy geodu. Práce popsuje také dostupná tíhová data, možnost jejch měření (gravmetre, gradometre) a klady a zápory jednotlvých typů měření. Klíčová slova geod, referenční elpsod, tíhový potencál, tíhová porucha, tíhová anomále, Laplaceova dferencální rovnce, harmoncká funkce, sfércká harmoncká řada, Stokesovy koefcenty, gravmetre, gradometre, Abel-Possonův ntegrál, Greenův ntegrál, Hotnova funkce, Stokesova funkce, Moloděnského úloha

5 Abstract Ths thess descrbes basc mathematcal methods used n geodesy for descrpton of the Earth's gravty feld. Mathematcal models are frst dscussed generally for deal nput data, then on the background of avalable gravty data. The thess deals especally wth descrpton of the global part of the gravty feld by methods of spectral decomposton and wth soluton of the resdual part of the gravty feld by boundary ntegral equatons. Basc problems n the soluton of the gravty feld parametres and of the geod are descrbed n ths thess. Avalable gravty data, ther observaton technques (gravmetry, gradometry) and advantages/dsadvantages of partcular data types are also dscussed. Keywords geod, reference ellpsod, gravty potental, gravty dsturbance, gravty anomaly, Laplace's dfferental equaton, harmonc functon, sphercal harmonc seres, Stokes's coeffcents, gravmetry, gradometry, Abel-Posson's ntegral, Green's ntegral, Hotne's functon, Stokes's functon, Molodensky's formula

6 Prohlášení Předkládám tímto k posouzení a obhajobě dplomovou prác zpracovanou na závěr studa na Fakultě aplkovaných věd Západočeské unverzty v Plzn. Prohlašuj, že jsem předloženou dplomovou prác vypracovala samostatně s použtím uvedené odborné lteratury a zdrojů nformací. V Plzn dne

7 Poděkování Tímto bych chtěla poděkovat vedoucímu dplomové práce Doc. Ing. Pavlu Novákov, Ph.D. za metodcké vedení a věcné přpomínky př zpracování dplomové práce. Děkuj také za poskytnutí odborné lteratury a odborných textů použtých př zpracování dplomové práce.

8 Obsah SEZNAM OBRÁZKŮ... 9 SEZNAM TABULEK... 9 PŘEHLED ZKRATEK A POUŽITÉHO ZNAČENÍ ÚVOD... 1 ZEMĚ REFERENČNÍ PLOCHY SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY GEOCENTRICKÝ ZEMSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM GEOCENTRICKÝ GEODETICKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM TYPY SOUŘADNIC GEODETICKÝ REFERENČNÍ SYSTÉM 1980 (GRS 80)....4 TYPY GEODETICKÝCH VÝŠEK TRANSFORMACE VÝŠEK ZÁKLADY TEORIE TÍHOVÉHO POLE ZEMĚ SKUTEČNÉ TÍHOVÉ POLE ZEMĚ POTENCIÁL SKUTEČNÉHO TÍHOVÉHO POLE ZEMĚ REPREZENTACE GRAVITAČNÍHO POTENCIÁLU METODOU SPEKTRÁLNÍHO ROZKLADU TÍHOVÉ POLE REFERENČNÍHO ELIPSOIDU (NORMÁLNÍ TÍHOVÉ POLE) POTENCIÁL NORMÁLNÍHO TÍHOVÉHO POLE REPREZENTACE NORMÁLNÍHO TÍHOVÉHO POTENCIÁLU METODOU SPEKTRÁLNÍHO ROZKLADU PORUCHOVÉ TÍHOVÉ POLE JAKÁ TÍHOVÁ DATA JE MOŽNÉ MĚŘIT GRAVIMETRIE DRUŽICOVÁ GRAVIMETRIE GRADIOMETRIE DRUŽICOVÁ GRADIOMETRIE GOCE DRUŽICOVÁ ALTIMETRIE MATEMATICKÉ METODY ŘEŠENÍ DIRICHLETOVA ÚLOHA POUŽITELNÉ OKRAJOVÉ PODMÍNKY PRO PORUCHOVÝ TÍHOVÝ POTENCIÁL URČENÍ OKRAJOVÉ PODMÍNKY POMOCÍ TÍHOVÉ PORUCHY URČENÍ OKRAJOVÉ PODMÍNKY POMOCÍ TÍHOVÉ ANOMÁLIE ŘEŠENÍ DIRICHLETOVY ÚLOHY

9 5.4 VYUŽITÍ DIRICHLETOVY ÚLOHY PŘI POPISU TÍHOVÉHO POLE ŘEŠENÍ INVERZNÍ DIRICHLETOVY ÚLOHY DVOUKROKOVÉ ŘEŠENÍ PORUCHOVÉHO TÍHOVÉHO POTENCIÁLU ŘEŠENÍ POMOCÍ TÍHOVÉ PORUCHY ŘEŠENÍ POMOCÍ TÍHOVÉ ANOMÁLIE BRUNSŮV TEORÉM MOLODĚNSKÉHO ÚLOHA UKÁZKA VÝPOČTU KVAZIGEOIDU NA ZÁKLADĚ KOMBINACE TÍHOVÝCH MĚŘENÍ ODHAD CHYB URČOVANÝCH PARAMETRŮ STOKESOVA ÚLOHA SFÉRICKÉ HARMONICKÉ ŘADY ZÁVĚR REFERENCE DODATEK A. MATEMATICKÉ OPERÁTORY B. HARMONICKÉ FUNKCE A LAPLACEOVA DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE C. LEGENDREOVY FUNKCE D. NEWTONŮV OBJEMOVÝ INTEGRÁL

10 Seznam obrázků Obrázek -1: Složky vektoru ntenzty tíhového pole Obrázek -: Kartézské souřadnce Obrázek -3: Sfércké souřadnce Obrázek -4: Jacobho elpsodální souřadnce... 1 Obrázek -5: Vztah mez ortometrckou, elpsodální a geodální výškou... 4 Obrázek 3-1: Skutečné a normální tíhové zrychlení Obrázek 3-: Skutečné a normální tíhové pole Obrázek 3-3: Geodální výška Obrázek 4-1: Letecká gravmetre příklad plánu letu Obrázek 4-: EIGEN-CHAMP03S geodální výšky (v metrech) Obrázek 4-3: EIGEN-CHAMP03S - tíhové anomále (v mgal) Obrázek 4-4: Družce (zleva) CHAMP, GRACE, GOCE Obrázek 5-1: Umístění bodů P, P', Q, Q' na konkrétní plochy... 5 Obrázek 5-: Rozložení dat v Moloděnského úloze Obrázek 5-3: Kvazgeod (v metrech) - globální složka určená sférckou harmonckou řadou do n= Obrázek 5-4: Kvazgeod (v metrech) - rezduální složka pro n Obrázek 5-5: Kvazgeod (v metrech) na území ČR... 7 Seznam tabulek Tabulka 3.1: Porovnání skutečného a normálního tíhového pole Tabulka 3.: Poruchové a anomální velčny Tabulka 4.1: Výhody a nevýhody různých typů gravmetrckých měření

11 Přehled zkratek a použtého značení W potencál tíhového pole Země (skutečný tíhový potencál) W g gravtační složka skutečného tíhového potencálu W c odstředvá složka skutečného tíhového potencálu W 0 = konst. skutečný tíhový potencál na geodu U potencál tíhového pole referenčního elpsodu (normální tíhový potencál) U g gravtační složka normálního tíhového potencálu U c odstředvá složka normálního tíhového potencálu T poruchový tíhový potencál g skutečné tíhové zrychlení (ntenzta tíhového pole Země) γ normální tíhové zrychlení (ntenzta tíhového pole referenčního elpsodu) H O ortometrcká výška H N normální (Moloděnského) výška h elpsodální (geodetcká) výška ζ výšková anomále N geodální výška (též označení příčného poloměru křvost referenčního elpsodu) δ g tíhová porucha g tíhová anomále Θ tížncová odchylka t lokální tížnce n normála k referenčnímu elpsodu r průvodč bodu (určuje radální směr) R poloměr náhradní koule GM geocentrcká gravtační konstanta G unverzální gravtační konstanta J zonální Stokesův koefcent ω úhlová rychlost rotace Země 10

12 ρ hustota daného tělesa (především Země) ψ sfércká vzdálenost dvou bodů a hlavní poloosa referenčního elpsodu b vedlejší poloosa referenčního elpsodu f zploštění referenčního elpsodu e první numercká výstřednost referenčního elpsodu λ sfércká délka; geodetcká délka; geocentrcká délka θ pólová vzdálenost ϕ geodetcká šířka φ redukovaná šířka E lneární excentrcta A, B Stokesovy koefcenty nm, nm, J n koefcenty ve sfércké harmoncké řadě popsující normální gravtační potencál P n Legendreův polynom prvního druhu Q n Legendreův polynom druhého druhu P nm, přdružená Legendreova funkce prvního druhu Q nm, přdružená Legendreova funkce druhého druhu K ntegrační jádro (obecná Greenova funkce) H Hotnova sfércká funkce S Stokesova sfércká funkce (též označení plochy) Ω prostorový úhel M množna, oblast (též označení merdánového poloměru křvost referenčního elpsodu) Σ kovaranční matce σ střední kvadratcká chyba (varance) Poznámka: V textu jsou vektory psány malým písmem, tučně a kurzívou (vektor r), matce jsou psány velkým písmem a tučně (matce A). 11

13 1 Úvod 1 Úvod Pops tíhového pole Země a přesné určení jeho konkrétní hladnové plochy (geodu, popř. kvazgeodu) jsou významným úkoly současné geodéze. Pro geodéz je tíhové pole Země důležté především v teor výšek. Znalost geodu umožní např. určení ortometrcké (nadmořské) výšky bodů, které byly zaměřeny aparaturou GPS (Global Postonng System - Globální Polohové Systémy). Tíhové pole lze ale využít také v jných oblastech, např. př vyhledávání a průzkumu ložsek nerostných surovn a popsu slapových pohybů zemské kůry. Cílem této práce je shrnutí vybraných matematckých postupů používaných v geodéz př popsu tíhového pole Země. V úvodní kaptole jsou defnovány některé základní pojmy (souřadncové systémy, geodetcké výšky apod.). Především je zde ale popsán geodetcký referenční systém GRS 80, který defnuje meznárodní referenční elpsod a jeho normální tíhové pole. Druhá kaptola se nejdříve věnuje popsu tíhového pole Země a jeho vlastnostem, z nchž vychází řešení nízkofrekvenční složky gravtačního potencálu metodou spektrálního rozkladu. Dále obsahuje pops tíhového pole referenčního elpsodu. V poslední část druhé kaptoly jsou uvedeny velčny charakterzující poruchové tíhové pole, které popsuje rozdíl skutečného a normálního tíhového pole. Třetí kaptola se zabývá daty, která je možné měřt. Uvádí výhody a nevýhody tíhových dat získaných pomocí jednotlvých typů gravmetre a stručně popsuje také gradometr. Čtvrtá kaptola popsuje matematcké modely využívané př řešení vysokofrekvenční složky tíhového pole. Modely jsou dskutovány nejprve obecně za předpokladu deálních vstupních dat, pozděj v kontextu dostupných tíhových dat. Nedokonalá vstupní data vedou k úpravám matematckých modelů, které tak vedou pouze k přblžným řešením. Tato práce se zaměřuje především na řešení vysokofrekvenční složky tíhového pole pomocí hrančních ntegrálů. Vychází se z okrajových úloh pro poruchový tíhový potencál. Okrajové podmínky jsou dány hodnotam, které je možné odvodt z měření - tíhovou poruchou nebo tíhovou anomálí. Kromě těchto metod vedoucích k určení geodu je zde také uvedena Moloděnského metoda, která vede k řešení kvazgeodu. V závěru práce je dskutován vlv měřckých chyb na určované hodnoty. 1

14 Země Země Země je těleso udržované ve svém tvaru slou tíže. Země kolem sebe vytváří tíhové pole, jehož základním charakterstkam jsou ntenzta tíhového pole (tíhové zrychlení g) a tíhový potencál W. Tíhové zrychlení g získáme vektorovým součtem gravtačního zrychlení a g a odstředvého zrychlení a c - vz obr. -1. Vektor gravtačního zrychlení a g směřuje přblžně do těžště Země. Odchylky od směru do těžště jsou způsobeny nerovnoměrným rozmístěním hmot zemského tělesa. Odstředvé zrychlení a c způsobené rotací Země směřuje od osy rotace Země ve směru kolmém k této ose, jeho vektor je tedy rovnoběžný s rovnou rovníku. Průměrná velkost vektoru tíhového zrychlení na Zem má hodnotu 9, ms. Maxmálních hodnot dosahuje v oblast pólů (vzhledek k nulovému odstředvému zrychlení a zploštění Země na pólech), mnmálních hodnot na rovníku. Obrázek -1: Složky vektoru ntenzty tíhového pole (obrázek je schematcký - ve skutečnost gravtační složka směřuje pouze přblžně do těžště Země) Tíhový potencál (potencál tíhového pole) v daném bodě je úměrný prác v knematckém smyslu potřebné k přenesení tělesa o jednotkové hmotnost z tohoto bodu do nekonečna. Lze jej defnovat jako potencální energ tělesa o hmotnost 1 kg, ovšem se znaménkem mínus. Jednotkou je ms. Plochy s konstantním potencálem tvoří hladnové (ekvpotencální) plochy, které jsou koncentrcké okolo Země. Hladnová plocha 13

15 Země s potencálem W 0, která aproxmuje střední hladnu zemských oceánů, se nazývá geod. Určení hodnoty W 0 je jednou z otázek geodéze, která v této prác není dále dskutována. Předpokládá se, že hodnota W 0 je známá..1 Referenční plochy Základní hladnovou plochou skutečného tíhového pole Země je geod, který je v Moloděnského teor nahrazen kvazgeodem. Obě tyto plochy jsou fyzkální aproxmací zemského povrchu. Výšky bodů na zemském povrchu vztahující se ke geodu (ortometrcké výšky) a ke kvazgeodu (normální výšky) jsou tudíž ovlvněny účnky tíhového pole Země. Geod (Gauss 188; Lstng 1873) je spojtá, hladká a konvexní plocha, která nejlépe odpovídá nerušené střední hladně světových moří protažené pod kontnenty. Tento tvar by měla Země, pokud by byl její povrch pokryt pouze oceánem a zanedbaly by se vlvy okolního prostředí (atmosfércký tlak, okolní teplota,...) a nehomogennost oceánu (různá teplota vody, slanost, proudění, ). Geod je ve všech bodech kolmý na směr tíže, matematcké vyjádření této nepravdelné plochy je tedy velm složté. Je však značně hladší plochou než topografe. Zatímco odchylky zemského povrchu od geodu se pohybují v rozmezí přblžně m (Maránský příkop) až m (Mount Everest), geod se odchyluje od referenčního elpsodu maxmálně o hodnoty ± 150 m. Kvazgeod (Moloděnskj 1945) je referenční plocha pro normální (Moloděnského) výšky, které se mmo jné používají v Baltském výškovém systému po vyrovnání (Bpv). Tento systém byl v roce 1957 zaveden v tehdejším Československu a v České republce se používá dodnes. Kvazgeod není hladnovou plochou, ale jeho odchylky od geodu dosahují hodnot maxmálně 1,5 m. Přes oblast světových oceánů jsou geod a kvazgeod totožné plochy, lší se pouze pod kontnenty. Př řešení úloh spojených s určením tvaru zemského povrchu a popsem tíhového pole je někdy nutné nahradt tvar Země plochou, která by byla hladší než geod (kvazgeod) a která by se dala využít př matematckém zpracování řešení daného problému. Mez nejčastěj využívané plochy patří referenční elpsod a střední koule. Tyto 14

16 Země plochy nejsou fyzkální aproxmací Země. Výšky, které jsou k nm vztaženy, nejsou ovlvněny tíhovým polem Země. Referenční elpsod je geocentrcký rotační elpsod, jehož parametry jsou voleny tak, aby co nejlépe aproxmoval geod, tj. aby mnmalzovaly ntegrál mn a, f NdS, (.1) S kde N je převýšení geodu nad referenčním elpsodem (geodální výška), S je plocha elpsodu a ds je element této plochy. Integrál v rovnc (.1) určuje dva ze základních parametrů referenčního elpsodu - hlavní poloosu a a zploštění elpsodu f. Další základní parametry elpsodu jsou vedlejší poloosa b a první numercká výstřednost e. Referenční elpsod je zpravdla defnován pomocí jedné z následujících kombnací základních parametrů - ( ae, ), ( a, f ). Hlavní poloosa a udává rozměr elpsodu, druhý bezrozměrný parametr v kombnacích udává jeho tvar (míru zploštění). Častěj se využívá kombnace parametrů ( a, f ). Pomocí vztahů (.) a (.3) lze ze dvou parametrů dopočítat zbylé dva (Mortz 1984): e a b =, (.) a a b f =. (.3) a Aproxmace geodu může být globální (např. meznárodní referenční elpsod GRS 80 Geodetc Reference System 1980, vz kap..3, užívaný také pro pops tíhového pole Země, č referenční elpsod World Geodetc System WGS-84 defnovaný pro potřeby GPS) nebo lokální. Př řešení tíhového pole Země se používá pouze globální referenční elpsod. Přestože je povrch referenčního elpsodu poměrně hladká plocha, kterou lze matematcky popsat, jsou na něm výpočty stále velm složté. Pro zjednodušení výpočtů se elpsod někdy dále nahrazuje střední koulí. Tím sce dochází ke snížení přesnost řešení (odchylky koule od geodu dosahují hodnot až ± 10 km), výpočty na koul jsou však mnohem jednodušší. Exstuje několk možností, jak volt poloměr střední koule v případě, že koule nahrazuje referenční elpsod globálně (Mortz 1984): - objem koule je roven objemu elpsodu, tedy platí πr m = πab, (.4)

17 Země z toho R 3 m = ab; (.5) - poloměr koule je roven artmetckému průměru poloos elpsodu a+ b R m =. (.6) 3 Pokud by měla koule nahrazovat pouze část elpsodu, volí se zpravdla poloměr R m a 1 e = MN =, (.7) 1 e sn ϕ kde M je merdánový poloměr křvost referenčního elpsodu, N je jeho příčný poloměr křvost, a je hlavní poloosa referenčního elpsodu, e první numercká výstřednost a ϕ je geodetcká šířka místa dotyku referenčního elpsodu a střední koule.. Souřadncové systémy Nejen v teor tíhového pole je nutné přesně lokalzovat místa, ve kterých proběhlo měření. Proto je velm důležtá volba souřadncového systému. Př řešení parametrů tíhového pole, které rotuje se Zemí, je výhodné použít geocentrcký systém, který také rotuje se Zemí. Proto s využívá především geocentrcký zemský systém...1 Geocentrcký zemský souřadncový systém Geocentrcký souřadncový systém je ortogonální systém rotující se Zemí. Lze jej defnovat pomocí sedm parametrů: - tř parametry pro určení počátku - tř parametry pro určení orentace souřadncových os - jeden parametr pro určení měřítka souřadncových os 1 Počátek tohoto systému je volen v těžšt Země. Osa x prochází nultým poledníkem (Greenwch) v rovně rovníku, osa z je dentcká se střední rotační osou Země pro dané 1 V trojrozměrném prostoru je obecně nutná znalost metrckého tenzoru, který určuje měřítka na všech třech souřadncových osách a orentac os. V tomto specálním případě, kdy je na všech navzájem kolmých osách měřítko stejné, stačí k určení systému pouze jeden parametr. 16

18 Země období a osa y je defnována tak, aby výsledná soustava byla pravoúhlá (rovna xy je rovnou rovníku) a pravotočvá. Tento model geocentrckého souřadncového systému nezohledňuje fakt, že Země se stále deformuje (vlvem pohybu zemských desek, zemských slapů apod.). Pro deformující se Zem prochází osa x středním nultým poledníkem pro období a osa z je střední osa rotace Země pro totéž období. Geocentrcký souřadncový systém pro deformující se Zem je každý rok nově defnován na základě měření technologem kosmcké geodéze: VLBI (Very Long Baselne Interferometry), SLR (Satellte Laser Rangng), LLR (Lunar Laser Rangng), GPS (Global Postonng System). Referenční souřadncový systém je realzován referenčním rámcem. Referenční rámec je katalog souřadnc globální sítě stanc, které mplctně defnují počátek, orentac os a měřítko rámce. Poloha stanc je určena s centmetrovou přesností, výsledné souřadnce jsou však ovlvňovány decmetrovým perodckým pohyby stanc. Pro geocentrcký souřadncový systém exstuje rámec ITRF (Internatonal Terrestral Reference Frame Meznárodní zemský referenční rámec), který je každoročně publkován IERS (Internatonal Earth Rotaton Servce Meznárodní služba rotace Země)... Geocentrcký geodetcký souřadncový systém Geocentrcký geodetcký systém je spojen s referenčním elpsodem. Tím se lší od geocentrckého zemského systému, jehož osy jsou defnovány tak, aby měly fyzkální smysl. Počátek geodetckého systému je umístěn ve středu elpsodu. Osa x opět prochází středním nultým poledníkem (Greenwch), osa z je určena rotační osou elpsodu a osa y je defnována tak, aby výsledná soustava byla opět pravoúhlá a pravotočvá. V geocentrckém geodetckém systému jsou realzována měření GPS. Referenční geodetcký systém je dnes realzován systémem GRS 80, jehož parametry jsou odvozeny z měření na globální sít sateltních stanc. 17

19 Země..3 Typy souřadnc Ve výše uvedených souřadncových systémech je možné použít pravoúhlé (kartézské) souřadnce (x,y,z) nebo křvočaré souřadnce. Vzhledem k referenčním plochám používaným př řešení tíhového pole je někdy výhodnější použtí křvočarých souřadnc, specálně sférckých ( θ, λ,r) nebo tzv. Jacobho elpsodálních souřadnc ( φλ,u, ). Gaussovy elpsodální souřadnce (,,h) ϕλ nejsou v teor potencálu přílš praktcké, v této prác jsou ale zmíněny, protože se využívají př měření pomocí GPS. Pravoúhlé (kartézské) souřadnce 3 Pravoúhlé souřadnce jsou určeny průsečíky os s daným tělesem, např. střední koulí. Každý bod na této referenční ploše lze považovat za koncový bod vektoru r, který je umístěn v počátku souřadncového systému (průvodč bodu). Poloha bodu je určena jako lneární kombnace jednotkových vektorů, j, k ležících postupně v osách x, y, z: Koefcenty x, y, z jsou pravoúhlé souřadnce daného bodu. r = x + yj+ zk. (.8) Obrázek -: Kartézské souřadnce Gaussovy souřadnce jsou dvouparametrcké elpsodální souřadnce, které jsou přílš komplkované pro řešení některých úloh. Nelze v nch například provést separac proměnných př řešení Laplaceovy dferencální rovnce. 3 Souřadnce jsou pojmenovány po francouzském matematkov a flozofov René Descartov ( ). 18

20 Země Sfércké souřadnce Poloha bodu je dána délkou průvodče bodu r a úhly θ, λ. Pro délku r průvodče bodu platí vztah r = r, kde r je vektor defnovaný v rovnc (.8). Pólová vzdálenost θ je úhel mez průvodčem r a osou z, sfércká délka λ je úhel mez osou x a průmětem průvodče r do rovny xy (rovna rovníku). Úhly nabývají hodnot θ 0, π, λ 0, π ). Obrázek -3: Sfércké souřadnce Převodní vztahy mez pravoúhlým a sférckým souřadncem: pravoúhlé souřadnce sfércké souřadnce: r + = x + y z, λ = arctan y, (.9) x x + y z θ = arctan = arccos ; z r sfércké souřadnce pravoúhlé souřadnce: x= rsnθ cos λ, y = rsnθ sn λ, (.10) z = rcosθ. 19

21 Země Elpsodální souřadnce Gaussovy elpsodální souřadnce (geodetcké souřadnce) Gaussovy souřadnce (dvouparametrcké) se vztahují k rotačnímu elpsodu. Bod je určen pomocí výšky nad elpsodem h, příčným poloměrem křvost N a pomocí úhlů ϕ, λ. Geodetcká šířka ϕ určuje odchylku normály elpsodu v daném bodě od rovny xy, geodetcká délka λ je úhel mez osou x a průmětem normály elpsodu do rovny xy. Úhly π π nabývají hodnot ϕ,, λ 0, π ). Převodní vztahy mez pravoúhlým a Gaussovým souřadncem (Heskanen a Mortz 1967): pravoúhlé souřadnce Gaussovy souřadnce (terační vztahy): λ = arctan y, x x + y h= N, (.11) cosϕ 1 z N ϕ = arctan 1 e, x + y N + h kde e je první numercká výstřednost a N je příčný poloměr křvost elpsodu a N ( ϕ ) = ; (.1) 1 e sn ϕ Gaussovy souřadnce pravoúhlé souřadnce: x= ( N + h)cosϕ cos λ, y = ( N + h)cosϕ sn λ, (.13) ( ) z = N 1 e h + snϕ. Jacobho elpsodální souřadnce Jacobho souřadnce (jednoparametrcké) jsou také vztaženy k rotačnímu elpsodu. Bod je určen vedlejší poloosou u elpsodu s lneární excentrctou E a úhly φ, λ. Úhel φ je redukovaná šířka daného bodu, λ (geocentrcká délka) je úhel mez osou x a průmětem 0

22 Země průvodče do rovny xy. Ve specálním případě, kdy určovaný bod leží na elpsodu, je vedlejší poloosa u rovna velkost vedlejší poloosy b elpsodu. Úhly obdobně jako π π v předchozích případech nabývají hodnot φ,, λ 0, π ). Obrázek -4: Jacobho elpsodální souřadnce Převodní vztahy mez pravoúhlým a Jacobho souřadncem (Böllng a Grafarend 005): pravoúhlé souřadnce Jacobho souřadnce: 1 1 u = ( x + y + z E ) + ( x + y + z E ) + E z 4 1, arctan z u + φ = E u x + y, (.14) λ = arctan y, x kde E je lneární excentrcta Jacobho souřadnce pravoúhlé souřadnce: E = a b ; (.15) x= u + E cosφ cos λ, y = u + E cosφ sn λ, (.16) z = usnφ. 1

23 Země.3 Geodetcký referenční systém 1980 (GRS 80) Systém GRS 80 (Mortz 1984), který je defnován organzací IAG (Internatonal Assocaton of Geodesy Meznárodní geodetcká asocace), byl přjat v prosnc Nahradl geodetcký referenční systém Referenčním tělesem se opět stal rotační hladnový elpsod 4 defnovaný pomocí čtyř základních konstant (Mortz 1984): - hlavní poloosa elpsodu a = m - geocentrcká gravtační konstanta (včetně atmosféry) 8 GM = m 3 s - - dynamcký faktor určující zploštění Země (bez trvalých slapových deformací) 8 = (zonální Stokesův koefcent. stupně) J úhlová rychlost rotace Země ω = s -1. Hladnový elpsod je těleso, jehož povrch je hladnová plocha normálního tíhového pole s danou konstatní hodnotou potencálu U 0. Konstanta U 0 je defnována vztahem U = W, (.17) 0 0 kde W 0 je hodnota skutečného tíhového potencálu na geodu. Kolem tohoto elpsodu exstuje tíhové pole, které se nazývá normální tíhové pole a které popsuje tíhový potencál U. Intenzta normálního tíhového pole γ (normální tíhové zrychlení) na povrchu elpsodu je popsána rovncí (Mortz 1984) aγ ecos ϕ+ bγ psn ϕ γ = γ ( ϕ) =, (.18) a cos ϕ + b sn ϕ kde konstanta γ e označuje velkost normálního tíhového zrychlení na rovníku, γ p je velkost normálního tíhového zrychlení na pólech a ϕ je geodetcká šířka. Hladnový elpsod velm dobře nahrazuje tvar geodu. Také jeho normální tíhové pole je velm přesnou náhradou skutečného tíhového pole Země. Proto je možné omezt se př řešení tíhového pole Země (popř. geodu jako jeho konkrétní hladnové plochy) pouze na určování odchylek skutečného tíhového pole od normálního tíhového pole. 4 Teor hladnového elpsodu poprvé rozpracoval talský matematk Paolo Pzzett ( ) v roce Jeho myšlenku dále zpracoval talský matematk Carlo Somglana ( ) v roce 199.

24 Země.4 Typy geodetckých výšek Výška bodu je defnována jako vzdálenost tohoto bodu od referenční plochy měřená podél dané křvky. Proto je nutné př určování výšek nejdříve zvolt referenční plochu. Rozlšujeme několk typů geodetckých výšek, které se lší nejen referenčním plocham a defncí vzdálenost bodu nad danou referenční plochou, ale také fyzkálním významem. Fyzkální výšky jsou ovlvněny tíhovým polem Země. Jejch referenční plochou je geod č kvazgeod a lze je určt nvelací. Mez fyzkální výšky patří ortometrcké výšky (geod), jejchž aproxmací jsou normální výšky (kvazgeod). Výšky, které nejsou ovlvněny působením tíhového pole Země, se nazývají geometrcké. Mez geometrcké výšky patří elpsodální (geodetcké) výšky. Jejch referenční plochou je referenční elpsod. o Referenční plochou ortometrckých výšek je geod. Ortometrcká výška bodu H je defnována jako délka prostorové tížnce t mez daným bodem na povrchu Země a geodem, platí tedy vztah (Blažek, Skořepa 1999) o 1 H = g( h) dh g, (.19) kde g m je ntegrální střední hodnota tíže podél tížnce t. m t Tímto způsobem nelze ale ortometrcké výšky spočítat, protože nejsou známy hodnoty tíhového zrychlení podél tížnce t. Proto se př výpočtu využívají jné hodnoty, které jsou známé. Střední hodnota tíže g m se nejčastěj odhaduje z měření tíže na povrchu Země. Ortometrcké výšky jsou ovlvněny tíhovým polem Země a lze je odvodt z nvelovaných výškových rozdílů. Velkost tíhového zrychlení roste směrem od rovníku k pólu, z toho plyne, že hladnové plochy se směrem k pólům sbíhají. N Normální (Moloděnského) výšky H jsou vztaženy ke kvazgeodu. Stejně jako ortometrcké výšky respektují skutečné tíhové pole a určují se z nvelovaných výškových rozdílů. Jsou defnovány vztahem (Blažek, Skořepa 1999) N 1 H = g( h) dh γ, (.0) kde m n γ m je střední hodnota normálního tíhového zrychlení podél normály elpsodu n v určovaném bodě. Tento druh výšek se používá ve většně evropských zemí včetně ČR. 3

25 Země Elpsodální výšky se od předchozích výšek lší především skutečností, že nerespektují tíhové pole. Elpsodální výška bodu h je vzdálenost bodu na zemském povrchu od referenčního elpsodu měřená podél normály elpsodu. Je výsledkem měření technologí GPS..4.1 Transformace výšek Skutečnost, že různé výšky používají různé referenční plochy, vede k nutnost přesného určení těchto ploch. Potom bude možné převádět ortometrcké a normální výšky získané pouze nvelací na elpsodální (určované pomocí GPS) a naopak. Problémem je tedy určení geodu, resp. kvazgeodu. Vztahy mez ortometrckou výškou H o a elpsodální výškou h popsuje obr. -5 (N je geodální výška, vyjadřující převýšení geodu nad referenčním elpsodem). Pro výšky tedy platí vztah Obdobný vztah platí také pro normální výšky O h N H. (.1) h ζ N H, které jsou vztaženy ke kvazgeodu N = H, (.) kde ζ je výšková anomále, které popsuje převýšení kvazgeodu nad referenčním elpsodem. Obrázek -5: Vztah mez ortometrckou, elpsodální a geodální výškou 4

26 3 Základy teore tíhového pole Země 3 Základy teore tíhového pole Země Tato kaptola se zabývá geodetckým popsem skutečného tíhového pole Země a tíhového pole referenčního elpsodu (normální tíhové pole), které aproxmuje skutečné tíhové pole. Dále jsou zde defnovány velčny charakterzující poruchové tíhové pole, které popsuje odchylky normálního a skutečného tíhového pole. 3.1 Skutečné tíhové pole Země Země jako každé hmotné těleso kolem sebe vytváří gravtační pole, které je možné popsat gravtačním zrychlením a g. Vzhledem k tomu, že Země rotuje kolem své osy, působí v bodech spojených se zemským povrchem také odstředvé zrychlení a c. Vektorovým součtem gravtačního zrychlení a g a odstředvého zrychlení a c získáme vektor tíhového zrychlení g čl vektor ntenzty tíhového pole Země. Tíhové pole Země je vektorové pole. Jednou z jeho základních charakterstk je vektor tíhového zrychlení g. Tento vektor (především jeho vertkální složka) je měřtelný, proto by bylo možné pomocí něho popsat tíhové pole Země. Tento pops by ale byl velm nepraktcký, neboť tíhové pole by bylo určeno v každém bodě vektorem, který má ve třírozměrném prostoru tř složky. Výhodnější je pops, kde je v každém bodě tíhové pole určeno pouze pomocí jedné hodnoty, tedy pops tíhového pole pomocí skalárních hodnot. Obecně lze vektorové pole popsané vektorem ntenzty g popsat také pomocí skalárních hodnot, pokud je toto pole na dané množně M konzervatvní a netočvé. Vektorové pole na množně M je konzervatvní, pokud pro každou jednoduchou po částech hladkou orentovanou uzavřenou křvku C na M platí, že práce vykonaná podél této křvky je nulová, tj. g ( r ) d r = 0. (3.1) C Pro následující tvrzení je nutné, aby množna M byla otevřená. Pro každý její bod tedy musí exstovat koule, jejíž střed je v daném bodě a která je podmnožnou množny M (celá 5

27 3 Základy teore tíhového pole Země koule se vejde do M). Potom pro každé konzervatvní vektorové pole G na množně M exstuje skalární funkce V na M taková, že ( ) = V ( ) g r r. (3.) Vektorové pole s vektorem ntenzty g, ke kterému exstuje skalární funkce V tak, že platí rovnce (3.), se nazývá gradentní. Druhá podmínka pro možnost popsu vektorového pole pomocí skalární funkce je netočvost vektorového pole. Tato podmínka plyne přímo z rovnce (3.). Prostorová točvost (crkulace) vektoru je charakterzována vektorovou velčnou, která se nazývá rotace (vz Dodatek A, rov. A.5). Vektorové pole s vektorem ntenzty g je netočvé, pokud je rotace vektoru g nulová, tj. platí ( ) ( ) rot g r = g r = o, (3.3) kde o je nulový vektor ( o = 0) a symbol značí vektorový součn. Budeme předpokládat, že platí vztah uvedený v rovnc (3.). Ten je možné dále upravt užtím operátoru rotace na tvar ( ) ( ) g r = V r. (3.4) Z defnce gradentu (vz Dodatek A, rov. A.) a rotace přímo vyplývá, že rotace gradentu je nulová, tj. V ( r) = o. (3.5) Po dosazení rovnce (3.5) do rovnce (3.4) je zřejmé, že pokud platí rovnce (3.), musí také platt vztah tj. vektorové pole musí být netočvé (nerotační, nevírové). g ( r) = o, (3.6) Tíhové pole Země, které je v každém bodě popsáno vektorem ntenzty g (vektorem tíhového zrychlení), je konzervatvní a netočvé vektorové pole. Vektor tíhového zrychlení g lze tedy zapsat jako gradent tíhového potencálu W (gradent tíhového potencálu je vzhledem ke znaménkové konvenc psán se znaménkem mínus) ( ) = W ( ) g r r. (3.7) 6

28 3 Základy teore tíhového pole Země Potencál skutečného tíhového pole Země Vzhledem ke skutečnost, že tíhové zrychlení g vznklo vektorovým součtem gravtačního a odstředvého zrychlení, lze tíhový potencál W popsující tíhové pole Země také rozdělt na dvě složky gravtační 5 W g a odstředvou 6 W c. Složky tíhového pole v bodě určeném průvodčem r A jsou popsány vztahy v rovncích (3.8) a (3.9) (Böllng a Grafarend 005; Novák 003): B ( r ) ρ Wg ( ra ) = G db r r A ( r), (3.8) kde B je objem Země, db je objemový element, r je průvodč objemového elementu db, ρ ( r ) je hustota zemských hmot v objemovém elementu db (hmoty nejsou v zemském tělese rozloženy rovnoměrně, proto je hustota ρ funkcí třírozměrného vektoru r ); W kde ω je úhlová rychlost rotace Země, Země, tedy ve sférckých souřadncích platí c 1 r A A, (3.9) ( ) = p ω p A je ortogonální průmět vektoru r A na osu rotace pa = ra sn θ, ra = r A. (3.10) K výpočtu zemského tíhového potencálu lze ale využít pouze vztah pro odstředvý potencál potencál W c, ve kterém jsou známy všechny potřebné hodnoty. Ve vztahu pro gravtační W g je neznámou hodnotou hustota zemských hmot ρ, která neumožňuje přesnější výpočet gravtačního potencálu W g z rovnce (3.8). Tíhový potencál W tedy nelze počítat přímo součtem gravtační a odstředvé složky, ale je nutné určt jeho hodnoty z nepřímo naměřených tíhových dat. Měřená data představují především hodnoty tíhového zrychlení g. Pokud se tíhový potencál W určuje z měření na bodech, které nejsou spojeny se Zemí (tj. měří se pouze gravtační složka a g tíhového zrychlení), určí se pouze gravtační složka tíhového potencálu gravtační složky W g. Tíhový potencál W je potom možné získat jako součet W g určené z měření a odstředvé složky W c, kterou je možné spočítat pro 5 Newton, Isaac ( ) anglcký matematk a fyzk 6 Huygens, Chrstaan ( ) holandský matematk a fyzk 7

29 3 Základy teore tíhového pole Země lbovolný bod na zemském povrchu. Z tíhových měření na zemském povrchu získáme celkový tíhový potencál W, který obsahuje odstředvou gravtační složku. Mortz 1967) Tíhový potencál W splňuje Possonovu dferencální rovnc. řádu (Heskanen a ( ) ( ) W r =-4πGρ r + ω, (3.11) kde G je unverzální gravtační konstanta, ρ( r ) hustota tělesa v daném bodě a ω úhlová rychlost Země. Za následujícího předpokladu můžeme Possonovu rovnc zjednodušt. Budeme uvažovat tíhový potencál pouze vně Země (vně hmot zemského tělesa). Pokud zanedbáme hustotu hmot ve vnějším okolí Země, v tomto případě hustotu atmosféry, je ρ ( r ) = 0 a Possonova rovnce se zjednodušší do tvaru ( ) W r = ω. (3.1) Pokud př výpočtech uvažujeme body, které nerotují se Zemí (tj. ω = 0 ), získáme pro tíhový potencál W vztah, který se nazývá Laplaceova dferencální rovnce (Heskanen a Mortz 1967): ( ) W r =0. (3.13) V bodech spojených se Zemí, pro které je ω 0, tíhový potencál W Laplaceovu deferencální rovnc nesplňuje. Ve skutečnost se však př výpočtu neurčuje přímo tíhový potencál W, ale poruchový tíhový potencál T, u kterého tento problém jž nenastává (vz kap. 3.3). Př řešení gravtačního potencálu W g z naměřených dat je také velm důležtá jeho regularta v nekonečnu, která plyne z vlastností Newtonova objemového ntegrálu (vz Dodatek D, rov. D.11). Newtonův objemový ntegrál, který určuje hodnotu gravtačního potencálu v daném bodě, je pro v nekonečnu nulový. r roven 0, tedy gravtační potencál W g je 3.1. Reprezentace gravtačního potencálu metodou spektrálního rozkladu Př určování tíhového potencálu W lze obecně postup řešení rozdělt na dvě základní částí určení nízkofrekvenční (globální, dlouhovlnné) složky a vysokofrekvenční 8

30 3 Základy teore tíhového pole Země (rezduální, krátkovlnné) složky tíhového potencálu. Nízkofrekvenční složka tíhového potencálu je většnou řešena metodou spektrálního rozkladu, př které se využívá družcových tíhových měření (vz kap , 4..1). Řešení se hledá př použtí následujících zjednodušujících předpokladů: - tíhová měření jsou opravena o gravtační vlv atmosféry a jných těles, především Měsíce a Slunce (opravy zahrnují také vlvy, které se mění v čase, např. slapy); - Země je tuhé, nedeformovatelné těleso s konstantní rotační rychlostí ω, rotující kolem pevné osy procházející středem Země. Gravtační složka tíhového potencálu dferencální rovnc W g splňuje v bodech vně Země Laplaceovu () r = 0, (3.14) W g je tedy vně Země harmonckou funkcí. Laplaceovu dferencální rovnc je možné řešt například metodou separace proměnných. Př naší volbě souřadncových systémů (vz kap..) lze separac provést v kartézských, sférckých nebo Jacobho elpsodálních souřadncích. Vzhledem ke tvaru Země je výhodnější použtí křvočarých souřadnc. Vhodné jsou především Jacobho elpsodální souřadnce, neboť Země má přblžně tvar rotačního elpsodu. Řešení, které získáme př použtí Jacobho souřadnc, je ale mnohem složtější než řešení ve sférckých souřadncích. Proto budou dále použty sfércké souřadnce ( r, θ λ ) tvar (vz Dodatek B, rov. B.3), (vz kap...3). Laplaceův operátor má ve sférckých souřadncích W W W W W g g 1 g cosθ g 1 g Wg ( r, θλ, ) = r r r r θ r snθ θ r sn θ λ Řešení se hledá ve formě substtuce kde funkce g( θ ) h( ) g (, θ λ) ( ) ( θ) ( λ). (3.15) W r, = f r g h, (3.16) λ popsuje gravtační potencál na Brllounově koul (mnmální koule o poloměru R, která "obsahuje" celou Zem), funkce f ( r ) popsuje změnu gravtačního potencálu v radálním směru. a Rozvojem funkce W g do řady vlastních funkcí (sférckých harmonckých funkcí) ( θ λ) cos λ ( cosθ) Y, = m P, (3.17) c nm, nm, ( θ λ) sn λ ( cosθ) Y, = m P, (3.18) s nm, nm, 9

31 3 Základy teore tíhového pole Země získáme sférckou harmonckou řadu (Heskanen a Mortz 1967; Shen a Nng 005) n GM W ( r, ϕ, λ) = f ( r)( A cosmλ+ B snmλ) P ( cosθ), (3.19) g n nm, nm, nm, R n= 0 m= 0 kde G je Newtonova gravtační konstanta, M je hmotnost Země, R je poloměr střední koule, A nm, a B nm, jsou normované Stokesovy koefcenty a P nm, je normovaná přdružená Legendreova funkce prvního druhu (vz Dodatek C, rov. C.7). Funkce f ( ) n r závsí na vztahu poloměru R střední koule a délce průvodče r bodu, ve kterém je určována hodnota gravtačního potencálu. Laplaceova dferencální rovnce platí pouze pro body vně Země. Pokud Zem nahradíme koulí o poloměru R, má řešení ve formě sfércké harmoncké řady smysl pouze pro body s r R. V tomto případě má funkce f ( r ) tvar f n ( r) R = r V opačném případě, kdy r < R, má funkce f ( ) n n+ 1 r tvar n n. (3.0) r fn ( r) = R. (3.1) Řadu popsanou v rovnc (3.19) je možné zapsat také ve tvaru n n GM R Wg( r, ϕ, λ ) 1 ( An, mcos m Bn, msn m ) Pn, m( cos ) r n 1 m 0 r λ λ θ = + + = =, (3.) který formou zápsu odpovídá sfércké harmoncké řadě popsující rozvoj normálního gravtačního potencálu U g vz rov. (3.33). Způsob určení gravtačního potencálu pomocí součtu sfércké harmoncké řady se nazývá sfércká harmoncká syntéza. Tento způsob vypočtu předpokládá znalost tzv. Stokesových koefcentů. Ty lze teoretcky určt pomocí vztahů (Heskanen a Mortz 1967) 1 Anm, = Wg( R, θλ, ) cosmλpnm, ( cosθ) ds S, (3.3) kde S S 1 B = W R m P ds, (3.4) (, θλ, ) sn λ ( cosθ) nm, g nm, S S = 4π R je povrch koule o poloměru R, (,, ) ds R dθ sn d W R θ λ je tíhový potencál na této koul, = θ λ je plošný element na koul o poloměru R, Pnm, ( cosθ ) je přdružená Legendreova funkce prvního druhu (vz Dodatek C, rov. C.3) stupně n a řádu m. 30

32 3 Základy teore tíhového pole Země Určení Stokesových koefcentů z výše uvedených vztahů se nazývá sfércká harmoncká analýza. Toto řešení však v případě gravtačního potencálu praktcky nelze využít, neboť k výpočtu obou koefcentů je nutná znalost gravtačního potencálu W g na koul o poloměru R. Proto se Stokesovy koefcenty musí určt jným způsobem. K jejch výpočtu se využívají především družcová data, díky nmž je dnes možné popsat globální (nízkofrekvenční) model tíhového potencálu určený Stokesovým koefcenty přblžně do řádu n = 150. Maxmální stupeň a řád určených koefcentů vymezuje nízkofrekvenční složku tíhového potencálu. Koefcenty, které jž není možné vzhledem k vysokofrekvenčnímu šumu určt z družcových měření, popsují vysokofrekvenční složku tíhového potencálu, jejímž určením se zabývá kap. 5. Kvůl numercké stabltě se př výpočtu řady v rovnc (3.19) využívají plně normované Stokesovy koefcenty Anm,, B nm, a plně normované Legendreovy funkce prvního druhu P ( ), cosθ. Je možné použít různé normalzační faktory, např. nm normalzační faktor α nm, (Heskanen a Mortz 1967): α nm, ( n+ )( n m) ( n+ m)! 1! = pro m 0, (3.5) Koefcenty nm,,, A B a funkce P ( ) nm P α n = n+ 1prom= 0. (3.6), cosθ jsou potom určeny vztahy nm A B = α A, (3.7) nm, nm, nm, = α B, (3.8) nm, nm, nm, 1 ( cosθ ) α P ( cosθ) =. (3.9) nm, nm, nm, 3. Tíhové pole referenčního elpsodu (normální tíhové pole) V kaptole.3 byl defnován meznárodní referenční elpsod, jehož tíhové pole, které se nazývá normální tíhové pole, je možné matematcky přesně popsat. Tento referenční elpsod má stejnou hmotnost jako Země a rotuje kolem své vedlejší osy rychlostí ω, která je rovna úhlové rychlost rotace Země. Osa rotace elpsodu prochází stejným těžštěm jako osa rotace Země. Povrch elpsodu tvoří hladnová plocha 31

33 3 Základy teore tíhového pole Země normálního tíhového pole, jejíž potencál U 0 je roven potencálu W 0 na povrchu geodu. Stejně jako daný referenční elpsod velm dobře nahrazuje tvar geodu, jeho tíhové pole s vysokou přesností nahrazuje skutečné tíhové pole Země. Normální tíhové pole je v každém bodě popsáno vektorem normálního tíhového zrychlení γ. Vzhledem ke skutečnost, že normální tíhové pole je také konzervatvní a netočvé, lze ho obdobně jako skutečné tíhové pole popsat pomocí gradentu skalárního pole: ( θ ) = U ( θ ) γ r, r,, (3.30) kde U je potencál normálního tíhového pole, ( r, θ ) jsou sfércké souřadnce. Tíhové pole referenčního elpsodu je vně elpsodu matematcky popsáno, proto jsou př výpočtech hodnoty normálního tíhového zrychlení γ a normálního potencálu U uvažovány vždy jako známé Potencál normálního tíhového pole Pops normálního tíhového pole je velm podobný popsu skutečného tíhového pole. Proto zde budou pouze zmíněny základní vlastnost normálního tíhového pole a jeho potencálu U, bez podrobnějšího odvozování. Obdobně jako potencál W skutečného tíhového pole Země lze normální tíhový potencál U rozdělt na dvě složky gravtační U g a odstředvou U c. Pro odstředvou složku platí v Jacobho elpsodálních souřadncích vztah (Böllng a Grafarend 005) 1 U ( ) ( ) cos c u, φ = ω u + E φ. (3.31) Normální tíhový potencál U obecně splňuje také Possonovu dferencální rovnc (3.11). Za předpokladu, že určujeme normální tíhový potencál v bodě vně elpsodu, který navíc s elpsodem nerotuje, můžeme Possonovu rovnc zjednodušt na Laplaceovu rovnc ( ) U r =0. (3.3) Normální gravtační potencál U g je díky vlastnostem Newtonova objemového ntegrálu opět regulární v nekonečnu, tedy platí, že v nekonečnu nabývá nulové hodnoty lm U g ( ) 0 r =. r 3

34 3 Základy teore tíhového pole Země 3.. Reprezentace normálního tíhového potencálu metodou spektrálního rozkladu Př určování skutečného tíhového potencálu W se v metodě spektrálního rozkladu Laplaceova dferencální rovnce řešla metodou separace proměnných. Separace byla kvůl jednodušší formě výsledné řady provedena ve sférckých souřadncích. Pomocnou plochou, na které se řešl skutečný tíhový potencál W, byla náhradní koule o poloměru R. Pokud použjeme stejné souřadnce pro rozvoj gravtační složky normálního tíhového potencálu U g, harmoncká řada se zjednodušší na tvar (Heskanen a Mortz 1967) n GM R Ug( r, θ ) = 1 JnPn( cosθ ) r n=,4,... r, (3.33) kde R je poloměr střední koule, G je Newtonova gravtační konstanta, M je hmotnost Země, P n je Legendreův polynom prvního druhu. Koefcent J je defnován vztahem (Heskanen a Mortz 1967; Ghlan 004) 1 1 ω R = + =, (3.34) 3 J, 3 f 3 m 3 f 1 fm m GM kde f je zploštění elpsodu, m je geodetcký parametr, ω je úhlová rychlost rotace Země. Ostatní koefcenty (,,,...) J4 J6 J 8 jsou lneárním funkcem koefcentu Pro pops normálního gravtačního potencálu je vhodnější použít místo sférckých souřadnc Jacobho elpsodální souřadnce. Výsledná harmoncká řada má obecně př použtí elpsodálních souřadnc komplkovanější tvar, ale vzhledem k symetr normálního tíhového pole v ní vymzí všechny nezonální členy (členy s m 0 ). Proto je možné j zapsat v uzavřeném tvaru (Heskanen a Mortz 1967; Ghlan 004) GM 1 E 1 q 1 Ug ( u, φ) = tg + ω a cos φ E u q0 3, (3.35) kde G je Newtonova gravtační konstanta, M je hmotnost Země, E je lneární excentrcta, ω je úhlová rychlost rotace Země, a je velkost hlavní poloosy referenčního elpsodu, člen q je určen vztahem (Heskanen a Mortz 1967; Ghlan 004) 1 u 1 E u q= 1+ 3 tg 3, (3.36) E u E J. 33

35 3 Základy teore tíhového pole Země člen q 0 vztahem kde b je vedlejší poloosa referenčního elpsodu. q0 = q u =, (3.37) b 3.3 Poruchové tíhové pole Jak jž bylo zmíněno v kaptole 3.1.1, pro výpočet tíhového potencálu W se využívá měření v bodech, které jsou pevně spojeny se Zemí a tedy nesplňují Laplaceovu dferencální rovnc. V prax se ale neřeší přímo skutečný tíhový potencál W. Využívá se skutečnost, že normální tíhové pole velm dobře nahrazuje tíhové pole skutečné, a řeší se pouze odchylky mez skutečným a normálním tíhovým potencálem. Rozdíl mez tíhovým potencálem skutečným W a normálním U se nazývá poruchový tíhový potencál a značí se T. Poruchový tíhový potencál je tedy v bodě určeném průvodčem r defnován vztahem ( ) = ( ) ( ) T r W r U r. (3.38) Hodnoty poruchového tíhového potencálu T jsou v porovnání s hodnotam skutečného a normálního tíhového potencálu velm malé. Navíc potencál T splňuje Laplaceovu rovnc v bodech, které jsou spojeny se zemským povrchem. Tato vlastnost plyne přímo z defnce. Pokud dosadíme poruchový tíhový potencál do Possonovy rovnce pro body vně hmot, které ale rotují se Zemí (tj. ω 0 ), dostaneme vztah T() r W() r U() r ω ω 0. (3.39) = = = Laplaceova rovnce je tedy splněna pro všechny body vně Země a vně elpsodu. Tak jako je skutečné tíhové pole popsáno tíhovým zrychlením g a normální tíhové pole normálním zrychlením γ, lze poruchové pole popsat ekvvalentní vektorovou velčnou, která se nazývá tíhová porucha. Značí se δ g a je defnována vztahem δ g ( r ) = g ( r) γ ( r ). (3.40) Velčna popsující směrovou odchylku mez vektory skutečného a normálního tíhového zrychlení se nazývá tížncová odchylka a značí se Θ. Je to úhel mez tížncí v bodě určeném průvodčem r a normálou k hladnové ploše normálního tíhového pole, která tímto bodem prochází 34

36 3 Základy teore tíhového pole Země Tížncovou odchylku lze určt pomocí vztahu Θ ( ) = (, )( ) r n t r. (3.41) ( ) ( ) ( ) t( r) cos Θ ( r ) = n r t r n r kde n( r) t( r ) je skalární součn vektorů n( r ) a t( r )., (3.4) Tíhovou poruchu δ g a tížncovou odchylku Θ lze defnovat v lbovolném bodě. Pro poruchové tíhové pole Země má smysl defnovat tyto dvě velčny především v bodech na topograf, protože na zemském povrchu je možné měřt skutečné tíhové zrychlení g a také je zde možné určt směr tížnce t. Tížncovou odchylku Θ ve skutečnost nelze určt z defnce v rovnc (3.41), neboť tato rovnce obsahuje velčnu, která obvykle není známá (normála k hladnové ploše normálního tíhového pole procházející bodem určeným průvodčem r). V případě tíhové poruchy byla stuace dlouho stejná. S nástupem technologe GPS ale došlo ke změně. Dnes je možné tíhovou poruchu určt, ale pouze v bodech zaměřených pomocí GPS. Protože tížncovou odchylku Θ a tíhovou poruchu δ g nelze přesně určt (tíhovou poruchu nelze určt pouze v bodech, které nejsou zaměřené pomocí GPS), je nutné aproxmovat tyto poruchové velčny pomocí velčn anomálních. Anomální velčny jsou vztaženy ke dvěma bodům na různých plochách a je možné je určt z měření. Tíhová porucha δ g je nahrazována tíhovou anomálí g, tížncová odchylka Θ je nahrazována anomálním tížncovým odchylkam. Všechny poruchové a anomální velčny, které budou uvedeny v této kaptole, je možné defnovat na lbovolných plochách. Zde budeme uvažovat pouze některé konkrétní plochy, které mají praktcký význam př řešení tíhového pole Země. Budeme předpokládat, že tíhová porucha δ g ( r ) je defnována v bodě ležícím na povrchu topografe, který je určen průvodčem r. K jejímu výpočtu podle rov. (3.40) je nutná znalost hodnoty skutečného a normálního tíhového zrychlení. Skutečné tíhové zrychlení g v bodech na povrchu topografe je měřtelné. Problémem byla tradčně hodnota normálního tíhového zrychlení γ. Velkost vektoru normálního tíhového zrychlení γ je možné určt pomocí Taylorova rozvoje normálního tíhového zrychlení γ z povrchu referenčního elpsodu. Vzhledem k tomu, že tato řada rychle konverguje k nule, lze použít pouze její první dva, popř. tř členy řady. Výchozí hodnotou je hodnota 35

37 3 Základy teore tíhového pole Země normálního tíhového zrychlení γ ( r ) v bodě určeném průvodčem r, který leží na referenčním elpsodu: γ γ h γ ( r) γ ( r ) + h +. (3.43) n n r r Z rovnce (3.43) je zřejmé, že pro výpočet γ v bodech na topograf je nutné znát elpsodální výšku h topografe nad referenčním elpsodem vz obr Obrázek 3-1: Skutečné a normální tíhové zrychlení Elpsodální (geodetcká) výška h je ale jednou ze souřadnc, které jsou určované pomocí GPS. Pokud tato hodnota není známá, nahrazuje se tíhová porucha tíhovou anomálí. Tíhová anomále g ( rr, ) je defnována obdobně jako tíhová porucha. Opět předpokládáme, že skutečné tíhové zrychlení g ( r ) je změřeno v bodě na topograf, který je určen průvodčem r. Tíhová anomále se od tíhové poruchy lší bodem, ve kterém se určuje hodnota normálního tíhového zrychlení γ. Tíhová anomále je defnována vztahem (, ) ( ) ( ) g rr = g r γ r, (3.44) je tedy vztažena ke dvěma bodům určených průvodč, rr, které leží na různých plochách. Pokud je skutečné tíhové zrychlení g ( r ) defnováno na topograf, normální tíhové zrychlení γ ( r ) je defnováno na Moloděnského tellurodu. Body určené průvodč rr, leží na normále k referenčnímu elpsodu. Navíc pro tyto body platí vztah ( ) = ( ) W r U r, (3.45) 36

38 3 Základy teore tíhového pole Země kde W ( r ) je skutečný tíhový potencál na topograf, U ( ) r je normální tíhový potencál na Moloděnského tellurodu. Velkost normálního tíhového zrychlení γ v bodě na Moloděnského tellurodu je možné popsat opět pomocí Taylorova rozvoje funkce γ z bodu na referenčním elpsodu určeném průvodčem r. Získáme obdobnou rovnc jako v případě tíhové poruchy (3.43), kde však je elpsodální výška h nahrazena normální výškou H N (vz rov..): N H r n r N ( H ) γ γ γ ( r ) γ ( r ) + +. (3.46) n Normální výšku bodu je možné určt z nvelačních měření. Vztah v rovnc (3.45) platí nejen pro topograf a Moloděnského tellurod, ale např. také pro geod a elpsod - vz obr. 3-. Velkost tíhové poruchy a tíhové anomále dosahuje hodnot řádově 10 mgal. Tížncovou odchylku Θ, defnovanou v rovnc (3.41), je velm těžké určt. Problémem je hladnová plocha normálního tíhového pole, která prochází daným bodem. Tuto plochu téměř není možné popsat, proto k ní nelze určt normálu. Z tohoto důvodu byly zavedeny jnak defnované tížncové odchylky (např. Helmertova, Moloděnského), které poměrně přesně nahrazují původní tížncovou odchylku Θ a kde je normála k dané hladnové ploše normálního tíhového pole nahrazena normálou k referenčnímu elpsodu. Normálu k referenčnímu elpsodu je možné určt v lbovolném bodě. Helmertova tížncová odchylka v bodě na geodu a normálou n( r el ) v bodě na elpsodu: H Θ H Θ je defnována jako úhel mez tížncí t( r geod ) ( ) ( geod, el ) = ( geod ) ( el ) kde bod ležící na geodu je určen průvodčem r geod r el. Body leží ve stejném radálním směru (vz obr. 3-). Moloděnského tížncová odchylka topograf a normálou n( r el ) v bodě na elpsodu: M Θ r r t r,n r, (3.47), bod na elpsodu je určen průvodčem M Θ popsuje úhel mez tížncí ( top ) ( ) ( top, el ) = ( top ) ( el ) t r v bodě na r r t r,n r. (3.48) Tížncové odchylky dosahují řádově hodnot až 70 (těchto hodnot dosahují ve vysokých horách). 37

39 3 Základy teore tíhového pole Země Výše popsané poruchové a anomální velčny (především jejch skalární hodnotu) je možné měřt, nebo je lze určt z měřených tíhových dat. Obrázek 3-: Skutečné a normální tíhové pole Výše uvedené velčny popsují poruchové tíhové pole Země. Jejch přehled je uveden v tab Tabulka 3.1: Porovnání skutečného a normálního tíhového pole SKUTEČNÉ tíhové pole NORMÁLNÍ tíhové pole PORUCHOVÉ tíhové pole Tíhový potencál W U T Tíhové zrychlení grad W ( r ) = g ( r ) grad U ( r ) = γ ( r) grad T ( r ) = δ g ( r ) "směr" tíhového zrychlení tížnce t normála n 1) Θ ( r) = ( n, t)( r ) 1) Normála n k referenčnímu elpsodu určuje směr normálního tíhového zrychlení pouze v bodech na povrchu referenčního elpsodu. V bodech vně referenčního elpsodu je směr normálního tíhového zrychlení určen normálou k hladnové ploše normálního tíhového pole procházející tímto bodem. Pomocné (anomální) velčny, které aproxmují přesné poruchové hodnoty, jsou uvedeny v tab

40 3 Základy teore tíhového pole Země Tabulka 3.: Poruchové a anomální velčny Poruchová velčna Anomální velčna Tíhová porucha δ g ( r ) Tíhová anomále g ( r,r ) Poruchová tížncová odchylka Θ Θ ( r geod ) ( r top ) Anomální tížncová odchylka Helmertova: Θ H ( ) ( r geod,rel ) = t( r geod ),n( r el ) Moloděnského: Θ M ( ) ( rtop, rel ) = t( r top ),n( r el ) Základní hladnovou plochou skutečného tíhového pole je geod, normálního tíhového pole referenční elpsod. Vertkální odlehlost těchto ploch popsují geodální výšky N. Geodální výšky vyjadřují převýšení geodu nad referenčním elpsodem, které je měřeno podél normály k elpsodu vz obr Obrázek 3-3: Geodální výška N Geod a referenční elpsod jsou plochy významné př defnc anomálních velčn, protože skutečný tíhový potencál W na geodu je roven normálnímu tíhovému potencálu U na referenčním elpsodu. Obdobně lze pro topograf defnovat plochu, pro kterou by platlo, že normální tíhový potencál U na této ploše je roven skutečnému tíhovému potencálu W na topograf. Takto defnovaná plocha se nazývá Moloděnského tellurod. Vertkální odlehlost povrchu topografe a Moloděnského tellurodu popsuje výšková anomále ζ. Výšková anomále je také uvažována podél normály k referenčnímu elpsodu. 39

41 4 Jaká tíhová data je možné měřt 4 Jaká tíhová data je možné měřt Tíhový potencál W není možné přímo měřt. Je ale možné měřt jeho směrové dervace gradent tíhového potencálu gradometrcký (Marrusho) tenzor 7 W potencál W spočítat. W (vektor ntenzty tíhového pole) a. Z těchto měřených dat je možné tíhový Všechny úlohy na výpočet tíhového potencálu W vyžadují, aby vstupní data byla spojtá a globální. Měřt však lze pouze dskrétní data, která jsou navíc mnohdy pouze lokální. Globální charakter mají praktcky pouze družcová data. Některé typy výpočtů ale umí pracovat s lokálním daty. Výsledek je pak ale pouze přblžný. Velm často se data různého typu pro odvození tíhového potencálu kombnují. 4.1 Gravmetre Gravmetre se zabývá měřením gradentu tíhového potencálu W. V některých případech (letecká a družcová gravmetre) je možné měřt všechny tř směrové dervace. V případě pozemní gravmetre se ale měří pouze dervace přblžně v radálním směru r W, tj. vertkální složka vektoru tíhového zrychlení g. Podle místa měření lze gravmetr obecně rozdělt na pozemní, leteckou a družcovou. Gravmetrcké měření ale může probíhat na lodích (námořní gravmetre), v ponorkách apod. Tabulka 4.1 uvádí přehled výhod a nevýhod jednotlvých typů gravmetre. Pozemní gravmetre je velm přesná, absolutní gravmetrí je hodnota až s přesností na Gal µ. Vzhledem k defnc jednotky 1 Gal ( 1Gal 10 ms ) r W určena = je tíhové zrychlení určeno s přesností řádově ± 0, 001 mgal. Přesnost relatvní gravmetre je ale mnohem nžší. Hodnota r W je určena s přesností řádově 0,1 mgal. Velkou 7 Maruss, Antono ( ) talský matematk a geodet 40

42 4 Jaká tíhová data je možné měřt nevýhodou pozemní gravmetre je skutečnost, že měřt je možné pouze v přístupném terénu, měření jsou časově náročná a data mají lokální charakter. Tyto problémy částečně odstraňuje letecká gravmetre. Měření probíhá v letadle, které je od povrchu Země vzdáleno stovky metrů. Měřená oblast je pokryta trajektorem letu, podél nchž se provádí měření. Obr. 4-1 znázorňuje plán letu př mapování oblast Baltského moře. Cílem letecké gravmetre je rekonstrukce celého vektoru tíhového zrychlení g. Často však lze z dat získat pouze jeho velkost g, resp. jeho vertkální složku, která je domnantní složkou vektoru g. Leteckou gravmetrí je možné získat poměrně rychle tíhová data z nepřístupných oblastí. Ačkol lze takto ve stejném čase získat více dat než z pozemních měření, přesto tato data stále nemají globální charakter. Navíc je měření zatíženo šumem (hlavním zdrojem šumu je nerovnoměrný pohyb letadla), s nímž se př následném zpracování odstraní část sgnálu. Kvůl fltrac př odstraňování šumu jsou data získaná leteckou gravmetrí frekvenčně omezená. Jejch přesnost je v řádu mgal. Obrázek 4-1: Letecká gravmetre příklad plánu letu (zdroj: 41

43 4 Jaká tíhová data je možné měřt Téměř globální pokrytí Země (mmo polární oblast) měřeným daty zajšťuje družcová gravmetre. Družce létají ve výškách km nad zemským povrchem. Na začátku měření jsou vypušteny ve výšce přblžně 500 km. Během letu se postupně přblžují k Zem. Ve chvíl, kdy jejch výška klesne pod určtou hodnotu (přblžně 00 km), se jž jejch data nezpracovávají. Ve výše uvedeném výškovém pásmu je gravtační sgnál mnohem slabší 8 než př pozemní a letecké gravmetr, navíc obsahuje také měřcký šum. Proto je možné úspěšně rekonstruovat pouze nízkofrekvenční složku tíhových dat, ze které lze získat pouze vyhlazené tíhové pole. Výsledkem družcových gravmetrckým měření je globální model tíhového pole, který obsahuje koefcenty sférckého harmonckého rozvoje gravtačního potencálu do určtého stupně n a řádu m (Stokesovy koefcenty Anm,, B nm, ) vz rov. (3.19). Globální model obsahuje pouze nízkofrekvenční (dlouhovlnnou) složku tíhového potencálu. Je možné jej zpřesnt doplněním o lokální model, který obsahuje vysokofrekvenční (krátkovlnnou) složku tíhového potencálu. Vysokofrekvenční složka zahrnuje členy sférckého harmonckého rozvoje gravtačního potencálu s koefcenty stupně n + 1 a vyššího. Lze j získat analýzou lokálních dat letecké nebo pozemní gravmetre. Způsob kombnace těchto tří datových složek je samostatným problémem v teor tíhového pole, který není v této prác řešen. 8 Útlumový faktor sgnálu je ( ) n 1 průvodče vnějšího bodu, ve kterém se měří tíhová data. R r +, kde R je poloměr střední koule nahrazující geod a r je velkost 4

44 4 Jaká tíhová data je možné měřt Tabulka 4.1: Výhody a nevýhody různých typů gravmetrckých měření POZEMNÍ gravmetre Přesnost měřených + dat (data s malým procentem šumu) Pokrytí zemského povrchu měřeným daty Možnost měření v nepřístupných oblastech vysoká přesnost systematcké chyby měření jednotlvé body na povrchu Země v nepřístupných oblastech nelze měřt Ctlvost měření + nejvyšší možná ctlvost LETECKÁ gravmetre vysokofrekvenční šum + lokální rovnoměrné pokrytí + lze měřt nad nepřístupným oblastm (hory, močály aj.) + dobrá ctlvost, ale slabší než na povrchu (vysokofrekvenční šum) DRUŽICOVÁ gravmetre + vyšší šum, ale vzhledem k určení globální složky dobrá přesnost + globální pokrytí celé Země + meření pokrývá povrch celé Země (kromě polárních oblastí) určení pouze globální složky tíhového pole Družcová gravmetre V dnešní době zajšťují sběr tíhových dat pro určování tíhového pole Země především dvě družcové mse CHAMP (vypuštěna v červenc 000) a GRACE (vypuštěna v březnu 00). CHAMP (CHAllengng Mnsatellte Payload 9 ) je německá družcová mse realzovaná GFZ (GeoForschungsZentrum), což je německé národní výzkumné centrum pro geovědy v Postupm. Družce CHAMP je vybavena vysoce přesným přístroj (akcelerometr, GPS přjímač, magnetometr, laserový zpětný odražeč apod.). Díky své téměř polární dráze, malé výšce nad povrchem Země a dlouhé žvotnost (přes 080 dní) družce jž naměřla data, která umožnla odvození velm přesného modelu tíhového a magnetckého pole ve formě koefcentů sfércké harmoncké řady. Získaná data umožňují pops prostorových časových varací obou polí. Obr. 4- a 4-3 zobrazují dva vybrané 9 Zdroj: 43

45 4 Jaká tíhová data je možné měřt parametry tíhového pole Země geodální výšky a tíhové anomále, vypočítané z modelu tíhového pole Země EIGEN-CHAMP03S, který byl vytvořen na základě dat získaných v období říjen 000 červen 003. Tento model obsahuje plně normované Stokesovy koefcenty gravtačního potencálu do řádu a stupně n = 10. Př výpočtech byl použt referenční elpsod s hlavní poloosou a = ,46 m a převrácenou hodnotou zploštění 1 f = 98, Model EIGEN-CHAMP03S byl vytvořen s přesností 5 cm (geodální výšky) a 0,5 mgal (tíhové anomále) vztaženou k vlnovým délkám 800 km. Obrázek 4-: EIGEN-CHAMP03S geodální výšky (v metrech) (zdroj: Obrázek 4-3: EIGEN-CHAMP03S - tíhové anomále (v mgal) (zdroj: 44

46 4 Jaká tíhová data je možné měřt GRACE (Gravty Recovery And Clmate Experment 10 ) je společný projekt NASA (Natonal Aeronautcs and Space Admnstraton - Národní výbor pro výzkum vesmíru a mezplanetární lety) a DLR (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt - německé kosmcké centrum). Cílem této mse je velm přesné určení globálního modelu tíhového pole Země. Kromě středního tíhového pole Země by měly být výsledkem také časové varace tohoto pole. Projekt GRACE navazuje na výše zmíněnou ms CHAMP. Zvýšení přesnost bylo docíleno použtím dvou sateltů, které se pohybují za sebou po téměř stejné orbtální dráze. Změny jejch vzájemné vzdálenost jsou měřeny pomocí velm přesného radarového dálkoměru. Jedním z výsledných modelů tíhového pole Země vytvořených z družcových dat mse GRACE je model EIGEN-GRACE0S, který obsahuje plně normované Stokesovy koefcenty gravtačního potencálu do řádu a stupně n = 150. Přesnost určení geodu (geodálních výšek) v tomto modelu je 1 mm pro vlnové délky 000 km. 4. Gradometre Gradometre lze stejně jako gravmetr rozdělt na pozemní, leteckou a nově družcovou (plánovaná družce GOCE). Praktcky je zatím realzováno pouze pozemní měření, které je ale vzhledem k velm ctlvým gradometrckým přístrojům značně problematcké. Letecká a družcová gradometre je stále ve stádu výzkumu. V případě gradometre je měřenou velčnou gradometrcký tenzor (vz Dodatek A, rov. A.15), resp. jeho složky W ( r) W ( r) W( r ) x x y x z W( r) = W ( r) W ( r) W ( r), (4.1) y x y y z W ( r) W ( r) W ( r) z x z y z který je symetrcký. V tomto tenzoru je šest různých prvků. Pro body, které jsou vně Země a nejsou pevně spojeny se zemským povrchem, splňují prvky na dagonále Laplaceovu dferencální rovnc. Proto v tomto případě obsahuje gradometrcký tenzor W 10 Zdroj: 45

47 4 Jaká tíhová data je možné měřt pouze pět nezávslých prvků. Ze složek gradometrckého tenzoru je také možné určt Stokesovy koefcenty Anm,, B nm, (vz kap. 3.1.). Gradometrckou jednotkou je Eotvos 11 ( 1E 10 9 s ) =. Největší hodnoty nabývají složky tenzoru ve vertkálním směru (řádově až E nárůst výšky o 1 m způsobí pokles tíhového zrychlení o 0,3 mgal). Horzontální složky jsou mnohem menší. Na plochém homogenním povrchu se střední hodnotou zeměpsné šířky dosahují hodnot přblžně 8 E (směrem od pólu k rovníku vzroste na úseku 1 km hodnota tíhového potencálu o 0,8 mgal). Je to způsobeno zploštěním Země na pólech a odstředvou slou rotace Země. Výhodou gradometre je vyšší ctlvost, které umožní měřt př družcových msích nejen nízkofrekvenční složku tíhových dat, ale také část vysokofrekvenční složky. Problémem je pak oddělení sgnálu a měřckého šumu Družcová gradometre GOCE GOCE (Gravty Feld and Steady-State Ocean Crculaton Explorer 1 ) bude družce Evropské kosmcké agentury ESA (European Space Agency). Tato družce je určena k měření gradometrckých dat tíhového pole Země. Cílem projektu je stanovení anomálí tíhového pole s přesností 1 mgal na 100 km a geodu s přesností 1- cm na 100 km. Z měřených gradometrckých dat by mělo být možné určt Stokesovy koefcenty řádu aspoň n = 00. Družce by se měla pohybovat po téměř polární dráze (sklon dráhy by měl být 96.5 ) v průměrné výšce 50 km. Vypuštěna by měla být v roce 006. Obr. 4-4 znázorňuje všechny výše zmíněné družce CHAMP, GRACE a GOCE. 11 Vásárosnamény Báró Eötvös Loránd, známý jako Loránd Eötvös ( ) maďarský fyzk 1 Zdroj: 46

48 4 Jaká tíhová data je možné měřt Obrázek 4-4: Družce (zleva) CHAMP, GRACE, GOCE 4.3 Družcová altmetre Z družcových gravmetrckých č gradometrckých měření lze úspěšně určt pouze nízkofrekvenční složku tíhového pole Země. Lokální zpřesnění tíhového pole (určení vysokofrekvenční složky) se provádí z pozemních, popř. leteckých tíhových měření. Tento způsob měření lze použít především na zemském povrchu, nebo př pobřeží. Na moř je možné získat další data např. pomocí námořní gravmetre, která ale není přílš rozšířená. Další možností, jak získat pops tíhového pole v oblastech oceánů, je družcová altmetre. Družcová altmetre určuje přímo geometr hladny oceánů. Data jsou získávána z družc, které pomocí GPS měří svoj polohu (v geodetckých souřadncích určuje elpsodální výšku h) a radarovým altmetrem měří vzdálenost a od hladny oceánů. Pokud by na oceány působla pouze zemská tíže, geometre hladny oceánů by byla stejná jako geometre geodu a rozdíl měřených vzdáleností h a by přímo určoval geodální výšku N, tj. převýšení geodu nad elpsodem. Ve skutečnost ale na oceány působí jné vlvy než jen zemská tíže (slapy, mořské proudy, vlastnost mořské vody např. slanost, apod.). Tyto vlvy způsobí, že mez hladnou oceánů a geodem exstuje převýšení nazývané 47

49 4 Jaká tíhová data je možné měřt topografe mořské hladny (SST Sea Surface Topography), dosahující hodnot až metry. Toto převýšení je ale poměrně obtížně určtelné. Družcovou altmetrí lze tedy získat přblžný pops geometre geodu, který je jednou z hladnových ploch tíhového pole Země. Z těchto dat je dále možné určt tíhové zrychlení, které lze využít k určení rezduální složky tíhového pole Země nad oceány. K výpočtu se využívá metoda nverzní Stokesovy úlohy, tj. z geodální výšky N se určuje tíhová anomále g, ze které se počítá hodnota tíhového zrychlení g. 48

50 5 Matematcké metody řešení 5 Matematcké metody řešení Pops tíhového pole Země a určení jedné jeho konkrétní hladnové plochy geodu, patří mez základní úkoly současné geodéze. Určovaný tíhový potencál W je možné rozdělt vzhledem k dostupným datům na globální (nízkofrekvenční) a rezduální (vysokofrekvenční) složku (vlastnost měřených dat vz tab. 4.1). Globální složku tíhového potencálu W je možné popsat pomocí sfércké harmoncké řady (vz kap. 3.1.). Rezduální složka tíhového potencálu W se řeší především pomocí okrajových úloh teore potencálu. Okrajové hodnoty jsou odvozeny z lokálních tíhových dat, pozemních č leteckých. 5.1 Drchletova úloha Základní okrajovou úlohou v teor potencálu je Drchletova úloha. V této úloze je určována hodnota funkce, která splňuje Laplaceovu dferencální rovnc a Drchletovu okrajovou podmínku popsující hodnotu této funkce na hranc jednoduše souvslé hladké uzavřené oblast (Lpschtzova hrance). Vnější Drchletova úloha pro poruchový tíhový potencál T s hrancí tvořenou geodem je určena vztahy (Martnec 1998): ( r) T = 0, ( ), B pro r > r B, T r = T pror = r, (5.1) ( ) lm T r = 0, r kde r B je průvodč bodů ležících na geodu. Aby platly rovnce (5.1), musí být poruchový tíhový potencál T harmonckou funkcí vně geodu. Tato podmínka ale není obecně splněna, neboť vně geodu se nachází část zemských hmot a také atmosféra. Proto je nutné opravt vstupní tíhová data o tyto vlvy, aby byla úloha korektní. Redukce tíhových dat o vlv vnějších topografckých a atmosférckých hmot je značně komplkovaná a v této prác není dále dskutována. Takto zadaná úloha je úloha s volnou hrancí, neboť průběh geodu není předem znám. Proto je nutné geod nahradt pomocnou plochou, např. náhradní koulí nebo B 49

51 5 Matematcké metody řešení referenčním elpsodem. Př použtí referenčního elpsodu lze získat přesnější řešení, neboť referenční elpsod nahrazuje geod lépe než koule. Př aproxmac koulí se ale zjednodušší forma řešení. Navíc pro lokální úlohy jsou rozdíly mez náhradní koulí a elpsodem velm malé. Z těchto důvodů bude v dalším textu využta sfércká aproxmace geodu náhradní koulí o poloměru R. Vnější Drchletova úloha v této sfércké aproxmac bude tedy zadána vztahy ( ) = T r 0, pro r =r> R, ( ), T r = T pro r = r = R, (5.) B ( ) lm T r = 0, r kde T B jsou hodnoty poruchového tíhového potencálu na náhradní koul. Takto zadaná vnější Drchletova úloha je korektní (vz Dodatek B). 5. Použtelné okrajové podmínky pro poruchový tíhový potencál Drchletova úloha pro poruchový tíhový potencál T je určena okrajovou podmínkou popsanou v rovnc (5.). Pro řešení této úlohy je tedy nutné znát hodnoty poruchového tíhového potencálu T na hranc oblast (zde náhradní koule). Poruchový tíhový potencál ale není možné přímo měřt. Měřeným hodnotam jsou směrové dervace skutečného tíhového potencálu W (vz kap. 4). Proto je nutné najít okrajovou podmínku obsahující velčny, které lze určt měřením. Př určování okrajové podmínky pro poruchový tíhový potencál T lze vycházet ze vztahu pro tíhovou anomál g a v současnost stále více ze vztahu pro tíhovou poruchu δ g (vz kap. 3.3). V následujících podkaptolách je velm důležté rozlšt, ke kterým bodům (na které ploše) jsou jednotlvé velčny a jejch dervace vztaženy. V rovncích se vyskytuje tíhový potencál W, tíhové zrychlení g, normální tíhový potencál U a normální tíhové zrychlení γ. Všechny uvedené velčny jsou ve skutečnost funkcí nejen polohového vektoru r, ale také času. V této prác ale časové varace tíhového pole nejsou uvažovány. Velčny jsou tedy závslé pouze na polohovém vektoru r, který je popsán třem elementy. Př použtí geocentrckého zemského souřadncového systému (vzhledem k tvaru Země je výhodné 50

52 5 Matematcké metody řešení použít sfércké souřadnce) jsou těmto elementy velkost vektoru r = r, pólová vzdálenost θ a sfércká délka λ (vz kap...3). Skutečné tíhové pole je tedy popsáno skalárně tíhovým potencálem W ( r, θ, λ ) a vektorově tíhovým zrychlením g ( r, θ, λ ) které platí vztah ( r, θ, λ) = W ( r, θ, λ), pro g. (5.3) Vzhledem k vlastnostem skutečného tíhového pole je domnantní složkou gradentu tíhového potencálu složka ve směru lokální tížnce t. Ostatní složky jsou velm malé, takže př měření často zanknou v měřckém šumu. Pro skutečné tíhové pole tedy platí vztah W g. (5.4) t Směr lokální tížnce t je možné aproxmovat radálním směrem r. Pomocí astronomcky určené tížncové odchylky θ (vz kap. 3.3) lze směr lokální tížnce nahradt normálou n k referenčnímu elpsodu. Zavedením elpsodálních oprav lze následně přejít od normály k radálnímu směru. Potom přechází vztah (5.4) do tvaru W ( r, θ, λ ) g( r, θλ, ). (5.5) r V tomto zápse je tíhové zrychlení g popsáno pouze radální složkou gradentu ve sférckých souřadncích. Není to tedy vektor, ale pouze skalární velčna. Záps (, θ, λ ) g r P P P W r = (, θλ, ) r r= rp, θ = θp, λ= λp, (5.6) označuje hodnotu tíhového zrychlení g( r, θ, λ ) v bodě P o sférckých souřadncích (,, ) r θ λ. Tato hodnota je rovna záporné radální dervac tíhového potencálu P P P W ( r, θ, λ ) určené opět v bodě P. Rovnce (5.6) bude v dalším textu pro zpřehlednění zkráceně zapsána ve tvaru: (, θ, λ ) g r P P P W r = r (, θ, λ ) P. (5.7) Pro normální tíhové pole platí obdobné vztahy. Pro normální tíhový potencál U( r, θ ) a normální tíhové zrychlení ( r, θ ) ( r, θ ) = U( r, θ ) γ platí rovnce γ. (5.8) 51

53 5 Matematcké metody řešení Domnantní složkou gradentu je zde složka ve směru normály n k referenčnímu elpsodu. Tuto skutečnost lze obdobně jako v případě skutečného tíhového pole popsat vztahem U γ. (5.9) n Také směr normály lze aproxmovat radálním směrem r. Po zavedení elpsodálních korekcí lze tedy vztah (5.9) přepsat do tvaru U( r, θ ) γ ( r, θ). (5.10) r Vztah mez radální dervací normálního tíhového potencálu U( r, θ ) v bodě P a hodnotou normálního tíhového zrychlení ( r, θ ) γ γ v tomtéž bodě je popsán rovncí ( r, θ ) P P (, θ ) U r, (5.11) r r= rp, θ = θp která bude dále pro zpřehlednění textu zkráceně zapsána ve tvaru: γ ( r, θ ) P P (, θ ) U r. (5.1) r Pro lepší orentac v následujícím textu bude označení bodů pevně spojeno s konkrétní plochou (vz obr. 5-1): - P bod ležící na povrchu topografe - P' bod ležící na Moloděnského tellurodu - Q bod ležící na geodu - Q' bod ležící na referenčním elpsodu P Obrázek 5-1: Umístění bodů P, P', Q, Q' na konkrétní plochy 5

54 5 Matematcké metody řešení 5..1 Určení okrajové podmínky pomocí tíhové poruchy Vycházíme ze vztahu pro tíhovou poruchu v lbovolném bodě P na ploše, kde lze měřt hodnoty tíhového zrychlení g, tedy na topograf: δ ( rp, θp, λp) = ( rp, θp, λp) ( rp, θp) Vektor zrychlení tíhového pole Země v bodě P ( r, θ, λ ) tíhového potencálu W v bodě P, tedy kde g g γ. (5.13) g lze vyjádřt jako gradent P P P ( r, θ, λ ) = W( r, θ, λ) g, (5.14) P P P P (, θλ, ) 1 (, θλ, ) 1 (, θλ, ) W r W r W r PW ( r, θλ, ) =,, r r θ rsnθ λ P P P T. (5.15) V předchozím textu byl za využtí sfércké aproxmace t n r odvozen přblžný vztah pro hodnotu tíhového zrychlení v bodě P (, θ, λ ) W r g ( rp, θp, λp). (5.16) r Také normální tíhové zrychlení γ lze vyjádřt jako gradent normálního tíhového potencálu U. Využtím sfércké aproxmace n γ ( r, θ ) P P P r byl výše odvozen vztah (, θ ) U r. (5.17) r Př uvedených aproxmacích se pracuje místo vektorů g a γ pouze s jejch skalárním hodnotam g a γ. Proto také tíhová porucha ve výsledku není vektor, ale skalární hodnota. Rovnce (5.13) tedy přechází do tvaru (,, ) (,, ) (, ) P P P P P P P P P δ g r θ λ = g r θ λ γ r θ. (5.18) Po dosazení výše uvedených aproxmací skutečného a normálního tíhového zrychlení získáme vztah (, θλ, ) U( r, θ) W r δg( rp, θp, λp) = g( rp, θp, λp) γ ( rp, θp) + = r r (, θ, λ) (, θ) (, θ, λ) W r U r T r = r r r P P P P P, (5.19) 53

55 5 Matematcké metody řešení kde (, θ, λ ) T r r P je zkrácený záps dervace poruchového tíhového potencálu T( r, θ, λ ) v bodě P o sférckých souřadncích (,, ) r θ λ. P P P V rovnc (5.19) je známou velčnou pouze měřené tíhové zrychlení g v bodě P. Hodnotu normálního tíhového zrychlení γ v bodě P na topograf můžeme určt, pokud známe elpsodální výšku h bodu P, užtím Taylorova rozvoje: ( P, P) ( Q, Q ) ( r, θ) γ γ r θ γ r θ + h. (5.0) n Q Normální tíhové zrychlení γ je analytcká funkce, její rozvoj do Taylorovy řady je tedy možné provést. Hodnotu normálního tíhového zrychlení v bodě Q na povrchu elpsodu je možné spočítat, neboť normální tíhové pole je matematcky popsáno (vz rov..18). Další členy Taylorova rozvoje lze zanedbat, neboť velm rychle konvergují k nule. Př použtí vztahu (5.0) lze rovnc pro tíhovou poruchu přepsat do tvaru ( P, P, P) ( P, P, P) ( Q, Q ) ( r, θ) γ δg r θ λ = g r θ λ γ r θ h. (5.1) n Q V rovnc (5.1) jsou známé všechny hodnoty. Získáme tedy okrajovou podmínku pro poruchový tíhový potencál T ve tvaru (,, ) δg r θ λ P P P T r = r (, θ, λ ) P. (5.) Tato okrajová podmínka se obecně nazývá Neumannova. Je součástí druhé (Neumannovy) okrajové úlohy teore potencálu. V konkrétním případě, kdy řešenou velčnou je poruchový tíhový potencál T, se tato úloha nazývá Hotnova Určení okrajové podmínky pomocí tíhové anomále Př odvozování okrajové podmínky pro poruchový tíhový potencál T z tíhové poruchy jsme předpokládal, že v daném bodě P známe jeho elpsodální výšku h. Pokud výška h není známa, je nutné použít př odvozování okrajové podmínky jnou velčnu, než je tíhová porucha v bodě P. Touto velčnou je tíhová anomále g, která je narozdíl od 13 Hotne, Martn ( ) anglcký geodet 54

56 5 Matematcké metody řešení tíhové poruchy určena ve dvou bodech PP, ležících na dvou různých plochách. Pro tíhovou anomál určenou z měření na povrchu topografe leží bod P na topograf a bod P na Moloděnského tellurodu. Ze stejného důvodu jako v případě tíhové poruchy budeme uvažovat, že tíhová anomále je skalární velčna. Záps g( r, θ, λ, r, θ ) značí hodnotu tíhové anomále v bodech, ( r, θ, λ ) P P P P P P P P PP o sférckých souřadncích (,, ). Body PP, jsou voleny tak, aby splňovaly následující podmínky: - body PP, leží na normále k referenčnímu elpsodu - pro potencál v bodech PP, platí vztah (, θ, λ ) U( r, θ ) W r P P P P P r θ λ, P P P =, (5.3) kde W ( r, θ, λ ) je tíhový potencál na topograf, U( r, θ ) P P P potencál na Moloděnského tellurodu. P je normální tíhový Pro tíhovou anomál g( rp, θp, λp, rp, θp ) platí vztah g( rp, θp, λp, rp, θp ) g( rp, θp, λp) γ ( rp, θp ) kde g( r, θ, λ ) je změřené skutečné tíhové zrychlení na topograf a γ (, θ ) P P P =, (5.4) P r P P je vypočtené normální tíhové zrychlení na Moloděnského tellurodu. Rovnc (5.4) dále upravíme: g( rp, θp, λp, rp, θp ) g( rp, θp, λp) γ ( rp, θp) γ ( rp, θp) γ ( rp, θp ) = δ g( rp, θp, λp) γ ( rp, θp) γ ( rp, θp ) Hodnotu normálního tíhového potencálu v bodě na topograf (, ) = + = +. (5.5) γ θ lze opět určt r P P pomocí Taylorova rozvoje tohoto potencálu, tentokrát v bodě P na Moloděnského tellurodu: ( r, θ) γ γ ( rp, θp) γ ( rp, θp ) + ζ, (5.6) n kde ζ je výšková anomále bodů PP,. Další členy Taylorova rozvoje jsou opět zanedbány, neboť řada rychle konverguje k nule. Po dosazení získáme vztah P ( r, θ) γ g( rp, θp, λp, rp, θp ) = δg( rp, θp, λp) + γ ( rp, θp ) + ζ γ ( rp, θp ) = n ( r, θ) γ = δ g( rp, θp, λp) + ζ. (5.7) n P P 55

57 5 Matematcké metody řešení Převýšení topografe nad Moloděnského tellurodem ζ lze určt pomocí Brunsova teorému (vz kap. 5.6) ( P, θp, λp) ( r, θ ) T r ζ. (5.8) γ P P Dále vyjdeme z Moloděnského 14 rovnce pro normálový gradent normálního zrychlení γ (Heskanen a Mortz 1967) γ γ aω = ( 1 + m + f f sn ϕ ), m =, (5.9) n a γ kde a je velkost hlavní poloosy referenčního elpsodu, f je zploštění referenčního elpsodu, ω je úhlová rychlost rotace Země a γ e je normální tíhové zrychlení na rovníku. Pokud v této rovnc zanedbáme členy souvsející s rotací Země (nabývají velm malých hodnot) a zploštěním referenčního elpsodu (zploštení f je velm malé), získáme přblžný vztah pro normální tíhové zrychlení γ (Heskanen a Mortz 1967) ( r θ) γ, γ ( rp, θp ), (5.30) n a P kde a je velkost hlavní poloosy referenčního elpsodu. Dosadíme do rovnce (5.7) a získáme vztah pro tíhovou anomál (, θ, λ,, θ ) δ (, θ, λ ) P P P P P P P P e ( r, ) T( rp, P, P) n γ ( r, θ ) γ θ θ λ g r r = g r + = P P P = δ g( rp, θp, λp) T( rp, θp, λp). (5.31) a Př použtí sfércké aproxmace n r přejde rovnce (5.31) do tvaru ( θλ) T r,, g( rp, θp, λp) = T rp, θp, λp r r P P ( ) kde g( r, θ, λ ) je hodnota tíhové anomále, (,, ) P P P P P P, (5.3) T r θ λ je hodnota poruchového tíhového potencálu v bodě P na topograf a r P je velkost průvodče bodu P na topograf. Tato rovnce popsuje druhou možnost, jak může být zadána okrajová podmínka pro poruchový tíhový potencál T. Tato okrajová podmínka se obecně nazývá Newtonova 14 Moloděnskj, Mchal Sergejevč ( ) ruský matematk a geodet 56

58 5 Matematcké metody řešení (Robnova) a je součástí třetí (smíšené) okrajové úlohy. Pro poruchový tíhový potencál T se tato úloha nazývá Stokesova 15. Stejným postupem je možné popsat tíhovou anomál, která je vztažena k bodům na geodu a na referenčním elpsodu. Sférckou aproxmací n kde bod Q leží na geodu (vz obr. 5-1). ( θλ) r získáme vztah T r,, g( rq, θq, λq) = T rq, θq, λq r r Q P ( ), (5.33) 5.3 Řešení Drchletovy úlohy Vnější Drchletova úloha pro obecnou funkc τ v bodě o souřadncích ( r, θ, λ ), splňující Laplaceovu dferencální rovnc vně uzavřené oblast, má tvar kde (,, ) τ r B B B ( r θ λ) r, τ,, = 0, pror> B ( ) ( ) τ ( r θ λ) τ r, θ, λ = τ r, θ, λ, pror = r, (5.34) B B B B lm,, = 0, r τ θ λ je známá plošně ntegrovatelná funkce, která určuje hodnoty funkce ( r,, ) θλ na hranc oblast. Tato úloha tedy určuje hodnotu funkce τ vně hrance za předpokladu, že hodnota této funkce na hranc je známá. Nechť tato hrance vymezuje plochu o obsahu S, jejíž plošný element označíme ds. Řešením takto zadané Drchletovy úlohy pro r r je Abel-Possonův ntegrál (Kellogg 197, Bjerhammar 1963) B 1 τ ( r, θλ, ) = τ( rb, θb, λb) K( r, θλ,, rb, θb, λb) ds( rb, θb, λb) S. (5.35) Integrační jádro (,,,,, ) S K r θ λ r B θ B λ B se nazývá Greenova funkce. Pokud bude S povrch náhradní koule o poloměru R, je obsah příslušné kulové plochy dán vztahem plošný element ve sférckých souřadncích je určen vztahem Possonův ntegrál je potom popsán rovncí S = 4π R a ds = R snθdλdθ. Abel- 15 Stokes, George Gabrel ( ) rský matematk a fyzk 57

59 5 Matematcké metody řešení 1 τ ( r, θλ, ) = τ( R, θb, λb) K( ψ ) snθbdλbdθb 4π r,,r, (5.36) θ λ B B kde ψ je úhlová sfércká vzdálenost mez bodem vně náhradní koule o sférckých souřadncích ( r, θ, λ ), ve kterém je určována hodnota funkce τ, a ntegračním bodem na povrchu náhradní koule o sférckých souřadncích (,, ) ψ je určena vztahem R θ λ. Úhlová sfércká vzdálenost B cosψ = cosθcosθ + snθsnθ cos( λ λ ). (5.37) B B B V případě ntegrace přes náhradní koul o poloměru R je možné ntegrační jádro K vyjádřt analytcky pomocí nekonečné řady (Kellogg 197) kde n+ 1 R K( r, ψ,r) = ( n+ 1) Pn ( cosψ ), (5.38) n= 0 r P n je Legendreův polynom prvního druhu (vz Dodatek C, rov. C.7), nebo v uzavřeném tvaru K ( ψ ) r( r R ) ( ) 3 r + R rrcosψ B r,,r =. (5.39) V předchozím odstavc jsme předpokládal, že hrancí přes kterou se ntegruje je kulová plocha S. V geodéz se jako hranční plocha využívá také referenční elpsod. Vzhledem k symetr referenčního elpsodu je možné v tomto případě určt ntegrační jádro, které je ale mnohem složtější než ntegrační jádro pro koul. Př určování poruchového tíhového potencálu T pomocí rovnce (5.36) je však nutné řešt nverzní úlohu (Fredholmův ntegrál prvního druhu), protože neznámou funkcí je v tomto případě poruchový tíhový potencál (,, ) T R θ λ v bodech na náhradní koul, tj. uvntř ntegrálu. Řešení tohoto numercky nestablního ntegrálu je popsáno v následující kaptole. B B 5.4 Využtí Drchletovy úlohy př popsu tíhového pole Základní problém př řešení poruchového tíhového potencálu je rozpor mez daty, která jsou vyžadována vzhledem k použtým matematckým metodám, a mez daty, která je 58

60 5 Matematcké metody řešení skutečně možné měřt. Př řešení Drchletovy úlohy předpokládáme nejprve znalost poruchového tíhového potencálu T na geodu. Hodnotu poruchového tíhového potencálu T ale není možné přímo měřt. Proto nelze využít klascké řešení Drchletovy úlohy s okrajovou podmínkou kde (,, ) B B B (, θλ, ) (, θ, λ) T r = T r pror = r, (5.40) B B B B T r θ λ je hodnota poruchového tíhového potencálu na geodu, kterým je Abel- Possonův ntegrál 1 T( r, θ, λ) = T( rb, θb, λb) K( r, θ, λ, rb, θb, λb) ds( rb, θb, λb) S. (5.41) S Pokud v bodě o sférckých souřadncích ( r, θ, λ ) ležícím vně geodu aplkujeme obecný dferencální operátor f na rovnc (5.41), získáme modfkované řešení Drchletovy úlohy s okrajovou podmínkou (5.40), opět ve formě Abel-Possonova ntegrálu (Novák 003): 1 f T( r, θ, λ) = T( rb, θb, λb) f K( r, θ, λ, rb, θb, λb) ds( rb, θb, λb) S, (5.4) kde (,,,,, ) S K r θ λ r B θ B λ B je stejné ntegrační jádro jako v klascké Drchletově úloze. Protože geod není znám, použjeme opět jako hranc náhradní koul o poloměru R. Získáme tak řešení modfkované Drchletovy úlohy ve tvaru 1 f T( r, θ, λ) = T( R, θb, λb) f K( r, ψ, R) snθbdλbdθb 4π. (5.43) θ λ B B V kaptole 5..1 a 5.. byly př použtí sfércké aproxmace odvozeny dvě okrajové podmínky, které je možné použít př řešení poruchového tíhového potencálu: kde (,, ) P P P (,, ) δg r θ λ P P P T r = r ( θλ) (, θ, λ ) T r,, g( rp, θp, λp) = T rp, θp, λp r r P P P, (5.44) ( ), (5.45) T r θ λ je hodnota poruchového tíhového potencálu v bodě P o souřadncích (,, ) r θ λ, který leží na topograf. V případě tíhové poruchy δ g byl na poruchový P P P tíhový potencál T použt operátor f : 1 f 1 =, (5.46) r 59

61 5 Matematcké metody řešení v případě tíhové anomále g byl použt operátor f : f =. (5.47) r r Aplkací operátorů f1, f v bodě P na Abel-Possonův ntegrál získáme řešení ve tvaru: 1 δ g( r, θ, λ ) = T( R, θ, λ ) f K( r, ψ,r ) snθ dλ dθ, (5.48) kde (,, ) P P P B B 1 P B B B 4π θbλb 1 g( r, θ, λ ) = T( R, θ, λ ) f K( r, ψ,r ) snθ dλ dθ, (5.49) B B P P P B B P B B B 4π θbλb T R θ λ je určovaná hodnota poruchového tíhového potencálu T v bodech o souřadncích ( R, θ, λ ), které leží na náhradní koul, a f K( ψ ) B B r, P,R je příslušné ntegrační jádro, které lze odvodt aplkací příslušného operátoru na funkc v rovnc (5.39). Hodnoty tíhové poruchy a tíhové anomále v bodě P na povrchu topografe je možné určt z tíhových měření. Výsledkem této úlohy je hodnota poruchového tíhového potencálu T na náhradní koul. Tento postup spojuje klascké dvoukrokové řešení poruchového tíhového potencálu na geodu (vz kap. 5.5) do jednoho kroku, kterým je řešení Fredholmova ntegrálu prvního druhu Řešení nverzní Drchletovy úlohy Pomocí ntegrálů (5.48) a (5.49) nelze poruchový tíhový potencál T spojtě řešt. Pravou stranu rovnce (5.48) je nutné převést na dskrétní tvar kde n 1 δ g( r, θ, λ ) = T( R, θ, λ ) f K( r, ψ,r ) dω( θ, λ ), (5.50) P P P B B 1 P B B 4π = 1 Ω Ω je konečný element prostorového úhlu Ω, který vznkl dskretzací ntegrálu přes celý prostorový úhel Ω. Použtím věty o střední hodnotě (Drábek, Míka 1999) lze rovnc (5.50) přepsat do tvaru 1 1 δg r θ λ T f K r, ψ,r d θ λ T K, (5.51) n n P P P 1 B B 4π P = 1 4π S = 1 (,, ) ( Ω ) ( ) Ω (, ) = ( Ω ) kde T ( Ω ) je střední hodnota poruchového tíhového potencálu na elementu povrchu náhradní koule určeném prostorovým úhlem Ω. Hodnotu K ntegračního jádra lze 60

62 5 Matematcké metody řešení získat ntegrací funkce f K( ψ ) daném prostorovým úhlem zapsat ve tvaru 1 r, P,R na příslušném plošném elementu náhradní koule Ω. Získáme tak přeurčenou soustavu rovnc, kterou lze kde l je vektor měřených hodnot tíhové poruchy (,, ) l = At, (5.5) δ g r P θ P λ P, A je matce soustavy a t je vektor hledaných středních hodnot poruchového tíhového potencálu, tj. ( Ω ), ( Ω ),..., ( Ω ) t= T 1 T T n. (5.53) Obdobně lze dskretzovat pravou stranu ntegrálu v rovnc (5.49) n 1 g( rp, θp, λp) T ( Ω) K, (5.54) 4π kde hodnota j = 1 K ntegračního jádra byla získána ntegrací funkce f K( ψ ) T r, P,R na příslušném plošném elementu povrchu náhradní koule určeném prostorovým úhlem Vznklou soustavu rovnc lze zapsat ve tvaru kde k je vektor měřených hodnot tíhové anomále g( r, θ, λ ) Ω. k = Bt, (5.55) P P P, B je matce soustavy a t je vektor hledaných středních hodnot poruchového tíhového potencálu, vz rov. (5.53). 5.5 Dvoukrokové řešení poruchového tíhového potencálu Úlohu na určení poruchového tíhového potencálu T na geodu je možné řešt také dvoukrokově. Exstují dva způsoby dvoukrokového řešení, které se opět lší vstupním daty. Pokud známe elpsodální výšku h bodů, ve kterých bylo měřeno tíhové zrychlení, vychází se př řešení ze vztahu pro tíhovou poruchu δ g. Pokud elpsodální výška není dána, je nutné použít vztah pro tíhovou anomál př výpočtech geodu. g. Tento způsob je tradčně používán 61

63 5 Matematcké metody řešení Řešení pomocí tíhové poruchy Ze vztahu pro tíhovou poruchu lze odvodt vztah (5.) mez poruchovým tíhovým potencálem T v bodě na topograf a hodnotou tíhové poruchy δ g ve stejném bodě. Pro výpočet poruchového tíhového potencálu na geodu je ale nutná znalost tíhové poruchy v bodě na geodu a nkol v bodě na topograf. Problém převodu hodnot tíhové poruchy z povrchu topografe na geod se nazývá harmoncké prodlužování tíhových dat. Tato úloha je založena na vnější Drchletově úloze s volnou hrancí, která je zadaná vztahy ( θ λ) rδg r,, = 0, pro body vně geodu, ( ) Q ( Q Q Q) rδg r, θ, λ = r δg r, θ, λ, probodqna geodu, (5.56) ( θ λ) lm δg r,, = r Protože průběh geodu není znám, budeme v dalším textu opět aproxmovat geod náhradní koulí o poloměru R. V úloze popsané vztahy (5.56) jsou známé hodnoty tíhové poruchy δ g v bodech na topograf, tj. vně geodu. Vzhledem k podmínce harmončnost tíhové poruchy vně geodu je nutné opravt vstupní data o vlv topografckých hmot a atmosféry (Heskanen a Mortz 1967). V této dplomové prác tato problematka není dskutována. Nechť je bod P na topograf opět určen souřadncem (,, ) r θ λ. Řešením Drchletovy P P P úlohy v tomto bodě je Abel-Possonův ntegrál rpδ g( rp, θp, λp) = R δg( R, θq, λq) K( rp ψ ) snθqdλqdθq 4π,,R. (5.57) θ λ Q Q Integrál přes náhradní koul je v tomto případě možné nahradt ntegrálem přes její část. Váhovým parametrem vlvu hodnot g( R, Q, Q) v určovaném bodě P je ntegrační jádro K( r ψ ) se vlv hodnot g( R, Q, Q) Hodnota (,, ) δ θ λ na hodnotu tíhové poruchy P,,R. Z průběhu této funkce je zřejmé, že δ θ λ s rostoucí hodnotou sfércké vzdálenost ψ rychle snžuje. δ g r P θ P λ P je tedy ovlvněna především hodnotam tíhové poruchy v bodech na náhradní koul, které jsou nejblíže výpočetnímu bodu. Je tedy možné ntegrovat s vysokou přesností pouze lokálně. Lokální ntegrace umožňuje řešt nverzní úlohu, kde 16 Podmínka regularty tíhové poruchy v nekonečnu je splněna. Tento vztah plyne přímo z defnce tíhové poruchy. 6

64 5 Matematcké metody řešení neznámé hodnoty g( R, Q, Q) dskrétní hodnoty tíhové poruchy g( R, Q, Q) Pokud jž známe hodnoty tíhové poruchy g( R, Q, Q) δ θ λ jsou uvntř ntegrálu (vz kap ). Získáme tak δ θ λ v bodech na náhradní koul o poloměru R. δ θ λ na náhradní koul aproxmující geod, můžeme řešt převod těchto hodnot na poruchový tíhový potencál T. Vztah mez tíhovou poruchou a poruchovým tíhovým potencálem popsuje rovnce (5.) odvozená v kaptole 5..1: (, Q, Q) δg R θ λ T r = r (, θ, λ ) Q. (5.58) Řešíme tedy druhou (Neumannovu) okrajovou úlohu, která je zadaná vztahy ( θλ) T r,, = 0, pror> R, (, θλ, ) T r = δg( R, θq, λq), pror = R, (5.59) r Q θq, λq ( ) lm T r, θλ, = 0. r Řešením této úlohy pro body na náhradní koul o poloměru R je Greenův ntegrál R T( R, θ, λ) = δg( R, θq, λq) H( ψ) snθqdλqdθq 4π. (5.60) Integrační jádro H ( ψ ) se nazývá Hotnova sfércká funkce (Hotne 1969). Tato funkce je určena řadou H n + 1, (5.61) n + 1 n ( ψ ) = P ( cosψ ) n= kde P n je Legendreův polynom prvního druhu. Hotnovu sférckou funkc lze popsat také uzavřenou formulí (Hotne 1969): H ( ψ ) ψ ψ = sn ln 1 + sn 1 1. (5.6) 63

65 5 Matematcké metody řešení 5.5. Řešení pomocí tíhové anomále Pokud neznáme elpsodální výšky bodů, ve kterých bylo měřeno tíhové zrychlení g, nemůžeme určt tíhovou poruchu δ g v bodech na topograf. Proto je nutné použít velčnu, která tíhovou poruchu nahrazuje. Touto velčnou je tíhová anomále g, která je vztažena ke dvěma bodům, z nchž jeden leží na topograf a druhý na Moloděnského tellurodu. Tíhovou anomál lze odvodt z normálních výšek, které je možné určt z nvelačních měření. Př použtí sfércké aproxmace uvedené v kaptole 5.. se tíhová anomále vztahuje pouze k bodu P o souřadncích (,, ) r θ λ ležícímu na topograf. P P P Tíhovou anomál g na topograf lze určt z tíhových měření. Stejně jako v případě tíhové poruchy, také v tomto případě je pro další výpočty nutné znát hodnotu tíhové anomále nkol na topograf, ale na geodu. Tento převod opět vychází z vnější Drchletovy úlohy, kde volnou hranc geod nahradíme koulí o poloměru R. Řešením je opět Abel-Possonův ntegrál rp g( rp, θp, λp) = R g( R, θq, λq) K( rp ψ ) snθqdλqdθq 4π,,R. (5.63) θ λ Q Q Hledané hodnoty tíhové anomále g( R, θq, λq) kap ). Tíhová anomále g( R, θq, λq) získáme opět řešením nverzní úlohy (vz určená v předchozím odstavc defnuje okrajovou podmínku pro třetí (Newtonovu, Robnovu) okrajovou úlohu, která se pro poruchový tíhový potencál T nazývá Stokesova úloha: ( θλ) ( θλ) T r,, = 0, pror> R, T r,, T( R, θq, λq) = g( R, θq, λq), pror = R, (5.64) r R Q ( ) lm T r, θλ, = 0. r Řešením této úlohy pro body na náhradní koul o poloměru R je Greenův ntegrál R T( R, θ, λ) = g( R, θq, λq) S( ψ) snθqdλqdθq 4π. (5.65) θq, λq Integrační jádro S ( ψ ) se nazývá Stokesova sfércká funkce (Stokes 1849; Heskanen a Mortz 1967). Stokesova funkce je určena řadou 64

66 5 Matematcké metody řešení S n + 1, (5.66) n 1 n ( ψ ) = P ( cosψ ) n= kde P n je opět Legendreův polynom prvního druhu. Lze j popsat také uzavřenou formulí (Stokes 1849): S ( ) 1 ψ ψ ψ ψ sn 6sn 1 5cos 3cos ln sn sn. (5.67) ψ = + ψ ψ Brunsův teorém Stokesova a Hotnova úloha umožňují určt poruchový tíhový potencál T na geodu z tíhových dat, která je možné měřt na povrchu č vně Země. Z hodnot poruchového tíhového potencálu T je potom možné určt hodnoty tíhového potencálu W, který popsuje skutečné tíhové pole Země. K určení průběhu geodu je ale potřeba určt geodální výšky N. Převod poruchového tíhového potencálu T na výšky N umožňuje Brunsův teorém. Geod je hladnová plocha tíhového pole Země s konstantní hodnotou tíhového potencálu W = W0 = konst. Referenční elpsod je defnován jako hladnová plocha normálního tíhového pole s konstantní hodnotou normálního tíhového potencálu U 0, která je rovna tíhovému potencálu na geodu, tj. U0 = W0. Pro bod Q na geodu o souřadncích ( rq, θq, λ Q) a bod Q' na referenčním elpsodu o souřadncích ( rq, θq, λq ) W ( rq, θq, λq) U( rq, θq ) W0 kde W ( rq, θq, λ Q) je skutečný tíhový potencál v bodě na geodu a U( rq, θq ) tedy platí = =, (5.68) normální tíhový potencál v bodě na referenčním elpsodu. Nechť tyto body leží na normále k referenčnímu elpsodu. Potom lze vyjádřt hodnotu normálního tíhového potencálu v bodě na geodu pomocí prvních dvou členů Taylorova rozvoje ( Q, θq) ( Q, θq ) (, θ ) U r U r U r + N, (5.69) n Q kde N je geodální výška. Řada velm rychle konverguje k nule, další členy je tedy možné zanedbat. Z defnce normálního tíhového zrychlení lze odvodt vztah 65

67 5 Matematcké metody řešení kde γ ( r Q, θ Q ) γ ( rq, θq ) U r = (, θ ) n Q, (5.70) je složka normálního tíhového zrychlení ve směru normály n k elpsodu. Po dosazení tohoto vztahu do rovnce (5.69) lze vyjádřt hledanou geodální výšku N : ( Q, θq) U( rq, θq ) γ ( rq, θq ) U r N. (5.71) Navíc platí, že U( rq, θq ) = W0 = W( rq, θq, λq), (5.7) tedy po dosazení U( rq, θq) W( rq, θq, λq) T( rq, θq, λq) N =. (5.73) γ r, θ γ r, θ ( ) ( ) Q Q Q Q Pro geodální výšku N bodu Q o souřadncích ( Q, Q, Q) r θ λ ležícím na geodu tak získáme vztah (Heskanen a Mortz 1967) T( rq, θq, λq) N, (5.74) γ r, θ ( Q Q ) kde T( rq, θq, λ Q) je poruchový tíhový potencál v bodě Q na geodu a γ ( r Q, θ Q ) je hodnota normálního tíhového zrychlení v bodě Q' na referenčním elpsodu. Nyní je zřejmé, proč jsme se snažl vypočítat poruchový tíhový potencál T na geodu. 5.7 Moloděnského úloha Všechny úlohy, které byly popsány v předchozích kaptolách, vedly k určení geodu. Během řešení bylo nutné nejdříve známé hodnoty tíhového zrychlení redukovat o vlv všech hmot vně geodu a převést je z povrchu Země (topografe) na geod. Úloha harmonckého prodlužování tíhových dat je ale nverzní úloha. Navíc jsou data převáděna na plochu, která není známá. Dále je nutné měřené hodnoty tíže opravt o topografcké redukce, které je pro neznalost přesného rozložení hmot uvntř topografe velm složté spočítat. Výsledkem tedy bude pouze přblžné řešení geodu. Moloděnského úloha (Moloděnskj 1945) řeší poruchový tíhový potencál T přímo na topograf. Proto zde 66

68 5 Matematcké metody řešení odpadá krok, ve kterém byla data harmoncky prodlužována na geod. Nemusí se tedy řešt žádná nverzní úloha an zavádět topografcké č atmosfércké korekce. Nevýhoda této úlohy ale spočívá ve velm komplkované hranc, na které probíhá výpočet. V předchozích případech bylo možné nahradt hranc geod náhradní koulí, popř. referenčním elpsodem. Př lokálním řešení jsou odchylky obou náhradních ploch od geodu velm malé. V Moloděnského úloze je ale hrancí povrch topografe, jehož odchylky od referenčního elpsodu dosahují až několka klometrů. Topograf tedy nelze bez dalších oprav aproxmovat jednoduchou náhradní plochou. Proto není poruchový tíhový potencál T určen stejně jako v předchozích případech jednou ntegrální rovncí, ale je vyjádřen ve formě nekonečné řady T = T. (5.75) n= 0 Poruchový tíhový potencál určený Moloděnského úlohou na povrchu topografe také nevede k určení geodálních výšek, ale vede k určení výškových anomálí. Řešením je tedy kvazgeod. Členy řady defnované v rovnc (5.75) je možné určt různým způsoby. Jednou z možností je řešení rakouského geodeta Mortze (Fe 000), který analytcky prodloužl tíhové anomále z topografe na pomocnou koul procházející výpočetním bodem P o souřadncích (,, ) n R θ λ a na tyto tíhové anomále následně aplkoval P P P sférckou Stokesovu formul. Člen nultého řádu T 0 ve výpočetním bodě P na topograf popsuje hodnotu poruchového tíhového potencálu v tomto bodě za předpokladu, že hodnoty tíhové anomále jsou naměřeny v bodech na pomocné koul o poloměru R P a nkol v bodech na povrchu topografe o souřadncích ( r,, P θ λ ) - vz obr. 5- (ndex P u souřadnce r P značí, že se jedná o body na povrchu topografe). 67

69 5 Matematcké metody řešení Obrázek 5-: Rozložení dat v Moloděnského úloze Člen T 0 je potom dán sférckou Stokesovou formulí (vz rov. 5.65) RP T0 ( R, θ, λ ) = g( r, θ, λ) S( ψ ) snθdλdθ, (5.76) P P P P 4π θλ, kde R P je poloměr koule, která nahrazuje topograf v bodě P, g( r, θ, λ ) P ( ) ( ) n P P P n 4π θλ, je tíhová P P P anomále v bodech na topograf. Členy T n jsou tedy obecně dány vztahem R T R, θ, λ = g S ψ snθdλdθ, (5.77) kde g0 = g v bodech na topograf, ( ) ( ) g = H H L g, (5.78) 1 P 0 ( ) ( ) g = H HP L L g0, Operátor L je dán rovncí ( ) L f fp R f fp 3 R π l S 0 = + ds. (5.79) V uvedených rovncích je H ortometrcká výška bodů přes které se ntegruje, H P je ortometrcká výška výpočetního bodu P, R je poloměr koule aproxmující geod, f P je hodnota funkce f v bodě P, l 0 je sfércká vzdálenost bodů ležících na koul o poloměru R, ψ tj. l 0 = Rsn. 68

70 5 Matematcké metody řešení Ačkol není zcela vyřešen problém důkazu konvergence řady (5.75), stačí pro výpočet poruchového tíhového potencálu použít pouze několk prvních členů této řady Ukázka výpočtu kvazgeodu na základě kombnace tíhových měření Jak bylo řečeno v úvodu kaptoly 5, tíhový potencál W je možné rozdělt vzhledem k měřeným datům na globální a rezduální složku. Globální složku tíhového potencálu W je možné popsat pomocí sfércké harmoncké řady (vz. kap. 3.1.). Rezduální složka se pak řeší především pomocí okrajových úloh popsaných v kaptolách 5.4 a 5.5. Způsob určení tíhového potencálu W kombnací globální a rezduální složky nebyl v této prác dskutován. Cílem tíhových měření často není pops tíhového potencálu W, ale určení jeho konkrétní hladnové plochy geodu. V zemích, kde se používají normální výšky, je geod nahrazen kvazgeodem. Následující ukázka popsuje výsledky měření kvazgeodu na území České republky (Novák 006). Obr. 5-3 zobrazuje kvazgeod určený součtem sfércké harmoncké řady do stupně n = 10. Rezduální složka byla získána z měřených lokálních tíhových dat, z nchž byla odečtena data jž zahrnutá v globální složce popsané harmonckou řadou. Rezduální složka je zobrazena na obr Výsledný kvazgeod (vz obr. 5-5) je určen součtem globální a rezduální složky (tj. hodnot na obr. 5-3 a 5-4). 17 Počet použtých členů řady závsí na člentost terénu. I ve vysokých horách ale většnou stačí použít první dva členy řady. 69

71 5 Matematcké metody řešení Obrázek 5-3: Kvazgeod (v metrech) - globální složka určená sférckou harmonckou řadou do n=10 (zdroj: Novák 006) 70

72 5 Matematcké metody řešení Obrázek 5-4: Kvazgeod (v metrech) - rezduální složka pro n 11 (zdroj: Novák 006) 71

73 5 Matematcké metody řešení Obrázek 5-5: Kvazgeod (v metrech) na území ČR (zdroj: Novák 006) 7