M - Příprava na pololetní písemku č. Určeno jako studijní materiál pro třídu K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý 1 z 46
příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1 ö ç1+ +. x è x x ø x + x + 1; x ¹ 0 36. 41 3. 419 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 18v.( 5v + 7) 30v + 4 3v; v ¹ -7/5 5. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 u + u. u -1 ( u -1) u ; u ¹ ± 1 319 318 6. 414 z 46
7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a - b + 1.( a - b -1) a - b -1 ( ) 1; a ¹ b - 1, a ¹ b + 1 8. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ xy- y ç è y x xy ö ø -. 3 (- xy ) 3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0 3 37 9. 40 10. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x - y.( x - y) x - 4y x - y ; x ¹ ± y x + y 317 11. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:.( y - z ) y + z. (y - z); y ¹ -z 331 1. 45 3 z 46
13. 416 14. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1 3x y (- x y ). 6 -y; x ¹ 0, y ¹ 0 15. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: p - q.( 4 p - 4 pq) 4 p -8pq + 4q p; p ¹ q 16. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 8x + 7.( 14-16x) 8x - 7 -.(8x + 7); x ¹ 7/8 17. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x x - y ö ç +.( y + x) è x + y x - 4y ø x + 1; x ¹ ± y 18. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 4r + 8rs + 49s.( r - 7s) r + 7s 7 4r - 49s ; r ¹ - s 31 31 316 38 30 19. 413 4 z 46
0. 418-1,7 1. 411. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1- x.( - 6x ) 3x 4x - x; x ¹ 0 3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: m - 5n.( n - 3m) 3m - n 5n - m; n ¹ (3/)m 4. Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 6x -1.( 1x + ) 6x + 1.(6x - 1); x ¹ -1/6 5. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3a + - b.( + b - 3a) 4-3a - b ( ) 1; b ¹ 3a - ; b ¹ 3a + 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 + 5x.1x 7x 9x + 15x ; x ¹ 0 330 33 315 33 311 5 z 46
7. 417 8. 41 9. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x + 3y ö ç -. - è 3y - x x - 9y ø -3; x ¹ ± 3y ( x 3y) 39 30. 415 31. 44 6 z 46
3. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x x - + y y (-1). y - x; x ¹ -y 33. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 34 314 3x; x ¹ 0, x ¹ 1 34. 43 35. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 3s + r ç - è r - 3s 9s - r -; r ¹ ± 3s ö. ø ( 3s - r) 36. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1+ x ö ç -.(- x) è x x ø x; x ¹ 0 333 35 37. 4 ± Rovnice Co je rovnice Rovnice je matematický zápis rovnosti dvou výrazů. 7 z 46
př.: x + 5 = 7x - 3 Písmeno zapsané v rovnici nazýváme neznámá. Pokud určíme hodnotu neznámé, získáváme tzv. řešení rovnice nebo též kořen rovnice. Rovnice můžeme mít s jednou neznámou, se dvěma neznámými, s parametrem, s absolutní hodnotou; rovnice mohou být lineární, kvadratické, kubické, exponenciální, logaritmické, apod. Zabývat se budeme i řešením soustav rovnic, což je zápis dvou nebo více rovnic, zpravidla o dvou nebo více neznámých, přičemž všechny rovnice platí současně. Ekvivalentní úpravy rovnic 1. ekvivalentní úprava K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (resp. odečíst) stejné číslo. př.: x + 3 = 7-3x /+3x 5x + 3 = 7 Pozn.: V praxi se nejedná o nic jiného než o poznatek, který nám říká, že při převodu členu obsaženého v součtu nebo v rozdílu z jedné strany rovnice na druhou měníme u tohoto členu znaménko.. ekvivalentní úprava Obě strany rovnice můžeme vynásobit, případně vydělit stejným číslem různým od nuly. př.: 8x = 4 /:8 x = 3 Pozn.: Pokud se u rovnic vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme před zahájením řešení stanovit podmínky řešitelnosti. Pozn.: Zatím se budeme zabývat tzv. lineárními rovnicemi, což jsou takové rovnice, u nichž se neznámá vyskytuje pouze v první mocnině. Pozn.: Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je nepravdivá rovnost (nerovnost), pak daná rovnice nemá řešení. Pokud při řešení rovnice vyjde závěr, kterým je pravdivá rovnost, pak daná rovnice má nekonečně mnoho řešení; řešením jsou pak všechna reálná čísla, jedná-li se o rovnici bez neznámé ve jmenovateli anebo všechna reálná čísla s výjimkou těch, která odporují podmínce řešitelnosti, jedná-li se o rovnici s neznámou ve jmenovateli. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Řešení jednoduchých rovnic - ukázkové příklady Příklad 1: Řešení: 8 z 46
Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: Příklad 4: Řešení: Příklad 5: x = 9/7 Řešení: 9 z 46
± Rovnice - procvičovací příklady 1. 806-1. 850 0 3. 808 5 4. 817 10 5. 841 0,5 10 z 46
6. 85 1 3 7. 839-1 8. 811-0,5 9. 83-1, 10. 81-10 11. 844-1 1. 846-5 11 z 46
13. 831-4 14. 88 4 3 15. 834 -,5 16. 809 0,5 17. 83-5 18. 81 3 1 z 46
19. 815 0,5 0. 86 5 1. 833-0,5. 835 4 3. 807 1-6 4. 84 5. 814 13 z 46
6. 848 0,1 7. 816 1 8. 843 0 9. 830 13 30. 8 10 31. 818 6 3. 805 3 14 z 46
33. 819-34. 813-1 35. 836 11 36. 89 13 37. 847-9 38. 80 3 15 z 46
39. 845 1-3 40. 838 87 41. 84 0,5 4. 87-0,5 43. 810 5 44. 837 1 45. 849 Všechna reálná čísla 16 z 46
46. 840 1-3 ± Vyjádření neznámé ze vzorce Vyjádření neznámé ze vzorce Při vyjadřování neznámé ze vzorce postupujeme obdobně, jako kdybychom řešili rovnici, s tím, že za neznámou považujeme veličinu, kterou potřebujeme vyjádřit. Základní pravidla: 1. Pokud některý člen převádíme z jedné strany "rovnice" na druhou, měníme u tohoto členu znaménko Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu a + 3b = 4mn, dostáváme a = 4mn - 3b. Pokud osamostatňujeme proměnnou, která je vázána v součinu, dělíme celou "rovnici" všemi činiteli, které se kromě osamostatňované proměnné v součinu vyskytují Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu 4abc = 4mn, dostáváme a = (4mn) : (4bc ) 3. Je-li proměnná, kterou chceme osamostatnit, zapsána ve druhé (resp. ve třetí mocnině), provedeme odmocnění (resp. třetí odmocnění) celé "rovnice". Příklad: Vyjadřujeme veličinu a ze zápisu a = 4mn, dostáváme a = Ö(4mn) = Ö(mn) ± Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady 1. 716 z = S v. 719 17 z 46
3. 70 4. Pro výpočet tepla platí vzorec Q = m. c. (t - t 1). Vyjádřete teplotu t : t = Q/(c. m) + t 1 71 5. 717 S - cv a = v 6. Pro efektivní proud platí vzorec I = I m. /. Vyjádřete z něj amplitudu I m: I m = I 75 7. Pro výsledný odpor paralelně zapojených rezistorů platí vzorec: 1/R = 1/R 1 + 1/R. Vyjádřete veličinu R: R R R = 1. R + R 1 74 8. Ze vzorce pro výpočet povrchu rotačního kužele S = p. r. (r + s) vyjádřete stranu kužele s: S s = - r p. r 9. Pro výpočet transformátoru platí vzorec N /N 1 = U /U 1. Vyjádřete sekundární napětí U : U = (N. U 1)/N 1 10. Ze vzorce pro výpočet objemu pravidelného čtyřbokého jehlanu V = (1/3). a. v vyjádřete velikost a: a = 3V v 76 7 77 18 z 46
11. 718 m = F. r k 1. Elektrická práce se vypočítá podle vzorce W = R. I. t. Vyjádřete veličinu I: I = W Rt 73 13. Ze vzorce S =. p. r. (r + v) pro výpočet povrchu rotačního válce vyjádřete veličinu v: v = S -. p. r. p. r 78 ± Soustavy rovnic Soustavy rovnic Soustava rovnic je zápis dvou nebo více rovnic, které musí platit současně. V soustavě rovnic se může vyskytovat různý počet neznámých. My se zaměříme na takové soustavy rovnic, kde počet neznámých odpovídá počtu rovnic v soustavě (tedy budeme řešit např. soustavu dvou rovnic o dvou neznámých nebo soustavu třech rovnic o třech neznámých, apod.) Soustavy rovnic můžeme řešit různými metodami - např.: metodou dosazovací metodou sčítací metodou, která kombinuje metodu sčítací a dosazovací metodou grafickou pomocí matic, resp. determinantů Zatím se omezíme na první dvě z uvedených metod. Řešení soustav rovnic metodou dosazovací Tento způsob řešení je založen na postupu, kdy z jedné rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do zbývajících rovnic soustavy. Pokud byla zadána soustava dvou rovnic, pak už nyní řešíme jednu rovnici o jedné neznámé. Pokud původní soustava obsahovala tři nebo více rovnic, postup vyjádření neznámé opakujeme. Metoda dosazovací je vhodná tehdy, pokud u rovnic v základním tvaru (tj. u rovnic, které dostaneme po odstranění závorek a zlomků a následném sloučení členů) je alespoň u jedné neznámé v některé z rovnic koeficient 1 nebo (-1). Lze ji ale použít i jindy. Metota dosazovací se dále používá tehdy, je-li zadána soustava jedné lineární a jedné kvadratické rovnice. Takovými se ale budeme zabývat později. Metoda dosazovací se s úspěchem dá použít i při řešení soustav třech nebo více rovnic. 19 z 46
Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x + y = 3 x - y = -1 x = 3 - y (3 - y) - y = -1 3 - y - y = -1 -y = -4 y = x = 3 - x = 1 Výsledek zapíšeme: [x; y] = [1; ] Zkouška: L 1 = 1 + = 3 P 1 = 3 L = 1 - = -1 P = -1 L 1 = P 1 L = P Příklad : Řešte soustavu rovnic:. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + y) + 7. (3x + 5y) = 7 Řešení:. (x + y) - 5. (y - x) = 17 3. (x + y) + 7. (3x + 5y) = 7 x + y - 5y + 5x = 17 3x + 6y + 1x + 35y = 7 7x - 3y = 17 4x + 41y = 7 17 + 3y x = 7 17 + 3y 4. + 41y = 7 7 408 + 7y + 41y = 7 7 408 + 7y + 87y = 49 359y = -359 y = -1 x = Výsledek zapíšeme [x; y] = [; -1] Zkouška: 0 z 46
L 1 =. [ + (-1)] - 5. (-1 - ) = - 5. (-3) = 17 P 1 = 17 L = 3. [ +.(-1)] + 7. [3. + 5. (-1)] = 3. 0 + 7. 1 = 7 P = 7 L 1 = P 1 L = P Příklad 3: Řešte soustavu rovnic x - y = 1 3x - 3y = 3 x = 1 + y 3. (1 + y) - 3y = 3 3 + 3y - 3y = 3 0 = 0 Soustava má nekonečně mnoho řešení. Výsledek zapíšeme: [x; y] = [x; x - 1] (v tomto obecném zápisu výsledku první neznámou volíme libovolně a druhou neznámou vyjádříme ze kterékoliv zadané rovnice) Ověření správnosti řešení: Pro x = 1 dostáváme [1; 0] L 1 = 1-0 = 1 P 1 = 1 L = 3. 1-3. 0 = 3 P = 3 L 1 = P 1 L = P Příklad 4: Řešte soustavu rovnic: 3x + y = z + 1 3y + z = x + 1 3x + z = y + 1 -------------------- Stanovíme podmínky řešitelnosti: z ¹ -1; x ¹ -1; y ¹ -1 3x + y =. (z + 1) 3y + z =. (x + 1) 3x + z =. (y + 1) 3x + y = z + 3y + z = x + 3x + z = y + 3x + y - z = -x + 3y + z = 3x - y + z = Z první rovnice vyjádříme neznámou y: y = -3x + z + (1) Dosadíme do zbývajících dvou rovnic: 3. (-3x + z + ) + z =. (x + 1) 1 z 46
3x + z =. (-3x + z + + 1) -9x + 6z + 6 + z = x + 3x + z = -6x + 4z + 4 + -11x + 7z = -4 9x - 3z = 6 Druhou rovnici vykrátíme třemi, poté z ní vyjádříme neznámou z: z = 3x - () Dosadíme do první rovnice: -11x + 7. (3x - ) = -4-11x + 1x - 14 = -4 10x = 10 x = 1 Dosadíme do rovnice (): z = 3. 1 - = 1 Dosadíme do rovnice (1): y = -3. 1 +. 1 + = 1 Výsledky neodporují podmínkám řešitelnosti. Zapíšeme výsledek: [x; y; z] = [1; 1; 1] Zkouška: 3.1+ 1 4 L = = 1+ 1 1 = P 1 = L 1 = P 1 3.1+ 1 4 L = = = 1+ 1 P = L = P 3.1+ 1 4 L = = 3 = P 3 = L 3 = P 3 1+ 1 Shrnutí postupu řešení soustavy rovnic dosazovací metodou: 1. Jsou-li ve jmenovateli neznámé, stanovíme podmínky řešitelnosti. Rovnice upravíme do "základního" tvaru, tj. do tvaru, kdy na levé straně rovnice máme sloučené neznámé (v pořadí podle abecedy) a na pravé straně máme číslo; používáme přitom běžného postupu řešení samostatných rovnic - tedy nejprve odstraňujeme závorky, pak zlomky, atd. 3. Z libovolné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou (výhodné je volit tu, kde je koeficient 1). 4. Tuto vyjádřenou neznámou dosadíme do zbývající rovnice (příp. do zbývajících rovnic, je-li jich více). 5. Vyřešíme vzniklou rovnici o jedné neznámé běžným způsobem (platí tehdy, pokud byla zadána soustava dvou rovnic o dvou neznámých; pokud rovnic bylo více, vznikla nám nyní soustava více rovnic a musíme dále opakovat kroky ) - 4) ). 6. Vypočtenou neznámou dosadíme do rovnice, kde jsme vyjádřili první neznámou (krok 3) ) a vyřešíme druhou neznámou. 7. Provedeme zkoušku, a to tak, že dosazujeme do každé strany každé rovnice. 8. Zapíšeme výsledek uspořádanou dvojicí. Řešení soustav rovnic metodou sčítací Sčítací metodu je výhodné použít tehdy, pokud je u všech neznámých v rovnicích upravených do "základního" tvaru koeficient jiný než číslo 1 nebo (-1). Lze ji s výhodou ale samozřejmě použít i v případě, že tam jednička je. Sčítací metodu používáme zpravidla u soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Je ji ale možno použít i pro více rovnic. z 46
Ukázkové příklady: Příklad 5: Řešte soustavu rovnic:. (x - 3y) = 15 4x - y = -3 x - 6y = 15 (1) 4x - y = -3 Rovnice upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá x. Znamená to, že první rovnici vynásobíme číslem (-) a druhou necháme beze změn. Pozn.: Sečíst rovnice znamená sečíst jejich levé strany a jejich pravé strany. -4x + 1y = -30 4x - y = -3 Rovnice sečteme -4x + 4x + 1y - y = -30-3 11y = -33 y = -3 Vrátíme se k rovnicím v zápisu (1), tj. k rovnicím upraveným do "základního" tvaru. Nyní je upravíme tak, aby po jejich sečtení vypadla neznámá y. Stačí tedy první rovnici ponechat a druhou vynásobit číslem (-6): x - 6y = 15-4x + 6y = 18 Obě rovnice opět sečteme: x - 4x - 6y + 6y = 15 + 18 - x = 33 x = -1,5 Zapíšeme výsledek: [x; y] = [-1,5; -3] Zkouška se provádí stejným způsobem jako u dosazovací metody. Pozn.: Někdy se soustava rovnic také řeší tak, že jednu neznámou vyřešíme sčítací metodou a vzniklý kořen pak dosadíme do některé ze zadaných rovnic. Vyřešením rovnice o jedné neznámé pak získáme kořen druhý. V tomto případě ale už nelze hovořit o sčítací metodě. Pozn.: Pokud chceme řešit sčítací metodou soustavu více než dvou rovnic, pak postupujeme tak, že např. v soustavě třech rovnic, která je v "základním" tvaru, upravíme rovnice tak, aby po sečtení libovolných dvou rovnic vypadla jedna neznámá a při sečtení jiné libovolné dvojice vypadla tatáž neznámá. Tím získáme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou pak řešíme podle postupu v příkladu 5. ± Soustavy rovnic - procvičovací příklady 1. 901 Nekonečně mnoho řešení 3 z 46
. 897 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1]. 3. 900 Řešení je uspořádaná dvojice [1; 3] 4. 905 Řešením je uspořádaná dvojice [7; 5] 5. 898 Řešením je uspořádaná dvojice [4; -3] 6. 90 Nemá řešení. 7. 896 Řešením je uspořádaná dvojice [1; ] 4 z 46
8. 895 Soustava nemá řešení. 9. 903 Nekonečně mnoho řešení 10. 894 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] 11. 891 Nekonečně mnoho řešení 1. 908 Řešením je uspořádaná dvojice [3; ] 13. 907 Nemá řešení 5 z 46
14. 899 Řešením je uspořádaná dvojice [4; ] 15. 89 16. 904 Řešením je uspořádaná dvojice [11; 6] 17. 906 Řešením je uspořádaná dvojice [8; 3] 18. 893 Řešením je uspořádaná dvojice [1; -1] ± Slovní úlohy řešené rovnicí Slovní úlohy řešené rovnicí Do této skupisy slovních úloh patří jednak klasické slovní úlohy (např. typu "Ve skladu je ve třech policích... výrobků, v první polici jich je o 10 více než ve druhé a ve třetí o pět méně než v druhé. Kolik výrobků je v každé polici?"). Patří sem ale i slovní úlohy o pohybu ("Z místa A vyjelo auto rychlostí..., z místa B vyjelo auto v opačném 6 z 46
směru rychlostí... atd.) nebo úlohy o společné práci ("První zedník by sám postavil zeď za 1 hodin, druhý zedník by ji sám postavil za 8 hodin. Jak dlouho budou stavět zeď oba současně?), ale i úlohy o směsích ("Kolika procentní vznikne roztok, smícháme-li 1 litr 8%-ního octa s 0,5 litrem vody?") Většinu úloh je vhodné řešit pomocí tabulky. Obecný postup řešení (platí pro většínu slovních úloh řešených rovnicí): 1. Do tabulky provedeme zápis.. Sestavíme rovnici. 3. Vyřešíme rovnici a provedem zkoušku (můžeme též provést zkoušku příkladu). 4. Zapíšemé závěr - odpověď. ± Slovní úlohy - procvičovací příklady 1. Orba skončí v plánovaném termínu, jestliže traktoristé zorají denně 150 ha pole. Díky dobré péči mechaniků pracovaly traktory bez poruchy a traktoristé zorali denně 00 hektarů pole a skončily orbu o dva dny dříve, než se plánovalo. Kolik hektarů pole zorali a za kolik dní? Za 6 dní 1 00 ha pole.. Když byl cestující ve vlaku v polovině cesty, usnul. Po probuzení zjistil, že má jet ještě pětinu té cesty, kterou projel ve spánku. Jakou část cesty zaspal? Pět dvanáctin celé cesty 3. Viktor ušetřil dvakrát víc korun než Hanka, Tomáš o sedm korun méně než Viktor, Dáša o 13 Kč více než Tomáš. Dohromady ušetřili 93 Kč. Kolik ušetřil každý? Hanka 4 Kč, Tomáš 77 Kč, Viktor 84 Kč, Dáša 90 Kč. 4. Podnikatel měl dodat v lednu a v únoru stejné množství výrobků, v březnu pak dvojnásobné množství než v lednu. Kvůli provozním potížím však dodal v lednu o třetinu méně než měl, v únoru ještě o 60 kusů méně než v letnu a teprve v březnu dodal o 80 kusů víc než původně měl dodat za březen. Přesto chybělo ještě 1 kusů ke splnění celé dodávky. Jaké množství měl dodávat v jednotlivých měsících? Leden a únor po 360 kusech, březen 70 kusů. 5. Na rekreační zájezd jelo 35 účastníků. Bylo zaplaceno celkem 8 530 Kč. Zaměstnanci platili 165 Kč, rodinní příslušníci 310 Kč. Vypočítejte, kolik bylo zaměstnanců a kolik bylo rodinných příslušníků. 16 zaměstnanců, 19 rodinných příslušníků. 6. Během dne navštívilo výstavu 130 návštěvníků, kteří zaplatili vstupné v celkové částce 630 Kč. Kolik z nich bylo dospělých a kolik bylo dětí, jestliže vstupné pro dospělé bylo 6 Kč a vstupné pro děti bylo 3 Kč. Dospělých 80, dětí 50 7. Z kovové tyče byly zhotoveny tři součástky. Na první byla spotřebována polovina tyče, na druhou dvě třetiny zbytku a třetí měla hmotnost 3 kg. Jakou hmotnost měla celá tyč? 18 kg 1004 1016 987 1015 997 1005 1003 7 z 46
8. Ve městě jsou dvě školy, ve kterých je celkem 1 157 žáků. V první škole je o 9 dívek více než chlapců, ve druhé škole je o chlapce více než dívek. Kolik je v obou školách dohromady chlapců a kolik dívek? 575 chlapců, 58 dívek 9. Prodavač prodal za tři dny celkem 1 80 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal 1,5krát více losů než druhý den. Kolik losů prodal první den? 430 losů 10. Jedna čtvrtina délky pilíře je zaražena v zemi, dvě třetiny jeho délky jsou ve vodě a nad hladinu vyčnívá část dlouhá 1,0 m. Jak dlouhý je pilíř? 14,4 m 11. Petr šel se svou sestrou Ivou na houby. Petr našel o 3 hub více než Iva. Cestou z lesa Iva poprosila Petra: "Dej mi tolik hub, abych jich měla alespoň o 5 více než ty." Petr jí vyhověl. Kolik hub jí nejméně musel dát? 14 hub 1. Slavného řeckého matematika Pythagora se ptali, kolik žáků navštěvuje jeho školu. Odpověděl: "Polovina žáků studuje matematiku, čtvrtina hudbu, semina mlčí a kromě toho jsou tam ještě tři ženy." Kolik žáků navštěvuje jeho školu? 8 13. Žák má ve stavebnici 15 volantů a 53 koleček. Ze všech volantů a koleček sestavuje tříkolky (1 volant a tři kolečka) a autíčka (1 volant a 4 kolečka). Kolik sestavil tříkolek a kolik autíček? 8 autíček, 7 tříkolek. 14. Zahradník koupil 80 květináčů za 83 Kč. Menší byly po 3 Kč, větší po 40 Kč. Kolik bylo kterých? 46 květináčů po 3 Kč, 34 květináčů po 40 Kč. 15. Dvě dílny jednoho závodu vyrobí denně 6 součástek. Aby společně vyrobily 350 součástek, pracovala první dílna 14 dní a druhá o den méně. Kolik součástek vyrobí každá dílna denně? První dílna 1 součástek, druhá dílna 14 součástek. 16. Jana a Eva četly stejnou knihu. Jana přečetla denně 14 stránek a dočetla knihu o den dříve než Eva, která přečetla denně 1 stránek. Kolik stran měla kniha? 84 17. Anička jela na jarní prázdniny k babičce. Za cestu zaplatila 38 Kč, což byly dvě třetiny jejích úspor. Babičce koupila dárek za 35,50 Kč a sestřence koupila knížku za 16,70 Kč. Kolik Kč jí zbylo na útratu, jestliže si ještě odložila peníze na zpáteční cestu? 4,80 Kč 1011 986 995 1013 988 1006 999 996 991 990 8 z 46
18. Mezi tři soutěžící děti byly rozděleny body tak, že poslední získalo jednu šestinu všech bodů, předposlední získalo jednu třetinu všech bodů a první získalo 60 bodů. Kolik bodů se celkem rozdělilo a kolik dostalo druhé dítě? Celkem 10 bodů, druhé dítě 40 bodů. 19. V teplárně spotřebovali první den pětinu zásoby uhlí, druhý den spotřebovali třetinu zbytku. Třetí a čtvrtý den spotřebovali zbývajících 6 400 tun uhlí. Jakou zásobu uhlí měla teplárna původně? 1 000 tun 0. Denní produkce mléka 630 litrů byla slita do konví, z nichž některé byly po 5 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 14 konví po 5 litrech, 8 konví po 35 litrech 1. Přátelé jeli na výlet. Nejprve 15 % celkové trasy jeli vlakem, pak jednu dvacetinu cesty šli pěšky, dalších 6 km jeli lanovkou, poté dvě pětiny cesty urazili pěšky a nakonec 14 km jeli vlakem. Kolik kilometrů ujeli vlakem a kolik kilometrů ušli pěšky? Vlakem 1,5 km, pěšky,5 km. Turista utratil každý den polovinu částky, kterou vlastní, a ještě 10 Kč. Za tři dny utratil všechny své peníze. Kolik peněz měl turista původně? 140 Kč 3. Otec chtěl původně rozdělit majetek svým dvěma synům v poměru 7:6. Pak ho však rozdělil v poměru 6:5 (ve stejném pořadí). Jeden ze dvou synů se rozzlobil, že měl původně dostat o 10 Kč víc. Kolik korun dostal každý syn? První syn dostal 9 360 Kč, druhý syn dostal 7 800 Kč. 4. Denní produkce mléka 60 litrů byla slita do konví, z nichž některé byly po 5 litrech a jiné po 35 litrech. Všechny konve byly plné. Kolik bylo jednotlivých konví? 15 konví po 5 litrech, 7 konví po 35 litrech 5. Číslo 138 napište jako součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel. 33, 34, 35, 36 6. Dvěma sourozencům je dohromady šest let. Jeden je o pět roků mladší než druhý. Určete věk obou sourozenců. Staršímu je 5,5 roku, mladšímu je 0,5 roku. 7. Písemná práce z matematiky dopadla takto: Polovina žáků vyřešila jen část úloh, všechny úlohy vyřešilo 8 žáků, čtvrtina žáků nevyřešila nic. Kolik žáků psalo písemnou práci? 3 žáků 8. Ivana si hrála s dvoumiskovými rovnoramennými vahami. Když položila na levou misku autíčko a na pravou míč a dvě kostky, nastala rovnováha. Další rovnováhu docílila, když na levou misku položila autíčko a jednu kostku a na pravou dva míče. Kolik kostek má právě takovou hmotnost jako autíčko? 5 993 1009 1010 1001 1014 101 1008 99 985 994 998 9 z 46
9. Do třídy chodí 7 žáků. V určitý den chybělo 6 chlapců a 1 dívka a počet chlapců a dívek byl v tento den stejný. Kolik chlapců a kolik dívek má třída celkem, jsou-li všichni žáci přítomni? 11 dívek, 16 chlapců 30. Limonáda s kelímkem stála 5,80 Kč. Limonáda byla o 5 Kč dražší než kelímek. Kolik stál kelímek? 40 haléřů 31. Dvě stě krabic pracích prášků bylo v obchodě narovnáno ve třech policích. V první bylo o 13 krabic více než ve druhé, ve druhé o jednu pětinu více než ve třetí polici. Kolik krabic bylo ve které polici? První police 79 krabic, druhá police 66 krabic, třetí police 55 krabic. 3. Žáci 8. ročníku byli na třídenním výletu a ušli celkem 4 km. První den ušli dvakrát více než třetí den a druhý den o 4 km více než třetí den. Kolik kilometrů ušli každý den? První den 19 km, druhý den 13,5 km, třetí den 9,5 km. 1000 989 1007 100 ± Slovní úlohy o pohybu - procvičovací příklady 1. Cyklistovi Ondrovi trvá cesta na kole z Lomnice do Třeboně o polovinu déle než cyklistovi Martinovi. Vyjedou-li proti sobě, setkají se za 0 minut. Kolik minut trvá cyklistovi Ondrovi celá cesta? Vzdálenost mezi Lomnicí a Třeboní je 10 km. 50 minut 614. 573 63 km 3. 586 18 km 4. 577 0 km/h 30 z 46
5. 585 Rychlost auta je 56 km/h, vzdálenost měst je 80 km. 6. Karel vyjel v 8 hodin na kole na výlet do místa vzdáleného 30 kilometrů. Jel rychlostí 0 km/h; po nějakém čase měl na kole poruchu, kterou se snažil 30 minut opravit. Když se mu to nepodařilo, vrátil se domů pěšky rychlostí 5 km/h a přišel přesně v 10 hodin 30 minut. Jakou vzdálenost šel pěšky? 8 km 60 7. 590 Nákladní auto přijelo o 160 sekund dříve. 8. Z Prahy je pěkná vycházka po červené značce na hrad Okoř. Výchozím bodem je konečná autobusu městské hromadné dopravy na pražském letišti. Spolužačky Lenka, Tereza a Jana se smluvily, že si v sobotu odpoledne na hrad Okoř vyjdou. Aby nemusely čekat u letiště, dohodly se, že se sejdou až na hradě. Jana přijela na letiště jako první, Tereza 36 minut po ní, Lenka hodinu po Janě a každá se hned vydala po značce. Na Okoř dorazily všechny tři současně. Lenka šla rychlostí 6 km/h, Tereza rychlostí 5 km/h. Jakou rychlostí šla Jana? 4 km/h 615 9. 584 V 10 hodin, ve vzdálenosti 160 km od místa A 10. 575 40 m 11. 58 14 km/h 1. 580 V 9 hodin 3 minuty ve vzdálenosti 1,6 km od Jihlavy 31 z 46
13. Karel vyjel v 8 hodin na kole na výlet do místa vzdáleného 30 kilometrů. Jel rychlostí 0 km/h; po nějakém čase měl na kole poruchu, kterou se snažil 30 minut opravit. Když se mu to nepodařilo, vrátil se domů pěšky rychlostí 5 km/h a přišel přesně v 10 hodin 30 minut. Jakou vzdálenost šel pěšky? 8 km 574 14. 588 V 10 hodin 36 minut 15. Cesta na kole z Haklových Dvorů do Dehtář trvá cyklistovi Láďovi 8 minut, lepšímu cyklistovi Honzovi trvá cesta z Dehtář do Haklových Dvorů 1 minut. Jestliže vyjedou současně proti sobě, kolik minut trvá, než se potkají? 1 minut 613 16. 576 V 9 hodin 15 minut ve vzdálenosti 90 km od Olomouce 17. 579 74,9 km/h 18. V zimě trénují pražští lyžaři - běžci v parku letohrádku Hvězda na Bílé Hoře. A a B si domluvili trať a vyběhli. A běžel, jak se ukázalo, rychlostí 10 km/h, B rychlostí 16 km/h. Cíl byl v hlavní bráně parku, a když B vyběhl u letohrádku z lesa a zahnul na přímou alej vedoucí k hlavní bráně, zahlédl A probíhat cílem. Alej je přesně 800 m dlouhá. Kolik kilometrů dlouhá byla trať? 7, km 616 19. Turisté Karel a Ondra vyrazili současně na pochod z Krumlova do Kaplice po stejné trase. Karel šel průměrnou rychlostí 6 km/h, Ondra průměrnou rychlostí 4 km/h. Ondra došel do Kaplice o hodinu a půl později než Karel. Kolik kilometrů dlouhou trasu zvolili? 18 km 61 0. 578 30 km/h 3 z 46
1. 587 V 11 hodin 0 minut, ve vzdálenosti 56 km od místa vyplutí.. 589 Rychlosti letadel jsou 360 km/h, 300 km/h, vzdálenost místa setkání od letiště je 10 km. 3. Kamarádi Lukáš a Jára vyšli současně ze Srubce na vycházku do Ledenic. Jára šel rychlostí 5,5 km/h, Lukáš šel rychleji, totiž rychlostí 6,5 km/h, a když dorazil do Ledenic, nechtělo se mu na Járu čekat, a vydal se stejnou cestou zpátky. Potkal unaveného Járu 1 h 0 minut po tom, co vyrazili ze Srubce. Kolik kilometrů dlouhá je cesta ze Srubce do Ledenic po trase, kterou si vybrali? 8 km 617 4. 581 V 11 hodin 36 minut 5. 583 19 09 m 6. Je taková možnost, jak se ve dvou s jedním kolem dostat poměrně daleko, i když se nepoveze nikdo na rámu. První, označme ho A, vyjede na kole, na smluveném místě ho zanechá a pokračuje pěšky. B vyrazí pěšky, a když dojde ke kolu, nasedne na ně a jede až do cíle. Nejrychleji celou cestu vykonají tehdy, když místo uložení kola je smluveno tak, aby dorazili do cíle současně. A a B tedy tímto způsobem cestují do cíle vzdáleného 53 km. A jede na kole rychlostí 18 km/h, B rychlostí 15 km/h. Pěšky jde A rychlostí 6 km/h, B rychlostí 4 km/h. Jak dlouho jim bude cesta trvat? 6,83 hodin 618 7. 591 80 minut ± Slovní úlohy o společné práci Slovní úlohy o společné práci Jedná se o úlohy typu, kdy víme, že jeden pracovník vykoná práci za nějaký čas, jiný pracovník za jiný čas. 33 z 46
Úkolem pak bývá spočítat, za jak dlouho bude práce hotova, pokud pracují současně. Některé úlohy z této kapitoly mohou být pak komplikovány tím, že jeden pracovník se podílí na zadaném úkolu déle než druhý. Úlohy tohoto typu budeme řešit opět tabulkou. V řádcích tabulky budou jednotliví pracovníci (obvykle dva, ale mohou klidně být tři i více) a v poslední řádce pak údaj "společně". První sloupeček tabulky bude tvořit čas, za který vykoná práci sám jeden konkrétní pracovník, ve druhém sloupečku pak bude díl práce vykonaný za časovou jednotku (může jí být jedna hodina, jeden den, apod.). Třetí sloupeček, v případě, že jednotliví pracovníci nebudou pracovat stejně dlouhou dobu, bude "doba práce". Pokud pracují všichni stejně dlouho, pak tento sloupeček vynecháváme. Poslední sloupeček pak vyjadřuje díl vykonaný za dobu práce. Z posledního sloupečku pak sestavujeme rovnici. Součástí řešení úlohy musí být zkouška. Příklad 1: Prvním přívodem se naplní nádrž za 5 hodin, druhým za 7 hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní oběma přívody současně? Řešení: Doba práce [h] Díl za jednu hodinu Díl za dobu práce 1. přívod 5 1/5 x/5. přívod 7 1/7 x/7 Současně x 1/x 1 x + x 5 7 = 1 7x + 5x = 135 3x = 135 x = 135/3 h x = 4, h (po zaokrouhlení) = 4 h 13 min Zkouška: L = 135 3 5 + 135 3 7 135 135 116640 + 1600 13840 = + = = = 1 160 864 13840 13840 P = 1 L = P Oběma přívody se nádrž naplní za 4 hodiny 13 minut. Příklad : Jedna kotelna vytápí dvě různé budovy. Kdyby se vytápěla pouze první budova, vystačí zásoba paliva na 4 dní. Bude-li se vytápět pouze druhá budova, vystačí zásoba paliva na 16 dní. Na jak dlouho vystačí zásoba paliva, když se budou vytápět obě budovy, ale vytápění druhé budovy začne o 4 dny později? Řešení: Doba topení [d] Díl spálený za 1 den Skutečná doba topení [d] Díl spálený za dobu topení 1. budova 4 1/4 x x/4. budova 16 1/16 x - 4 (x - 4)/16 Společně x 1 34 z 46
x 4 + x - 4 16 = 1 16x + 4x - 96 = 384 40x = 480 x = 1 dní Zkouška: 1 1-4 L = + = 4 16 P = 1 L = P 1 + 1 = 1 Při vytápění obou budov vystačí zásoba paliva na 1 dní. ± Slovní úlohy o společné práci - procvičovací příklady 1. Honza vykope studnu za 36 dní, Martin za 45 dní. Kolik dní bude hloubení studny trvat, budou-li pracovat oba spolužáci současně a jejich výkon se nezmění? 0 dní 604. 593 9 minut 3. Vodárna zásobuje chladicí věž elektrárny. Odběr vody je stálý. Bez doplňování vody by se nádrž vodárny vyprázdnila za 70 hodin. Vedou do ní dva přívody. Jedním by se nádrž při stálém odběru naplnila za 55 hodin, druhým za 66 hodin. Kolik hodin trvá, než se nádrž vodárny naplní oběma přívody současně při stálém odběru vody? 1 hodin 609 4. Na úklid třídy po vyučování má dorazit dvojčlenná služba - Jára a Ondra. Kdyby uklízel jen Jára, trvala by mu práce o 4 minuty déle než oběma současně, a samotnému Ondrovi dokonce o 5 minut déle. Kolik minut bude trvat úklid oběma dohromady? 10 minut 610 5. 594 5 hodin 15 minut 35 z 46
6. Do nádrže vedou dvě potrubí. Potrubím A se naplní za 35 dní, potrubím B za 50 dní. Jeden den bylo otevřeno jen potrubí A, a pak otevřeli i potrubí B. Za kolik dní byla nádrž naplněna? 1 dní 605 7. Vypracovat úkol trvá Lukášovi 85 minut, zatímco Láďovi jen 70 minut. Za kolik minut budou oba spolužáci s prací hotovi, budou-li pracovat oba současně a o práci se společně podělí? 38,4 minuty 608 8. Jára by sám dokončil počítačový program za 8 hodin, Lukáš je o trochu rychlejší, a proto by sám byl hotov za 1 hodin. Kolik hodin by jim práce trvala, kdyby pracovali oba současně? 1 hodin 60 9. Úprava školního hřiště trvá třídě 8.B 85 hodin, zatímco třídě 8.A jen 70 hodin. Za kolik hodin budou s prací hotovy, budou-li pracovat obě třídy současně a po 16 hodinách se k nim přidá ještě třída 9.A, která sama by upravila celé hřiště za 110 hodin? 3,6 hodin 611 10. Polárníkovi A samotnému by stačily zásoby na 40 týdnů, polárník B by je sám snědl za 56 týdnů a smečce psů vystačí na 10 týdnů. Kolik týdnů s nimi vydrží oba polárníci i se psy? 7 týdnů 606 11. 595 1 dní 1. Naplněná skládka paliva stačí elektrárně ve Chvaleticích na 80 dní provozu. Pravidelný provoz železniční vlečky naplní prázdnou skládku za 60 dní, a to v případě, že elektrárna nepracuje, tedy není žádný odběr uhlí. Provoz lodního překladiště naplní skládku za stejných podmínek za 40 dní. Kolik dní trvá, než se při provozu elektrárny naplní skládka při současném využití vlečky i přístaviště? 33 dní 607 13. Honza by otrhal sám jablka ze stromu za 9 hodin. Hodinu pracoval sám a pak se k němu připojil Radek. Za dalších 5 hodin společné práce byli hotovi. Kolik hodin by trvala práce samotnému Radkovi? 15 hodin 603 14. Ve Strážovských vrších vede krásná hřebenovka od chaty Homolky nad Trenčianskými Teplicemi na vrcholek Rokoše nad Prievidzou. Petr jde z Homolky na Rokoš 6 hodin. Ivan jde z Rokoše na Homolku 7 hodin. Petr vyšel v 8 hodin ráno, Ivan v 9 hodin. V kolik hodin se potkali? 11 hodin 4 minut 619 36 z 46
15. 59 6 hodin ± Slovní úlohy o směsích Slovní úlohy o směsích Slovní úlohy o směsích budeme řešit výhodně též tabulkou. Příklad 1: 1,5 kg roztoku NaCl 0% máme zředit vodou na roztok 10%. Kolik vody bude potřeba a kolik zředěného roztoku získáme? Řešení: Množství [kg] Počet procent [%] Množství čisté látky [kg] NaCl 1,5 0 0,. 1,5 = 0,3 Voda x 0 0 Směs 1,5 + x 10 0,1. (1,5 + x) 0,3 + 0 = 0,1. (1,5 + x) 0,3 = 0,15 + 0,1x 0,15 = 0,1x x = 1,5 kg Zkouška: L = 0,3 + 0 = 0,3 P = 0,1. (1,5 + 1,5) = 0,1. 3 = 0,3 L = P 1,5 kg + 1,5 kg = 3 kg Budeme potřebovat 1,5 kg vody a získáme 3 kg roztoku. Příklad : Smísíme 1 litr 10% octa a 3 litry % octa. Jak silný ocet vznikne? Řešení: Množství [l] Koncentrace [%] Objem octa [l] První ocet 1 10 0,1. 1 = 0,1 Druhý ocet 3 0,0. 3 = 0,06 Směs 1 + 3 = 4 x 4. x : 100 = 0,04x 0,1 + 0,06 = 0,04x 0,16 = 0,04x 16 = 4x x = 4 Zkouška: L = 0,1 + 0,06 = 0,16 37 z 46
P = 0,04. 4 = 0,16 L = P Vznikne tedy směs 4% octa. Příklad 3: Smícháme 1 litr vody o teplotě 10 C a 3 litry vody o teplotě C. Jaká bude výsledná teplota vody? Řešení: Množství [l] Teplota [ C] Teplo přijaté/odevzdané 1. voda 1 10 1. (10 - t). voda 3 3. (t - ) Směs 1 + 3 = 4 x V posledním sloupci si takovýto jednoduchý vzorec můžeme dovolit vzhledem k tomu, že hustota, ani měrná tepelná kapacita se nemění - vykrátí se tedy. Jedná se vlastně o zjednodušenou kalorimetrickou rovnici. Veličiny uvedené v posledním sloupečku nepředstavují tedy skutečné teplo v joulích - chybí vynásobení hodnotou měrné tepelné kapacity a místo objemu v litrech bychom museli uvažovat hmotnost v kilogramech. 1. (10 - t) = 3. (t - ) 10 - t = 3t - 6-4t = -16 t = 4 Zkouška: L = 1. (10-4) = 1. 6 = 6 P = 3. (4 - ) = 3. = 6 L = P Výsledná teplota vody tedy bude 4 C. ± Slovní úlohy o směsích - procvičovací příklady 1. Jak silný roztok peroxidu vodíku vznikne smísením 0, l 30% peroxidu, 0,5 litru % peroxidu a 0,5 l vody? 7,37 %. V chladiči auta máme nemrznoucí směs 15 % fridexu a 85 % vody. Na zimu je třeba mít 40% směs (40 % fridexu a 60 % vody). Obsah chladiče je 11,5 litru. Kolik litrů musíme vypustit staré směsi a přilít 90% fridexu? 3,83 l 3. Kolik litrů destilované vody se musí přidat do 0,4 l 1% roztoku glukózy, aby vznikl 3% roztok? 1, l 4. Smetana obsahuje 1 % tuku, plnotučné mléko 3,5 %, polotučné %. Kolik procent tuku obsahuje směs jednoho litru polotučného mléka a čtvrt litru smetany? 4 % 597 601 598 596 38 z 46
5. Kolik litrů vody 15 C teplé je třeba přilít do 0 l 65 C teplé vody, abychom dostali vodu 35 C teplou? 30 l 6. Jak teplá je směs 5 l vody 10 C a 4 l vody teplé 5 C? 16,67 C 600 599 ± Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je rovnice, která ve svém zápisu obsahuje neznámou ve druhé mocnině a zároveň neobsahuje neznámou v mocnině vyšší než druhé. Obecně lze kvadratickou rovnici zapsat: ax + bx + c = 0, kde a ¹ 0 Podobně jako u kvadratické funkce, můžeme jednotlivé členy nazvat: ax... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen Kvadratická rovnice má zpravidla dva kořeny x 1, x, může jich mít ale i méně. Zkoušku provádíme pro každý kořen zvlášť. Jakoukoliv kvadratickou rovnici můžeme řešit pomocí vzorce, v němž se vyskytuje tzv. diskriminant kvadratické rovnice. Tento postup si ukážeme později. Pokud totiž kvadratická rovnice neobsahuje všechny členy, můžeme většinou použít i postupy jednodušší. Každou kvadratickou rovnici, která obsahuje závorky, či zlomky, nejprve převedeme do tvaru ax + bx + c = 0 Při řešení samozřejmě nezapomínáme na podmínky řešitelnosti, pro které platí stejná pravidla jako při řešení rovnic lineárních. 1. Kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax = 0 Takovouto rovnici řešíme snadno tak, že v prvním kroku celou rovnici vydělíme koeficientem a. Můžeme to provést, protože z definice víme, že koeficient a je nenulový. Dostaneme tak: x = 0 A odtud tedy: x 1,= Ö0 x 1,= 0 Protože vyšly oba kořeny shodné, hovoříme o tzv. dvojnásobném kořenu. Příklad 1: Řešte kvadratickou rovnici 3x = 0 Řešení: 3x = 0 :3 x = 0 x 1,= 0 39 z 46
Můžeme tedy vyslovit jednoduchý závěr: Každá kvadratická rovnice bez lineárního a bez absolutního členu má jeden dvojnásobný kořen, a tím je 0.. Kvadratická rovnice bez lineárního členu Jedná se o rovnici zapsanou obecně: ax + c = 0 Rovnici řešíme tak, že v prvním kroku převedeme číslo c na pravou stranu: Dostaneme: ax = - c Dále rovnici vydělíme koeficientem a: Dostaneme: x = -c/a Nyní rovnici odmocníme. Pokud ale řešíme v oboru reálných čísel, můžeme tento krok provést pouze tehdy, že v případě, že je číslo a kladné, musí být číslo c záporné (a tedy -c kladné). Druhou odmocninu totiž můžeme v oboru reálných čísel provádět pouze z nezáporných čísel (číslo 0 už jsme ale rozebrali v předcházejícím odstavci) Dostaneme: x 1,= ±Ö(-c/a) Znamená to tedy, že x 1 = +Ö(-c/a) x = -Ö(-c/a) Příklad : Řešte kvadratickou rovnici -3x + 7 = 0 v oboru reálných čísel. Řešení: -3x + 7 = 0 :(-1) 3x - 7 = 0 3x = 7 :3 x = 9 x 1,= ±Ö9 x 1 = 3 x = -3 Příklad 3: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x + 6 = 0 Řešení: 3x = -6 x = - V tomto případě nemá rovnice v oboru reálných čísel řešení. Příklad 4: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 6 = 0 Řešení: 3x = 6 x = x 1,= ±Ö x 1 = +Ö x = -Ö 3. Kvadratická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici, kterou můžeme zapsat obecně rovnicí ax + bx = 0 Při řešení v prvním kroku na levé straně rozložíme na součin vytknutím x: Dostaneme: x.(ax + b) = 0 Nyní využijeme vlastnosti, že součin je roven nule tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule. 40 z 46
Může tedy nastat, že x 1 = 0 nebo (ax + b) = 0 a odtud: x = -b/a Příklad 5: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 6x = 0 Řešení: x + 3x = 0 x.(x + 3) = 0 x 1 = 0 x = -3 Můžeme vyslovit jednoduchý závěr, že kvadratická rovnice bez absolutního členu má jeden kořen vždy roven nule. 4. Obecná kvadratická rovnice Jedná se o rovnici obecně zapsanou ax + bx + c = 0 Samozřejmě předpokládáme, že už jsme zadanou rovnici převedli do výše uvedeného základního tvaru, tzn. odstranili jsme běžným způsobem závorky a zlomky. Tento typ rovnice řešíme podle vzorce: x 1, - b ± = b - 4ac a Pokud je číslo b sudé, můžeme výhodně použít i vzorec pro poloviční hodnoty: x 1, b - ± = Příklad 6: æ b ö ç è ø a - ac V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici x + 4x - 60 = 0 Řešení: a = 1 b = 4 c = -60 Vzhledem k tomu, že b je sudé, použijeme vzorec pro poloviční hodnoty: x 1, b - ± = æ b ö ç è ø a - ac 4 æ 4 ö - ± ç -1.(- 60) è ø - ± 4 + 60 x1, = = = - ± 1 1 x 1,= - ± 8 x 1 = 6 x = -10 64 41 z 46
Příklad 7: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x + 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = 8 x x 1, 1, - b ± = - = b - 4ac a (- 5) ± (- 5).3-4.3.8 5 ± = 5-96 6 5 ± = - 71 6 V tomto případě nemá kvadratická rovnice v oboru reálných čísel řešení, protože v oboru reálných čísel nemůžeme vypočítat druhou odmocninu ze záporného čísla. Pozn.: Výraz b - 4ac, který se vyskytuje ve vzorci pro výpočet kvadratické rovnice pod odmocninou, nazýváme diskriminant kvadratické rovnice. Pro tento diskriminant, označovaný také D, platí: Je-li D > 0... kvadratická rovnice má dva reálné různé kořeny Je-li D = 0... kvadratická rovnice má jeden (dvojnásobný) kořen Je-li D < 0... kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel žádné řešení Příklad 8: V oboru reálných čísel řešte kvadratickou rovnici 3x - 5x - 8 = 0 Řešení: a = 3 b = -5 c = -8 x x x 1, 1, 1, - b ± = - = b - 4ac a (- 5) ± (- 5) 5 ± 11 = 6 x 1 = 8/3 x = -1.3-4.3.( -8) 5 ± = 5 + 96 6 5 ± = 11 6 ± Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 1. 11 4 z 46
. 1110 3. 1116 4. 1118 5. 1105 6. 1119 7. 111 8. 1130 9. 119 10. 1114 43 z 46
11. 118 1. 111 13. 1103 14. 1107 15. 110 16. 1131 17. 110 18. 113 19. 1111 44 z 46
0. 1109 1. 117. 1113 3. 1133 4. 1117 5. 116 6. 1104 7. 114 8. 115 9. 1106 30. 1108 45 z 46
31. 113 3. 1115 46 z 46
Obsah Lomené algebraické výrazy 1 Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady Rovnice 7 Rovnice - procvičovací příklady 10 Vyjádření neznámé ze vzorce 17 Vyjádření neznámé ze vzorce - procvičovací příklady 17 Soustavy rovnic 19 Soustavy rovnic - procvičovací příklady 3 Slovní úlohy řešené rovnicí 6 Slovní úlohy - procvičovací příklady 7 Slovní úlohy o pohybu - procvičovací příklady 30 Slovní úlohy o společné práci 33 Slovní úlohy o společné práci - procvičovací příklady 35 Slovní úlohy o směsích 37 Slovní úlohy o směsích - procvičovací příklady 38 Kvadratické rovnice 39 Kvadratické rovnice - procvičovací příklady 4 31.5.008 17:41:51 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)