ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ, Lenk JUKLOVÁ Olomouc 03

Oponenti: Mgr. Mrie Chodorová, Ph.D. Mgr. Hn Chudá, Ph.D. Neoprávněné užití tohoto díl je porušením utorských práv může zkládt občnskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. Mrie Ošlejšková, Lenk Juklová, 03 Univerzit Plckého v Olomouci, 03 ISBN 978-80-44-3998-3

ÚVOD ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY -------------------------------------------------------------------------- 5. Konstrukce rotčních kvdrik ze zdných podmínek -------------------------------------------------- 5 Příkld Konstrukce rotčního elipsoidu v Mongeově promítání -------------------------------------------- 5 Příkld Konstrukce rotčního prboloidu v Mongeově promítání ----------------------------------------- 7 Příkld 3 Konstrukce rotčního prboloidu v kótovném promítání ---------------------------------------- 9 Příkld 4 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání ---------------------- Příkld 5 Konstrukce jednodílného rotčního hyperboloidu v prvoúhlé xonometrii -------------------3 Příkld 6 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání ----------------------5. Řezy rotčních kvdrik --------------------------------------------------------------------------------------- 7 Příkld 7 Řez rotčního elipsoidu v Mongeově promítání ----------------------------------------------------7 Příkld 8 Řez rotčního prboloidu v kótovném promítání ------------------------------------------------9.3 Průsečíky přímky s rotční kvdrikou --------------------------------------------------------------------- Příkld 9 Průsečíky přímky s jednodílným rotčním hyperboloidem, tečná rovin hyperboloidu v Mongeově promítání ------------------------------------------------------------------------------------------------- Příkld 0 Průsečíky přímky s rotčním elipsoidem v xonometrii -----------------------------------------3 Příkld Průsečík přímky s dvojdílným hyperboloidem, tečná rovin ------------------------------------5 Příkld Tečné roviny k jednodílnému hyperboloidu procházející nevlstní přímkou -----------------7 Příkld 3 Průsečík přímky s rotčním prboloidem ---------------------------------------------------------9.4 Průniky rotčních kvdrik ----------------------------------------------------------------------------------- 3 Příkld 4 Průnik dvojdílného hyperboloidu elipsoidu ------------------------------------------------------3 Příkld 5 Průnik prboloidu protáhlého elipsoidu v xonometrii ---------------------------------------34 Příkld 6 Viviniho křivk ----------------------------------------------------------------------------------------36.5 Osvětlení rotčních kvdrik ---------------------------------------------------------------------------------- 38 Příkld 7 Rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu ------------------------------------------------------38 Příkld 8 Středové osvětlení protáhlého elipsoidu ------------------------------------------------------------40 Příkld 9 Rovnovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu v xonometrii -------------------------------4 Příkld 0 Rovnoběžné osvětlení jednodílného hyperboloidu ------------------------------------------------44 ZADÁNÍ PŘÍKLADŮ ------------------------------------------------------------------------ 47 LITERATURA -------------------------------------------------------------------------------------- 67 3

Úvod Sbírk řešených příkldů je doplněním části učebního textu [], byl vyprcován jko diplomová práce []. Vzhledem k tomu, že sbírk nvzuje n učební text, je v ní vynechán teorie potřebná k řešení příkldů, kterou čtenář njde v []. Sbírk je určen především pro posluchče nvzujícího studi deskriptivní geometrie, je určen k procvičení učiv druhé části předmětu Plochy technické prxe, které je věnováno rotčním kvdrikám. Při studiu deskriptivní geometrie se studenti setkjí většinou se zákldními příkldy n rotčních kvdrikách, které jsou řešeny především v Mongeově promítání. Příkldy v jiných projekcích nebo komplexnějšího chrkteru nejsou v litertuře příliš běžné, přípdně je u nich jen zkrácený postup řešení studenti nemjí možnost si ověřit správnost svého řešení. V této sbírce příkldů je tk čtenáři nbídnut možnost prověřit si své znlosti nejen n zákldních úlohách, le vyzkoušet si řešení složitějších úloh nebo řešení příkldů n rotčních kvdrikách v různých projekcích. Kždý příkld obshuje podrobně popsný postup řešení, proto je možné zdání příkldů použít jko prcovní listy k smosttnému procvičení dné problemtiky správnost řešení si ověřit v popisu konstrukce. Čtenář tk může získt okmžitou zpětnou vzbu o správnosti svého řešení, přípdně sndno njít chyby, kterých se při řešení úlohy dopustil. Řešené příkldy mohou tké být vhodnou pomůckou pro učitele deskriptivní geometrie. Příkldy jsou rozvrženy tk, že zdání příkldů je uvedeno n smosttném listu, by bylo možné zdání příkldů kopírovt zdt žákům k vyřešení. Zdání příkldů lze použít k zdání domácí práce, přípdně písemné práce nebo ke společnému řešení úlohy. Text je rozdělen do několik podkpitol podle typu řešených příkldů. Nejprve jsou sestrojovány všechny rotční kvdriky zdné různými prvky příkldy jsou řešeny nejen v Mongeově projekci, le i v dlších prvoúhlých promítáních. V této podkpitole se k řešení příkldů využívá především znlosti vlstností dných rotčních kvdrik. Dlší podkpitol je věnován řezům rotčním kvdrik opět v různých prvoúhlých projekcích. Smosttná podkpitol je věnován konstrukcím průsečíků přímek s rotční kvdrikou. Příkldy jsou řešeny s důrzem n znlosti polárních vlstností rotčních kvdrik, nikoli pouze bodově jko průsečík přímky křivky řezu. Čtvrtá podkpitol rozebírá řešení průniků rotčních kvdrik v různých zobrzovcích metodách. Poslední podkpitol je věnován rovnoběžnému i středovému osvětlení rotčních kvdrik v různých zobrzovcích metodách. Ve všech příkldech sestrojovných v jiné projekci než Mongeově, resp. v Mongeově projekci s osou rotce, která není kolmá k některé z průměten, si čtenář rovněž procvičí konstrukci průmětů kvdrik jko konstrukci meze stínu vrženého v osvětlení dném promítáním. N závěr děkujeme oběm recenzentkám Mgr. Mrii Chodorové, Ph.D., Mgr. Hně Chudé, Ph.D. z cenné rdy připomínky. Olomouc, leden 04 Autorky 4

Řešené příkldy. Konstrukce rotčních kvdrik ze zdných podmínek Příkld Konstrukce rotčního elipsoidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte rotční elipsoid, který je zdán osou rotce, bodem R rovníku obecným bodem A plochy. Příkld (postup). Protože je os rotce elipsoidu kolmá k půdorysně, leží rovnoběžky plochy v rovinách rovnoběžných s půdorysnou. Prvním skutečným obrysem plochy je proto rovník r, druhým skutečným obrysem je elips, která je hlvním meridiánem m ležícím v rovině která je rovnoběžná s nárysnou zároveň prochází osou rotce o. Půdorysem rovníku je kružnice r se středem o poloměrem o R, která je zároveň půdorysem rotčního elipsoidu.. Bod A elipsoidu leží n rovnoběžce v rovině rovnoběžné s půdorysnou. Prvním průmětem rovnoběžky je kružnice se středem o poloměrem o A. Sestrojíme body R rovníku r A náležící rovnoběžce, které leží v rovině jsou body hlvního meridiánu m. Bod R je hlvním vrcholem elipsy m. 3. Druhým zdánlivým obrysem elipsoidu je nárys elipsy m. Elips m je určen hlvní osou r s hlvním vrcholem R bodem elipsy A. Elipsu m sestrojíme z těchto prvků pomocí proužkové konstrukce. 5

Příkld (řešení) o m A' A R R' r x, A R o m A' R' r 6

Příkld Konstrukce rotčního prboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte rotční prboloid, který je zdán osou rotce, tečnou rovinou vrcholem V prboloidu. Určete bod dotyku plochy s rovinou prboloid omezte půdorysnou. Příkld (postup). Os prboloidu je kolmá k půdorysně, rovnoběžky plochy tedy leží v rovinách rovnoběžných s půdorysnou. Prvním skutečným obrysem prboloidu je rovnoběžk plochy, která leží v půdorysně která plochu prboloidu omezuje. Druhým skutečným obrysem je část prboly p (hlvní meridián) sečn, které leží v rovině rovnoběžné s nárysnou procházející osou rotce o.. Tečnou rovinu otočíme kolem osy prboloidu o tk, by po otočení byl kolmá k nárysně. Ke konstrukci využijeme spádovou přímku s roviny, jejíž půdorys prochází bodem V která v dném otočení přejde do přímky 0 s ležící v rovině hlvního meridiánu. Nárys přímky 0 s je pk tečnou k hlvnímu meridiánu p. 3. Obrysem plochy v náryse je část prboly, která je určen vrcholem V, osou o tečnou 0 s, (prbolu sestrojíme s využitím ohniskových vlstností určíme bod dotyku 0 T prboly tečny 0 s ). 4. Bod dotyku T prboloidu tečné roviny leží n rovnoběžce procházející bodem 0 T n spádové přímce s roviny procházející středem V. 5. Půdorysem rovnoběžky je kružnice se středem o poloměrem A o, prvním průmětem prboloidu je kruh ohrničený kružnicí. 7

Příkld (řešení) 0 s s n o V Q p r F T 0 T A x, A p V = o 0 T 0 s r T p s 8

Příkld 3 Konstrukce rotčního prboloidu v kótovném promítání V kótovném promítní sestrojte rotční prboloid, jestliže je zdán jeho vrchol V, ohnisko F. Prboloid ohrničte rovinou kolmou k ose o prboloidu procházející dným bodem O, který leží n ose prboloidu. Příkld 3 (postup). Protože os o prboloidu není rovnoběžná s průmětnou π, sestrojíme první průmět prboloidu pomocí rovnoběžného osvětlení, jehož směr s je kolmý n průmětnu π. Prvním obrysem plochy pk bude mez p vlstního stínu při osvětlení ve směru promítání. Zvolíme pomocnou průmětnu, která je kolmá k průmětně π prochází osou o prboloidu. V rovině leží meridián m prboloidu. Rovinu sklopíme (pro lepší přehlednost řešení sklopenou rovinu posuneme ve směru s kolmém n osu o ), sklopené útvry oznčíme indexem ve sklopení sestrojíme meridián m, kterým je část prboly ohrničená rovnoběžkou ležící v rovině kolmé k ose o prboloidu procházející bodem O. Ke konstrukci části prboly využijeme ohniskové vlstnosti této kuželosečky.. Druhý průmět rovnoběžky prboloidu se zobrzí jko úsečk. Její krjní body A, B promítneme ve směru osvětlení s, bod A se zobrzí n bod A, který sestrojíme jko průsečík přímky směru osvětlení procházející bodem A s osou o, stejným způsobem zkonstruujeme i bod B. Bod C rovnoběžky leží n sdruženém průměru k AB. Jeho druhý průmět C splývá s druhým průmětem O bodu O. Jeho první průmět C leží n přímce směru osvětlení procházející bodem C vzdálenost C O je rovn poloměru r rovnoběžky, tzn. r = A C. Prvním průmětem rovnoběžky je elips, jejíž vedlejší os je určen body A, B, hlvní poloos je určen body C, O. Podobným způsobem sestrojíme průměty dlších rovnoběžek prboloidu. 3. Mez p vlstního stínu (při osvětlení ve směru promítání) je část prboly. Její druhý průmět p je úsečk L M, kde bod L je dotykový bod prboly tečny t rovnoběžné se směrem osvětlení s. Sestrojíme body meze vlstního stínu P, R jko průsečíky prboly p s rovnoběžkou b prboloidu; v sestrojených bodech P, R se mění viditelnost rovnoběžky b. Pro přesnější vykreslení prboly p můžeme sestrojit stejným způsobem průsečíky s dlšími libovolnými rovnoběžkmi prboloidu. 9

Příkld 3 (řešení) z O z V o A s A b o (O) O (z ) O N C O = C b R M = N M B p P = R p F d L t V (o) (V) P B F V (z ) v L 0

Příkld 4 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte dvojdílný rotční hyperboloid, jestliže je dán os rotce o, přímk symptotické kuželové plochy p bod A hyperboloidu. Plochu omezte půdorysnou rovinou s ní souměrnou podle středu plochy. Příkld 4 (postup). Protože je os o plochy kolmá k průmětně π, půdorysem plochy je kruh, jehož hrniční kružnice je prvním průmětem rovnoběžky plochy ležící v půdorysně (přípdně v rovině rovnoběžné s půdorysnou souměrné podle středu S plochy). Nárysem plochy bude část hyperboly (omezená půdorysnou rovinou s ní souměrnou podle S) ležící v rovině hlvního meridiánu. Přímk p leží v rovině meridiánu m, rovin je určen osou o přímkou p. Rotcí kolem osy o přejde rovin do roviny hlvního meridiánu. Přímku p ležící v rovině otočíme kolem osy rotce o do roviny, tedy otočená přímk p 0 je rovnoběžná s nárysnou.. Ploch se v náryse zobrzí jko část hyperboly. Otočená přímk p 0 v náryse je symptotou této hyperboly, druhou symptotu r sestrojíme podle p 0 pomocí osové souměrnosti s osou o. 3. Průsečík S symptot r p 0 je středem hyperboly. Přímk rovnoběžná s hlvní osou o procházející bodem A protíná symptoty r p 0 po řdě v bodech K, L. Dá se ukázt, že pro bod A hyperboly tkto sestrojené body K, L pltí: KM. LM =, kde je délk hlvní poloosy hyperboly. Délku můžeme pk konstruktivně zjistit pomocí Eukleidovy věty o odvěsně. (Sestrojíme Thletovu kružnici nd průměrem A L, v ní sestrojíme prvoúhlý trojúhelník A L M, kde bod M leží n kolmici k přímce A L vedené z bodu K zároveň náleží Thletově kružnici; potom vzdálenost AM je rovn velikosti hlvní poloosy hledné hyperboly). 4. Sestrojíme hlvní vrcholy B, C hyperboly, můžeme sestrojit i dlší body hyperboly pro její přesnější vyrýsování. 5. Půdorysem plochy je kruh se středem v bodě o poloměrem odpovídjícím vzdálenosti krjních bodů rovnoběžky plochy ležící v půdorysně od osy o. Odvození podrobný popis konstrukce lze nlézt v [4, s.04-05]

Příkld 4 (řešení) o p r A p 0 M K C L S Y' B Y X X' x, A p 0 P 0 o m P p

Příkld 5 Konstrukce jednodílného rotčního hyperboloidu v prvoúhlé xonometrii V prvoúhlé xonometrii zdné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte obrys rotčního jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotcí přímky m = MN kolem osy z. Plochu omezte rovinou dnou osmi x, y rovinou s ní rovnoběžnou souměrnou podle středu hyperboloidu. Příkld 5 (postup). Bod T přímky MN, který leží nejblíže k ose rotce, vytvoří rotcí hrdelní kružnici k jednodílného hyperboloidu, jejíž střed S je zároveň středem plochy. Kružnice k leží v rovině rovnoběžné s průmětnou π = (x, y). Situci v prostoru promítneme do průmětny π otočíme ji. V otočení se přímk m zobrzí n přímku m = M N, os z hyperboloidu se v otočení zobrzí do bodu O. N přímce m hledáme bod, který leží nejblíže k ose rotce, tedy v otočení řešíme plnimetrickou úlohu k dné přímce m sestrojujeme kružnici k se středem O tk, by přímk m byl tečnou hledné kružnice k. Bod dotyku kružnice k přímky m oznčíme T určíme jeho xonometrický průmět T n přímce m. Protože rovnoběžk k leží v rovině rovnoběžné s první průmětnou, můžeme sestrojit střed S elipsy k tk, že v první průmětně určíme spojnici T prvního xonometrického průmětu bodu T s bodem O. S touto spojnicí vedeme rovnoběžku bodem T, její průsečík s osou z je hledný střed S rovnoběžky k zároveň i střed hyperboloidu.. Bod M leží v první průmětně, jeho rotcí kolem osy z vznikne rovnoběžk ležící v první průmětně, kterou je ploch omezen. Konstrukci rovnoběžky provedeme nejprve v otočení, tedy sestrojíme kružnici se středem v bodě O poloměrem O M. Axonometrickým průmětem rovnoběžky je elips se středem O, její hlvní os leží n kolmici k ose z vedené bodem O poloměr hlvní osy je O M. Vedlejší osu elipsy sestrojíme s využitím rovnoběžek s osmi x, y vedenými krjními body hlvní osy elipsy (průsečík těchto rovnoběžek je bodem elipsy ) proužkové konstrukce elipsy (konstrukce kružnice v prvoúhlé xonometrii viz npř. [, s. 30]). Stejným způsobem sestrojíme i xonometrický průmět k kružnice k. 3. Osou z proložíme promítcí rovinu λ sklopíme ji do průmětny. Pro větší přehlednost řešení posuneme sklopenou rovinu λ ve směru s kolmém n osu z. Ve sklopené rovině sestrojíme rovnoběžky k, meridián (hyperbolu), ve kterém rovin λ protíná rotční hyperboloid. Tuto hyperbolu sestrojujeme s využitím jejích ohniskových vlstností. 4. Směr s kolmý n osu z je sklopeným směrem osvětlení. Zvolíme libovolnou rovinu, která je kolmá k ose z (zde npř. procházející středem S). Tto rovin protne plochu v rovnoběžce k, která se ve sklopení zobrzí jko úsečk. Krjní body střed této úsečky promítneme ve směru osvětlení s n osu z získáme tk vedlejší osu střed xonometrického průmětu rovnoběžky, kterým je elips. Vzdálenost středu úsečky jejího krjního bodu udává velikost hlvní osy xonometrického průmětu rovnoběžky k (lze využít i průměr otočené rovnoběžky v prvním průmětu). 5. Podobně sestrojíme i xonometrický průmět symptotické kuželové plochy. Bod P n obryse kuželové plochy sestrojíme s využitím polárních vlstností. Bod P tedy bude ležet n tečně vedené z bodu S k elipse. Bod P n obryse hyperboloidu leží n kolmici k ose z procházející bodem P. Tímto způsobem sestrojíme dosttečný počet obrysových bodů rotčního hyperboloidu sestrojíme obrysovou křivku. Body ležící n obrysové křivce jsou zároveň body, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu. 3

Příkld 5 (řešení) z v z A F A s u S m N k k S P P' B T O B F' M = M T N m y M N T x m O k 4

Příkld 6 Konstrukce dvojdílného rotčního hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání zobrzte rotční dvojdílný hyperboloid s osou o v obecné poloze vzhledem k průmětnám, který je dný osou o, velikostí hlvní poloosy excentricitou e. Plochu omezte rovinou kolmou k ose o procházející bodem M. Zobrzte řez plochy rovinou ρ. Příkld 6 (postup). Zvolíme třetí průmětnu γ, která prochází osou o kolmo k průmětně π, průmětnu γ sklopíme do π.. Průmětn γ protíná hyperboloid v tvořící hyperbole. Ze zdných prvků sestrojíme ve sklopení hyperbolu (využijeme ohniskových vlstností hyperboly). 3. První průmět hyperboloidu sestrojíme pomocí rovnoběžného osvětlení, jehož směr s je kolmý n π; první obrys hyperboloidu je mezí vlstního stínu při osvětlení ve směru s kolmém k π. Třetím průmětem kružnice k (M, r) hyperboloidu je úsečk, kterou promítneme ve směru osvětlení s do π dostneme půdorys hrniční kružnice plochy (podobně jko v příkldu č.3). Podobným způsobem sestrojíme dlší rovnoběžky hyperboloidu. Mez p vlstního stínu (při osvětlení ve směru promítání) leží mimo ohrničenou oblst, proto není třeb ho v tomto přípdě sestrojovt, můžeme le sestrojit viditelnost plochy. 4. Nárys plochy můžeme sestrojit dvěm způsoby, můžeme použít podobnou konstrukci jko pro sestrojení půdorysu, tzn. sestrojením čtvrté průmětny, kterou sklopíme sestrojíme mez vlstního stínu při osvětlení ve směru kolmém k ν. Nebo můžeme druhý obrys plochy sestrojit jko obálku nárysů rovnoběžek plochy (při řešení jsem použil tohoto druhého způsobu). Rovnoběžky hyperboloidu leží ve vzájemně rovnoběžných rovinách, z toho důvodu jsou jejich nárysy homotetické elipsy, tkže jejich odpovídjící si spojnice vrcholů hlvních vedlejších os jsou rovnoběžné. Sestrojíme npříkld nárys hrniční rovnoběžky k tk, že nejprve sestrojíme nárys jejího středu M. Rovnoběžk k leží v rovině α kolmé k ose o, jejím půdorysem je elips k, jejíž hlvní os má velikost poloměru rovnoběžky leží n hlvní přímce h první osnovy roviny α. Sestrojíme nárys h hlvní přímky, který bude rovnoběžný se zákldnicí. Nárysem rovnoběžky k bude opět elips, jejíž hlvní os je kolmá k ose o její velikostí je poloměr kružnice k je dále určen krjními body průměru rovnoběžky, kterým prochází přímk h. Elipsu můžeme sestrojit pomocí proužkové konstrukce. 5. Dlší rovnoběžky již lze sestrojovt jednodušeji. Njdeme střed sestrojovné rovnoběžky, hlvní os je kolmá n osu o její velikost je rovn poloměru rovnoběžky. Vedlejší vrcholy sestrojíme pomocí rovnoběžek spojujících hlvní vedlejší vrcholy elips. 5

Příkld 6 (řešení) o e B A M k x, h M S A k B M 3 k 3 3 F 3 o A 3 S 3 B 3 o 3 6

. Řezy rotčních kvdrik Příkld 7 Řez rotčního elipsoidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte řez rotčního elipsoidu, jehož os je kolmá k půdorysně je zdán meridiánem, rovinou. Příkld 7 (postup). Řezem rotčního elipsoidu je elips, která je souměrná podle roviny procházející osou o kolmo k rovině. Sestrojíme osu s této elipsy řezu, s =. V rovině leží meridián n rotční kvdriky, rovinu otočíme kolem osy o roviny μ rovnoběžné s nárysnou, v otočení určíme průsečíky A, B přímky s meridiánu n. Průsečíky otočené přímky s 0 s meridiánem jsou body A 0, B 0, jejichž zpětným otočením získáme body A, B.. Sestrojíme bod O jko střed úsečky AB. Bod O je zároveň středem řezu. Druhá os h elipsy řezu prochází bodem O, je kolmá k přímce s leží v rovině řezu. Os kvdriky o je kolmá k π, půdorys řezu je tedy souměrný podle roviny, přímk A B je osou elipsy řezu. Rovin je rovinou souměrnosti, proto půdorysy tečen řezu v bodech A, B jsou kolmé k nárysy jsou rovnoběžné se zákldnicí. Druhá os elipsy řezu prochází bodem O leží n přímce h kolmé k s (tedy n hlvní přímce I. osnovy roviny ρ). 3. Vrcholy C, D řezu sestrojíme jko průsečíky hlvní přímky h elipsoidu (resp. jeho rovnoběžky, která leží v rovině procházející bodem O). 4. Nárysem řezu elipsoidu rovinou je elips určená sdruženými průměry A B, C D, půdorysem řezu je elips s osmi A B, C D. Ke konstrukci elipsy řezu v náryse můžeme využít Rytzovu konstrukci. 5. Určíme body n obrysech, ve kterých se mění viditelnost řezu. Druhý obrys leží v rovině μ, rovin μ protíná rovinu řezu v hlvní přímce g druhé osnovy. Přímk g protne hlvní meridián v bodech G, H. V bodech G, H se mění viditelnost řezu v náryse (nárys elipsy řezu se v těchto bodech dotýká nárysného obrysu elipsoidu). 6. V půdoryse je obrysem plochy rovník. Rovníkem proložíme rovinu, rovin protíná rovinu v hlvní přímce f. Společné body E, F přímky f rovníku ptří řezu. V bodech E, F se mění viditelnost řezu v půdoryse (půdorys elipsy řezu se v těchto bodech dotýká zdánlivého půdorysného obrysu elipsoidu). 7

Příkld 7 (řešení) s 0 f A 0 o C S O D A G h n s g H B B 0 D F x, B o = s 0= g O A p h C f E = s 8

Příkld 8 Řez rotčního prboloidu v kótovném promítání V kótovném promítní sestrojte rotční prboloid, jestliže je zdán jeho vrchol V, ohnisko F. Prboloid ohrničte rovinou kolmou k ose o prboloidu procházející dným bodem O, který leží n ose prboloidu. Sestrojte řez prboloidu rovinou ρ, která je zdná stopou hlvní přímkou. Příkld 8 (postup). Sestrojení prboloidu viz příkld č. 3.. Protože os o prboloidu je různoběžná s průmětnou π, zjednodušíme si konstrukci řezu prboloidu dnou rovinou ρ tím, že osou o proložíme pomocnou průmětnu α, která je kolmá k rovině řezu ρ. Tkto zvolenou rovinu α následně otočíme do průmětny π. Protože rovin řezu ρ je k rovině α kolmá, v otočení se rovin řezu ρ zobrzí jko přímk, což nám usndní konstrukci řezu. 3. Sestrojíme průsečík R osy o s rovinou řezu ρ. Konstrukci provedeme npř. pomocí krycí přímky m, která náleží rovině ρ jejíž první průmět splývá s osou o. Sklopením přímek o, m získáme jejich sklopený průsečík [R], z něhož odvodíme první průmět R. 4. Průsečíkem R osy o s rovinou řezu ρ proložíme přímku k, která je kolmá k rovině ρ. Průmět k přímky k je kolmý n stopu roviny ρ zároveň splývá s průmětem s spádové přímky s roviny ρ. Sestrojíme tedy spádovou přímku s roviny ρ vedenou bodem R kolmou ke stopě roviny ρ. Přímku s sklopíme sklopeným bodem (R) přímky (s) vedeme sklopenou přímku (k) kolmou n (s). N přímce k určíme stopník P k přímk k je tk určen svým stopníkem bodem R. Pomocná rovin α kolmá k rovině řezu ρ je určen osou o přímkou k. Pomocí stopníků přímek o k sestrojíme stopu roviny ρ. 5. Rovinu α otočíme do průmětny (osou otáčení je stop roviny α ). V otočení sestrojíme meridián prboloidu, ve kterém rovin α plochu protíná. K sestrojení meridiánu využijeme npř. otočený vrchol V 0, ohnisko F 0, osu o 0 bod O 0 z těchto prvků sestrojíme prbolu meridiánu pomocí ohniskových vlstností prboly. Rovin řezu ρ se v otočení zobrzí jko přímk p 0 ρ, protože je kolmá k rovině α. Přímku p 0 ρ sestrojíme jko spojnici průsečíku stop p ρ p α rovin ρ α s bodem R 0. 6. Plochou prboloidu prokládáme roviny kolmé k ose o plochy. Kždá tková rovin protíná plochu prboloidu v rovnoběžce rovinu řezu ρ v přímce. Body řezu sestrojíme jko průsečíky rovnoběžky prboloidu průsečnice roviny, ve které dná rovnoběžk leží s rovinou řezu ρ. Sestrojíme body K, L řezu ležící v rovině kolmé k ose o prboloidu procházející ρ bodem O. V otočení do průmětny sestrojíme body K 0, L 0 jko průsečíky přímky p 0 s rovnoběžkou b 0 ležící v rovině B. První průměty bodů K, L sestrojíme jko průsečíky α přímky kolmé ke stopě otáčení p procházející bodem K 0 = L 0 s rovnoběžkou b prboloidu. Protože je prboloid omezený rovinou, jsou body K, L krjními body řezu. 7. Dlší body řezu sestrojíme nlogickým způsobem jko body K, L, zde jsou sestrojeny npř. body M, N. Řezem prboloidu rovinou ρ je část elipsy ohrničená úsečkou KL. Body řezu, ve kterých se mění viditelnost, sestrojíme jko body dotyku křivky řezu obrysové křivky p prboloidu. Protože v tomto přípdě není průsečík stop rovin ρ α dostupný n nákresně, je ke konstrukci je využito průsečíku A hlvních přímek rovin ρ α o stejné kótě následného otočení bodu A do průmětny. 9

Příkld 8 (řešení) o 0 0 K = L 0 0 d 0 V 0 F 0 d 0 b 0 z O z V b o = m k = s (k) R 0 O 0 M = N 0 0 D 0 K b s O o [m] L [R] [O] d R P k O (z ) O M (R) ρ S D (s) h (z ) O p p 0 A 0 F d p [V] p N F V (z ) v h (z ) p O A V [o] d 0

.3 Průsečíky přímky s rotční kvdrikou Příkld 9 Průsečíky přímky s jednodílným rotčním hyperboloidem, tečná rovin hyperboloidu v Mongeově promítání V Mongeově promítání sestrojte průsečíky přímky m s jednodílným rotčním hyperboloidem, jehož os je kolmá k půdorysně je zdán meridiánem. V jednom z průsečíků přímky s hyperboloidem sestrojte tečnou rovinu. Příkld 9 (postup). Nárys přímky m protne druhý zdánlivý obrys plochy. K řešení využijeme prostorové kolinece. Přímkou m proložíme rovinu ρ kolmou k nárysně. Tto rovin protíná hyperboloid v elipse e. N hyperboloidu zvolíme rovinu α rovnoběžnou s půdorysnou, která protíná hyperboloid v rovnoběžce. Kružnice elips e jsou kuželosečky, které leží n dvou kuželových plochách s vrcholy V W. Vzhledem k tomu, že roviny ρ α jsou kolmé k nárysně, leží body V, W v rovině hlvního meridiánu. Vybereme si jednu z kuželových ploch, npř. s vrcholem V.. V prostorové kolineci se středem V odpovídá elipse e kružnice. V této kolineci sestrojíme obrz m přímky m. N přímce m zvolíme bod K (npř. bod, jehož nárys K je průsečíkem nárysu přímky m nárysu hlvního meridiánu) určíme jeho obrz K, který leží v rovině α n přímce VK. Bod O přímky m leží n průsečnici rovin ρ α, což je os dné kolinece, tkže je v této kolineci smodružným bodem. 3. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m kružnice v prostorové kolineci určíme jejich obrzy X Y n přímce m. Body X Y jsou průsečíky přímky m s hyperboloidem. Podle polohy přímky m vzhledem k průmětnám ploše hyperboloidu určíme viditelnost přímky m. 4. Kždá tečná rovin jednodílného rotčního hyperboloidu je určen dvojicí přímek různých regulů, které se protínjí v dotykovém bodě. Tedy tečná rovin plochy v bodě X je určená tvořícími přímkmi t, u různých regulů hyperboloidu, které bodem X procházejí. Půdorysy přímek t, u sestrojíme jko tečny z půdorysu X bodu X k půdorysu h hrdelní rovnoběžky h. Nárysy přímek sestrojíme npř. jko spojnice bodu X bodů, ve kterých přímky t, u protínjí rovnoběžku, kterou je hyperboloid ohrničen. Můžeme tké určit viditelnost přímek t, u, v náryse se viditelnost n přímce t mění v bodě C, který leží v rovině hlvního meridiánu, přímk u je v náryse vidět celá, protože hlvní meridián plochy neprotíná. V půdoryse se viditelnost přímky t mění v bodě D, ve kterém se přímk t dotýká hrdelní rovnoběžky hyperboloidu, nlogicky sestrojíme bod dotyku E pro přímku u.

Příkld 9 (řešení) o m t u K K' C D E Y S e O X V x, t m K' Y' D Y K V C O S X E X' u m'

Příkld 0 Průsečíky přímky s rotčním elipsoidem v xonometrii V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průsečíky přímky m s protáhlým rotčním elipsoidem, který je zdný středem S velikostí hlvní osy vedlejší poloosy b. Příkld 0 (postup). Konstrukci rotčního protáhlého elipsoidu v xonometrii provedeme podobně jko v příkldu č. 5.. Přímkou m proložíme rovinu ρ, která je kolmá k průmětně π = (x, y). Rovin ρ protíná plochu elipsoidu v elipse e. K sestrojení elipsy využijeme průmětu elipsoidu do první průmětny π otočení průmětny π kolem její xonometrické stopy do xonometrické průmětny, otočené útvry oznčíme indexem. 3. Průsečíky K, L roviny ρ rovníku elipsoidu jsou body, ve kterých má elips řezu e tečny rovnoběžné s osou z. První průmět roviny ρ splývá s přímkou m, prvním průmětem rovníku elipsoidu je kružnice r. První průměty K, L bodů K, L sestrojíme jko průsečíky přímky m kružnice r. Určíme xonometrické průměty K, L bodů K, L ležící n xonometrickém průmětu rovníku r n přímkách směru otočení. 4. Dlší body řezu A, B sestrojíme jko průsečíky roviny ρ s rovnoběžkmi, b elipsoidu, pro které pltí, že rovin ρ má s dnou rovnoběžkou společný pouze jeden bod, tedy rovin ρ je tečná k rovnoběžkám, b. K sestrojení bodů A, B použijeme průměty rovnoběžek, b do otočené roviny π.využijeme tké promítcí rovinu λ procházející osou z, kterou sklopíme do průmětny (pro větší přehlednost řešení posuneme sklopenou rovinu λ ve směru s kolmém n osu z), v tomto sklopení sestrojíme rovnoběžky, b n nich druhé průměty bodů A, B. Elips řezu e je určen sdruženými průměry AB, KL, hlvní vedlejší osu elipsy e sestrojíme npř. pomocí Rytzovy konstrukce. 5. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m s elipsou řezu e. K přesnému sestrojení průsečíků elipsy e přímky m můžeme využít osovou finitu mezi kružnicí elipsou. Jko osu finity zvolíme hlvní osu elipsy e, sestrojíme kružnici e ze středu elipsy e o poloměru rovném délce hlvní osy elipsy e. Dvojice odpovídjících si bodů v finitě je vedlejší vrchol elipsy C jeho obrz C ležící n kružnici e n přímce vedlejší osy elipsy e.v dné finitě sestrojíme obrz m přímky m určíme jeho průsečíky X, Y s kružnicí e. N přímce m určíme body X, Y, které v dné finitě odpovídjí obrzům X, Y. 6. Určíme viditelnost přímky m vzhledem k poloze elipsoidu. Elips e řezu leží celá ve viditelné části elipsoidu. Body, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu přímky m, jsou průsečíky X, Y elipsy e přímky m. Neviditelná část přímky (procházející elipsoidem) je určen úsečkou X Y, osttní části přímky m jsou viditelné. 3

Příkld 0 (řešení) z n b z m' m B b B C' X' K C X r S L e' r S e Y Y' A A S m =p y x y x m A =B K L S =b r 4

Příkld Průsečík přímky s dvojdílným hyperboloidem, tečná rovin V Mongeově promítání sestrojte průsečíky přímky m s rotčním dvojdílným hyperboloidem, jehož os o je kolmá k půdorysně je zdán hlvním meridiánem. V jednom průsečíku sestrojte tečnou rovinu plochy. Příkld (postup). Přímkou m proložíme rovinu ρ kolmou k nárysně. Tto rovin protne hyperboloid v hyperbole p.. Zvolíme libovolnou rovinu α kolmou k ose o, tto rovin protíná hyperboloid v kružnici k. Kružnice k hyperbol p jsou kuželosečky, které leží n dvou kuželových plochách s vrcholy V W. Kružnice k hyperbol p jsou souměrné podle roviny μ (rovin hlvního meridiánu), z toho vyplývá, že vrcholy V W kuželových ploch leží v rovině μ. 3. Vybereme si jednu z kuželových ploch (npř. s vrcholem V). V prostorové kolineci se středem V pk hyperbole p odpovídá kružnice k. V tkto určené kolineci sestrojíme obrz přímky m, který bude ležet v rovině α oznčíme ho m. N přímce m zvolíme bod M v kolineci určíme obrz M (bod M zvolíme npř. tk, že jeho nárys bude ležet n průsečíku nárysu hlvního meridiánu plochy n nárysu přímky m, tkto zvolený bod le není bodem hyperboly p). Bod M leží n přímce MV v rovině α. Bod Q ležící n přímce m v rovině α je v dné kolineci smodružný, tzn. Q = Q. Obrz m přímky m sestrojíme jko spojnici bodů M Q. 4. Určíme průsečíky X, Y kružnice k přímky m. V prostorové kolineci se středem V sestrojíme jejich obrzy X, Y, které leží n přímce m (protože prostorová kolinece zchovává incidenci přímek bodů). Body X, Y jsou průsečíky přímky m s hyperboloidem. 5. Stejný postup (jko v bodě 3. 4.) použijeme i při hledání průsečíků Z, A přímky m s druhou částí hyperboloidu (z důvodu přehlednosti jsem pro druhou část hyperboloidu konstrukci nznčil vynechl jsem popisky). 6. Tečnou rovinu τ zkonstruujeme npř. v průsečíku Z přímky m s hyperboloidem.. Tečná τ rovin je určen dvěm přímkmi u, t. Přímk u je tečnou vedenou bodem Z k rovnoběžce z, n které bod Z leží. Přímk t je spojnice bodu Z s vrcholem R kuželové plochy opsné hyperboloidu, která se ho dotýká podél rovnoběžky z. Nárys bodu Z otočíme kolem osy o do bodu Z 0 hlvního meridiánu v bodě Z 0 sestrojíme tečnu t 0 k hlvnímu meridiánu hyperboloidu. Tečn t 0 protíná osu o v bodě R, který je vrcholem dotykové kuželové plochy. Přímk RZ této kuželové plochy je tečnou t k hyperboloidu v bodě Z. Dále sestrojíme tečnu u k rovnoběžce z, která prochází bodem Z. Nárys tečny u splývá s nárysem rovnoběžky z, půdorysem u tečny u je tečn kružnice z v bodě Z. Půdorys přímky u je zároveň hlvní přímkou tečné roviny τ (protože její nárys je rovnoběžný s půdorysnou), stopy tečné roviny τ určené tečnmi t, u sestrojíme pomocí stopníků těchto přímek. 5

Příkld (řešení) t 0 t m o n Z 0 Z z A R V S M F X k p M' Q = Q' Y x, u m M' X' Q = Q' X Y Y' m' M V A F =R p Z t k 6

Příkld Tečné roviny k jednodílnému hyperboloidu procházející nevlstní přímkou V Mongeově promítání veďte tečné roviny procházející nevlstní přímkou p, p ρ k rotčnímu jednodílnému hyperboloidu, který má osu o kolmou k půdorysně je zdán meridiánem. Příkld (postup). Tečnou rovinu τ procházející nevlstní přímkou p, kde p ρ (tzn. tečná rovin τ je rovnoběžná s rovinou ρ) sestrojíme tk, že určíme přímky k, l ptřící hyperboloidu, které jsou s rovinou ρ rovnoběžné. Vrcholem S symptotické kuželové plochy hyperboloidu proložíme rovinu rovnoběžnou s rovinou ρ. Půdorysnou stopu roviny sestojíme pomocí hlvní přímky h první osnovy vedené bodem S. Půdorysná stop p protíná rovnoběžku symptotického kužele ležící v půdorysně v bodech A, B rovin protíná symptotický kužel hyperboloidu v přímkách, b, kde = AS, b = BS.. Určíme půdorysy přímek k, l hyperboloidu, jejich první průměty jsou tečnmi ke kružnici r jsou rovnoběžné s půdorysy přímek, b. Přímky k, l protínjí rovnoběžku hyperboloidu ležící v půdorysně v bodech K, L. Nárysy přímek k, l sestrojíme jko přímky procházející nárysy K, L bodů K, L rovnoběžné s přímkmi, b. Půdorysná stop tečné roviny τ prochází průsečíky K, L přímek k, l s půdorysnou, nárysná stop roviny τ je rovnoběžná s nárysnou stopou roviny ρ. Dotykový bod T tečné roviny τ hyperboloidu sestrojíme jko průsečík přímek k l. 3. Druhou tečnou rovinu τ určenou přímkmi m, n sestrojíme nlogicky jko tečnou rovinu τ. 7

Příkld (řešení) p 8 n b o n' n n l m p 8T' F r S T h =h n k M L A K N B x, n N m T' S b B p' p h M r A k T l L p p K 8

Příkld 3 Průsečík přímky s rotčním prboloidem V Mongeově promítání sestrojte n přímce m body, které mjí od dného bodu F od první průmětny stejnou vzdálenost. Příkld 3 (postup). Množinou všech bodů v prostoru, které mjí stejnou vzdálenost od pevného bodu F roviny (zde půdorysny), je rotční prboloid. Bod F je ohniskem tohoto prboloidu rovin π je řídící rovinou. Sestrojíme tedy prboloid určený ohniskem F řídící rovinou π. Pro větší názornost omezíme plochu prboloidu libovolnou rovinou kolmou k ose o. Půdorysem plochy je kruh, nárysem je část prboly, kterou sestrojíme s využitím ohniskových vlstností prboly.. Hlednými body X, Y jsou průsečíky přímky m s prboloidem. Přímkou m proložíme rovinu α kolmou k nárysně. Body X, Y jsou společné body přímky m elipsy e, ve které protíná rovin α prboloid. Nárysem elipsy e je úsečk A B, kde A, B jsou průsečíky roviny α hlvního meridiánu prboloidu. Půdorysem řezu je kružnice nd průměrem A B. Sestrojíme průsečíky X, Y přímky m elipsy e nejdříve v půdoryse pk odvodíme průměty bodů v náryse. 3. Určíme viditelnost přímky m vzhledem k prboloidu. 9

Příkld 3 (řešení) m o A X e Y B F x, m e X A F = o B Y 30

.4 Průniky rotčních kvdrik Příkld 4 Průnik dvojdílného hyperboloidu elipsoidu V Mongeově promítání sestrojte průnik rotčního dvojdílného hyperboloidu rotčního protáhlého elipsoidu s různoběžnými osmi ležícími v nárysně. Příkld 4 (postup). Pro konstrukci obecných bodů průnikové křivky volíme pomocné kulové plochy, které mjí střed v průsečíku R os obou kvdrik. Tyto pomocné kulové plochy protínjí obě kvdriky součsně v kružnicích (rovnoběžkách), které se v náryse zobrzí jko úsečky. Zvolíme si pomocnou kulovou plochu κ. Tto kulová ploch protne elipsoid v rovnoběžkách, b hyperboloid v rovnoběžkách c, d. Nárysy rovnoběžek, b, c, d jsou úsečky ležící n přímkách, b, c, d. Průnikem rovnoběžek c jsou dv body A, A, které ptří průnikové křivce h obou ploch. Jejich nárys se zobrzí do bodu A (nlogicky pltí i pro body B, C, D ).. Postupně volíme dlší kulové plochy se středem v bodě R stejnou konstrukcí jko v bodě. sestrojíme dosttečný počet bodů průnikové křivky (z důvodu větší přehlednosti jsem v řešení vyrýsovl jen jednu kulovou plochu). 3. Průnikovou křivkou je křivk h čtvrtého stupně, jejím nárysem h je část hyperboly, jejíž střed O je středem rovnoběžníku A B C D, který je vepsán hyperbole h. Aby byl hyperbol h jednoznčně určen, sestrojíme její symptoty, při jejich konstrukci využijeme homotetických kvdrik. Některé kulové ploše opíšeme homotetické kvdriky (homotetickou kvdrikou pro elipsoid je opět rotční elipsoid, který vzniká rotci homotetické elipsy, tzn. spojnice hlvního vedlejšího vrcholu tvořících elips obou elipsoidů jsou rovnoběžné; homotetickou kvdrikou pro hyperboloid je rotční kuželová ploch, která vzniká rotcí přímek, které jsou rovnoběžné s symptotmi tvořící hyperboly hyperboloidu). Určíme společné body průmětů kuželové plochy elipsoidu, spojnice těchto bodů určují směry u, v symptot u, v průnikové křivky (hyperboly) elipsoidu dvojdílného hyperboloidu. Hyperbol h je tedy určen symptotmi u, v body A, B, C, D, sestrojíme ji s využitím jejích ohniskových vlstností. Body C, D ptří tzv. przitní části křivky. 3

Příkld 4 (řešení) o' h o F b A S F' R B O D c d u v C 3

Příkld 4 (řešení) - pokrčování Homotetické kvdriky o' u' o v' 33

Příkld 5 Průnik prboloidu protáhlého elipsoidu v xonometrii V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průnik prboloidu protáhlého elipsoidu, jejichž osy jsou vzájemně rovnoběžné leží v bokorysně. Příkld 5 (postup). Axonometrický průmět plochy sestrojíme podobně jko v příkldu č.5.. Situci v prostoru prvoúhle promítneme do průmětny μ (bokorysy), ve které leží osy obou ploch, tuto pomocnou průmětnu μ otočíme kolem její xonometrické stopy do xonometrické průmětny. Pro lepší přehlednost řešení posuneme otočené útvry ve směru kolmém k xonometrické stopě roviny μ. Otočené útvry oznčíme indexem 3. V otočení sestrojíme třetí průměty ploch třetím průmětem elipsoidu je jeho tvořící elips, třetím průmětem prboloidu je jeho tvořící prbol. 3. V otočení sestrojíme třetí průmět průnikové křivky ploch. Osy obou ploch jsou rovnoběžné leží v bokorysně μ, zvolíme libovolnou rovinu α, která je kolmá k osám obou ploch. Rovin α protíná plochy v rovnoběžkách,, jejichž společné body A, B náleží průnikové křivce. Rovin α se v otočení zobrzí jko přímk kolmá ke sklopeným osám ploch, rovnoběžky, se v otočení zobrzí jko úsečky 3, 3. Jejich společné body A, B sestrojíme pomocí sklopení roviny α, tedy úsečkám 3, 3 opíšeme kružnice, jejichž střed leží n průsečíku úsečky osy dné plochy. Průnikové body A 0, B 0 kružnic vrátíme ze sklopení zpátky, tedy průsečík úsečky A 0 B 0 s α 3 je třetím průmětem bodů A, B. Axonometrické průměty bodů A, B sestrojíme jko průsečíky rovnoběžky s přímkou m 3 směru otočení vedenou bodem A 3. 4. Postupně volíme dlší roviny rovnoběžné kolmé k osám obou ploch sestrojíme tk dosttečný počet bodů průnikové křivky. Pro sndnější konstrukci bodů průnikové křivky ploch můžeme otočit půdorysnu π do xonometrické průmětny otočené útvry posuneme ve směru kolmém n osu z oznčíme je indexem. V tomto otočení se rovnoběžky,, ve kterých protíná rovin α (nebo roviny s ní rovnoběžné) obě plochy zobrzí jko kružnice,. První průměty bodů A, B průnikové křivky jsou pk průsečíky kružnic,. Jejich xonometrické průměty leží n rovnoběžce přímce m směru otočení vedenou bodem A. Bod A tedy nemusíme sestrojovt jko průsečík přímky m 3 elipsou, le jko průsečík přímek m 3 m. 5. Průniková křivk ploch je souměrná podle roviny μ, ve které leží jejich osy z z. Rovin μ protíná elipsoid v tvořící elipse prboloid v tvořící prbole, společné body této elipsy C, D prboloidu náleží průnikové křivce zároveň jsou lokálně nejvyšší nejnižší body průnikové křivky. 34

Příkld 5 (řešení) z' 3 z 3 F 3 V 3 D 3 C 3 A 0 B 0 ' 3 A = B 3 3 P 3 3 m 3 A 3 F S z' V z Z D S F' V F z z' C (O ) B P O (O ) 3 P Y X y x k A z D ' o m C y x B 35

Příkld 6 Viviniho křivk V prvoúhlé xonometrii dné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte průnikovou křivku rotčního válce se středem podstvy S v v půdorysně, výškou v poloměrem podstvy r kulové plochy se středem S k poloměrem r, os rotčního válce je v ose z jedn z povrchových přímek rotčního válce prochází středem S k dné kulové plochy. (Průnikovou křivkou je tzv. Viviniho křivk). Příkld 6 (postup). Plochy sestrojíme podobně jko v příkldě č. 5 pomocí otočení roviny obshující osu rotčního válce střed kuželové plochy.. Osou rotčního válce z osou kulové plochy o je určen rovin α. Tto rovin je kolmá k rovině π určené osmi x, y protíná válec v obdélníku kulovou plochu v kružnici. Situci v prostoru prvoúhle promítneme do roviny α otočíme ji kolem její xonometrické stopy r do xonometrické průmětny, otočené útvry oznčíme indexem 0. 3. V otočení sestrojíme průmět průnikové křivky dného rotčního válce kulové plochy. Plochy protneme rovinu, která je rovnoběžná s rovinou π. Prvoúhlý průmět pomocné roviny do roviny α se v otočení zobrzí jko přímk kolmá ke sklopeným osám obou ploch. Rovin protíná plochy v rovnoběžkách, b, jejichž průsečíky A, B náleží průnikové křivce ploch. Body A 0, B 0 sestrojíme pomocí sklopení roviny, tedy úsečkám 0, b 0 opíšeme kružnice, jejichž střed leží n průsečíku úsečky 0 (resp. b 0 ) osy z 0 (resp. o 0 ) dné plochy. Průnikové body A, B kružnic vrátíme ze sklopení zpátky, tedy průsečík úsečky A B s 3 je průmětem bodů A, B. Pro sndnější konstrukci bodů A, B průnikové křivky dných ploch otočíme půdorysnu π do xonometrické průmětny otočené útvry posuneme ve směru kolmém n osu z oznčíme je indexem.v tomto otočení se rovnoběžky, b, ve kterých protíná rovin (nebo roviny rovnoběžné s rovinou ) obě plochy, zobrzí jko kružnice, b. První průměty bodů A, B průnikové křivky jsou průsečíky kružnic, b. Axonometrický průmět bodů A leží průsečíku přímky m 0 směru otočení roviny α, A 0 m 0 n přímce m směru otočení roviny π, A m bodem A. Anlogicky sestrojíme xonometrický průmět bodu B. 4. Plochmi prokládáme dlší roviny rovnoběžné s rovinou π sestrojíme tk dosttečný počet bodů průnikové křivky. Pro lepší přehlednost jsem v řešení příkldu uvedl jen konstrukci bodů A B průnikové křivky. Dlší body průnikové křivky se sestrojují nlogicky. 5. Průniková křivk ploch je souměrná podle roviny α, ve které leží jejich osy z o tké podle roviny rovnoběžné s rovinou π, která prochází středem kulové plochy. Rovin α protíná rotční válec v obdélníku kulovou plochu v kružnici, společné body C, D tohoto obdélníku kružnice náleží průnikové křivce zároveň jsou lokálně nejvyšší nejnižší body průnikové křivky. Průniková křivk ploch se nzývá Viviniho křivk. 6. Body K, L, M, N, ve kterých se mění viditelnost xonometrického průmětu průnikové křivky, sestrojujeme jko průsečíky průmětu průnikové křivky řezu xonometrickou průmětnou. Axonometrické průměty obrysových přímek rotčního válce prochází krjními body průměru podstvy rovnoběžného s XY. Proto první průměty bodů K, L, M, N, ve kterých se mění viditelnost průnikové křivky, jsou po dvou krjními body průměru kružnice k rovnoběžném s XY. Bodem K prochází rovnoběžk k válce rovnoběžk k kulové plochy, K je jejich společný bod. Sestrojíme obrz bodu K v otočení podobně jko obecný bod v odstvci 3. odvodíme jeho xonometrický průmět K. Anlogicky sestrojíme i dlší body L, M, N, ve kterých se bude měnit viditelnost průnikové křivky. 36

Příkld 6 (řešení) z o r v n Z D K A S k L ' 0 0 y Y N C S v O' B 0 E S' k S' k 0 r M O' E 0 M 0 S 0 v X S 0 k 0 0 A = B K 0 N 0 D 0 L 0 z 0 o 0 C 0 x p x y S = D = E p A K = N S v C B k M = L k 37

.5 Osvětlení rotčních kvdrik Příkld 7 Rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu V Mongeově promítání zobrzte rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu, jehož os je kolmá k půdorysně. Sestrojte stín vržený do půdorysny. Příkld 7 (postup). Mezí vlstního stínu prboloidu bude prbol p, protože směr osvětlení není rovnoběžný s osou prboloidu. Vrchol V prboly p je bodem dotyku tečny rovnoběžné se směrem osvětlení světelného meridiánu. Bod V sestrojíme pomocí válcové metody, tedy rovinu λ světelného meridiánu otočíme do roviny rovnoběžné s nárysnou procházející osou prboloidu. Meridián v rovině λ se otočí do hlvního meridiánu přímk s směru osvětlení, která prochází vrcholem prboloidu n ose o, se otočí do přímky 0 s. Sestrojíme tečnu 0 t rovnoběžnou s 0 s, v bodě dotyku dostneme nárys otočeného vrcholu 0 V prboly p. Zpětným otočením bodu 0 V do roviny λ sestrojíme půdorys i nárys bodu V.. Půdorysem prboly p meze vlstního stínu je přímk p, která je kolmá k prvnímu průmětu přímky s prochází půdorysem bodu V. V náryse je prbol určen svým vrcholem V, osou procházející vrcholem rovnoběžnou s o nárysy bodů K, L, ve kterých prbol p protíná rovnoběžku prboloidu ležící v půdorysně. Pro přesnější vyrýsování nárysu prboly p můžeme sestrojit její dlší body jko průsečíky roviny, ve které leží prbol p, s rovnoběžkmi prboloidu. 3. Stín vržený n půdorysnu určíme jko množinu vržených stínů bodů prboly p meze vlstního stínu. Mezí vrženého stínu do průmětny π je prbol p. Sestrojíme nejprve vržený stín vrcholu V prboly p do průmětny π oznčíme ho V. Dále sestrojíme vržený stín P vrcholu P prboloidu do průmětny, sestrojený bod P je ohniskem prboly p. Prbol p meze vrženého stínu n π je určen vrcholem V, ohniskem P body K, L. 38

Příkld 7 (řešení) s t o s0 t 0 P F V 0 V p K L x, p K P' V' V p' o 0 V s L 39

Příkld 8 Středové osvětlení protáhlého elipsoidu V Mongeově promítání zobrzte středové osvětlení rotčního protáhlého elipsoidu s osou kolmou k π ze středu S. Sestrojte stín vržený do půdorysny. Příkld 8 (postup). Z bodu S sestrojíme k elipsoidu tečnou kuželovou plochu, dotyková elips e bude mezí vlstního stínu. Jedn os elipsy e leží v rovině ρ, která je určen bodem S osou o elipsoidu. Rovin ρ je tké rovinou souměrnosti meze vlstního stínu. Rovin ρ protne plochu elipsoidu v meridiánu m, z bodu S sestrojíme tečny k tomuto meridiánu m s dotykovými body A, B. Body A, B sestrojíme užitím válcové metody, tedy pomocí otočení útvrů ležících v rovině meridiánu m kolem osy o do roviny rovnoběžné s nárysnou. Sestrojíme otočený bod S 0, kterým vedeme tečny k hlvnímu meridiánu elipsoidu sestrojíme dotykové body A 0, B 0, které otočíme zpět do roviny ρ získáme body A, B, které omezují jednu z os elipsy e meze vlstního stínu. Sestrojíme střed O úsečky AB, který je středem elipsy e. Druhá os elipsy e je v půdoryse kolmá n osu A B elipsy e, v náryse je rovnoběžná se zákldnicí. Body C, D, kterými je druhá os elipsy e omezen, leží v rovině rovnoběžky d elipsoidu sestrojíme je v půdorysu jko průnik kolmice k A B vedenou bodem O s půdorysem rovnoběžky d. Sestrojíme elipsu e, v půdorysu je určen hlvní osou C D vedlejší osou A B. V nárysu je elips e určená sdruženými průměry A B, C D, její hlvní vedlejší osu sestrojíme npř. pomocí Rytzovy konstrukce. Body n elipse e, ve kterých se mění její viditelnost, sestrojíme pomocí válcové metody pro hlvní meridián m, tedy jko body dotyku K, L tečen k m vedených z S.. Mezí stínu vrženého n půdorysnu bude část elipsy g. Jejími hlvními vrcholy A, B budou průsečíky přímek SA, SB s půdorysnou. Sestrojíme střed úsečky A B vedlejší osu elipsy g, která bude tímto středem procházet bude kolmá k A B. Sestrojíme ohnisk elipsy g meze stínu vrženého do π. Využijeme větu Quételet Dndelinovu 3 pro konstrukci ohnisek meze vrženého stínu kulové plochy do průmětny π při rovnoběžném osvětlení. Tto vět pltí obdobně i pro středové osvětlení v přípdě, že os rotční kvdriky je kolmá k průmětně π. Využijeme finity mezi kulovou plochou elipsoidem sestrojíme vržené stíny P, Q vrcholů rotčního elipsoidu do průmětny π, která je kolmá k ose o elipsoidu. Body P, Q jsou ohnisk elipsy g meze stínu vrženého do půdorysny. 3 Quételet Dndelinov vět pro středový průmět kulové plochy: Středový průmět kulové plochy n rovinu, která neprochází středem promítání, je kuželosečk. Její ohnisk jsou (vlstní) průměty krjních bodů průměru kulové plochy kolmého k průmětně. Důkz věty lze nlézt npř. v []. 40

Příkld 8 (řešení) S 0 S o B 0 L B Q' B' C O D d K A 0 A P x, S 0 C A 0 e A' P' B o B 0 O A D S 4

Příkld 9 Rovnovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu v xonometrii V prvoúhlé xonometrii zdné xonometrickým trojúhelníkem sestrojte rovnoběžné osvětlení rotčního prboloidu, jehož os je rovnoběžná s xonometrickou osou z. Rotční prboloid je zdán meridiánem ležícím v promítcí rovině. Sestrojte stín prboloidu vržený do průmětny π. Příkld 9 (postup). Axonometrický průmět plochy sestrojíme nlogicky jko v příkldu č. 5.. (Kuželová metod osvětlení.) Sestrojíme mez m vlstního stínu prboloidu, kterou je část prboly. N libovolně zvolených rovnoběžkách prboloidu sestrojíme body meze vlstního stínu pomocí kuželové metody osvětlení. Npříkld rovnoběžce k opíšeme kuželovou plochu. Nejprve sestrojíme průmět kuželové plochy do promítcí roviny, ve sklopení roviny do průmětny se obrysové površky t, u kuželové plochy zobrzí jko tečny k meridiánu prboloidu v bodech T, U rovnoběžky k. Vrchol kuželové plochy ležící v průsečíku přímek t, u n ose prboloidu oznčíme W sestrojíme jeho xonometrický průmět W. Vrchol W prboloidu promítneme ve směru promítání s do roviny α rovnoběžky k, získáme tk bod W, ze kterého sestrojíme tečny k rovnoběžce k. Dotykové body K, L tečen vedených z bodu W k rovnoběžce k jsou hlednými body, které ptří mezi vlstního stínu prboloidu. Podobným způsobem sestrojíme body meze vlstního stínu i n dlších libovolných rovnoběžkách plochy zkonstruujeme bodově prbolu m meze vlstního stínu. 3. Sestrojíme bod M, ve kterém se mění viditelnost křivky m meze vlstního stínu. Rovinu meze vlstního stínu promítneme do promítcí roviny ve sklopení do průmětny sestrojíme první průmět m meze vlstního stínu. První průmět bodu M určíme jko průsečík prboly m s úsečkou p, která je prvním průmětem obrysové prboly p v xonometrické rovině. Axonometrický průmět M bodu M leží n obrysové prbole p prboloidu v xonometrické rovině n přímce vedené z bodu M kolmé k ose prboloidu. 4. Vrchol A prboly m meze vlstního stínu sestrojíme pomocí válcové metody osvětlení. Do průmětny otočíme světelnou rovinu λ, která prochází osou rotce je kolmá k rovině meze vlstního stínu, tedy v otočení se mez m vlstního stínu prboloidu zobrzí jko přímk. V otočené světelné rovině sestrojíme osu [o], vrchol [V] ohnisko [F] světelného meridiánu. Těmito prvky je světelný meridián jednoznčně určen (pro dlší řešení není nutné křivku světelného meridiánu v otočení vykreslovt). V otočení sestrojíme průmět roviny meze m vlstního stínu, který se v otočení zobrzí jko přímk [m]. Sestrojíme tké otočený směr [s] osvětlení. Ke konstrukci otočených prvků využijeme finity, jejíž osou je xonometrická stop r světelné roviny, směr odpovídjících si bodů je dán npř. dvojicí V [V], jejichž spojnice je kolmá n osu finity r. K nenrýsovné prbole meridiánu [m] vedeme tečnu [s ] rovnoběžnou s otočeným směrem otočení [s] sestrojíme její dotykový bod [A]. S využitím zmíněné finity sestrojíme xonometrický průmět A, který je vrcholem prboly m meze vlstního stínu. 5. Vržený stín do průmětny π sestrojíme bodově. Body meze hlvního stínu promítáme n průmětnu π. Tedy npř. bodem L vedeme rovnoběžku s xonometrickým průmětem směru osvětlení s, půdorysným průmětem L bodu L vedeme rovnoběžku s půdorysným průmětem s směru osvětlení. Průsečík L + tkto vedených rovnoběžek je bodem meze stínu vrženého do průmětny. Z důvodu přehlednosti řešení jsem uvedl konstrukci vrženého stínu jen pro bod L, osttní body se sestrojí nlogicky. 4